二次函数考点研究及复习建议

内江市东兴区永东乡中心学校数学组唐永忠

尊敬的各位领导、老师们：大家好！

我来自于内江市东兴区永东乡中心学校，上学期期末统考成绩平均分107.19分，排名全区第一。非常感谢市教科所组织初三毕业班研讨会给我这样一个展示交流的平台，今天我讲解的题目为：《二次函数考点研究及复习建议》，敬请各位同仁批评指正：

二次函数是初中数学函数中重要的基础概念之一，也是初中数学函数中最重要的基本概念之一。学习函数所涉及到的数学思想和方法，对学习好数学起着重要的作用。课本以二次函数这个重要的函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法，并通过这个二次函数有关知识的复习与提高，来沟通初中与高中数学函数内容的内在联系，实现由初中数学向高中数学函数的平稳过渡，这是完全必要的。

个人认为，二次函数在学习的不足之处主要有以下几个方面：

（1）函数的抽象能力不强。只知道二次函数的一般式，而不知道其他两种形式，尤其是顶点式，不习惯于借助对称轴的位置进行研究。《课程标准》没有要求用配方法而是会根据公式确定图像的顶点，且顶点公式不要求记忆和推导。不会通过配方法求二次函数的顶点坐标和最值。

（2）解方程的能力差。二次函数在解题过程中往往可转化为一元二次方程、三元一次方程组（又是选学内容）、二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等内容在初中课程标准中不要求。

（3）配方法在初中学习中落实不够。配方法只是在解一元二次方程推导求根公式和用配方法求二次函数的顶点坐标公式时出现过。专门用配方法解决问题的练习不多。

（4）课本中将待定系数法安排在选学内容。用待定系数法求二次函数的解

析式的问题中，已知图象上的三点，其中一点必在y轴上。

下面就六个方面提出自己的个人意见，仅供参考：

一、熟悉考纲要求

1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式y＝ax2＋bx＋c，并体会二次函数的意义

2．会用描点法（三点坐标）画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．

3．会根据公式（配方法或公式法）将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，确定图象的顶点（h,k）,开口方向（a>0向上，a<0向下）和对称轴（x=h）(公式不要求记忆和推导,但要根据学生基础进行演示)，并能解决简单的实际问题．

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解（如：x2-1=x）．

5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

二、应考策略：

1、深刻理解二次函数的概念，会用描点法画二次函数图象。

2、能根据二次函数图象特征概括二次函数的性质。

3、理解二次函数与一元二次方程的关系，会用图象解一元二次方程。

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点横坐标就是y＝0时自变量x的取值，即是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．

4、(1)会用待定系数法求解析式（三种形式）

A、已知图象上三点，选一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

B、已知顶点或对称轴，选顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；

C、已知图象与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)，选交点式：y＝a(x－x1)(x－

x2)(a≠0)．

（2）用配方法或公式法求抛物线顶点坐标。y=a(x+b/2a) 2+(4ac-b2)/4a

（3）抛物线的顶点常见的几种变动方式：

A、开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反；

B、两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；

C、两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变．

5、重视二次函数与实际问题能构建函数模型解决反映时代气息的实际问题。

6、对于二次函数与其它知识的综合应多加练习。

三、近三年内江市二次函数考题分析

1、2010年中考附加题第7题（12分）

如图，抛物线y=mx2-2mx-3m(m>0)

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数

式表示），A、B两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不

变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？

若存在，请求出；如果不存在，请说明

【考点】考查了数型相结合理解二次函数的图象与性质，三角形的性质，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状以及解一元二次方程，根与系数之间的关系，用待定系数法求二次函数解析式。

2、2011年中考第28题（12分）

如图抛物线y=1/3x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，—1）．且对称抽x=1．

（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存

在．说明理由（使用图1）；

（3）点Q在y轴上，点P在抛

物线上，要使Q、P、A、B为

顶点的四边形是平行四边形，请

求出所有满足条件的点P的坐

标（使用图2）．

【考点】此题考查了用待定系数

法求二次函数解析式，数型相结合的思想结合四边形面积的特点求动点坐标，解一元二次方程，利用平行四边形的性质、识别求点坐标，运用了三角形全等等问题，同时着重考查了学生动手操作能力，分析能力。

3、（1）2012年中考选择题第12题（3分）

如图5，正的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为（）

【解析】：如图5，当点P沿的方向运动时，直观观察CP的长度变化知：变小、变大、变小，从而图像应该先下降，后上升，下降，从而淘汰A,B；对比C,D，注意到为二次函数，图像应为曲线，故选择C

【考点】：本题考查函数的应用，对问题的宏观认识，以及将实际问题转化为数学问题的能力。

（2）2012年中考解答题第28题（12分）

如图14，已知点A（—1，0），B （4，0），点

C在y轴的正半轴上，且∠ACB=900抛物线

y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M.

（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位

置关系，并加以证明；

=4?

（3）在抛物线上是否存在点N，使得S

△BCN

如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，

请说明理由。

【考点】：本题考查了三角形相似的判定和性