2019届高考文科数学一轮复习教师用书：4.4数系的扩充与复数的引入

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四节数系的扩充与复数的引入

1．复数的有关概念 (1)复数的概念：

形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：

向量OZ ―→

的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.

2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i

复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→

.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；

④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．

(2)复数加法的运算定律

设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；

②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i

1＋i ＝( )

A ．1＋2i

B ．1－2i

C ．2＋i

D ．2－i

解析：选D

3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )

＝4－2i

2＝2－i.

3．已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(2x ＋i)(1－i)＝y ，则y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2

D ．2

解析：选D (2x ＋i)(1－i)＝(2x ＋1)＋(1－2x )i ＝y ，所以1－2x ＝0，解得x ＝1

2，所以y

＝2x ＋1＝2.

4．若复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点在直线y ＝x ＋2上，则a 的值等于( )

A ．1

B ．2

C ．5

D ．6

解析：选B 因为复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点为(a －1,3)，由题意得点在直线y ＝x ＋2上，所以3＝a －1＋2，解得a ＝2.

5．若复数z 满足z i ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是________． 解析：由z i ＝1＋i 可得z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )

i (－i )＝1－i ，所以z 的共轭复数是1＋i.

答案：1＋i

6．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 解析：依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.

答案：4

考点一 复数的有关概念 (基础送分型考点——自主练透)

[考什么·怎么考]

1．(2018·云南一检)已知i 为虚数单位，则1＋2i

1－i 的共轭复数为( )

A ．－12＋3

2i

B.12＋32i C ．－12－32

i

D.12－32

i 解析：选C 因为1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋32i ，所以其共轭复数为－12－3

2i.

2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.1

2 B.

2

2

C. 2

D ．2

解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )

＝i(1－i)＝1＋i ， 所以|z |＝ 2.

3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i

2＋i 为实数，则a 的值为________．

解析：由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a

5＝0，所以a ＝－2.

答案：－2

4．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.

解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2

＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－2，

b ＝－1，

∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2

[怎样快解·准解]

紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变