离散数学图论作业2-图的表示与图同构
图论 离散数学
几个结论： 1）设G为群， ∀a,b∈G ，k ∈Z+ 2） (a-1ba)k = a-1ba 的充分必要条件是 bk =b 3）设G为群， ∀a,b∈G 有（ab)2=a2b2 证明: ab = ba 4）幺元是群中唯一的等幂元 5）设G为群，a ∈ G，且|a|=r 设k是整数，则 ak=e 当且仅当 r|k |a-1|=|a| 设G为群，H是G的非空子 集． 6、子群 则H是G的子群当且仅当 1）子群的判定 ∀a,b∈H 有 ab-1 ∈H 设G为群，H是G的非空子集．H 设G为群，H是G的非空子 是G的子群当且仅当下面的条件 集． 成立： 1） ∀a,b∈H 有 ab ∈H （运算 如果H是有穷集，则H是G的 封闭) 子群当且仅当 2) ∀a∈H 有 a-1 ∈H (存在 ∀a,b∈H 有 ab ∈H 逆元)
6）n元置换群
由n元集合S上的所有置换作为元素构成Sn,置换的复合运算)
故n元置换构成群 称为n元对称群
推论2：设G是素数阶的群， 则存在a∈G使得G = <a> 7、循环群 设G为群，若存在 a∈G 使得 G={ak| k ∈Z } 则称G是循环群 记作 G=<a>,称a为G的生成 元 注: 由群G中元素a生成的子群 <a>是循环群。 1）循环群G＝<a> 根据元素a的 阶可分为：n阶循环群和无限 阶循环群。 整数加群是无限阶循环群有两 个生成元
离散数学——图论部分习题课
证明: 用9 个顶点vi表示9个人,顶点间的一条边表示这两人打
过一场球,可构成一个无向图,若每个人仅和其余3个人各打过 一场球，则d(vi) =3,而此时图G的奇数度点是9个,即奇数个, 因此产生矛盾,于是至少有一人不止和3个人打过球.
2. 设n阶图G中有m条边,每个顶点的度数不是k就是k+1,
若G中有Nk个k度顶点,Nk+1个k+1度的顶点,试求出顶点
个数Nk的表达式. 解:由于Nk×k+(n-Nk)×(k+1)=2m 于是:Nk=n(k+1)-2m.
3. 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图
4. 判断下述每一对图是否同构: (1)
度数列不同 不同构
(2) 不同构 入(出)度列不同 度数列相同 但不同构
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2 答案（2） （2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
）
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图
平行边 多重图
无向图
n阶图
底图
连通图
自回路（环） 简单图
二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论 定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
《离散数学》图论 (上)
设 H=(V2, E2, 2) 是 G=(V1, E1, 1) 的子图，若
E2={e|1(e)={u, v}V2}，即 E2 包含了图 G 中 V2
之间的所有边，则称 H 是 G 的导出子图
43
子图与补图
44
子图与补图
设 v 是图 G 的一个顶点，从 G 中删去 顶点 v 及其关联的全部边以后得到的 图，称为 G 的删点子图，记为 Gv； 显然它是 G 的导出子图 设 e 是图 G 的一条边，从 G 中删去边 e 之后得到的图称为 G 的删边子图， 记为 Ge；显然它是 G 的支撑子图
g(e) f(v)
图的同构
v2
e1
e5
e6
e2
v1 e4
39
v4 d
e3
v3
E6
E1
E3
c
E2
E5
a
E4
b
图的同构
图之间的同构关系是一等价关系
40
图的同构
例
画出所有不同构的具有4个顶点、3条边 的简单图
41
子图与补图
设 G = (V1, E1, 1) 和 H = (V2, E2, 2) 是 两个图，若满足 V2V1、E2E1，及 2 = 1|E2 ， 即 对 于 任 意 eE2 ， 有
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
邻接矩阵-南京大学
v4
v3
0 0 A(G) 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1 v2
v4
v3
0 1 A(G) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
关于邻接矩阵
当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是 关系矩阵。无向图的邻接矩阵是对称的。
图 G 的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的， 行与行、列与列进行相应交换，则可得到相同的 矩阵。
若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵， 若对某一矩阵行与行、列与列之间的相应交换后得到 和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。
A AT B [bij ] bij aik a jk ai1 a j1 ai 2 a j 2 ain a jn
k 1 n
bij表示结点i和结点j均有边指向的那些结点的个数； 若i＝j，则bii表示结点i的出度。
邻接矩阵的运算
AT A C [Cij ] Cij aki akj a1i a1 j a2 i a2 j ani anj
邻接矩阵的运算
顶点的度
离散数学——图论
❖ 图是人们日常生活中常见的一种信息载体， 其突出的特点是直观、形象。图论，顾名思 义是运用数学手段研究图的性质的理论，但 这里的图不是平面坐标系中的函数，而是由 一些点和连接这些点的线组成的结构 。
❖ 在图形中，只关心点与点之间是否有连线， 而不关心点具体代表哪些对象，也不关心连 线的长短曲直，这就是图的概念。
❖ 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 ❖ 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 ❖ 举例说明一个图的子图。
定义（n,m）图
❖ (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 ❖ 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 ❖ 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
❖ 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每 个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。
❖ 现在图论的主要分支有图论、超图理论、极 值图论、算法图论、网络图论和随机图论等。
❖ 第三阶段是1936年以后。由于生产管理、军事、交 通运输、计算机和通讯网络等方面的大量问题的出 现，大大促进了图论的发展。现代电子计算机的出 现与广泛应用极大地促进了图论的发展和应用。
❖ 目前图论在物理、化学、运筹学、计算机科学、电 子学、信息论、控制论、网络理论、社会科学及经 济管理等几乎所有学科领域都有应用。。
《离散数学》任务2 (图论部分概念与性质)选择题判断题
第二部分图论选择题判断题
注意：A B C D顺序会出现变动！根据选项确定答案！
1. 已知无向图G的邻接矩阵为
，
则G有（5点，7边）．
A. 5点，8边
B. 6点，7边
C. 6点， 8边
D. 5点，7边
2. 设无向图G的邻接矩阵为
，
则G的边数为( 5 )．
A. 6
B. 5
C.4 C.3
3．设无向图G的邻接矩阵为
则G的边数为（ 7 ）。
A．1 B. 6 C. 7 D. 14
4．设图G＝<V, E>，v V，则下列结论成立的是 (
()
deg2
v V
v E
∈
=
∑
) ．
A. deg(v)=2|E|
B. deg(v)=|E|
C.
()
deg2
v V
v E
∈
=
∑
D.
()
deg
v V
v E
∈
=
∑
5.图G如图二所示，以下说法正确的是 ( {b,c}是点割集 )
A. a是割点
B. {b,c}是点割集
C. {b, d}是点割集
D. {c}是点割集
6.如图所示，以下说法正确的是 ( e是割点)．
A. e是割点
B. {a,e}是点割集
C. {b , e}是点割集
D. {d}是点割集
7. 如图所示，以下说法正确的是（e是割点）
A. e是割点
B. {a,e}是点割集
C. {b, e}是点割集
D. {d}是点割集
8. 如图一所示，以下说法正确的是 ( {(d, e)}是边割集 ) ．
A. {(a, e)}是割边
B. {(a, e)}是边割集
C. {(a, e) ,(b, c)}是边割集
D. {(d, e)}是边割集
9.图G如图四所示，以下说法正确的是
( {(a, d) ,(b, d)}是边割集) ．
A. {(a, d)}是割边
离散数学课件图论2
① 边数相同，顶点数相同; ② 度数序列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 ❖ 若破坏必要条件，则两图不同构 ❖ 判断两个图同构是个难题
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d+(v)——v的入度 d(v)——v的出度 d(v)——v的度或度数 (3) (G), (G) (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇度顶点与偶度顶点
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14-1 图
[握手定理]
离散数学课件图论2
图论
实例2： “七桥问题” －哥尼斯堡城的普雷格尔河
A
B
D
C
A
e1
e5 e3 e6
B
D
e2
e4 e7
C
V={A, B, C, D} E={e1, e2, e3, e4, e5 , e6, e7} 后来欧拉证明这样的路径根本不存在。
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则称G是个无向完全图。如果G有n个结点, 则记作Kn。
图论--图的基本概念
图论--图的基本概念
1.图：
1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。
注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。
1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。E是笛卡尔积
V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。
通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。
与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：
（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。⽤
V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。
（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。
（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。1阶零图N1称作平凡图。平凡图只有⼀个顶点，没有边。
（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。
离散数学知识点(可编辑修改word版)
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离散数学知识点
说明：
定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法: 绿色表示
页码：灰色表示
数理逻辑：
1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式
2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式
3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式
4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集
5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P 规则，T 规则， CP 规则，推理
6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词
7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入
8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的
9.前束范式:前束范式
10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+
规则(EG), 推理
集合论：
1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称
差
2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系
3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭
包 s(R), 传递闭包 t(R)
4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分
5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界
图论——《离散数学》
图论——《离散数学》
图论
ghj1222
⽬录
写在前⾯
第⼗五章guguguugugugugu
第⼗四章图的基本概念
14.1 图
(1) ⽆序积：A&B={{a,b}|a∈A∧b∈B} ，把⽆序对 {a,b} 记为 (a,b)
(2) ⽆向图：⽆向图是⼀个有序的⼆元组G=⟨V,E⟩，V：⾮空有穷集——顶点集，元素称为顶点/节点；E：V&V的⼀个有穷多重⼦集——边集，元素称为⽆向边（边）。
(3) 有向图：D=⟨V,E⟩，E是V×V的⼀个有穷多重⼦集，E的元素称为有向边。
(4) 图：⽆向图和有向图统称。
(5) 阶：图的顶点数；n阶图。n阶零图：没有边的图N n；平凡图：1阶零图N1（只有1个点、没有边的图）。空图：没有点的图，记做∅。标定图：图中每个顶点/每条边有编号的图；⾮标定图。有向图的基图：把有向图的有向边改为⽆向边得到的⽆向图。
(6) ⽆向图G=⟨V,E⟩，e k=(v i,v j)∈E，v i,v j为e k的端点，e k与v i关联、e k与v j关联。e k与v的关联次数为1（如果v=v i≠v j或
v=v j≠v i）。为2（如果v=v i=v j，并且称边e k为环（⾃环））。为0：v≠v i∧v≠v j。两点相邻：两点⾄少有⼀条边连接；两边相邻：两条边连接了⾄少同⼀个点。
(7) 有向图D=⟨V,E⟩，e k=⟨v i,v j⟩∈E，v i,v j为e k的端点，e k与v i关联、e k与v j关联，v i为e k的始点、v j为e k的终点；如果v i=v j ，称边e k为环（⾃环）。两点相邻：两点⾄少有⼀条边连接；两边相邻：⼀条边的终点是另⼀条边的始点。
离散数学 图论
第10章 图论(Graph Theory )
例
5
2 4 5
3 1 3 6
6
图与子图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
3) 若V′=V， E′E，则称G′是G的生成子图。
图10.1.7给出了图G以及它的真子图G1 和生成子图G2。
图10.1.7 图G以及其真子图G 1和生成子图G2
V
d( ) 2 E
证明: 因为每条边都与两个结点关联， 所以加上一条
边就使得各结点度数的和增加 2， 由此结论成立。
定义：无向图中，如果每个结点的度都是k,则称为k度正则图。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
推论: 无向图G中度数为奇数的结点必为偶数个。
图 10 .1. 3
在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即 自回路；边e4和e5都与结点v2、 v3关联，即它们
是平行边。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
3. 图G的分类
(1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m
条边的图; 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简 单图; 多重图:含有平行边的图（如图 10 .1. 3） ； 线 图: 非多重图称为线图； 简单图:不含平行边和自环的图。
离散数学 图论
推论5.3.1： 任何一个图的奇点个数必为偶数。 假设图中奇点个数为奇数，则它们的度数之和 为奇数，偶点的度数之和是偶数，这样所有顶 点的度数之和为奇数。与定理5.3.1矛盾。 此推论可以用来解决许多实际问题，如“握手 问题”：任何一群人中，与奇数个人握过手的 人必为偶数个。
2012-2-3
离散数学
25
点导出子图的例子
例如, 下图中的H1=G[{v1,v2,v3}]; G
v1 e1 e4 e 2 e6 v4 e5 e3 v3 v2 v1 e1 v3 e3 e2 v2 v1 e1 v3 e2 v2
H1
H2
但是, 图中的H2≠G[{v1,v2,v3}]， 因为缺了关联v2， v3的边e3。
定义5.1.1 一个图G是一个有序三元组 定义 G=<V，E，ϕ>, 其中: (1)V是非空顶点集合； (2)E是边集，E∩V= φ； (3)ϕ是E到{uv | u、v∈V}的映射，称为关联函 数。uv=vu， u、v∈V。 通常用V(G)、E(G)和ϕG分别表示图G的顶 点集、边集和关联函数。 一个图可以用平面上的一个图形表示。常将 一个图与表示它的图形等同起来。
e1 e2 e3 G
u2 u3
v1 a4 v4
离散数学
a1
v2
a3 H
a2 v3
σ:ui→vi,i=1,2,3,4 θ:ei→ai,i=1,2,3,4 ϕH(θ(e2))≠v2v4
图论 (2)
定义9.2.9
设G = <V, E>为一个具有n个结点的无向简单 图，如果G中任意两个结点间都有边相连，则称G为 无向完全图(Undirected Complete Graph)，简称G 为完全图(Complete Graph)，记为Kn。
设G = <V, E>为一个具有n个结点的有向简单 图，如果G中任意两个结点间都有两条方向相反的 有 向 边 相 连 ， 则 称 G 为 有 向 完 全 图 (directed Complete Graph)，在不发生误解的情况下，也记 为Kn。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
143-20
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
定义9.3.1
给 定 图 G=<V,E> 中 结 点 和 边 相 继 交 错 出 现 的 序 列 Γ=v0e1v1e2v2…ekvk。 1.若Γ中边ei 的两端点是vi-1和vi （G是有向图时要求 vi-1与vi分别是ei的始点和终点），i=1,2,…,k，则 称Γ为结点v0到结点vk的通路(Entry)。
v0 和vk分别称为此通路的始点和终点，统称为通路 的端点。
通路中边的数目k称为此通路的长度(Length)。 当v0=vn时，此通路称为回路(Circuit)。
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
【例7.1.5】设9阶无向图的每个顶点的度数为5或6, 证明它 至少有5个6度顶点或者至少有6个5度顶点.
证 讨论所有可能的情况. 设有a个5度顶点和b个6度顶点
方法一：讨论分析法 (1)a=0, b=9; (2)a=2, b=7; (3)a=4, b=5; (4)a=6, b=3; (5)a=8, b=1 (1)~(3) 至少5个6度顶点, (4)和(5) 至少6个5度顶点
【引例】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛。为了表示４个 队之间比赛的情况，我们作出图 7.1.1的图形。在图中４个小圆 圈分别表示这４个篮球队，称之为结点（亦可叫顶点）。如果两 队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一条线连接起来， 称之为边。这样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。
• 孤立边: 不与任何边相邻接的边。
• 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，v）或〈v，
v〉）。（在有向图中环的方向可以是顺时针，也可以是逆
时针，它们是等效的。）
e1
• 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
v1 e2 v2
• 零图：由孤立点组成的图。 • 平凡图：由一个孤立点组成的图。
43+2(n-4)210，解得 n8 【例7.1.4】已知5阶有向图的度数列和出度列分别为3,3,2,3,3 和1,2,1,2,1, 求它的入度列
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
7.1 图的基本概念
• 7.1.1 图的基本概念 • 7.1.2 图的结点的度数及其性质 • 7.1.3 简单图、多重图、完全图和正则图 • 7.1.4 图的同构 • 7.1.5 补图、子图和生成子图
第9章 图论
现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由 一些点和一些连接两点间的连线所组成。
[注]：平凡图一定是零图。
e3 e4 e5 e6
v5
v3
v4
第9章 图论
7.1.2 结点的度及其性质
无向图结点的度与相关概念
定义7.1.2 设G=V,E是无向图，vV，与v相关联的边数叫做 结点v的度。记为deg(v)，亦可简记为d(v) 。规定，自回路为所
在结点增加2度。 在无向图G=V,E中，度数最大(小)wenku.baidu.com结点的度叫做图G的
AB=BA={(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}
AA={(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c)}
BB={(1,1), (1,2), (2,2) 多重集合: 元素可以重复出现的集合 重复度: 元素在多重集合中出现的次数 例如 S={a,b,b,c,c,c}, a,b,c 的重复度依次为1,2,3
v3
e7
a e6e3
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若简单图 G 与 G¯ 是同构的，则 G 称为自补图 试证明：若正则图 G 是自补图，则图 G 的顶点数 V 满足 V ≡ 1 (mod 4)。
Problem 6
对以下每组同构不变量的值找出一对不同构的图 1) 顶点数 =5，边数 =5，且子图中最大的完全图是 K3 2) 度序列 =(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
b) K2,3
2) D 与原来的图什么关系？试解释其原因。（D 是该图的什么矩阵？）
Problem 3
证明 [下左图] 和 [下右图的补图] 同构。
a
b
ef
hg
d
c
A
B
EF
HG
D
C
1
wk.baidu.com
Problem 4
具有 4 个顶点的非同构简单图中，有多少个 1) 包含 C3？ 2) 无孤立点？ 3) 是二部图？
2
离散数学图论作业 2 - 图的表示与图同构
Problem 1
用邻接矩阵表示左侧的图；并画出右侧邻接矩阵表示的有向图。
a
b
c
d
0 1 0
1 2 1
2 1 1
0 1 0
1002
Problem 2
1) 对下面两个简单图，先写出图的邻接矩阵 A，关联矩阵 B，然后计算矩阵 D = BBT − A。
a) K3,2