第二十四讲几何的定值与最值(2014年初中数学培优提高)

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数学培优竞赛新方法-第23讲几何定值

第23讲几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。

解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。

例题求解【例1】（1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的31. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的31．【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点．（1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．【例4】如图，扇形OAB 的半径3=OA ，圆心角︒=∠90AOB ，点C 是弧AB 上异于B A ,的动点，过点C 作OA CD ⊥于点D ，作OB CE ⊥于点E ，连接DE ，点H G ,在线段DE 上，且HE GH DG ==.（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在弧AB 上运动时，在DG CG CD ,,中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：223CH CD +是定值．【例5】如图，已知等边ABC ∆内接于圆，在劣弧AB 上取异于B A 、的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．以退为进【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于B A ,两点，交y 轴于D C ,两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为()8,0,2=-AE ．（1）求点C 的坐标；（2）连接BC MG ,，求证：BC MG ∥；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时， PFOF 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．学力训练基础夯实1. 阅读下列材料，然后解答问题．2. 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 3. 如图，已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为1S ，正四边形ABCD 的面积为2S ，以圆心O 为顶点作MON ∠，使︒=∠90MON ，将MON ∠绕点O 旋转，ON OM ,分别与⊙O 相交于点F E ,，分别与正四边形ABCD 的边相交于点H G ,．设由,,OF OE 弧EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S . （1）当OM 经过点A 时（如图①），则21,,S S S 之间的关系为：=S （用含1S 、2S 的代数式表示）；（2）当AB OM ⊥时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当MON ∠旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．4. 如图，在等腰三角形ABC ∆中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AC AB ,相切，切点分别为E D ,．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AC AB ,于N M ,．求证：CN BM ⋅为定值。

中考数学复习研讨会几何中的最值与定值问题公开课PPT课件

在圆中
变式2.定平方和：
如图，⊙O的半径为R，AB、CD是⊙O的任意两条弦且 ABCD于M。求证：+为定值。
C
B
AM
D
如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R。求证：
变式3.定倒数和：
如图，过⊙O内定点P作任意弦AB，又过A、B作两切线，自点P作两切线的垂线PQ、PR，垂足为Q、R。
练习
1. △ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1， P2，……，P100，记mi=APi2+Bpi×PiC (i=1,2,3,……,100). 则m1+m2+……+m100=＿＿＿.
2. 如图，以G（0，1）为圆心，半径为 2的圆与轴交于A，B两点，与y轴交于C， D两点，点E为⊙G上一动点，于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，求点F所经过的路径长。
如图，已知A是定角的平分线上一个定点，过 A任作一条直线与
N
变式4.定角：
如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足。求证：不管ST滑到什么位置，是一定角。
T M S
AP
O
B
4.坐标系中
如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线 PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线 ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长
等边三角形中的定值问题：

初中几何最值问题类型

初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。

求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。

2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。

求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。

3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。

4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。

5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。

这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。

对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。

通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。

初中数学：平面几何的最值问题-例题与求解（培优25）

初中数学：平面几何的最值问题-例题与求解（培优25）平面几何的最值问题【阅读与思考】几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值.求几何最值问题的基本方法有:1.特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证.2.几何定理(公理)法:应用几何中的不等量性质、定理.3.数形结合法等:揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等.【例题与求解】【解析】作点B关于直线AC的对称点B'，交AC与E，连接B'M，过B'作B'G⊥AB于G，交AC于F，再由对称性可知B'M+MN=BM+MN≥B'G，再由等号成立条件得出AC=10√5，再根据△ABC的面积分别求出BE、BB'的值，由相似三角形的判定定理得出△B'GB~△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解.【点评】本题考查的是最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质.也考查了平行四边形的性质以及一元二次方程根的判别式运用.【解析】(1)根据勾股定理易得路线1:l₁²=AC²=高²+(底面周长一半)²；路线2:l₂²=(高+底面直径)²；让两个平方比较，平方大的，底数就大.(2)根据(1)得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可.【点评】此题考查了平面展开一最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减，注意运用类比的方法做类型题.【解析】根据题意画图分析.用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长.借助三角形相似建立关系.【点评】根据函数求出的最值与实际问题中的最值不一定相同，需注意自变量的取值范围.【点评】本题主要考查对三角形的面积，相似三角形的性质和判定，勾股定理，面积和等积变形等知识点的理解和掌握，能求出方程x²+2(1-y)x+1+2y=0中y的最小值是解此题的关键.。

初中数学几何最值专题

初中数学几何最值专题初中数学中，几何最值问题是一个常见的专题。

以下是一些常见的几何最值问题的类型和解决方法：一、两点之间线段最短原理：两点之间线段最短。

应用：在解决几何最值问题时，常常需要利用这个原理来找到两个点之间的最短路径。

例如，在一个矩形中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径是通过矩形的对角线。

二、三角形三边关系原理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用这个原理来判断三角形的形状和大小。

例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，第三边长为c，则c的取值范围是|a-b|<c<a+b。

当c取最小值时，三角形为直角三角形；当c取最大值时，三角形为等腰三角形。

三、利用对称性求最值原理：利用对称性可以简化问题，找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用对称性来找到最值。

例如，在一个圆内，从一个点到一个定直线的距离的最值可以通过作该点关于定直线的对称点来找到。

同样地，在一个矩形内，从一个点到一个定点的距离的最值也可以通过作该点关于矩形中心的对称点来找到。

四、利用旋转和平移求最值原理：利用旋转和平移可以改变图形的位置和方向，从而找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用旋转和平移来找到最值。

例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，夹角为θ，则可以通过旋转和平移将三角形转化为直角三角形，从而找到第三边长的最值。

五、利用相似性和全等性求最值原理：利用相似性和全等性可以将复杂问题转化为简单问题，从而找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用相似性和全等性来找到最值。

例如，在两个相似的三角形中，已知其中一个三角形的三边长分别为a、b、c，则可以通过相似性找到另一个三角形的三边长的最值。

同样地，在两个全等的图形中，可以通过全等性找到它们之间的最短距离或最大面积等。

平面几何的定值与最值问题

平面几何的定值平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1 已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC•或其延长线上一点,AE 是△ABC 外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE 为定值.证明如图 (1),当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时,连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE ∽△ADC. ∴AB AEAD AC=,即AD ·AE=AB ·AC 为定值. 如图 (2),当点D 在BC 的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB. ∴△AEB ∽△ACD,∴AB AEAD AC= 即AD ·AE=AB ·AC 为定值.综上所述,当点D 在BC 边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD ·AE 为定值.先探求定值,当AD ⊥BC,AE 为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD 这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD ·AE=AB ·AC,因为已知AB,AC 均为定值.•再就一般情况分点D•在BC 上,点D 在BC 的延长线上两种情况分别证明.练习1.已知MN 是⊙O 的切线,AB 是⊙O 的直径.求证:点A 、B 与MN 的距离的和为定值. (答案)定长为圆的直径;2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.2.利用特殊位置探求定值(当PC构成直径时)(R,r是两圆的半径).3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF为定值.因∠E,∠F为定角(大小固定)易得∠EQF为定值.26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y=x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2(0)y ax x c a=+≠经过A,B,C三点．（1）求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使⊿ABC为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点，使得⊿BMF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．26．解：（1）直线y=x轴交于点(10)A∴-，，(0C·························1分点A C，都在抛物线上，0a cc⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩ac⎧=⎪∴⎨⎪=⎩x∴抛物线的解析式为233y x x =-················ 3分 ∴顶点13F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ··························· 4分（2）存在 ································ 5分1(0P ······························· 7分2(2P ······························· 9分（3）存在 ································ 10分理由：解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ························· 11分过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x =-上，(30)B ∴，在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--， ·············· 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=···························· 13分xy x ⎪∴⎨=⎪⎩解得7y ⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． ·· 14分解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ········· 11分过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠= ，BCO FHG ∠=∠ HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，．在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，可求得GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC的对称点．0H ⎛∴- ⎝⎭，·············· 12分设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=···························· 13分xy y =-⎪∴⎨⎪=⎩解得7y ⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． ·· 14分。

初中数学培优之平面几何的定值问题

平面几何的定值问题
【阅读与思考】
所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）. 几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量” ，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.
5
y A M y=x B O N C
（济宁市中考试题） 9.如图，AB 是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点 D，作 DE⊥CD，交直线 AB 于点 E， BF⊥AB，交线段 AD 的延长线于点 F. （1）设弧 AD 是 x°的弧，若要点 E 在线段 BA 的延长线上，则 x 的取值范围是_______. （2）不论点 D 取在半圆的什么位置，图中除 AB＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明. （江苏省竞赛试题）
解题思路：延长 OG 交 CD 于 N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段 ON 转化成线段 CH 的倍分关系，再以 Rt△OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.
B
E O
C H G D A
【例 5】如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上，⊙M 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点，且 C 为弧 AE 的中点，AE 交 y 轴于 G 点.若点 A 的坐标为（-2，0），AE=8. （1）求点 C 的坐标；（2）连接 MG，BC，求证：MG∥BC；（3）如图 2，过点 D 作⊙M 的切线，交 x 轴于点 P.动点 F 在⊙M 的圆周上运动时，生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

专题二十四几何定值问题

专题二十四几何定值问题知识聚焦所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）．几何定值问题的基本特点：题设条件中都包含变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”．固定元素有的是明显的，有的是隐含的，那些隐含在运动变化中，且始终没有发生变化的元素，也就是我们要探究的定值，解答定值问题的一般步骤： 1．探求定值； 2．给出证明．例题导航【例1】如图，⊙O 的直径,15cm AB =有一条定长为cm 9的动弦CD 在上滑动（点C 与点A 、点D 与点B 不重合），且CD CE ⊥交AB 于点CD DF E ⊥,交AB 于点F ．(1)求证：;BF AE =(2)在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDFE 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由．点拨：(1)要证,BF AE =就要从点0向CD 作垂线，然后利用垂径定理和平行线的性质可知)2(;BF AE =要求四边形CDFE 的面积就要分析这个四边形是什么形状，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底十下底）×高÷2，从图中给出的数量关系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面积是定值．解答：(1)过点0作CD OG ⊥于点G.根据垂径定理可知=∴=OE DF GO CE DG CG ,////.Θ.,.BF AE OB OA OF =∴=Θ(2)四边形CDFE 的面积是定值．理由：连接OD ，则cnL CD DG 5.421==在△CGD 中，=∠OGD ,90ο根据勾股定理，得).(65.45.722cm OG =-=DG OD 、Θ是定值，OG ∴是定值．////GO CE ΘDF ，G 为CD 的中点，O ∴为EF 的中点．OG ∴为梯形CDFE 的中位线．=⨯==+∴622GO DF CE Θ).(12cm 梯形的高为,9cm 也是定值，∴梯形的面积是定值，且为).(5429122cm =÷⨯点评：本题综合考查了垂径定理、平行线的性质及勾股定理和梯形的面积公式等知识点，【例2】如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，H G F E 、、、分别是四边形ABCD 的四边上的动点，但E 、F 、G 、H 不与A 、B 、C 、 D 重合，且.////,////HE AC GF HG BD EF(1)若对角线a BD AC ==（定值），求证：四边形EFGH 的周长是定值； (2)若,,n BD m AC ==且n m 、为定值，但=/m ,n 则四边形EFGH 的周长是定值吗？请指出，并说明理由．点拨：(1)首先通过////,////AC GF HG BD EF HE 可以证明四边形EFGH 为平行四边形，设=HG ,,,,q BH P AH y GF x ===然后利用平行线分线段成比例可以得到,,ACHEAB BH BD HG AB AH ==即=+q P P ,,a y q P q a x =+然后即可求出,y x +也就求出了四边形EFGH 的周长，最后就证明了四边形EFGH 的周长是定值；(2)利用(1)中的结论，根据,m AC =,n BD =求出,y x +然后利用图形的性质讨论即可得到结论，解答：(1),////,////HE AC GF HG BD EF ⋅Θ∴四边形EFGH 是平行四边形．设==GF x HG ,=∴=⋅==AB AH a BD BD H G q BH P AH y ,,//,,&Θ,BD HG即=∴=⋅=+AB BH a AC AC HE a x q P P ,,//Θ,AC HE即.)(a qP q P a y x a y q P q =++=+∴⋅=+ 故四边形EFGH 的周长.2)(2a y x =+= (2)四边形E'FGH 的周长不是定值．理由：,,n BD m AC ==Θ由(1)可知=+=nx q P q m y ,n m qPn qpm q P Pn qm y x q P P 、Θ⋅+⋅+=++=+∴+1,为定值，H 是AB上的动点，q p 是变量，而y x +随qp的变化而变化，y x +∴不能确定，即四边形EFGH 的周长不是定值．点评：此题比较复杂，要分类讨论，主要考查平行线分线段成比例定理，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致答案错误．【例3】(1)如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，OE OD CA BC AB 、,==为⊙O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OF CG 的面积是△ABC 面积的;31(2)如图②，若DOE ∠保持ο120角度不变，求证：当DOE ∠绕着点0旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形（阴影部分）面积始终是△ABC 面积的⋅31点拨：(1)本题要依靠辅助线的帮助,连接OA 、OC ，证明OGA Rt OGC Rt OFC Rt ∆≅∆≅∆求得,31ABC OAC s S ∆∆=易证;31ABC OFCG s S ∆=四边形(2)本题有多种解法．连接OA 、OB 和OC ，证明,BOA COB AOC ∆≅∆≅∆找出AOC ∠以及DOE ∠之间的关系即可，解答：(1)如图③，连接,.、BC OD OC OA ⊥Θ=∠==∴⊥OFC AC CG BC CF AC OE ,21,21,.,.90CG CF AC BC OGC o =∴==∠Θ在Rt△OFC和Rt△CGC中，≅∆∴⎩⎨⎧==OFC Rt OC OC CG OF ,,Rt△CGC.同理可得.OGA Rt OGC Rt ∆≅∆ =∆≅∆≅∆∴OFCG S OGA Rt OGC Rt OFC Rt 四边形,=∴==∆∆OFCG OAC OFC S S S S S 四边形易证,31.2△ABC △OAC △ABC 31S(2)证法一：如图④，连接OA 、OB 、OC ，则由已知条件易证得=∠∆≅∆≅∆1,BOA COB AOC .2∠设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，=∠+∠=∠=∠+∠=∠45,12043DOE AOC ο.53,120∠=∠∴ο在△OAG 和△OCF 中，,OGC OCF OGC OAG S S S s ∆∆∆∆+=+∴即=OFCG S 四边形⋅=∆∆ABC CAC S S 31证法二：设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G.如图⑤，作,,AC OK BC OH ⊥⊥垂足分别为H 、K.在四边形HOKC 中，,90o OKC OHC =∠=∠,120,60o o HOK C =∠∴=∠即.12021o =∠+∠又=∠=∠∴=∠+∠=∠AC GOF o ΘΘ.31,12032∴∆≅∆∴=∴..,OFH OGK OK OH BC 易得⋅==∆ABC OHCK OFCF s S S 31四边形四边形点评：本题涉及三角形的外接圆知识及全等三角形的判定，难度较大．【例4】如图①，直线221+-=x y 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，C 为直线AB 上第二象限内一点，且,8=∆AOC S 双曲线xky =经过点C ． (1)求k 的值以及双曲线的解析式；(2)如图②，过点C 作y CM ⊥轴于点M ，反向延长CM 至点H ，使,CH CM =过点H 作x HN ⊥轴于点N ，交双曲线xky =于点D ，求四边形OCHD 的面积； (3)如图③，点G 和点A 关于y 轴对称，P 为第二象限内双曲线上的一个动点，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，交线段BG 于点E ，交射线BC 于点F ，试判断线段QF QE +是否为定值．若为定值，证明并求出定值；若不是定值，请说明理由．点拨：(1)由直线的解析式求出点A 的坐标，即求出OA 的值，作x CR ⊥轴于点R,由△AOC 的面积求出CR 的值，进而求出点C 的纵坐标，代入直线解析式求出点C 的横坐标，就可以求出是的值，从而求出双曲线的解析式；(2)由点C 的坐标可以求出CM 、CH 的值和OM 的值，就可以求出MCO S ∆,DNO HCO S S ∆∆== 再求出矩形的面积，进而可以求出四边形OCHD 的面积；(3)由条件求出点G 的坐标和点B 的坐标，从而求出直线GB 的解析式，设出点P 的坐标，表示出QE 、QF 的值就可以得出QF QE +的值的情况，从而得出结论．解答：(1)Θ直线221+-=x y 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴当0=x 时，;2=y 当0=y 时，.4=x .4).2,0(),0,4(=∴∴OA B A 过点C 作x CR ⊥轴于点R ，且.4.8421,8=∴=⨯∴=∆CR CR S AOC =∴-∴-=∴+-=∴4).4,4(.4.2214C x x ∴-=∴⋅-.164k k双曲线的解析式为⋅-=xy 16y CM C ⊥-),4,4()2(Θ轴，==∴CH CM =⨯⨯===∴=∆∆∆4421.4,4DNO HCO MCO S S S OM .16.32.16.8=∴=∴=∴∆OCHD HNOM HN S S S 四边形矩形(3) QE+QF 是定值．Θ点G 和点A 关于y 轴对称，).0,4(-∴G 设直线GB 的解析式为+=kx y ,b 则有⎩⎨⎧==+-,2,04b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=+==∴,2.22121,b x y k 设),,(b a P 则有,221,221+-=+=a QF a QE QF QE QF QE +∴=+∴.4是定值．点评：本题是一道反比例函数的综合试题，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、直线的解析式，三角形的面积及矩形的面积，直线的解析式的运用及线段和的定值问题等多个知识点．【例5】如图①，四边形OABC 是矩形，点A 、 C 的坐标分别为(3，0)、(0，1)，点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线=y b x +-21交折线OAB 于点E. (1)记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数解析式；(2)当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形,1111C B A O 则四边形1111C B A O 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．点拨：(1)要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，那么只要求出这个三角形的底边OE 的长（点E 横坐标）和高（点 D 纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，那么这时△ODE 的面积可用长方形 OABC 的面积减去△OCD、△OAE、△BDE 的面积；(2)重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形其中一边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．解答：(1)Θ四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，1)，).1,3(B ∴当直线经过点A(3，0)时，;23=b 当直线经过点)1,3(B 时，当直线经过点=b;25时，)1,0(C 若直线与折①.1=b 线OAB 的交点在OA 上，则如图②，此,231≤<b 时②若直线与折线OAB 的交点在BA 上，则;122121).0,2(b b CO OE S b E =⨯⨯=⋅=∴如图③，此时<<b 23,25 (2)不变．如图④，设=∴--s b D b E ),1,22(),23,3(--=++-∆∆∆b S s s S DBE OAE OCD OABC 2(21[3)(矩形bb b b 25)]25)(25(21)23(3211)2=--+-⨯+⨯⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅<<-≤<=∴-)2523(25),231(.22b b b b b s b与CB 相交于点M ，11A O 与OA 相交于点N ，则矩形11B C 与矩形1111C B A O OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积．由题意知，四边形∴,//,//ME DN NE DM DNEM 为平行四边形，根据轴对称知，又=∠MED .NED ∠ 为菱形，过点=∠∴∠=∠MED NED MDE ,ΘD 作垂足为H.设菱形DNEM的边长,OA DH ⊥为由题意知，,a 则在,1),0,2(),1,22(=∴-DH b E b D ,2,2)22(2a NE HE HN b b HE -=-=∴=--=中，由勾股定理知DHN Rt ∆当+-=22)2(a a ∴⋅=⋅=∴⋅=∴4545,12DH NE S a DNEM 四边形点E 在线段OA 上时，四边形与矩形1111C B A O OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为⋅45. 点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养同学们的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．培优训练能力达标1．如图，在矩形ABCD 中，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是AP 和RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动，而点R 不动时，下列结论正确的是 ( )A.线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长始终不变 D ．线段EF 的长与点P 的位置有关2．如图，的半径等于等边三角形ABC 的高，该⊙O 圆沿底边AB 滚动，切点为与AC 、BC 分,T ⊙O 别交于点M 、N.对于所有的圆的位置而言，的度数是( )A ．从到ο30变动ο60B ．从ο60到ο90变动C ．保持.30ο不变D ．保持o 60不变3．如图，在00中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作,,AB B B AB A A ⊥'⊥' 且,AP A A =',BP B B ='连接.B A ''当点P 从点A 移到点B 时，B A ''的中点的位置 ( )A.在平分AB 的某直线上移动 B ．在垂直AB 的某直线上移动 C ．在上移动D ．保持不变4．如图，△ABD 内接于⊙AB O ,为直径，弦⊥CE AB 于点F ，C 是的中点，连接BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．下列结论：;①DBC ABC ∠=∠;②PE PD =③ P 是△A CQ 的外心；ACABBG -④是定值．其中，正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④5．如图，OA 、OB 是00的任意两条半径，过点B 作OA BE ⊥于点E ，过点0作AB OP ⊥于点P ，则定值=+22EP OP .6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点0，0是正方形O C B A '''的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2，那么正方形O C B A '''绕点0无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是一个定值，请你写出这个定值，并证明你的结论．7．如图，等边三角形ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于点K ，直线CB 与AM 相交于点N.求证：线段AK 和BN 的乘积与点M 的选择无关．8．如图，扇形OAB 的半径,3=OA 圆心角=∠AOB C o ,90是上异于A 、B 的动点，过点C 作⊥DC OA 于点D ，作OB CE ⊥于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且.HE GH DG ==(1)求证：四边形OGCH 是平行四边形；(2)当点C 在上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；(3)求证：223CH CD +是定值.拓展提升9．如图，AB 为半圆0的直径，AB OC ⊥交⊙O 于点C ，P 为BC 延长线上一动点，D 为AP 的中点，,PA DE ⊥交半径OC 于点E ，连接CD 、P-.下列结论：=∠=⊥OEA DE DC AE PE ③②①;;CE PC APB 2④;+∠为定值．其中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C.3D ．410.如图，在边长一定的正方形ABCD 中，Q 为CD 上的一个动点，AQ 交BD 于点M ，过点M 作AQ MN ⊥交BC 于点N ，过点P 作BD NP ⊥于点P ，连接NQ.下列结论：==MP MN AM ②①;BMBN AB NQ DQ BN BD +=+⋅④;③;21为定值，其中，一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④11．（2013．南宁）如图，抛物线)0(2=/+=a c ax y 经过C(2，0)、D(O ，-1)两点，并与直线kx y =交于A 、B 两点，直线Z 过点E(O ，-2)且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 、N.(1)求此抛物线的解析式；(2)求证：;AM AO =(3)探究：①当0=k 时，直线kx y =与x 轴重合，求出此时BN AM 11+的值； ②试说明无论k 取何值，BNAM 11+的值都等于同一个常数．12．(2012．德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．(1)求证：;BPH APB ∠=∠(2)当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；(3)设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数解析式，S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．13．如图，⊙0的半径为1，点P 是⊙0上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是上任一点（与点A 、B 不重合），AB DE ⊥于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作OD ，分别过点A 、B 作OD 的切线，两条切线相交于点C ．(1)求弦AB 的长；(2)判断ACB ∠是否为定值？若是，求出ACB ∠；若不是，请说明理由；(3)记△ABC 的面积为S ，若,342=DE S 求△ABC 的周长．魔法赛场【例】如图①，在平面直角坐标系中，△ABC 的边AB 在x 轴上，且,OB OA > 以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(0，2)，B A AB 、,5=两点的横坐标B A x x 、是关于x 的方程++-x m x )2(201=-n 的两根．(1)求n m 、的值；(2)若ACB ∠的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l对应的函数解析式；(3)过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ，则CNCM 11+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.点拨：(1)利用直角三角形的性质可知AOC ∆∽,COB ∆则,2BO AO CO ⋅=即),5(4AO AO -⋅=解得4=AO 或,1=AO 即.1,4=-=B A x x 再利用根与系数的关系代入两根之和与两根之积的式子中求解可知n m 、的值；(2)过点D 作,//BC DE 交AC 于点E ，易知,AC DF ⊥且=∠=∠FDC ECD ,45o 可证明,~ACB AED ∆∆利用成比例线段求得,32=OD 即),0,32(-D 利用待定系数法即求出直线l 对应的函数解析式；(3)过点D 作AC DE ⊥于点E,CN DF ⊥于点F ．CD Θ为ACB ∠的平分线，.DF DE =∴由,~MNC MDE ∆∆有=NC DE ,MNMD 由⋅∆∆,~MNC DNF 有,MN DN MC DF =得到+NC DE ,1=+=MNDN MN MD MC DF 即⋅==+1053111CE CN CM 解答：(1)Θ以AB 为直径的圆过点C ，.90o ACB =∠∴而点C 的坐标为(0，2)，由⊥CO AB 易知即),5(4AO AO -⋅=解得4=AO 或>=OA AO Θ.1,4,=∴AO OB 即.1,4=-=B x xA 由根与系数的关系，得到⎩⎨⎧-=⋅+=+,1,2n x x m x x B A B A 解得⎩⎨⎧-=-=.3,5n m (2)如图②，过点D 作,//BC DE 交AC 于点E ，易知,AC DE ⊥且.45O EDC ECD =∠=∠在△ABC 中，易得,//,5,52BC DE BC AC Θ==⋅=∴=⋅=∴DE AE DB AD EC DF EC AE DB AD ,Θ易证~AED ∆.5.2,===∴AB CB AC FD AE MCB Θ设,x BD =则,52,2=+=+==x x AD BD AB x AD 解得,35=x 则,32=OD 即),0,32(-D 易求得直线l 对应的函数解析式为.23+=x y CN CM 11)3(+的值是定值．过点D 作AC DE ⊥于点E ，CN DF ⊥于点F ．Θ CD 为ACB ∠的平分线，.DF DE =∴由,~MNC MDE ∆∆有=NC DE ⋅MNMD 由,~MNC DNF ∆∆ 有,1=+=MN DN MN MD MC DF 即⋅=+CECN CM 111由(2)知=∴⋅-∴===CE DE BC AB AD BC DE 352,5,32⋅=+⋅105311..352CNCM 点评：本题主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活地运用函数图象的性质和交点的意义求出相应线段的长度，再结合具体图形的性质求解．思考题(2013．日照)如图①，抛物线c bx ax y ++=2经过点),2,0(、)0,(、)0,(21-C x B x A 其顶点为D ．以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点,、F E 过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点.8||,30.21=-=∠x x ONE N o(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)连接AD 、BD ，在(1)中的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 与△ADB 相似（除去全等这一情况）?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)如图②，点Q 为上的动点(Q 不与E 、F 重合），连接AQ 交y 轴于点H ，则AQ AH ⋅是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.。

几何定值问题

几何定值问题知识要点：几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法。

典型例题：一、定量问题： 1、定积：例1 如图，已知等边ABC ∆和点P ，设点P 到ABC ∆三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，ABC ∆的高为h 。

在图（1）中，点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h 1 +h 2+h 3 =h 。

在图（2）~（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上，ABC ∆内、ABC ∆外。

（1）请探究：图（2）~（5）中，h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所的结论；（3）证明图（4）所的结论；(1)C(2)CB(3)C变式练习如图，若四边形RBCS是等腰梯形，B∠=C∠=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，梯形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为；上题图（4）与右图中等式有何关系？例2 如图，已知菱形ABCD外切于⊙O，MN是与AD、CD 分别交于M、N的任意一条切线。

求证：AM·CN为定值。

2014七年级升八年级第8讲《几何中定值、最值》

2014七年级升八年级第8讲《几何中的定值》几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：（1）特殊位置与极端位置法；（2）几何定理(公理)法；（3）数形结合法等．【专题1】以三角形为载体1、如图在等腰三角形ABC 中，AB=10，BC=12，点D 是BC 的中点，点E 是DC 上的动点，过点E 作E G ⊥DC ，交BA 的延长线于点G ，交AC 于F ，求EF+EG 的值？2、如图，边长为6的等边三角形ABC 中，点P 是边BC 上的动点，过点Ｐ作ＰD ⊥ＡB 于D ，作ＰE ⊥AC 于E ，求ＰD ＋ＰE 的值？【变式2】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点， P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？【变式3】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 外任意一点，P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之间有何关系？为什么？图1 图23、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB 上一动点，求∠EAC 的度数？4、如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，O A ⊥BC 于O ，点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF ，但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。

1）判断△OEF 的形状，并加以证明。

2）判断四边形AEOF 的面积是不随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

几何的定值与最值初中数学培优提高

第二十四讲几何的定值与最值.【例1】如图,已知AB=10,P 是线段AB 上任意一点,在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD,则CD 长度的最小值为 .思路点拨如图,作CC ′⊥AB 于C,DD ′⊥AB 于D ′,DQ ⊥CC ′,CD 2=DQ 2+CQ 2,DQ=21AB 一常数,当CQ 越小,CD 越小,本例也可设AP=x ,则PB=x -10,从代数角度探求CD 的最小值.注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:(1)中点处、垂直位置关系等;(2)端点处、临界位置等.【例2】如图,圆的半径等于正三角形ABC 的高,此圆在沿底边AB 滚动,切点为T,圆交AC 、BC 于M 、N,则对于所有可能的圆的位置而言, MTN 为的度数( )A.从30°到60°变动B.从60°到90°变动C.保持30°不变D.保持60°不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时,其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断.注:几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,动与静是相对的,我们可以研究问题中的变量,考虑当变化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,研究的量取得定值与最值.【例3】如图,已知平行四边形ABCD,AB=a ,BC=b (a >b ),P 为AB 边上的一动点,直线DP 交CB 的延长线于Q,求AP+BQ 的最小值.思路点拨设AP=x ,把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示,运用不等式ab b a 222≥+(当且仅当b a =时取等号)来求最小值.【例4】如图,已知等边△ABC 内接于圆,在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M,设直线AC 与BM 相交于K,直线CB 与AM 相交于点N,证明:线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关. 思路点拨即要证AK ·BN 是一个定值,在图形中△ABC 的边长是一个定值,说明AK ·BN与AB 有关,从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边,作一个大胆的猜想,AK ·BN=AB 2,从而我们的证明目标更加明确.注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.【例5】已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上,求△ABC 直角边长的最大可能值.思路点拨顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z 在斜边AB 上时,取xy 的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z 在(AC 或CB)上时,设CX=x ,CZ=y ,建立x ,y 的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;(2)构造二次函数求几何最值.学力训练1.如图,正方形ABCD 的边长为1,点P 为边BC 上任意一点(可与B 点或C 点重合),分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线,垂足分别是B ′、C ′、D ′,则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ,最小值为 .2.如图,∠AOB=45°,角内有一点P ,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同于点O),则△PQR 的周长的最小值为 .⌒ ⌒3.如图,两点A 、B 在直线MN 外的同侧,A 到MN 的距离AC=8,B 到MN 的距离BD=5,CD=4,P 在直线MN 上运动,则PB PA -的最大值等于 .4.如图,A 点是半圆上一个三等分点,B 点是弧AN 的中点,P 点是直径MN 上一动点,⊙O 的半径为1,则AP+BP的最小值为( )A.1B.22 C.2 D.13- 5.如图,圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形,动点P 从A 点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( ) A.212π+ B.2412π+ C.214π+ D.242π+6.如图、已知矩形ABCD,R,P 户分别是DC 、BC 上的点,E,F 分别是AP 、RP 的中点,当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时,那么下列结论成立的是( )A.线段EF 的长逐渐增大B.线段EF 的长逐渐减小C.线段EF 的长不改变D.线段EF 的长不能确定7.如图,点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合),分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,AE 与CD 相交于点M,BD 与CE 相交于点N.(1)求证:MN ∥AB;(2)若AB 的长为l0cm,当点C 在线段AB 上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN 的长度最长?若存在,请确定C 点的位置并求出MN 的长;若不存在,请说明理由.(2002年云南省中考题)8.如图,定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动,M 是ST 的中点,P 是S 对AB 作垂线的垂足,求证:不管ST 滑到什么位置,∠SPM 是一定角.(加拿大数学奥林匹克试题)9.已知△ABC 是⊙O 的内接三角形,BT 为⊙O 的切线,B 为切点,P 为直线AB 上一点,过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E,交直线AC 于点F.(1)当点P 在线段AB 上时(如图),求证:PA ·PB=PE ·PF;(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.10.如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB 上的一点P ,使矩形PNDM 有最大面积,则矩形PNDM 的面积最大值是( )A.8B.12C.225D.1411.如图,AB 是半圆的直径,线段CA 上AB 于点A,线段DB 上AB 于点B,AB=2;AC=1,BD=3,P 是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A.22+B.21+C.23+D.23+12.如图,在△ABC 中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB 、AC 上分别取点D 、E,使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.13.如图,ABCD 是一个边长为1的正方形,U 、V 分别是AB 、CD 上的点,AV 与DU 相交于点P ,BV 与CU 相交于点Q.求四边形PUQV 面积的最大值.“弘晟杯”上海市竞赛题14.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆,问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽),才能使矩形花坛的面积最大?15.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场(平面图如图所示).其中,正方形MNPQ 与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米.(1)设矩形的边AB=x (米),AM=y (米),用含x 的代数式表示y 为 .(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛,平均每平方米造价为2100元;在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪,平均每平方米造价为105元;在四个三角形区域上铺设草坪,平均每平方米造价为40元.①设该工程的总造价为S(元),求S 关于工的函数关系式.②若该工程的银行贷款为235000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能,请列出设计方案;若不能,请说明理由.③若该工程在银行贷款的基础上,又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设任务?若能,请列出所有可能的设计方案;若不能,请说明理由.(镇江市中考题16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积(精确到1m 2).(北京市数学知识应用竞赛试题)。

第22讲-几何最值(2014!!!.师.培优竞赛新方法.)

第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。

求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。

2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。

例题求解【例1】如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 4 .（陕西省中考题）思路点拨画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识.【例2】如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ D ）。

A.24 B. 4.75 C. 5 D. 4.8 （兰州市中考题）思路点拨设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值.【例3】如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm.(1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当41=y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）思路点拨利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值例2 例1※【例4】如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b （a>b ）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值.（永州市竞赛题）思路点拨设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+或ab b a 2≥+（当且仅当a=b 时取等号）来求最小值.【解析】在平行四边形abcd 中,ab=a,bc=b,﹙a ＞b ﹚.p 为ab 上一动点,直线dp 交cb 的延长线于q,则ap ﹢bq 的最小值为:设AP=x,AP+BQ=y,则∵AD ∥BC,则△ADP ∽△BQP,∴AD/BQ=AP/BQ,即:b/(y-b)=x/(a-x).化简得:xy=ab.∴AP+CQ=AP+CQ=x+y ≥2√xy=2√ab∴AP+BQ=AP+(y-CB)=x+y-b ≥2√ab-b (x=y 时取“＝”号）※【例5】如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC 、AD 的延长线交于P ，求AB 〃S △PAB 的最小值.例5例3 例4设PD=x （x ＞1），则由勾股定理得：PC ＝12-x，∵∠P=∠P ，∠PCD=∠A=90°，∴Rt △PCD ∽Rt △PAB ， ∴AB/CD=PA/PC ，∴AB ＝CD.PA/PC ＝112++x x ，设y=AB •S △PAB ，代入可得y ＝)1(2)1(2-+x x ，去分母，得x 2+2（1-y ）x+1+2y=0，因为x 是实数，所以△=4（1-y ）2-4（1+2y ）=4y （y-4）≥0，又因为y ＞0，所以y ≥4．即y 的最小值为4，故当PD=3时，AB •S △PAB 的最小值为4．图形折叠【例6】在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN//BC ，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.（2011年宁夏中考题）思路点拨：P 点能落在BC 上或△ABC 内或外，因此，解题的关键是分类讨论，建立不同的函数关系式. 【例7】（2013•日照）问题背景：如图（a ），点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l 的对称点B ′，连接AB ′与直线l 交于点C ，则点C 即为所求．（1）实践运用：如图（b ），已知，⊙O 的直径CD 为4，点A在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点，则BP+AP 的最小值为．（2）知识拓展：如图（c ），在Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程．分析与解尽管在实践运用中改变了问题情境，在知识拓展中增加了动点个数，但解决问题的关键都是：化归为基本模式------构造对称点例6（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得:弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=2/2 AC′=22，即AP+BP的最小值是22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM=∠BAM，在△B′AM和△BAM中∴△B′AM≌△BAM（SAS），∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=52学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是5。

中考几何中的最值问题讲义及答案

几何中的最值问题一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）llBPA +PB 最小，需转化，使点在线异侧|PA -PB |最大，需转化，使点在线同侧二、精讲精练1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．蜂蜜蚂蚁CNO第1题图第2题图2.3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .QP ED CBAQPKDCBA第3题图第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为.5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．第5题图第6题图6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于．ABCDPMN第7题图第8题图 8. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝．9. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M为EF 中点，则AM 的最小值为_________．ABCE FPM ABCDP第9题图第10题图10. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．11. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________．A DCB PQ A'第11题图第12题图12. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为．13. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．（1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为；（2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 .14. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB=AC =4，M 、N 两点分别是边AB 、AC 上的动点，将△AMN 沿MN翻折，A 点的对应点为A ′，连接BA ′，则BA ′的最小值是_________．A'NMCBAA B CDP FE D CBA A BCD EFP【参考答案】1. 152．63．45．74 6．（73，0） 7．5 8．39．12510．5 11. 12．213．(1)84-≤PD ；(2) 814. 4。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

初中几何最值教案

初中几何最值教案教学目标：1. 了解几何最值问题的定义和意义；2. 掌握解决几何最值问题的基本方法和技巧；3. 能够独立解决简单的几何最值问题。

教学内容：1. 几何最值问题的定义和分类；2. 解决几何最值问题的基本方法；3. 典型几何最值问题的解析。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入概念：最值问题是指在一定的条件下，寻找某个几何量的最大值或最小值的问题。

2. 举例说明：如在平面直角坐标系中，求直线与圆的交点中，距离某一点最近的交点。

二、基本概念和性质（15分钟）1. 介绍几何最值问题的分类：长度最值、面积最值、角度最值等；2. 讲解几何最值问题的基本性质：最优解的存在性、唯一性、可达到性等；3. 通过实例讲解几何最值问题的解题思路。

三、解决几何最值问题的方法（20分钟）1. 解析法：通过解析几何知识，建立方程，求解最值；2. 构造法：通过构造辅助线，转化问题，求解最值；3. 代数法：通过代数运算，求解最值；4. 几何法：利用几何性质，直接求解最值。

四、典型问题解析（20分钟）1. 例1：求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1的交点中，距离点A(x0,y0)最近的交点；2. 例2：在三角形ABC中，求边长BC上的线段DE的长度，使得∠AED为直角；3. 例3：已知矩形的长和宽，求矩形内切圆的半径。

五、练习与讨论（10分钟）1. 让学生独立解决几个典型的几何最值问题；2. 学生之间互相讨论，交流解题思路和方法；3. 教师进行解答和讲解，分析学生的解题错误和不足。

六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结几何最值问题的解题方法和技巧；2. 学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施；3. 教师给予鼓励和指导，提出更高的要求。

教学评价：1. 课后作业：布置几个典型的几何最值问题，要求学生在规定时间内完成；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作精神；3. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，包括掌握知识的情况、解题能力等。

初三培优专题24 平面几何的定值问题

专题24 平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.【例题与求解】【例1】如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.【例2】如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （） A .到CD 的距离保持不变 B .位置不变C .等分DB⌒ D .随C 点的移动而移动（济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线P AB CDAP的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值.从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.【例4】如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （广州市中考试题）解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BBOACEHG D【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.（图1）（图2）【例6】如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.【能力训练】A 级1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.（牡丹江市中考试题）（第1题图）（第3题图）（第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（）A .30°B .40°C .50°D .60°（武汉市竞赛试题）5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（） A ．在平分AB 的某直线上移动 B .在垂直AB 的某直线上移动 C .在弧AMB 上移动 D .保持固定不移动AAABCDEF（荆门市中考试题）（第5题图）（第6题图） 6.如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（） A .3 B .6 C .9 D .12（海南省竞赛试题））7.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不AB'⑥⑤④③②①)P (B )PB重合的两点E，F. PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点Oy=上时停止旋转.旋转过程在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线xy=于点M，BC边交x轴于点N.中，AB边交直线x（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转度数；（3）设△MBN的周长为P，在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9.如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.（1）设弧AD是x°的弧，若要点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是_______.（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题）3.如图，将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论一定正确的是（）A . ∠1＋∠2＝900°－2α B . ∠1＋∠2＝1080°－2α C . ∠1＋∠2＝720°－α D . ∠1＋∠2＝360°－21α （武汉市竞赛试题）（第3题图）（第4题图）4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则弧MTN （）A .在0°到30°变化B .在30°到60°变化C .保持30°不变D .保持60°不变5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（）A .5B .6C .7D .812GF ED CHBA（黄石市中考试题）（第5题图）6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.（株洲市中考试题）7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）BBACA（第7题图）（第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.（黄冈市中考试题）（第9题图）（第10题图） 10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；11 （2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）。

2014年中考攻略专题-：几何最值问题解法探讨(含答案)

【2014年中考攻略】专题：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系)求最值；(2）应用垂线段最短的性质求最值;（3)应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值;（5)应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=1，运动过程中,点D到点O的最大距离为【】A21B5C145D．52【答案】A.【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质,三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，AB=1。

此时,∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12DE=2222=+=+=，AD AE112∴OD的最大值为:21+。

故选A.4，∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=2N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是▲。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM.∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。

在△AME与△AMN中，∵BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM,∴△BME≌△BMN（SAS)。

初中数学定值定点最值问题

初中数学定值定点最值问题初中数学定值定点和最值问题是中考数学压轴题常考考点，对于定值定点问题可以采用特殊点，特殊值和特殊位置确定其值是多少，然后采用一般法去证明，最值问题一般是线段的和与差，最常用的方法是“化折为直”比如常见的“将军饮马问题”、“胡不归问题”、“阿氏圆问题”、“隐圆问题”。

例1.对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣6a总不经过点P（m+1，4﹣2m），则符合条件的点P的坐标为．变式1.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：．变式2.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣6a总不经过点P（m﹣2，m2﹣9），写出符合条件的点P的坐标：．变式3.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0，2x0﹣6），写出符合条件的点P的坐标：．变式4.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（m﹣3，m2﹣16），写出符合条件的点P的坐标：．变式5.若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5）写出符合条件的点P的坐标：．变式6.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），写出符合条件的点P的坐标：．例2.已知抛物线y＝ax2﹣2anx+an2+n+3的顶点P在一条定直线l上．求直线l的解析式；例3.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．例4.如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．例5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．例6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG ∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，求四边形ACGH周长的最小值例7如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．例8.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例9.如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段P A+PB的值最小，则点P的坐标是．例10.如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．当△OAB的面积为15时，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．例11.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．例12.如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE ⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．。