离散数学图论作业2-图的表示与图同构

离散数学第2讲同态

(3) h(S)关于运算*′是封闭的。因为如果a,b∈h(S), 那么存在x、y∈S, 使
h(x)=a和h(y)=b。所以a*′b=h(x)*′h(y)=h(x*y)=h(z)∈h(S) (由于x*y=z∈S)。 (4) h(S)关于运算△′是封闭的。对任意a∈h(S), 存在元素x∈S, 使h(x)=a, 所以△′a = △′h(x) = h(△x)∈h(S) (由于△x∈S)。证毕。
1},⊛>的么元和零元, 但它们不是代数B的么元和零元, B中的么元是3, 无零元。
作业: P174 习题6.3 第4, 8题
谢谢同学们!
17
(x)+f (y)； (3) 常元运算保持。f(1)=log1=0。
所以<R＋, · , 1>与<R, +, 0>同构。
一、同态与同构
例1(b)：集合A={1, 2, 3, 4}, 函数f∶A → A,
f ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 1>}, f 0表示A上的恒等函数；f 1表示f；f 2表示合成函数f· f；f 3表示f 2· f； f 4表示f 3· f；则f 4=f 0。设F={f 0, f 1, f 2, f 3}, 则代数<F, · , f 0>可以用左下方的运算表给定, 这里f 0是么元。集合N4={0, 1, 2, 3},+4是模4加法,代数<N4,+4,0> 用右下方的运算表给定, 这里0是么元。试证明这两个代数同构。
(h(x1)*′h(x2))*′h(x3)=h(x1*x2)*′h(x3)=h((x1*x2)*x3)
=h(x1*(x2*x3))=h(x1)*′h(x2*x3) =h(x1)*′(h(x2)*′h(x3))

离散数学中的图的同构与同构不变性

离散数学中的图的同构与同构不变性离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。

图论是离散数学的一个重要分支，研究图的性质和结构。

在图论中，同构和同构不变性是两个重要的概念。

一、同构的定义和性质在图论中，如果两个图具有相同的结构，即它们的顶点集和边集相同，那么这两个图就是同构的。

具体来说，对于两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，如果存在一个双射函数f: V→V'，使得对于任意的u, v∈V，(u, v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，那么图G和图G'就是同构的，记作G≅G'。

同构是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们研究图的性质和结构。

同构关系具有以下性质：1. 同构关系是等价关系。

即对于任意的图G，它与自身是同构的；对于任意的图G和图G'，如果G与G'是同构的，则G'与G也是同构的；对于任意的图G、G'和图G''，如果G与G'是同构的，G'与G''是同构的，则G与G''也是同构的。

2. 同构关系保持图的基本性质。

如果两个图是同构的，则它们具有相同的顶点数和边数。

3. 同构关系与图的表示方式有关。

同一个图可以有不同的表示方式，而不同的表示方式可能导致不同的同构判断结果。

二、同构不变性同构不变性是指图在同构变换下保持某些性质不变。

具体来说，如果两个图是同构的，那么它们在某些性质上是相同的。

同构不变性在图论中有重要的应用，可以帮助我们简化问题的分析和求解。

在图的同构不变性中，有一些重要的性质是不变的，包括：1. 度序列：图的度序列是指图中每个顶点的度按非递减顺序排列的序列。

对于同构的图，它们的度序列是相同的。

2. 连通性：图的连通性指的是图中任意两个顶点之间存在路径。

对于同构的图，它们的连通性是相同的。

3. 路径和回路：图中的路径是指顶点之间的连续边构成的序列，回路是指起点和终点相同的路径。

离散数学-同态和同构

离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法，如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$，有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。

《离散数学图论》课件

最短路径问题
实现方法：使用队列数据结构，将起始节点入队，然后依次处理队列中的每个节点，直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于求解单源最短路径问题，通过不断更新最短路径来寻找最短路径。
Prim算法：用于求解最小生成树问题，通过不断寻找最小权重的边来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1，其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通性、路径长度等信息，是图论中常用的表示方法之一。
图像处理：优化图像分割，提高图像质量
物流配送：优化配送路径，降低配送成本
社交网络：优化社交网络结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、基因调控等领域
社会科学：用于社会网络分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示边表示方法：用线或弧线表示图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径

离散数学形考任务2

1.如图二所示，以下说法正确的是( )．正确答案是：e是割点2. 图G如图四所示，以下说法正确的是( 正确答案是：{(a, d) ,(b, d)}是边割集3. 无向图G存在欧拉回路，当且仅当（正确答案是：G连通且所有结点的度数全为偶数4. 设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．正确答案是：e－v＋25.图G如图三所示，以下说法正确的是( )．正确答案是：{b,c}是点割集6. 若G是一个汉密尔顿图，则G一定是正确答案是：连通图7. 无向树T有8个结点，则T的边数为( 正确答案是：78.设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．正确答案是：（a）是强连通的9.若G是一个欧拉图，则G一定是(正确答案是：连通图10.已知无向图G的邻接矩阵为，则G有（）．正确答案是：5点，7边11. 设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为4．( )正确的答案是“错”。

12. 若图G=<V, E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|．( ) 正确的答案是“对”13. 如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．( )正确的答案是“对”14. 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去6条边后使之变成树．正确的答案是“错”。

15. 设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面正确的答案是“对”16.设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}．( )正确的答案是“错”17.设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当n为奇数时，K中存在欧拉回路．( 正确的答案是“对”。

18. 如图八所示的图G存在一条欧拉回路．正确的答案是“错”。

19. 无向图G的结点数比边数多1，则G是树．正确的答案是“错”。

20. 如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．(正确的答案是“错”。

离散数学第七章图论习题课

利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以，在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也是相同的。
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点出,入度。由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色，否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没

《离散数学》图论 (上)

12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章图论
第八章图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图所有顶点的度数均相等的无向图称为正则图（regular graph），所有顶点的度数均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶数。

离散数学课件图论2

❖结点(Vertices)：用表示, 旁边标上该结点的名称。 ❖ 边(Edges)
有向边: 带箭头的弧线。从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
例：给定右图所示 V/R={ {a,b,g}，{c,d,e,f}，{h} }
h
gf
e
a
bc
d
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14-3 图的连通性
［G的连通性与连通分支］ ① 若u, vV，uv，则称G是连通的 ② V/R={V1,V2,…,Vk}，称等价类构成的子图G[V1], G[V2], …,G[Vk]为G的连通分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G是连通的。
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图. 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }

离散数学同态与同构

❖同态、同态映射、同态象
例题2： f:NNk，对xN：f(x)=x mod k，验证f是从<N,+>到<Nk,+k>的满同态。(Nk={0,1,2,…,k-1})
说明：对例如：k=5，则N5={0,1,2,3,4} 。 k1,k2 Nk：
k1 +k k2 =
k1 + k2 k1 + k2 - k
<A,>
A
a
b c
ac
f: AB
<B,*>
f(a)
f(A)
f(b)
f(c)
f(a)*f(c)
bc
f(b)*f(c)
❖同态、同态映射、同态象
定义1：<A,>和<B,*>是两个代数系统, f是从A到B的一个映射, 对a1,a2A , 有：f (a1a2) = f(a1) * f(a2), 则称f 为由<A,>到<B,*>的一个同态映射；称 <A,> 同态于<B,*>，记为A~B；<f(A),*>为<A, >的一个同态象;
❖同构
例题5：有三个代数系统如下：它们彼此是同构的。
a b <{a, b}, >
aab
bba
★ 偶奇 <{偶, 奇}, ★>
偶偶奇奇奇偶
这3个系统运算规律相同，只是符号不同。
* 0 180 <{0, 180}, *>
0 0 180 180 180 0
❖同态与同构
定义3： <A,*> 是一个代数系统，若f是由<A,*>到<A,*>的同态映射，则称f是自同态；若f是由<A,*>到<A,*>的同构映射，则称f是自同构。

同构及同态离散数学ppt课件

引理1
设N是群G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。证明：因为N是正规子群，故 Nb=bN，今设A=aN，B=bN，则 AB=aNbN=abNN=abN，所以AB也是N的陪集。
群的第二同态定理
定理6.5.3 设N是群G的正规子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一个群。命 σ：a→aN，a ∈G, 则σ是G到上的一个同态映射，且σ的核就是N。称为G对于N的商群，记为G∕N。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。
例. （R*，·）与（R，+）不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有 σ：1 0， -1 a， a ≠ 0。从而， σ(1)=σ((-1)·(-1)) =σ(-1)+σ(-1)=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a ≠ 0矛盾。故，原假设不对，（R*，·）与（R，+）不可能同构。
6.5.2 同构映射
定义. 设G是一个群，K是一个乘法系统， σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ(G)上的1-1映射，则称σ是同构映射。称G与σ(G)同构，记成G σ(G)。
例. 群（R+，·）和（R，+）是同构的。因为若令 σ：xlogx，x∈R+，则σ是R+到R上的1-1映射，且对任意a,b∈R+， σ(a·b)=log(a·b)=log a + log b=σ(a)+σ(b)。故σ是（R+，·）到（R，+）上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数，若取σ(x)=log2 x，或若取σ(x)=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。

离散数学图论

第10章图论(Graph Theory )
G1、G2是多重图 G3是线图
G4是简单图
第10章图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图;
有向图：每条边都是有向边的图称为有向图
（图 10 .1.4 (b))；
无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；
度，记为 d (v) 。结点v的入度与出度之和称为结点v的度数，记为 d(v)或deg(v)。

第10章图论(Graph Theory )
定义:
在无向图中，图中结点v所关联的边数
(有环时计算两次)称为结点v 的度数，记为d(v)
或deg(v) 。
最大度 (G) max{ (v) | v V } d 最小度 (G) min{d (v) | v V }
证明: 设V1和V2分别是G中奇数度数和偶数度数的结
点集。由定理10.1.1知
vV1
deg(v) deg(v) 2是偶数之和，必为偶数，
而2|E|也为偶数，故 |V1|必为偶数。

V1
是偶数。由此 deg( )
第10章图论(Graph Theory )
第10章图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
证明: 设G＝〈V ,E〉， |V|＝6， v是G中一结点。因为v 与G的其余５个结点或者在 G 中邻接，或者在G 中邻接。故不失一般性可假定，有３个结点v1， v2， v3在G中与v邻接。如果这３个结点中有两个结点（如v1 ， v2 ）邻接，则它们与v 就是G中一个三角形的３个顶点。如果这3 个结点中任意两个在G中均不邻接，则v1， v2， v3就

图论离散数学离散数学第四版清华出版社PPT课件

12/19/2020
28
b
e1
e4
a
e2
d
e5
e3
c
e5, e1, e2, e3, e4是简单通路，不是基本通路，因为c, a, b, c, d, b中b, c均出现了两次。但c,
d, b, c是基本通路，也是基本回路。
12/19/2020
29
[定理] 在一个n阶图中，若从顶点u到v (uv)
❖ 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。
❖ 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的尽可能短的通路。
12/19/2020
26
“巧渡河”问题的解
❖ 注意：在“人狼羊菜”的16种组合中允许出现的只有10种。
人羊狼菜人狼菜人羊狼人羊菜人羊
狼菜
狼
12/19/2020
菜
羊
空(成功)
27
[定义] 简单通路(Simple Path)
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或结束顶点(endpoint)。
在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
12/19/2020
30
[定义] 连通性(connectivity)
设G=<V，E>，若从vi到vj存在一条通路，则称vi到vj连通(connective)或可达。
说明：对无向图而言，若vi到vj可达，则 vj到vi也可达。对有向图而言则未必。

离散数学教学图论【共58张PPT】

一、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一、图的基本概念
• 有限图和无限图设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。（2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节生成树、最短路径和关键路径由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节欧拉图和哈密顿图
第四节特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节图的矩阵表示第四节欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.

离散数学中的图论入门

离散数学中的图论入门图论是离散数学的一个重要分支，研究的对象是图。

图是由一些点和连接这些点的边组成的数学模型，可以用来描述现实世界中的各种关系和问题。

本文将介绍图论的基本概念和常见应用，帮助读者初步了解图论的入门知识。

一、图的定义与基本术语图由顶点集合和边集合组成。

顶点集合是图中的点的集合，用V表示；边集合是图中连接顶点的边的集合，用E表示。

图可以分为有向图和无向图。

有向图中的边是有方向的，表示从一个顶点指向另一个顶点的关系；无向图中的边是无方向的，表示两个顶点之间的关系。

图还可以分为简单图和多重图。

简单图中不存在重复的边和自环（起点和终点相同的边）；多重图中可以存在重复的边和自环。

图中的边可以带权重，表示顶点之间的距离、代价或其他属性。

带权图可以用来解决最短路径、最小生成树等问题。

图的度是指与顶点相关联的边的数量。

对于无向图，顶点的度等于与之相连的边的数量；对于有向图，顶点的度分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边的数量和从该顶点指出的边的数量。

二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。

邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。

如果顶点i和顶点j之间存在边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1；否则为0。

邻接矩阵适用于稠密图，但对于稀疏图来说，会浪费较多的存储空间。

邻接表是由若干个链表构成的数组，数组的每个元素对应一个顶点，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。

邻接表适用于稀疏图，可以有效地节省存储空间。

三、常见的图论算法与应用1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，通过递归的方式依次访问与当前顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有顶点都被访问过为止。

DFS可以用来解决连通性、可达性等问题。

2. 广度优先搜索（BFS）：BFS也是一种用于遍历图的算法，通过队列的方式按层次遍历图中的顶点。

BFS可以用来求解最短路径、网络分析等问题。

3. 最小生成树（MST）：最小生成树是指在连通图中选择一棵生成树，使得树中所有边的权重之和最小。

图论 (2)

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电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度和入度，指出悬挂结点和为悬挂边。解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
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例9.3.1
判断下图 G1 中的回路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是同构的。
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向图，否则，将加以说明或分开定义。
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图论中的图的同构与同构问题

图论中的图的同构与同构问题在图论中，同构是一个重要的概念。

图的同构指的是两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。

而图的同构问题则是判断两个给定的图是否同构的问题。

本文将详细探讨图的同构与同构问题。

一、图的同构图的同构是指两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。

为了更好地理解图的同构，我们先来了解一些基本概念。

1.1 图的定义在图论中，图由节点（也称为顶点）和边组成。

通常用G=(V, E)来表示一个图，其中V是节点（顶点）的集合，E是边的集合。

边可以用有序或无序对(u, v)来表示，表示节点u和v之间存在一条边。

1.2 同构图的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，如果存在一一对应关系f: V1→V2，使得对于每条边(u, v)∈E1，有(f(u), f(v))∈E2，则称图G1与G2同构。

其中，f被成为同构映射。

二、图的同构问题图的同构问题是判断两个给定的图是否同构的问题，它是图论中的一个经典问题。

在实际应用中，图的同构问题非常重要，对于计算机视觉、网络安全等领域都有广泛应用。

2.1 图的同构问题的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，判断它们是否同构。

2.2 图的同构问题的解决方法图的同构问题是一个NP问题，目前还没有确定的多项式时间解决算法。

在实际应用中，为了解决图的同构问题，通常采用以下方法：（1）特征向量法：通过计算图的特征向量，并比较两个图的特征向量来判断是否同构。

（2）图分类器法：通过训练一个图分类器，将同构和非同构的图进行分类。

（3）哈希算法法：通过为图节点和边生成一个唯一的哈希值，并比较两个图的哈希值来判断是否同构。

以上方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景下选择合适的方法。

三、图的同构性质图的同构性质是指图的某些特征在同构映射下保持不变。

在判断图的同构性质时，可以利用这些性质来简化问题。

3.1 路径在判断图的同构性质时，路径是一个重要的性质。

离散数学中的图同构问题研究与算法分析

离散数学中的图同构问题研究与算法分析在离散数学中，图是一种重要的数学模型，它能够描述事物之间的关系和连接。

图同构问题是图论中的一个经典问题，它要求判断两个图是否同构，即是否存在一种一对一映射将一个图的顶点和边对应到另一个图的顶点和边上，使得它们的结构完全一致。

图同构问题在实际应用中具有广泛的意义。

例如，在化学中，分子结构可以用图来表示，判断两个分子是否同构就是一个图同构问题。

在计算机科学中，网络拓扑结构的分析和路由算法的设计也需要解决图同构问题。

因此，研究图同构问题的算法和方法具有重要的理论和实际价值。

图同构问题的研究与算法分析可以从多个角度进行。

一种常见的方法是基于图的特征进行分析。

例如，可以通过计算图的度序列、邻接矩阵等特征来判断两个图是否同构。

这种方法在小规模图的同构判断中具有较高的准确性，但对于大规模图的判断效果有限。

另一种方法是基于图的结构进行分析。

这种方法主要依赖于图的子结构的匹配和比较。

例如，可以通过搜索图的所有子图并比较它们的结构来判断两个图是否同构。

这种方法的优势在于可以处理大规模图，但由于子图的数量庞大，算法的时间复杂度较高。

近年来，随着计算机科学和人工智能领域的发展，图同构问题的研究也取得了一些进展。

一些基于机器学习和深度学习的方法被引入到图同构问题的研究中。

这些方法通过学习图的特征表示和嵌入向量，利用机器学习算法来判断两个图是否同构。

这种方法在处理大规模图和复杂图的同构判断中具有一定的优势。

除了算法的研究，图同构问题还涉及到数学理论的探索。

例如，图同构问题与群论、代数理论等数学分支有着密切的联系。

一些研究者通过引入群的概念和性质，来解决图同构问题。

这种方法在理论上具有一定的深度，但在实际应用中的效果有待进一步验证。

总之，离散数学中的图同构问题是一个重要且具有挑战性的问题。

它在实际应用中具有广泛的意义，并且涉及到图论、算法和数学理论等多个领域。

目前，针对图同构问题的研究主要集中在基于图的特征、结构和机器学习等方法上。

离散数学-第9章图

2023/11/27
例9.2.2 分析
分析由于V中有5个结点，因此要用5个小圆圈分别表示这5个结点，点的具体摆放位置可随意放。而对E中的6条边，圆括号括起的结点对表示无向边，直接用直线或曲线连接两个端点，尖括号括起的结点对表示有向边，前一个是始点，后一个始终点，用从始点指向终点的有向直线或曲线连接。
ai
j
1 ， 0 ，
若 ( vi,vj ) 否则
E
或
vi,vj
E
i,j 1,2,3, ,n
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例9.2.4
试写出下图所示图G的邻接矩阵。
分解析若首结先点将排图序中为的v16v个2v结3v4点v5排v6，序则， v1 然其邻后接利矩用v1阵定v义2 9.v23.2写v4出其v5邻接v6矩阵。初按结学vv点时21 0排可1 序先01标在上0矩01结阵1 点的000，行0若与1第01列i1前行01分前别的 v5 结在否则可邻点则vvvv标接到为6543 记矩第00011。A如阵jG列若下0001的前结：第11100的点0111i10000行结排第点序111100111j有为11100列边v11000元00111v相2素11100v连30111为v4，v15则，v6，
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例9.2.5
试写出下图所示图G的所有结点的邻接点、所有边
的邻接边，并指出所有的孤立结点和环。
v3
v4
v5
e4 e5 v2
e6 e1
e2 v6 e7
v1 e3
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例9.2.5 分析
根据定义9.2.4，如果两个结点间有边相连，那么它们互为邻接点；如果两条边有公共结点，那么它们互为邻接边。需要注意的是，只要当一个结点处有环时，它才是自己的邻接点；由于一条边有两个端点，在计算邻接边时要把这两个端点都算上，例如e2和e4都是e1的邻接边。所有边都是自己的邻接边。

离散数学图论-图的基本概念

假设｜V(G)｜＝n，那么称G为n阶图。对有向图有一样定义。 3〕在图G中，假设边集E(G)＝ø，那么称G为零图假设G为n阶图，那么称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图 4〕在用图形表示一个图时，假设给每个结点和每一条边均指定一个符号〔字母或数字〕，那么称这样的图为标定图。 5) 常用ek表示边(vi，vj)( 或<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E，
δ-(D) = min{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ＋(D) = min{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度
5、握手定理〔欧拉〕 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m，
那么 ∑d(vi) ＝ 2m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ，
个无向图(有向图)，假设存在双射函数 f：V1 → V2
对于 ∀vi，vj V1，(vi，vj) E1 当且仅当 (f(vi),f(vj)) E2 并且(vi，vj) 与(f(vi),f(vj)) 的重数一样，那么称G1与G2是同构的，记作 Gl ≅ G2。对有向图有一样的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系 f
四、子图、生成子图、导出子图
1、定义设G＝<V，E>，G‘＝<V’，E’>为两个图(同为无向图或有向图)假设V’⊆ V 且 E’⊆ E ，那么称G‘是G的子图，G为G‘的母图，记作G’⊆G，