辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学2.3.2离散型随机变量的方差教案理新人教B版选修2_3
《离散型随机变量的方差》示范公开课教案【高中数学北师大】
《离散型随机变量的方差》教案1.通过实例，理解离散型随机变量方差的含义，通过比较了解随机变量的方差与样本方差的区别与联系；2.能计算简单离散型随机变量的方差；3.体会均值与方差是从不同角度刻画随机变量的重要指标，并能利用他们解决一些实际问题．教学重点：对离散型随机变量的方差的概念和求法的理解．教学难点：利用离散型随机变量的方差解释随机现象，解决实际问题．一、情境导入有A 、B 两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得了他们的“寿命”分别为X 、Y （单位：h ），已知X 、Y 的分布列如下表：X 950 1000 1050 Y 700 1000 1300 P162316P162316问题1：该情境中，两类灯泡的“寿命”X 、Y 均是离散型随机变量，你能结合上节课所学的随机变量均值的知识来简单比较两类灯泡之类的好坏吗？答案：离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平，在该问题中，均值越大，则灯泡的平均“寿命”越长，均值越小，则灯泡的平均“寿命”越短．根据离散型随机变量均值的计算公式为EX =x 1p 1+x 2p 2+⋯x n p n 计算可得：EX =950×16+1000×23+1050×16=1000 h ，EY =700×16+1000×23+1300×16=1000 h ．因为EX = EY ，两个均值相等，也就是说这两种灯泡的平均寿命都是1000 h ，那么我们仅通过均值就无法来比较两种灯泡的质量好坏．问题2：那能否由EX = EY 判定两类灯泡寿命数据无差别呢？也就是说，是不是可以由均值相等，说明两类灯泡质量相同？◆教学目标◆教学重难点◆教学过程答案：进一步观察数据，我们可以发现，A 类灯泡的寿命介于950 h~1050 h ，B 类灯泡的寿命介于700 h~1300 h ，直观上看，A 类灯泡的寿命时长要分布更为集中一些，即X 与其均值的偏离程度要小一些．即，虽然均值相同，但是两个变量X 、Y 的取值却存在较大的差异．也就是说，并不能直接由均值相等就判定两个变量取值无差异．二、新知探究问题3：基于以上问题，我们为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考查灯泡寿命X 与其均值EX 的偏离程度．若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差．那么，怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度呢？答案：我们知道，在统计中，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．比如，一组样本数据x 1，x 2，…，xn ，设其均值为x̅， 则其方差即为(x 1−x̅)2，(x 2−x̅)2，…，(x n −x̅)2的平均值，即s 2=1n ((x 1−x̅)2+(x 2−x̅)2+…+(x n −x̅)2)．一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值“偏差平方的平均值”来度量呢？设离散型随机变量X 的分布列如下表所示：考虑X 所有可能取值x i 与EX 的偏差的平方(x 1−E (X ))2，(x 2−E (X ))2，…，(x n −E (X ))2就描述了x i 与EX 的偏离程度．因为X 取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来刻画随机变量X 取值与其均值EX 的平均偏离程度．我们称DX =E (x i −EX )2=(x 1−EX )2p 1+(x 2−EX )2p 2+⋯+(x n −EX )2p n =∑ni=1(x i −EX )2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根√DX 为随机变量X 的标准差，记为σX ．这样，随机变量的方差和标准差都可以反映随机变量取值与其均值的偏离程度．方差（标准差）越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小，取值越集中；方差（标准差）越大，随机变量偏离于均值的平均程度越大，取值越分散．．问题4：根据以上方差的知识，来评价一下情境中两类灯泡的质量吧． 答案：根据数据，EX = EY =1000 h ，则A 类型灯泡的方差和标准差分别为 DX =E(X −EX)2=(−50)2×16+02×23+502×16=25003，σX =50√33；B 类型灯泡的方差和标准差分别为DY =E(Y −EY)2=(−300)2×16+02×23+3002×16=30000，σY =100√3．因为DX <DY （等价地，σX <σY ），所以A 类型灯泡的方差要小，质量比较好． 问题5：观察随机变量方差的表达式，尝试一下能否进行简化？ 答案：DX =∑ni=1(x i −EX )2P i =∑ni=1(x i 2−2EXx i +(EX)2)P i=∑ni=1x i 2p i−2EX ∑n i=1x i p i +(EX)2∑n i=1p i =∑ni=1x i 2p i −2(EX)2+(EX)2=∑ni=1x i 2p i −(EX)2在以上的式子中，∑ni=1x i 2p i 即为X 2的均值，(EX)2为X 均值的平方，所以，该式表明“随机变量X 的方差就等于X 2的均值减去X 均值的平方”．在方差的计算中，利用该结论经常可以使计算简化．问题6：离散型随机变量的学习中，我们经常会见到aX +b 这样的变量，它与变量X 存在线性关系，那么它的方差又与X 的方差有何关系？这种关系与两者期望的关系有什么不同？答案：这个问题我们分三个层次来探究．①离散型随机变量X 加上一个常数b ，仅仅使X 的值产生一个平移，不改变X 与其均值的离散程度，故方差保持不变，即D(X +b)=DX ；②离散型随机变量X 乘以一个常数a ，则 D (aX )=∑ni=1(ax i )2p i −(E (aX ))2=∑ni=1a 2x i 2p i −(aE(X))2=a 2∑ni=1x i 2p i −a 2(EX)2=a 2(∑ni=1x i 2p i −(EX)2)=a 2DX即，D (aX )=a 2DX ，aX 的方差是原X 方差的a 2倍．③类似于上面的，可以证明D (aX +b )=a 2DX ，即与离散型随机变量X 存在线性依赖关系的变量aX +b 的方差，就等于原X 方差的a 2倍．三、应用举例例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X 的方差和标准差． 解：掷出点数X 的分布列如下：E (X )=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=3.5； DX =∑6k=1(i −3.5)2×16=3512≈2.92；σX =√DX ≈1.71．例2 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ，η的分布列如下表：试比较这两名工人谁的技术水平更高． 解：因为Eξ=0×35+1×110+2×310=0.7，Eη=0×12+1×310+2×15=0.7，即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当．又因为Dξ=(0−0.7)2×35+(1−0.7)2×110+(2−0.7)2×310=0.81，Dη=(0−0.7)2×12+(1−0.7)2×310+(2−0.7)2×15=0.61， 所以Dξ>Dη，说明工人乙的技术比较稳定．例 3 医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入人体的平均体温为X ℃（摄氏度），医学统计发现，X 的分布列如下：（1）求出EX ，DX ；（2）已知人体体温为X ℃时，相当于Y =1.8X +32℃（华氏度），求E (Y )，D(Y)．解：（1）EX =37×0.1+38×0.5+39×0.3+40×0.1=38.4， 根据DX =∑ni=1(x i −EX )2P i =∑ni=1x i 2p i −(EX)2，则DX =372×0.1+382×0.5+392×0.3+402×0.1−38.42=0.64． （2）EY =E (1.8X +32)=1.8EX +32=101.12， DY =D (1.8X +32)=1.82DX =3.24×0.64=2.0736． 思考：随机变量的均值、方差与分布列有何关系？答案：随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差从不同的角度刻画了随机变量的特征，反映了随机变量的重要信息．分布列确定了，均值和方差也就确定了；但是反过来，仅仅知道均值或方差等数字特征，并不能完全确定随机变量的分布列．因此，均值、方差与分布列是部分和整体的关系．四、课堂练习1.设随机变量X 服从参数为p 的两点分布，求DX ． 解：依题意，随机变量X 的分布列如下表：EX =1⋅p +0⋅(1−p )=p ，DX =(1−p )2⋅p +(0−p )2⋅(1−p )=p (1−p )=p −p 2． 2.已知随机变量X 的分布列如下表，求DX 和σX ．解：因为EX =0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2，所以DX =(0−2)2×0.1+(1−2)2×0.2+(2−2)2×0.4+(3−2)2×0.2+(4−2)2×0.1=1.2，（或DX =EX 2−(EX )2=02×0.1+12×0.2+22×0.4+32×0.2+42×0.1−22=1.2）.所以σX =√305． 3.投资A 、B 两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示．（1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值，投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．解：（1）股票A 的投资收益期望为EX =(−1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1， 股票B 的投资收益期望为EY =0×0.3+1×0.4+2×0.3=1． 因为EX >EY ，所以投资股票A 的期望收益较大．（2）股票A 的投资收益方差为DX =(−1)2×0.1+02×0.3+22×0.6−1.12=1.29； 股票B 的投资收益方差为DY =02×0.3+12×0.4+22×0.3−12=0.6． 因为EX 和EY 相差不大，且DX >DY ，所以投资股票A 比投资股票B 的风险高． 说明：在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 五、梳理小结问题1：我们是如何定量的刻画一个离散型随机变量取值的稳定性的？ 答案：我们通过离散型随机变量的方差和标准差来刻画其取值的稳定性．离散型随机变量X 的方差的定义是：其每个取值与均值的差的平方的均值，即DX =∑ni=1(x i −EX )2P i ．离散型随机变量的标准差指的方差的算术平方根，即σX =√DX ．离散型随机变量的方差（或标准差）越小，变量取值的偏离于均值的平均程度就越小；方差（或标准差）越大，则随机变量取值的取值就越分散．问题2：关于方差的计算，你得到了哪些结论？答案：①D(X)=∑ni=1(x i −EX )2P i =∑ni=1x i 2p i −(EX)2，即随机变量X 的方差就等于X 2的均值减去X 均值的平方，该式在实际计算中使用较为方便．②存在线性依赖关系的两个离散型随机变量的方差也有关系，即：D(X +b)=DX ，D (aX )=a 2DX ，D (aX +b )=a 2DX ，这也是离散型随机变量方差的基本性质．六、布置作业教材P 201，习题6-3A 组2,3,4.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》73
离散型随机变量的方差
本节课是高中数学选修2-3的内容。
从以下几个方面进行教材分析。
教学背景
离散型随机变量的方差是学生学习了离散型随机变量的分布列期望之后的进一步学习探究，是继期望之后反映随机变量取值分布的又一特征数。
学生之前在初中已经学习过样本的方差和标准差的概念和意义，对概念已有初步的了解，具备了类比推理的横向思维基础在必修三也学习了概率与统计的基础知识具备了进一步学习的能力。
学习方差将为今后学习概率统计知识做好铺垫，对今后学习概率统计学及其相关学科产生深远的影响。
教学目标
知识与技能
1理解随机变量方差和标准差的含义，
2会根据分布列求出随机变量的方差和标准差。
情感态度与价值观
1.体会解决问题的愉悦情绪，感受与他人合作交流的重要性。
2.使学生养成善于分析总结的习惯。
教学重点：
离散型随机变量的方差与标准差的含义。
教学难点：
通过比较两个随机变量的均值与方差的大小，解决实际问题。
教学方法
根据对教材的理解，结合学生的现状，为贯彻启发性教学原则，体现教师为主导，学生为主体的教学思想确定本节课的教法与学法为
从学生的认知规律出发，进行启发诱导，探索发现,提出问题，分组讨论法，合作探究。
充分调动学生的积极性，大胆放手敢于放手发挥学生的主体作用。
引导学生在自主学习与分组讨论过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力。
重视学生学习过程中的参与度，自信心，团队精神与合作意识。
放手让学生通过计算、质疑、讨论等，培养学生善思考会思考，通过观察问题、发现问题、分析和解决问题，提高自学能力。
高中数学_2.3.2离散型随机变量的方差教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2离散型随机变量的方差教法选择引导发现法和归纳类比法学法指导注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题.教学过程东平明湖中学高二数学导学案2.3.2离散型随机变量的方差一、目标引领：二、1.通过实例理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念。
三、2.能计算简单离散型随机变量的方差、标准差。
3.体会随机变量的方差的作用。
4.培养解决实际问题的能力。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差的概念教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题二、自主探究:甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？三、合作解疑：（一）随机变量的方差样本方差：※随机变量X的方差Array※随机变量X的标准差问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？四、精讲点拨：例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差。
小试牛刀：已知随机变量X的分布列求D（X）和σ（X）例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位?※（二）随机变量的方差的相关结论：根据期望定义可推出下面两个重要结论: 结论1：若___________)E(b a =+=ηξη，则， 结论2：若ξ~B(n ，p)，则E （ξ）=____________________ 结论3：若 ξ服从两点分布， 则E （ξ）=___________________根据方差定义你能推出类似的什么结论:结论1：若___________)D(b a =+=ηξη，则 结论2：若ξ~B(n ，p)， 则D （ξ）=______________ 结论3：若 ξ服从两点分布， 则D （ξ）=__________________例3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中率为p=0.6 （1）求一次投篮时命中率次数X 的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数Y 的期望与方差。
高中数学_2.3.2离散型随机变量的方差教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2 离散型随机变量的方差教学设计●三维目标1.知识与技能(1)理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义． (2)能计算简单离散型随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题． (3)掌握方差的性质，会求两点分布、二项分布的方差． 2．过程与方法通过具体实例，理解离散型随机变量方差的概念、公式及意义，在解决实际问题的过程中，掌握解决此类问题的方法与步骤．3．情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
●重点、难点重点：离散型随机变量方差及标准差的含义；方差的性质；两点分布二项分布的方差的求法．难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的方差知识，类比、观察、分析得到新的方差的概念、性质及如何根据分布列求方差，从而突出重点，通过例题与练习来化解难点． ●教学过程离散型随机变量的方差 一、知识回顾.1，均值的定义:则称 ()E X =+11p x +22p x …++n n p x 为X 的均值或数学期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平2.均值的性质 (1)如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y ＝aX ＋b (其中 a ，b 为常数)也是随机变量，且E (Y )＝()()E aX b aE X b +=+(2)两点分布和二项分布的均值 ①若X 服从两点分布，则E(X)＝__p_；②若X ～B(n ，p)，则E(X)＝__np____. [师生活动]：教师提问，学生口答.[ 设计意图]：通过复习均值的有关内容，来学习方差作铺垫. 二、问题探究1.要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为2 E(X 1)=8 E(X 2)=8 平均射击水平没有差异2.通过分布列图，展现，为方差的引出埋下伏笔。
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§离散型随机变量的方差1 理解方差的概念与性质；2 掌握两点分布、二项分布的方差的求法，并能 计算简单离散型随机变量的方差一、课前准备（预习教材 P62～P63页，找出疑惑之处） 复习1：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称()E X = 为随机变量X 的均值或数学期望（简称期望），它反映了离散型随机变量取值的平均水平复习2: 若,a b 为常数，X 为离散型随机变量，则aX b +也是 ，并且()E aX b += ，特别地，若c 为常数，则()E c =复习3：若X 服从参数p 的两点分布，则()E X = ，若(,)XB n p ，则()E X = ，若X 服从参数,,N M n 的超几何分布，则()E X = 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：方差与标准差的概念及意义新知1：一般地，设一个离散型随机变量X 的所有可能取的值是12,,,n x x x ，这些值对应的概率是12,,n p p p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E X p x E X p x E X p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差 ()D X 的算术平方X 的标准差思考：离散型随机变量的方差与标准差有什么意义？ 结论：离散型随机变量的方差与标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（或说离散程度），方差或标准差越小，取值越集中，越稳定；反之，方差或标准差越大，取值越分散，越不稳定 探究2：方差的性质问题2：若,a b 为常数，X 为离散型随机变量，它的方差为()D X ，则如何求随机变量aX b +的方差呢？ 新知2：若,a b 为常数，X 为离散型随机变量，则()D aX b +=探究三：常见分布的方差问题3：若随机变量X 服从两点分布或二项分布，它的方差是多少呢？新知3：若X 服从参数p 的两点分布，则()D X = ，若(,)X B n p ，则()D X =※ 典型例题例1：根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：谁的射击水平比较稳定？ 解：练1：从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X 的数学期望与方差． 解：例2：袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（1,2,3,4n =） 现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号 （1）求ξ的分布列、期望和方差;（2）若,()1,()11a b E D ηξηη=+==，试求,a b 的值 解：练2：有一批零件共10个合格品，2个不合格品，安装机器时从这批零件中任选一个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回 1求最多取2次零件就能安装的概率；2求在取得合格品前已经取出的次品数ξ的分布列，并求出ξ的期望和方差． 解：三、总结提升 ※ 学习小结1 方差的概念与性质；2两点分布、二项分布的方差的求法※ 自我评价：你完成本节导学案的情况为（ ） A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 ※ 当堂检测（时间：5分钟，满分：10分）1 随机变量X 满足1)(==c X P ，其中c 为常数，则()D X 等于（ ）A 0B )1(c c -C cD 1 2已知随机变量ξ的分布为31)(==k P ξ，k = 1,2,3，则)53(+ξD 的值为（ ）A 6B 9C 3D 43设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当=p 时，成功次数的标准差最大，且最大值是4若事件在一次试验中发生次数的方差等于25.0，则该事件在一次试验中发生的概率为 ． 5已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：44()0.10.9(0,1,2,3,4)kk k P X k C k -===，则()E X = ，()D X = ．练习册中相应习题。
2.3.2离散型随机变量的方差
为随机变量的标准差.
注意：它们都是反映离散型随机变量偏离于均值 的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于 均值的平均程度越小,即越集中于均值,稳定性越大
9
i 1
计算两名同学射击的方差 。
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1
P
X2
5 0.03 5 0.01
10
6 7 0.09 0.20 6 0.05
3、两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p
（2）若 X ~ B(n, p) ，则
EX np
3
探究
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为
X1
P
X2
5 0.03 5 0.01
6 7 0.09 0.20 6 0.05 7 0.20
获得相应职位的概率P2
0.4
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解： EX 1400 , DX 2 112000 , EX 2 1400 DX1 40000 1 在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.
结论2：若ξ服从两点分布，则 Eξ= np. 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np. 那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论 : 可以证明, 对于方差有下面三个重要性质：
⑴ D(a b) a D
2
（2）若 X 服从两点分布，则 （3）若 X ~ B(n, p) ，则 D
X np(1 p)
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辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学 2.3.1 离散型随机变量的数学期望教案 理 新人教B版选修2-3
2.3.1 离散型随机变量的数学期望【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念，会求离散型随机变量的数学期望；②掌握二项分布、超几何分布的均值的求法.【教学重点】会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望【教学难点】理解离散型随机变量的数学期望的概念一、 课前预习1.离散型随机变量的均值或数学期望：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________)(=X E 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称_______）.2.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X E3.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X E 4.若随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，二、 课上学习例1、根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如（1）求);(X E （2）设,52+=X Y求).(Y E 例3、若随机变量),6.0,(~n B X 且3)(=X E ，求)1(=X P .例4、一个袋子里装有大小相同的10个白球和6个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.例5、袋中装有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望.例6、根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案一：运走设备，此时需花费3800元.方案二：建一保护围墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元.方案三：不采取措施，希望不发生洪水.此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元.试比较哪一种方案好.三、 课后练习则x =_____,.________)(____,)31(==<≤X E x P2.班上有45名同学，其中30名男生，15名女生，老师随机地抽查了5名同学的作业，用X 表示抽查到的女生的人数，求).(X E3.某彩票中心发行彩票10万张，每张1元.设一等奖1个，奖金1万元；二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各1百元；五等奖1000个，奖金各10元.试求每张彩票的期望获利金额是多少？4.设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是21，试求需要比赛场数的期望.5.某商场要根据天气预报来决定促销活动节目是在商场内还是在商场外开展.统计资料表明，每年国庆节，商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益10万元，如果促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应采取哪种促销方式？。
辽宁省沈阳市第二十一中学高二人教B版数学(理)选修2-3教案：2.3.2离散型随机变量的方差
失散型随机变量的方差【教课目的】①理解取有限值的失散型随机变量的方差、标准差的观点和意义，会求失散型随机变量的方差、标准差；②会用失散型随机变量的方差、标准差解决一些实质问题 .【教课要点】应用失散型随机变量的方差、标准差解决实质问题【教课难点】对失散型随机变量的方差、标准差的理解一、课前预习1.失散型随机变量的方差：设一个失散型随机变量X 全部可能取的值是 x1， x2，，x n，这些值对应的概率是p1，p2，， p n，则D(X)_________________________________ 叫做这个失散型随机变量 X 的方差.失散型随机变量的方差反应了：______________________________________________________2.失散型随机变量的标准差：_____________________________失散型随机变量的标准差反应了_______________________________________________________.3.若随机变量X听从参数为p的二点散布，则D( X )___________4.若随机变量X听从参数为n，p的二项散布，D( X )___________二、课上学习例 1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，散布以下：射手甲：射手乙：谁的射击水平比较稳固？例 2、若X的散布列为另一随机变量 Y 2 X 3，求 D( X ), D(Y).三、课后练习1.如果随机变量X服从二项分布X~B(100,0.2),那么D( X ) _____,D(4 X 3) ______.2.甲、乙两个野生的动物保护区有同样的自然环境，且野生动物种类和数目也大概同样 .两个保护区每个季度发现违犯保护条例的时间事件次数的散布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.所得环数 X1098所得环数 X109821概率 P0.20.60.2概率 P0.40.20.4X12345P0.10.20.40.20.1X012X01230.10.50.4P0.30.30.2P 0.2。
高中数学2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教B版选修2_3
2.3.2 离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(重点)3.掌握方差的性质以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方)差.(难点[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P62例1以上部分，完成下列问题.离散型随机变量的方差与标准差1.下列说法正确的有________(填序号).①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平.【解析】①错误.因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平.②错误.因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度.③错误.因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平.④正确.由方差的意义可知.【答案】④2.已知随机变量X，D(X)＝19，则ξ的标准差为________.【解析】X的标准差D X ＝19＝13.【答案】1 3教材整理2 二点分布、二项分布的方差阅读教材P63例2以下部分，完成下列问题.服从二点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从二点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).若随机变量X服从二点分布，且成功概率P＝0.5，则D(X)＝________，E(X)＝________.【导学号：62980055】【解析】E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.【答案】0.25 0.5[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方差.【精彩点拨】 (1)可先求出X 分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y 分布列及其期望、方差、公式求解，也可由期望、方差性质求解.【自主解答】 (1)X 的可能取值为0,1,2.若X ＝0，表示没有取出次品，其概率为P (X ＝0)＝C 310C 312＝611，同理，有P (X ＝1)＝C 12C 210C 312＝922， P (X ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×611＋1×922＋2×22＝2，D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122×611＋⎝⎛⎭⎪⎫1－122×922＋⎝⎛⎭⎪⎫2－122×122＝322＋988＋988＝1544. (2)Y 的可能取值为1,2,3，显然X ＋Y ＝3. 法一：P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝122， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝922， P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝611，∴Y 的分布列为E (Y )＝1×122＋2×922＋3×11＝2，D (Y )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－522×122＋⎝⎛⎭⎪⎫2－522×922＋⎝⎛⎭⎪⎫3－522×611＝1544.法二：E (Y )＝E (3－X )＝3－E (X )＝52，D (Y )＝D (3－X )＝(－1)2D (X )＝1544.1.由本例可知，利用公式D (aX ＋b )＝a 2D (X )及E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 来求E (Y )及D (Y )，既避免了求随机变量Y ＝aX ＋b 的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.2.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )，若X 服从二点分布，则D (X )＝p (1－p )，其中p 为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程.[再练一题]1.为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知E (X )＝3，D (X )＝32，求n ，p 的值.【解】 由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )， 由E (X )＝np ＝3，D (X )＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，∴p ＝12，n ＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ).【精彩点拨】 首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E (ξ)和D (ξ)的值.【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了. 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以，ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1.已知分布列型(非二点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下， (1)求均值；(2)求方差.2.已知分布列是二点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， (1)若X 服从二点分布，则D (X )＝p (1－p ). (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).3.未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况.4.对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解.[再练一题]2.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ).【解】 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×15＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.[探究共研型]期望、方差的综合应用探究1 A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床试求E(X1)，E(X2【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2 在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能.因为E(X1)＝E(X2).探究3 在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差.方差越小，加工的质量越稳定.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列.(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值.【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.2.在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.3.下结论.依据方差的几何意义做出结论.[再练一题]3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.[构建·体系]1.设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A.mB.2m (1－m )C.m (m －1)D.m (1－m )【解析】 随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m ). 【答案】 D 2.已知X 的分布列为则D (X )等于( ) A.0.7 B.0.61 C.－0.3D.0【解析】 E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.【答案】 B3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好.【导学号：62980056】【解析】 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定. 【答案】 乙4.一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________.【解析】 由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89. 【答案】 895.已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若E (X )＝0，D (X )＝1【解】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－1 ×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，－1－0 2×a ＋ 0－0 2×b ＋ 1－0 2×c ＋ 2－0 2×112＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( ) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 【解析】 ∵D (X 甲)>D (X 乙)， ∴乙种水稻比甲种水稻整齐. 【答案】 B2.设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A.n ＝4，p ＝0.6B.n ＝6，p ＝0.4C.n ＝8，p ＝0.3D.n ＝24，p ＝0.1【解析】 由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44， ∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6. 【答案】 B3.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )【导学号：62980057】A.6B.9C.3D.4【解析】 E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.【答案】 A4.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( )A.158B.154C.52D.5【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，14，因此D (ξ)＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝158.故选A.【答案】 A 5.已知X 的分布列为则①E (X )＝－13，②D (X )＝27，③P (X ＝0)＝3，其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】 E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确；③P (X ＝0)＝13显然正确.【答案】 C 二、填空题6.(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【解析】 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.【答案】 257.(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.【解析】 由独立重复试验的方差公式可以得到D (ξ)＝np (1－p )≤n ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n 4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max＝100×12×12＝25，D ξ max ＝25＝5.【答案】1258.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________.【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.由题知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96三、解答题9.海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：.【解】∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2).∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2).由上可知，A面大钟的质量较好.10.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值.【解】(1)X的分布列为：∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求.[能力提升]1.若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C.3D.113【解析】 ∵E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.∴x 2＝4－2x 1，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 22×13＝29.∵x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.【答案】 C2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( )A.8B.12C.29D.16【解析】 由题意可知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴23n ＝E (ξ)＝24，∴n ＝36. 又D (ξ)＝n ×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29×36＝8.【答案】 A3.变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是________.【解析】 由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c ， 又a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23.又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12，故分布列为∴D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－32×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32×2＝9. 【答案】 594.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图233所示.图233将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X ).【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个.”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B(3,0.6)方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教版选修2-3
§2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξ B （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 六、课后作业： 同步试卷七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教B版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、教学目标：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
二、课前预习：1 方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么=2S _____________________________________叫做这组数据的方差 2 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 3 标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________. 4 假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么___________________________。
三、例题分析例1 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：例2 某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：k k kC k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，求E(X)和 D(X).例3离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为X服从的分布列为,且0<p<1,q=1-p,求D(X).四、课堂练习1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ2 设离散型随机变量X的分布列为,求D(X).3从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望与方差。
4五、课堂小结。
[推荐学习]高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案 理 新人教B版选修2-3
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[k12]最新K122.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题 【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解 一、 课前预习 1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差.离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________ 2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________. 3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D二、 课上学习[k12]最新K12例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲： 射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为 另一随机变量32-=X Y ，求).(),(Y D X D三、 课后练习1.如果随机变量X服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为： 甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。
高中数学选修2-3学案：2.3.2离散型随机变量的方差
2．3．2离散型随机变量的方差【学习目标】 1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差；2.了解方差公式“2()()D aX b a D X +=”， “若X ~(,)B n p ，则()(1)DX n p p =-”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.【自主学习】1.什么是离散型随机变量的方差、标准差？2.求离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤是什么？3.如何比较两个随机变量的期望与方差的大小？4.离散型随机变量方差的性质是什么？5. 怎样定量刻画随机变量的稳定性呢?6.能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢?【自主检测】 1.若随机变量X 满足随机变量()1,=P X c ==其中c 为常数，则D(X) 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差抛掷骰子所得点数X 的分布列为()E X = ()D X = ()X σ=3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.4用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平____________.【典型例题】例1.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X 1/元 1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1000 1400 1800 2000获得相应职位的概率P 2 0.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?例2.设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4【课堂检测】1 .已知()~,,()8,()1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是 （ ）A ．100；0. 08B ．20；0.4C ．100；0. 2D ．10；0. 82. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．则在取得正品之前已取出次品数的期望为3．若随机变量X 满足随机变量()1,P X c ==其中c 为常数，则D(X)=______.【总结提升】1、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；2、离散型随机变量方差的性质3．利用随机变量的期望与方差的意义大小解决实际问题ξ 1 2 3 p a 0.1 0.6。
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2.3.2 离散型随机变量的方差
【教学目标】
①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题 【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解 一、 课前预习 1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，
这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差.
离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________ 2.离散型随机变量的标准差：_____________________________
离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________. 3.若随机变量X 服从参数为
p 的二点分布，则___________)(=X D
4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D
二、 课上学习
例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：
射手甲： 射手乙：
谁的射击水平比较稳定？
例2、若X 的分布列为 另一随机变量32-=X Y ，求).(),(Y D X D
三、 课后练习
1.如果随机变量
X
服从二项分布
),2.0,100(~B X 那么
.______)34(_____,)(=+=X D X D
2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为： 甲保护区： 乙保护区：
试评定这两个保护区的管理水平.。