第五讲数列

第五讲 数列一、数列简史自学教材P125～130，思考以下问题： ⒈我国关于数列的早期认识； ⒉国外关于数学的早期认识；⒊北宋时期沈括创立的高阶等差数列求和计算方法——隙积术； ⒋南宋末期杨辉提出的垛积术； ⒌元朝数学家朱士杰的三角垛系统； ⒍斐波那契数列。

二、中学数学里的数列及其求和中学里的数列教学内容，主要是建立数列的概念，学习简单的级数求和方法，特别是仔细研究等差数列和等比数列的各种性质。

⒈数列的定义及其表示定义在正整数集上的函数构成数列； 《全日制普通高级中学教科书（必修）·数学》第一册（上）中数列的定义为：按一定次序排成的一列数。

关于数列概念应该注意： ①数列具有严格的顺序性； ②集合与数列不完全是一回事；③数列不等于序列，序列是比数列更广泛的概念。

⒉有限数列的通项和拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式：设)0(n i a i ≤≤为任意给定的相异位置，)0(n i b i ≤≤为任意给定的数值（不必相异），则存在唯一的次数不高于n 的多项式()x f ，使得())0(n i b a f i i ≤≤=。

再者，()x f 的明确表达式就是：()∑==+++=ni i i n n x f b x f b x f b x f b x f 01100)()()()(其中()()∏∏==--=------=ni i ni in n a aa x a a a a a a a x a x a x x f 1102010210)()())(())(()(∏∏≠≠--=ji i jji ij a aa x x f )()()(⒊数列求和法⑴与通项n a 有关的问题例 已知数列{}n a 的通项公式为：nn n a )109)(2(+=，试问这个数列有数值最大的项吗？ 解 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++-11109)3(109)2(109)1(109)2(k k k k k k k k 整理得⎪⎩⎪⎨⎧+≥++≥+109)3(21109)2(k k k k 解得87≤≤k ，所以，当7=n 或8时，n a 取得最大值78109。

⑵与前n 项和n S 有关的问题 ①分组求和法例 求数列 ,21,,813,412,211n n +的前n 项和 解 n n nk k nk nk k n n n n n k k S 2122211)211(212)1(21)21(2111-++=--++=+=+=∑∑∑===②裂项相消法例 求和：∑=+=nk n k kS 1)!1( 解 )!1(11])!1(1!1[)!1(11+-=+-=+=∑∑==n k k k k S nk nk n ③错项相消法例 求和：∑=-≠-=nk k n q qk S 11)1()12(解 因为∑∑==---+=-=nk nk k k n q k qk S 1211)12(1)12(所以∑∑∑=-=-=-+-=---=-=nk n k nnk n k kkn q x q k q n q k qk qS 21111)12()32()12()12()12(两式相减，得()n n nnk k n q n qq q q n qS q )12(1)1(21)12(211121----+=--+=--=-∑故 ])12(1)1(21[111n n n q n qq q q S ----+-=-课堂练习⒈证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n k k 11无界。

证 对任何N n ∈，总有nm 2=，使得22222211)21121(81716151413121111211n k n n n n mk >++++>+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=--=∑又⎭⎬⎫⎩⎨⎧2n 无界，所以原数列无界。

⒉设n 是任意自然数，982881711个个n n n a =，求证n a 是完全平方数。

证 由于22111221122122)1108(31)110161064(919)110(10918102)110(10911079)101010(8102)101010(107⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=+⋅+⋅=+-⋅⋅+⋅+-⋅+⋅=+++++⋅+++++⋅=--+--+--n n n n n n n n n n n n n n n n a⒊设n m l k a a a a ,,,是数列{}n a 的项，且n m l k +=+，求证⑴当{}n a 是等差数列时，n m l k a a a a +=+； ⑵当{}n a 是等比数列时，n m l k a a a a =。

证⑴若{}n a 是等差数列，根据它的通项公式，设βαβα+=+=l a k a l k ,这就有βα2)(++=+l k a a l k ，同理βα2)(++=+n m a a n m ， 再有n m l k +=+，得到n m l k a a a a +=+。

⑵若{}n a 是等比数列，公比为零时，显然结论成立，公比0≠q 时，设1111,--==l l k k q a a q a a ，这就有22-+=l k l k q a a a ；同理22-+=n m n m q a a a ，因此n m l k a a a a =。

第五讲数列 家庭作业一⒈已知{}n a 是等差数列，求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++n a a a n 21也是等差数列。

证 根据等差数列前n 项和的公式，设n n a a a n μλ+=+++221 ， 而μλ+=+++n n a a a n 21，因此，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++n a a a n 21是等差数列。

⒉在10与100之间插入50个数，构成等差数列，求插入的整数之和。

解 设公差为d ，则有1730)1(10,1730,1005110-+===+n a d d n ，欲使n a 为整数，则1-n 必为17的倍数，且5110≤-≤n ，即1-n 可取0，17，34，51，则n 可取1，18，35，52； 所以插入的整数为3518,a a 这两项，它们的和为：11051213518=+=+d a a a 。

⒊求和n n a n aa a S ++++=32321 解 当1=a 时，2)1(321+=++++=n n n S n 当1≠a 时，n n a naa a S ++++=32321；14323211+++++=n n a n a a a S a两式相减，得1211111+-+++=⎪⎭⎫⎝⎛-n n n a n a a a S a ，即2)1()1()1(----=a a a n a a S n n n三、数列的差分与高阶等差数列1.数列的差分定义 对于数列{}k a ，称{}k k a a -+1为{}k a 的一阶差数列。

并称),2,1(1 =-=∆+k a a a k k k 为{}k a 的一阶差分（简称差分）；{}k a 的一阶差分()() ,2,12=∆∆=∆k a a k k 叫做{}k a 的二阶差分；一般地，设m 是任一正整数，则称()() ,2,11=∆∆=∆-k a a k m k m 为{}k a 的m 阶差分。

课堂练习求下列数列的差分①数列：1，1，1，1，1，1，… 一阶差分：0，0，0，0，0，… ②数列：1，2，3，4，5，6，… 一阶差分：1，1，1，1，1，… 二阶差分：0，0，0，0，…③数列： ,6,5,4,3,2,1222222即1，4，9，16，25，36，… 一阶差分：3，5，7，9，11，… 二阶差分：2，2，2，2，… 三阶差分：0，0，0，…④数列： ,2,2,2,2,2,15432即1，2，4，8，16，32，… 一阶差分：1，2，4，8，16，… 二阶差分：1，2，4，8，… 三阶差分：1，2，4，…定理 对于数列{}k a ，{}k b ，有 ⑴()k m k m a a ∆∆=∆-1⑵()k k k k b a b a ∆+∆=+∆μλμλ，这里μλ,为常数⑶()k k k k k k a b b a b a ∆+∆=∆+1或()k k k k k k a b b a b a ∆+∆=∆+1 ⑷∑∑=+++=∆--=∆nk k k n n nk kk a b b a b a ba 1111111证明：⑴、⑵、⑶直接应用差分定义验证即可；⑷由⑶，有()k k k k k k a b b a b a ∆-∆=∆+1， 于是()()()()∑∑∑∑∑=+++=+++=+==∆--=∆--++-+-=∆-∆=∆nk kk n n nk k k n n n n nk kk n k kk n k kka b b a b a a b b a b a b a b a b a b a a bb a b a 1111111111223311221111可以用差分的观点来看待数列的通项公式n a 与前n 项和n S 之间的关系。

由前述，111,--==n n n S S a S a ，从而求一个数列的前n 项和，实质是要找一个新数列，使得其差分为该数列。

例 求数列{})1(1≠-q aq k 的前n 项和n S解法一 等比数列的求和公式：qq a q q a S n n n --=--=1)1(1)1(1 解法二()1111111111111--=∆-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∑∑∑==-=-q q a a q q q a q q a q q a aqn nk k n nk k nk k 解法三 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∆=--111k k q q a aq ，所以()1111111111111--=∆-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∑∑∑==-=-q q a q aq q a q q a q q a aqn n k k n nk k nk k 例 求和∑=++nk k k k 1)2)(1(1解法一 因为])1(1)2)(1(1[21)2)(1(1+-++-=++k k k k k k k所以)2)(1(4)3(]211)2)(1(1[21])1(1)2)(1(1431541321431211321[21)2)(1(11+++=⋅-++-=+-++++⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-=++∑=n n n n n n n n n n k k k nk 解法二 见课本P143 解法三 见课本P1442.高阶等差数列定义 对于数列{}n a ，若有正整数m ，使{}n m a ∆是非零常数列，则称{}n a 为m 阶等差数列。

当2≥m 时，m 阶等差数列统称为高阶等差数列。

常数列叫做零阶等差数列。

定理 若{}n a 是m 阶等差数列，它的前n 项的和为n S ，则{}n S 是1+m 阶等差数列，且111211a C a C a C S mm n n n n ∆++∆+=+例 求3阶等差数列{})2)(1(++k k k 前n 项的和为n S 解 设∑=++=++=nk kn k k k ak k k S 1)2)(1(),2)(1(则6,18,18,613121211=∆=∆=-=∆=a a a a a a 根据定理，)3)(2)(1(416181864321111211+++=+++=∆++∆+=+n n n n C C C C a C a C a C S n n n n m m n n n n第五讲数列 家庭作业二4.求和∑=nk k13解 设3k a k =，则6,12,7,113121211=∆=∆=-=∆=a a a a a a 根据定理，224321111211)1(4161271+=+++=∆++∆+=+n n C C C C a C a C a C S n n n n mm n n n n四、数列的综合应用与实际应用高考命题焦点 ● 命题热点⒈有关等差数列的应用题；⒉有关等比数列的应用题；⒊有关递推数列的应用题 ● 学科渗透⒈数列与函数相结合；⒉数列与不等式相结合；⒊数列与解析几何相结合；⒋数列与方程相结合高考题型⑴例1 某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少？） 思路：建立汽车的年平均费用的目标函数式。