2018届二轮复习不等式、推理与证明：基本不等式学案(全国通用)

合集下载

高考数学《基本不等式》专题复习教学案

高考数学《基本不等(Deng)式》专题复习教学案a ＋b 2≤ab 本不等式(Ji)一、基【知(Zhi)识梳理】 .>0b >0，a 1．基本不等式成立(Li)的条件：时取等号．b ＝a 2．等号(Hao)成立的条件：当且仅当二、几个重要的不等式)．R ∈b ，a (a2＋b22≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2)；R ∈b ，a (2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤ab 同号)．b ，a (2≥a b＋b a )；R ∈b ，a (ab 2≥2b ＋2a 三、算术平均数与几何平均数两个正数的算，基本不等式可叙述为：ab ，几何平均数为a ＋b2的算术平均数为b ，a >0，则b >0，a 设术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：.(简记：积定和最小)p 有最小值是2y ＋x 时，y ＝x ，那么当且仅当p 是定值xy (1)如果积 .(简记：和定积最大)p24有最大值是xy 时，y ＝x ，那么当且仅当p 是定值y ＋x (2)如果和【基础自测】1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为________解析： ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案：[2，＋∞)2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为_______解析： ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为_______解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：55．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则(Ze)2x ＋5y≥210xy ＝2，故(Gu)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当(Dang)且仅当(Dang)2y ＝5x 时(Shi)取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a2＋b22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．【考点探究】考点一利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是_______ [解] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15·(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.【一题多变】本例(2)条件不变，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x·3y，∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．【由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．【以题试(Shi)法】1．(1)当(Dang)x ＞0时(Shi)，则(Ze)f (x )＝2xx2＋1的最大(Da)值为________． (2)(2011·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18. 即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.考点二多元均值不等式问题【例2】设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y2xz 的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2，所以y2xz ＝x2＋9z2＋6xz 4xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x z ×9z x ＋6＝3，当且仅当x ＝y ＝3z 时，y2xz取得最小值3.【以题试法】若且,求的最小值 .考点三基本不等式的实际应用【例3】 (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设(She)在第一象限有一飞行物(忽略其(Qi)大小)，其(Qi)飞行高度为(Wei)3.2千(Qian)米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．【由题悟法】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.【以题试法】2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且(Qie)仅当x ＝30时，等(Deng)号成立)，∴a ≥10.2. 因此当(Dang)该商品明年的销售量a 至少(Shao)应达到(Dao)10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【巩固练习】1．函数y ＝x2＋2x －1(x >1)的最小值是_______解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x2＋2x －1＝x2－2x ＋2x ＋2x －1＝x2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －13x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．2．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于_______解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－a ＋b 2ab ，而a ＋b 2ab ＝b a ＋ab ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－a ＋b 2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4. 3.求函数的值域. 解：令，则2254x y x +=+因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性.因为在区间单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故.所以，所求函数的值域为.4、求函数的最小值.解析：21(1)2(1)y x x x =+>-，当且(Qie)仅当即(Ji)时(Shi)，“=”号成立，故此函数最小(Xiao)值是. 5.求(Qiu)函数的最大值解：，∴，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是16.已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 解：x ·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋122 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342 7.已知a>b>0,求a+的最小值.8．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.9．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，(1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x －x 的最小值．解：(1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a28. (2)y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2. 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2.10．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由(You)题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x ·9xy＝19＋62，当(Dang)且仅当2y x ＝9xy，即(Ji)9x 2＝2y 2时取等(Deng)号，故x ＋2y 的(De)最小值为19＋62. 11．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围；(2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ，则2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x2＋30x x ＋2＝－x2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号，因此xy 的取值范围是(0,18]．(2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2，y ＝42－1时等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．。

2018届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第四节基本不等式学案文

第四节基本不等式1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识点一基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为______，几何平均数为____，基本不等式可叙述为：________________________________ __________.3．几个重要的不等式a 2＋b 2≥____(a，b∈R )；b a ＋a b≥____(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22____a 2＋b 22(a ，b ∈R )．答案1．(1)a >0，b >0 (2)a ＝b 2.a ＋b2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3．2ab 2 ≤1．判断正误(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件．( ) (3)若a ≠0，则a 2＋1a2的最小值为2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√知识点二利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是____．(简记：积定和最小)2．如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是____．(简记：和定积最大)答案1．x ＝y 小 2p 2.x ＝y 大p 242．(必修⑤P100习题3.4A 组第1(2)题改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析：xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.答案：C3．(必修⑤P100习题3.4A 组第2题改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0<x <10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，都为5时面积取到最大值25 m 2.答案：25 m 24．已知m >0，n >0,2m ＋n ＝1，则1m ＋2n的最小值为____.解析：∵2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n)·(2m ＋n )＝4＋n m＋4mn ≥4＋2n m ·4mn＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝12，m ＝14时，“＝”成立．答案：8热点一配凑法求最值【例1】 (1)已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．【解】 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)因为x >0，所以x 1＋y 2＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋ 12＋y 22 2.又x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 22＋12＝32，所以x 1＋y 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＝324，即(x 1＋y 2)max ＝324.(1)设0<x <52，则函数y ＝4x (5－2x )的最大值为________．(2)设x >－1，则函数y ＝ x ＋5 x ＋2x ＋1的最小值为________．解析：(1)因为0<x <52，所以5－2x >0，所以y ＝4x (5－2x )＝2×2x (5－2x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5－2x 22＝252，当且仅当2x ＝5－2x ，即x ＝54时等号成立，故函数y ＝4x (5－2x )的最大值为252.(2)因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ＝ x ＋5 x ＋2 x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝ x ＋1 2＋5 x ＋1 ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋1 ×4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立，故函数y ＝ x ＋5 x ＋2 x ＋1的最小值为9. 答案：(1)252 (2)9热点二常值代换法求最值【例2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．【答案】 41．本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为____.解析：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：92．若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？解：∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a≥1＋22ab 9ab ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b ＝32－3时，取等号．故1a ＋1b 的最小值为1＋223.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．解析：因为x ＋3y ＝5xy ，且x >0，y >0. 所以3x ＋1y＝5，所以3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y ＝15⎝⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x·3x y＝15(13＋12)＝5. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧12y x ＝3xy，3x ＋1y ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12时取“＝”．所以3x ＋4y 的最小值是5.答案：5热点三换元法求最值【例3】已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．【解析】因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2，由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．【答案】 26－3已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．解析：由已知得x ＝9－3y1＋y .方法1：(消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3 1＋y 2－6 1＋y ＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y· 3y ＋3 －6＝6. 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法2：∵x >0，y >0,9－(x ＋3y ) ＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立，设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t >0，∴t ≥6. 故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案：6热点四基本不等式与函数的综合应用【例4】 (1)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)由f (x )≥3恒成立，得x 2＋ax ＋11x ＋1≥3，又x ∈N *，∴x 2＋ax ＋11≥3(x ＋1)，∴a －3≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8x . 令F (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8x ，x ∈N *，则F (x )max ＝F (3)＝－173.即a －3≥－173，∴a ≥－83.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞(2017·太原模拟)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)解析：因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋29＝16.由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案：D1．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．2．利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．。

[配套K12]2018版高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明 6.4 基本不等式模拟演练理

2018版高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明 6.4 基本不等式模拟演练理[A 级基础达标](时间：40分钟)1．已知x ，y ∈R ＋，则“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若xy ＝1，由基本不等式，知x ＋y ≥2xy ＝2；反之，取x ＝3，y ＝1，则满足x ＋y ≥2，但xy ＝3≠1，所以“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的充分不必要条件．故选A.2．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C 解析由ab ≥22ab，得ab ≥22，当且仅当1a ＝2b时取“＝”，选C.3．已知a >0，b >0,2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案 D解析 ∵2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， ∴2a＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ×2ab＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a＝2ab ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D.4．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案 A解析 ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号．5．[2017·浙江考试院抽测]若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)． 6．[2017·广州模拟]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．答案 2解析因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，所以x ＋y 的最大值为2. 7．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________．答案 22＋2 解析因为y ＝2x ＋1x －1(x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋2x －1x －1＝22＋2. 当且仅当x ＝1＋22时取等号，故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22＋2. 8．函数f (x )＝x ＋－2x(－1<x <12)的最大值为________．答案324解析 f (x )＝x ＋－2x ＝12x ＋－2x ，因为－1<x <12，所以2x ＋2>0,1－2x >0，且(2x ＋2)＋(1－2x )＝3.由基本不等式可得(2x ＋2)＋(1－2x )≥2x ＋－2x(当且仅当2x ＋2＝1－2x ，即x ＝－14时等号成立 )，即x ＋－2x ≤32.所以f (x )＝ 12x ＋－2x ≤12×32＝324.9．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.10．[2016·郑州模拟]若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，所以ab ＝1a ＋1b ≥21ab，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因为a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6，故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·安庆模拟]设实数m ，n 满足m >0，n <0，且1m ＋1n＝1，则4m ＋n ( )A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1 答案 C解析因为1m ＋1n ＝1，所以4m ＋n ＝(4m ＋n )( 1m ＋1n )＝5＋4m n ＋n m ，又m >0，n <0，所以－4mn－n m ≥4，当且仅当n ＝－2m 时取等号，故5＋4m n ＋n m ≤5－4＝1，当且仅当m ＝12，n ＝－1时取等号，故选C.12．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2 答案 A解析由题可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，∴2a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －1(a ＋b －1)＝2＋b －a＋ab －1＋1≥3＋22，当且仅当b －a＝ab －1，即a ＝2－2，b ＝2时等号成立，故选A.13．已知a >b >0，则a 2＋16ba －b的最小值是________．答案 16解析因为a >b >0，所以b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．所以a 2＋16ba －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．所以当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16ba －b取得最小值16. 14．已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0， ∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， ∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0， ∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.。

基本不等式导学案档

基本不等式及其运用专题复习导学案复习目标：1.熟练掌握不等式及其成立时的条件2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．基础再现：1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a （a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；两个变形(1)a 2＋b 22≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．课前热身练习：1.若3x >-，则23x x ++的最小值为 223- 2. .设0x <,则433y x x =--的最小值为____433+______.3．设,,5x y x y ∈+=R 且，则33x y +的最小值是___183__4.若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为___12_ 考点一利用基本不等式求最值【典例剖析】►(1)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是 4 (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为___1_____． (3) 求的值域.(][),19,-∞⋃+∞考点二利用基本不等式解决恒成立问题【典例剖析】►1.(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是_____15a ≥___．2.（2009·海门市第一次诊断）已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ()4,2- .3.的最小值为恒成立，则对任意的正实数）已知不等式（)0(,9)1(>≥++a a y x ya x y x 4 .考点三利用基本不等式解决实际问题【典例剖析】►某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？答案：10年解实际应用题要注意以下几点：（挑战能力.）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?答案用对号函数反馈练习：的最小值求满足已知正数yx y x y x 11,12,.1+=+ 322+ . 的最大值求)52(,520.2x x y x -=<< 15. 3.已知03<<-x ，则29x x y -=的最小值是： 92-. 4.若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为_____18___．5.正数a 、b 满足 b a +=1，求 )1)(1(++b a 的最大值 32. 6. (2010·山东卷) 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 3 . 7.(2011·郑州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是___10_____．8..某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ,则有 (B )A.x =21(a+b )B.x ≤21(a +b )C.x >21(a +b )D.x ≥21 (a +b ) 9.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5,则ab 的取值范围是 (C )A.［7+6,+∞)B.［7-6,+∞)C.［7+26,+∞)D.［7-26,+∞)10.求函数最大值)10(log 5log 2)(22<<++=x xx x f 225- . 11.(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？n=8 520万12.（挑战能力）的最大值为恒成立，则且设n ca n cb b a N nc b a -≥-+-∈>>*11, 4 13.（挑战能力）的最大值求满足若正数2221,12,b a b a b a +=+ 324 . 14.（挑战能力）的最小值求2)3(222++=x x y 32。

基本不等式(培优)-学案

授课主题第12讲---基本不等式授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 掌握基本不等式的证明及应用；② 会用基本不等式求函数的最大值或最小值； ③ 掌握基本不等式的实际应用。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂1、算术平均值与几何平均值（1）算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值（2）几何平均值：对任意两个正实数,a b ，数ab 叫做,a b 的几何平均值 2、均值定理如果,a b R +∈，那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 3、均值不等式的常见变形（1）()2,a b ab a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0）（4）()2,11ab a b R a b+≤∈+4、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，x ＋y 有最最小值是p 2。

(简记：积定和最小)知识梳理（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值是42s 。

(简记：和定积最大)考点一：基本不等式的理解例1、下列不等式一定成立的是（）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+例2、已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<<考点二：基本不等式与最值例1、已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30⋅=∠=︒AB AC BAC ，若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值为（）A ．20B ．18C ．16D ．9例2、设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值．例3、设b a 、为正实数，且2211=+ba . （1）求22b a +的最小值；（2）若32)(4)(ab b a ≥-，求ab 的值.典例分析考点四：基本不等式的实际问题例1、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.（1）要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？（2）M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．4800m，深为3m．如果池底每平方米的造价为150例2、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为3元，池底每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？例3、图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．222、若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．23、若,0>>b a 则下列不等式成立的是（）A.ab b a b a >+>>2 B.b ab ba a >>+>2C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>24、函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14m n+的最小值是（） A.12 B.13 C.24 D.255、已知为正实数，且，则的最小值为__ _．实战演练10、已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C11、某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：（1）仓库面积S 的取值范围是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？1、【优质试题·四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）A ．16B ．18C ．25D ．8122、【优质试题·福建，13】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是直击高考每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）。

2018年秋高中数学第三章不等式3.4基本不等式学案新人教A版必修520180915283

3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)．[自主预习·探新知]1．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．思考：如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替不等式a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b ，可得到怎样的不等式？[提示] a ＋b ≥2ab . 2．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ，b 均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．思考：不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[提示] 不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．3．算术平均数与几何平均数(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．思考：a ＋b2≥ab 与⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？[提示] 不等价，前者条件是a >0，b >0，后者是a ，b ∈R . 4．用基本不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y ＝s2时，积xy 有最小值为2xy .(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为x ＋y24.5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数．(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？[提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．[基础自测]1．思考辨析(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________.【导学号：91432346】400 [因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝40，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．]3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]4．给出下列说法： ①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2； ②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R 且x ≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确说法的序号是________.【导学号：91432347】①③ [①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]，所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0，即a >1，b >1时才成立；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ＝4成立．][合作探究·攻重难]利用基本不等式比较大小已知0<a <1,00，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ，所以四个数中最大的数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又因为0<a <1,0<b <1，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0，所以a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．法二：令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1,2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212×18＝12，所以a ＋b 最大．a ≥0，时，要注意不等式的双向⎛a ＋1．(1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________. 【导学号：91432348】(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．(1)m >n (2)P <Q <R [(1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n . (2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .]利用基本不等式证明不等式已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[解] ∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ca >0，∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【导学号：91432349】[证明] 因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a.同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．基本不等式的实际应用如图341，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．图341(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：①已知a ＋b 为定值，如何求ab 的最大值？②已知ab 为定值，如何求a ＋b 的最小值？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴9－32y >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y .∵0<y <6， ∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48. 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3yxy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48.当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图342所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．[解] 设污水池的长为x 米，则宽为400x 米，总造价y ＝(2x ＋2·400x )·200＋2×250·400x＋80×400＝400⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x ＋32 000≥400×2x ·900x＋32 000＝56 000(元)，当且仅当x ＝900x，即x ＝30时取等号．故污水池的长为30米、宽为403米时，最低造价为56 000元.利用基本不等式求最值[探究问题]1．由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？提示：最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的： “因为y ＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x 2＝1时“＝”号成立，所以y ＝x ＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示：不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x 与1x都是正数，而本题x 可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取“＝”，y ＝x ＋1x的最小值是2；当x <0时，y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝－1时，取“＝”，y ＝x ＋1x的最大值是－2.3．已知x ≥3，求y ＝x 2＋4x 的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y ＝x 2＋4x ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴当x ≥3时，y ＝x 2＋4x的最小值为4.”提示：不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y ＝x ＋4x的单调性求解．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值.【导学号：91432350】思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征． (1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3. (2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x )． (3)2x x 2＋1＝2x ＋1x. (4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋9y. [解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116.(3)f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1x. ∵x >0，∴x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x >54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的值域．[解] ∵x >54，∴4x －5>0，∴f (x )＝4x －5＋14x －5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5.即x ＝32时，等号成立．f (x )的值域为[5，＋∞)．2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最值如何求解？[解] 由f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3 ①当x >54时，4x －5>0∴f (x )＝4x －5＋14x －5＋3≥2＋3＝5当且仅当4x －5＝14x －5时等号成立即x ＝32时f (x )min ＝5.②当x <54时，4x －5<0.f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故当x ＝1时，f (x )max ＝1.1．若0<a <1,00，log b a >0，所以log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b≥2log a b ·1log a b＝2. 当且仅当log a b ＝log b a 即a ＝b 时取“＝”．]2．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝1，则ab 有最________值为________；若ab ＝1，则a 2＋b 2有最________值为________.【导学号：91432351】大 12 小 2 [由a 2＋b 2≥2ab 可知，当a 2＋b 2＝1时，ab ≤12，故ab 有最大值为12；当ab ＝1时，a 2＋b 2≥2，a 2＋b 2有最小值2.]3．若0<x <1，则x－2x的取值范围是________．⎝⎛⎦⎥⎤0，324 [由0<x <1知3－2x >0，故x－2x ＝12·2x－2x ≤12·2x ＋－2x2＝324，当且仅当x ＝34时，上式等号成立．所以0<x－2x≤324.]- 11 - 4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2，那么水池的最低总造价为________元.【导学号：91432352】1 760 [设池底一边长为x m ，总造价为y 元．则y ＝4×120＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×80＝320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋480(x >0)．因为x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号，所以y min ＝480＋320×4＝1 760(元)．]5．已知函数f (x )＝x ＋1x. (1)已知x >0，求函数f (x )的最小值．(2)已知x <0，求函数f (x )的最大值．(3)已知x ∈[2,4]，求f (x )的最值．[解] (1)∵x >0，∴f (x )＝x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时等号成立． ∴f (x )的最小值为2.(2)∵x <0，∴f (x )＝x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2.当且仅当x ＝－1时等号成立．∴f (x )的最大值为－2.(3)设2≤x 1<x 2≤4，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2. 因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，x 1x 2－1>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[2,4]上是单调增函数．在x ＝2时，f (x )有最小值52；当x ＝4时，f (x )有最大值174.。

高中数学《基本不等式》(2课时)教学设计

基本不等式（2课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容：基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.2. 内容解析：相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容.基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关. 从数与运算的角度，是两个正数a，b的“算术平均数”，是两个正数a,b，的“几何平均数”.因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算. 从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”，等等，都是基本不等式的直观理解.其次，基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源.利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等. 这些方法也是代数证明和推导的典型方法.此外，基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值. 基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值. 同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法. 因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题.本单元教学建议课时数：2课时.二、目标和目标解析1.目标：（1）理解基本不等式，发展逻辑推理素养.（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.2.目标解析：达成上述目标的标志是：（1）知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.（2）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点.基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.四、教学支持条件分析在进行基本不等式的几何解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解.五、教学过程设计第一课时（一）课时教学内容本节课的主要教学内容有：基本不等式的定义；基本不等式的证明；基本不等式的几何解释；运用基本不等式求最值；基本不等式求最值的两种模型.（二）课时教学目标1.理解基本不等式，发展逻辑推理素养；2.了解基本不等式的几何解释；3.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.（三）教学重点与难点教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点为：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.（四）教学过程设计1.基本不等式的定义导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题.问题1：提到两个数的乘法，在上一节我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式中含有ab乘法，是什么不等式？2.基本不等式的证明问题2：上节课我们看到，证明不等关系，还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？预设方案一：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明.教师给予肯定，是否还有其它证法？预设方案二：由于没有已知条件，学生不知从何入手.追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？师生活动：学生分别回答由⑤→④，由④→③，由③→②，由②→①的依据.追问3：上述证明叫做“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.追问4：你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”.追问5：基本不等式成立的条件是什么？如果a<0或b<0基本不等式是否成立？师生活动：学生通过证明发现，a,b均为非负数，如果a,b存在负数时，该不等式不成立.教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数.设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.追问4：通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”.设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件.例2 已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善.追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解决.设计意图：在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.（五）目标检测设计设计意图：考查学生对基本不等式的理解，及运用“分析法”证明问题的能力.第二课时（一）课时教学内容利用基本不等式解决实际问题中最值问题.（二）课时教学目标1.运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；2.理解基本不等式的数学模型，提高学生模型思想解决问题的能力.（三）教学重点与难点教学重点：运用基本不等式的模型思想解决生活中的最值问题.教学难点：应用基本不等式解决实际问题.（四）教学过程设计1.复习引入问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？师生活动：学生根据教师提出的问题梳理上节课的知识，教师对学生遇到的困难给予帮助.特别是强调利用基本不等式求最值的方法，即两个变量均为正数是前提，发现“定值”是关键，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.2.利用基本不等式解决生活问题导入语：运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值.基本不等式是求最值的工具，特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.问题2：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？追问1：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例的两个问题分别属于哪类问题吗？师生活动：学生思考后回答：属于。

基本不等式第二课时参考教学方案

《基本不等式(第二课时)》教学设计
1．运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；
2．能将某些生活中的最值问题转化为基本不等式两种最值模型中的一种，提高用模型思想解决问题的能力．
教学重点：用基本不等式解决生活中的最值问题．
教学难：判断生活中的最值问题是否属于能够用基本不等式最值模型解决的两类最值问题．
预设学生回答：基本不等式能解决以下两类最值问题：（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果正数x，y的和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．
设计意图：本节课的重点是用基本不等式解决生活中的最值问题．通过回顾知识，初步了解解决问题的思路和方向．有助于学生严密的逻辑思维、良好的认知结构的建立和完善．
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：（1）水池的总造价和什么有关？（2）怎样设元，得到水池的总造价表达式？学生合作进行讨论，得到总造价的表达式．
预设的答案：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元，则．
追问1：此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？
3．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得2（a+b）=36，即a+b=18．
因为旋转形成的圆柱的侧面积为：2πab，所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，由基本不等式得：，当且仅当a=b=9时取等号．
故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
师生活动：学生自主反思总结，并回答问题，教师帮助梳理：先从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；然后，根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解；最后，用求得的结果解释实际问题．

2018届高三第二轮理科数学学案-4基本不等式

基本不等式【知识梳理】1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )1)的最小值为________．答案 (1)23(2)1 (3)23＋2 解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋(4－3x )2]2＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号． (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．引申探究 1．条件不变，求(1＋1a )(1＋1b)的最小值．解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋a b ) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 2．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝4，求a ＋b 的最小值．解由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b＝1. ∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a 4b ＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 3．将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1b的最小值．解 ∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号．(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．(2)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m ＝________. 答案 (1)5 (2)4解析 (1)方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x)＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y 5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15， ∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y 5y －1＋4y ＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m ) (当且仅当y x ＝mx y，即y ＝mx 时取等号)， ∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4.题型二基本不等式的实际应用例3 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250 ＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x )． ∴L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x )(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)；当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x) ≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．答案 (1)80 (2)8解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立． (2)年平均利润为y x ＝－x －25x＋18 ＝－(x ＋25x)＋18， ∵x ＋25x ≥2x ·25x＝10， ∴y x ＝18－(x ＋25x)≤18－10＝8，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，取等号．题型三基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 (1)(2016·菏泽一模)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．答案 (1)A (2)92解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， ∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12(n ＋16n＋1)≥ 12(2n ·16n ＋1)＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92. 命题点2 求参数值或取值范围例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞) 解析 (1)由3a ＋1b ≥m a ＋3b，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋a b＋6. 又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝a b时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)(2016·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.94 D.256答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号； ②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.(2)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n) ＝16(5＋n m ＋4m n) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4m n时，等号成立，又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意．故1m ＋4n 的最小值等于32.9．利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________．错解展示解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42，∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x≤1－2 6. ∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26]．答案 (1)42 (2)(－∞，1－26]现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y) ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2 (－2x )·3－x ＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)．答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.巩固作业1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2 C ．|a b ＋b a|≥2 D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析因为a b 和b a 同号，所以|a b ＋b a |＝|a b |＋|b a|≥2. 2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 3．当x >0时，函数f (x )＝2x x 2＋1有( ) A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2 答案 B解析 f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1时取等号． 4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 答案 C解析依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b)·(a ＋b ) ＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 5．(2016·平顶山至阳中学期中)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4 答案 C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22 B ．2 2 C. 2 D ．2 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.*7.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，所以最小值为6.故选B.8．(2016·唐山一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.9．(2016·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 ∵x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，∴d ＝|b ＋1＋a |2＝2， ∴a ＋b ＋1＝2，即a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＝(1－b )2b ＋1＝(b ＋1)2－4(b ＋1)＋4b ＋1＝(b ＋1)＋4b ＋1－4≥24－4＝0. 又∵a ，b 为正实数，∴a 2b ＋1的取值范围是(0，＋∞)． 10．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． *11.(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上．则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|)＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．14.如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0. 由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6.所以当a 不超过6 km 时，可击中目标．。

高中数学_不等式复习(基础篇)教学设计学情分析教材分析课后反思

高考专题复习之六――不等式(基础篇)学情分析一、整体情况1、所教学生为文科实验班，共34人，是高三新成立的班，这些学生在高一、高二时都分布在平行班中，高一、高二时学生在班内相对较好。

2、数学数学基础相对较好，但数学学习习惯不够规范，具体表现在：书写不规范、思维不够清晰，缺乏思维的深度、数学运算能力不强、在数学问题中对数学知识和方法的提取与转化能力弱、缺少做题的灵活性个性品质需要再进一步提高二、本部分知识掌握情况对于本部分知识，学生在新授课和一轮复习时对一些基础题型已经能够较熟练地处理，再加之新授课中对基本题型如不等式性质的运用、解一元二次不等式等相关的单一的基本题型已经掌握较好，本节课的重点是通过对典型问题的解读分析，在思维上让学生再进一步提高，使学生能够站在更高的高度看待与不等式有关的问题，对知识点的辨认、提取、讨论、解决方面能够再上一个台阶。

三、教学目标知识1、进一步掌握不等式的性质2、掌握基本不等式的特征及运用条件3、掌握一元二次不等式与对应一元二次方程和一元二次函数的关系方法1、能较清晰地识别、辨认并能有针对性地处理与不等式有关的常见题型.2、能够较熟练地解一元二次不等式3、能够较熟练地运用基本不等式求最大（小）值4、初步掌握分类讨论的分类标准思想1、进一步提高分类整合、数形结合的能力2、通过观察、归纳、抽象等方式，培养学生求真求实的科学精神，体会数学的应用价值，提高学生的逻辑推理能力和学数学用数学的意识.四、教学策略与教学手段根据复习课的特点以及数学知识的特点，在课堂上主要采用以题促学、以题促思、学生在老师指导下进行互助合作的模式；在复习基本题型的同时突出复习重点、攻克思维难点，同时辅以多媒体演示，最大限度地提高教学效率。

高考专题复习之六:不等式(基础篇)效果分析对于本节课，我认为自己做到了以下几点：1、对所教学生的学习情况做了细致、全面的了解和分析；2、对所复习知识点在高考中的地位和作用做了全面的分析；3、对所选题目进行了精心的筛选，力争做到具有代表性，能反应高考考查的方向；4、对重点难点的突破做到了循序渐进；5、在课堂控制方面坚持以学生为主体充分挖掘学生的潜力；学生方面：1、对不等式部分有了更深刻的认识；2、对于不等式部分在高考中的地位和作用认识更到位；3、从思维层面上对不等式相关的综合题目有了一定的理性认识.专题复习之六――不等式（基础篇）教材分析一、考试大纲及考试说明的要求：1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3、基本不等式：2a b +≥ (0,0)a b ≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、教材分析1、本部分教材是高中数学必修五中的内容，由于本部分知识即具有知识性、工具性的特点，但在整个数学知识体系中本部分有着举足轻重的作用。

基本不等式的导学案

3.1 《基本不等式》的导学案学习目标：1．我能通过阅读课本，说出基本不等式的特征，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．我能通过对基本不等式的不同解释，掌握换个角度看问题的思维意识．形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b2≥ab 的多种解释．教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释．一．自主学习，夯实基础阅读课本P 88前四段，自主完成下面的问题。

问题1: 证明：对于任意实数x ,y ,都有xy y x 222≥+当且仅当y x =时，等号成立设a x =，b y =代入上面不等式中能得到什么不等式？问题2:基本不等式的内容是什么？不等号左右两边的形式有什么特点？问题3：使用基本不等式的前提是什么？等号成立的条件是什么？二．合作探究，激活思维对于基本不等式,请尝试从几何方面给予解释.如图，AB 是⊙O 的直径，AC=a ，CB=b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D,连接AD,BD,请你利用OD ≥DC 写出一个关于a ，b 的不等式.三．1.基础性练习，概念的基本理解.判断正误：①R x ∈ 2121=⋅≥+∴xx x x （） ②,1>>b a b a ba lg lg 2lg lg ⋅>+∴（） ③4>a 6929=⋅≥+∴aa a a （） 2.挑战性练习，知识的灵活运用设a ，b 均为正数，证明不等式：ab ≥21a ＋1b.四．思考交流如图2，在⊙O上半圆中，设AC＝a，CB＝b，OF⊥AB交上半圆于F，请你利用FC≥OF得出一个关于a，b的不等式，将这个不等式与基本不等式和例1中的不等式进行比较．图2结论：对于基本不等式，用文字语言可叙述为：(1)如果把看作两个非负数a、b的,看作两个非负数a、b的,那么该定理可以叙述为:两个非负数的不小于它们的.(2)从数列角度看,可把看作正数a、b的,看作正数a、b的.因此,两个正数的不小于它们的.五.检测练习P练习见课本90。

高考数学复习不等式推理与证明第34讲基本不等式优选学案

第34讲基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：！！！！__a >0，b >0__####. (2)等号成立的条件：当且仅当！！！！__a ＝b __####时取等号． 2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥！！！！__2ab __####(a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥！！！！__2__####(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为！！！！__a ＋b2__####，几何平均数为！！！！__####，基本不等式可叙述为！！！！__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__####.4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当！！！！__x ＝y __####时，x ＋y 有最！！！！__小__####值，是！！！！简记：积定和最小)；(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当！！！！__x ＝y __####时，xy 有最！！！！__大__####值，是！！！！__p 24__####(简记：和定积最大)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)． (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(3)“x ＞0，y ＞0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a ＞0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )解析 (1)错误．因为x 没有确定符号，所以不能说最小值为2. (2)错误．利用基本不等式时，等号不成立． (3)错误．不是充要条件，当x <0，y <0时也成立． (4)错误．最小值不是定值，故不正确．2．已知m ＞0，n ＞0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( A ) A ．18B ．36C ．81D ．243解析 ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．3．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( A )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]解析 M ＝a 2＋4a ＝a ＋4a.当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4. 4．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为！！！！__5__####. 解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．5．若x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为！！！！__2__####.解析由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可知xy ＝10. 则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．一利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【例1】 (1)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8. (2)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 (1)∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x≥2yz x＞0，x y ＋z y≥2xz y＞0，x z ＋y z≥2xyz＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．二利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【例2】 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13B ．12C ．34D ．23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( C ) A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4(3)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．解析 (1)∵0<x <1， ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．(2)∵x >2，∴x －2>0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时，等号成立．∴x ＝1或3. 又∵x >2，∴x ＝3，即a ＝3.(3)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【例3】 (1)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为！！！！__4__####.(2)已知x 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解析 (1)a 4＋4b 4＋1ab ＝a 3b ＋4b 3a ＋1ab ，由基本不等式，得a 3b ＋4b 3a ＋1ab≥2a 3b ×4b 3a ＋1ab＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 3b ＝4b 3a ，4ab ＝1ab 同时成立，即a 2＝22，b 2＝24时等号成立．(2)因为x >0，所以x ·1＋y 2＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22≤22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22. 又x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 22＋12＝32.所以x 1＋y 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＝324，当且仅当x 2＝12＋y 22，即x ＝32时，等号成立．故(x 1＋y 2)max ＝324.三利用基本不等式解决实际应用问题(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【例4】 (2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是！！！！__30__####.解析一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.1．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( B ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． 3．若2x＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是！！！！__2__####. 解析因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.4．若直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之解析直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，求直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值即求a ＋b 的最小值．由直线l 经过点(1,2)，得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b.因为b a ＋2ab≥2b a ×2a b ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，则(a ＋b )min ＝3＋2 2.易错点不会凑出常数错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑”等技巧．【例1】已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则λ的最小值为！！！！______####.解析由已知得λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立．∵x ＋22xy x ＋y ＝x ＋2x ·2y x ＋y ≤x ＋x ＋2yx ＋y＝2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴λ≥2，即λ的最小值为2.答案 2【跟踪训练1】设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3 解析因为(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·(a ＋1)2＋(b ＋3)22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.课时达标第34讲[解密考纲]考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现，或在解答题中作为工具使用．一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析 ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，取等号．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( C ) A ．a ＋b ≥2abB ．1a ＋1b>1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析 ∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( C ) A ． 2B ．4C ．2D ．2 2解析 ∵a ≥0，b ≥0，∴a ＋2b ≥0，又∵a (a ＋2b )＝4，∴4＝a (a ＋2b )≤(a ＋a ＋2b )24，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时等号成立．∴(a ＋b )2≥4，∴a ＋b ≥2.4．函数y ＝^x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( B ) A ．1 B ．94C ．9D ．16解析1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即b ＋1＝2(a ＋1)时取等号．故选B ．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( A ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析设甲、乙两地相距s ，则平均速度v ＝2ss a ＋s b＝2aba ＋b .又∵a ＜b ，∴2ab a ＋b ＞2abb ＋b＝a .∵a ＋b ＞2ab ， ∴2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ，∴a ＜v ＜ab . 二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 解析因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．8．(2017·山东卷)若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为！！！！__8__####.解析 ∵直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2b＝1.又∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时等号成立，∴2a ＋b 的最小值为8.9．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则3x ＋2y解析由a ＋b2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤2·(3x )2＋(2y )2＝2·3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号．三、解答题10．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析 (1)∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ， ∴xy (xy －8)≥0，又xy ≥0， ∴xy ≥8，即xy ≥64.当且仅当x ＝4y ，即8y ＋8y －4y 2＝0，即y ＝4，x ＝16时取等号， ∴xy 的最小值为64. (2)∵2x ＋8y ＝xy >0， ∴2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝2y ，即4y ＋8y －2y 2＝0，即y ＝6，x ＝12时取等号， ∴x ＋y 的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解析 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1，所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400·⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240. 故y 与x 的函数关系为y ＝96 000x＋240x －160(0＜x ＜240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。

[推荐学习]高考数学二轮复习不等式基本不等式学案理

基本不等式【复习目标】1. 理解并掌握基本不等式的最值条件，会利用基本不等式求简单的最大(小)值问题。

2. 能利用基本不等式解决一些简单的实际问题.【基础知识】1. 当a,b 是任意实数时, 有,222ab b a ≥+当且仅当a=b 时，等式成立.(公式中，a ，b 的取值是任意的，a ，b 代表实数)2. 当a ，b 均为正数时，把ab 叫作a ，b 的几何平均数,把2b a +叫作正数a ，b 的算术平均数.3. 基本不等式当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即,2b a ab +≤当且仅当a=b 时，等号成立.4. 利用基本不等式求函数的最值(1) 已知x ，y 都是正数，则①若xy=P （积定值），则当x=y 时，x+y 有最小值P 2. ②若x+y=S （和为定值），则当x=y 时，xy 有最大值.42S ③利用,2b a ab +≤必须满足三个条件：一正，二定，三等. 5. 利用基本不等式解决实际应用题的步骤.1) 审清题意.2）适当地设未知数.3 ) 建立数学模型，即从实际问题中抽象出函数的关系式，并指明函数的定义域.4) 利用基本不等式求最值.5) 根据实际问题写出答案.【典型例题】例1 已知,,41,x y R x y xy +∈+=且求的最大值。

变式1：已知,x y R +∈, xy=1，求x+y 的最小值。

例2 已知函数 )0(2)(>+=x x x x f ，求函数的最小值和此时x 的取值．变式2：(1) 2()(0)g x x x x =+<的最值。

（2）求2()h x x x =+的值域例3 求)1(12)(>-+=x x x x f 的最小值变式：（1）求222()(1)1x x f x x x ++=>-+的最小值。

例4、求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域变式：若对任意20,31x x a x x >≤++恒成立，则a 的取值范围是例5、已知0,0,2a b a b >>+=，求14y a b =+的最小值。

精选推荐018年高考数学总复习第六章不等式第3讲基本不等式学案

第3讲基本不等式：ab ≤a ＋b2最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( )解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5.(5)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80B.77C.81D.82解析 xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.答案 C3.(2015·福建卷)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A.2B.3C.4D.5解析因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2ab ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C4.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.4 解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 答案 C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大.解析设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.答案 151526.(2017·浙江五校联考)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy的最小值为________.解析 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1， ∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ， ∴x －y ＝2x －1，又0<x <1， ∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1，即x －y 的取值范围为(－1，1). 1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋xy的最小值为3. 答案 (－1，1) 3考点一配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值.解 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤ －2（5－4x ）15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)(2017·丽水模拟)若对任意的x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2 考点二常数代换或消元法求最值【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________.(2)(2016·东阳检测)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8B.4C.2D.0解析 (1)(常数代换法) 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1，所以8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18，当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)A考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【训练3】 (2017·湖州月考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv ＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时. 答案 (1)1 900 (2)100[思想方法]1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性. [易错防范]1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.。

全国通用2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节基本不等式课件文新人教A版

[变式训练 2] 设 a，b 均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
[证明] 由于 a，b 均为正实数，
【导学号：31222210】
所以a12＋b12≥2 a12·b12＝a2b，3 分
当且仅当a12＝b12，即 a＝b 时等号成立，
又因为a2b＋ab≥2 a2b·ab＝2 2，
当且仅当a2b＝ab 时等号成立，所以a12＋b12＋ab≥a2b＋ab≥2 2，8 分
4．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(
)
【导学号：31222209】
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
C [当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2
x－2×x－1 2＋2＝4，
当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3，
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是_2__p__(简记：
积定和最小)．
q2
(2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是__4__(简记：
和定积最大)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
a2b，即
当且仅当1a1a＝＋2b2b，＝ ab，
即 a＝4 2，b＝24 2时取“＝”，所以 ab 的最小
值为 2 2. (2)由 x2＋2xy－3＝0 得 y＝3－2xx2＝23x－12x，则 2x＋y＝2x＋23x－12x＝32x＋23x

2018高中数学第3章不等式第四节基本不等式1 基本不等式的证明学案苏教版必修5

基本不等式的证明二、重难点提示重点：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式证明不等式。

难点：理解基本不等式等号成立的条件。

考点一：基本不等式如果a ，b 是正数，那么2ba ab +≤（当且仅当a ＝b 时取“＝”），我们把不等式2ba ab +≤称为基本不等式。

【要点诠释】① 对于正数a ，b ，我们把2ba +称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

② 对于“=”的理解应为若a b =，则2a b +=且若2a b+=，则a b =，也就是说当a b ≠时，2a b+>。

③ 注意222a b ab +≥与2a b +≥,a b R ∈，后者是*,a b R ∈。

考点二：基本不等式的其他形式基本不等式的四种形式① 222a b ab +≥；（,abR ∈）；② 222a b ab +≤（,a b R ∈）；③ a b +≥（*,a b R ∈）；④ 22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（,a b R ∈）。

【要点诠释】①②两种形式的前提是,a b R ∈，③④两种形式的前提是*,a b R ∈；四种形式等号成立的条件都是a b =。

考点三：利用基本不等式证明不等式（1）注意均值不等式的前提条件；（2）通过加减项的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；（3）注意“1”的代换；（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用。

如22(0)b a b a a +≥>；22(0)b b a a a≥-> （5）合理配组，反复应用不等式。

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点。

【随堂练习】若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是________。

基本不等式(第2课时)导学案(原卷版)

2.2 基本不等式（第2课时）导学案【学习目标】导过程，会用基本不等式解决简单问题。

2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。

3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

【自主学习】一．基本不等式与最值已知x、y都是正数，xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．2.若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．二．运用基本不等式求最值的三个条件：1.“一正”：x，y必须是；2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为.3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。

三．通过变形构造定值的方法如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。

需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。

【当堂达标基础练】1.（1）用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？3.用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？4.做一个体积为32 m 3，高为2 m 的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？5.已知一个矩形的周长为36 cm ，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？【当堂达标提升练】6．已知0x >，0y >，且112x y+=，则2x y +的最小值为_________ 7．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数()28(1)1x f x x x +=>-的最小值为___． 8．当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．9.某商品进货价为每件50元，经市场调查得知，当销售单价x （元）在区间[]50,80时，每天售出的件数()521040P x =-．若想每天获得的利润最大，销售价格应定为每件多少元？10．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为224m 的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD 种植花卉，矩形ABCD 上下各留1m ，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x （单位：m ），宽度为y （单位：m ），矩形ABCD 的面积为s （单位：2m ）(1)试用x ，y 表示s ；(2)求s 的最大值，并求出此时x ，y 的值．11.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【当堂达标素养练】12．（多选）（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）。