高中数学选修1-2《2.2.1综合法和分析法》教案
高中数学选修1-2优质学案：2.2.1 综合法和分析法
2．2.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学________、________、________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的________成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示______________、已有的________、________、________等，Q 表示____________________) 知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．梳理 (1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(____________、________、________、________等)，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．反思与感悟证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2在△ABC中，ACAB＝cos Bcos C，证明：B＝C.类型二分析法例3已知a>0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为( ) A ．a >b B ．a ＝b C ．a <bD ．无法确定2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)24.3－2________2－1.(填“>”或“<”)5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．[答案]精析问题导学 知识点一思考 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义 公理 定理 推理论证 结论 (2)已知条件 定义 公理 定理 所要证明的结论 知识点二思考 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 题型探究例1 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2， ∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.跟踪训练1 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3.例2 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin [(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．跟踪训练2 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C . 例3 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．跟踪训练3 证明 (1)方法一 要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1， 只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2， 只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3，∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3.(2)要证tan A tan B >1， 只需证sin A sin Bcos A cos B>1，∵A 、B 均为锐角，∴cos A >0，cos B >0. 即证sin A sin B >cos A cos B ， 即cos A cos B －sin A sin B <0， 只需证cos(A ＋B )<0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°<A ＋B <180°， ∴cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1. 当堂训练1．A [∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .]2．A [∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a .] 3．C [根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.] 4．<5．证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋x y )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证． 方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，高中数学选修1-211 ∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明(1＋1x )(1＋11－x )≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．。
高中数学人教A版选修(1-2) 2.2 教学设计 《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》◆教材分析证明对高中生来说并不陌生，在上一节学习的合情推理中，所得的结论的正确就是要证明的，并且在之前的数学学习中，积累了相对较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成完整的认识。
◆教学目标【知识与能力目标】1.了解直接证明的了两种基本方法：综合法和分析法；2.了解综合法和分析法的思想过程和特点。
【过程与方法目标】1.通过对实例的分析、归纳和总结，增强学生的理性思维能力；2.通过实际演戏，使学生体会证明的必要性，并增强他们的分析问题、解决问题的能力。
【情感与态度目标】通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。
【教学重点】 综合法和分析法的思维过程及特点。
【教学难点】综合法和分析法的应用。
多媒体课件。
复习导入回顾基本不等式：a+b2≥√ab （a ＞0，b ＞0）的证明过程：法一：因为（√a −√b)2≥0所以a+b-2√ab ≥0所以a+b ≥2√ab所以：a+b2≥√ab法二：验证a+b2≥√ab只需证：a+b ≥2√ab只需证：a+b-2√ab ≥0只需证：（√a −√b)2≥0因为：（√a −√b)2≥0成立所以a+b2≥√ab 成立新课讲授1.综合法：（1）定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
综合法又叫因果导发或顺推证法。
特点：“执因索果”（2）特点：◆教学重难点◆ ◆课前准备◆◆教学过程从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，是由因导果，实际上是寻找“已知”的必要条件。
用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键。
高中数学选修1-2教案4：2.2.1 综合法和分析法(一)教学设计
2.2.1 综合法和分析法（一）整体设计教材分析在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．教学目标1．知识与技能目标(1)理解综合法证明的概念；(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．2．过程与方法目标(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．3．情感、态度与价值观(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．重点难点重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；(2)了解综合法的思考过程、特点．难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．教学过程引入新课证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．请同学们证明：已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动结果：(学生板书证明过程)证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.设计意图引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．探究新知提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．活动设计：学生自由发言．教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；最后，给出证明即可．(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．活动结果：综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．设计意图让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义．运用新知例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A ，B ，C 成等差数列转化为2B ＝A ＋C ，a ，b ，c 成等比数列转化为b 2＝ac ，接着把隐含条件显性化，将A ，B ，C 为△ABC 三个内角明确表示为A ＋B ＋C ＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ，①由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．巩固练习设a ＋b >0，n 为偶数，证明b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. 证明：b n -1a n ＋a n -1b n －1a －1b ＝(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n， (1)当a >0，b >0时，(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n >0，所以(a n －b n )(a n -1－b n -1)(ab )n ≥0，故b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b. (2)当ab 为负值时，不妨设a >0，b <0，由于a ＋b >0，所以a >|b |.又n 是偶数，所以(a n －b n )(a n －1－b n －1)>0.又(ab )n >0，故(a n －b n )(a n －1－b n －1)(ab )n >0，即b n -1a n ＋a n -1b n >1a ＋1b .综合(1)(2)可知，b n -1a n ＋a n -1b n ≥1a ＋1b成立． 理解新知(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．(2)框图表示P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论．2.如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．证明SO ⊥平面ABC .思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA ，连接OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC . 又因为△SBC 与△ABC 全等，故有SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，所以SO ⊥AO .又AO ∩BO ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．巩固练习已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c)≥4. 证明：由于a ，b ，c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋c )＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝1＋b ＋c a ＋1＋a b ＋c＝2＋(b ＋c a ＋a b ＋c)≥2＋2b ＋c a ·a b ＋c＝4. 变练演编已知x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．证明：由于x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，则b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2＝b a x 2＋c a x 2＋c b y 2＋a by 2＋a c z 2＋b c z 2＝(b a x 2＋a b y 2)＋(c a x 2＋a c z 2)＋(c b y 2＋b cz 2)≥2xy ＋2xz ＋2yz ＝2(xy ＋xz ＋yz )， 所以有b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．达标检测1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．2．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列各式中，一定正确的是( )A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c【答案】1.已知条件和某些数学定义，公理，定理 一系列的推理论证 推导出证明的结论成立2.B课堂小结1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题．布置作业课本本节练习1、3.补充练习基础练习1．△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos A ＝cos C ，求证：△ABC 为等边三角形． 证明：由3b ＝23a sin B 3sin B ＝23sin A sin B sin A ＝32A ＝π3或2π3. 由cos A ＝cos C A ＝C ，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝C ＝π3＝B .所以△ABC 为等边三角形． 拓展练习2．已知函数f (x )＝x 2＋2x＋a ln x (x >0)，f (x )的导函数是f ′(x )．对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)． 证明：由f (x )＝x 2＋2x＋a ln x ， 得f (x 1)＋f (x 2)2＝12(x 21＋x 22)＋(1x 1＋1x 2)＋a 2(ln x 1＋ln x 2) ＝12(x 21＋x 22)＋x 1＋x 2x 1x 2＋a ln x 1x 2. f (x 1＋x 22)＝(x 1＋x 22)2＋4x 1＋x 2＋a ln x 1＋x 22， ∵x 1≠x 2且都为正数，有12(x 21＋x 22)>14[(x 21＋x 22)＋2x 1x 2]＝(x 1＋x 22)2. ① 又(x 1＋x 2)2＝(x 21＋x 22)＋2x 1x 2>4x 1x 2，∴x 1＋x 2x 1x 2>4x 1＋x 2. ② ∵x 1x 2<x 1＋x 22，∴ln x 1x 2<ln x 1＋x 22. ∵a ≤0，∴a ln x 1x 2>a ln x 1＋x 22. ③ 由①、②、③得f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)． 设计说明本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．⇒⇒⇒。
高中数学选修1-2教案7：2.2.1 综合法和分析法教学设计
2.2.1 综合法和分析法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣.教师引入 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的.数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明.(二)、探究新知，揭示概念探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论.例如：已知a ，b >0，求证.教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明.教师最后归结证明方法.学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明：因为，所以.因为，所以.因此 .一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法.2222()()4a b c b c a abc +++≥222,0b c bc a +≥>22()2a b c abc +≥222,0c a ac b +≥>22()2b c a abc +≥2222()()4a b c b c a abc +++≥探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2成立，再去寻求P 2成立的充分条件P 3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.例如：基本不等式（a >0，b >0）的证明就用了上述方法. 要证 ， 只需证，只需证，只需证由于显然成立，因此原不等式成立.一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.这种方法叫做分析法.（三）、分析归纳，抽象概括用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.分析法可表示为：分析法的特点是：执果索因（四）、知识应用，深化理解ab b a ≥+2ab b a ≥+2ab b a 2≥+02≥-+ab b a 0)(2≥-b a 0)(2≥-b a ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为，且A ，B ，C 成等差数列， 成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A ， B ， C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C ； A ， B ， C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a ， b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由 A ， B ， C 成等差数列，有 2B =A + C ． ①因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以 A + B + C =π． ②由①② ，得 B =π3． ③由a ， b ，c 成等比数列，有 ． ④由余弦定理及③，可得 ．再由④，得 ．即 ，因此 ．从而 A =C ．由②③⑤，得A =B =C =π3．所以△ABC 为等边三角形．注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 例2 求证.分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件. 证明：因为都是正数，所以为了证明 ,,a b c ,,a b c 2b ac =2b ac =222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-22a c ac ac +-=2()0a c -=a c =5273<+5273和+，只需明，展开得，只需证，因为成立，所以成立.在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．例4 已知，且①②求证：. 分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为5273<+22)52()73(<+2021210<+521<2521<22)52()73(<+,()2k k Z παβπ≠+∈sin cos 2sin θθα+=2sin cos sin θθβ=22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++θθ2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=224sin 2sin 1αβ-=224sin 2sin 1αβ-=，再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的． 证明：因为，所以将 ① ② 代入，可得 . ③另一方面，要证， 即证 ， 即证， 即证， 即证 .由于上式与③相同，于是问题得证.课堂练习：1.课本练习1、2、3.（五）、归纳小结、布置作业综合法和分析法的特点布置作业：课本1、2、3. 22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-224sin 2sin 1αβ-=22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=224sin 2sin 1αβ-=22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++22222222sin sin 11cos cos sin sin 12(1)cos cos βαβααβαβ--=++22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-22112sin (12sin )2αβ-=-224sin 2sin 1αβ-=。
高中数学 2.2.1(2)综合法和分析法(2)教学案 新人教A版选修1-2
§2.2.1 综合法和分析法(二)1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. ..难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.【知识链接】（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:【学习过程】※ 学习探究探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例1变式：求证小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※ 动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224--+≥c a b ab【学习反思】※学习小结,P P⋅⋅⋅，直到所有的已知P 分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .求证:22()()828a b a b a b a b-+-<.2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。
人教(A版)高中数学选修1-2教学设计：2. 2 .1 综合法和分析法(1)--综合法
（1）通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性.
（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯.
教学重点
了解综合法的思考过程、特点
教学难点
对综合法的思考过程、特点的概括
课型
新课
主要教学方法
自主学习、思考、交流、讨论、讲解
教学模式
合作探究，归纳总结
教学手段与教具
几何画板、智慧黑板．
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴ 成立
∴
例5．设函数 对任意 ，都有 ，且 时， ．
（1）证明 为奇函数；
（2）证明 在 上为减函数．
证明：（1） ， ，
令 ， ，
，令 ，代入 ，得 ，
而 ， ，
是奇函数；
（2）任取 ，且 ，
则 ，
．
又 ，
为奇函数，
，
，即 ，
在 上是减函数．
三、课堂小结，巩固反思：
分析：将A , B , C成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是 ．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C．①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．②
由①②，得B= ．③
由a, b，c成等比数列，有 ．④
由余弦定理及③，可得
推荐-高中数学人教A版选修1-2课件2.2.1 综合法和分析法
探究一
探究二
首页
探究三
思维辨析 当堂检测
课前预习 案
课堂探究案
分析法的应用
【例2】已知函数f(x)=x2-2x+2,若m>n>1,求证:f(m)+f(n)>2f
������+������
2.
分析:已知条件较少,且很难和欲证不等式直接联系起来,故可考
由已知 x=-2���2���+������������应与 x=-2������������关于 y 轴对称,
所以-2������������-1=-2-������������, 即 a=-b 成立,
故f
������
+
1 2
为偶函数.
探究一
探究二
首页
探究三
思维辨析 当堂检测
课前预习 案
课堂探究案
=
1 12sin2������
=
sin22������”,采用了
()
A.间接证明的方法 B.综合法 C.分析法 D.综合法与分析法结合的方法 解析:该证明过程采用了综合法的证明方法. 答案:B
首页
课前预习 案
课堂探究案
2.分析法 (1)分析法的定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分 析法. (2)分析法的推理过程: Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显 成立的条件 (3)分析法证明的特点: ①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理 实际上是寻找使结论成立的充分条件. ②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已 知条件、定义、公理、定理等.
人教B版高中数学选修1-2 2-2-1 综合法和分析法 学案
2．2．1 综合法和分析法（学案）一、知识梳理1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法____________和_____________.⑴ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_____________，最后推导出所要证明的结论_______________，这种证明方法叫综合法。
框图表示： （其中P 表示条件，Q 表示要证的结论）。
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
⑵分析法：从要证明的____________出发，逐步寻找使它成立的_______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。
框图表示：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而已知A 为真，故命题B 必为真。
二、情境导学探究任务一：综合法问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.要点：顺推证法；由因导果.探究任务二：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因三、典例解析例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 求证+>变式：求证:+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.练习 ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=，求证：60A B +=.四、当堂检测1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<<C.22x y x xy y +<<<D.22x y x xy y +<<< 4. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.A ．a ，b 均为负数，则2a b b a +≥ B ．22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a +∈++≥ 5. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题 ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩ 其中为真命题的是 （ ）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④6.已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的 条件. 。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-2 2.2.1 综合法与分析法》4
2.2.1 综合法和分析法教学设计一、内容及其解析：本节课要学的内容是综合法和分析法，其核心是会用分析法和综合法思考问题，掌握它关键就是要了解分析法和综合法的思考过程、特点。
由于根据综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式，占有重要的地位。
教学的重点是了解综合法和分析法的思考过程，会用分析法和综合法的思考问题。
解决重点的关键是通过学生熟悉的实例，观察、概括分析法和综合法的特点。
二、目标及其解析目标定位：1、了解直接证明的两种方法：综合法和分析法。
2、会用分析法和综合法解决相关问题。
目标解析：1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。
是由已知到未知，由因导果。
2、分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。
由未知看已知，执果索因。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用。
要解决这一问题，教学中通过让学生独立分析、再进行讨论，从而明确两种证明方法的特点。
四、教学过程设计例1、（1）求证：a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca（2）已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥（设计意图：综合法的简单运用）师生活动： 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？运用什么知识来解决？（基本不等式）？ 例2、求证：5273<+（设计意图：分析法的运用）例3、求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大（设计意图：熟练运用分析法）师生活动：如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？【当堂检测】1． 求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+2．已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥五、本课小结1．综合法、分析法的特点。
(新课标)高中数学《2.2.1综合法和分析法》教案新人教A版选修1-2
→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最
后推导出所要证明的结论成立 .
框图表示：
要点：顺推证法；由因导果 .
③ 练习：已知 a， b， c 是全不相等的正实数，求证 b c a a c b a b c 3 .
a
b
c
④ 出示例 2：在△ ABC中，三个内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且 A、B、C成等差数列，
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. ABC 的三个内角 A, B,C 成等差数列，求证： 3. 作业：教材 P54 A 组 1 题 .
1 ab
1 bc
3. abc
-1- / 1
（新课标）高中数学《 2.2.1 综合法和分析法》教案 新人教 A 版选修 1-2 一课时
2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求 ：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了
解分析法和综合法的思考过程、特点 .
教学重点 ：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程
.
教学难点 ：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法
tan(A B) ）
② 已知 a b c, 求证： 1
Hale Waihona Puke 14.ab bc ac
3. 小结： 综合法是从已知的 P 出发， 得到一系列的结论 Q1,Q2, ，直到最后的结论是 Q. 运
用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题
.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ， cos4 sin 4 cos2 . （教材 P52 练习 1 题）
高中数学 2.2.1 第2课时 综合法和分析法教案 选修1-2
第2课时分析法及其应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．2．过程与方法会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发其学习数学的兴趣，端正严谨治学的态度，提高逆向思维的论证能力．●重点难点重点：掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．分析法是从结论到条件的逻辑推理方法，即从题目结论入手索证结论成立的充分条件，经过一系列的中间推理索证，最后要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，所以对结论变形、转化是问题解决的关键，也是问题的突破点，应该重点讲解．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考分析法的证明特点，掌握分析法的证明格式与解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何进行逆向推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会由结论去索证问题成立的充分条件，从结论入手并不是说证明就不需要已知条件，而是证明过程要时时处处关注已知，将证明引向已知或明显成立的式子是证明的关键．证明过程每一步都需可逆．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图，然后再由学生给出证明．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——分析法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解分析法的证明格式、步骤等．引导学生分析例题1中所证结论的转化条件及转化方向，师生共同探究逆向推理思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成互动探究．学生分组探究例题2的证明思路，总结分析法证明数列问题的规律方法．完成变式训练中三角恒等问题的证明．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3，总结分析法综合法相结合综合应用的特点．并仿照例题3完成变式训练．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点)分析法【问题导思】证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行．证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2.展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．∴3＋22<2＋7成立．1．本题证明从哪里开始？【提示】从结论开始．2．证题思路是什么？【提示】寻求每一步成立的充分条件．1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件应用分析法证明不等式设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．【思路探究】 分析：讨论a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立的条件，分a ＋b ≥0和a ＋b <0两种情况．【自主解答】 若a ＋b <0，a 2＋b 2≥22(a ＋b )显然成立． 若a ＋b ≥0，要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立， 只需证a 2＋b 2≥12(a ＋b )2成立，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋2ab ＋b 2)成立，即证12(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即12(a －b )2≥0成立， 因为12(a －b )2≥0成立，且以上每步都可逆．所以a ＋b ≥0时，a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立， 综上可知：a ，b 为实数时，a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 1．分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．2．用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．已知a >0，b >0，证明不等式a 2b ＋b 2a ≥a ＋b .【证明】 要证a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，只需证a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ， 只需证a 3＋b 3－a 2b －b 2a ≥0， 即证(a －b )2(a ＋b )≥0.又a ＞0，b ＞0，(a －b )2(a ＋b )≥0显然成立． 因此，原不等式成立.用分析法证明其他问题在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1，设b n ＝2na n ，证明：数列{b n }是等差数列．【思路探究】 分析{b n }成为等差数列的条件是否成立． 【自主解答】 要证{b n }为等差数列， 只要证b n ＋1－b n ＝d (常数)(n ≥1)， 即证2n ＋1a n ＋1－2n a n 为常数．即证2n ＋1(12a n ＋12n ＋1)－2na n 为常数， 而2na n ＋1－2na n ＝1为常数成立． ∴{b n }是等差数列．1．利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin 2β，求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β. 【证明】 1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β⇐1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β21＋sin 2βcos 2β ⇐cos 2α－sin 2α＝cos 2β－sin 2β2⇐2(1－2sin 2α)＝1－2sin 2β ⇐4sin 2α－2sin 2β＝1，由已知得：4sin 2α＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ， ＝1＋2sin θcos θ， 2sin 2β＝2sin θcos θ， ∴4sin 2α－2sin 2β＝1成立， ∴1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β成立.综合法和分析法的综合应用已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【思路探究】 利用分析法得出c 2＋a 2＝b 2＋ac ，再利用综合法证明其成立． 【自主解答】 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3. 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．1．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路． 2．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用． 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c . 【证明】 要证明log x a ＋b2＋log x b ＋c 2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2)＜log x (abc )． 由已知0＜x ＜1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc .由公式a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc 成立．∴log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立.因逻辑混乱而出错设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .【错解】 ∵a ∥b ，且a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， ∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β， 即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴sin αcos α·sin βcos β＝16， ∴tan αtan β＝16，即结论正确．【错因分析】 以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．【防范措施】 分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．【正解】 分析法：要证明a ∥b ，而a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， ∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β， 即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．综合法：∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即a ＝(4cos α，sin α)与b ＝(sin β，4cos β)共线， ∴a ∥b .1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．1．直接证明中最基本的两种证明方法是( )A ．类比法和归纳法B ．综合法和分析法C ．比较法和二分法D ．换元法和配方法【解析】 根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法． 【答案】 B2．欲证2－3＜6－7，只需要证( ) A ．(2－3)2＜(6－7)2B ．(2－6)2＜(3－7)2C ．(2＋7)2＜(3＋6)2D ．(2－3－6)2＜(－7)2【解析】 ∵2－3＜0，6－7＜0， ∴要证2－3＜6－7，只需证 2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2. 【答案】 C3．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法【解析】 符合综合法的证明思路． 【答案】 B4．已知a >b >0，试用分析证明a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.【证明】 要证明a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b(由a ＞b ＞0，得a －b ＞0)．只需证(a 2－b 2)(a ＋b )＞(a 2＋b 2)(a －b )， 只需证(a ＋b )2＞a 2＋b 2，即2ab ＞0， 因为a ＞b ＞0，所以2ab ＞0显然成立．因此当a ＞b ＞0时，a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b成立.一、选择题 1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．【答案】 C2．要证明a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4(a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法【解析】 要证a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4， 只需证2a ＋7＋2a a ＋7＜2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只需证a a ＋7＜a ＋3a ＋4，只需证a (a ＋7)＜(a ＋3)(a ＋4)， 只需证0＜12， 故选用分析法最合理． 【答案】 C 3．已知f (x )＝a 2x ＋1－22x＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1【解析】 当a ＝1时，f (x )＝2x－12x ＋1，f (－x )＝1－2x2x ＋1＝－f (x )，f (x )为奇函数．a ＝－1,0时得不出f (x )为奇函数，故A 正确．【答案】 A4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)【解析】 若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A.【答案】 A5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2,2] C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)【解析】 用分离参数法可得a ≥－(|x |＋1|x |)(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立．【答案】 C 二、填空题6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A 、B 的大小关系为________．【解析】 A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝a ＋b 2－4ab2ab a ＋b≥0.【答案】 A ≥B7．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________． 【解析】 数形结合知，曲线y ＝4x 2在点P 处的切线l 与直线y ＝4x －5平行． 设l ：y ＝4x ＋b .将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2， 得4x 2－4x －b ＝0，令Δ＝0，得b ＝－1. ∴4x 2－4x ＋1＝0， ∴x ＝12，∴y ＝1.【答案】 (12，1)8．补足下面用分析法证明基本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ， 只需证____________， 只需证____________．由于____________显然成立，因此原不等式成立． 【解析】 要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ， 只需证a 2＋b 2－2ab ≥0，只需证(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0三、解答题9．如图2－2－3所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD ＝G.图2－2－3求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.【证明】要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF ⊥面BDD1B1.要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B1G.而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需证EF⊥B1G即可．又∵△B1EF为等腰三角形，EF的中点为G，∴B1G⊥EF成立．∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．10．设a，b>0，且a≠b，用分析法证明：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．由此命题得证．11．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋b a ≥a ＋b . 【证明】 法一 (综合法)：因为a >0，b >0， 所以a b ＋b a－a －b ＝(a b －b )＋(b a －a ) ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )(1b －1a) ＝a ＋b a －b 2ba 所以a b ＋b a ≥a ＋b . 法二 (分析法)：要证a b ＋b a≥a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号，所以(a －b )(a －b )≥0成立，所以a b ＋b a≥a ＋b 成立. (教师用书独具)已知函数f (x )＝lg(1x －1)，x ∈(0，12)， 若x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2. 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)． 【思路探究】 用分析法，逆推所证不等式成立的充分条件．【自主解答】 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)， 只需证lg(1x 1－1)＋lg(1x 2－1)＞2lg(2x 1＋x 2－1)，只需证(1x 1－1)(1x 2－1)＞(2x 1＋x 2－1)2. ∵(1x 1－1)(1x 2－1)－(2x 1＋x 2－1)2 ＝x 1－x 221－x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 22. 由于x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2， ∴x 1－x 221－x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 22＞0， 即(1x 1－1)(1x 2－1)＞(2x 1＋x 2－1)2， ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)． 本题依托对数函数，考查分析法的应用，对对数函数的性质要会灵活运用．已知非零向量a ，b 且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2. 【证明】 要证|a |＋|b ||a －b |≤2， 只要证|a |＋|b |≤2|a －b |，即证|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2|a 2－2a ·b ＋b 2|.①∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴①⇔|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2|a |2＋2|b |2⇔(|a |－|b |)2≥0成立， ∴原不等式成立．。
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)
数学：?综合法和分析法?教案教学目标：(一 )知识与技能：结合已经学过的数学实例 ,了解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 .(二 )过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；(三 )情感、态度与价值观：通过学生的参与 ,激发学生学习数学的兴趣 .第|一课时 综合法和分析法 (一 )教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点 ,结合综合法的思考过程、特点 ,选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. "假设12,a a R +∈ ,且121a a += ,那么12114a a +≥〞 ,试请此结论推广猜测. (答案：假设12,.......n a a a R +∈ ,且12....1n a a a +++= ,那么12111....n a a a +++≥ 2n ) 2. ,,a b c R +∈ ,1a b c ++= ,求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点 ? 二、讲授新课：1. 教学例题：① 出例如1：a , b , c 是不全相等的正数 ,求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决 ? (根本不等式 ) → 板演证明过程 (注意等号的处理 ) → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等 ,经过一系列的推理论证 ,最|后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：a ,b ,c 是全不相等的正实数 ,求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出例如2：在△ABC 中 ,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且A 、B 、C 成等差数列 ,a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些 ,可以得到什么结论 ? 如何转化三角形中边角关系 ?→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件 (内角和 )2. 练习：① ,A B 为锐角 ,且tan tan 3tan 3A B A B +,求证：60A B +=. (提示：算tan()A B + )② ,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥---3. 小结：综合法是从的P 出发 ,得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅ ,直到最|后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、稳固练习：1. 求证：对于任意角θ ,44cos sin cos2θθθ-=. (教材P 100 练习 1题 )(两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程 )2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列 ,求证：113a b b c a b c +=++++.3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.第二课时 综合法和分析法 (二 )教学要求：结合已经学过的数学实例 ,了解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点 ,选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：根本不等式的形式 ?2. 讨论：如何证明根本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. (讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发 ,一步步探求结论成立的充分条件 ) 二、讲授新课：1. 教学例题：① 出例如1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗 ? → 如何从结论出发 ,寻找结论成立的充分条件 ? → 板演证明过程 (注意格式 )→ 再讨论：能用综合法证明吗 ? → 比拟：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发 ,逐步寻找使它成立的充分条件 ,直至|最|后 ,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (条件、定理、定义、公理等 )为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0 ,y > 0 ,证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出例如2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路 ? (从结论出发 ,逐步反推 ) ⑤ 出例如3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路 ? (从结论与出发 ,逐步探求 )2. 练习：证明：通过水管放水 ,当流速相等时 ,如果水管截面 (指横截面 )的周长相等 ,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ,那么周长为l 的圆的半径为2l π ,截面积为2()2l ππ ,周长为l 的正方形边长为4l ,截面积为2()4l ,问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考 ,一步步探求得到Q 所需要的12,,P P ⋅⋅⋅ ,直到所有的P 都成立；比拟好的证法是：用分析法去思考 ,寻找证题途径 ,用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法 ,即从 "欲知〞想 "需知〞(分析) ,从 "〞推 "可知〞 (综合 ) ,双管齐下 ,两面夹击 ,逐步缩小条件与结论之间的距离 ,找到沟通条件和结论的途径. (框图示意 )三、稳固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边 ,S 是三角形的面积 ,求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥ ,即证：2cos 23sin C C -≥ ,即：3sin cos 2C C +≤ ,即证：sin()16C π+≤ (成立 ).2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.第三课时 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例 ,了解间接证明的一种根本方法 - -反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点 ,选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币 ,每次翻转2枚 ,你能使三枚反面都朝上吗 ? (原因：偶次 )2. 提出问题： 平面几何中 ,我们知道这样一个命题： "过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆〞. 讨论如何证明这个命题 ?3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点 ,那么O 在AB 的中垂线l 上 ,O 又在B C 的中垂线m 上 ,即O 是l 与m 的交点 .但 ∵A 、B 、C 共线 ,∴l ∥m (矛盾)∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.二、讲授新课：1. 教学反证法概念及步骤：① 练习：仿照以上方法 ,证明：如果a >b >0 ,那么b a >② 提出反证法：一般地 ,假设原命题不成立 ,经过正确的推理 ,最|后得出矛盾 ,因此说明假设错误 ,从而证明了原命题成立.证明根本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发 ,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立 ,从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾 (与条件矛盾 ,或与假设矛盾 ,或与定义、公理、定理、事实矛盾等 ).方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的 ,即由一个命题与其逆否命题同真假 ,通过证明一个命题的逆否命题的正确 ,从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题：① 出例如1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否认结论 ? → 如何从假设出发进行推理 ? → 得到怎样的矛盾 ? O B C P与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分 ,∵P 不是圆心 ,连结O P , 那么由垂径定理：O P ⊥AB ,O P ⊥CD ,那么过P 有两条直线与OP 垂直 (矛盾 ) ,∴不被P 平分.② 出例如2：求证3是无理数. ( 同上分析 → 板演证明 ,提示：有理数可表示为/m n )证：假设3是有理数 ,那么不妨设3/m n = (m ,n 为互质正整数 ) ,从而：2(/)3m n = ,223m n = ,可见m 是3的倍数.设m =3p (p 是正整数 ) ,那么 22239n m p == ,可见n 也是3的倍数.这样 ,m , n 就不是互质的正整数 (矛盾 ). 3/m n =不可能 ,3.③ 练习：如果1a +为无理数 ,求证a 是无理数.提示：假设a 为有理数 ,那么a 可表示为/p q (,p q 为整数 ) ,即/a p q =.由1()/a p q q +=+ ,那么1a +也是有理数 ,这与矛盾. ∴ a 是无理数.3. 小结：反证法是从否认结论入手 ,经过一系列的逻辑推理 ,导出矛盾 ,从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围 ( "至|多〞、 "至|少〞、 "均是〞、 "不都〞、 "任何〞、 "唯一〞等特征的问题 )三、稳固练习： 1. 练习：教材P 102 1、2题 2. 作业：教材P 102 A 组4题.。
高中数学 221(综合法和分析法)教案 新人教A版选修1—2 教案
1 / 3 综合法和分析法 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？3. 提问：基本不等式的形式？4. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：(1).出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点(2).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.2 /3 (3).练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. (4).出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）(5). 出示例3：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法(6).提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示： 要点：逆推证法；执果索因. (7). 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.(8). 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）(9). 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：1.,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）2. 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方3 / 3 形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l .3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.作业：教材P 54A 组 1题.。
高中数学 2.2.1《综合法和分析法》教案 新人教A版选修2-2
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；（三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 100 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++. 3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。
数学选修1-2人教A教案+课后练习2.2.1综合法与分析法
第二章第2节直接证明与间接证明一、综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。
3．综合法是从推导到的方法。
而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。
综合法是由导，分析法是执索。
三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+，求证：例2．已知a,b∈R+，求证：例3.已知a,b,c∈R，求证（I）课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,2或 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335-C ．－3D ．27- 4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1
最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1最新人教版高中数学选修1-2《综合法和分析法》示范教案12.2.1综合法和分析法教材分析《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．教学目标1。
知识和技能目标(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．(2)了解分析法和综合法的思维过程和特点．2．过程与方法目标（1）通过对实例的分析、归纳和总结，可以提高学生的理性思维能力(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．重点和难点重点：分析法和综合法的思维过程及特点．难点：分析法和综合法的应用．教学过程创设情境、引入新课问题1：我们学习了两种重要的推理方法。
请回忆一下我们学习的推理方法，它们各自的特点和功能是什么？活动设计：学生思考并举手回答，教师提问．活动成果：前面已经学习了合情推理和演绎推理．合理推理是提出新问题、获取新知识的主要推理方式，其特点是结论不可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，其特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论就必须正确提出问题2：使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法．问题3：让我们先看看我们已经证明的两个问题，并试图找出证明过程中的差异。
1.在立方体ABCD-A'B'C'd中，验证：A'C⊥ BD.证明：连接AC∵abcd―a′b′c′d′是正方体，∴aa′⊥平面abcd.又∵bd?平面abcd，∴aa′⊥bd.∵ 自动控制⊥ BD，AA′∩ AC=a，∩ 屋宇署⊥ 飞机a′AC。
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一课时
2.2.1 综合法和分析法（一）教案
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且1
2....1n a a a +++=，则
12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c
++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c
+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=60A B +=o . （提示：算
tan()A B +）
② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c
+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c
+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.。