上海宜川中学数学轴对称填空选择单元练习(Word版 含答案)

上海宜川中学数学轴对称填空选择单元练习（Word版含答案）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．
【答案】301 4
【解析】【分析】
根据等边三角形的性质可得OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可
得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.
【详解】
解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，
∴OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE＝30°＝∠ABD
当OE⊥EC时，OE的长度最小，
∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°
∴OE最小值＝1
2
OC＝
1
4
AB＝
1
4
故答案为：30，1 4
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
2．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，
动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
【答案】1或7
【解析】
【分析】
分点P在线段BC上和点P在线段AD上两种情况解答即可．
【详解】
设点P的运动时间为t秒，则BP=2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB=CD，∠B=∠DCE=90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP=CE，即2t=2，解得t=1；
当点P在线段AD上时，
∵AB=4，AD=6，
∴BC=6，CD=4，
∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16，
∴AP=16-2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP=CE，即16-2t=2，解得t=7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为1或7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等方法有：ASA、SAS、AAS、SSS、HL．解决本题时注意分情况讨论，不要漏解.
90,点D在AB上，BC=BD,DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长3．如图,在△ABC中，∠C=0
为12，△ADE的周长为6，则BC的长为_______
【答案】3
【解析】
连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．
【详解】
如图：连接BE ，
DE ⊥AB ，
090BDE ∴∠=，
在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，
BE BE BD BC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，
DE CE ∴=, ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，
△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，
∴BC=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.
4．在ABC 中给定下面几组条件： ①BC=4cm ，AC=5cm ，∠ACB=30°；
②BC=4cm ，AC=3cm ，∠ABC=30°；
③BC=4cm ，AC=5cm ，∠ABC=90°；
④BC=4cm ，AC=5cm ，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则ABC 能够唯一确定的是___________（填序号）.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：①符合全等三角形的判定定理SAS ，即能画出唯一三角形，正确；
②根据BC=4cm ，AC=3cm ，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC 和△BCD ，
③符合全等三角形的判定定理HL ，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC 为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．
5．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF 2=EC 2﹣EF 2； ④BA+
BC=2BF ．其中正确的是_____．
【答案】①②③④．
【解析】
【分析】
根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及
Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.
【详解】
①∵BD 为△ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD ，
在△ABD 和△EBC 中，
BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），
∴①正确；
②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴∠BCE=∠BDA ，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，
∴△ACE 为等腰三角形，
∴AE=EC ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴AD=EC ，
∴AD=AE=EC ，
∵EF ⊥AB ，
∴AF 2=EC 2﹣EF 2；
∴③正确；
④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，
∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，
在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，
BE BE EF EG
=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），
∴BG=BF ，
在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，
EF FG AE CE
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），
∴AF=CG ，
∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，
∴④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 、Q 是边AC 、BC 上的两个动点， PD ⊥AB 于点D ， QE ⊥AB 于点E ．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．若点P 从C 点出发沿CA 以每秒3个单位的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回到点C 停止运动；点Q 从点B 出发沿BC 以每秒1个单位的速度向点C 匀速运动，到达点C 后停止运动 ，当t= 时，△APD 和△QBE 全等．
【答案】2或4．
【解析】
试题分析：①0≤t ＜83
时，点P 从C 到A 运动，则AP=AC=CP=8﹣3t ，BQ=t ，当
△ADP ≌△QBE 时，则AP=BQ ，即8﹣3t=t ，解得：t=2；
②t≥83时，点P 从A 到C 运动，则AP=3t ﹣8，BQ=t ，当△ADP ≌△QBE 时，则AP=BQ ，即3t ﹣8=t ，解得：t=4；
综上所述：当t=2s 或4s 时，△ADP ≌△QBE ．
考点：1．全等三角形的判定；2．动点型；3．分类讨论．
7．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．
【答案】AC 中点或点P 与点C 重合
【解析】
分析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP=BC=5cm ，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP=AC ，P 、C 重合．
详解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：
①当P 运动到AP BC =的，
∵90C QAP ∠=∠=︒，
在Rt ABC △和Rt QPA 中，
AP BC PQ AB =⎧⎨=⎩
， ∴Rt ABC △≌Rt ()QPA HL ，
即5AP BC ==，
即P 运动到AC 的中点．
②当P 运动到与C 点重合时，AP=AC ，
在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，
AP AC PQ AB =⎧⎨=⎩
∴Rt △QAP ≌Rt △BCA （HL ），
即AP=AC=10cm ，
∴当点P 与点C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等．
故答案为：AC 中点或点P 与点C 重合．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
8．如图，已知AC 平分∠DAB ，CE ⊥AB 于点E ，AB =AD +2BE ，则下列结论：①AB +AD= 2AE ；②∠DAB +∠DCB =180°；③CD =CB ；④S ACE ﹣S BCE =S ACD ．其中正确的是______．
【答案】①②③④．
【解析】
【分析】
【详解】
①在AE 取点F ，使EF ＝BE ，连接CF ．
∵AB ＝AD ＋2BE ＝AF ＋EF ＋BE ，EF ＝BE ，
∴AB ＝AD ＋2BE ＝AF ＋2BE ，
∴AD＝AF，
∴AB＋AD＝AF＋EF＋BE＋AD＝2AF＋2EF＝2(AF＋EF)＝2AE，
∴AB+AD= 2AE，故①正确；
②在AB上取点F，使EF＝BE，连接CF．
在△ACD与△ACF中，
∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC＝∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B．
又∵∠AFC＋∠CFB＝180°，
∴∠ADC＋∠B＝180°，
∴∠DAB+∠DCB=180°故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD＝CF，
又∵CF＝CB，
∴CD＝CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF＝S△ADC，
∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，
故④正确．
综上所述，正确的结论是①②③④，
故答案为①②③④．
9．如图，在△ABC和△ADC中，下列论断：
①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；③BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．
【答案】2
【解析】
根据题意，可得三种命题，由①②⇒③，根据直角三角形全等的判定HL可证明，是真命题；由①③⇒②，能证明∠ABC=∠ADC，但是不能得出一定是90°，是假命题；由
②③⇒①，根据SAS 可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.
故答案为：2.
点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.
10．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，则DC=_______
【答案】2cm
【解析】
试题解析：
解：连接AD ，
∵ED 是AB 的垂直平分线，
∴BD =AD =4c m ， ∴∠BAD =∠B =30°，
∵∠C =90°，
∴∠BAC =90°-∠B =90°-30°=60°，
∴∠DAC =60°-30°=30°，
在Rt △ACD 中，
∴DC =
12AD ==12
× 4=2c m ． 故答案为2c m ． 点睛：本题考查了线段垂直平分线，在直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半，三角形内角和定理，主要考查学生运用性质进行计算的能力．
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；
③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；
④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.
【详解】
①正确，理由如下：
∵ACB DCE α∠=∠=,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
又∵CA=CB,CD=CE,
∴ACD BCE ≅△△(SAS),
∴AD=BE,
故①正确；
②正确，理由如下：
由①知，ACD BCE ≅△△，
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠DOB 为ABO 的外角,
∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,
∴∠CBA+∠BAC=180°-α,
即∠DOB=180°-α,
故②正确；
③错误，理由如下：
∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,
∴AM=
12AD,BN= 12
BE, 又∵由①知，AD=BE,
∴AM=BN,
又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,
∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,
∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,
∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,
∴MCN △不是等边三角形，
故③错误；
④正确，理由如下：
如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，
由①知，ACD BCE ≅△△，
∴∠CEO=∠CDP ,
又∵CE=CD,EO=DP ,
∴CEO CDP ≅(SAS),
∴∠COE=∠CPD,CP=CO,
∴∠CPO=∠COP ,
∴∠COP=∠COE,
即OC 平分∠AOE,
故④正确；
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.
12．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB=DC ，AC 与BD 相交于点E ，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌
△DCB ，则还需增加的一个条件是（ ）
A ．AC=BD
B ．AC=B
C C ．BE=CE
D ．AE=DE
【答案】A
【解析】 由AB=DC ，BC 是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS ，即再增加AC=DB 即可. 故选A.
点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，解题时利用全等三角形的判定：
SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL ，确定条件即可，此题为开放题，只要答案符合判定定理即可.
13．在△ABC 中， ∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，
AB=18cm ，则△DBE 的周长为（ ）
A ．16cm
B ．8cm
C ．18cm
D ．10cm
【答案】C
【解析】因为 ∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，易证
△ACD≌△AED，
所以AE =AC=BC ，ED=CD.
△DBE 的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.
因为AB=12，所以△DBE 的周长=12.
故选C.
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE 的周长转化为AB 的长.
14．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结
论:①45ADC ∠=︒;②12
BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】
试题解析：如图，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，
∴③正确；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=
1
2
∠CAB=22.5°=∠BAD，∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，∴∠DBC=∠CAD，
在△ACN和△BCD中，
DBC CAD
AC BC
ACN DCB
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CD=AN=EN=
12AE ， ∵AN=BD ，
∴BD=12
AE ， ∴①正确，②正确；
过D 作DH ⊥AB 于H ，
∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠FCD=∠DBA ，
∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH ，
在△DCF 和△DBH 中
90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，
∴BH=CF ，
由勾股定理得：AF=AH ， ∴
2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF
+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，
AC+AB=2AC+2CF ，
AB-AC=2CF ，
∵AC=CB ，
∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．
故选D
15．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ，
AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：
①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（ ）．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
【答案】A
【解析】
连接AP ，
由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒， 在Rt APR 和Rt APS 中，
AP AP PR PS =⎧⎨=⎩
， ∴△APR ≌()APS HL ，
∴AS AR =，故①正确．
BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，
在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，
∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，
∴PQ AB ∥，故②正确； 在Rt BRP 和Rt CSP 中，只有PR PS =，
不满足三角形全等的条件，故③错误．
故选A ．
点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.
16．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（ ）
A．1+2B．1+2
C．2-2D．2-1
【答案】B 【解析】
第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为
2
2
；
第一次折叠后，等腰三角形的底边长为
2
2
，腰长为
1
2
，所以周长为
1122
1
2222
++=+.
故答案为B.
17．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．
【详解】
延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
在△ABC与△AEF中，
=90AB AE ABC AEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABC ≌△AEF （SAS ），
∴AC=AF ，
∵AB=CD=AE=BC+DE ，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF ，
在△ACD 与△AFD 中，
AC AF CD DF AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△AFD （SSS ），
∴五边形ABCDE 的面积是：S=2S △ADF =2×12•DF•AE=2×
12×2×2=4． 故选C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积是解决问题的关键．
18．如图，点 D 是等腰直角 △ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且 BB′ 交AD 于 F ，交 AC 于 E ，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C ；正确的个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=1
2
，即可得到∠BAD≠30°；连
接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得
AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．
【详解】
∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，
∴BD=1
2
BC=
1
2
AB，
∴tan∠BAD=1
2，
∴∠BAD≠30°，故①错误；
如图，连接B'D，
∵B、B′关于AD对称，
∴AD垂直平分BB'，
∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，
∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，
∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，
∴∠AFB=∠BB'C，
又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，
∴∠BAF=∠CBB'，
∴△ABF≌△BCB'，
∴BF=CB'=B'F，
∴△FCB'是等腰直角三角形，
∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；
由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；
∵AF＞BF=B'C，
∴△AEF与△CEB'不全等，
∴AE≠CE，
∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某
直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
19．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；
④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明
△BRP≌△QSP．
【详解】
试题分析：
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
连接RS，
∵PR =PS ，
∵PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，
∴点P 在∠BAC 的角平分线上，
∴PA 平分∠BAC ，∴①正确．
故答案为①②③．
故选A.
点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143
其中正确的结论个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】 连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．
【详解】
连接CF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45 ，CF=AF=FB ；
∵AD=CE ，
∴△ADF ≌△CEF(SAS)；
∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；
∵∠AFD+∠CFD=90∘，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，
又∵EF=DF
∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).
当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时,DE最小,此时
1
4
2
DF BC
== .
∴242
DE DF
== (故(3)错误).
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CDFE=S△AFC,
∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1
即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1
当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=1
3
S△ACF=
1116
84
323
⨯⨯⨯=
又∵S△ADF=1
42
2
AD AD ⨯⨯=
∴2AD=16 3
∴AD=8
3
(故(4)错误).
故选：A.
【点睛】
本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.
21．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】
分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直
角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
22．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .
A．8 B．10 C．42D．82
【答案】A
【解析】
【分析】
将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF
⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.
【详解】
解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，
根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，
∴∠BDF=∠ECB
在△EBC和△BFD中
EBC=BFD=90
ECB=BDF
EC=BD
⎧∠∠
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
∴△EBC≌△BFD（AAS）
∴DF=BC=4
∴△DBC的面积=
11
BC DF=44=8
22
⋅⨯⨯
故选A.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.
23．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝
1
2
∠BAD，若DF＝1，BE＝
5，则线段EF的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．
【详解】
在BE上截取BG＝DF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中
AB AD
B ADF
BG DF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝
1
2
∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中
AG AF
FAE GAE
AE AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故选：B．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）
A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF
【答案】A
【解析】
【分析】
通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．
【详解】
解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，
∴∠CAB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴CE＝BE＝
1
2
BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，
∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△ADF≌△BDC（AAS）
∴AF＝BC＝2CE，故选项C不符合题意，
∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，
∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°
∴∠AHG＝67.5°，
∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，
∴DH ＝DF ，故选项D 不符合题意，
连接BH ，
∵AG ＝BG ，DG ⊥AB ，
∴AH ＝BH ，
∴∠HAB ＝∠HBA ＝22.5°，
∴∠EHB ＝45°，且AE ⊥BC ，
∴∠EHB ＝∠EBH ＝45°，
∴HE ＝BE ，
故选项B 不符合题意，
故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点.
25．如图，在△ABC 中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，点D 是BC 的中点，BF ⊥AD ，垂足为E ，BF 交AC 于点F ，连接DF.下列结论正确的是（）
A ．∠1=∠3
B ．∠2=∠3
C ．∠3=∠4
D ．∠4=∠5
【答案】A
【解析】
【分析】 如图，过点C 作BC 的垂线，交BF 的延长线于点G ，则CG BC ⊥，先根据直角三角形两锐角互余可得BAD CBG ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质推出1G ∠=∠，又根据三角形全等的判定定理与性质推出3G ∠=∠，由此即可得出答案．
【详解】
如图，过点C 作BC 的垂线，交BF 的延长线于点G ，则CG BC ⊥，即90BCG ∠=︒ ,90AB BC ABC =∠=︒
45BAC ACB ∠∴∠==︒
904545GCF BCG ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒
BF AD
⊥
1190
BAD CBG
∴∠+∠=∠+∠=︒
BAD CBG
∴∠=∠
在BAD
∆和CBG
∆中，
90
BAD CBG
AB BC
ABD BCG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠=︒
⎩
()
BAD CBG ASA
∴∆≅∆
,1
BD CG G
∴=∠=∠
点D是BC的中点
CD BD CG
∴==
在CDF
∆和CGF
∆中，45
CD CG
DCF GCF
CF CF
=
⎧
⎪
∠=∠=︒
⎨
⎪=
⎩
()
CDF CGF SAS
∴∆≅∆
3G
∴∠=∠
13
∠∠
∴=
故选：A．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．
26．如图，AOB
∆的外角,
CAB DBA
∠∠的平分线,
AP BP相交于点P，PE OC
⊥于E，PF OD
⊥于F，下列结论：（1）PE PF
=；（2）点P在COD
∠的平分线上；（3）90
APB O
∠=︒-∠，其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C 【解析】
【分析】
过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正
确；由12APB EPF ∠=∠，180EPF O ∠+∠=︒，得到1902
APB O ∠=︒-∠，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】
解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：
∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ，
∴PE PG PF ==；故（1）正确；
∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确；
∵12
APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=
∠， 又180EPF O ∠+∠=︒， ∴11(180)9022
APB O O ∠=
⨯︒-∠=︒-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；
故选：C ．
【点睛】 本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
27．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A ．150°
B ．180°
C ．210°
D ．225°
【答案】B
【解析】
【分析】 根据SAS 可证得ABC ≌EDC ，可得出BAC DEC ∠∠=，继而可得出答案，再根据
邻补角的定义求解.
【详解】
由题意得：AB ED =，BC DC =，D B 90∠∠==，
ABC ∴≌EDC ，
BAC DEC ∠∠∴=，
12180∠∠+=．
故选B ．
【点睛】
本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出ABC ≌EDC ．.
28．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：
①△PFA ≌△PEB ，②EF=AP ，③△PEF 是等腰直角三角形，④当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），S 四边形AEPF =12
S △ABC ，上述结论中始终正确有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】 ∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，
∴AP ⊥BC ，AP=PB ，
∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，
∠ APF+∠BPE=90°，
∴∠APF=∠BPE ，
在△BPE 和△APF 中，
∠B=∠CAP ， BP=AP ，∠BPE =∠APF ，
∴△PFA ≌△PEB ；故①正确；
∵△ABC 是等腰直角三角形点P 是BC 的中点，
∴AP=12
BC ， 又∵EF 不一定是△ABC 的中位线，
∴EF≠AP ，故结论②错误；
∵△PFA ≌△PEB ，
∴PE=PF ，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF 是等腰直角三角形，故③正确；
∵△PFA ≌△PEB ，
∴S △PFA =S △PEB ，
∴S 四边形AEPF =S △APE +S △APF =S △APE +S △BPE =S △APB =12
S △ABC ，故结论④正确； 综上，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），始终正确的有3个结论.
故选：C.
点睛：本题意旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA ≌△PEB 是解答此题的关键.
29．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634
AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③⑤
C ．①②④⑤
D ．①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；
643AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；
如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利
用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．
【详解】
解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，
∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，
∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO ′，
∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，
∴△OBO ′是等边三角形，
∴OO ′＝OB ＝4．
故结论②正确；
∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．
在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，
∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
2313446432AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论④正确；
如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．
易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，
则23193436324
AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将
△AOB向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．
=，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将30．如图，在Rt△ABC中，AB AC
△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，连接EF.列结论：
+=
①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE DC DE 其中正确的是( )
A．②④B．①④C．②③D．①③
【答案】D
【解析】
解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，故①正确；
②无法证明，故②错误；
③∵△ADC≌△AFB，∴AF=AD，∠FAB=∠DAC．∵∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，∠FA E=∠DAE=45°．在△FAE和△DAE中，∵AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AE，∴△FAE≌△DAE，故③正确；
④∵△ADC≌△AFB，∴DC=BF，∵△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∵BF+BE＞EF，∴DC+BE＞ED ．故④错误．
故选D．。