高中数学人教A选择性必修一第三章微专题4 圆锥曲线的离心率

圆锥曲线重点 3：圆锥曲线的离心率问题 - 解析

微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。

主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有：椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可）方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率【解析】在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。

高中数学圆锥曲线离心率解法汇总

高中数学圆锥曲线离心率解法汇总
椭圆离心率求解方法主要有：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式方程，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c或b 的值，c值就是离心率
【第一讲】离心率基础
【第二讲】利用椭圆第一定义求离心率
【第三讲】焦点三角形与余弦定理
【第四讲】顶角直角三角形型
【第五讲】焦半径与第二定义
【第六讲】第三定义与中点弦
【第七讲】焦点三角形：双底角型
【第八讲】焦点三角形：双余弦定理型
【第九讲】焦点弦与定比分点
【第十讲】焦点圆
【第十一讲】椭圆与圆
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新教材人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程讲义(知识点考点汇总及配套习题)

第三章圆锥曲线的方程3.1 椭圆 ................................................................................................................................ - 1 -3.1.1 椭圆及其标准方程 .............................................................................................. - 1 - 3.1.2 椭圆的简单几何性质 ........................................................................................ - 12 -第1课时椭圆的简单几何性质 ........................................................................ - 12 - 第2课时椭圆的标准方程及性质的应用 ........................................................ - 23 -3.2 双曲线 .......................................................................................................................... - 35 -3.2.1 双曲线及其标准方程 ........................................................................................ - 35 - 3.2.2 双曲线的简单几何性质 .................................................................................... - 46 - 3.3 抛物线 .......................................................................................................................... - 60 -3.3.1 抛物线及其标准方程 ........................................................................................ - 60 - 3.3.2 抛物线的简单几何性质 .................................................................................... - 70 - 章末复习 ............................................................................................................................... - 82 -3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程2008年9月25日211．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．()(3)方程x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．()[提示](1)×(2)√(3)×2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [由椭圆方程知a 2＝25，则a ＝5，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100＋y 236＝1B ．y 2400＋x 2336＝1C ．y 2100＋x 236＝1D ．y 220＋x 212＝1C [由条件知，焦点在y 轴上，且a ＝10，c ＝8，所以b 2＝a 2－c 2＝36，所以椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1.]4．方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．(－6，－2)∪(3，＋∞) [由a 2＞a ＋6＞0得a ＞3或－6＜a ＜－2.]【例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142.[解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16b 2＝1. 又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)或整式形式mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．[跟进训练]1．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16 ①. 又点(3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋(15)2b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1 ②.由①②得a 2＝36，b 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1.又椭圆过点(3，15)，将x ＝3，y ＝15代入方程得925＋λ＋159＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.【例2】 (1)已知椭圆x 216＋y 212＝1的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝( )A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[思路探究] (1)借助PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点，所以PF 2⊥x 轴，再用定义和勾股定理解决．(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程，通过解方程求解．(1)C (2)335 [(1)依题意知，线段PF 1的中点在y 轴上，又原点为F 1F 2的中点，易得y 轴∥PF 2，所以PF 2⊥x 轴，则有|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，又根据椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，即|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ②由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．1．本例(2)[探究问题]1．用定义法求椭圆的方程应注意什么？[提示]用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.2．利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？[提示] (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP中点Q 的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．(1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1，所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1.](2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， ∴|CM |＋|MA |＝5.∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1 ，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．[跟进训练]2．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)．利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)． (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标．(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m＞n ＞0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．3．椭圆上的点P 与两焦点F 1，F 2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F 1PF 2＝θ，如图．(1)当点P 与B 1或B 2重合时，∠F 1PF 2最大． (2)焦点△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )． (3)|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，且当P 与B 1或B 2重合时，面积最大．4．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点法)．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为2a －2＝2×5－2＝8.] 2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y 24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＞12且m ≠1[由方程x 2m ＋y22m －1＝1表示椭圆，得⎩⎨⎧m ＞0，2m －1＞0，m ≠2m －1，解得m ＞12且m ≠1.]4．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．x 225＋y 29＝1 [如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.]5．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然1．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？[提示]不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. ()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. ()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()[提示](1)×(2)√(3)√2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A．x29＋y24＝1B．y29＋x24＝1C．x29－y24＝1 D．y29－x24＝1A[由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.]3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，3)，则椭圆的标准方程是________．x2＋y24＝1[依题意得2a＝4b，c＝3，又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋y24＝1.]4．设椭圆x225＋y2b2＝1(0＜b＜5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率的值为________．35[由条件知2×5＋2c＝4b，即2b＝c＋5，又a2－b2＝c2，a＝5解得b＝4，c＝3.∴离心率e＝ca＝35.]【例1】(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与椭圆xa2＋yb2＝λ(λ＞0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．(1)C[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.](2)[解]把已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，所以a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝ca＝74；两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同的离心率．[思路探究](1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1F A2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2，设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆的方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．提醒：与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝k 1(k 1>0，焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b2＝k 2(k 2>0，焦点在y 轴上)．[跟进训练]1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．[解] 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m＝1，2m ＝3·2n 或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3·2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝9n ＝1或⎩⎨⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆 ................................................................................................................................ - 1 -3.1.1椭圆及其标准方程.............................................................................................. - 1 -3.1.2椭圆的简单几何性质.......................................................................................... - 7 -3.2双曲线 .......................................................................................................................... - 20 -3.2.1双曲线及其标准方程........................................................................................ - 20 -3.2.2双曲线的简单几何性质.................................................................................... - 26 -3.3抛物线 .......................................................................................................................... - 33 -3.3.1抛物线及其标准方程........................................................................................ - 33 -3.3.2抛物线的简单几何性质.................................................................................... - 38 - 3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)；(3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142. [解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16b 2＝1. 又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)或整式形式mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．椭圆中的焦点三角形【例2】 (1)已知椭圆x 216＋y 212＝1的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝( )A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[思路探究] (1)借助PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点，所以PF 2⊥x 轴，再用定义和勾股定理解决．(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程，通过解方程求解．(1)C (2)335 [(1)依题意知，线段PF 1的中点在y 轴上，又原点为F 1F 2的中点，易得y 轴∥PF 2，所以PF 2⊥x 轴，则有|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，又根据椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，即|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ②由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求解．1．本例(2)中，把“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠PF 1F 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积．[解] 由椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2. 从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32. 故所求△PF 1F 2的面积为32.2．本例(2)中方程改为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝120°”，若△PF 1F 2的面积为3，求b 的值．[解] 由∠F 1PF 2＝120°，△PF 1F 2的面积为3，可得12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝34|PF 1|·|PF 2|＝3，∴|PF 1||PF 2|＝4.根据椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a .再利用余弦定理可得4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 120°＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4，∴b 2＝1，即b ＝1.与椭圆有关的轨迹问题1．用定义法求椭圆的方程应注意什么？[提示] 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c .2．利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？[提示] (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．[思路探究](1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．(1)x2＋y22＝1[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又x204＋y208＝1，所以(2x)24＋(2y)28＝1，即x2＋y22＝1.](2)[解]由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，∴|CM|＋|MA|＝5.∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝52，c＝1 ，∴b2＝a2－c2＝254－1＝214.∴所求点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1，即4x225＋4y221＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．由椭圆方程研究几何性质【例1】(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与椭圆x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．(1)C[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.](2)[解]把已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，所以a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝ca＝7 4；两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．1．本例(1)中把方程“x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0且λ≠1)”改为“x2a2＋λ＋y2b2＋λ＝1(λ≠0)”，结果会怎样呢？A[由于a＞b，∴方程x2a2＋λ＋y2b2＋λ＝1中，c2＝(a2＋λ)－(b2＋λ)＝a2－b2.焦点与x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点完全相同．而因长轴长，短轴长发生了变化，所以BCD均不对，只有A正确．] 2．本例(2)中，把方程改为“16x2＋9y2＝144”，结果又会怎样呢？[解]把方程16x2＋9y2＝144化为标准形式得y216＋x29＝1.知椭圆的焦点在y轴上，这里a2＝16，b2＝9，∴c2＝16－9＝7，所以椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长为2a＝2×4＝8，短轴长为2b＝2×3＝6，离心率：e＝ca＝74，焦点坐标：()0，±7，顶点坐标：(0，－4)，(0,4)，(－3,0)，(3,0)．由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.由几何性质求椭圆的方程(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同的离心率．[思路探究](1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1F A2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.(3)法一：由题意知e2＝1－b2a2＝12，所以b2a2＝12，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为x22b2＋y2b2＝1或y22b2＋x2b2＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得12b2＋4b2＝1或42b2＋1b2＝1，解得b2＝92或b2＝3.故所求椭圆的方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.法二：设所求椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)，将点M的坐标。

高考数学中圆锥曲线的离心率求解方法与技巧

高考数学中圆锥曲线的离心率求解方法与技巧【核心考点回顾】1.椭圆的定义1：平面内与两个定点1F 、2F 的距离和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距；若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=.定义2：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。

（1）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 图形顶点),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦点)0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦距)0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁）通径22b a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）（2）常用结论：①椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=②设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是，=||PQ 。

x O F 1F 2 PyA 2A 1B 1B 2 xO F 1 F 2 Py A 2 B 2 B 1A 12. 双曲线的定义：平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。

圆锥曲线的离心率

圆锥曲线的离心率作者：刘娜来源：《中学生数理化·高考使用》2019年第04期考虑“焦点准线”观点下的圆锥曲线定义。

定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点;定直线称为圆锥曲线的准线;固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率;焦点到准线的距离称为焦准距;焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。

过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径。

一、椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。

定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

二、双曲线（其中一支）文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则 ||PFl| -| PF2||=2a）。

定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

三、抛物线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比等于1。

定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。

分析：设右焦点F（c，0），将y=b/2代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，结合离心率公式，计算即可得到所求值。

此题还可以运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算也可得到所求值。

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题。

点评：本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直时斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大。

为了方便，可以先确定一个参数的值。

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法。

人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程本章综合

2
的方程为 9 +y2=1.
所以椭圆 C
= + 2,
由 2
得 10x2+36x+27=0.
2
+ = 1,
9
因为该一元二次方程的 Δ>0,所以点 A,B 不同,
18
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- 5 ,
2
y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=5,
故线段 AB 的中点坐标为
证:|AN|·|BM|为定值.
3

3
即 = 2 ,△OAB 的面积为 1 即
1
= 1 ,椭圆中 a2=b2+c2 列方程组进行求解;(2)根据已知条件分别
思路分析:(1)根据离心率为 2
2
求出|AN|,|BM|的表达式,求其乘积为定值.
解:(1)由题意得

3
=
,

2
1
= 1,
2
= 2,
椭圆中的最值与范围问题
例 3 如图,点 A,B
2
分别是椭圆36
+
2
=1
20
长轴的左、右端点,点 F 是椭
圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d
的最小值.
思路分析:(1)设出点P坐标,然后根据点P在椭圆上以及PA⊥PF,建立方程组求解;(2)根据两
,
0 -2
从而|BM|=|1-yM|= 1 +

人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》小结课件

9 16
规律
椭圆、双曲线标准方程求法：一定型，二定量。最后再验完备性。
训练1：已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点, 线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程是
解析:如图所示,因为 l 是 PA 的垂直平分线, 所以|PQ|=|AQ|,|QA|+|QC|=|QC|+|QP|=10, 所以 Q 点的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆,且 2a=10,c=3, 所以 a=5,b=4.故所求的椭圆方程为 x2 + y2 =1.
k x2 k y2 1 8
x2 y2 ＝1 18
又： a b 0
kk
y2
x2
抛物线y ax2 a 0的焦应点：坐y2 标 x2
＝1
8 1
1
a b
焦点坐标是: 0,
焦点坐标 ba
F
0,
1 4a
8 k
k 1
k
9
k
k 1
练透基点，研通难点
问题三：焦点三角形
在焦点三角形PF1F2中，令 PF1 ＝r1,令 PF2 ＝r2
2
4
由焦点弦公式可得|AD|=x1+x2+p=3+1=4, 则|AB|+|CD|=|AD|-2R=4-1=3.
答案:3
问题二：方程形式
基本方法重温
①椭圆 a x2 b y2 a b 0 (a b 0) ②双曲线8k x2 k y2 8 的一个焦点为0，3
的焦点坐标 .
求k值 .
a x2 b y2 a b x2 y2 ＝1 b a
主干知识理
标准方程与几何性质

高中数学中的圆锥曲线的离心率

高中数学中的圆锥曲线的离心率圆锥曲线是高中数学中的重要概念之一，它包括椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线在几何学和物理学中都有广泛的应用，而离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数。

本文将探讨高中数学中的圆锥曲线的离心率及其应用。

首先，我们来了解一下离心率的定义。

离心率是描述椭圆、双曲线和抛物线形状的一个量，它用e表示。

对于椭圆和抛物线，离心率的取值范围是0到1之间，而对于双曲线，离心率的取值范围大于1。

离心率越接近于0，表示椭圆或抛物线越圆；离心率越接近于1，表示椭圆或抛物线越扁；离心率大于1，表示双曲线的形状越尖。

接下来，我们来看一下椭圆的离心率。

椭圆是一个闭合曲线，它的形状类似于拉长的圆。

椭圆的离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度的比值。

当离心率为0时，椭圆退化成为一个圆；当离心率为1时，椭圆退化成为一个线段。

椭圆的离心率越接近于1，椭圆的形状越扁。

然后，我们来看一下双曲线的离心率。

双曲线是一个开口的曲线，它的形状类似于两个分离的支架。

双曲线的离心率定义为焦点之间的距离与两个焦点到曲线的距离之和的比值。

当离心率等于1时，双曲线退化成为一个抛物线。

双曲线的离心率越大，曲线的形状越尖。

最后，我们来看一下抛物线的离心率。

抛物线是一个开口向上或向下的曲线，它的形状类似于开口的U形。

抛物线的离心率定义为焦点到曲线的距离与焦点到准线的距离的比值。

当离心率等于0时，抛物线退化成为一条直线。

抛物线的离心率越接近于1，曲线的形状越尖。

离心率在几何学和物理学中有着广泛的应用。

在几何学中，离心率可以用来描述圆锥曲线的形状，帮助我们理解和分析曲线的特性。

在物理学中，离心率可以用来描述行星轨道的形状，帮助我们研究行星运动的规律。

此外，离心率还可以应用于工程学、天文学等领域。

总结起来，离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它可以用来区分椭圆、双曲线和抛物线，并帮助我们理解和分析曲线的特性。

离心率在几何学和物理学中有着广泛的应用，对于深入理解圆锥曲线及其应用具有重要意义。

第三章圆锥曲线的方程知识点汇总高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

一、椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为．(1)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数>|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为． (2)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数＝|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为． (3)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数<|F 1F 2|时，动点M 的轨迹不存在．二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0) 图形焦点与与a ，b ，c 的关系c 2＝1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0) y 2a 2＋x2b2＝1(a>b>0) 轴长短轴长|B 1B 2|＝，长轴长|A 1A 2|＝焦点 F 1 ，F 2F 1 ，F 2焦距 |F 1F 2|＝2c范围对称性对称轴为，对称中心为顶点离心率e ＝ca(0<e<1) 第三章圆锥曲线的方程第一部分椭圆2.离心率的性质四、直线与椭圆的位置关系1.直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程.位置关系解的个数 Δ的取值相交解 Δ 0 相切解 Δ 0 相离解Δ 02.弦长公式当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两个不同的长点，则弦公式的常见形式有如下几种：(1)|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|； (2)|AB|＝ 1＋1k 2|y 1－y 2|(k ≠0)；(3)|AB|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]； (4)|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2]（k ≠0）.3.中点弦斜率公式：设M(x 0,y 0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的弦AB 的中点(弦AB 斜率存在)，请利用“点差法”推导k AB = - b 2x 0a 2y 0.结论：焦点在x 轴上: x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) ，弦中点M(x 0,y 0)，中点弦斜率公式： k AB= - b 2x 0a 2y 0焦点在y 轴上:y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0) ，弦中点M(x 0,y 0)，中点弦斜率公式： k AB = - a 2x 0b 2y 04.焦半径：焦点弦：通径：一、双曲线的定义1.定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的等于非零常数( )的点的轨迹叫做双曲线．焦点：两个定点；焦距：的距离，表示为|F 1F 2|.2.双曲线就是下列点的集合：P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a<|F 1F 2|}．注意：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a 。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《圆锥曲线中离心率的相关问题（求值、取值范围）》

圆锥曲线中离心率的相关问题——求值、取值范围(或最值)授课时间：2021年5月4日一.近五年高考考查概况二.问题分析与策略求圆锥曲线的离心率的值、取值范围(或最值)，是解析几何中的重点、难点，它也是历年高考中考查的热点之一. 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率也同时会渗透于各类题型中。

这类问题通常有以下两类：一是根据条件利用定义直接求椭圆、双曲线的离心率；二是根据一定条件求椭圆、双曲线离心率的取值范围(或最值). 无论是哪类问题，一般都要采用以下方法与策略：一个关键：寻求建立之间(或其中两者)的一个等式或不等式；二个切入：从“形〞入手、从“数〞下手；三个方向：从圆锥曲线的定义思考、从几何图形的性质出发、从方程(或不等式)的角度落笔；四种工具：平面几何根底知识、平面向量知识、三角函数、根本(重要)不等式；五种思想：数形结合思想、方程思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想.三.题型分类与讲解1.利用定义求离心率例 1.(宁夏银川一模)椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，为坐标原点，假设，且，那么该椭圆的离心率为〔〕【变式练习1-1】双曲线左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，，那么该双曲线的离心率为〔〕例2.椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆交于两点，假设是以为直角顶点的等腰三角形，那么椭圆的离心率为〔〕【变式练习2-1】双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，假设是以为直角顶点的等腰三角形，那么=〔〕【变式练习2-2】如右图所示，点是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，且是以为直角顶点的等腰三角形，那么该双曲线的离心率是〔〕例全国3卷，11题，5分)为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点. 为上的一点，且轴. 过点的直线与线段交于点，与轴交于点. 假设直线经过的中点，那么的离心率为〔〕2.求离心率的取值范围例4.〔1〕【显性不等关系】双曲线的右焦点为，假设过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支没有公共点，那么此双曲线离心率的取值范围为 .〔2〕【隐性不等关系】(2021湖北七市联考)双曲线的左右焦点分别为，假设双曲线存在一点使，那么该双曲线的离心率的取值范围为 .点，假设，那么该椭圆的离心率的取值范围为 .思路1：利用图形的几何特性思路2：利用根本(重要)不等式思路3：利用三角函数的有界性思路4：利用一元二次方程课后稳固练习1.为双曲线的左右焦点，为原点，点为双曲线上一点，且，成等比数列，那么双曲线的离心率〔〕2.改编：(2021江西八校联考，9)圆圆椭圆，，且. 假设圆都在椭圆内，那么椭圆离心率的最大值是〔〕3.(2021湖南十校联考，11)设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点，为该双曲线的右焦点. 假设，那么该双曲线的离心率的取值范围是〔〕4.(2021全国卷1，15)双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点. 假设，那么的离心率为 .5.(1)为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，那么椭圆的离心率的取值范围为 .(2)为双曲线的左右焦点，假设为双曲线上一点，且，那么双曲线的离心率的取值范围为 .。

数学人教A版(2019)选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质(离心率)(共23张ppt)

H
M
二、合作探究：
动点M
(x0 ,
y0 )与定点 F2 (c,0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的距离的比是
常数
c a
，F1 (c,0),
(a
0, c
0).求1）、| MF2
|,
|
MF1
|
2）、求
|
MF2
|，| MF1
| 的取值范围
B2
解：1)、由题意的| MF2 | c | MH | a
H
M
2a 3
| PF2 | c a
2a c a 3
e c 5 ,e 1 a3
1 e 5 3
课堂练习：
1.已知双曲线
x2 100
y2 25
1的左、右焦点分别为
F1，F2，点
P
在
双曲线的右支上，求|PF2|的最小值
解：设P( x0 , y0）x0 [10,) a 2 100, b2 25 c2 a2 b2 125
两个定点叫做双曲线的焦点；
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，记为2c.
M
2.标准方程：
焦点在
x轴：x a
2 2
y2 b2
1(a 0,b 0)
F1 M
F2
焦点在
y轴：y a
2 2Βιβλιοθήκη x2 b21(a0, b
0)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
方程范围顶点离心率
渐进线特征量
x2 a2
y2 b2
1 (a
| PF1 | | PF2 | （| PF2 | | PF2 |）2
| PF1 |2 | PF2 |2 2 | PF2 | 4