2015-2016学年高中数学 1.1回归分析的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修1-2

[解 ]
(1)根据表中数据画出散点图，如图所示．
由图可看出，这些点在一条直线附近，可以用线性回 归模型来拟合数据．计算得加工时间对零件数的线性回归 方程为^ y ＝0.668x＋54.93.
残差数据如下表： 编号 残差 编号 残差 1 0.39 6 －0.01 2 －0.29 7 0.31 3 0.03 8 －0.37 4 －0.65 9 －0.05 5 0.67 10 0.27
[解] 作出变量y与x之间的散点图如图所示．
由图可知变量 y 与 x 近似地呈反比例函数关系． k 1 设 y＝x，令 t＝x，则 y＝kt.由 y 与 x 的数据表可得 y 与 t 的数据表：
t y 4 16 2 12 1 5 0.5 2 0.25 1
作出y与t的散点图如图所示．
由图可知 y 与 t 呈近似的线性相关关系． 又 t ＝1.55， y ＝7.2， tiyi＝94.25， t2 i ＝21.312 5，
(2)求回归方程； (3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？ [解 ] (1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，作散点图 如图所示：
从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性 相关． (2)列出下表，并用科学计算器进行计算：
i xi yi 1 104 100 2 180 200 36 000 3 4 5 6 7 150 170 25 500 8 191 205 39 155 9 204 235 47 940 10 121 125 15 125 190 177 147 134 210 185 155 135 39 32 22 18 900 745 785 090
线性回归分析
[导入新知] 1．残差分析 (1)残差： 样本点(xn，yn)的随机误差 ei＝ yi－bxi－a ，其估计值为^ e
^ ^ ^ y － b x － a i i ＝ y － y ＝ i i i
，^ e i 称 为 相 应 于 点 (xi ， yi) 的 残 差
(residual)．(以上 i＝1,2，…，n) (2)残差图： 作图时，纵坐标为 残差 ，横坐标可以选为样本编号，或 xi 数 据，或 yi 数据，这样作出的图形称为残差图．
i＝1 i＝1
i＝1
y i2 yi－^
5
5
R2＝1－
≈0.994，
i＝1
y 2 yi－－
所以回归模型的拟合效果很好.
非线性回归分析 [例3] 如下表： x y 0.25 16 0.5 12 1 5 2 2 4 1 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值
试建立y与x之间的回归方程．
他原因． (2)残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需
要考虑所采用的线性回归模型是否合适．
线性回归分析 [例1] 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少
直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼 时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如
^ a ＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是^ y ＝－1.15x＋28.1.列出残差表：
yi－^ yi yi－ y
5
0 4.6
2
0.3 －0.4 2.6 －0.4
5
－0.1 －2.4
0.2 －4.4
所以 (yi－^ y i) ＝0.3， (yi－－ y )2＝53.2，
t/s 0 1 U/V 100 75
2 55
3 40
4 30
5 20
6 15
7 10
8 10
9 5
10 5
试求：电压U对时间t的回归方程．(提示：对公式两边取自然
对数，把问题转化为线性回归分析问题)
解：对 U＝Aebt 两边取对数得 ln U＝ln A＋bt，令 y＝ln U，a ＝ln A，x＝t，则 y＝a＋bx，y 与 x 的数据如下表：
2．线性回归模型 (1)线性回归模型y＝ bx＋a＋e ，其中 a 和 b 是模型的 未知参数， e 称为随机误差．自变量x称为 解释变量 ，因变 量y称为 预报变量 ．
(2)在回归方程^ y ＝^ b x＋^ a 中，
i＝1
xiyi－n x y xi2－n x 2
n
n
^ b＝
i＝1
xi－ x yi－ y xi－ x 2
1.1
回归 分析 的基 本思 想及 其初 步应 用
1 理解教 材新知
知识点一
知识点二
题型一 题型二 题型三
第 一 章
2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验
随堂即时演练 课时达标检测
1.1
线性回归方程
[导入新知] 1．回归分析 (1)函数关系是一种 确定性 关系，而相关关系是一种 非确定性 关系，即自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定的随机性的两个变量之间的关系叫做 相关关系 ． (2)回归分析是对具有 相关 关系的两个变量进行统计分析 的一种常用方法，回归分析的基本步骤 是 画出两个变量的散点图 ， 求回归直线方程 ，并用 回归直线方程 进行预报．
(3)残差分析：
残差分析即通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断
所建立模型的拟合效果，其步骤为：计算残差——画残差 图——在残差图中分析残差特性． 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的 模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合
越高 精度
越高 ，回归方程的预报精度
．
2．相关指数 我们可以用相关指数 R2 来刻画回归的效果，其计算公式是：
下表所示：
10 18 19 17 14 13 15 19 20 12 4 0 0 7 7 4 0 1 4 1 10 20 21 18 15 13 17 20 23 12 y(min) (1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的 0 0 0 5 5 5 0 5 5 5 一般规律吗？
x(0.01%)
[类题通法] 求线性回归方程的步骤 (1)列表表示 xi，yi，xiyi； (2)计算－ x
n 2 － y ， xi ， xiyi； i＝1 i＝1

n

(3)代入公式计算^ a ，^ b 的值； (4)写出回归直线方程．
[活学活用]
某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百
万元)之间有如下对应数据： x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
n
n
＝
i＝1
bx ，^ a ＝ y －^
.
1n 1n xi yi n n 其中 x ＝ i＝1 ，y ＝ i＝1
i ＝1
, ( x ，y )称为样本点的 中心
．
[化解疑难] 线性回归方程中系数^ b 的含义 (1)^ b 是回归直线的斜率的估计值，表示 x 每增加一 个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数． (2)当^ b ＞0 时， 变量 y 与 x 具有正的线性相关关系； 当^ b ＜0 时，变量 y 与 x 具有负的线性相关关系.
[类题通法]
非线性回归分析的步骤 非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画 出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函 数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好 的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析 问题，使之得到解决．其一般步骤为：
[活学活用] 某电容器充电后，电压达到 100 V，然后开始放电，由经验知 道， 此后电压 U 随时间 t 变化的规律用公式 U＝Aebt(b＜0)表示， 现测得时间 t(s)时的电压 U(V)如下表：
(1)试根据数据预报广告费支出1 000万元的销售额； (2)若广告费支出1 000万元的实际销售额为8 500万元，求误 差．
解：(1)从画出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近， 可以建立销售额 y 对广告费支出 x 的线性回归方程．由题中数据 计算可得－ x ＝5，－ y ＝50，由公式计算得^ b ＝6.5，^ a ＝17.5，所以 y 对 x 的线性回归方程为^ y ＝6.5x＋17.5. 因此，对于广告费支出为 1 000 万元(即 10 百万元)，由线性回归 方程可以预报销售额为^ y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)． (2)8 500 万元即 85 百万元，实际数据与预报值的误差为 85－82.5 ＝2.5(百万元)．
[活学活用]
已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下 一组数据： x y 14 12 16 10 18 7 20 5 22 3
求y关于x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的 好坏．
1 解： x ＝ (14＋16＋18＋20＋22)＝18， 5 1 y ＝ (12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， 5
i＝1
y i2 yi－^
n
n
1－
R2＝
2
i＝1
yi－ y 2
.
n
R 越大，残差平方和 (yi－^ y i)2 越小，即模型的拟合效果 越好 ；R2 越小，
i＝1
残差平方和 (yi－^ y i)2 越大，即模型的拟合效果 越差 ．在线性回归模型中，
i＝1
n
R2 的取值范围为 [0,1] ，R2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，1－R2 表示随机误差对于预报变量变化的贡献率． R2 越接近于 1 ， 表示回归的效果越 好．
残差分析 [例2] 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所
花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 零件数x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 10 10 12 115 加工时间y/分 62 68 75 81 89 95 2 8 2 (1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模 型，并计算残差； (2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系 吗？