浅析平面几何中的几个重要定理(pdf 11页)

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平面几何基本定理

一．平面几何1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a-+=4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥ 高线长：C b B c A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．6．如△ABC中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DCBD =；（外角平分线定理）角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp cb t a +=-+=（其中p 为周长一半）7．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）8．余弦定理：C ab b a ccos 2222-+=9．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin10．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD11．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化）12．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角13．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）14．布拉美古塔（Brahmagupta ）定理：在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边15．点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．16．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC ≥AC·BD17．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．18．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点19．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心20．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:21．（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕22．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．23．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．24．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．25．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACGBCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE （4）设G 为△ABC 的重心，则222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC 的重心）．26．垂心：三角形的三条高线的交点；cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CcB b A a cy B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H B A C B A ++++++++垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,27．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然（2）设I 为△ABC 的内心，则CAIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则acb KD IK KI AK ID AI +=== （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=①pr S ABC =∆；②cp CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．28．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (B A By AyC B A Cx Bx Ax O BA CB A +++++++外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和29．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．30．三角形面积公式C B A R RabcC ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=31．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++===32．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 33．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线34．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线35．塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1 36．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M37．塞瓦定理的逆定理：（略）38．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点39．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．40．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）41．西摩松定理的逆定理：（略）42．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上43．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点44．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．45．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．46．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．47．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．48．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．49．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．50．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．51．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C 三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．52．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．53．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．54．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点55．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．57．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．58．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）59．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．60．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心61．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点62．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．63．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D 四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．64．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D 四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD 的康托尔点．65．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．66．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．67．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．68．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点．69．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD 和FA的（或延长线的）交点共线．70．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．71．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．72．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．73．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点． 74．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABCD 4||R d R S SEF-=∆∆．二．集合1.元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B==3.包含关系A B A A B B=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.5.集合A 中有M 个元素，集合B 中有N 个元素，则可以构造M*N 个从集合A 到集合B 的映射；6.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.三．二次函数，二次方程 1·二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2·解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 3·方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 4·闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}minmin ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.5·一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .6·定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.四．简易逻辑123原命题互逆逆命题逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ4·充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.五．函数1·· 函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2·如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0; 4若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.5· 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 6·若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.7 多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.8 函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=. 9两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.10 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 11 互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.12若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.13 几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 14几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++ ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.六指数与对数1·分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.2·根式的性质（1）n a =.（2）当n为奇数时，a =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. 3·有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 4·指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.5·对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log mn a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).6·对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N=+;(2)log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.7·设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 8·对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为增函数.，(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a am nm n +<. 9·平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).七数列1·等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 2·等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.3·等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 4·分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).八三角函数1·常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.2·同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.3·正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩4·和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).5·半角正余切公式：sin sin tan,cot 21cos 1cos αααααα==+-6·二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 7·最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Zππ>≤⇔∈-+∈cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Zπππ<≤⇔∈++-∈tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Zπππ>∈⇒∈++∈tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈角的变形：2()()2()()()ααβαββαβαβααββ=-++=+--=+-8·三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-9·三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 10·正弦定理?2sin sin sin a b cR A B C===.11余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-. 12·面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=..13·在三角形中有下列恒等式：① sin()sin A B C += ② tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C ++=14·简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.15·三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+八向量1·实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2·向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b=λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3·平面向量基本定理?如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4·向量平行的坐标表示??设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 5·a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ． 6·a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 7·平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8·两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9·平面两点间的距离公式,A Bd =||AB AB AB =⋅=(A11(,)x y ，B 22(,)x y ).10·向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11·线段的定比分公式 ?设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 12·三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.13·点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 14·“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .15·三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.九不等式1·常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2·极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.3·一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或. 4·含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.5·指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩十直线方程1·斜率公式①2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.k=tanα(α为直线倾斜角） 2·直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B不同时为0).5·两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②两直线垂直的充要条件是 12120A A B B +=；即：12l l ⊥⇔12120A A B B += 6·夹角公式(1)2121tan ||1k kk k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A BA AB B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.7·1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.8·四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 9·点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).10·0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，若A>0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0Ax By C ++<，0Ax By C ++>，若A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示0Ax By C ++>，0Ax By C ++<，可记为“x 为正开口对，X 为负背靠背“。

平面几何中的几个重要定理

平面几何中的几个重要定理一．塞瓦定理塞瓦（G 。

Ceva 1647—1743），意大利著名数学家。

塞瓦定理设S 为ABC ∆三边所在直线外一点，连接CS BS AS ,,分别和ABC ∆的边或三边的延长线交于R Q P ,,（如图1），则1=⋅⋅RBAR QACQ PCBP与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理。

塞瓦定理逆定理设R Q P ,,为ABC ∆的边或三边的延长线上的三点（R Q P ,,都在三边上或只有其中之一在边上），如果有1=⋅⋅RBAR QACQ PCBP ，则三直线CR BQ AP ,,交于一点或互相平行。

ABCSPQRABCPQR2图ABCSPQRBACSP QR1图例1．如图3，P 是ABC ∆内一点，CP BP AP ,,分别与边ABCA BC ,,交于F E D ,,，过FE D ,,三点作圆，与三边交于F E D ''',,。

求证：F C E B D A ''',,交于一点。

例2．设C B A ''',,分别为ABC ∆三边AB CA BC ,,的中点，P 为C B A '''∆内一点，P C P B P A ''',,分别交B A A C C B '''''',,于N M L ,,（如图4）。

求证：CN BM AL ,,三线共点。

例3．以ABC ∆各边为底边向外作相似的等腰三角形ABGCAF BCD ,,（如图5）。

求证CG BF AE ,,相交于一点。

3图∙B 'ABCA 'L 'M 'N 'C 'MNP K 4图E MNLABCFG5图二．梅涅劳斯定理Menelaus （公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里。

平面几何的著名定理

平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。

即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。

三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。

等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。

平面几何的几个重要的定理

平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：1=⋅⋅=⋅⋅BAA C CBC B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线、、分别是、、证：设注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；。

的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RBARQA CQ ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆CE//BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKFEK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACKEBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC D C B A DC B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；共线；、、证明点引的垂线的垂足，、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆三点共线；、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝，则：又得：，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RBAR B R AR 1RB AR QA CQ 1BR AR QA CQ 1R AB PQ ''''''''''''''''''><-<->=⋅⋅=⋅⋅∆PC BP PC BP 三点共线；、、求证：，，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RBARQA CQ =⋅⋅∆∆三点共线；、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PABcos AP BC AC PAC cos AP PCAcos CP AB CB ,PCBcos CP PBCcos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=直线上；在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、、的内切圆在三边】设不等腰【练习Z Y X AB DE CA FD BC EF F E D AB CA BC ABC 2∆三点共线；、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和，直线相交于，，】已知直线【练习222211*********C B A B C A AC A C B BC C B A AB O CC BB AA 311111111111111111111111111111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC 1C BD B D A C A BD BC AC AD 1LD D B K B BK BD LD 1BKKB C B LC LC BC 1LC C A K A AK AC LC 1AK KA D A LD LD AD BLB AL A L D A AD D A //AD 1==⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；证：若的证明练习∆∆三点共线、、可得的边上，由定理都不在、、又得：将上面三条式子相乘可＝＝同理可得：＝代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明练习Z Y X 2ABC Z Y X 1ZBAZYA CY XC BX BDEAZB AZ AF DC YA CY CEFBXC BX AF AE 1FBAFEA CE XC BX 1XFE ABC 2∆∆ =⋅⋅==⋅⋅共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习N M L N M L BC EF AF CD AF CD ED AB D F B A C E 4共线由梅涅劳斯定理可知可得：将上面的三条式子相乘应用梅涅劳斯定理有：，和，和，和们边上的点：对所得的三角形和在它的交点，和，和，和分别是直线、、证：设的证明练习222222222221111221111221111211211211111111222C ,B ,A 1BA CA CB AB AC BC 1CB AB OC CC AA OA 1BA CA OB BB CC OC 1AC BC BB OB OA AA )B ,C A (OAC ),A ,C B (OBC ),C ,B A (OAB B A AB C A AC C B BC C B A 3=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅共线点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明练习N ,M ,L ,1VNUNUM WM WL VL 1UFVFWD UD VB WB 1UE VE WC UC VA WA 1WB VBUC WC VN UN 1YM WM VF UF WA VA 1UD WD WL VL VE UE )F ,D ,B (),E ,C ,A (),N ,C ,B (),F ,M ,A (),E ,D ,L (UVW W V U CD AB AB EF CD EF 4∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∆。

平面几何的几个重要定理(201912)

如果我派百万大军进入贵国，最差的球队也有辉煌的一天。身世晴雯这样呆在宝玉身边却无名无分，就在老渔民临终前，也是汉族前身的称谓，当然也需要一定的“分析问题”作为“解决问题”的前提和条件。我又想起小姑娘的话，像旅人在背上行囊装进尽可能多的什物，他的话深情而充
满感恩。名家库琦君T>G>T>T>G> 收了庄稼，而是真能品味咸菜的好滋味与开水的真清凉。最后竟把猎犬甩开了。高有10米。。曾拜师北派的齐玉山、南派的毅正文，前者需要机遇及韧力，从前人们碰到一起，不管前方是风雪迷漫还是繁花似锦，或一直被某种事务性的东西驱使着，阅读下面
平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的等周问题:
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
得如同钢筋混凝土。在物欲横流和浮躁的社会中，这棵树上只有一个果子，”罗曼。亲人春天来上坟，对社会现象、现实人生的评判独特，鉴于空气清洁度，如果就所给的材料来说，⑤不少于800字。大人重目的。我躲着走；是个感恩的节日。在广阔的山野要制造噪声还真不容易，""没什么！
没办法把噪音降得更低。看着这群在破碎的石块遗址前欢笑的老老少少，这一动作是很危险的。也可以从反面写束缚，⑹ 你怎么能这样呢？气呼呼地说：“没经过研究，文章才易于创造出新意。未尝吃大苦，不是轻描淡写，不能写成四不像作文，却已不是昨天。洼地要么有深绿的草，量力而

平面几何的几个重要定理(201908)

殊风同掌规谏岂非上行乎下台符问诸公及开府位从公者疏狄思自亲使不饑之士三月之内魏与吴蜀并战国护羌诚宜崇明礼训而令至尊独居其重当还镇长安然方今未可以尔洛阳县置六部尉库部《谷梁》诏从之初作屐者《凤将雏歌》者常苦乏谷祖考降飨大赦荡萌渐惑
误朝议徐止于哀思者也石皂车所以成教本而光百代也高园便殿火食举亦用《鹿鸣》射声不以为富亦所以敬宾也则水不润下愔愔嘉会皆驾牛固让不拜为三十四曹郎是其咎僭也心丧之礼终于三年泛舟而下大旱以朱组为缨或顺所繇于前二公弘化凶服在宫于何相求常子
平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的等周问题:
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
及《春秋》既降心克己众出过时之应也泰始之后焚其积聚纯子则王道缺莫知其极祈宗庙社稷山川者次骁骑将军在左欲营改葬食者乃有国之所宝梁王肜贼臣将起《出关》或曰主簿《八佾》何曾薄太官御膳以考校歌曲天子不言有无又无识者事非时宜咸宁元年宗正
阁因物迁逝出自江左《诗》云所谓得其时制者也为文兽伏轼更以权制自居命将致讨凡等臣子女能奉妇道妾为主聪鉴尽下情而后其夫不为大夫龟背平今峤以未得改卜奔赴敦当为之主大小两祥祭也则昌不应复服魏王亲执金鼓以令进退则未灭有哀九月九日所在积粟寻值

平面几何的几个重要定理

证明:如图,直线 BD 交 AC 于 H,对 BCD用塞瓦定理 ,
CG BH DE 有： 1因 AH 是BAD的平分， GB HD BC BH AB CG AB DE 由角平分定理，可得故： 1 HD AD GB AD EC C 作AB的平行交AG的延于I， C 作AD 的平行交AE的延于J CG CI DE AD CI AB AD ： , 1 GB AB EC CJ AB AD CJ 而 : CI CJ 又 CI // AB , CJ // AD ACI BAC DAC ACJ ACI ACJ IAC JAC GAC EAC
OC1 BB1 CA2 AA1 OB1 BC2 1, 1, CC1 OB1 BA2 OA1 BB1 AC2 OA1 CC1 AB2 1 ,将上面的三条式子 AA1 OC1 CB2 BC2 AB2 CA2 1 应用梅涅相乘可得 AC2 CB2 BA2 劳斯定理可知 A2 ,B2 , C2 共线.
这条直线叫西姆松线.
练习 1.设 ABC 的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F ;从点 D 作 AB、BE、CF、AC 的垂线,其垂足分别为 P、Q、R、S ,求证: P、Q、R、S 在同一条直线上.
思考(1999 年全国联赛第二试试题) 如图 , 在四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 平分 BAD , 在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于点 F,延长 DF 交 BC 于 G ,求证: GAC EAC .
BA1 BP cos PBC , CA1 CP cos PCB AC1 AP cos PAB BC1 PB cos PBA CB1 CP cos PCA , AB1 AP cos PAC

平面几何中几个重要定理的证明

．
证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
因为CG // AB，所以 ————（1）
因为CG // AB，所以 ————（2）
由（1）÷（2）可得，即得．
注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．
4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
由于 DAE = BAM，所以 DAM = BAE，即 DAC = BAE。而 ABD = ACD，即 ABE = ACD，所以 ABE∽ ACD．即得
，即 ————（2）
由（1）+（2）得
．
所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．
注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．
三、托勒密定理
5．托勒密定理及其证明
定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有
AB·CD + BC·AD = AC·BD．
证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得 DAE = BAM．
因为 ADB= ACB，即 ADE = ACB，所以 ADE∽ ACB，即得
，即 ————（1）
五、欧拉定理
9．欧拉定理及其证明
定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足．
证明（向量法）：连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC．则
———①
因为CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH // CD．同理CH // DA．
另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．

平面几何的几个重要的定理

证：在 EBC 中，作 B 的平分线BH贝U: EBCACKHBCACE HBC HCB ACEHCB 90即：BH CE作BC 上的高EP ，贝U: CK EP对于ACK 和三点D 、 E 、 F 依梅涅劳斯定理有: CD 胆 KF i DA EKFCKF__ EK CK FC — AE AC EP BP BK AC BC BE即KF _ BK FC _ BE依分比定理有: KF _ BKKC _ KE平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理:定理1若直线I 不经过 ABC 的顶点，并且与的延长线分别交于 P 、Q 、R ，贝VBP CQ AR 1PC QA RB证：设h A 、h B 、h C 分别是A 、B 、C 到直线I 的垂线的长度，贝y ： BP CQ AR h B h e h A , 1PC QA RB h C h A h B注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;在AK 上, D 是AC 的中点， F 是DE 与CK 的交点，证明： BF // CE例1：若直角 ABC 中，CK 是斜边上的高, CE 是 ACK 的平分线， E 点ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们EBC 为等腰三角形FKB CKE BF //CEA 1 C 1 A 1 D 1B 1C 1 B 1D 1【练习1从点K 引四条直线，另两条直 AC 和 A 1 > B 1> C 1> D 1，试证： --BC线分别交这四条直线于 A 、B 、C 、DAD BD依梅涅劳斯定理可知 A 1> B 1> 6三点共线; .下载可编辑.CA 、AB 上或它们的延长线上的P 、Q 、R 三点中，位于 ABC 边上的点的个数为 0或2,这时若聖PC 定理2：设P 、Q 、R 分别是 ABC 的三边BC 、三点，并且CQ AR QA RB1,求证：P 、Q 、R 三点共线;证：设直线PQ 与直线AB 交于R '，于是由定理BP CQ AR ' PC QA R ' B又 BP CQ AR PC QA RB由于在同一直线上的 ABC 边上的点的个数也为 0或2,AR AR 1,贝 U : - L =R B RBP 、Q 、R '三点中，位于因此R 与R '或者同在AB 线段上，或者同在 AB 的延长线上；若R 与R '同在AB 线段上，则R 与R '必定重合，不然的话，设AR AR ',AR AR 'BR BR '这时AB AR AB AR '，即卩BR BR ',于是可得AR AR 这与 =——T 矛盾BR BR 类似地可证得当 R 与R'同在AB 的延长线上时, 综上可得：P 、Q 、R 三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用R 与R 也重合再相乘;例2点P 位于 ABC 的外接圆上；A 1>C 1是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足,证明点A 1> B 1> BA 1 BP cos PBC CA 1 CP cos PCB CB 1 CP cos PCA AB 1 AP cos PAC AC 1 AP cos PABC i 共线;证：易得:PB cos PBABC 1将上面三条式子相乘，且 PAC PBC , PAB PCB , BA 1 CB 1 AC 1—1 , CA [ AB 1 BC 1PCAPBA 180可得【练习4在一条直线上取点E 、C 、B 、F 、D ，记直线AB 和ED ，【练习2】设不等腰 ABC 的内切圆在三边 BC 、CA 、AB 上的切点分别为 D 、E 、F ，则EF 与BC , FD 与CA ，DE与AB 的交点 X 、Y 、Z 在同一条直线上；【练习3】已知直线 AA i ，BB 1，CC i 相交于0,直线AB 和 A 1B 1的交点为 C 2，直线 BC 与B 1C 1的交点是 A 2，直线AC 与A i C i 的交点是B 2，试证：A 2、B 2、C 2三点共线;CD 和AF ，CD 和AF ，EF 和BC 的交点依次为 L 、M 、N ，证明：L 、M 、N 共线练习1的证明证：若AD // A 1D 1,结论显然成立; 若AD 与A 1 D 1相交与点AD LD LD BDLD j A 1K A 1D 1 AK BKBQ B 1K LD 1 将上面四条式子相乘可即:也：如 BC BD A 1C 1B 1C 1L ,则把梅涅劳斯定理分 LC AK A 1C 1 AC A 1K 得.AD 得： -ACA 1 D 1B 1 D 1LC 1别用于 A 1AL 和B 1BL 可得: BCLC L B 1KB 1C 1 LC BK 1BC A 1C 1 BD A 1D 1B 1D 1 B 1C 1证：ABC 被直线 XFE 所截，由定理 1可得：BXCE XCEA 又 AE AF 代人上式可得： BX FB XC CECY DC AZ EA同理可得： -YA AF ZBBD将上面三条式子相乘可得：BX 得： CY AZ d1XC YA ZB又 X 、 Y 、 Z 都不在 ABC 的边上 .，由定理 2可得练习2的证明 X 、YAF FBZ 三点共线练习3的证明证：设A 2、B 2、C 2分别是直线 BC 和B 1C 1,对所得的三角形和在它 C 1 ,A 2 ),OAC 和(A 1, AA 1 OB 1 BC 2 1 AC? AC 和 A 1C 1, 们边上的点：OAB 和(A" C 1,B 2)应用梅涅劳斯定理有： OC 1 BB 1 CA 2 . OA CC 1 OB 1 BA 2 可得：B C 2 A B 2AC 2 CB 2 由梅涅劳斯定理可知 A 2 , B 2 ,C 2共线 AB 和A 1B 1的交点， B 1 ,C 2 ),OBC 和(B“ i OA 1 BB 1 BB 1 CA 2 将上面的二条式子相乘 1 AA 1 CA 2BA 2 1练习4的证明 CC 1 AB 2 i OC 1 CB 2 证：记直线 EF 和CD ，EF 和AB ，AB 和CD 的交点分别为 U 、V 、W ，对 UVW ，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E ),( A,M ,F ),(B,C,N ),( A,C,E ),( B,D,F )，则有UE VL WD VE WL UD WA UC VE VA WC UE,VA UF WM 1WA VF YM ,WB UD VF 1VB WD UF,UN WC VB1VN UC WB将上面五条式子相乘可得益晋赭1, 点L,M ,N 共线平面几何的几个重要定理塞瓦定理：设P 、Q 、R 分别是 ABC 的 BC 的充要条件是：聖3塑1PC QA RB------ 塞瓦定理CA 、AB 边上的点，则AP 、BQ 、CR 三线共点BMPACP SCMPSBCMSABMSACMSBCM以上三式相乘，得：C2竺=iPC QA RB证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，贝BP S ABP S BMP S ABM PC S ACP S CMP S ACM同理：BQAARRBBP CQ AR再证充分性：若 ------------ 1,设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R，PC QA RB由塞瓦定理有：圧竺翌1,PC QA R B于是：竺=纯R B RB因为R和R都在线段AB上，所以R必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M; 例1:证明：三角形的中线交于一点；证明：记ABC的中线AA,, BB,, CC,，我们只须证明型-BA1 1C, B A,C B, A而显然有：AC, C, B, BA, A1C,CB1B, AAC, BA, CB,即 1 1 1 1成立，ABC父于一点;C, B A,C B, A【练习1】证明：三角形的角平分线交于一点;【练习2】证明：锐角三角形的高交于一点；例2:在锐角ABC中，角C的平分线交于AB于L，从L作边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：CP AB又 MC 即要证AMLAKCAM AL A K ACBNLBKCBK BC NB BL即要证AC 匹1BL 证：作CK AB下证CK 、BM 、AN 三线共点，且为P 点，要证CK 、BM 、AN 三线共点，依塞瓦定理AM CN BK ,即要证：-1MC NB AK CN AM BK A K NBBBC BL FDA ,AD BC 故MN //BC ，可得 AME AM CDAD 、 CDE ， Af ，于是AMBDFANF AE CD “ ,AN CECF 共点于P ,根据塞瓦定理可得：-BDDCAE AN CE ，BDBE、 AF BD BF CE AF , 1EA FBAE CD CE AM AN EDAAF BD BF FDA【练习创已知 CAN BCMABC 外有三点M 、N 、R ,且BAR ,CBM ABR , ACN ，证明：AM 、BN 、CR 三线共点；依三角形的角平分线定理可知：昱ACCK 、BM 、AN 三线共点，且为P 点 CP AB例3.设AD 是 ABC 的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任一点，BP 、CP 分别与AC 、 AB 交于 E 和 F ，贝U EDA = FDA证：过A 作AD 的垂线，与DE 、DF 的延长线分别交于M 、N 。

平面几何的几个重要定理

且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
上练习 1.如图 2， P 是正△ABC 外接圆的劣弧 BC
任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB＋PC．练习 2.（第 21 届全苏数学竞赛）已知正七边形 A1A2A3A4A5A6 A7 ,
平面几何──平面几何的几个重要定理
引入
梅涅劳斯定理
托勒密定理
塞瓦定理
课外思考
平面几何──平面几何的几个重要定理
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐，现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题. 平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质; 四个重要定理; 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点 ,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的等周问题: 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
1 1 1 求证： . A1 A2 A1 A3 A1 A4
平面几何的几个重要的定理
塞瓦定理：
设 P、Q、R 分别是 ABC的BC、CA、AB 边上的点 , 则 BP C Q AR AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是 : 1. PC QA RB A R
M
Q
B
应用西姆松定理

平面几何的著名定理

平面几何的著名定理浅谈1、勾股定理或勾股弦定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2。

2、射影定理（欧几里得定理）:直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下:(1)AD 2=BD 〃DC,(2)AB 2=BD 〃BC ,(3)AC 2=CD 〃BC 。

等积式(4)AB 〃AC=BC 〃AD ,(5) 22BC AB= CD AD 。

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点。

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点。

8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足为L ，则AH=2OL 。

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。

11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s ，s 为三角形周长的一半。

14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点。

平面几何中的几个重要定理

平面几何中的几个重要定理自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们，人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了几何学的历程.这里我们介绍几何学中的几个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。

一、塞瓦定理塞瓦（G ．Ceva 1647—1743），意大利著名数学家．塞瓦定理设为三边所在直线外一点，连接分别和的边或三边的S ABC ∆CS BS AS ,,ABC ∆延长线交于（如图1），则．R Q P ,,1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 证明（面积法）考虑到△ABS 与△ACS 有公共底边AS ，因此它们面积之比等于分别从顶点B 、C 向底边AS所引垂线长的比，而这个比又等于BP 与PC 之比，所以有P174同理可得三式相乘，即得··=··=1ABCSPQRBACSPQR1图与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理．塞瓦定理逆定理设为的边或三边的延长线上的三点（都在三边R Q P ,,ABC ∆R Q P ,,上或只有其中之一在边上），如果有，则三直线交于一点或互相平行． 1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP CR BQ AP ,, 证明因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上，不妨假定P 点在BC 边上。

若BQ 与CR 相交，设交点为S ，又设AS 和BC 的交点为P’，由塞瓦定理，应有··=1与已知条件中的式子比较，得=但由于点P 和P’同在BC 边上，所以P 和P ’重合，即三直线AP 、BQ 、CQ 交于一点。

P175若BQ 与CR 平行，则=.把它代入已知条件的式子中，**=1，RB AB QC AC PC BP QA CQ QCAC∴;BQ//PA 。

平面几何四大定理

平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯（Meｎelaus）定理（梅氏线）△AＢＣ得三边BＣ、ＣA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线得充要条件就是.塞瓦(Cｅvａ）定理（塞瓦点）△ＡBC得三边BＣ、CA、AB上有点P、Ｑ、R，则ＡP、BQ、ＣR共点得充要条件就是。

托勒密(Pｔｏlemy）定理四边形得两对边乘积之与等于其对角线乘积得充要条件就是该四边形内接于一圆。

西姆松（Ｓｉmson）定理（西姆松线)从一点向三角形得三边所引垂线得垂足共线得充要条件就是该点落在三角形得外接圆上。

例题：1．设AD就是△AＢC得边BC上得中线，直线CF交AD于F。

求证:。

【分析】CEF截△AＢD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明:过Ａ、Ｂ、D之一作C Ｆ得平行线。

2．过△AＢC得重心G得直线分别交AB、AＣ于Ｅ、F,交CB于D。

求证:。

【分析】连结并延长AＧ交ＢＣ于M，则M为BC得中点。

ＤEG截△ＡＢM→（梅氏定理）DGＦ截△ＡCＭ→(梅氏定理)∴===１【评注】梅氏定理3．D、E、Ｆ分别在△ABC得BＣ、ＣA、AB边上，,ＡD、BＥ、CF交成△LMＮ。

求S△ＬMN。

【分析】【评注】梅氏定理4．以△ABC各边为底边向外作相似得等腰△BCE、△ＣAF、△ABＧ。

求证：AE、BF、CＧ相交于一点。

【分析】【评注】塞瓦定理5．已知△ＡBC中,∠B＝２∠C。

求证：ＡC2=AB2+ＡB·BＣ。

【分析】过Ａ作BC得平行线交△ABC得外接圆于Ｄ,连结BD。

则CD＝ＤA=AB，AC=ＢＤ。

由托勒密定理，AC·BD＝AD·ＢC+CD·AB。

【评注】托勒密定理6．已知正七边形A１A2A3A4A5A6Ａ７.求证:。

(第21届全苏数学竞赛)【分析】【评注】托勒密定理7．△ABC得BC边上得高AD得延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交ＡC延长线于F.求证：BC·ＥF=BＦ·CE+BE·CＦ。

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S 二 CASS.1CBS=1平面几何中的几个重要定理自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们，人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了儿何学的历程.这里我们介绍儿何学中的儿个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。

一、塞瓦定理塞瓦（G. Ceva 1647—1743）,意大利著名数学家.塞瓦定理设S 为A/WC 三边所在直线外一点，连接AS,BS,CS 分别和\ABC 的边或三边的延长线交于P,Q,R （如图1）,则竺.丝.坐=1.PC QA RB证明（面积法）考虑到ACS 有公共底边AS,因此它们面积之比等于分别从顶点 B 、C 向底边AS 所引垂线长的比，而这个比乂等于BP 与PC 之比，所以有P174BP _ S^ABS PC Smcs同理可得CQ _ S 〉BCS QA S^BAS AR S^CAS . RB S^CBS三式相乘，即得BP . £Q . AR S 二A 〉- . S 隽usPC QA RB S iACS S^BASA平行.点或互相与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理.塞瓦定理逆定理设P,Q,R 为AABC 的边或三边的延长线上的三点（P,0R 都在三边证明因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上，不妨假定P 点在BC 边上。

若BQ 与CR 相交，设交点为S,又设AS 和BC 的交点为P',由塞瓦定理，应有BP CQ AR_ PC # QA # RB"1与已知条件中的式子比较，得BP BP ， PC"PrC但由于点P 和P'同在BC 边上，所以P 和P'重合，即三直线AP 、BQ 、CQ 交于一点。

平面几何的几个重要定理

这条直线叫西姆松线.
练习 1.设 ABC 的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F ;从点 D 作 AB、BE、CF、AC 的垂线,其垂足分别为 P、Q、R、S ,求证: P、Q、R、S 在同一条直线上.
思考(1999 年全国联赛第二试试题) 如图 , 在四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 平分 BAD , 在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于点 F,延长 DF 交 BC 于 G ,求证: GAC EAC .
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去,学着白重炙在单手附在金色の大门上,低头沉思片刻,而后跟着抬腿朝那漆黑の大门内走去. "砰！" 一条强劲の力量从大门内反震出来,风帝被直接震飞出去,砸在了泥土上,扬起一片尘土,他胡乱の将头顶上の泥土扫飞,脸上无比の幽怨,怨恨の瞪着那大门一眼,爬了起来,朝五帝山下冲去. "唰唰唰！" 当风帝の身影朝五帝山上狂奔而来の时候,十多万双眼睛同时锁定他の身影,云帝更是双眼亮得吓人,死地盯着风帝,全身衣袍发须在这一刻都无风自动,飘扬起来. "主人,夜,白重炙,他…走进去了！他走进了那座祭坛！" 风帝此等大事当然不敢乱报,人还未奔下来,就大叫了起来,有些急迫の声音在空旷の五帝山下响起,在沉默の十多万练家子耳中响起. "哗！" 宛如死水潭般沉寂の五帝山,在此刻却是犹如降下了一条惊雷,将这死水潭内水全部沸腾了起来. "好,好,好！" 云帝双手高高举起,用力の空中挥舞了三次,笑容满脸,那张长满褶皱の老脸在这一刻似乎年轻了数十万岁. 雨后和雷帝,在这一刻猛然睁开了眼睛,爆出道道精光,而后却是彼此对视一眼,却都发现了对方眼中无尽の苦涩… 十多万练家子在这一刻,身体乃至灵魂都为之一颤.无数人の眼睛在这一刻都微微湿润

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EP BP BK AC AC ~ BC ~ BE依分比定理有: KF _BK ^C~^E平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理:定理1：若直线1不经过4ABC的顶点，并且与JABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R,则BP CQ AR ,PC QA RB证：设心、h B＞处分别是八8、C到直线，的垂线的长度，贝土BP CQ AR h B h c h A宜,云•莓=元・瓦W = 1注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；在AK上，D是AC的中点，F是功5与CK的交点，证明：BF // CE.证：・.•在AEBC中，作ZB的平分线贝lj：ZEBC = ZACK/HBC = ZACEZHBC + ZHCB = ZACE + ZHCB = 90°即：BH 1CE/. AEBC为等腰三角形作BC上的高EP,贝U：CK = EP对于44CK和三点Z）、E、F依梅涅劳斯定理有:CD AE KF ]DA FC -工曰KF EK CK于是——=——=FC AEnnKF BKFC BE例1：若直角AABC中，CK是斜边上的高, CE是ZACK的平分线，E点•.・ AFKB = ACKE :.BF 〃 CE证：设直线P 。

与直线A3交于于是由定理［得:BP CQ AR _ f 长顽诙=1^CQAR =JPC QA RB则:备AR RB例 2 •点P 位于21A8C 的外接证：易得:注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘;定理2：设P 、Q 、R 分别是NABC 的三边BC 、CA 、AB 上或它们的延长线上的三点，并且P 、Q 、R 三点中，位于NABC 边上的点的个数为0或2,这时若里-^— = 7,PC QA RB求证：P 、Q 、R 三点共线；由于在同一直线上的P 、Q 、R'三点中，位于AABC 边上的点的个数也为。

或2, 因此A 与R'或者同在A3线段上，或者同在A8的延长线上;若A 与R'同在A 〃线段上，则A 与R'必定重合，不然的话， ^AR> AR ,4/?4 7?这时AB - AR < AB-AR,即BA < BR ,于是可得一^>生=BR BR、》1 AR 这与——=BRAR 手居 BR类似地可证得当A 与〃'同在A3的延长线上时，R 与R'也重合综上可得：P 、。