福建省宁德市0910年下学期高一普通高中阶段性考试数学(附答案)
福建省宁德市高一下期末数学试卷(有答案)
福建省宁德市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．02．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．14．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠D．||=||5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．B．C．2D．49．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．福建省宁德市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1：x﹣2y+a=0，即：y=x+，l2：ax﹣y+1=0，即y=ax+1，若l1∥l2，则a=，故选：A．2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【解答】解：对于A：零向量与任一向量共线，因此与共线，不能作为基底；B：由≠λ，与不共线，可以作为基底；C：=2，因此与共线，不能作为基底；D：=﹣，因此与共线，不能作为基底；故选：B．3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】扇形面积公式．【分析】由扇形面积公式S=lR进行计算即可得解．【解答】解：由题意得：S=×4×1=2．故选：C．4．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠D．||=||【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的定义结合向量数量积公式以及向量模长的定义分别进行判断即可．【解答】解：A.，是两个单位向量，长度相等，但方向不一定相同，则=错误，B.，向量的夹角不确定，则•=1不一定成立，C.=，故C错误，D．||=||=1，故D正确．故选：D．5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的运算进行求解即可．【解答】解：∵||=1，||=2，•=1，∴cos＜，＞==，则＜，＞=60°，即向量夹角大小为60°，故选：B6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正方体和内切球半径之间的关系即可求球的表面积．【解答】解：∵棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=4，即内切球的半径r=2，∴内切球的表面积为4πr2=16π．故选：B．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h=2即圆柱的底面半径r=1，故该几何体的侧面积S=2πrh=4π．故选：A．8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．B．C．2D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2故选：C．9．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面、平面与平面垂直、平行的性质与判定，一一判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若l⊥m，m⊥n，则l∥n或相交或异面，故不正确；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或相交，故不正确；对于C，利用一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则也与另一个平行，正确；对于D，两个平面相交，m与交线平行，也满足条件，故不正确．故选：C．10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）的图象；再把所的图象向上平行平移1个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）+1的图象，故选：D．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，连接A1B，BC1．利用三角形中位线定理可得：EF∥A1B．因此∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．利用△A1BC1为等边三角形即可得出．【解答】解：如图所示，连接A1B，BC1．∵E，F分别为AB，AA1的中点，∴EF∥A1B．∴∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．∵△A1BC1为等边三角形，∴∠C1A1B=60°即为异面直线EF与A1C1所成的角．故选：C．12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cos（α﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：∵α，β均为锐角，cosα=，∴sinα==，∵sin（α﹣β）=﹣，∴cos（α﹣β）==，则sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣•（﹣）=，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为﹣1．【考点】直线的一般式方程．【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．【解答】解：直线x+2y+2=0，当x=0时，y=﹣1，直线x+2y+2=0在y轴上的截距为：﹣1故答案为：﹣1．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=﹣3．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．【解答】解：∵+=（﹣1，1+m），（+）∥，∴1+m+2=0，解得m=﹣3．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，∴|R﹣r|＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故答案为：相交．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是①②③．（写出所有正确判断的序号）【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），由于它的周期为=π，故①正确；由于函数y=f（x+）=sin[2（x+）]=sin（2x++）=cos2x 是偶函数，故②正确；由于当x=﹣时，sin（2x+）=sin（kπ﹣+）=sin（kπ）=0，故函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称，故③正确；在区间[，]上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间[，]上不是单调函数，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．【考点】直线的一般式方程；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）代入直线的点斜式方程求出l的方程即可；（Ⅱ）求出直线m的斜率，求出直线m的方程，再求出其和坐标轴的交点，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角α=30°，∴直线l的斜率设出，且过点P（，2）．∴直线l的方程是y﹣2=（x﹣），即x﹣y+=0；（Ⅱ）∵直线m与直线l垂直，∴直线m的斜率是﹣，且直线m过点（1，）∴直线m的方程是y﹣=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2，直线m与x轴交点坐标是（2，0），与y轴交点坐标是（0，2），∴直线m与两坐标轴围成的三角形面积是：×2×2=2．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的基本定理即可用和表示；（Ⅱ）若•=4时，利用向量数量积的公式建立方程关系即可求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=+=+=+．（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，则•=0，∵•=（+）•=（+λ）•=•+λ•2=16λ=4，∴λ=19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．（Ⅱ）先求得tan（α+β）的值，再根据α+β∈（0，π），求得α+β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），∴x=2，y=1，r=|OA|=，∴sinα===，cosα===，tanα==．（Ⅱ）∵角β的终边经过点B（3，1），∴tanβ=．又tan（α+β）==1，α+β∈（0，π），∴α+β=，20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得出AA1⊥CD，由AC=BC得出CD⊥AB，故而CD⊥平面AA1B1B；（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，计算S△ACD，于是V=V=．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又AB⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵AB=2，AC=CB=2，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC．∵D是AB的中点，∴S△ACD===1．又AA1⊥平面ABC，∴V=V===．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出答案；（Ⅱ）由正弦函数的减区间求出f（x）的减区间，结合条件求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=∴当，即时，f（x）取到最大值为2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由得，所以，函数法f（x）在区间上单调递减，∵f（x）在区间（，m）上单调递减，∴，即实数m的取值范围是（，]．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求圆E的方程；（Ⅱ）线段MN为圆F、圆E的公共弦，求出其方程，即可证明：直线MN恒过一个定点．【解答】（Ⅰ）解；设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由已知得：解得a=b=1，r=2 …∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 …（Ⅱ）证明：直线l关于原点对称的直线l′的方程为x+y+2=0…由已知得，∠PME=90°=∠PNE所以以PE为直径的圆F过点M，N，故线段MN为圆F、圆E的公共弦．…设P（a，b），则圆F的方程为=+即x2+y2﹣（a+1）x﹣（b+1）y+a+b=0 ①…又圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0 ②②﹣①得直线MN的方程为（a﹣1）x+（b﹣1）y﹣a﹣b﹣2=0…又点P在直线l≤上，所以a+b+2=0，∴（a﹣1）x+（﹣a﹣3）y=0…∴a（x﹣y）﹣x﹣3y=0，∴，∴x=y=0∴直线MN过定点（0，0）．…2016年8月31日。
福建省宁德市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 含答案
A. 若 m / /n ， n / / ，则 m / /
B. 若 ⊥ ， m ，则 m ⊥
1
C. 若 m / / ， n ，则 m / /n
D. 若 m ， m ⊥ ，则 ⊥
6. 在正四面体 ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别是 AC ， BC ， BD ， CD 的中点，则 EF 与 GH 所成的
（1）求角 B ；
（2）若 c − a = 2
2 ， S△ABC
=
33 2
，求 b
.
19. 已知函数 f ( x) = ax2 − 4ax + b .
（1）若关于 x 的不等式 f ( x) 0 的解集为 (1, b) ，求 a ， b 的值；
C. 若 ab = 1 ，则 a + b 2
D. 若 a2 + b2 = 1 ，则 ab 1 2
10. 在△ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，下列说法正确的有（ ）
A. A : B : C = a : b : c
B. a =
a+b+c
sin A sin A + sin B + sin C
17. 已知直线 l ： 2x − y − 6 = 0 与 x 轴的交点为 A ，且点 A 在直线 m 上.
（1）若 m ⊥ l ，求直线 m 的方程；
（2）若点 B (1,1) 到直线 m 的距离等于 2，求直线 m 的方程.
18. 在△ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 2a cos B = b cos C + c cos B .
2
12. 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 P 是线段 AB1 上的动点，以下结论正确的有（ ） A. BD / / 平面 AD1P
宁德市2023-2024学年度第二学期期中高一质量检测数学试卷及参考答案
宁德市2023-2024学年度第二学期期末高一质量检测数学试题本试卷有第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 ，满分150分. 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第I 卷（选择题 共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设复数2z i =+，则z =（ ）B.3D.52．已知向量()()1,2,3,2a b λ==−，若()2a b a −，则λ=（ ）A.3−B.1−C.1D.33．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）A.对立B.相等C.相互独立D.互斥但不对立4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥ B.若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβC.若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nD.若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥5. 根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2,3,4,5时，表示不下雨，产生20组随机数：435 451 132 533 224 344 151 231 424 142 412 414 335 312 123 233 314 254 353 442据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ）A.0.4B.0.5C.0.55D.0.66．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在余下的两局比赛中再赢一局就获得冠军，若余下比赛中甲队每局获胜的概率为25，则甲队获得冠军的概率为（ ）A.925B.1325C.1625D.19257．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，||1,||2,||3a b c === ，则||a b c ++=（ ）A.3B.66D.3或68．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m ，n ，记向量()342a m n =−−,，()1,1b=− 的夹角为θ，则θ为钝角的概率是（ ）A.518B.16C.736D.1136二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 若x 是样本数据,,,a b c d 的平均数，则（ ） A.,,,a b c d 的极差等于,,,,a b c d x 的极差 B.,,,a b c d 的中位数等于,,,,a b c d x 的中位数 C.,,,a b c d 的众数等于,,,,a b c d x 的众数D.,,,a b c d 的方差大于,,,,a b c d x 的方差10．已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且2c =，则（ ）A.若13AD AB = ，则2133CD CA CB =+B.若π6A =，则AB 在AC 上投影向量的模长为1 C.若π4B =，32b =，则角C 有两解D.若0CA CB ⋅<，则224CA CB +<11．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台ABCD A B C D −′′′′是一个侧棱相等的“刍童”，若122A B A D A A AB ′′′′′====，则（ ）A.该“刍童”的表面积为20+B.能够被完整放入该“刍童”内的圆台的体积可能为C.该“刍童”的外接球的球心到平面A B BA ′′D.的正四面体可以在此空心“刍童”容器内部任意转动第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡的相应位置） 12．某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为_______．13．在直三棱柱111ABC A B C −中，AC BC ⊥,1C 2A BC AA ===，动点P 在棱11B C 上，则点P 到平面1A BC 的距离为_______．14．已知1OA ，2OA，3OA ，4OA 是平面内两两互不相等的向量，满足121OA OA −= ，且2i j OA OA −= （其中1,2i =；3,4j =），则3432A A A A ⋅=_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知复数13z m i =−，212z i =+()m R ∈. （1）若12z z +是纯虚数，求12z z ; （2）若12z z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围.16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，APD ∆是边长为4的正三角形，E 为棱PD 的中点，AE ⊥平面PCD ． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若异面直线PC 和AB 所成角的正切值为2，求二面角P BC D −−的大小．已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，2cos cos cos c C a B b A =+． （1）求C ；（2）若2,AC =ABC ∆D 为AB 上一点，CD 平分,ACB ∠求CD .18．（本小题满分17分）为了调查某校高一地理学科学生的学习情况，用分层抽样从该校高一年级学生中抽取一个容量为100的样本进行质量监测，男生40个，女生60个. 将监测后40个男生的成绩（满分为100分）分为6个区间：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据以上样本数据，估计该校高一年段地理学科男生成绩的平均数；（2）若从男生成绩样本数据[)40,50和[]90,100内随机抽取两个样本，求这两个样本来自同一区间的概率；（3）已知样本数据中男生成绩的方差为194，样本数据中女生成绩的平均数和方差分别为76和120，以此估计该校高一年段地理学科成绩的总体平均数和方差.数学家阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0k k >且1)k ≠的点的轨迹是圆心在两定点所在直线上的圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体ABCD A B C D ′′′′−中，点M 是BC 的中点，点P 是正方体表面DCC D ′′上一动点（包括边界），且两直线AP ，MP 与平面DCC D ′′所成的角相等.（1）证明：点P 的轨迹是一阿波罗尼斯圆的一段弧，并画出大致图象（不要求写出画法）； （2）记点P 的轨迹所在的阿波罗尼斯圆的圆心为O ，求D P OP ′⋅的取值范围；（3）当线段D P ′最短时，在线段A D ′′上是否存在点N ，使得D P ′ 平面AMN ,若有，请求出平面AMN 截正方体ABCD A B C D ′′′′−的截面周长，若无，说明理由.宁德市2023-2024学年度第二学期期末高一质量检测数学参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. C 2．A 3．D 4．D 5. B 6.C 7．C 8．B 第8题解析： 由//a b可得，()()()341210m n −×−−−×=， 所以63n m =−.因为θ为钝角，所以0a b ⋅<，且,a b 不共线，所以()()()34121063m n n m −×+−×−< ≠− ，即32m n <+，且63n m ≠−.当1m =时，有1n >且3n ≠，所以n 可取2，4，5，6； 当2m =时，有4n >，n 可取5，6；当3m =，4m =，5m =，6m =时，326n m >−>，此时无解. 综上所述，满足条件的,m n 有6种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种， 所以θ为钝角的概率1.6p =二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9． AD 10. ACD 11. AC 第11题解析：对于A ．该“刍童”的表面积为20+对于B ．由轴截面的等腰梯形EFGH可知，其高GG ′=能够被完整放入该“刍童”,所以不正确 对于C ．该“刍童”的外接球的球心到平面ABCD而平面A B BA ′′的外接圆的圆心恰为线段BA 的中点，故该“刍童”的外接球的球心到平面A B BA ′′，所以正确．对于D的正四EFGH可知，其高GG ′=，如下图所示：，小于正四面体的外接球直径， 故不可以在此空心棱台容器内部任意转动，所以D 不正确． 故选：AC三、填空题:（本大题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡的相应位置） 12. 280013. 14.152第14题解析：如图示，可知：1324A A A A 是边长为2的菱形，且1223=1=2A A A A ，，34A A 所以343215=2A A A A ⋅四、解答题：本大题共5小小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）（1）因为12(15z z m i +=++）， ································································ 2分 所以1m =−···························································································· 4分所以12(13)(12)55z z i i i =−−+=− ····························································· 6分 （2）因为123(3)(12)12(12)(12)z m i m i i z i i i −−−==++− ·························································· 7分 (6)(23)=5m i m −+−− ················································································ 9分所以60230m m −<−−< ····················································································· 11分 所以362m −<< ·······················································································13分 16. （本小题满分15分）解：（1）证明：由于底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥ ··································· 1分 又有⊥AE 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AE CD ⊥ ··································· 4分 因为AD AE A = ，所以CD ⊥平面PAD ······················································ 6分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ······································· 7分 （2）解：由于//AB CD 即∠PCD 为异面直线PC 和AB 所成角所成的角． ············· 8分 因为异面直线PC 和AB 所成角的正切值为2， 由于CD ⊥平面PAD 所以CD PD ⊥所以在∆Rt PBC 中，4PD =，所以2DC = ··················································· 9分 由于∆APD 是边长为4的正三角形，取AD 的中点M ，连接PM ，所以,PM AD PM ⊥·········································································· 10分 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PM ⊂平面PAD ，所以PM ⊥平面ABCD ． ·········· 11分 取BC 的中点N ，连接MN ，PN ，//MN DC ，MN BC ⊥，所以PN BC ⊥所以PNM ∠为二面角−−P BC D 的平面角， ················································· 13分 在Rt MNP ∆中，2MP MN =，所以3π=PNM ∠． ·································14分 所以PNM ∠为二面角−−P BC D 的平面角3π ················································· 15分17.（本小题满分15分）解：（1）根据正弦定理可得：2sincos sin cos sin cos C C A B B A =+， ················· 2分sin()sin(π)A B C =+=− sin C = ·············································3分因为0πC ∈（，），sin 0C ≠ ········································································· 4分 所以1cos 2C =·························································································· 5分 即π3C =·································································································· 7分 法二:根据余弦定理可得222222cos cos =22a c b b c a a B b A a b c ac bc+−+−++=················ 2分 即2cos c C c =， ······················································································· 3分 所以1cos 2C =·························································································· 4分 因为0πC ∈（，）， ····················································································· 5分 所以π3C =. ····························································································· 7分 (2)解：因为ABC S ∆2,AC =,3ACB π∠=所以12sin 23πABC S BC ∆···························································· 8分 解得3,BC = ···························································································· 9分 因为CD 平分,ACB ∠在ACD ∆中根据正弦定理得：πs sin 6in AD ACADC =∠ 在BCD ∆中根据正弦定理得：πsin sin sin 6BD BC BC BDC ADC ==∠∠ 所以AD ACBD BC=， ····················································································· 11分 所以23AD BD =， ························································································ 12分所以25CD A CA CA AB D =+=+ ()325552CA CB CA CA CB =+−=+·················· 13分 所以222110829242552525C CA CA CB CB D=+⋅+=， ············································· 14分解得CD =，即CD =； ································································ 15分 法二:因为ABC S ∆2,AC =3π,ACB ∠=所以12sin 23πABC S BC ∆···························································· 8分 解得3,BC = ···························································································· 9分 因为CD 平分,ACB ∠所以1()sin 26πABC ACD BCD S S S AC BC CD ∆∆∆12分整理得：54CD14分即CD = ··························································································· 15分18. （本小题满分17分）（1）根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =×+×+×+×+×+×= ······················· 4分 所以男生成绩样本数据的平均数为71.（列式正确，计算错误扣1分）（2）在区间[)40,50和[]90,100内的男生成绩样本数据分别有4个和2个， ·········· 5分 分别用a b c d ,,,和,m n 表示，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点有()()()()(),,,,,,,,,,a b a c a d a m a n ，()()(),,,,,d m d n m n ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,b c b d b m b n c d c m c n ， 个数为()15n Ω=， ··················································································· 7分 记事件A =“这两个样本来自同一区间”，则事件A 包含的样本点有()()(),,,,,,a b a c a d ，()()(),,,,,,b c b d c d (),m n 个数为()7n A =， ····················································································· 9分 所以()()(157)n A PA n ==Ω； ············································································ 10分（3）设男生成绩样本数据为1x ，2x ，…，40x ，其平均数为71，方差为2194;x s =女生成绩样本数据为1y ，2y ，…，60y ，其平均数为76y =，方差为2120y s =；总样本的平均数为z ，方差为2s . ········································· 11分 由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 得406074100100z x y =+=. ············································································ 13分 {}22222140()60()100x y s s x z s y z =+−++− ··············································· 14分 {}22140194(7174)60120(7674)100 =+−++− ············································· 15分 155.6=. ·································································································17分 所以总样本的平均数和方差分别为74和155.6.19.（本小题满分17分）（1）解：由于ABCD A B C D ′′′′−是正方体，两直线AP ，MP 与面′′DCC D 所成的角相等即APD MPC ∠=∠，由于090ADP MCP ∠=∠= ········································· 1分法1：tan tan APD MPC ∠=∠，即2AD MC PD PC== ··································· 3分 法2：所以Rt Rt ADP MCP ∆∆∽，又有M 是BC 的中点，∴2AD PD MC PC== ······· 3分 即2PD PC =，依题意平面内点P 到两定点,D C 距离之比为2,故点P 的轨迹是圆，而点P 是正方体表面′′DCC D 上一动点（包括边界）， 即点P 的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的弧. ··················································4分画出上图弧线即给分，不要求精确 ·························································5分 （2）依题意可知：圆心O 在DC 所在的直线上，············································ 6分 法一：作圆O 与DC 交于点E ，与DC 的延长线上交于点F ,显然EF 恰为圆O 的直径，故依2DE EC = ,E 恰好为DC 线段的三分之一分点，2EC =,2DF CF = ,6CF =,8EF =,4DO CO = ················································· 7分 法二：易知此圆O 与DC 的交点为E ，与CC ′的交点为F ,则满足：2DE DF EC FC==,故在2DE EC = ,030FDC ∠=,2,EC =FC = 在Rt ECF ∆中，060FEC ∠=,4EF = 故EFO ∆为正三角形，故4EO FO EF ===,2OC =，4DO CO = ··············7分 法一：设OD ′ 与OP 所成的角为θ，可知4cos 0,5θ ∈···························· 8分 （）′′⋅=+⋅ D P OP D O OP OP 2′=⋅+ D O OP OPcos 16′=−⋅+ OD OP θ40cos 16=−+θ ················································· 9分[]24,16D P OP ′⋅∈−− ········································································ 10分 法二：（建系）以O 为平面直角的坐标原点，分别以DO ,过点O 垂直于DO 的直线为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，故可设(4cos ,4sin )P θθ,(8,6)D ′−,(0,0)O ,(4cos 8,4sin 6)D P θθ′=+− (4cos ,4sin )OP θθ= 2,3θπ ∈π····················· 8分 1632cos 24sin D P OP θθ′⋅=+− 1640sin()θϕ=−−其中4tan 3ϕ= ··············· 9分 故[]24,16D P OP ′⋅∈−− ····································································· 10分 （3）由（2)可知，当线段D P ′的长最短时，即点P 在直线OD ′上，故延长AM 交DC 于点R ,过点R 做RS OD ′ ,交DD ′于点S ,交C D ′′于点T ,交CC ′于点Q ,连接SA 交A D ′′于点N ,所求的截面即为五边形AMQTN .以下证明D P ′ 平面AMN ,由于D P SR ′ ,D P ′⊄平面AMN ,SR ⊂平AMN。
福建宁德市2024年高一下学期期末考试数学试卷答案
宁德市2023-2024学年度第二学期期末高一质量检测数学参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. C 2．A 3．D 4．D 5. B 6.C 7．C 8．B 第8题解析： 由//a b可得，()()()341210m n −×−−−×=， 所以63n m =−.因为θ为钝角，所以0a b ⋅<，且,a b 不共线，所以()()()34121063m n n m −×+−×−< ≠− ，即32m n <+，且63n m ≠−.当1m =时，有1n >且3n ≠，所以n 可取2，4，5，6； 当2m =时，有4n >，n 可取5，6；当3m =，4m =，5m =，6m =时，326n m >−>，此时无解. 综上所述，满足条件的,m n 有6种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种， 所以θ为钝角的概率1.6p =二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9． AD 10. ACD 11. AC第11题解析：对于A ．该“刍童”的表面积为20+对于B ．由轴截面的等腰梯形EFGH 可知，其高GG ′=能够被完整放入该“刍童”,所以不正确对于C ．该“刍童”的外接球的球心到平面ABCD ，而平面A B BA ′′的外接圆的圆心恰为线段BA的中点，故该“刍童”的外接球的球心到平面A B BA ′′，所以正确．对于DEFGH 可知，其高GG ′=，小于正四面体的外接球直径， 故不可以在此空心棱台容器内部任意转动，所以D 不正确． 故选：AC三、填空题:（本大题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡的相应位置）12. 2800 13. 14.152第14题解析：如图示，可知：1324A A A A 是边长为2的菱形，且1223=1=2A A A A ，，34A A ，所以343215=2A A A A ⋅四、解答题：本大题共5小小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）（1）因为12(15z z m i +=++）， ································································ 2分 所以1m =−···························································································· 4分所以12(13)(12)55z z i i i =−−+=− ····························································· 6分 （2）因为123(3)(12)12(12)(12)z m i m i i z i i i −−−==++− ·························································· 7分 (6)(23)=5m i m −+−− ················································································ 9分所以60230m m −<−−< ····················································································· 11分 所以362m −<< ·······················································································13分 16. （本小题满分15分）解：（1）证明：由于底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥ ··································· 1分 又有⊥AE 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AE CD ⊥ ··································· 4分 因为AD AE A = ，所以CD ⊥平面PAD ······················································ 6分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ······································· 7分 （2）解：由于//AB CD 即∠PCD 为异面直线PC 和AB 所成角所成的角． ············· 8分 因为异面直线PC 和AB 所成角的正切值为2， 由于CD ⊥平面PAD 所以CD PD ⊥所以在∆Rt PBC 中，4PD =，所以2DC = ··················································· 9分 由于∆APD 是边长为4的正三角形，取AD 的中点M ，连接PM ，所以,PM AD PM ⊥ ·········································································· 10分 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PM ⊂平面PAD ，所以PM ⊥平面ABCD ． ·········· 11分 取BC 的中点N ，连接MN ，PN ，//MN DC ，MN BC ⊥，所以PN BC ⊥所以PNM ∠为二面角−−P BC D 的平面角， ················································· 13分 在Rt MNP ∆中，2MP MN =，所以3π=PNM ∠． ·································14分 所以PNM ∠为二面角−−P BC D 的平面角3π ················································· 15分17.（本小题满分15分）解：（1）根据正弦定理可得：2sincos sin cos sin cos C C A B B A =+， ················· 2分sin()sin(π)A B C +− sin C = ·············································3分因为0πC ∈（，），sin 0C ≠ ········································································· 4分 所以1cos 2C =·························································································· 5分 即π3C =·································································································· 7分 法二:根据余弦定理可得222222cos cos =22a c b b c a a B b A a b c ac bc+−+−++=················ 2分 即2cos c C c =， ······················································································· 3分 所以1cos 2C =·························································································· 4分 因为0πC ∈（，）， ····················································································· 5分 所以π3C =. ····························································································· 7分 (2)解：因为ABC S ∆，2,AC =,3ACB π∠=所以12sin 23πABC S BC ∆···························································· 8分 解得3,BC = ···························································································· 9分 因为CD 平分,ACB ∠在ACD ∆中根据正弦定理得：πs sin 6in AD ACADC =∠ 在BCD ∆中根据正弦定理得：πsin sin sin 6BD BC BC BDC ADC ==∠∠ 所以AD ACBD BC=， ····················································································· 11分 所以23AD BD =， ························································································ 12分所以25CD A CA CA AB D =+=+ ()325552CA CB CA CA CB =+−=+·················· 13分 所以222110829242552525C CA CA CB CB D=+⋅+=， ············································· 14分解得CD =，即CD = ································································ 15分法二:因为ABC S ∆，2,AC =3π,ACB ∠=所以12sin 23πABC S BC ∆···························································· 8分 解得3,BC = ···························································································· 9分 因为CD 平分,ACB ∠所以1()sin 26πABC ACD BCD S S S AC BC CD ∆∆∆12分整理得：54CD14分即CD =15分18. （本小题满分17分）（1）根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =×+×+×+×+×+×= ······················· 4分 所以男生成绩样本数据的平均数为71.（列式正确，计算错误扣1分）（2）在区间[)40,50和[]90,100内的男生成绩样本数据分别有4个和2个， ·········· 5分 分别用a b c d ,,,和,m n 表示，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点有()()()()(),,,,,,,,,,a b a c a d a m a n ，()()(),,,,,d m d n m n ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,b c b d b m b n c d c m c n ， 个数为()15n Ω=， ··················································································· 7分 记事件A =“这两个样本来自同一区间”，则事件A 包含的样本点有()()(),,,,,,a b a c a d ，()()(),,,,,,b c b d c d (),m n 个数为()7n A =， ····················································································· 9分 所以()()(157)n A PA n ==Ω； ············································································ 10分（3）设男生成绩样本数据为1x ，2x ，…，40x ，其平均数为71，方差为2194;x s =女生成绩样本数据为1y ，2y ，…，60y ，其平均数为76y =，方差为2120y s =；总样本的平均数为z ，方差为2s . ·········································11分 由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 得406074100100z x y =+=. ············································································ 13分 {}22222140()60()100x y s s x z s y z =+−++− ··············································· 14分 {}22140194(7174)60120(7674)100+−++− ············································· 15分 155.6=. ································································································· 17分 所以总样本的平均数和方差分别为74和155.6.19.（本小题满分17分）（1）解：由于ABCD A B C D ′′′′−是正方体， 两直线AP ，MP 与面′′DCC D 所成的角相等即APD MPC ∠=∠，由于090ADP MCP ∠=∠= ········································· 1分 法1：tan tan APD MPC ∠=∠，即2AD MCPD PC == ··································· 3分法2：所以Rt Rt ADP MCP ∆∆∽，又有M 是BC 的中点，∴2AD PDMC PC== ·······3分 即2PD PC =，依题意平面内点P 到两定点,D C 距离之比为2,故点P 的轨迹是圆， 而点P 是正方体表面′′DCC D 上一动点（包括边界）， 即点P 的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的弧. ··················································4分画出上图弧线即给分，不要求精确 ························································· 5分 （2）依题意可知：圆心O 在DC 所在的直线上，············································ 6分 法一：作圆O 与DC 交于点E ，与DC 的延长线上交于点F ,显然EF 恰为圆O 的直径，故依2DE EC =,E 恰好为DC 线段的三分之一分点，2EC =, 2DF CF = ,6CF =,8EF =,4DO CO =·················································7分 法二：易知此圆O 与DC 的交点为E ，与CC ′的交点为F ,则满足：2DE DF EC FC==,故在2DE EC = ,030FDC ∠=,2,EC =FC =在Rt ECF ∆中，060FEC ∠=,4EF = 故EFO ∆为正三角形，故4EO FO EF ===,2OC =，4DO CO =·············· 7分 法一：设OD ′ 与OP 所成的角为θ，可知4cos 0,5θ∈ ···························· 8分（）′′⋅=+⋅ D P OP D O OP OP 2′=⋅+ D O OP OPcos 16′=−⋅+OD OP θ40cos 16=−+θ ················································· 9分[]24,16D P OP ′⋅∈−− ········································································ 10分法二：（建系）以O 为平面直角的坐标原点，分别以DO ,过点O 垂直于DO 的直线为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，故可设(4cos ,4sin )P θθ,(8,6)D ′−,(0,0)O ,(4cos 8,4sin 6)D P θθ′=+− (4cos ,4sin )OP θθ= 2,3θπ∈π ·····················8分 1632cos 24sin D P OP θθ′⋅=+− 1640sin()θϕ=−−其中4tan 3ϕ= ··············· 9分 故[]24,16D P OP ′⋅∈−− ····································································· 10分（3）由（2)可知，当线段D P ′的长最短时，即点P 在直线OD ′上，故延长AM 交DC 于点R ,过点R 做RS OD ′ ,交DD ′于点S ,交C D ′′于点T ,交CC ′于点Q ,连接SA 交A D ′′于点N ,所求的截面即为五边形AMQTN .以下证明D P ′ 平面AMN ,由于D P SR ′ ,D P ′⊄平面AMN ,SR ⊂平AMN所以D P ′ 平面AMN , ······································································ 11分 故有12CQ CR DS DR ==,13SD D T OR D N SD DR DR AD ′′′====,在Rt ABM ∆中，6,3,AB BM AM === ··········································· 12分在Rt MCQ ∆中，93,,2MC CQ QM ===········································13分 在Rt QC T ′∆中，35,2,22QC C T QT ′′=== ············································· 14分在Rt TD N ′∆中，4,2,TD D N TN ′′=== ··········································· 15分在Rt NA A ′∆中，4,6,NA A A AN ′′===16分 所以所求的截面五边形AMQTN 的周长 AMQTN C AM MQ QT TN NA =++++52=+++52=+ ············································································ 17分。
最新版福建省宁德市高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案
宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（A 卷）(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．第I 卷 （选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1．圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是 A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．内含2．已知半径为2，弧长为83π的扇形的圆心角为α，则sin α等于 A． BC ．12-D ．123．已知直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 04．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2C 5．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B A B ．1 CD ．1或1- 6．在下列向量组中，可以把向量()4,1=a 表示出来的是A ．12(0,0),(3,2)==e eB ．12(1,2),(3,2)=-=-e eC ．12(6,4),(3,2)==e eD ．12(2,5),(2,5)=-=-e e7．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平行移动3π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平行移动6π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍，再向右平行移动6π个单位长度8．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥9．设,,a b c 是平面内的非零向量，则下列结论正确的是A ．若a 与b 都是单位向量，则222()⋅=⋅a b a bB ．若=⋅⋅a b b c ，则=a cC ．若0⋅<a b ,则a 与b 的夹角是钝角D ．若//,//a b b c ，则//a c10．已知锐角,αβ满足3cos sin()5ααβ=-=-，则sin β的值为A B C D11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ，,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体SABC 各顶点坐标分别是(1,1,2),(3,3,2),S A(3,3,0),(1,3,2)B C ，则该四面体外接球的表面积是A ．16πB ．12π C. D. 6π第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．已知向量(0,1),(1,),(1,2)m ==-=a b c ，且()//+a b c ，则m = .14．已知直线(2)0()a x y a a -+-=∈R 在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数a 的值等于 .正视图 侧视图P CA15．某正方体切割后得到一个多面体的三视图如图所示（其中网格上小正方形的边长为1）, 则该多面体的体积为 .16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕ><<π）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点 为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与()()1212y f x x π35π=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是 ．（写出所有正确判断的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17．（本题满分10分）已知点(,3)A m 和(5,)B m -，直线AB 的斜率为3-． （Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 在直线0x y +=上，且APB ∠为直角，求点P 的坐标.18．（本题满分12分）如图，矩形ABCD 中，点P 为BC 中点，点Q 在边CD 上．（Ⅰ）若点Q 是CD 上靠近C 的三等分点，且PQ AB AD λμ=+，求λμ+的值． （Ⅱ）当6AB =，4AD =，且AQ BQ ⋅取最大值时，求向量PQ 的模．19. （本题满分12分）的非负如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，x 轴半轴为始边作两个锐角,αβ,A B 35，．（Ⅰ）求22sin sin cos sin cos 6cos αααααα+-的值；（Ⅱ）求αβ+的大小．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ?若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．21（本题满分12分）已知向量,cos sin ),(cos ,cos sin )x x x x x x =+=-a b ，函数()f x =⋅a b ， ()()cos212g x f x x π=-+.（Ⅰ）若函数()f x 在区间π(,)6m 上单调递减，求实数m 的取值范围;（Ⅱ）当函数()g x 取得最大值时，求sin 2x 的值.22．（本题满分12分）已知圆P 过点(0,2),M N ，且圆心P 在直线:0l x y -=上，过点(1,1)Q -的直线交圆P 于,A B 两点，过点,A B 分别做圆P 的切线，记为12,l l . （Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）求证：直线12,l l 的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（A ）参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11.B 12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3- 14． 0或1 15．128316．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本题满分10分)解法一：（Ⅰ）∵直线AB 的斜率3()35AB m k m --==--, ………………………………1分∴3m =，∴(3,3)A , ……………………………………………………3分 ∴直线AB 的方程为33(3)y x -=--即3120x y +-=.（或312y x =-+）…………………………………5分 （Ⅱ）设(,)P a a -,由（Ⅰ）得(3,3)A ，B(5,3)-∴(3,3)PA a a =-+，(5,3)PB a a =--+………………………………6分 又APB ∠为直角∴(3)(5)(3)(3)0PA PB a a a a ⋅=--++-+= …………………………8分 ∴1a =或3a =,……………………………………………………………9分 ∴(1,1)P -或(3,3)P -. ………………………………………………10分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设(,)P a a -,由（Ⅰ）得(3,3)A ，B(5,3)-①当3a ≠且5a ≠时，直线,PA PB 的斜率存在，由已知得， 33135PA PB a a k k a a ---+⋅=⋅=---， ………………………7分 1a ∴=，P(1,1)- …………………………………………………8分②当3a =时，直线PA 的斜率不存在，点(3,3)P -，此时APB ∠为直角 ③当5a =时直线PB 的斜率不存在，点(5,5)P -，此时APB ∠不是直角 ……………………………………………………………………9分 综上所述，P(1,1)-或P(3,3)-. ………………………………………10分解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）APB ∠为直角∴点P 在以AB 为直径的圆M上， …………………………………6分又(4,0)M ，||AB =∴圆M 的方程为22(4)10x y -+=， …………………………………8分 由220(4)10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩或3,3.x y =⎧⎨=-⎩ ∴P(1,1)-或P(3,3)-………………………………………………10分18．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）如图，以A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为,x y 轴,建立平面直角坐标系.设3,2AB a AD b ==，则(0,0),(3,0),(0,2),(3,),(2,2)A B a D b P a b Q a b ，…2分∴(3,0),(0,2),(,)AB a AD b PQ a b ===-, ………4分 又PQ AB AD λμ=+∴(,)(3,2)a b a b λμ-=∴31,21λμ=-= …………5分 ∴111326λμ+=-+=.……………………6分（Ⅱ）由已知得(0,0),(6,0)A B ………………………………………………7分设Q(,4)(06)m m ≤≤,则(,4)AQ m =，(6,4)BQ m =- ……………………8分 ∴22(6)44616(3)7AQ BQ m m m m m ⋅=-+⨯=-+=-+ …………………9分又06m ≤≤∴当0m =或6时，AQ BQ ⋅取到最大值. ……………10分当0m =时，Q(0,4)，(6,2)P ，所以||(6PQ =. ……11分 当6m =时，Q(6,4)，(6,2)P ，所以||2PQ =. ……12分解法二：（Ⅰ）由题意得：PQ PC CQ =+ ………………………………………………………………2分 1123BC CD =+………………………………………………………………3分 11()23AD AB =+- …………………………………………………………4分 又PQ AB AD λμ=+∴11,32λμ=-= ……………………………………………………………5分∴111326λμ+=-+= ……………………………………………………6分（Ⅱ）设(01)DQ kDC k =≤≤，则AQ AD DQ AD kDC AD k AB =+=+=+ ………………………………7分(1)BQ BC CQ AD k AB =+=+-………………………………………………8分 又矩形ABCD 中，,,0AB DC AD BC AB AD ==⋅= ∴()[(1)]AQ BQ AD k AB AD k AB ⋅=+⋅+-22(1)(21)AD k k AB k AB AD =+-+-⋅22||(1)||AD k k AB =+-2363616k k =-+ ………………………………9分又01k ≤≤∴当0k =或1时AQ BQ ⋅取到最大值…………………………10分当0k =时，DQ =0,所以210PQ = ……………………………………11分 当1k =时，DQ DC =,所以2PQ =. ……………………………………12分19．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）由题意得，A ………………………………………………1分 tan 7α∴= …………………………………………………………………3分222sin sin cos tan tan sin cos 6cos tan 6ααααααααα++∴=--…………………………………………5分 2775676+==- …………………………………………6分 （Ⅱ）由题意得，34(,)55B ，4tan 3β= ……………………………………………7分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅ ……………………………………………8分4734173+=-⨯……………………………………………………9分 1=- ………………………………………………………………10分又,αβ是锐角 0αβπ∴<+<, ……………………………………………11分34παβ∴+=……………………………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）由题意得，A ………………………………………………1分sin α∴= ………………………………………………………………2分cos α=………………………………………………………………… 3分222sin sin cos 56sin cos 6cos αααααα++∴=- ……………………………6分 （Ⅱ）由题意得，34(,)55B ，43sin ,cos 55ββ==………………………………………7分cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- …………………………………………8分3455=-= …………………………………………10分 又,αβ是锐角 0αβπ∴<+< ……………………………………………11分34παβ∴+=……………………………………………………………………12分 20．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）连接DB ，在Rt DAB ∆中，2DB =， …………1分又E 为BC 中点，2DC =DE BC ∴⊥ …………………………………………2分PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PD BC ∴⊥， ………………………………………3分PD DE D =， BC ∴⊥平面PDE ， …………4分又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE ……5分（Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF .…………… 6分 证明如下：连接AC 交BD 于点O ，在平面PAC 中过点O 作//OF PA ，则交PC 于F ……7分 又OF ⊂平面BDF ，PA ⊄平面BDF ………………………………………8分 ∴PA ∥平面BDF ……………………………………………………………9分 四边形ABCD ， //AB CD ，22,DC AB == ∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………10分 ∵//OF PA ，∴12PF AO FC OC == ……………………………………………………11分 ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF ………………6分 证明如下： 连接AC ，设ACDB O =，在线段PC 上取点F ，使13PF PC =,连接OF . ……7分//AB CD ，22,DC AB == ∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………8分 又113223PCPF FC PC == ∴,AO PFOC FC= …………………………………………………………………10分//PA OF ∴又OF ⊂平面BDF ，PA ⊄平面BDF ……………………………………11分 ∴PA ∥平面BDF ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………12分 （说明：其它解法相应给分） 21．(本题满分12分)解：（Ⅰ）()cos (cos sin )(cos sin )f x x x x x x x =⋅++-a b = ……………1分222cos sin x x x +-2cos2x x + ………………………………………………3分12cos 2)2x x =+ 2sin(2)6x π=+ …………………………………………………4分由3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ， 得2,63k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为π3π[π,π+]()63k k k +∈Z……………5分(说明：上述区间写成开区间，不扣分)由已知得π263m π<≤，即m 的取值范围为π2(,]63π………………………6分（Ⅱ）()()cos22sin 2cos212g x f x x x x π=-+=+ …………………………………7分22)x x =)x ϕ=+ ……………………………………………………………8分（其中cos sin ϕϕ==） ……………………………………………9分当sin(2)1x ϕ+=，即22,2x k k πϕπ+=+∈Z 时，()y g x =取到最大值……10分此时22,2x k k πϕπ=-+∈Z ， ………………………………………………11分sin 2sin(2)cos 2x k πϕπϕ=-+===分 22．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）设圆P 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，则2222220(0)(2))(1)a b a b r a b r-=⎧⎪-+-=⎨⎪+-=⎩ ………………………………………………2分 （说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）解得20,4a b r ===, ………………………………………………3分 ∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）设1122A(,),(,)x y B x y ，直线12,l l 的交点00(,)F x y若(,)E x y 为直线1l 上任意一点，则0AE OA ⋅=,得1111()()0x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y +=，……………5分同理可得，在点B 处的圆P 的切线方程为222:4l x x y y += ………………6分由直线12,l l 过点00(,)F x y∴10104x x y y +=,20204x x y y +=, ……………………………………8分∴点,A B 满足方程004x x y y +=即直线AB 的方程为004x x y y += ， ……………………………………10分 又直线AB 过点(1,1)Q -∴004x y -+=，即0040x y -+= ……………………………………………11分∴直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为40x y -+=. …12分解法二：（Ⅰ）设圆P 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则22222010022E F E F D E ⎧++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪-+=⎩………………………………………………2分（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）解得0,4D E F ===- ………………………………………………3分∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）设1122A(,),(,)x y B x y ，(,)E x y 为直线1l 上任意一点，由0AE OA ⋅=,得1111()()0x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y +=，同理B 处的圆P 的切线方程分别为222:4l x x y y +=， ……………………6分①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-由2214x x y =-⎧⎨+=⎩得A(1,(1,B -- ∴在点,A B处的切线方程分别为，1:40l x +=，2:40l x +=由4040x x ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩得40x y =-⎧⎨=⎩此时切线12,l l 的交点为(4,0)G -, ……………………………………………7分当直线AB 的斜率为0时，直线AB 的方程为1y =由2214y x y =⎧⎨+=⎩得1),(B ∴在点,A B 处的圆P的切线方程140l y +-=，240l y -+=此时切线12,l l 的交点为(0,4)H . ……………………………………………8分∴直线GH 的方程为40x y -+=. …………………………………………9分②当直线AB 的斜率存在时,直线AB 的方程为1(1)y k x -=+，即1y kx k =++，由11224,4,x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩且12210x y x y -≠,得21122121211244,44,y y x x y x y x x y x y x y -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ……………………10分 ∴212112212112444444y y x x x y x y x y x y x y ---+=-+-- 212112211221(44)(44)4()y y x x x y x y x y x y -+-+-=- 212112211221()()()4y y x x x y x y x y x y -+-+-=⨯- 212112211221()()[(1)(1)]4k x x x x x kx k x kx k x y x y -+-+++-++=⨯- 21121221(1)()(1)()4k x x k x x x y x y +-++-=⨯- 0= ∴当直线AB 的斜率存在时, 直线12,l l 的交点坐标满足方程40x y -+=.综上所述，直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且该直线方程为40x y -+=. ………………………………………………………12分解法三：（Ⅰ）设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=弦MN 的中点3)2C又0MN k ==-…………………………………………………………1分∴MN 的垂直平分线的方程：32y x -=0y -=………………………………………………2分 圆心P 是MN 的垂直平分线与直线l 的交点 ∴由00a b b -=⎧⎪-=，得00a b =⎧⎨=⎩，即圆心(0,0)P ……………………………3分 又半径||2r PM == ∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分 （Ⅱ）同解法一。
福建省宁德市高一下学期期末数学试题
福建省宁德市高一下学期期末数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·恩施模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2008人中，每人入选的机会（）A . 不全相等B . 均不相等C . 都相等，且为.D . 都相等，且为3. （2分）如果角的终边经过点，那么的值是（）A .B .C .D .4. （2分）过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是（）A . x+2y-5=0B . 2x+y-4=0C . x+3y-7=0D . x+3y-5=05. （2分）已知且，则角在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分）(2017·合肥模拟) 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·伊春期末) 如图，当输入的x值为5时，则输出的结果（）A . 5B . 4C . 3D . 28. （2分）(2019·湖北模拟) 已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则 =（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一下·三明期末) 已知圆的圆心在直线上，则的值为（）A . 4B . 5C . 7D . 810. （2分） (2019高一上·四川期中) 已知，那么=（）A . 3B .C . 4D .11. （2分） (2016高二上·汉中期中) 给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列{an}满足an+1＞an（n∈N*），则该函数的图象是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·上海月考) 已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（）A .B .C .D . 不能确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·徐州期中) 在平面直角坐标系xOy中，过A（﹣1，0），B（1，2）两点直线的倾斜角为________．14. （1分） (2019高三上·广东月考) 为单位向量，，若且，则________.15. （1分） (2018高一下·珠海期末) 父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间。
最新版福建省宁德市高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案
宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（A 卷）(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．第I 卷 （选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1．圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是 A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．内含2．已知半径为2，弧长为83π的扇形的圆心角为α，则sin α等于 A． BC ．12-D ．123．已知直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 04．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2C 5．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B A B ．1 CD ．1或1- 6．在下列向量组中，可以把向量()4,1=a 表示出来的是A ．12(0,0),(3,2)==e eB ．12(1,2),(3,2)=-=-e eC ．12(6,4),(3,2)==e eD ．12(2,5),(2,5)=-=-e e7．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平行移动3π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平行移动6π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍，再向右平行移动6π个单位长度8．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥9．设,,a b c 是平面内的非零向量，则下列结论正确的是A ．若a 与b 都是单位向量，则222()⋅=⋅a b a bB ．若=⋅⋅a b b c ，则=a cC ．若0⋅<a b ,则a 与b 的夹角是钝角D ．若//,//a b b c ，则//a c10．已知锐角,αβ满足3cos sin()5ααβ=-=-，则sin β的值为A B C D11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ，,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体SABC 各顶点坐标分别是(1,1,2),(3,3,2),S A(3,3,0),(1,3,2)B C ，则该四面体外接球的表面积是A ．16πB ．12π C. D. 6π第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．已知向量(0,1),(1,),(1,2)m ==-=a b c ，且()//+a b c ，则m = .14．已知直线(2)0()a x y a a -+-=∈R 在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数a 的值等于 .正视图 侧视图P CA15．某正方体切割后得到一个多面体的三视图如图所示（其中网格上小正方形的边长为1）, 则该多面体的体积为 .16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕ><<π）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点 为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与()()1212y f x x π35π=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是 ．（写出所有正确判断的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17．（本题满分10分）已知点(,3)A m 和(5,)B m -，直线AB 的斜率为3-． （Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 在直线0x y +=上，且APB ∠为直角，求点P 的坐标.18．（本题满分12分）如图，矩形ABCD 中，点P 为BC 中点，点Q 在边CD 上．（Ⅰ）若点Q 是CD 上靠近C 的三等分点，且PQ AB AD λμ=+，求λμ+的值． （Ⅱ）当6AB =，4AD =，且AQ BQ ⋅ 取最大值时，求向量PQ的模．19. （本题满分12分）的非负如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，x 轴半轴为始边作两个锐角,αβ,A B 35，．（Ⅰ）求22sin sin cos sin cos 6cos αααααα+-的值；（Ⅱ）求αβ+的大小．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ?若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．21（本题满分12分）已知向量,cos sin ),(cos ,cos sin )x x x x x x =+=-a b ，函数()f x =⋅a b ， ()()cos212g x f x x π=-+.（Ⅰ）若函数()f x 在区间π(,)6m 上单调递减，求实数m 的取值范围;（Ⅱ）当函数()g x 取得最大值时，求sin 2x 的值.22．（本题满分12分）已知圆P 过点(0,2),M N ，且圆心P 在直线:0l x y -=上，过点(1,1)Q -的直线交圆P 于,A B 两点，过点,A B 分别做圆P 的切线，记为12,l l . （Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）求证：直线12,l l 的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（A ）参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11.B 12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3- 14． 0或1 15．128316．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本题满分10分)解法一：（Ⅰ）∵直线AB 的斜率3()35AB m k m --==--, ………………………………1分∴3m =，∴(3,3)A , ……………………………………………………3分 ∴直线AB 的方程为33(3)y x -=--即3120x y +-=.（或312y x =-+）…………………………………5分 （Ⅱ）设(,)P a a -,由（Ⅰ）得(3,3)A ，B(5,3)-∴(3,3)PA a a =-+ ，(5,3)PB a a =--+………………………………6分 又 APB ∠为直角∴(3)(5)(3)(3)0PA PB a a a a ⋅=--++-+=…………………………8分 ∴1a =或3a =,……………………………………………………………9分 ∴(1,1)P -或(3,3)P -. ………………………………………………10分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设(,)P a a -,由（Ⅰ）得(3,3)A ，B(5,3)-①当3a ≠且5a ≠时，直线,PA PB 的斜率存在，由已知得， 33135PA PB a a k k a a ---+⋅=⋅=---， ………………………7分 1a ∴=，P(1,1)- …………………………………………………8分②当3a =时，直线PA 的斜率不存在，点(3,3)P -，此时APB ∠为直角 ③当5a =时直线PB 的斜率不存在，点(5,5)P -，此时APB ∠不是直角 ……………………………………………………………………9分 综上所述，P(1,1)-或P(3,3)-. ………………………………………10分解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ） APB ∠为直角∴点P 在以AB 为直径的圆M上， …………………………………6分又 (4,0)M ，||AB =∴圆M 的方程为22(4)10x y -+=， …………………………………8分 由220(4)10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩或3,3.x y =⎧⎨=-⎩ ∴P(1,1)-或P(3,3)-………………………………………………10分18．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）如图，以A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为,x y 轴,建立平面直角坐标系.设3,2AB a AD b ==，则(0,0),(3,0),(0,2),(3,),(2,2)A B a D b P a b Q a b ，…2分∴(3,0),(0,2),(,)AB a AD b PQ a b ===-, ………4分 又 PQ AB AD λμ=+ ∴(,)(3,2)a b a b λμ-=∴31,21λμ=-= …………5分 ∴111326λμ+=-+=.……………………6分（Ⅱ）由已知得(0,0),(6,0)A B ………………………………………………7分设Q(,4)(06)m m ≤≤,则(,4)AQ m = ，(6,4)BQ m =-……………………8分 ∴22(6)44616(3)7AQ BQ m m m m m ⋅=-+⨯=-+=-+ …………………9分 又 06m ≤≤∴当0m =或6时，AQ BQ ⋅取到最大值. ……………10分当0m =时，Q(0,4)，(6,2)P ，所以||PQ. ……11分当6m =时，Q(6,4)，(6,2)P ，所以||2PQ =. ……12分解法二：（Ⅰ）由题意得：PQ PC CQ =+………………………………………………………………2分 1123BC CD =+………………………………………………………………3分 11()23AD AB =+-…………………………………………………………4分 又 PQ AB AD λμ=+∴11,32λμ=-= ……………………………………………………………5分∴111326λμ+=-+= ……………………………………………………6分（Ⅱ）设(01)DQ kDC k =≤≤，则AQ AD DQ AD kDC AD k AB =+=+=+………………………………7分 (1)BQ BC CQ AD k AB =+=+-………………………………………………8分 又 矩形ABCD 中，,,0AB DC AD BC AB AD ==⋅=∴()[(1)]AQ BQ AD k AB AD k AB ⋅=+⋅+-22(1)(21)AD k k AB k AB AD =+-+-⋅22||(1)||AD k k AB =+-2363616k k =-+ ………………………………9分又 01k ≤≤∴当0k =或1时AQ BQ ⋅取到最大值…………………………10分当0k =时，DQ =0 ,所以PQ =……………………………………11分 当1k =时，DQ DC = ,所以2PQ =. ……………………………………12分19．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）由题意得，A ………………………………………………1分 tan 7α∴= …………………………………………………………………3分222sin sin cos tan tan sin cos 6cos tan 6ααααααααα++∴=--…………………………………………5分 2775676+==- …………………………………………6分 （Ⅱ）由题意得，34(,)55B ，4tan 3β= ……………………………………………7分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅ ……………………………………………8分4734173+=-⨯……………………………………………………9分 1=- ………………………………………………………………10分又 ,αβ是锐角 0αβπ∴<+<, ……………………………………………11分 34παβ∴+=……………………………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）由题意得，A ………………………………………………1分sin α∴= ………………………………………………………………2分cos α=………………………………………………………………… 3分222sin sin cos 56sin cos 6cos αααααα++∴=- ……………………………6分 （Ⅱ）由题意得，34(,)55B ，43sin ,cos 55ββ==………………………………………7分cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- …………………………………………8分3455=-= …………………………………………10分 又 ,αβ是锐角 0αβπ∴<+< ……………………………………………11分 34παβ∴+=……………………………………………………………………12分 20．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）连接DB ，在Rt DAB ∆中，2DB =， …………1分又 E 为BC 中点，2DC =DE BC ∴⊥ …………………………………………2分PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PD BC ∴⊥， ………………………………………3分PD DE D = ， BC ∴⊥平面PDE ， …………4分又BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE ……5分 （Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF .…………… 6分 证明如下：连接AC 交BD 于点O ，在平面PAC 中过点O 作//OF PA ，则交PC 于F ……7分 又OF ⊂ 平面BDF ，PA ⊄平面BDF ………………………………………8分 ∴PA ∥平面BDF ……………………………………………………………9分四边形ABCD ， //AB CD ，22,DC AB == ∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………10分 ∵//OF PA ，∴12PF AO FC OC == ……………………………………………………11分 ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF ………………6分 证明如下：连接AC ，设AC DB O = ，在线段PC 上取点F ，使13PF PC =,连接OF . ……7分 //AB CD ，22,DC AB == ∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………8分 又 113223PCPF FC PC ==∴,AO PFOC FC= …………………………………………………………………10分//PA OF ∴又OF ⊂ 平面BDF ，PA ⊄平面BDF ……………………………………11分 ∴PA ∥平面BDF ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………12分 （说明：其它解法相应给分） 21．(本题满分12分)解：（Ⅰ）()cos (cos sin )(cos sin )f x x x x x x x =⋅++-a b = ……………1分222cos sin x x x +-2cos2x x + ………………………………………………3分12cos 2)2x x =+ 2sin(2)6x π=+ …………………………………………………4分由3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ， 得2,63k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为π3π[π,π+]()63k k k +∈Z……………5分(说明：上述区间写成开区间，不扣分)由已知得π263m π<≤，即m 的取值范围为π2(,]63π………………………6分（Ⅱ）()()cos22sin 2cos212g x f x x x x π=-+=+ …………………………………7分22)x x =)x ϕ=+ ……………………………………………………………8分（其中cos sin ϕϕ==） ……………………………………………9分当sin(2)1x ϕ+=，即22,2x k k πϕπ+=+∈Z 时，()y g x =取到最大值……10分此时22,2x k k πϕπ=-+∈Z ， ………………………………………………11分sin 2sin(2)cos 2x k πϕπϕ=-+===分 22．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）设圆P 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，则2222220(0)(2))(1)a b a b r a b r-=⎧⎪-+-=⎨⎪+-=⎩ ………………………………………………2分 （说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）解得20,4a b r ===, ………………………………………………3分 ∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）设1122A(,),(,)x y B x y ，直线12,l l 的交点00(,)F x y若(,)E x y 为直线1l 上任意一点，则0AE OA ⋅= ,得1111()()0x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y +=，……………5分同理可得，在点B 处的圆P 的切线方程为222:4l x x y y += ………………6分由直线12,l l 过点00(,)F x y∴10104x x y y +=,20204x x y y +=, ……………………………………8分∴点,A B 满足方程004x x y y +=即直线AB 的方程为004x x y y += ， ……………………………………10分又 直线AB 过点(1,1)Q -∴004x y -+=，即0040x y -+= ……………………………………………11分∴直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为40x y -+=. …12分解法二：（Ⅰ）设圆P 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则22222010022E F E F D E ⎧++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪-+=⎩………………………………………………2分（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）解得0,4D E F ===- ………………………………………………3分∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）设1122A(,),(,)x y B x y ，(,)E x y 为直线1l 上任意一点，由0AE OA ⋅= ,得1111()()0x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y +=，同理B 处的圆P 的切线方程分别为222:4l x x y y +=， ……………………6分①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-由2214x x y =-⎧⎨+=⎩得A(1,(1,B -- ∴在点,A B处的切线方程分别为，1:40l x +=，2:40l x +=由4040x x ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩得40x y =-⎧⎨=⎩此时切线12,l l 的交点为(4,0)G -, ……………………………………………7分当直线AB 的斜率为0时，直线AB 的方程为1y =由2214y x y =⎧⎨+=⎩得1),(B ∴在点,A B 处的圆P的切线方程140l y +-=，240l y -+=此时切线12,l l 的交点为(0,4)H . ……………………………………………8分∴直线GH 的方程为40x y -+=. …………………………………………9分②当直线AB 的斜率存在时,直线AB 的方程为1(1)y k x -=+，即1y kx k =++，由11224,4,x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩且12210x y x y -≠,得21122121211244,44,y y x x y x y x x y x y x y -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ……………………10分 ∴212112212112444444y y x x x y x y x y x y x y ---+=-+-- 212112211221(44)(44)4()y y x x x y x y x y x y -+-+-=- 212112211221()()()4y y x x x y x y x y x y -+-+-=⨯- 212112211221()()[(1)(1)]4k x x x x x kx k x kx k x y x y -+-+++-++=⨯- 21121221(1)()(1)()4k x x k x x x y x y +-++-=⨯- 0= ∴当直线AB 的斜率存在时, 直线12,l l 的交点坐标满足方程40x y -+=.综上所述，直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且该直线方程为40x y -+=. ………………………………………………………12分解法三：（Ⅰ）设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=弦MN 的中点3)2C又MN k == …………………………………………………………1分∴MN 的垂直平分线的方程：32y x -=0y -=………………………………………………2分 圆心P 是MN 的垂直平分线与直线l 的交点 ∴由00a b b -=⎧⎪-=，得00a b =⎧⎨=⎩，即圆心(0,0)P ……………………………3分 又半径||2r PM == ∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）同解法一。
宁德市必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(有答案解析)
一、选择题1．下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5+=+ B ．2221log 3log 32-= C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2=2．形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（ ）位数(参考数据：lg2≈0.3010). A ．8B ．9C ．10D ．113．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--4．集合{}1002,xx x x R =∈的真子集的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．75．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．-1C ．-5D ．127．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（ ）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减8．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞ 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．现有下列四个结论：①若25a b m ==且a b =时，则1m =； ②若236log log log a b c ==，则c ab =；③对函数()3xf x =定义域内任意的1x ，都存在唯一的2x ，使得()()121f x f x ⋅=成立；④存在实数a ，使得函数()()2ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R .其中所有正确结论的序号是_________.14．已知常数0a >，函数()22xx f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．15．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.16．已知函数()()212log 23f x x ax =-+，若函数的增区间是(),1-∞，则实数a =______.17．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）18．函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为_______.19．设函数()f x =，则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.20．函数22()log (2)f x x x =--的单调递增区间是_____________．三、解答题21．已知函数()2221log 2m x f x x -=-（0m >且1m ≠）（1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）若关于x 的方程()1log m f x x =+有解，求m 的取值范围. 22．已知函数()421()x x f x a a R =-+⋅-∈. （1）当1a =时，求()f x 的值域； （2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值. 23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数． （3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．24．计算下列各式的值： （1）1100.753270.064()160.258---++;（2）53log 425log lg lg 452++-. 25．已知函数()log [(1)(1)]a f x x x =+-（其中0a >且1a ≠） (1)求函数()f x 的定义域，并判断它的奇偶性；(2)若2a =，当122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 26．已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 其中实数0a >且1a ≠. （1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 在区间[1,3]上单调递增，求a 的取值范围；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断． 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误；222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误； 3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n≠． 2．C解析：C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数． 【详解】 根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=.3．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 4．D解析：D 【分析】分析指数函数2xy =与幂函数100y x=的图像增长趋势，当0x <时，有1个交点；当0x >时，有2个交点；即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-=【详解】分析指数函数2xy =与幂函数100y x =的图像增长趋势，当0x <时，显然有一个交点；当0x >时，当1x =时，110021>；当2x =时，210022<；故()1,2x ∈时，有一个交点；分析数据发现，当x 较小时，100y x=比2x y =增长的快；当x 较大时，2xy =比100y x =增长的快，即2x y =是爆炸式增长，所以还有一个交点.即2x y =与100y x =的图像有三个交点，即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-= 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有()21n-个，非空真子集有()22n-个.5．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．6．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.7．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23<a ， 综上023a <<． 故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．9．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5， 由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ；又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==， 则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．①②③【分析】利用换底公式结合求得的值可判断①的正误；设利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误；由求得可判断③的正误；求出函数的定义域值域分别为时对应的实数的取值范围可判断④的正误【详解析：①②③ 【分析】利用换底公式结合a b =，求得m 的值，可判断①的正误；设236log log log a b c t ===，利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误；由()()121f x f x ⋅=求得21x x =-，可判断③的正误；求出函数()g x 的定义域、值域分别为R 时，对应的实数a 的取值范围，可判断④的正误. 【详解】对于①，由于250abm ==>，可得2lg log lg 2m a m ==，5lg log lg 5mb m ==，由于a b =可得lg lg lg 2lg 5m m=，则lg 0m =，解得1m =，①正确； 对于②，设236log log log a b c t ===，可得2t a =，3t b =，6t c =，则236t t t ab c =⋅==，②正确；对于③，对任意的1x R ∈，则()()1212123331xxx x f x f x +⋅=⋅==，120x x ∴+=，可得21x x =-，③正确；对于④，若函数()()2ln g x x ax a =++的定义域为R ，对于函数2y x ax a =++，240a a ∆=-<，解得01a <<；若函数()()2ln g x x ax a =++的值域为R ，则函数2y x ax a =++的值域包含()0,∞+，则240a a ∆=-≥，解得0a ≤或1a ≥.所以，不存在实数a ，使得函数()()2ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R ，④错误.故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：解本题第④问的关键点在于找到函数()()2ln g x x ax a =++的定义域为R的等价条件∆<0；函数()()2ln g x x ax a =++的值域为R 的等价条件0∆≥.14．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a 值【详解】函数f （x ）=的图象经过点P （p ）Q （q ）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq 由于：2p+q=36pq 所以：a2=36由于a ＞0故解析：6 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【详解】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++， 整理得：22222222p q p q p qp qp q aq ap aq ap a pq+++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为6【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．15．【分析】由函数的定义域是即结合函数的解析式列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数有意义则满足解得解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解以及对数函数 解析：(0,1)【分析】由函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，结合函数的解析式(21)()ln(1)f xg x x -=-，列出不等式组12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，则函数(21)()ln(1)f x g x x -=-有意义，则满足12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩ ，解得0110x x x ≤≤⎧⎪<⎨⎪≠⎩，解得01x <<，即函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是(0,1).故答案为：(0,1). 【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．1或2【分析】因为函数在上单调递减要使的单调增区间为分两种情况讨论对称轴和对称轴分别计算可得；【详解】解：因为函数在上单调递减要使的单调增区间为①当函数对称轴为时因为所以恒成立满足条件②当函数对称轴解析：1或2 【分析】因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，分两种情况讨论，对称轴1x =和对称轴1x a =>，分别计算可得； 【详解】 解：因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，①当函数()223g x x x a =-+对称轴为1x a ==时，因为()22430∆=--⨯<，所以2230x ax -+>恒成立，满足条件，②当函数()223g x x x a =-+对称轴1x a =>时，需满足()10g =，即21230a -+=解得2a =；综上可得1a =或2 故答案为：1或2 【点睛】本题考查复合函数的单调性判断，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.17．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且121212*********22222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④， 故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.18．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】先由22530x x -->，求得函数的定义域，然后令2253t x x =--，由复合函数的单调性求解. 【详解】由22530x x -->，解得 12x <-或 3x >， 所以函数()213log 253y x x =--的定义域为{1|2x x <-或 }3x >， 因为2253t x x =--在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，13log y t =在()0,∞+递减， 所以函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法： 对于复合函数y ＝f [g (x )]，先求定义域，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数； 若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．19．【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析：【分析】根据指数的运算律计算出()()1f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值.【详解】()f x =()11222xx xf x ∴-====， ()()12x x x f x f x ∴+-=+===，因此，()()()()()()54345662f f f f f f -+-+-++++=⨯=.故答案为 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可【详解】函数的定义域为：解得：或令为增函数当为增函数为增函数当为减函数为减函数所以增区间为故答案为：【点睛】本题主要考查复合函数的 解析：()2,+∞【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可. 【详解】函数()f x 的定义域为：220x x -->，解得：2x >或1x <-. 令22t x x =--，2log y t =为增函数.当2x >，t 为增函数，22()log (2)f x x x =--为增函数， 当1x <-，t 为减函数，22()log (2)f x x x =--为减函数.所以增区间为(2,)+∞. 故答案为：(2,)+∞ 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减为解题的关键，属于中档题.三、解答题21．（1）()1log 1m x f x x+=-；（2）()f x 为奇函数，理由见解析；（3）3m ≥+. 【分析】（1）令21t x =-，采用换元法求解函数解析式；（2）先确定函数的定义域，再由函数奇偶性的定义判断即可；（3）由条件可转化为()11x m x x +=-在()0,1x ∈上有解问题即可.【详解】（1）令21t x =-，则21x t =+，则()()11log log 211m mt t f t t t++==-+-， 所以()1log 1m x f x x+=-； （2）由101xx+>-得11x -<<， 又()()()11log log 11mm x xf x f x x x---===---+，所以()f x 为定义域上的奇函数；（3）由110x x -<<⎧⎨>⎩得01x <<，又1log 1log log 1mm m x x mx x +=+=-，11x mx x +=-在()0,1x ∈上有解， ()11x m x x +=-，令()11,2u x =+∈，2132323t m u u u u ==≥=+-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，当且仅当u =,所以3m ≥+.【点睛】 易错点睛：（1）判断函数的奇偶性一定不要忘记先判断定义域是否关于原点对称； （2）利用基本不等式求解范围，一定要注意满足“一正二定三相等”的条件. 22．（1）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）a =【分析】（1）令()20,xt =∈+∞，可得21y t t =-+-，利用二次函数的性质可求出；（2）令12,12xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得21y t at =-+-，讨论对称轴2at =的取值范围结合二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）()2()421221x x xx f x a a =-+⋅-=-+⋅-.令()20,xt =∈+∞，21y t at =-+-，1a =时，2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.∴当12t =时，max 34y =-，∴3,4y ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦， 所以()f x 的值域为3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（2）令12,12xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，22211124a y t at t a ⎛⎫=-+-=---+ ⎪⎝⎭， 其图象的对称轴为2at =. ①当122a ≤，即1a ≤时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当12t =时，max 1111424y a =-+-=-，解得2a =，与1a ≤矛盾；②当12a ≥，即2a ≥时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当1t =时，max 1114y a =-+-=-，解得74a =，与2a ≥矛盾， ③当1122a <<，即12a <<时，函数y 在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.当2a t =时，2max 11144y a =-=-，解得a =，舍去a =综上，a =【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路； （1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b+的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x < 【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x xf f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可. 【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-， ∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-， ∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数． 在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112xxf f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x-<，即()()12022x x+<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <， 故原不等式的解集为{}|1x x <. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 24．（1）10 （2）0 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）1100.753270.064()160.258---++()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51182210=（2）53log 425log lg lg 4522++-34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+- ()331lg5lg 244=-++-331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算.25．(1)(1,1)-，()f x 在(1,1)-内为偶函数；(2)[2,0]-. 【分析】（1）由对数真数大于0可得定义域，由奇偶性定义判断奇偶性；（2）确定函数在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调性可得最大值和最小值，从而得值域． 【详解】(1)由题意知：(1)(1)0x x +->，解得11x -<<， 所以函数()f x 的定义域为(1,1)-由()log [(1)(1)]()a f x x x f x -=-+=，所以函数()f x 在(1,1)-内为偶函数. (2)由2a =，有()222()log [(1)(1)]log 1f x x x x=-+=-又因为12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以min 21()log 24f x f ⎛===- ⎝⎭，max 2()(0)log 10f x f ===，所以函数()f x 在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内值域为[2,0]-. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，奇偶性，单调性，值域．掌握对数函数的性质是解题关键．本题还需掌握复合函数的单调性的判断：同增异减． 26．(1) 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2) 103a << 【分析】(1)代入3a =,根据对数函数的单调性求解即可.(2)先根据区间[1,3]结合定义域可求得a 的大致范围,从而确定log a y x =的单调性,再根据复合函数的单调性确定a 的取值范围即可. 【详解】(1) 当3a =时, 31()log 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,故()0f x >即31log 30x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即131x ->,14x >,解得104x <<.故()0f x >解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由定义域可知,1ax->,即1ax>在区间[1,3]上恒成立,故13a<<,所以log ay x=为减函数.又1y ax=-在区间[1,3]上为减函数,故1()logaf x ax⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[1,3]上为增函数.满足题意.故1 03a<<【点睛】本题主要考查了对数函数的不等式求解以及对数型复合函数的单调性求解参数的问题.属于中档题.。
福建省宁德市高一数学下学期期末试题(含解析)
2016-2017学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷一、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡卡的相应位置填涂．1．直线x+=0的倾斜角为（）A．60° B．90° C．120°D．不存在2．函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2π3．已知直线l过点P（2，﹣1），且与直线2x+y﹣l=0互相垂直，则直线l的方程为（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=04．sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45° C．60° D．90°6．要得到函数y=sin2x+cos2x﹣的图象，只需将y=sinx图象上所有的点（）A．横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向左平移个单位B．横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变D．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则•的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，0]8．已知α，β为两个不同平面，m，n为两条不同直线，以下说法正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，则n⊥βD．若m丄n，m∥α，则n⊥α9．已知A﹣BCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．2 D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． +6 B． +7 C．π+12 D．2π+611．己知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=b（b∈R），若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种12．f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f （x）=tan x，则方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是（）A．7 B．5 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置13．已知向量的夹角为，且||=3，||=，则||= ．14．已知角α的终边过点P（3，4），则= ．15．圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0的公共弦的长为．16．南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图1中阴影部分是由曲线y=、直线x=4以及x轴所围成的平面图形Ω，将图形Ω绕y轴旋转一周，得几何体Γ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体中选一个求得Γ的体积为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．17．已知点 O（0，0），A（2，1），B（﹣2，4），向量=+λ．（I ）若点M在第二象限，求实数λ的取值范围（II）若λ=1，判断四边形OAMB的形状，并加以证明．18．己知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8．（I ）求直线l的方程；（II）直线l′过点O且与l平行，点P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．19．已知向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）=（I ）求函数f（x）的单调递增区间；（II）若f（2α）=，求的值．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．21．己知圆C过点（，1），且与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=﹣3相交于点 M，N．（1 ）求圆C的方程：（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使的值为常数，并求出这个常数．22．某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y（单位：m3/h ）关于时间t（单位：h）的关系均近似地满足函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如下：（Ⅰ）根据图象求函数解析式；（II）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过5m3/h，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？2016-2017学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡卡的相应位置填涂．1．直线x+=0的倾斜角为（）A．60° B．90° C．120°D．不存在【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线x+=0的斜率不存在，∴倾斜角为，即为90°．故选：B．2．函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2π【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求出函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴．【解答】解：对于函数y=2sin（x﹣），令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，可得它的图象的对称轴为x=kπ+，k∈Z，令k=0，可得它的一条对称轴是x=，故选：C．3．已知直线l过点P（2，﹣1），且与直线2x+y﹣l=0互相垂直，则直线l的方程为（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据题意设出直线l的方程，把点P（2，﹣1）代入方程求出直线l的方程．【解答】解：根据直线l与直线2x+y﹣l=0互相垂直，设直线l为x﹣2y+m=0，又l过点P（2，﹣1），∴2﹣2×（﹣1）+m=0，解得m=﹣4，∴直线l的方程为x﹣2y﹣4=0．故选：B．4．sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin 70° cos40°﹣co s70°•sin40°=sin （70°﹣40°）=sin30°=．故选：A．5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45° C．60° D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．【解答】解：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．故选：D．6．要得到函数y=sin2x+cos2x﹣的图象，只需将y=sinx图象上所有的点（）A．横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向左平移个单位B．横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变D．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角恒等变换化简原函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得平移后所得函数的解析式．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），故只需将y=sinx图象上所有的点向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得y=sin（2x+）的图象，故选：D．7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则•的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，0]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、，再求出数量积•的取值范围．【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示；则A（0，0），B（2，0），C（0，2），E（1，1），设D（0，y），则0≤y≤2；∴=（1，1），=（﹣2，y），∴•=1×（﹣2）+y=y﹣2；由y∈[0，2]，得y﹣2∈[﹣2，0]，∴的取值范围是[﹣2，0]．故选：B．8．已知α，β为两个不同平面，m，n为两条不同直线，以下说法正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，则n⊥βD．若m丄n，m∥α，则n⊥α【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面平行，面面垂直以及线面平行线面垂直的性质定理和判定定理对选项分析选择．【解答】解：对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或者异面；故A错误；对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或者m⊂α；故B 错误；对于C，若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，根据面面垂直的性质以及线面平行的性质定理可判断n⊥β；故C正确；对于D，若m丄n，m∥α，则n与α位置关系不确定；故D错误；故选C．9．已知A﹣BCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．2 D．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故选A．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． +6 B． +7 C．π+12 D．2π+6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，根据数据即可计算．【解答】解：根据三视图，可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，长方体的棱长分别为1，2，1；圆柱的底面半径为1，高为1，则该几何体的表面积为s=（1+1+2）×1+1×2×2+2×2+=π+12故选：C11．己知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=b（b∈R），若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】设圆心O到直线的距离为d，结合图形可得：圆C上到直线l的距离为1的点的个数为0，1，2，3，4，则S的可能取值共有5种．【解答】解：设圆心O到直线的距离为d，结合图形可得：当d＞3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为0，当d=3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为1，当1＜d＜3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为2，当d=1时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3，当d＜1时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为4，∴圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有5种．故选：D12．f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f （x）=tan x，则方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是（）A．7 B．5 C．4 D．3【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】利用已知条件画出y=f（x）与y=的图象，即可得到方程解的个数．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f（x）=tan x，方程5πf（x）﹣4x=0解的个数，就是f（x）=解的个数，在坐标系中画出y=f（x）与y=的图象，如图：两个函数的图象有5个交点，所以方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是：5．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置13．已知向量的夹角为，且||=3，||=，则||= 2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，设||=t，（t＞0），由向量数量积的运算公式可得|+|2=（+）2=9+t2+2•=9+t2+3t=19，化简可得t2+3t﹣10=0，解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设||=t，（t＞0）若||=3，||=，向量的夹角为，则有|+|2=（+）2=9+t2+2•=9+t2+3t=19，即t2+3t﹣10=0，解可得t=2或t=﹣5（舍），则||=2；故答案为：2．14．已知角α的终边过点P（3，4），则= ﹣．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得x，y，r，由任意角的三角函数的定义可得sinα，利用诱导公式化简所求求得结果．【解答】解：∵由题意可得x=3，y=4，r=5，由任意角的三角函数的定义可得sinα==，∴=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣．15．圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0的公共弦的长为．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到求出直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0得：6x﹣8y﹣18=0，即3x﹣4y ﹣9=0∵圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离d==，r=3，则公共弦长为2=2=．故答案为：．16．南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图1中阴影部分是由曲线y=、直线x=4以及x轴所围成的平面图形Ω，将图形Ω绕y轴旋转一周，得几何体Γ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体中选一个求得Γ的体积为32π【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【解答】解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S=π（42﹣4|y|），S1=π（42﹣y2）﹣π[4﹣（2﹣|y|）2]=π（42﹣4|y|）∴S1=S，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，∵Γ1=××（43﹣23﹣23）=×48=32π，∴Γ=32π．故答案为：32π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．17．已知点 O（0，0），A（2，1），B（﹣2，4），向量=+λ．（I ）若点M在第二象限，求实数λ的取值范围（II）若λ=1，判断四边形OAMB的形状，并加以证明．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由=+λ得（x，y）=（2，1）+λ（﹣2，4），即M（2﹣2λ，1+4λ）又，⇒λ＞1（Ⅱ）当λ=1时，O（0，0），A（2，1），M（0，5），B（﹣2，4）可得OB∥AM且OB=AM，又，OB⊥OA，OA∴≠OB，四边形OAMB是矩形．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得，由=+λ得（x，y）=（2，1）+λ（﹣2，4）⇒x=2﹣2λ，y=1+4λ即M（2﹣2λ，1+4λ）又∵点M在第二象限，∴，⇒λ＞1；（Ⅱ）当λ=1时，O（0，0），A（2，1），M（0，5），B（﹣2，4）∴，OB∥AM且OB=AM∴四边形OAMB是平行四边形．又，∴OB⊥OA∵，OB=2，四边形OAMB是矩形．18．己知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8．（I ）求直线l的方程；（II）直线l′过点O且与l平行，点P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．【考点】IG：直线的一般式方程．（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．可【分析】得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．可得S△OAB=b×b=8，解得b即可得出．（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．直线l′的方程为：y=﹣x．设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），则，解得A′（﹣2，﹣2）．|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．∴S△OAB=b×b=8，解得b=4．∴直线l的方程为：y=﹣x+4．（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．直线l′的方程为：y=﹣x．设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），则，解得，∴A′（﹣2，﹣2）．∵|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，∴当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．∴（|PA|+|PB|）min=|A′B|=4．19．已知向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）=（I ）求函数f（x）的单调递增区间；（II）若f（2α）=，求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值；GL：三角函数中的恒等变换应用；H5：正弦函数的单调性．【分析】（I ）根据向量的乘积运算求出f（x）的解析式，化简，根据三角函数性质即可求函数f（x）的单调递增区间（II）根据f（x）的解析式把x=2a带入，即f（2α）=，切化弦即可得答案．【解答】解：（I ）向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）==2sin﹣cos﹣cos=2（sin﹣cos）=2sin（）由2kπ≤≤，k∈Z．解得：4kπ≤x≤4kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z．（II）由（I ）可得f（x）=2sin（）∵f（2α）=，即2sin（）=∴sin（）=，那么===（cosα﹣sinα）2=2sin2（）=2×=．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，由E，F分别为VB、CB的中点，得EF∥VC，从而DO∥面VAC，由此得到D点轨迹是EF．（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是的中点时，（V V﹣）max=4，此时VC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥面VAC，进而∠CAB是直线AB与面VAC所成的ABC角，由此能求出三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．【解答】解：（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，则线段EF即为点D的轨迹，如图所示．理由如下：∵E，F分别为VB、CB的中点，∴EF∥VC，又EF⊄面VAC，VC⊂面VAC，又D∈EF，OD⊂面EOF，∴DO∥面VAC，∴D点轨迹是EF．（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，∵VC⊥面ABC，∴==，∵d∈（0，2]，∴当d=2，即C是的中点时，（V V﹣ABC）max=4，∵VC⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴VC⊥BC，∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴AC⊥BC，∵AC∩VC=C，∴BC⊥面VAC，∴AC是AB在面VAC上的射影，∴∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，∵C是的中点，∴CA=CB，∴∠CAB=45°，∴三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．21．己知圆C过点（，1），且与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=﹣3相交于点 M，N．（1 ）求圆C的方程：（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使的值为常数，并求出这个常数．【考点】9R：平面向量数量积的运算；J1：圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意得出圆C的圆心在x轴上，设出圆C的标准方程，求出圆心与半径即可；（II）【解法一】由题意设出直线AP的方程，根据AP⊥BP写出直线BP的方程，求出M、N的坐标，设点Q的坐标，利用坐标表示、和数量积•，计算•为常数时，在x轴上存在一定点Q．【解法二】由题意设出点P的坐标，根据点P在圆C上，结合直线AP的方程求出点M、N的坐标；设出点Q的坐标，利用坐标表示出、，计算数量积•为常数时，在x轴上存在一定点Q．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），∴圆C的圆心在x轴上，设圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2（r＞0），则，解得a=0，r=2；∴圆C的方程为x2+y2=4；（II）【解法一】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，﹣2），又由已知可得直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y=kx+2（k≠0），∵AB是圆C的直径，∴AP⊥BP，∴直线BP的方程为y=﹣x﹣2，联立，解得；∴M（﹣，﹣3）；同理可求N（k，﹣3）；如图所示，设Q（t，0），则=（﹣﹣t，﹣3），=（k﹣t，﹣3）；∴•=（﹣﹣t）（k﹣t）+（﹣3）×（﹣3）=t2+4+（﹣k）t，当t=0时，•=4为常数，与k无关，即在x轴上存在一定点Q（0，0），使的值为常数4．【解法二】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，﹣2），设P（x0，y0），由已知得，点P在圆C上，且异于点A、B，∴x0≠0，y0≠2，且+=4；∴直线AP的方程为y=x+2，当y=﹣3时，x=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣3），同理：点N的坐标为（﹣，﹣3）；设Q（t，0），则=（﹣﹣t，﹣3），=（﹣﹣t，﹣3），∴•=（﹣﹣t）（﹣﹣t）+9=t2+（+）t+•+9=t2+（+）t+4；当t=0时，•=4为常数，与k无关，即在x轴上存在一定点Q（0，0），使的值为常数4．22．某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y（单位：m3/h ）关于时间t（单位：h）的关系均近似地满足函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如下：（Ⅰ）根据图象求函数解析式；（II ）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过5m 3/h ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？【考点】HK ：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由图可得A ，b ，利用周期公式可求ω，将t=0，y=3，代入y=sin （t+φ）+2，结合范围0＜φ＜π，可求φ从而可求函数解析式．（II ）设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产，据题意得cos[（t+m ）]+2+cos （t ）+2≤5，化简可得﹣≤cos （m ）≤，由m ∈（0，6），可得范围2≤m ≤4，即可得解． 【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由图可得：A=（3﹣1）=1，…1分b=（3+1）=2，…2分∵=6，∴ω=，…3分∴将t=0，y=3，代入y=sin （t+φ）+2，可得：sin φ=1， 又∵0＜φ＜π，∴φ=，…5分∴y=sin （t+）+2=cos （t ）+2，∴所求函数的解析式为y=cos （t ）+2，（t ≥0），…6分（注：解析式写成y=sin （t+）+2，或未写t ≥0不扣分）（II ）设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产，…7分根据题意可得：cos[（t+m ）]+2+cos （t ）+2≤5，…8分∴cos （t ）cos （m ）﹣sin （t ）sin （m ）+cos （t ）≤1，∴[1+cos （m ）]cos （t ）﹣sin （t ）sin （m ）≤1，∴≤1，∴≤1，可得：2|cos （m ）|≤1，…11分∴﹣≤cos （m ）≤，由m ∈（0，6），可得：≤m ≤， ∴2≤m ≤4，∴为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产…12分。
《精编》福建省宁德市宁德一中高一数学下学期第三次月考新人教A版.doc
宁德一中09-10学年高一〔下〕数学月考3试题一、选择题〔每题3分，共计36分〕 1．给出下面四个命题：① =+；②=+B ；③=；④00=⋅。
其中正确的个数为〔 〕 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 3．将分针拨慢5分钟，那么分钟转过的弧度数是 〔 〕A ．3π B ．－3π C ．6π D ．－6π 4．定义在R 上的函数()f x ，既是偶函数又是周期函数，假设()f x 的最小正周期是π，且当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，那么5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为〔 〕A ．12-B C ． D ．125．函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 〔 〕 A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π]D ．[2k π－83π，2k π＋8π]〔以上k ∈Z 〕6．如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||φ的最小值为〔 〕A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．将函数)32sin()(π-=x x f 的图像左移3π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，那么所得到的图象的解析式为〔 〕A ．x y sin =B ．)34sin(π+=x yC ．)324sin(π-=x y D ．)3sin(π+=x y8．(32)(51)M N ---，，，，且12MP MN =，那么P 点坐标为〔 〕EFDC BA A ．(81)-，B ．312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．312⎛⎫⎪⎝⎭，D ．(81)-，9．如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，那么 A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-=D ．0BD BE FC --=10．函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于 .(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π11．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，那么〔 〕A ．0PA PB +=B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=12．a 是实数，那么函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕13．在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,点A(－2，0)，B 〔6，8〕，C(8,6),那么D 点的坐标为___________．14．向量→a =〔1，2〕，→b =〔－2，3〕，→c =〔4，1〕，用→a 和→b 表示→c ，那么→c =__________15．关于以下命题：①函数x y tan =在第一象限是增函数；②函数)4(2cos x y -=π是偶函数； ③函数)32sin(4π-=x y 的一个对称中心是〔6π，0〕；④函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2,2[ππ-上是增函数; 写出所有正确的命题的题号： 。
福建省宁德市高一下学期期末数学试卷
福建省宁德市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 直线与圆相切，则的最大值为（）A . 1B .C .D .2. （2分）过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为A,B，则DABP的外接圆方程是（）A .B .C .D .3. （2分）已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·佛山期中) 直线 x+3y+1=0的倾斜角是（）A .B .C .D .5. （2分）过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（）A . 2x＋y－12＝0B . 2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C . x－2y－1＝0D . x＋2y－9＝0或2x－5y＝06. （2分）在平面直角坐标系中，点A（0，1）和点B（4，5）到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线l的条数为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2018高一下·大同期末) 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·德惠期中) 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若且，则此抛物线的方程为（）A .B .C .D .9. （2分）设m是常数，若是双曲线的一个焦点，则m的值为（）A . 16B . 34C . 16或34D . 410. （2分）已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y=0和x+ay=0上，且AB线段的中点为P（0，），则线段AB的长为（）A . 8B . 9C . 10D . 1111. （2分）(2020·晋城模拟) 设满足约束条件，则的最小值为（）A . 0B . -4C . -8D . -612. （2分） (2016高二上·平阳期中) 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2016高二上·宝应期中) 设集合M={（x，y）|x2+y2≤4}，N={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤r2（r＞0）}，当M∩N=N时，则实数r的取值范围为________．14. （1分）已知a，b∈R，满足a2+3ab+9b2=4，则Z=a2+9b2的取值范围为________ ．15. （1分）不等式x（1﹣2x）＞0的解集为________．16. （1分）(2018·杨浦模拟) 若为等比数列，，且，则的最小值为________17. （1分）在等比数列{an}中，首项为a1 ，公比为q，Sn表示其前n项和．若，=9，记数列{log2an}的前n项和为Tn ，当n=________时，Tn有最小值．三、解答题 (共5题；共30分)18. （5分）(2017·成都模拟) 已知数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4．（I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Sn ．19. （10分） (2016高三上·焦作期中) 已知首项为﹣6的等差数列{an}的前7项和为0，等比数列{bn}满足b3=a7 ， |b3﹣b4|=6．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）是否存在正整数k，使得数列{ }的前k项和大于？并说明理由．20. （5分） (2019高一上·蒙山月考) 解关于的不等式（，且）.21. （5分） (2018高一上·沈阳月考) 己知函数 .（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围。
福建省宁德市高一下学期期末数学试卷
福建省宁德市高一下学期期末数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高二上·会宁期中) 若 a，b，c∈R，且 a＞b，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. B . ac＞bc C . a2＞b2 D . a+c＞b+c 2. （2 分） 三角函数值 sin1，sin2，sin3 的大小顺序是（ ） A . sin1＞sin2＞sin3 B . sin2＞sin1＞sin3 C . sin1＞sin3＞sin2 D . sin3＞sin2＞sin13. （2 分） (2019 高一下·长春月考) 已知 cosθ= ，θ∈（0，π），则 cos（ +2θ）=（ ）A. B.C. D. 4. （2 分） 已知 A.，则第 1 页 共 12 页B. C. D. 5. （2 分） (2016 高三上·成都期中) 若向量 、 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ） ⊥ ，则| |=（ ） A.2 B. C.1D.6. （2 分） 设 、 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（ ）A . =B. C . =2 D. 7. （2 分） 设等差数列 的前 n 项和为 Sn ， 若 a11=12，则可计算出（ ） A . S20=242 B . S21=252 C . S22=264 D . 以上都不对第 2 页 共 12 页8. （2 分） 设 ,函数图像向右平移 个单位与原图像重合，则 最小值是（ ）A.B.C. D.3 9. （2 分） 已知 大小关系是（ ） A. B. C. D.,并且 是方程的两根则实数的10. （2 分） (2016 高三上·黑龙江期中) 已知 cosα= ，cos（α+β）=﹣ ，且 α，β∈（0， ）， 则 cos（α﹣β）的值等于（ ）A.﹣B.C.﹣D.11. （2 分） (2017 高一上·宜昌期末) 在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 中点， 则 等于（ ）=，=，A.﹣第 3 页 共 12 页B.﹣C.D.12. （2 分） (2017·海淀模拟) 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确， 手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入 密码分别为 3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（ ）A . 4，6B . 3，6C . 3，7D . 1，7二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二上·临夏期中) 不等式的解集为________．14. （1 分） (2018 高一下·苏州期末) 已知角 ________．的终边上的一点的坐标为，则15. （1 分） (2017·民乐模拟) 设 a＞0，b＞1，若 a+b=2，则的最小值为________．16. （1 分） (2017·闵行模拟) 地球的半径为 R，在北纬 45°东经 30°有一座城市 A，在北纬 45°西经 60° 有一座城市 B，则坐飞机从 A 城市飞到 B 城市的最短距离是________．（飞机的飞行高度忽略不计）三、 解答题： (共 6 题；共 45 分)17. （5 分） 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，f（x）=•﹣（2m+ ）•| |；A、B、C 三点满足满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C 三点共线；（Ⅱ）已知 A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的最小值为﹣第 4 页 共 12 页，求实数 m 的值．18. （10 分） (2017 高二下·岳阳期中) 已知函数 f（x）=2 大值为 1．sin（x+ ）cos（x+ ）+sin2x+a 的最（1） 求函数 f（x）的单调递增区间；（2） 将 f（x）的图象向左平移 解，求实数 m 的取值范围．个单位，得到函数 g（x）的图象，若方程 g（x）=m 在 x∈[0，]上有19. （5 分） (2017·青州模拟) 已知数列{an}是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn=，求数列{bn}的前 n 项和 Tn ．20. （5 分） 北京某商厦计划同时出售空调和洗衣机，由于这两种产品供不应求，因此根据成本、工资确定产 品的月供应量，以使得总利润达到最大．通过调查，得到有关数据如下表：资金成本 工资单位产品所需资金（百元）洗衣机空调2030105资金供应量 （百元）300 110单位利润86试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？21. （10 分） (2018 高一下·苏州期末) 如图，在平面四边形 .中，，，（1） 若，求的面积；第 5 页 共 12 页（2） 若，，求 的长度.22. （10 分） (2018 高一下·佛山期中) 设 ．为等差数列（1） 求常数 的值，并写出的通项公式；的前项和，其中，且（2） 记，数列的前 项和为 ，若对任意的，都有，求常数 的最小值．第 6 页 共 12 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题： (共 6 题；共 45 分)17-1、第 8 页 共 12 页18-1、18-2、19-1、第 9 页 共 12 页20-1、 21-1、21-2、第 10 页 共 12 页22-1、22-2、。
福建省宁德市2009—2010学年第二学期普通高中阶段性考试高一试题(数学)
绝密★启用前 试卷类型：A宁德市2009—2010学年第二学期普通高中阶段性考试高一数学必修④试 题时量：120分钟 总分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出嘚四个选项中，只有一项符合题目嘚要求，请将答案填写在答卷中嘚相应位置)1．直线3410x y +-=嘚倾斜角为α，则cos α嘚值为 ( )A ．34- B.45 C.35 D.45- 2．已知)2,3(),2,1(-==b a ，若ka b + 与3a b -平行，则k 嘚值为 ( )A ．13-B ．13C ．19D ．19-3．已知(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c 等于 ( )A ．1322a b -+ B ．1322a b - C ．3122a b -- D ．3122a b -+ 4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是 ( ) A ．若·0=a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若··a b =a c ，则b =c 5．在ABC ∆中，D 为BC 嘚中点，已知AB a =，AC b =，则下列向量一定与AD 同向嘚是 ( )A ．a ba b ++ B ．aba b + C ．a ba b -- D ．aba b -6．已知(2,3)A ，(3,0)B ，且2AC CB =-，则点C 嘚坐标为 ( )A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．8(,1)3D ．8(1,)3-7．将函数sin(2)3y x π=+嘚图象按向量α平移后所得嘚图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α嘚坐标可能为 ( )A ．(,0)12π- B ．(,0)6π- C ．(,0)12π D ．(,0)6π 8．如右图，ABCD 是由三个边长为1嘚正方形拼成嘚矩形，且EAB α∠=，CAB β∠=，则αβ+嘚值为 ( )A ．34πB ．2π C ．3π D ． 4π 9．已知43cos()sin 65παα-+=，7sin()6πα+则的值是( ) A.-532 B.532 C. -54 D. 54 10．观察223sin 30cos 60sin 30cos604++=，223sin 20cos 50sin 20cos504++=和223sin 15cos 45sin15cos 454++= ，…，由此得出嘚以下推广命题中，不正确嘚是( )A. 223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-++-=B. 223sin cos sin cos 4αβαβ++= C. 223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-+++-+= D. 223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++++= 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。
福建省“三地”0910学年高一五校联考(数学)
福建省“三地”0910学年高一五校联考（数学）高一数学试卷〔考试时刻：120分钟 总分：150分〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，考试终止时，将答题卡和答题卷一并交回。
第一卷〔选择题 共50分〕一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
本大题共10小题，每题5分，共50分。
1、在△ABC 中，假设ab c b a =-+222那么C ∠等于〔 〕A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°2、在△ABC 中，3=AB ，︒=45A ，︒=60C 那么BC ＝〔 〕A 、3B 、2C 、23+D 、23-3、等差数列前三项为1-x ，1+x ，32+x ，那么那个数列的通项公式为〔 〕A 、12+=n a nB 、12-=n a nC 、32-=n a nD 、52-=n a n4、在数列1,1,2,3,5,8,13,x ,34,55,…中，x 的值是〔 〕A 、19B 、20C 、21D 、225、在△ABC 中，假设CcB b A a cos cos cos ==那么△ABC 是〔 〕 A 、直角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形6、△ABC 周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，那么cos C 的值为〔 〕A 、41-B 、41C 、32-D 、32 7、在△ABC 中，,45,1︒=∠=B a ABC S △＝2,那么△ABC 的外接圆直径是〔 〕A 、34B 、5C 、25D 、268、如图D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝100m ，从D 、C 两地测得A 的仰角分不为︒30和︒45，那么A 点离地面的高AB 等于〔 〕A 、m 100B 、m 350C 、m )13(50-D 、m )13(50+9、等差数列{}n a 中，33,4,31521==+=n a a a a ，那么n 为〔 〕 A 、48 B 、49 C 、50 D 、5110、等差数列的首项为31,假设此数列从第16项开始小于1,那么此数列的公差d 的取值范畴是〔 〕A 、)2,(--∞B 、]2,715[--C 、),2(+∞-D 、)2,715[--第二卷 〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把正确答案填在答题卷上 11、在某报«自测健康状况»报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观看表中数据特点，用适当的数填入空白〔______〕内12、在等差数列{}n a 中，13,2321=+=a a a ，那么654a a a ++＝ 13、在锐角△ABC 中，三边长分不是2，3，x ，那么x 的取值范畴是 14、△ABC 的三个内角成等差数列，且C B A ∠>∠>∠，AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为______________15、在△ABC 中，B A ∠>∠，给定以下不等式：①B A sin sin >②B A cos cos <③B A 2sin 2sin >④B A 2cos 2cos <，其中正确的序号是三、解答题〔共6题，总分值80分〕16、数列{}n a 的第1项是1，第2项是2，，以后各项由)2(21>+=--n a a a n n n 给出 〔1〕写出那个数列前5项〔2〕利用上面的数列{}n a ，通过公式nn n a a b 1+=构造一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的前5项〔总分值13分〕17、在△ABC ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分不是a 、b 、c 求证：22)cos cos (b a A b B a c -=-〔总分值13分〕18、〔总分值13分〕如图在△ABC 中，43cos ,1,2===C BC AC 〔1〕求AB 的值 〔2〕求)2sin(C A +的值19、〔总分值13分〕{}n a 为等差数列，3,221==a a ，假设在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： 〔1〕原数列的第12项是新数列的第几项？ 〔2〕新数列的第29项是原数列的第几项？20、〔总分值14分〕设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 对分不为a 、b 、c ，且A b a sin 2= 〔1〕求B 的大小；〔2〕求C A sin cos +的取值范畴21、〔总分值14分〕数列{}n a 满足a a 21=，122--=n n a a a a )2(≥n 其中a 是不为0的常数，令aa b n n -=1〔1〕求证：数列{}n b 是等差数列； 〔2〕求数列{}n a 的通项公式。
福建省宁德市高一下学期期末数学试卷(理科)
福建省宁德市高一下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）福建泉州市2008年的生产总值约为3151亿元人民币，如果从此泉州市生产总值的年增长率为10.5%，求泉州市最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容应是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·舒兰月考) 设函数定义在实数集上，当 1时，，且是偶函数，则有（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高一下·宜宾期中) 设向量， =（2，﹣2），且（），则x 的值是（）A . 4B . ﹣4C . 2D . ﹣25. （2分）函数f（x）=x3+x﹣3的实数解落在的区间是（）A . [0，1]B . [1，2]C . [2，3]D . [3，4]6. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定7. （2分） (2019高一上·北京期中) 对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么 .其中正确结论的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线关于y轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为（）A .B .C .D .9. （2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分）在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，=，=，则=（）A . -B . +C . --D . -+11. （2分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为（）A .B .C .D .12. （2分）定义运算：a⊙b=如1⊙2=1，则函数f（x）=2x⊙2﹣x的值域为（）A . RB . （0，+∞）C . （0，1]D . [1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·定州期末) 函数的定义域为________．14. （1分）今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为________15. （1分）(2018·衡水模拟) 在区间上随机取两个数，，则事件“ ”发生的概率为________．16. （1分）(2014·江苏理) 已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·岳池期末) 设θ为第二象限角，若．求（1）tanθ的值；（2）的值．18. （10分）(2014·重庆理) 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2） X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）19. （10分） (2017高二下·枣强期末) 在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．21. （5分）已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是常数，ω＞0）的最小正周期为2，并且当x= 时，f（x）取得最大值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0， ]时，方程f（x）=m有两个不同解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）在闭区间[ ， ]上是否存在f（x）的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．22. （10分） (2016高一上·揭阳期中) 设函数g（x）=3x ， h（x）=9x ．（1）解方程：h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0；（2）令p（x）= ，求值：p（）+p（）+…+p（）+p（）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
福建省宁德市高一下学期期末数学考试试卷
福建省宁德市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知是平面向量，下列命题中真命题的个数是（）① ②③ ④A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2016高二上·和平期中) 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A .B . ab＜b2C . ﹣ab＜﹣a2D .3. （2分）已知直线l1：x+m2y+6=0，l2：（m﹣2）x+3my+2m=0，l1∥l2 ，则m的值是（）A . m=3B . m=0C . m=0或m=3D . m=0或m=﹣14. （2分）设数列和分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（sinA+sinB）（a﹣b）=（sinC﹣sinB）c，S△ABC= ，c=4b，则函数f（x）=bx2﹣ax+c的零点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 不确定6. （2分）(2017·湖北模拟) 设正项等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2017=4034，则的最小值为（）A .B .C . 2D . 47. （2分） (2019高一上·嘉兴月考) 关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A . ｛a｜4＜a＜5｝B . ｛a｜4＜a＜5或－3＜a＜－2｝C . ｛a｜4＜a≤5｝D . ｛a｜4＜a≤5或－3≤a＜－2｝8. （2分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·嘉兴期末) 已知数列{an}满足：an= ，且Sn= ，则n的值为（）A . 9B . 10C . 11D . 1210. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2 ，则实数a的值为（）A . －1或B . 1或3C . －2或6D . 0或411. （2分） (2017高一下·安庆期末) 点P（m2 ， 5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A . 在圆外B . 在圆上C . 在圆内D . 不确定12. （2分）已知使关于x的不等式+1≥ ﹣对任意的x∈（0，+∞）恒成立的实数m的取值集合为A，函数f（x）= 的值域为B，则有（）A . B⊆AB . A⊆∁RBC . A⊆BD . A∩B=∅二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若直线l1：ax+（3﹣a）y+1=0，l2：2x﹣y=0，若l1⊥l2 ，则实数a的值为________14. （1分） (2018高二上·莆田月考) 若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为________.15. （1分）(2013·江苏理) 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD= AB，BE= BC，若=λ1+λ2 （λ1 ，λ2为实数），则λ1+λ2的值为________．16. （1分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，若，则A＝________。
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绝密★启用前 试卷类型：A宁德市2009—2010学年第二学期普通高中阶段性考试高一数学必修④试 题时量：120分钟 总分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在答卷中的相应位置)1．直线3410x y +-=的倾斜角为α，则cos α的值为 ( )A ．34- B.45 C.35 D.45-2．已知)2,3(),2,1(-==b a ，若ka b + 与3a b -平行，则k 的值为 ( )A ．13-B ．13C ．19D ．19-3．已知(1,1)a = ，(1,1)b =- ，(1,2)c =-，则c 等于 ( )A ．1322a b -+B ．1322a b -C ．3122a b --D ．3122a b -+4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是 ( ) A ．若·0= a b ，则0 a =或0 b = B ．若λ0 a =，则0λ=或=0a C ．若22= a b ，则= a b 或- a =bD ．若·· a b =a c ，则 b =c5．在ABC ∆中，D 为BC 的中点，已知AB a = ，AC b = ，则下列向量一定与AD同向的是 ( )A ．a b a b ++B ．a b a b +C ．a ba b-- D ．a b a b -6．已知(2,3)A ，(3,0)B ，且2AC CB =-，则点C 的坐标为 ( )A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．8(,1)3D ．8(1,)3-7．将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为 ( )A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8．如右图，ABCD 是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且EAB α∠=，CAB β∠=，则αβ+的值为 ( )A ．34π B ．2πC ．3πD ． 4π9．已知cos()sin 65παα-+=，7sin()6πα+则的值是( )A.-532B.532 C. -54 D. 5410．观察223sin 30cos 60sin 30cos 604++=，223sin 20cos 50sin 20cos504++=和223sin 15cos 45sin15cos 454++= ，…，由此得出的以下推广命题中，不正确的是( )A. 223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-++-=B. 223sin cos sin cos 4αβαβ++=C. 223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-+++-+=D. 223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++++=二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填写在答卷中的相应位置) 11．函数2log (sin )y x =的定义域为_____ _____。
12．函数()cos ([,])22f x x x x ππ=+∈-的值域为 。
13．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T 。
14．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ，其中[0,60]t ∈。
15．下面有5个命题：①分针每小时旋转2π弧度；②若OA xOB yOC =+，且1x y +=，则,,A B C 三点共线；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点；④函数sin ()1cos xf x x=+是奇函数；⑤在ABC △中，若sin sin A B =，则A B =。
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）三、解答题(本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题12分)已知1cos sin ,(0,)5αααπ+=-∈。
求cos 2α的值。
17．(本小题12分)已知两单位向量a 与b 的夹角为120，若2c a b =+ ，d b a =- ，试求c 与d的夹角θ。
18．(本小题12分)已知(cos ,cos )a x x x = ，(sin ,sin )b x x x =，且()f x a b =⋅ 。
①将函数()f x 的表达式化为sin()A x h ωϕ++的形式； ②若[,]22x ππ∈-，求函数()f x 的单调递增区间。
19．(本小题13分)①在直角坐标系中，cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩表示什么曲线？（其中,,a b r 是常数，且r 为正数，θ为变量。
）②若点P 为圆C ：22(2)(3)4x y -+-=上任意一点，且O 为原点，(1,0)A ，求OP AP ⋅的取值范围。
20．(本小题13分)已知向量]2,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos π∈-==x x x b x x a 且，求：①||a b a b ⋅+ 及；②若()2||f x a b a b λ=⋅-+ 的最小值是23-，求实数λ的值。
21．(本小题13分)已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值。
2009-2010学年度（下）宁德市高一期末试卷必修4模块测试参考答案一、选择题：每小题5分，共50分。
题号 12345678910答案D A B B A B C D C B二、填空题：每小题5分，共25分。
11. ()22k k k Z πππ+∈,,() 12. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13. π14. 10sin60tπ 15. ②④⑤三、解答题：请写出详细的解答或证明过程。
16.解：∵ 1cos sin 5αα+=-21(cos sin )25αα⇒+= 112cos sin 25αα⇒+=242cos sin 25αα⇒=- ………………3分又∵(0,)απ∈，∴sin 0α ，故cos 0α (,)2παπ⇒∈ cos sin 0αα⇒- 。
………………6分又∵249(cos sin )12sin cos 25αααα-=-=，从而有7cos sin 5αα⇒-=-，…9分∴227cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )25ααααααα=-=-+= ……………12分17．解：∵ 222(2)41211cos120c a b c a b =+⇒=+=++⨯⨯⨯c ⇒= …3分d b a =- 22()11211cos120d a b ⇒=-=+-⨯⨯⨯d ⇒= …6分又2111cos1201cos 32c d c d θ⋅-++⨯⨯===-， …9分 且θ为两向量的夹角，∴[]0,θπ∈。
故120θ= 。
…12分18. 解：①()f x a b =⋅=cos (sin )(cos )sin x x x x x x + …2分22()2sin cos sin )sin 2f x x x x x x x ⇒=-= …4分()2sin(2)3f x x π⇒=+ …6分②当222232k x k πππππ-≤+≤+51212k x k ππππ⇔-≤≤+时，函数()f x 单调递增。
…9分又∵[,]22x ππ∈-，∴函数()f x 的单调递增区间为：5[,]1212ππ-。
…12分19. 解：①∵,,a b r 是常数，且r 为正数，θ为变量，且cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，∴有：cos sin x a r y b r θθ-=⎧⎨-=⎩222()()x a y b r ⇒-+-=。
…3分 所以，在直角坐标系中，cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩表示的是以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆。
…6分②∵点P 为圆C ：22(2)(3)4x y -+-=上任意一点，故由①可设点P 的坐标为(22cos ,32sin )θθ++。
…8分∴(22cos ,32sin )OP θθ=++ ，(12cos ,32sin )AP θθ=++。
…10分 故2(22cos )(12cos )(32sin )OP AP θθθ⋅=++++156cos 12sin OP AP θθ⇒⋅=++15)θϕ=++ …12分又∵1sin()1θϕ-≤+≤，∴1515OP AP -⋅≤+…13分20．解：① a b ⋅= ,2c o s2s i n 23s i n 2c o s 23c o s x xx x x =⋅-⋅ …2分 ||a b += x x xx x x 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos =+=-++ …4分∵]2,0[π∈x ， ∴,0cos ≥x ∴||a b += 2cos x 。
…6分② ,cos 42cos )(x x x f λ-= 即.21)(cos 2)(22λλ---=x x f …7分∵]2,0[π∈x ， ∴.1cos 0≤≤x⑴当0λ 时，当且仅当)(,0cos x f x 时=取得最小值－1，这与已知矛盾．…8分⑵01λ≤≤时，当且仅当)(,cos x f x 时λ=取最小值.212λ--由已知得23212-=--λ，解得.21=λ …10分 ⑶1λ>当时，当且仅当)(,1cos x f x 时=取得最小值,41λ-由已知得2341-=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾． …12分 综上所述，21=λ为所求． …13分 21.解：∵22()αβαββ-=-+， …2分 又1tan()2αβ-=，∴22tan()4tan 2()1tan ()3αβαβαβ--==-- …4分 故tan 2()tan tan(2)tan[2()]1tan 2()tan αββαβαββαββ-+-=-+=--4137141137-==+⨯。
…6分 又∵tan()tan 1tan tan[()]11tan()tan 3αββααββαββ-+=-+==--+ ， …7分且0απ ，∴04πα ，∴022πα。
…9分又1tan 7β=-，且(0,)βπ∈(,)2πβπ⇒∈(,)2πβπ⇒-∈--。
…11分 ∴2(,0)αβπ-∈-。
又tan(2)1αβ-=，∴324παβ-=-。