第4讲 二次根式(测)(精品解析版)

备战2021年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第4讲二次根式一．选择题1．（2020秋•朝阳区期末）计算（﹣）2的结果是（）A．﹣6 B．6 C．±6 D．36【思路点拨】根据二次根式的乘方法则计算即可．【答案】解：（﹣）2＝6，故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式的乘方，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．2．（2020春•钦北区期末）下列式子属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【思路点拨】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【答案】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；B、的被开方数中含有分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、8＝2×22，即被开方数中含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、45＝5×32，即被开方数中含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．（2020春•拱墅区期末）＝（）A．﹣4 B．±4 C．4 D．2【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【答案】解：＝4，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．（2019•临朐县一模）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【答案】解：由题意可知：∴x≤3且x≠1，故选：A．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．5．（2020秋•南岗区期末）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．＝C．＝D．﹣＝6【思路点拨】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【答案】解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项正确；D、原式＝5﹣＝4，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6．（2019秋•滦州市期末）下列二次根式的运算正确的是（）A．＝﹣5 B．C．D．【思路点拨】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【答案】解：A、原式＝5，所以A选项错误；B、原式＝＝，所以B选项正确；C、原式＝4，所以C选项错误；D、原式＝10×3＝30，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．7．（2019•洪山区模拟）等式成立的条件是（）A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则适用的条件列出不等式组解答即可．【答案】解：∵，∴，解得：x≥1．故选：A．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法法则，即•＝（a≥0，b≥0）．8．（2020•绵阳模拟）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．【思路点拨】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．【答案】解：∵有意义，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴＝﹣a．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．9．（2019•南岸区校级模拟）按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（）A．7 B．11﹣6 C．1 D．11﹣3【思路点拨】利用运算程序计算即可．【答案】解：9÷3﹣＝3﹣＞1，（3﹣）（3+）＝9﹣2＝7．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．二．填空题10．（2020•温岭市校级一模）当x＜1时，有意义．【思路点拨】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【答案】解：∵有意义，∴x﹣1＜0，解得x＜1．故答案为：＜1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解答此题的关键．11．（2020•虹口区二模）化简：＝．【思路点拨】根据二次根式的性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是|1﹣|，然后再去绝对值．【答案】解：因为＞1，所以＝﹣1故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，其中必须符合二次根式的性质．12．（2020秋•香坊区期末）化简﹣3的结果为．【思路点拨】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【答案】解：原式＝2﹣＝．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．13．（2020春•安定区期末）计算：的结果为1．【思路点拨】先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可．【答案】解：原式＝3××，＝3×，＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了对二次根式的乘除法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力．14．（2020春•肇州县期末）计算：（﹣2）2019×（+2）2020＝﹣2﹣．【思路点拨】直接利用积的乘方运算法则化简得出答案．【答案】解：原式＝[（﹣2）×（+2）]2019×（+2）＝﹣2﹣．故答案为：﹣2﹣．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．15．（2019春•南昌期末）若＝1﹣a，则a的取值范围为a≤1．【思路点拨】根据二次根式的性质可知，开方结果≥0，于是1﹣a≥0，解即可．【答案】解：∵＝1﹣a，∴1﹣a≥0，∴a≤1，故答案是a≤1．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键时注意开方结果的取值是≥0．16．（2019•温岭市一模）若a，b都是实数，b＝+﹣2，则a b的值为4．【思路点拨】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．【答案】解：∵b＝+﹣2，∴1﹣2a＝0，解得：a＝，则b＝﹣2，故a b＝（）﹣2＝4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．三．解答题17．（2019春•椒江区期末）计算：（1）﹣4+；（2）（2﹣）（2+）+（﹣3）÷．【思路点拨】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式和二次根式的除法法则运算．【答案】解：（1）原式＝2﹣2+2＝2；（2）原式＝4﹣3+﹣3＝1+3﹣3＝4﹣3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．18．（2020•于都县模拟）化简：2﹣（2+3）（2﹣3）+【思路点拨】首先利用平方差公式和绝对值的性质去掉括号，然后化简为最简二次根式，接着合并同类根式即可求解．【答案】解：2﹣（2+3）（2﹣3）+＝2×﹣（2）2+（3）2+2﹣＝﹣12+18+2﹣＝8．【点睛】此题这样考查了二次根式的混合运算，计算的关键是化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．19．（2020春•禹城市期末）（1）计算：4÷﹣+5﹣×；（2）先化简，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣8）其中a＝+．【思路点拨】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；（2）根据平方差公式和单项式乘多项式可以解答本题．【答案】解：（1）4÷﹣+5﹣×＝4﹣2+﹣＝4﹣2+﹣4＝﹣；（2）（a﹣）（a+）﹣a（a﹣8）＝a2﹣2﹣a2+8a＝8a﹣2，当a＝+时，原式＝8×（+）﹣2＝8．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．20．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条．【思路点拨】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答．【答案】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．【点睛】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．21．（2020春•广丰区期末）化简：．【思路点拨】根据二次根式的性质把原式化简为|x+2|+|x﹣2|，再令x+2＝0，x﹣2＝0分别求出x的值，再根据x的取值范围进行化简即可．【答案】解：，＝|x+2|+|x﹣2|，当x≤﹣2时，x+2≤0，x﹣2≤0，∴|x+2|+|x﹣2|＝﹣x﹣2﹣x+2＝﹣2x；当﹣2＜x≤2时，x+2＞0，x﹣2≤0，∴|x+2|+|x﹣2|＝x+2﹣x+2＝4；当x＞2时，x+2＞0，x﹣2＞0，∴|x+2|+|x﹣2|＝x+2+x﹣2＝2x．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．22．（2019•随县模拟）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：7+4＝（2+1）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？【思路点拨】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n 表示a、b；（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．【答案】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，∴7+4＝（2+）2，（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，∵a、m、n均为正整数，∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，∴a的值为12或28．故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．23．（2020春•防城区期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（1）按照右侧的解法，试化简：﹣（）2．化简：（）2﹣|1﹣x|解：隐含条件1﹣3x≥0解得x≤∴1﹣x＞0∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣|b﹣a|；（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++．【思路点拨】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；（2）由a、b在数轴上的位置判断出a+b＜0、b﹣a＞0，再利用二次根式的性质化简即可得；（3）由三角形三边间的关系得出a﹣b﹣c＜0、b﹣a﹣c＜0、c﹣b﹣a＜0，再利用二次根式的性质化简可得．【答案】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝﹣（x﹣3）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质＝|a|及三角形三边间的关系等知识点．11。