理论力学第10章刚体的定点转动和一般运动
理论力学刚体运动
刚体力学
刚体运动概述 作用在刚体上的力系 刚体的平衡 刚体的定轴转动 刚体的平面平行运动
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5
§6.1 刚体运动概述
一、刚体模型介绍 定义： 刚体是整体及其部分的形状和大小保持不变的 物体。 (刚体可以看成任意两质点距离保持不变的质点系。)
百度文库
作用力的传递过程： 作用在A端的力传递到Z端，是靠弹力（波）传 递完成的。当形变很小，讨论的运动过程的速度远 小于波传播速度时，可以忽略形变，且不考虑弹性 波的传播过程，把物体看成刚体。
4、力偶：等值反向不共线的一对力。
F1 F2 0 M r12 F2
力偶矩
① 力偶的力矩和与参考点无关，只和作用点的相 对位置有关。
② 力偶矩相等的力偶等效。
三、力的平移定理： 1、作用在刚体上的力的特性：
作用在刚体上的力是滑移矢量，可以沿着力的作 用线移动（滑移），但不能任意平移。 ①力的效果决定于力的三要素： 大小、方向、作用点
轻杆连接的2质点体系自由度5
x O
y
r1 ( x1 , y1 , z1 ) r2 ( x2 , y2 , z2 )
l ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
例
z
轻杆两两连接的3质点体系自由度6
理论力学运动学
动点: AB杆上A点 动系:固结于凸轮上 定系:固结在地面上
理论力学
26
绝对运动:铅直运动 相对运动:曲线(圆弧)运动 牵连运动:凸轮直线平移
理论力学
27
绝对速度 ： va 相对速度 ：vr 牵连速度 ：ve
理论力学
28
绝对加速度： aa
相对加速度： ar
牵连加速度： ae
理论力学
29
动点:AB杆上得A点 动系:偏心轮
理论力学
50
[例]水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落， 如图。求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。
解:以小环M为动点,动系取在AB杆上,动点得速度合成
矢量图如图。
由图可得:
A
sin ve
u
va
M
r
O
ve
vr B va
va
ve
sin
u
sin
理论力学
51
[例]求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与 已知，
否则相反。
法向加速度:
an
v2
( R ) 2
R
R 2
即:转动刚体内任一点得法向加速度(又称向心加速度)
得大小,等于刚体角速度得平方与该点到轴线得垂直距
离得乘积,她得方向与速度垂直并指向轴线。
理论力学
16
刚体转动惯量及其计算方法(毕业论文)
本科毕业论文
题目：刚体转动惯量及其计算方法
目录
1、引言 (1)
2基本概念 (1)
2。1描述刚体位置的独立变量 (1)
2.2 刚体运动的分类 (2)
3 刚体力学中的质量和惯性 (2)
3.1 刚体力学中的惯性运动 (2)
3。2 惯性运动在刚体力学中的应用 (3)
4 刚体的几种基本运动 (3)
4。1 定轴转动 (3)
4.2 刚体平面平行运动 (3)
4。3 定点转动 (4)
4。4 一般运动 (4)
5 刚体转动惯量的计算方法 (4)
5.1 转动惯量的引入 (4)
5。2 转动惯量的计算方法 (6)
5.2.1定义法 (6)
5.2.2惯量椭球法 (7)
5.2.3 惯量主轴法 (8)
5.2.4 实验方法测量 (9)
5。2。5 陀螺运动的描述 (10)
6 结论 (13)
参考文献: (13)
致谢.............................................. 错误!未定义书签。
刚体转动惯量及其计算方法
摘要：在刚体动力学中，有大量的篇幅研究刚体的转动问题，无论是定轴转动、平面平行运动，还是绕定点的转动，其动力学方程中均含有转动惯量。转动惯量在刚体力学中有很重要的的地位，相当于质点在动力学中的质量地位相当，应用较为广泛。本文对质量各种分布刚体的转动惯量进行浅谈，及对定点转动问题进行定量分析。
关键词:刚体；运动；转动惯量;定点转动.
本科毕业生毕业论文
1、引言
随着科学技术的迅猛发展，转动惯量作为一个重要的工程参数，在越来越多的领域受到重视，如何更方便，快捷，准确的计算转动惯量成为了一个迫切需要解决的问题。转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方的
理论力学
平均速度：位移对时间的导数。平均速率：路程对时间的导数。平均速率并不是平均速度的大小。瞬时速率是瞬时速度的大小。当做匀速直线运动时平均速度和瞬时速度一样。
我们把物体相对于静止参考系S的运动叫做绝对运动，所以物体相对于S 系的运动速度v就叫做绝对速度，把物体相对于运动参考系S次的运动叫做相对运动，所以物体相对于运动参考系S次的运动速度v次就叫做相对速度，至于物体随S次系一道运动而具有相对于S 系的运动，则叫做牵连速度，所以物体被S次系牵带着一同运动的速度，亦即S次系相对于S 系的速度v零就叫做牵连速度。即绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。
牵连速度：由于运动参考系的运动而引起的质点相对于静止参考系的速度；绝对速度：质点相对于绝对坐标的速度；相对速度：相对于运动参考系的速度。
牛一定律：任何物体如果没有受到其他物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动状态，也就是说：物体如果不受其他物体的作用，他的速度将保持不变。物体在不受其他物体作用时保持运动状态不变的这种性质，叫做惯性，是物质的一种固有属性，所以牛一定律又叫做惯性定律。
牛二定律：当一物体受到外力作用时，该物体所获得的加速度和外力成正比，和物体本身的质量成反比，加速度的方向和外力的方向一致。物体间的相互作用叫做力，力可以使物体得到加速度与形变，物体的质量则是物体惯性大小的量度。
牛三定律：当一个物体对另一物体有一个作用力的同时，另一个物体同时也对该物体有一个反作用力。作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一直线上，施加在两个不同的物体，它们同时产生，同时消灭，相互依存，形成对立的局面。
理论力学习题及解答
第一次作业
[单选题]力场中的力，必须满足的条件是：力是位置的（）函数
A：单值、有限、可积
B：单值、有限、可微
C：单值、无限、可微
D：单值、无限、可积参考答案：B
[单选题]下列不属于牛顿第二定律的特点或适用条件的是（）
A：瞬时性
B：质点
C：惯性系
D：直线加速参考系
参考答案：D
[单选题]在质心坐标系与实验室坐标系中观测两体问题时，（）
A：在质心坐标系中观测到的散射角较大
B：在实验室坐标系中观测到的散射角较大
C：在两种体系中观测到的散射角一样大
D：在两种体系中观测到的散射角大小不确定参考答案：A
[判断题]两动点在运动过程中加速度矢量始终相等，这两点的运动轨迹一定相同（）
参考答案：错误
[判断题]惯性力对质点组的总能量无影响（）
参考答案：正确
[判断题]只在有心力作用下质点可以在空间自由运动。（）
参考答案：错误
[单选题]下列表述中错误的是：（）
A：如果力是关于坐标的单值的、有限的、可微的函数，则在空间的每一点上都将有一定的力作用，此力只与该点的坐标有关，我们称这个空间为力场；
B：保守力的旋度一定为0；
C：凡是矢量，它对空间某一点或者某一轴线就必具有矢量矩；
D：由动量矩守恒律（角动量守恒律）可知，若质点的动量矩为一恒矢量，则质点必不受外力作用。参考答案：D
[单选题]某质点在运动过程中，其所属的状态参量位移、速度、加速度和外力中，方向一定相同的是：（）A：加速度与外力；
B：位移与加速度；
C：速度与加速度;
D：位移与速度。参考答案：A
[单选题]下面关于内禀方程和密切面的表述中，正确的是（）
A：密切面是轨道的切线和轨道曲线上任意点所组成的平面；
刚体一般运动的描述
第４０卷第５期大 学 物
理
Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．５２０２１
年５月
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｍａｙ２０２１
收稿日期：２０２０－０９－１１；修回日期：２０２０－１１－１８
作者简介：
邵瀚雍（２０００—），男，四川德阳人，北京师范大学物理学系２０１８级本科生．櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻
殻
殻
殻
大学生园地
刚体一般运动的描述
邵瀚雍
（北京师范大学物理学系，北京
１００８７５
）
摘要：刚体的一般运动是刚体运动学中最复杂的一类运动，其求解通常需要借助欧拉定理或沙勒定理．通过这两个定理，我们可以把刚体的一般运动分解成较简单的定轴转动和平动．本文主要应用代数理论中的正交矩阵描述刚体的运动，并用代数语言分析了定点转动的本征问题，证明了欧拉定理．随后，将刚体的定点转动进行分解，并给出了物理图像和推导结论，完成了对刚体复杂的一般运动的简单描述．
关键词：刚体一般运动；正交矩阵；沙勒定理；欧拉角中图分类号：Ｏ３１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０５ ００６２ ０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４０５
一般运动是刚体运动学中最复杂的问题，因此国内的理论力学教材大多对此介绍较少．且由于刚体运动学教学难度大，课时少，故多数同学跳过了刚体一般运动的内容，但这恰是将刚体运动转化成代数知识的极佳机会，不得不说是一种遗憾．
事实上，刚体的一般运动总能分解成基点的运动和绕过该点某轴线的定轴转动，国外教材对此用代数语言给出了证明，但也没有就代数理论和刚体运动的关联进行深入的探讨．
理论力学 第十章 动量矩定理
1、质点对固定点的动量矩 质点Q的动量对于O点的矩，称为质点对于O点的 动量矩。
LO M O (mv ) r mv
质点对于固定点O的 动量矩是固定矢量，方向 垂直于r与mv确定的平面， 指向按右手法则确定。
2、质点对固定轴的动量矩 质点Q的动量mv在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点 O的矩，称为质点对于Z轴的动量矩。
mi i m1a1 m2 a2 (m1r1 m2 r2 ) y C y mi m m1 m2 m m1 m2
FT2 m2 g m2 a 2 m2 r2 FT2 m2 ( g r2 )
三、动量矩守恒
若 M O ( F ( e ) ) 0 ，则 LO 常矢量；
第十章 动量矩定理
第十章 动量矩定理
§10.1 动量矩的概念
§10.2 转动惯量
§10.3 动量矩定理
Fra Baidu bibliotek
描述质点或平动刚体的运动
dv F m dt
描述质点系统的运动
dp FK dt
如果质点系统绕质心转动时
或
d (mvC ) FK dt
mvC 0
p0
？
§10.1 动量矩的概念
1 2
lt12-03dt.swf
解： （1） LO J O m1v1r1 m2v2 r2
理论力学刚体的基本运动
A
般位置
u
2. 建立几何关系
θ
x u t l sin
速度与其法向夹角相同
α ω
k
k
角速度与角加速度的矢量表示
α
ω
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
点的速度与加速度的矢积表示
点M的速度为：
v ω r
大小为： α
v ωr sin ω
沿直线轨道行驶的车厢的运动 筛沙机中筛子的运动
特点： 刚体平移时，体内所有各点的轨迹形状相
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
同，在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和
相同的加速度。
证明：drrBBrAdrA rABdrAB dt dt dt =0
A
rAB
rA
刚体运动时，如体内或其扩展部分有一直线
保持不动，这种运动就称定轴转动
该固定不动的直线称为转轴 固定在参考系上
刚体的转动方程： t
Qφ
从轴z的正向朝负向看，沿逆时针
转向为正，反之为负(右手螺旋法则)
刚体的角速度：
lim
Δ
d
P
Δt0 Δt dt
固定在刚体上
静力学动力学和运动学的关系
静力学动力学和运动学的关系
三者都是力学的分支，静力学是讨论力平衡时，各种力的关系。动力学是讨论力的相互作用，和物体运动的关系。运动学仅仅讨论物体运动时速度，位移和加速度三者关系，而不关心运动如何发生。
静力学是力学的一个分支，它主要研究物体在力的作用下处于平衡的规律，以及如何建立各种力系的平衡条件。
平衡是物体机械运动的特殊形式，严格地说，物体相对于惯性参照系处于静止或作匀速直线运动的状态，即加速度为零的状态都称为平衡。对于一般工程问题，平衡状态是以地球为参照系确定的。静力学还研究力系的简化和物体受力分析的基本方法。
动力学是理论力学的一个分支学科，它主要研究作用于物体的力与物体运动的关系。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。动力学是物理学和天文学的基础，也是许多工程学科的基础。许多数学上的进展也常与解决动力学问题有关，所以数学家对动力学有着浓厚的兴趣。
动力学的研究以牛顿运动定律为基础；牛顿运动定律的建立则以实验为依据。动力学是牛顿力学或经典力学的一部分，但自20世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于工程技术应用方面的一个力学分支。运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。至于物体的运动和力的关系，则是动力学的研究课题。
用几何方法描述物体的运动必须确定一个参照系，因此，单纯从运动学的观点看，对任何运动的描述都是相对的。这里，运动的相对性是指经典力学范畴内的，即在不同的参照系中时间和空间的量度相同，和参照系的运动无关。不过当物体的速度接近光速时，时间和空间的量度就同参照系有关了。这里的“运动”指机械运动，即物体位置的改变；所谓“从几何的角度”是指不涉及物体本身的物理性质(如质量等)和加在物体上的力。
第十章刚体的定点运动及一般运动_理论力学
动坐标系 Ox1 y1 z1 绕固定轴 Oz 的转动是牵连运动； A 点的相对运动为以 O' 为圆心、 r 为半径的圆周运动。则 A 点的牵连速度和相对速度分别为：
这两速度在同一直线上，但方向相反，故 A 点的速度为
利用
代入上式即得
mm/s （沿 x1 轴正向） 这与前面所得的结果相同。 又因 A 点的牵连、相对和科氏加速度分别为：
即将一般运动分解为跟随基点的平动和相对于基点的定点运动， 定点运动的角速度和角 加速度与基点的选择无关。自由刚体的运动具有六个自由度。 2. 刚体上各点的速度及加速度分析 设刚体的角速度为 ，角加速度为 。分析动点 ： 则 （10-16）
其中 （10-17）
其中
3.
刚体一般运动特例
如图 10-12 所示绕两异面轴转动的合成
2. 欧拉角 进动角 ，章动角 ，自转角 。
3. 定点运动的运动方程
4. 定点运动的角速度
若建立结体系 Ox'y'z' ，并将 沿三个坐标轴分解（这种分解是刚体动力学需要的） 可 得到欧拉运动学方程。见式（10-5） 5. 角加速度 对于结体系 Ox'y'z' 而言，有：
（见§10-3。3） 6. 定点运动刚体上各点速度及加速度
这样， 定点 O 和瞬时速度为零的 C 点连线 OC 就是碾轮的瞬时转动轴。 由碾轮牵连角
北航理论力学复习
：动系的角速度
da dt
ax'i '
ay'
j '
az'k
'
ax'
di ' dt
ay'
dj ' dt
az '
dk ' dt
d 'a
ωa
dt
2
绕相交轴转动的合成
αe
刚体的角速度:
ωe
ω ωe ωr
刚体的角加速度:
α dωe dωr dt dt
dωe dt
d 'ωr dt
A： 只能确定其角速度矢量所在平面；
z
B： 能求角速度的大小和方向；
C： 能求角加速度的大小和方向；
O
D： 能求刚体对定点的动量矩大小和方向。 B
ω xi y j
ω
OA
v
A
ω OB vB
vB
x ,y
vA A
29
例：若刚体绕 O 点作定点转动，已知某瞬时其上 A、B 两点的速 度分别为 vA 和 vB，且大小均不为零。若 O、A、B 三点均不重 合，则______________该刚体的角速度。
z ω z'
一、陀螺规则进动的条件
点的合成运动理论力学课件
总结词
相对运动、绝对运动和牵连运动是描述点在运动中的三种不同参考方式。
详细描述
相对运动是指点相对于其他物体的运动，是相对于某一固定参考系而言的运动；绝对运动是指点在整个坐标系中的运动，不依赖于任何特定的参考系；牵连运动则是点与固定参考系之间的相对运动，通常用于描述与固定物体相连的点的运动。
03
点的合成运动的应用
刚体的平面运动是指刚体在平面内的运动，包括平移和旋转。点的合成运动理论力学在刚体的平面运动中有着广泛的应用，如分析刚体的速度和加速度、计算刚体的动能和势能等。
刚体的平移运动是指刚体在平面内沿直线或曲线移动，其速度和加速度可以通过点的合成运动理论力学中的速度和加速度合成定理进行分析。
总结词
刚体定轴转动是指刚体绕某一固定轴线的旋转运动。
详细描述
刚体定轴转动的实例包括车轮的转动、电风扇的旋转等。在这些情况下，刚体绕固定轴线旋转，各点的速度和加速度可以通过点的合成运动理论进行分析。
05
点的合成运动的总结与展望
点的合成运动理论的发展历程
从早期的经典力学到现代的相对论，点的合成运动理论经历了漫长的发展过程。这个理论在历史上对于理解物体运动规律和解决实际问题起到了关键作用。
概念
物体在平面内运动，点在该平面内跟随物体一起运动。
平面运动
空间运动
理论力学各章小结
《理论力学》内容小结
第一章 质点运动学 一、运动的描述方法
1．参考系——描述物体运动时被选作参考的另一物体叫参考系。
2．运动与静止——相对于参照坐标系而言，运动质点的坐标是时间t 的函数，如质点坐标为常数，则为静止。 3．运动学方程
（a ）矢量形式)(t r r
= (b)坐标形式
Ⅰ直角坐标)(1t f x =，)(2t f y =，)(3t f z =
Ⅱ平面极坐标)(t r r =，)(t θθ=
4．轨道——运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去t 而得。 二、速度与加速度
1．矢量形式dt
r d v
=，22d d d d t r
a ==
t v 2．分量形式（平面）
Ⅰ直角坐标 速度x ，y ；加速度x
，y Ⅱ平面极坐标 径向速度r
，横向速度θ r ；径向加速度2
θ r r -，横向加速度θθ r r 2+ Ⅲ自然坐标 切向速度s ，法向速度0；切向加速度s
，t d d v 或s
d d v
v ，法向加速度ρ2v 三、平动参考系
1．匀速直线运动参考系
v v v '+=
0（绝对速度＝牵连速度＋相对速度） a a '=
（绝对加速度＝相对加速度） 2．加速直线运动参考系
v v v '+= 0 a a a '+=
0（绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度） 第二章 质点动力学 一、质点运动微分方程 1． 自由质点
（a ）矢量形式 ),,(t r
r F r m = （b ）分量形式
Ⅰ直角坐标 x F x m =
，y F y m = ，z F z m =
Ⅱ平面极坐标 r
刚体的定点运动
′ ′ x LOx = J Oxω ′ ′ ′ y LOy = J Oyω ′
r x
r y
′ LOy ′ LOz )
T
′ ′ LO = (LOx
′ ′ z LOz = J Ozω ′
2012年4月8日 理论力学CAI 刚体动力学
ω ' = (ω ′ ω ′y ω ′ )T x z
6
r x
O rb x
r y
′ & ~ ′ ′ JOω '+ω ' (JOω ') = MO
刚体定点运动的欧拉动力学方程
2012年4月8日 理论力学CAI 刚体动力学
′ & ′ ′ y z ′ J Oxω ' x +(J Oz − J Oy )ω ′ ω ′ = M Ox
对于主轴连体基欧拉动力学 对于主轴连体基欧拉动力学 主轴连体基 方程展开式
r z′
C
θ
r z
试计算转子对于基 惯量与惯性积
r e 的转动
r x
r x′
2012年4月8日 理论力学CAI 刚体动力学 10
刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/解
r r [解] e′ 相对于 e 解
cos θ A′ = 0 sin θ
方向余弦阵
静力学动力学和运动学的关系
静力学动力学和运动学的关系
三者都是力学的分支，静力学是讨论力平衡时，各种力的关系。动力学是讨论力的相互作用，和物体运动的关系。运动学仅仅讨论物体运动时速度，位移和加速度三者关系，而不关心运动如何发生。
静力学是力学的一个分支，它主要研究物体在力的作用下处于平衡的规律，以及如何建立各种力系的平衡条件。
平衡是物体机械运动的特殊形式，严格地说，物体相对于惯性参照系处于静止或作匀速直线运动的状态，即加速度为零的状态都称为平衡。对于一般工程问题，平衡状态是以地球为参照系确定的。静力学还研究力系的简化和物体受力分析的基本方法。
动力学是理论力学的一个分支学科，它主要研究作用于物体的力与物体运动的关系。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。动力学是物理学和天文学的基础，也是许多H程学科的基础。许多数学上的进展也常与解决动力学问题有关，所以数学家对动力学有着浓厚的兴趣。
动力学的研究以牛顿运动定律为基础；牛顿运动定律的建立则以实验为依据。动力学是牛顿力学或经典力学的一部分，但自20世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于工程技术应用方面的一个力学分支。运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。至于物体的运动和力的关系，则是动力学的研究课题。
用几何方法描述物体的运动必须确定一个参照系，因此，单纯从运动学的观点看，对任何运动的描述都是相对的。这里，运动的相对性是指经典力学范畴内的，即在不同的参照系中时间和空间的量度相同，和参照系的运动无关。不过当物体的速度接近光速时，时间和空间的量度就同参照系有关了。这里的“运动”指机械运动，即物体位置的改变；所谓“从几何的角度”是指不涉及物体本身的物理性质（如质量等）和加在物体上的力。
理论力学基本概念
静力学基础
静力学是研究物体平衡一般规律的科学。这里所研究的平衡是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。物体的静止状态是物体运动的特殊形式。根据牛顿定律可知，物体运动状态的变化取决于作用在物体上的力。那么在什么条件下物体可以保持平衡，是一个值得研究并有广泛应用背景的课题，这也是静力学的主要研究内容。本章包括物体的受力分析、力系的简化、刚体平衡的基本概念和基本理论。这些内容不仅是研究物体平衡条件的重要基础，也是研究动力学问题的基础知识。 一、
力学模型
在实际问题中，力学的研究对象（物体）往往是十分复杂的，因此在研究问题时，需要抓住那些带有本质性的主要因素，而略去影响不大的次要因素，引入一些理想化的模型来代替实际的物体，这个理想化的模型就是力学模型。理论力学中的力学模型有质点、质点系、刚体和刚体系。
质点：具有质量而其几何尺寸可忽略不计的物体。 质点系：由若干个质点组成的系统。
刚体：是一种特殊的质点系，该质点系中任意两点间的距离保持不变。
刚体系：由若干个刚体组成的系统。
对于同一个研究对象，由于研究问题的侧重点不同，其力学模型也会有所不同。例如：在研究太空飞行器的力学问题的过程中，当分析飞行器的运行轨道问题时，可以把飞行器用质点模型来代替；当研分析飞行器在空间轨道上的对接问题时，就必须考虑飞行器的几何尺寸和方位等因素，可以把飞行器用刚体模型来代替。当研究飞行器的姿态控制时，由于飞行器由多个部件组成，不仅要考虑它们的几何尺寸，还要考虑各部件间的相对运动，因此飞行器的力学模型就是质点系、刚体系或质点系与刚体系的组合体。 二、
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2.瞬时角位移矢量
J p
叫做角位移。
PP PM
PM r sin
PP r sin
或
r r J sin
即
r J r
（10-7）
(h) (i) （10-8） (j) （10-9）
• (i)转动前：r ；
，同时也就把 B 移到 B 。换句话说，点O 固定的刚体的
运动是以O 为轴的转动。因此，刚体的定点运动也可以
称为定点转动。刚体做定点转动时，若转角为有限值，则称为
有限转动。刚体只要绕O 轴一次转过 角后即到达新位置。 从而证明以下欧拉有限转动定理：
欧拉定理：刚体绕定点O 的任意有限转动可由绕点 O 的某根轴的一次有限转动实现。
方向余弦 p1, p2, p3 应满足以下关系式：
p12 p22 p33 1
（10-1）
图10-2 有限转动角的确定
2有限转动轴位置和有限转动角
p e0T p(0) e1T p1
（10-2）
p(0) Ap(1)
（10-3）
i0 i1
A
e0
e1T
j0
B0B 2sin 2 2AB sin 2
(c2)
sin2 sin2 sin2
(d)
2
2
利用半角公式，并代入以下方向余弦符号：
a11 i0 , i1 cos p1 cos
(e)
Hale Waihona Puke Baidu
导出
1 a11 (1 p12 )(1 cos)
(f1)
依此类推，可导出
为表明刚体在定点转动中的位置，通常在转动轴上画一个箭号， 其长度等于刚体所转过的角度 ， 其指向与刚体的转向成右手 螺旋关系，这种箭号叫作角位移。
AB B A (g)
值得注意的是刚体有限转动中两个角位移的相加次序不可 交换。这可用一个实例来加以说明。在图10-3和图10-4中，
长方体按不同顺序先绕 z轴、后绕 x轴或先绕 x轴、后绕 z轴各转过 90后，最终到达的位置截然不同！
自由刚体内任选一点为坐标原点建立动参 考系,则刚体相对此参考系的运动就是刚体 的定点转动。因此在生产实践中, 刚体的定
点转动不仅是一切用球铰联结的机器部件 运动的抽象,也是天体、飞机船舶、航天器 等各种自由运动物体的普遍运动形式。
• 10.1 刚体的定点运动 • 10.1.1 刚体的有限转动
１．刚体有限转动定理
结论，有限角位移不是矢量。
10.1.2 刚体的瞬时转动
1.无限小转动
转动瞬轴 定转动瞬轴迹面和动转动瞬轴迹面
刚体定点转动时，若转过的角度极小以至可视作无限 小量时，称为无限小转动。 根据欧拉定理，刚体的任 意无限小转动完全等效于绕瞬时转动轴的无限小转 动。
图10-5 转动瞬轴迹面
图10-6绕瞬轴无限小转动角位移矢量
当刚体位置有改变时， A 和 B 分别变到 A 和 B 。 S 运动到 S ， AB 的新位置为 AB 。既然任意两点间的 距离不变， A 和 B 必在同一球面上。作大圆弧连接 A 和 A ，作大圆弧连接 B 和 B ，分别作 AA 和 BB 的垂直平分 大圆面。 此二平面的交线通过点 O 且与球面交于点 ， 夹角为 。球面 AB 和 AB 由于对应各边的弧长相等（
将每次转动后的连体基位置相对定参考系固定而定义一系列中 间坐标系，刚体历次转动前后的位置关系由中间坐标系之间的 方向余弦矩阵确定。由于矩阵乘法不存在交换律，故当转动次 序改变时，即使绕各转动轴的角度一一相同，最终到达的位置 却不相同。其原因在于前次转动改变了固结于刚体的后续转动 轴在空间中的位置。因此一系列转动的合成不仅取决于各次转 动轴在刚体内的位置和转过的角度，而且与转动的顺序有关。
AB AB 是由于刚体的任意两点间的距离不变， A A
是因为 在 AA 的垂直平分大圆上，同理， B B ），因而是全等形。这样 AB AB。这式两边同加上 AB，就给出
AA BB
(a)
就是说，以直线 O 为轴，转动角度 AA 把 A 移到 A
i1
k0 i1
i0 j1 j0 j1 k0 j1
i0 k1
j0
k1
k0 k1
（10-4）
p(1) p(0) Ap(1)
(b)
(A E) p(1) 0
(10-5)
其中 E 为三阶单位阵。可以证明 det(A E) 0 ，
因此齐次代数方程组（10-5）有非零解。
当刚体转动前后连体基之间的方向余弦矩阵 A 给定以后， 有限转动轴的方向余弦 p1, p2 , p3 即可由方程组（10-5）解
出。根据线性代数理论，解出的 p(1) 也就是方向余弦矩阵
A 的本征向量。
arccos
1 2
(trA
1)
证明： 几何关系： AB sin
（10-6） (c1)
第10章 刚体的定点运动和一般运动
刚体运动时,如体内只有一点相对定参考系 保持不动,则此运动称为刚体的定点运动.
研究表明，刚体的定点运动是一种转动，因此刚 体的定点运动也可以称为定点转动。
刚体定点转动是比定轴转动更为普遍的
运动,后者可看作是定点转动的一种特例。
也可以认为定点转动是刚体绕若干根汇交 于一点的轴转动的复合运动.在不受约束的
1 a22 (1 p22 )(1 cos)
(f2)
1 a33 (1 p32 )(1 cos)
(f3)
3
以上三式相加，利用 pi2 1 ，即导出式（8-6）。□
i 1
3 有限转动次序的不可交换性
如刚体绕点 O作一系列有限转动，根据欧拉定理，它完全 等效于绕过点 O 且固定于刚体的各一次转动轴的一系列转动。
可以证明，定点运动是一种转动，转动轴通过该定点。 证明：以定点 O 为球心作任意半径的球面（图10-1）。
刚体与球面的截面 S 随同刚体的定点运动而沿 球面运动。在刚性截面 S 上任取两点 A 和 B ， 作连接两点的大圆弧 AB ，刚体的位置由 AB 的位置（和定点O 一起）完全确定 。
图10-1 刚体的有限转动