10 第5讲分层演练直击高考

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第八章第10讲分层演练直击高考

第八章
平面解析几何
1 －－ 3k 4 所以 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， k ＋4 k ＋4 所以 p· q＝(2x1，y1)· (2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0， 1 2 3 k·（－ 3k）－1 －4k 2 3 所以 2 ＋ 2 ＋＋＝ 0， 4 k ＋4 k ＋4 k2＋4 即 k2－2＝0，k＝± 2.
2 12 （ k ＋1） 2 所以|MN|＝ 1＋k |x1－x2|＝ . 4k2＋3
1 过点 B(1，0)且与 l 垂直的直线 m：y＝－k(x－1)，
第八章
平面解析几何
2 A 到 m 的距离为 2 ， k ＋1 所以|PQ|＝2
2 4 －
2 2 ＝4 2 k ＋1
4k2＋3 . 2 k ＋1 1 1＋ 2 . 4k ＋ 3
第八章
平面解析几何
2 4 － m 所以 k2＝ 2 . m －1
因为 k2－m2＋4>0，
2 2 4－ m 2 （ 4 － m ） m 所以 2 －m2＋4>0，即 >0. m －1 m2－ 1
所以 1<m2<4，解得－2<m<－1 或 1<m<2. 综上，当－2<m<－1 或 m＝0 或 1<m<2 时， → → → OA＋λOB＝4OP.
第八章
平面解析几何
[解 ]
c 1 1 (1)由题意可知 e＝＝， ×2ab＝2 3，a2＝b2＋c2，解 a 2 2
得 a＝2，b＝ 3， x2 y2 所以椭圆方程是＋＝1. 4 3 (2)由(1)知 B(2，0)，设线段 BD 的方程为 y＝k(x－2)，D(x1， x2 y2 y1)，把 y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，整理得 4 3 (3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，

第七章第5讲分层演练直击高考

[解析] 作 CH⊥AB 于 H，连接 PH.因为 PC⊥平面 ABC，所以 PH⊥AB，PH 为 PM 的最小值，等于 2 7.
[答案] 2 7
第七章
立体几何
8.如图所示，在四面体 ABCD 中，AB，BC，CD 两两垂直，且 BC＝CD＝1.直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 30°，则线段 AB 的长度为________．
第七章
立体几何
1．“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B
[解析] 根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M
内的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．
第七章
立体几何
6.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱长为 2， AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D 是 A1B1 的中点， F 是 BB1 上的动点， AB1， DF 交于点 E，要使 AB1 ⊥平面 C1DF，则线段 B1F 的长为( 1 A． 2 3 C． 2 B．1 D．2 )
第七章
立体几何
又 SD⊥底面 ABCD，BC⊂底面 ABCD，所以 SD⊥BC，因为 SD∩DB＝D，所以 BC⊥平面 SDB，因为 DE⊂平面 SDB，所以 BC⊥DE，又 SB＝ SD2＋DB2＝ 4＋2＝ 6， 6 当 SE＝2EB 时，EB＝， 3 6 EB 3 3 DB 2 3 在△EBD 与△DBS 中，＝＝，＝＝， BD 2 3 BS 6 3
C [解析] 因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于 DE∩BE＝E，于是 AC⊥平面 BDE. 因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 AC⊂平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.故选 C．

第8讲分层演练直击高考

第8讲分层演练直击高考1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，则f (x )的零点所在的区间是 ( )A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选C ．易知f (x )是单调函数，f (3)＝2－log 23>0，f (4)＝32－log 24＝32－2＝－12<0，故f (x )的零点所在的区间是(3，4)． 2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．作出g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x与h (x )＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C ．5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：依题意得⎩⎨⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：37．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ，则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0，即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5. 答案：[5，10)8．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x－5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：59．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .因为g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－12＝－18，所以g (0)·g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12上是连续曲线，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．(数形结合法)因为a >0，所以a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，所以y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解析：选C．在同一坐标系中作出函数y＝x的图象(图略)，2x，y＝log12x0，由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜log12即f(x0)＜0.3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c 的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．a＞b＞c D．c＞a＞b解析：选B．f(x)＝2x＋x的零点a为函数y ＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y ＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B．4．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1）1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．解析：由题意知，当x ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈(－1，0)|x ＋3|－1，x ∈（－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π. 答案：11－2π5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值； (3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，54.。

高考数学练习：第2章第1讲函数及其表示分层演练直击高考

1．函数f(x)＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2,＋∞) B ．(3,＋∞) C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C ． 2．已知函数f(x)＝x|x|,x ∈R,若f(x 0)＝4,则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B ．当x≥0时,f(x)＝x 2,f(x 0)＝4, 即x 20＝4,解得x 0＝2.当x ＜0时,f(x)＝－x 2,f(x 0)＝4, 即－x 20＝4,无解．所以x 0＝2,故选B ．3．(2019·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0,则f(f(3))＝( )A ．43 B ．23 C ．－43D ．－3解析：选A ．因为f(3)＝1－log 23＝log 2 23＜0,所以f(f(3))＝f(log 223)＝2log 223＋1＝2log 243＝43,故选A ．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝x1＋x 2B ．f(x)＝－2x1＋x 2C ．f(x)＝2x 1＋x2 D ．f(x)＝－x1＋x2解析：选C ．令1－x 1＋x ＝t,则x ＝1－t 1＋t ,所以f(t)＝(1＋t)2－(1－t)2(1＋t)2＋(1－t)2＝2t1＋t 2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2,故选C ．5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f(a)＝6,则a 等于( ) A ．－74B ．74 C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,所以f(t)＝2(2t ＋2)－5＝4t －1 所以f(a)＝4a －1＝6,即a ＝74.6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f(a)＋f(1)＝0,则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ．因为f(1)＝2,所以f(a)＝－f(1)＝－2, 当a ＞0时,f(a)＝2a＝－2,无解；当a≤0时,f(a)＝a ＋1＝－2,所以a ＝－3. 综上,a ＝－3,选A ．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2(a≠b)的值为( )A ．aB ．bC ．a,b 中较小的数D ．a,b 中较大的数解析：选C ．若a －b ＞0,即a ＞b,则f(a －b)＝－1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)－(a －b)]＝b(a ＞b)；若a －b ＜0,即a ＜b,则f(a －b)＝1, 则(a ＋b)＋(a －b)·f (a －b)2＝12[(a ＋b)＋(a －b)]＝a(a ＜b)．综上,选C ．8．若二次函数g(x)满足g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( ) A ．g(x)＝2x 2－3x B ．g(x)＝3x 2－2x C ．g(x)＝3x 2＋2xD ．g(x)＝－3x 2－2x解析：选B ．用待定系数法,设g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),因为g(1)＝1,g(－1)＝5,且图象过原点, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g(x)＝3x 2－2x.9．已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域是[－2,3],则y ＝f(2x －1)的定义域为( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 解析：选D.因为y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3], 所以－1≤x＋1≤4.由－1≤2x－1≤4,得0≤x≤52,即y ＝f(2x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52. 10．(2019·石家庄质量检测(一))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1,若f(f(34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C ．14D ．52解析：选D.因为f(34)＝2×34＋n ＝32＋n,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f(f(34))＝2(32＋n)＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意；当32＋n≥1,即n≥－12时,f(f(34))＝log 2(32＋n)＝2,即32＋n ＝4,解得n ＝52,故选D. 11．(2019·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜1x 3＋x ，x ≥1,则f(f(x))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2,＋∞)B ．(－∞,1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B ．因为当x≥1时,f(x)＝x 3＋x≥2,当x ＜1时,f(x)＝2e x －1＜2,所以f(f(x))＜2等价于f(x)＜1,即2ex －1＜1,解得x ＜1－ln 2,所以f(f(x))＜2的解集为(－∞,1－ln 2),故选B ．12．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)的函数,我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数,下列函数：①f(x)＝x －1x ；②f(x)＝x ＋1x ；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B ．对于①,f(x)＝x －1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f(x),满足；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f(x),不满足；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x),满足． 13．函数f(x),g(x)分别由下表给出．则f(g(1))的值为解析：因为g(1)＝3,f(3)＝1,所以f(g(1))＝1.当x ＝1时,f(g(1))＝f(3)＝1,g(f(1))＝g(1)＝3,不合题意．当x ＝2时,f(g(2))＝f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝1,符合题意．当x ＝3时,f(g(3))＝f(1)＝1,g(f(3))＝g(1)＝3,不合题意．答案：1 214．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1,则f(1)＝________．解析：令x ＝1,得2f(1)－f(－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f(－1)－f(1)＝－2,② 联立①②得f(1)＝2. 答案：215．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x<0.若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得,当a>0时,则－a<0,故a[f(a)－f(－a)]＝a(a 2＋a －3a)>0,化简可得a 2－2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则－a>0,故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a －(a 2－a)]>0,化简可得a 2＋2a>0,解得a>0或a<－2,又因为a<0,所以a<－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案：(－∞,－2)∪(2,＋∞)16．已知函数f(x)满足对任意的x∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：71．设x∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D.当x<0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,x ·sgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A,B,C,故选D.2．设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x)：∀x ∈R,(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f·f)(x)＝f(x)B ．(f·g)(x)＝f(x)C ．(g·f)(x)＝g(x)D ．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A ．对于A,(f·f)(x)＝f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧f(x)，f(x)＞0，f 2(x)，f(x)≤0，当x ＞0时,f(x)＝x ＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x ；当x ＜0时,f(x)＝x 2＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x 2；当x ＝0时,(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02,因此对任意的x∈R ,有(f·f)(x)＝f(x),故A 正确,选A ．3．已知函数f(x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18,则∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019的值为( )A ．0B ．504.5C ．1 009D ．2 018解析：选B ．因为f(1－x)＝(1－x)3－32(1－x)2＋34(1－x)＋18＝1－3x ＋3x 2－x 3－32＋3x －32x 2＋34－34x＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38,所以f(x)＋f(1－x)＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12,所以∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 019＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝1 009×12＝504.5.故选B ．4．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x≤02|x －2|，0＜x≤4,对任意x∈D ,存在x 1,x 2∈D,使得f(x 1)≤f(x)≤f(x 2),则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．解析：作出函数f(x)的图象如图所示,由任意x∈D ,f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)知,f(x 1),f(x 2)分别为f(x)的最小值和最大值,由图可知|x 1－x 2|max ＝8,|x 1－x 2|min ＝1,所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案：95．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3,f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，2x ，x ≥0.(2)f(x)的图象如图：6．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0,f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2；当x∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －1)2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0）4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1）.。

第十章第1讲分层演练直击高考

级抽取多少名？
第十章统计、统计案例
[解] (1)因为2 0x00＝0.19，所以 x＝380. (2)初三年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在初三年级抽取的人数为2 40800×500＝12(名)．
第十章统计、统计案例
12．从 2 007 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从 2 007 名学生中剔除 7 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( ) A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为2
50 007
D．都相等，且为410 C [解析] 从 N 个个体中抽取 M 个个体，则每个个体被抽到
第十章统计、统计案例
8．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一 600 人、高二 780 人、高三 n 人中，抽取 35 人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为 13，则 n＝ ________． [解析] 由已知条件，抽样比为71830＝610，从而600＋37580＋n＝610，解得 n＝720. [答案] 720
的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只
参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中 a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.
为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个 200 人的
样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取( )

高考语文二轮复习讲义+分层训练解密14语用“多点”考查(扩展语句,压缩语段)(讲义)

3．2019年和2020年全国新课标卷的6套试卷以及2021年全国乙卷均对“压缩语段”进行了考查，可见该考点是复习备考的重点。同时对“扩展语句”也应给予足够重视；2019、2020两年全国新课标卷的6套试卷“压缩语段”的材料选自新闻报道，而2021年全国乙卷语段材料为科普说明文，这表明对各种形式的“压缩语段”题均要有所训练。
残花落尽见流莺。
春风一夜吹乡梦，
又逐春风到洛城。
答：_____________________________________
【参考答案】细雨初晴的春日，溪边杨柳的颜色已经由初春时节的鹅黄嫩绿转为一片翠绿，花树枝头的残花在雨中落尽，循着婉转的啼叫，可以看到在树间嬉戏的黄莺。
4．[2015·湖南卷]根据首尾语句，发挥想象，有创意地补写中间一段文字。100字左右。
[典题导学]________________________________________________________________________
[题型1]据词设境
据词设境，就是要求考生根据命题者提供的若干词语，想象在某种语境中可以顺理成章地嵌入这些词语(或这些词语中的某几个词语)。关键在“设”，要“设”得巧，“设”得合乎情理。一段描写，一种心境，一点说明，一番感慨……只要能顺理成章地嵌入指定(或选定)的词，便符合题目要求。
[解题指津]________________________________________________________________________
[即学即练]________________________________________________________________________
2．请根据以下信息，为文物《千里江山图》写一段介绍性文字，要求内容得当，表述准确，语言连贯，不超过100个字。

第4讲分层演练直击高考

[学生用书P345(单独成册)]1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( )A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数解析：选B .“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B .2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B.a －c >0 C ．(a －b )(a －c )>0 D ．(a －b )(a －c )<0解析：选C .b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C .3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是( )A ．a ＞b ＞cB.b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 解析：选A .因为a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6，且7＋6＞6＋5＞3＋2＞0，所以a ＞b ＞c .4．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2B.至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：选C .假设三个数都小于2，则y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y<6，由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋x z ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，所以假设不成立，所以y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y中至少有一个不小于2.故选C . 5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB.A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A 解析：选A .因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b . 6．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．解析：法一：取a ＝2，b ＝1，得m <n . 法二：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立，故m <n .答案：m <n7．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )的函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n8．关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0，1)内有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：①当a ＝0时，方程无解．②当a ≠0时，令f (x )＝ax ＋a －1，则f (x )在区间(0，1)上是单调函数，依题意，得f (0)f (1)<0，所以(a －1)(2a －1)<0，所以12<a <1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，19．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立．10.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：EC ∥平面P AD ；(2)求证：平面EAC ⊥平面PBC .证明：(1)取线段AB 的中点F ，连接EF ，CF (图略)，则AF ＝CD ，AF ∥CD ，所以四边形ADCF 是平行四边形，则CF ∥AD .又EF ∥AP ，且CF ∩EF ＝F ，AD ∩AP ＝A ，所以平面CFE ∥平面P AD .又EC ⊂平面CEF ，所以EC ∥平面P AD .(2)因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC .因为四边形ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以AC ＝2，BC ＝2.所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以AC ⊥BC ，因为PC ∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC ，因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B.恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负解析：选A .由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.2．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B.[1，1＋e] C ．[e ，1＋e] D ．[0，1]解析：选A .易知f (x )＝e x ＋x －a 在定义域内是增函数，由f (f (b ))＝b ，猜想f (b )＝b . 反证法：若f (b )>b ，则f (f (b ))>f (b )>b ，与题意不符，若f (b )<b ，则f (f (b ))<f (b )<b ，与题意也不符，故f (b )＝b ，即f (x )＝x 在[0，1]上有解．所以e x ＋x －a ＝x ，a ＝e x －x 2＋x ，令g (x )＝e x －x 2＋x ，g ′(x )＝e x －2x ＋1＝(e x ＋1)－2x ，当x ∈[0，1]时，e x ＋1≥2，2x ≤2，所以g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上是增函数，所以g (0)≤g (x )≤g (1)⇒1≤g (x )≤e ，即1≤a ≤e ，故选A .3．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )，设p ，q ∈R ，若(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)，则(1，2)⊕(p ，q )＝( )A ．(4，0)B.(2，0) C ．(0，2) D ．(0，－4)解析：选B .由(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以(1，2)⊕(p ，q )＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．4．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．解析：法一：(补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 法二：(直接法)依题意有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，得－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32. 答案：⎝⎛⎫－3，32 5．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16. 解：(1)由已知可得，当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1. (2)证明：由(1)知a n ＝13n －1，故b n ＝a n a n ＋1＝1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13×⎝⎛⎭⎫12－15＋13×⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋13×⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2 ＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2.因为13n ＋2>0，所以T n <16. 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a，所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ，所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，所以1a ≥c ，又因为1a ≠c ，所以1a>c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，所以b ＝－1－ac .又a >0，c >0，所以b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a，即－b 2a <1a. 又a >0，所以b >－2，所以－2<b <－1.。

第一章第3讲分层演练直击高考

第一章集合与常用逻辑用语
17．已知集合 A＝x12<2x<8，x∈R，B＝{x|－1<x<m＋1，x ∈R}，若 x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A，则实数 m 的取值范围是________． [解析] 因为 A＝x12<2x<8，x∈R＝{x|－1<x<3}，x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A，所以 A B，所以 m＋1>3，即 m>2. [答案] m＞2
的充分不必要条件，所以 k>2，即实数 k 的取值范围是
(2，＋∞)，故选 B.
第一章集合与常用逻辑用语
13．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中，真命题的个数是________． [解析] 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数 y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数 y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个． [答案] 1
第一章集合与常用逻辑用语
1．下列命题中的真命题为( ) A．若1x＝1y，则 x＝y B．若 x2＝1，则 x＝1 C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x<y，则 x2<y2 A [解析] 取 x＝－1，排除 B；取 x＝y＝－1，排除 C；取 x ＝－2，y＝－1，排除 D.
第一章集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语
10．(2017·太原模拟)已知命题 p：cos α≠12，命题 q：α≠π3 ，则命题 p 是命题 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

广东省顺德容山中学高考地理知能方法大冲关 10直击阅卷现场课件新人教

• (4)除以上情况外，试卷要保持完好，不要有擦破、划破，让人怀疑可能是作记号的。为避免在复查时返工，阅卷老师是不会对这类答卷给同情分的。
命题专家叮咛
• 要想在高考中获得高分，金榜提名，必须采取科学的思维方法。
• 1．审题 • 审题是应试第一关。“审”就是阅读、琢
磨、推敲。审题的目的是理解题意、明确问题。实质就是领会或揣摸命题人的意图。其能力要求是获取有效信息。 • 2．解题 • 解题是解决问题的过程，是在正确理解题意的基础上，思考问题答案。解题的关键是
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
• 2．网上评卷人员组成 • 评卷人员由中学老师、大学老师及相当一部分的在读研究生组成，分成若干小组进行( 每小题一组)。评卷速度很快，一个小题的评卷时间只有数秒或数十秒。
• 评卷方式 • 如此紧ห้องสมุดไป่ตู้间、如此重任务、如此大压力迫使评卷人员不得不去寻找一种标准简易(由组长抽样阅卷后对全国标准答题细化，做出评分细则)、阅题速度较快、评卷自认相对公平的方式进行评阅。坚持“一把尺子量到底” ，这是评卷工作的根本原则。评分的原则是按点给分，并非言之有理就给分。这种评卷

高考数学第5讲分层演练直击高考

[学生用书P317(单独成册)]1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值是( )A ．6或9 B.5 C ．1或9D ．3或5解析：选D .由题意，得c ＝1，当椭圆的焦点在x 轴上时，由m －4＝1，解得m ＝5；当椭圆的点在y 轴上时，由4－m ＝1，解得m ＝3，所以m 的值是3或5，故选D .2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，则椭圆C 的方程为( )A .x 28＋y 26＝1 B.x 212＋y 29＝1 C .x 24＋y 23＝1 D ．x 26＋y 24＝1解析：选C .由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意可知b ＝62＝3，所以a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，故选C .3．设椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3 B.3或32C .32D ．6或3解析：选C .由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点P 为短轴顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝π3，△PF 1F 2是正三角形，若△PF 1F 2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P ，只能是焦点F 1(或F 2)为直角顶点，此时|PF 1|＝b 2a ＝32⎝⎛⎭⎫或|PF 2|＝b 2a ，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝b 2c a ＝32.故选C .4．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A .14B.34C .12D ．32解析：选B .由题可知点P 的横坐标是－c ，代入椭圆方程，有c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .又|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，化简得4c 2＋ac －3a 2＝0，即4e 2＋e －3＝0，解得e ＝34或e ＝－1(舍去)．5．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 |PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2 B.3 C ．4D ．5解析：选B .b 2＝2，c ＝a 2－2，故|F 1F 2|＝2a 2－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3，故选B .6．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：因为方程x 22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，2k －1>0，2k －1>2－k 得⎩⎪⎨⎪⎧k <2，k >12，k >1，故k 的取值范围为(1，2)．答案：(1，2)7．若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2n＝1的离心率是________．解析：由n 2＝2×8，得n ＝±4，当n ＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e ＝4－12＝32；当n ＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e ＝4＋11＝5. 答案：32或 5 8．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是_________________________________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，解得a 2＝16，b 2＝12.c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝19．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)．因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为22.10．(2018·陕西质量检测)已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得c ＝2，又e ＝c a ＝22，所以a ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2（y 2－1），验证易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1·x 2＝－22k 2＋1.将x 1＝－2x 2代入上式可得，(4k 2k 2＋1)2＝12k 2＋1，解得k 2＝114.所以△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 22＝12·28k 2＋22k 2＋1＝3148.1．(2018·广州综合测试(一))已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使得∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(22，1) B.(12，1) C ．(0，22) D ．(0，12)解析：选A .法一：设P (x 0，y 0)，由题易知|x 0|<a ，因为∠F 1PF 2为钝角，所以PF 1→·PF 2→<0有解，即c 2>x 20＋y 20有解，即c2>(x 20＋y 20)min ，又y 20＝b 2－b 2a2x 20，x 20<a 2，故x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2x 20∈[b 2，a2)，所以(x 20＋y 20)min ＝b 2，故c 2>b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以e 2＝c 2a 2>12，解得e >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是(22，1)，选A .法二：椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是(22，1)，选A . 2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A .43 B.53 C .54D ．103解析：选B .由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B . 3.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A .x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C .x 230＋y 210＝1 D ．x 245＋y 225＝1解析：选B .设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝25.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝（45）2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.4．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．解析：设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ·y 0a －x 0＝y 2a 2－x 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 2a 2a 2－x 20＝b2a 2＝14，从而e ＝1－b 2a 2＝32. 答案：325．(2017·高考北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )．由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )．直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.6．(2018·合肥质量检测(一))已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c 2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.因为直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M (1，32)，因为直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0，2)，所以|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，所以λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，所以|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，所以λ＝45(1＋13＋4k 2)，因为k 2>14，所以45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)．。

高考数学第3讲分层演练直击高考

1．命题“∃x 0∈R ，ln x 0＋2x 0≤0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，ln x ＋2x ＜0 B ．∀x ∈R ，ln x ＋2x ＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＋2x 0＞0 D ．∀x ∈R ，ln x ＋2x ≤0解析：选B ．命题“∃x 0∈R ，ln x 0＋2x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，ln x ＋2x ＞0”，故选B ． 2．(2018·福州质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则﹁p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0解析：选C ．已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则﹁p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0，故选C ．3．(2018·东北三校联考(一))下列命题中是假命题的是 ( ) A ．∃x ∈R ，log 2x ＝0 B ．∃x ∈R ，cos x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2＞0D ．∀x ∈R ，2x ＞0解析：选C ．因为log 21＝0，cos 0＝1，所以选项A 、B 均为真命题，02＝0，选项C 为假命题，2x ＞0，选项D 为真命题，故选C ．4．命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(﹁q )表示( )A ．甲、乙两人的数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C ．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分解析：选D.由于命题q ：乙的数学成绩低于100分，因此﹁q ：乙的数学成绩不低于100分．所以p ∨(﹁q )：甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分，故选D.5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2解析：选B ．A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．6．已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0解析：选B ．因为3x >0，所以3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，所以p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0.故选B ．7．已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧﹁qC ．﹁p ∧qD ．﹁p ∧﹁q解析：选B ．因为∀x ＞0，x ＋1＞1，所以ln(x ＋1)＞0，所以命题p 为真命题；当b ＜a ＜0时，a 2＜b 2，故命题q 为假命题，由真值表可知B 正确，故选B ．8．(2018·安庆模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(﹁q )B ．(﹁p )∧qC ．p ∧qD ．(﹁p )∨q解析：选A ．命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，当x 0＝3时，x 0＋1x 0＝103＞3，命题p为真；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，当x ＝4时，42＝24，命题q 为假．所以p ∧(﹁q )为真，故选A ．9．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a 2>b 2”是“a >b ”的充要条件，则( )A ．p ∨q 为真B ．p ∧q 为真C ．p 真q 假D ．p ∨q 为假解析：选D.由x >3能够得出x 2>9，反之不成立，故命题p 是假命题；由a 2>b 2可得|a |>|b |，但a 不一定大于b ，反之也不一定成立，故命题q 是假命题．因此选D.10．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：选D.因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3，故选D.11．下列结论中错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若﹁q ，则﹁p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0，则p ∨q 为真C ．“若am 2＞bm 2(m ∈R )，则a ＞b ”的逆命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析：选C ．因为命题“若p ，则q ”与命题“若﹁q ，则﹁p ”互为逆否命题，所以选项A 正确；因为命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1是真命题，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0是假命题，则p ∨q 为真命题，所以选项B 正确；因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以“若am 2＞bm 2(m ∈R )，则a ＞b ”的逆命题为假命题，所以选项C 错误；易知D 正确．故选C ．12．已知命题p ：∀x ∈N *，(12)x ≥(13)x ，命题q ：∃x ∈N *，2x ＋21－x ＝22，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(﹁p )∧qC ．p ∧(﹁q )D ．(﹁p )∧(﹁q )解析：选C ．因为y ＝x n (n 为正整数)在(0，＋∞)上是增函数，又12＞13，所以∀x ∈N *，(12)x≥(13)x 成立，p 为真命题；因为2x ＞0，21－x ＞0，所以2x ＋21－x ≥22x ×21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ，即x ＝12时等号成立，因为x ＝12∉N *，所以q 为假命题，所以p ∧(﹁q )为真命题．故选C ．13．命题p 的否定是“对所有正数x ，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为___________．解析：因为p 是﹁p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋114．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．解析：由“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，可得－1≤tan x ≤1，所以0≤tan x ＋1≤2，所以实数m 的最大值为0. 答案：015．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫56，＋∞ 16．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0，则命题“p ∧(﹁q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a ，b ∈R ”，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧( ﹁q )”是假命题是正确的．在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③1．(2018·兰州诊断考试)下列命题中，真命题为( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．已知a ，b 为实数，则“a ＋b ＝0”的充要条件是“ab ＝－1”D ．已知a ，b 为实数，则“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分不必要条件解析：选D.选项A 为假命题，理由是对∀x ∈R ，e x ＞0；选项B 为假命题，不妨取x ＝2，则2x ＝x 2；选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出a b ＝－1，但由ab ＝－1可推出a＋b ＝0，即a ＋b ＝0的充分不必要条件是ab ＝－1；选项D 为真命题，若a ＞1，b ＞1，则ab＞1，反之不成立，如a ＝3，b ＝12，故“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分不必要条件，故选D.2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx ＋1>0恒成立，则0<m <4，那么( )A ．“﹁p ”是假命题B ．q 是真命题C ．“p ∨q ”为假命题D ．“p ∧q ”为真命题解析：选C ．因为x 2＋1<2x ，即x 2－2x ＋1<0，也即(x －1)2<0，所以命题p 为假；若mx 2－mx ＋1>0恒成立，则m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0，则0≤m <4，所以命题q 为假，故选C ． 3．(2018·张掖第一次诊断)下列说法正确的是( ) A ．若a ∈R ，则“1a ＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则﹁p 是真命题D ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0”解析：选A ．由1a ＜1，得a ＜0或a ＞1，反之，由a ＞1，得1a ＜1，所以“1a ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A 正确；由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 不正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，所以命题p 为真命题，则﹁p 是假命题，故C 不正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故D 不正确．4．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(﹁p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(﹁p 2)中，真命题是________．解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)≤2，所以命题p 2是假命题，﹁p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(﹁p 2)是真命题．答案：q 1，q 45．设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点．若p ∧﹁q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减⇔0＜a ＜1，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点⇔Δ＝(2a －3)2－4＞0⇔a ＜12或a ＞52.所以若p 为真命题，则0＜a ＜1；若q 为真命题，则a ＜12或a ＞52.因为p ∧﹁q 为真命题，所以p 为真命题，q 为假命题．由⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜112≤a ≤52，解得12≤a ＜1，所以实数a 的取值范围是[12，1)．6．设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2＜0(其中a ＞0)，q ：实数x 满足2＜x ≤5. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，x 2－5x ＋4＜0，解得1＜x ＜4. 即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜4. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2，4)． (2)﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则BA ，由x 2－5ax ＋4a 2＜0得(x －4a )(x －a )＜0，因为a ＞0，所以A ＝(a ，4a )，又B ＝(2，5]，则a ≤2且4a ＞5，解得54＜a ≤2.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤54，2.。

高考数学第1讲分层演练直击高考 (2)

[学生用书P327(单独成册)]1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件 B.不可能事件 C ．互斥事件但不是对立事件D ．以上答案都不对解析：选C .由互斥事件和对立事件的概念可判断，应选C .2．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件 B.互斥事件 C ．非互斥事件D ．对立事件解析：选B .因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B .3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95 B.0.97 C ．0.92D ．0.08解析：选C .记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.4．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A .110 B.310 C .710D ．35解析：选C .“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710.5．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E 表示事件“3件产品全不是次品”，F 表示事件“3件产品全是次品”，G 表示事件“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是( )A ．F 与G 互斥B.E 与G 互斥但不对立C ．E ，F ，G 任意两个事件均互斥D ．E 与G 对立解析：选D .由题意得事件E 与事件F 不可能同时发生，是互斥事件；事件E 与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F 发生时，事件G 一定发生，所以事件F 与事件G 不是互斥事件，故A 、C 错．事件E 与事件G 中必有一个发生，所以事件E 与事件G 对立，所以B 错误，D 正确．6．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]克的概率为0.5，那么重量大于40克的概率为________．解析：由互斥事件概率加法公式知，重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2. 答案：0.27．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为 P ＝110＋16＋13＝35.答案：358．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15.答案：159．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．求当天商店不进货的概率．解：P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. 故当天不进货的概率为310.10．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．1．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162，153，148，154，165，168，172，171，173，150， 151，152，160，165，164，179，149，158，159，175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm 之间的概率约为( )A .25B.12C .23D ．13解析：选A .从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm 之间的概率约为25.2．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________．解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.033．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人)．答案：6 9124．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：355．如图，从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为121212选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.6．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样调查，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.。

高考数学第2讲分层演练直击高考 (5)

[学生用书P335(单独成册)]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A.由折线图可知，各年的月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A.2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200，20 B.100，20C．200，10 D．100，10解析：选A.该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.3．(2018·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：分组成[10，20)，[20，30)，[30，40]时，所作的频率分布直方图是()解析：选B .由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C 和D ；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A ，故选B .4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8 7 7 941x91则7个剩余分数的方差为( ) A .1169B.367 C ．36D ．677解析：选B .根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91，所以x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.5．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x －＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n＋1的均值为________．解析：由条件知x －＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x －0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n ＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x －＋1＝2×5＋1＝11.答案：116．(2018·湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25，估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.答案：1467．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，且a 2＝2a 1，所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1＝15a 1＝1，所以a 1＝115，所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a 1＝160. 答案：1608．(2018·西安模拟)随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了40人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄约为多少岁？(2)若从年龄在[15，25)，[45，55)的被调查人员中各随机选取1人进行调查．请写出所有的基本事件，并求选取的2人中恰有1人持不赞成态度的概率．解：(1)被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示．被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄x －＝4×20＋6×30＋8×40＋4×50＋9×604＋6＋8＋4＋9≈42.6(岁)．(2)设年龄在[15，25)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4，持不赞成态度的1人为a ，设年龄在[45，55)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为B 1，B 2，B 3，B 4，持不赞成态度的1人为b .基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，b )，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，b )，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，b )，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，(A 4，b )，(a ，B 1)，(a ，B 2)，(a ，B 3)，(a ，B 4)，(a ，b )，共有25个，其中恰有1人持不赞成态度的基本事件有8个，所以恰有1人持不赞成态度的概率为825.9．(2018·惠州第一次调研)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒，需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x －＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)． (2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x <160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600，当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x <160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x <160时，由40x －1 600≥4 000，解得160>x ≥140.当160≤x ≤200时，y ＝4 800>4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元．所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.1．(2018·长春质量检测(二))如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选D .由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误．选D .2．(2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D .由图可知0 ℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10 ℃，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份不是5个，D 不正确．故选D .3．若正数2，3，4，a ，b 的平均数为5，则其标准差的最小值为( ) A ．2 B.4105C ．3D ．215解析：选B .由已知得2＋3＋4＋a ＋b ＝5×5，整理得a ＋b ＝16.其方差s 2＝15[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a )2＋(5－b )2]＝15[64＋a 2＋b 2－10(a ＋b )]＝15(a 2＋b 2－96)＝15[a 2＋(16－a )2－96]＝15(2a 2－32a ＋160)＝25(a 2－16a )＋32＝25(a －8)2＋325，所以当a ＝8时，s 2取得最小值，最小值为325，此时标准差为4105.故选B .4．某电器公司对5 000名购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示，在这些购物者中，消费金额在区间[0.4，0.7)内的购物者的人数为________．解析：在这些购物者中，消费金额在区间[0.4，0.7)内的频率为2.5×0.1＋3.0×0.1＋2.0×0.1＝0.75，所以消费金额在区间[0.4，0.7)内的购物者的人数为0.75×5 000＝3 750.答案：3 7505．(2018·长春模拟)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)．(2)抽取比为5100＝1 20，从工资在[1 500，4 500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×120＝2人，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×120＝3人，设这三位员工分别为A，B，C.从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，概率为310；其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，概率为610＝35；两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为110.因为110<310<35，所以公司收入2万元的可能性最大．。

10 第5讲 分层演练直击高考

第八章第10讲分层演练直击高考

第七章第5讲分层演练直击高考

第8讲 分层演练直击高考

高考数学练习：第2章 第1讲 函数及其表示分层演练直击高考

第十章第1讲分层演练直击高考

高考语文二轮复习讲义+分层训练解密14语用“多点”考查(扩展语句,压缩语段)(讲义)

第4讲 分层演练 直击高考

第一章第3讲分层演练直击高考

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高考数学第5讲 分层演练 直击高考

高考数学第3讲 分层演练直击高考

高考数学第1讲 分层演练 直击高考 (2)

高考数学第2讲 分层演练 直击高考 (5)