第1章 牛顿动力学方程

(1.16)
(1.1７)
o
z
θ
r
e
N
er
y
x
(1.1８)
e
图1.6
位矢
速度
r re r
re re r sine r r
（1.19） （1.20）
加速度
a
r r e r sin e ) d (re
1.1
经典力学立论的理论基础
包括：三个观点（物质观、时空观、运动观）和四条推理规则（简单 性原理、因果性原理、统一性原理、真理性原理） • 物质观。所有的物质都由原子的微粒组成，原子间存在互相吸引 力和排斥力，可以凝聚分离，构成万物及运动。
• 时空观（绝对时空观）。时间是一维的、均匀的、无限的，与空 间和物质都无关——牛顿的绝对时间。可用一条长的直线表示时间：
er sin cos i sin sin j cos k e cos cos i cos sin j sin k e er e sin i cos j
由图1.6可知：
(6) 参照系与坐标系关系: i. 描述物体的运动必须有一参照系;
ii . 参照系(体)必须是刚体(1个参照点不能描述物 体在三度空间的位置);
iii. 坐标系是参照系的数学抽象. 可固定在参照 系上(一般情况), 也可不固定在参照系上.
二、平动参照系: (§1.3)
静系: S
动系: S’ (可 以认为是刚 体的平动)
i
j
b
质点在任意时刻（P点）的速度和加速度分别为
e
de d d a e dt dt dt de ? dt
如图1.9所示： 由弧度的定义知

（1.26）

e
y ds
de
de e d d de d d ds dt dt ds dt
都可作出这样的三条正交的直线，以、n、b为坐标轴构成空间自然坐标系。
用 e 、en、eb
表示其单位矢量，显然，随着质点的运动，
方向随时间t而变化。 e 、en、eb
自然坐标系―内禀（禀性，本性）方程
法向平面 主法线 密切平面 次法线
n
b

直切平面 切线
轨道约束：仅有一个变量 s(t). 定义：切线方向 i 质点运动方向； 法线方向 j 轨道法线并指向 曲线的凹侧； 副法线方向 b i j n, ab 0.
（１） 直角坐标系
x x P(x,y,z) o x 图1.4 y
r xi yj zk
xi yj zk r
（1.4）
（1.5）
方程（1.3）可表示为 m Fx ( x, y, z; x, y, z; t ) x y m Fy ( x, y, z; x, y, z; t ) mz Fz( x, y, z; x, y, z; t )
（1.10）
加速度为
d a ( r 2 )e r ( r 2r)e r dt
（1.11）
因此，牛顿第二定律可表示为
m( r 2 ) Fr r m( r 2r) F
（1.12）
（3）柱坐标
（5）自然坐标与内禀方程
设质点沿着某一空间曲线MN运 动，在轨道MN上的任意点P作密切 平面，在密切平面内过P点作切线

和法线n，再作直线b，使三者的方向关
系为 n b ，即互相⊥，b称为次法线。n 和 b 构成的平面 称为法平面， 与 b 组成的平面称为直切平面。轨道上每一点
自然坐标系实 际上是描述空 间曲线, 属正 交曲线坐标系.
v v vn n vb b , v v v
a a ann abb , a a a
切向
主法线 副法线
* 球坐标系:
ˆ ˆ ˆ 如图， 1 , e2 , e3 r , , e
，
ab 0
则牛顿第二定律为
d m dt F 2 Fn m 0 Fb
（1.28）
a表示速度大小随时间的变化率，
an 表示速度方向随时间的变化率。
对非自由质点, 约束运动：m F (r , r , t ) R r
i (e r ) 垂直 r （ 增加）方向 j ( e )
r
及其单位矢量
er 和极角θ及其单位 e
矢量
（1.7） x
（1.8）
质点的位矢
r

和速度
r

为
r re r
（1.9）
re re re re r r r r
· 运动观.内容包括 ①力学的最高原理——牛顿三定律和 力学相对性原理的确立；②万有引力定律的发现。 · 简单性原理.凡科学上正确的东西都是简单的，因此， 力求用简单的方法和形式解决科学问题，表述科学结论。
· 因果性原理.即决定论。
· 绝对性原理.指物质观、时空观、运动观对整个自然 都是普遍适用的，是自然哲学的根本所在。
(1.13) (1.1４) (1.1５)
e e r e er
er er er e sin e e e e er cose d e (er e ) sin er cose dt
理论力学
主讲：黎明 单位：西安理工大学理学院 应用物理系
第一章 牛顿动力学方程
内容: ·经典力学立论的理论基础 ·牛顿力学的基本定律和定理 ·牛顿动力学方程及其应用 ·解题指导 重点: 牛顿动力学方程及其应用 难点: 角动量概念和角动量定理 牛顿在伽利略、开普勒工作的基础上建立了完整的经 典力学理论，这是现代意义下的物理学的开端。经典力学理 论的基础是质点运动三条定律，其核心是牛顿动力学方程。
r
C
d m F dt

图1.3
F F (r , r , t )
力 F
(1.1)
一般是位矢 r 速度
r 和时间t的函数:


(1.2)
(1.3)
则式(1.1)可写为
F (r , r , t ) mr
式(1.3)在常用的坐标系中的分量式分别为：
左
右
过去
现在
未来
图1.1
空间是三维的，各向同性的、均匀的、无 限的，与时间和物质都无关——牛顿的绝对空间。 可用一直角坐标系表示空间。原点为空间任一点， 正交的三个坐标轴方向可以任意选取且可向正负 方向无限延伸，任一质点在空间的位置均可用坐 标系中的三个坐标值表出。绝对时间和绝对空间 构成了牛顿力学的绝对时空观。
推广: n 维线性空间: 内积：
ˆ r
ˆ
a aa x x x
2 1 2 2 2 n
ˆ
Vn a x1a1 x2 a2 xn an x1 x2 xn , x R 正交基 a i a j ij
求出加速度 a
的表示式后，可得
m( r r 2 sin2 ) Fr r 2 m( r 2r r sin cos ) F m( r sin 2r sin 2r cos ) F
dt r r 2 sin 2 )er (r 2r r 2 sin cos )e (r cos )e (r sin 2r sin 2r

由定义 a
(1.6)
（研究平面曲线运动问题） 规定：位矢 方向 r （2）平面极坐标系
其结构如图1.5所示.从图中可知： 随着质点P的运动，矢径 的方向都随时间改变，且 e r cos i sin j e sin i cos j
der e d de er d de r d er e d dt de d e e r d dt
可看成是由OXY平面上的平面极坐标R、φ和直角坐标Z组合而成。 单位矢量
e R、e 和k 的变化率为
z
e e R e e R k 0
位矢和速度为
r
（1.22）
z YOBiblioteka Rx 牛顿第二定律为 （1.23） （1.24）
次法线
b

直切平面 切线
R：约束反力. 在法向平面内 . 质点在密切面内运动( n 平面), 与法向平面 ( n b 平面 ) 垂直.
*(5)曲线坐标系
定义: p点的切线单位 e3 , , 矢量 e 1 e 2 e 3 p e1 为p点的基矢,指 e2 向沿坐标的增加 方向,如柱面,球 坐标系. , 若 e 1 e 2 e 3 ,两两正交,称为正交曲线坐标系.
· 真理性原理.既承认客观真理的存在，同时又承认人们 在一定认识阶段的认识只能接近真实，即承认相对真理的存 在。真理性原理是绝对真理与相对真理结合的观点。 四条哲学推理规则是自然科学认识论、方法论的准则， 是学习、研究自然科学强大的思想武器。 １.２ 牛顿第二定律的数学表达 m
O
设质量为m的物体（质点）沿曲线C运 动，所受到的力为,当物体的质量不变时, 牛顿第二定律的表示为
e
d