线性代数 矩阵 第3节 逆矩阵
第三章 可逆矩阵
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.5 方阵A可逆 矩阵A可表示成有限个初 等矩阵的积. 证 ) 方阵A可逆，则存在初等矩阵P1, P2,…,Ps, Q1,Q2,…,Qt，使Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=E . 即 A P11 P21 Ps1Qt1 Q2 1Q11 . 又初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵，所以A是有限个 初等矩阵的积. ) 若矩阵A可表示成有限个初等矩阵的积.由初 等矩阵可逆知A也可逆。 #
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.6 方阵A可逆 矩阵A经有限次初等行变
换可变成单位矩阵.
证 ) 由定理2.4 可知； ) 方阵A可逆，则A-1可逆，
存在初等矩阵 1 , P2 ,, Pl , 使 A1 P1 , P2 ,, Pl P
即 P1 , P2 ,, Pl A A1 A E
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.1 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，
则 AA*=A*A=AE .
证
a1k A1k * a2 k A1 k AA a A nk 1 k
a a
A2 k 2 k A2 k ank A2k
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
2.用初等变换求逆矩阵
定理2.4 方阵A可逆 矩阵A经有限次初等变换
可变成单位矩阵. 证 设A的标准形为B，即存在初等矩阵 P1 , P2 ,, Ps ;Q1 , Q2 ,, Qt 使 Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B.
Ps P2 P1 A Q1Q2 Qt B , Ps P2 P1 0, Q1Q2 Qt 0, A可逆 A 0 B 0 B E .
线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵
2 A A 2 E O 证明 例5 设方阵 A 满足
A 及 A 2E 都可逆，并求
例6
A
1
及 ( A 2E ) .
1
设
4 2 3 A 1 1 0 , 1 2 3
AB A 2 B,
求 B.
例7 用逆矩阵求解线性方程组的解.
2 x1 x2 x3 4, x1 2 x3 4, 3x x 3x 2. 3 1 2
问题．
2.3.4 矩阵可逆的充要条件
定理2.3.1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的
逆矩阵是唯一的．
由定理2.3.1知，如果 A 是可逆矩阵，则有
detA 0， 那么，反过来是否成立呢？为了回
答这个问题，先引入伴随矩阵的定义．
定义 2.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 detA 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵
2.3.5 举例
例2 求二阶矩阵
a b A c d
的逆矩阵.
“两调一除 ”法
求二阶矩阵的逆矩阵可用 “两调一除 ”的方法 , 其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用 |A| 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩
例1
设
3 1 1 1 A 2 1 , B 2 3 ,
验证 B 是否为 A 的逆矩阵．
2.3.3 可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, …, m) 为 n 阶可逆方阵，
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2)
线性代数教学课件第二章矩阵第三节逆矩阵
解 A | A | A1 1 A1 ,
2
| (3A)1 2A | | 1 A1 A1 | | 2 A1 |
3
3
(
2 )3 3
|
A1
|
8 | 27
A |1
8 2 27
16 27
.
18
(5) 设 A, B,C 为同阶方阵, AB AC .若 A 可逆,则B C .
对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.
(6) 若A可逆,则有 | A1 | | A |1 . 证 AA1 E , | A | | A1 | 1 , 因此 | A1 | | A |1 .
17
例9 设 A 为 3 阶方阵，且| A | 1 , 求行列式 2
14
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
15
三、逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A . (2) 若A可逆,数k 0,则kA可逆,且 (kA)1 1 A1.
可逆时,
求 A1
解 A 可逆的充分必要条件是 A ad bc 0
又
A*
A11 A12
A21 A22
d c
ab
所以当 A ad bc 0 时,
对角元互换位置, 非对角元变号
A1
1 A
A*
ad
线性代数03.矩阵的乘法和逆
线性代数03.矩阵的乘法和逆本篇为MIT 公开课——线性代数 笔记。
矩阵乘法的运算规则1.⾏乘列乘法⼀般性法则：⾏乘列得到⼀个数。
假设有两个矩阵 A 、B ，并且我们让 A ∗B =C , 可以求得矩阵 C 中 i ⾏ j 列元素：C ij =(row_i at A )(column_j at B )即矩阵 A 中 i ⾏点乘以矩阵 B 中的 j 列，就是矩阵 C 中 i ⾏ j 列的元素。
注意是 “⾏*列”。
例如A =◻◻◻◻◻◻◻◻a 31a 32a 33⋯◻◻◻◻◻◻◻◻B =◻◻◻b 14◻◻◻◻b 24◻◻◻◻b 34◻◻◻◻⋯◻则 矩阵 C 中 第3⾏4列元素为：C 34=a 31b 14+a 32b 24+a 33b 34+⋯+a 3n b n4=n∑k =1a 3k b k4前提条件是矩阵 A 的总列数 必须和矩阵 B 中的总⾏数相等。
假设矩阵 A 是 m ∗n 矩阵，矩阵 B 是 n ∗p 矩阵， 那么 矩阵 C =A ∗B ， 矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
其实很好理解，原来 矩阵A 的⼀⾏与矩阵 B 的⼀列的点乘，可以得到矩阵C 中的⼀个元素，那么 m ⾏乘以 p 列就可以得到 m ∗p 个元素，所以矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
2.矩阵列的线性组合举例：◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C矩阵 A 的所有列乘以 B 的列1得到矩阵 C 的列1，矩阵 A 乘以 B 的列2得到矩阵 C 的列2....将矩阵乘法考虑为矩阵乘以向量，矩阵 B 可以看成 p 个单独的列向量，只是这⾥排在⼀起。
⽤矩阵 A 乘以每个列向量，相应得到 矩阵 C 的各列。
矩阵 C 中的各列，是矩阵 A 中各列的线性组合，矩阵 B 表⽰是怎么样的线性组合。
()()()()()Processing math: 100%3.矩阵⾏的线性组合◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C同样的例⼦，我们从矩阵⾏的⾓度看，可以看成矩阵 A 的每⼀⾏乘以矩阵 B 所有⾏,可以得到相应矩阵C 的每⼀⾏。
2_3逆矩阵
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
1 1 3 A 2 1 4
1 2 4
可以验证，AB BA E
4 2 1 B 4 1 2
A11 A21 An1
A* =
A12 A22 An2
A1n A2n Ann
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1 1 1
例1. 求 A 1 2 3
的伴随矩阵A*.
0 1 1
A11 A21 A31
解: 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为 A12 A22 A32
A13 A23 A33
2 A11 (1)11 1
方阵可逆的充分必要条件
定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 A1 —1 A*，其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
证：必要性. 设A可逆，即有A1， 使AA1E , 故|A|·|A1||E|1，所以|A|0，即A为非奇异.
《线性代数》
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定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 A1 —1 A*， 其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
x1 x2
31
两边都左乘矩阵F得
(
F
11//
2 2
1/ 1/
22
)
11//
2 2
1/ 1/
2 2
11
11
x1 x2
11//
2 2
1/ 1/
22
31
10
01
x1 x2
—逆矩阵
非奇异矩阵A 的逆矩阵一定存在。
反过来, 如果矩阵 A 的逆矩阵 A1 存在, 则 AA1 E 。
两边取成行列式, 得 | AA1 | | A || A1 | | E | 1,
故 | A| 0。
实际上 , 我们证明了一个定理。
逆矩阵存在的充要条件 矩阵 A 可逆的充要条件是其行列式 | A | 0。
r3 3 r1
0 1 0 2 1 0
3 2 1 0 0 1
0 2 1 3 0 1
r3 (2) r2
1
0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 7
0 1 2
0 0 , 故 1
1
A1 2 7
0 1 2
0
0 。 1
运用初等变换法的最大好处在于：
当不知道矩阵A 是否有逆矩阵时, 我们可以直接
运用初等变换法进行计算
或者说 : 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为满秩的。
或者说: 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为非奇异的。
利用伴随矩阵求逆矩阵 若矩阵 A 可逆 , 则 A1 A* 。 | A|
例
设
A
1 3
2 4
,
求 A－1。
解
| A|
1 3
2 4
2。
A11 4 , A12 3 , A21 2 , A22 1,
A11 A21
A*
A12
A22
A1n A2n
An1
An 2
Ann
称为 A的伴随矩阵。
转置！
由行列式的拉普拉斯按行 (列) 展开定理, 得
a11 a12
AA* a21
a22
an1 an2
a1n A11
线性代数-逆矩阵
=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
线性代数-逆矩阵
b 2 :
a m1
a m2
...
a mn
x n
b m
线性方程组 可记为AX=b.
A
Xb
对线性方程组AX=b, 若A为可逆方阵, 则方 程组有唯一解, 可得 X=A-1b.
例5 解线性方程组 解 写成矩阵形式
y 2z 1 x y 4z 1. 2x y 2
0 1 2 x 1 1 1 4 y 1. 2 1 0 z 2
练习 设方阵A满足A2–A–2E=0, 证明A, A+2E 都可逆, 并求其逆矩阵.
解: 由A2–A–2E=0A(A –E)=2E |A||A –E|0 A可逆, 且A-1= (A –E)/2.
由A可逆及A+2E=A2 A+2E可逆.
(A+2E)-1= (A –E)2/4或(3E –A)/4.
例4 设A为满秩方阵, 且AB=0. 证明: B=0.
证明 A是满秩矩阵即A是可逆矩阵, 这样
A-1(AB)=A-1•0=0.
另外 A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B.
因此B=0.
在矩阵乘法之中我们知道若AB=0一般不能 得到A或B中至少有一个为零矩阵. 但当A, B 之中有一个为满秩方阵时, 由本例证明, 另 一个一定为零矩阵. 在以后的学习中我们还 会得到更一般的结论.
同理B-1 =A.
逆矩阵的性质
性质1 若A可逆，则A-1 可逆，且(A-1 )-1=A. 性质2 若A,B可逆, 则AB可逆,且(AB)-1=B-1 A-1. 性质3 若A可逆, 则 | A1 || A |1 1 .
| A| 性质4 若A可逆, 则(A-1)=(A)-1.
性质5 若A可逆, 数k0, 则 (kA)1 1 A1. k
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
线性代数-逆矩阵
可逆,由(2.3.3)式,
X (2E A)1 B (2E A) * B | 2E A |
1 3
0 3 0
2 2 1
11 2 2 1 1 3 0 3 3 1 0 3 1 1
2.3.2 正交矩阵 前面所讨论的矩阵都是在任意给定的
一个数域P上进行的,本段将介绍一种在实
其中
A
2
1
0 ,
X y ,
b 1.
，
1 1 0
z
1
由于
111
| A | 2 1 0 1 0,
110
从而A可逆,应用（2.3.5）式,有
x 1 1 1 1 2
y 2 1 0 1
z
1
1
0
1
0 1 1 2 2
0 1 2 1 3 ,
§2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵 上一节我们定义了矩阵的加法、减法
和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法 呢?回答是否定的.但是我们可以换个角度 去考虑这个问题.
在代数运算中,如果数a≠0,其倒数a-1 可由等式
a a 1 a 1 a 1
来刻画.在矩阵的乘法运算中,对于任意n阶 方阵A,都有
例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明 A+E可逆，并求(A+E)-1.
证 由A2+3A-2E=O,有
(A E)(A 2E) 4E O,
即 (A E)(A 2E) 4E,
于是
1
(A E)( (A 2E)) E.
，
4
， 根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且
( A E)1 1 ( A 2E) 4
例2.3.1 求方阵
线性代数,可逆矩阵
B A1 , A B 1
说明: 当A,B均为n 阶方阵时 (1)如果 AB E ,指出矩阵 A 是可逆的 并且逆矩阵为 A1 B.
(2) 指出求逆矩阵的一种方法
? ) E A( B 2 例 已知 An , A E , 求 A1 .
解
A2 E ,
A1 A
0 0 1 6 3 7 6
五、小节
逆矩阵的概念
逆矩阵的性质
逆矩阵的计算方法
逆矩阵的定义
An Bn Bn An E ,
定理1 一个矩阵A的逆矩阵是唯一的. 定理2 对于n 阶方阵A、B 若 AB E (或 BA E ), 则 B A1 .
逆矩阵的求法
1
A 2E 且 (A E) 2
1
例6
设方阵A满足 A2 A 2 E 0 , 证明:
A, A 2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明 由 A2 A 2 E 0, 又由
A(1 A E ) 2 E
得 A A E 2E
A2 A 2 E 0
二阶可逆矩阵的逆矩阵
具有规律：
A 1
6 4 5 4
2 4 1 4
若是分块对角阵
Ai
可逆
1 1
A diag(1 , 2 ,n )
1
其中
A 1 A
A1 A O
1 1
0 0 3 1 , 求 A 1 . 2 1 0 A1 O , 1 O A2 1
1 2
A1 5,
3 1 A2 , 2 1
1 A ; 5
归纳逆矩阵知识点
归纳逆矩阵知识点在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，逆矩阵更是辅助解决线性方程组和矩阵方程的关键。
逆矩阵的概念和计算方法是线性代数中的重要知识点之一。
本文将通过逐步思考的方式，来归纳逆矩阵的相关知识点。
一、什么是逆矩阵？逆矩阵是指一个方阵与它的逆矩阵相乘后得到单位矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵，那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。
二、逆矩阵的存在条件对于一个n阶方阵A，如果它的行列式det(A)不等于0，则A存在逆矩阵。
这是逆矩阵存在的充分条件，也是常用的判断方法。
三、逆矩阵的计算方法要计算一个矩阵的逆矩阵，常用的方法有伴随矩阵法和初等变换法。
下面我们将逐步介绍这两种计算方法。
1.伴随矩阵法对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵是指将A的每个元素的代数余子式按位放置在一个新的矩阵中，并且将该矩阵转置得到的矩阵。
记作Adj(A)或A*。
计算逆矩阵的步骤如下： Step 1：计算A的行列式det(A)，如果det(A)=0，则A没有逆矩阵。
Step 2：计算A的伴随矩阵Adj(A)。
Step 3：计算A的逆矩阵A-1，公式为A-1 = (1/det(A)) * Adj(A)。
2.初等变换法初等变换法是一种通过一系列的基本行变换或列变换来得到逆矩阵的方法，常用的有行初等变换法和列初等变换法。
这里以行初等变换法为例介绍计算逆矩阵的步骤。
Step 1：将n阶方阵A和n阶单位矩阵I横向拼接得到增广矩阵[A, I]。
Step 2：通过一系列的行初等变换将增广矩阵[A, I]变换为[I, B]，其中B为A的逆矩阵。
Step 3：如果无法将增广矩阵[A, I]变换为[I, B]，则A没有逆矩阵。
四、逆矩阵的性质逆矩阵具有一些特殊的性质，包括： 1. 若A有逆矩阵，则A的逆矩阵唯一。
2. 若A，B都有逆矩阵，则AB也有逆矩阵，并且(AB)^-1 = B^-1 * A^-1。
线性代数第三章 初等矩阵和矩阵的逆
a11 a12 a1n a j 1 a j 2 a jn ( ri ) p( i , j ) A a ai 2 ain ( r j ) i1 a am 2 amn m1 a11 a1 j a1i a1n a21 a2 j a2 i a2 n AEn ( i , j ) a amj ami amn m1 (c j ) (c )
P Pt P2 P1 , Q Q1Q2 Qm .
故B Pt P2 P1 AQ1Q2 Qm .由于初等矩阵 左（右）乘矩阵相当与对矩阵作初等行（列） 变换，故A可经过一系列初等变换变为B，即 : A与B等价。
三、初等矩阵的应用
| A | 0 A p1 p2 ps A1 ps 1 p2 1 p11 A
一、初等矩阵的概念
ET E P , P 就称为初等矩阵. 定义4 一次
相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵. １、对调 1 0 1 ( ri ) 1 0 记作 p(i,j) ( r ) 1 0 0 1 j 1 (c j ) ( ci )
1
例
设
1 2 3 1 3 2 1 A 2 2 1 , B , C 2 0 , 5 3 3 4 3 3 1
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
1 0, 解 A 2 2 1 2 0, B 5 3 3 4 3
1 b12 0 1 B C 0 0 0 0 b1,n1 0 1 0 b1n 0 b ( i行 ) (1行 ) 1i n En i 2, 3,..., 0 1
第三节 可逆矩阵
例5 （选择题） B C 均为ｎ阶方阵，且 ABC = E 均为ｎ阶方阵， 选择题） A 则：下列矩阵为单位矩阵的是
( 4)
(1) ACB (2)CBA (3)BAC (4)BCA
-13-
例6
设 A 为 n阶 方阵 , 证明
(1)
证
A = 0 ⇒ A∗ = 0
( 2)
A∗ = A
n −1
(1) 如果 A=O, 则结论显然成立 如果 则结论显然成立.如果 如果A≠O, 反证 反证:
线性方程组
(1)
记 A = (a ij ) n×n ，称为 的系数矩阵。 称为(1)的系数矩阵。 记
b1 b= M , bn
称为(1)的常数项向量或右端项(向量 称为 的常数项向量或右端项 向量 。 的常数项向量或右端项 向量)。
x1 x= M 记 xn
AB = BA = E
则称矩阵A是可逆的 并把矩阵B称为 称为A的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的, 并把矩阵 称为 的逆矩阵 易知,如果 可逆 则其逆矩阵是唯一的,记作 易知 如果A可逆 则其逆矩阵是唯一的 记作 A −1 . 如果 可逆,则其逆矩阵是唯一的
-7-
定理 证 (⇒ ) ⇒
A 可逆 ⇔ A ≠ 0
n
n −1
-14-
例7 设列矩阵 α = (a 0 L 0 a )T ,
a<0
其中A的逆矩阵为 其中 的逆矩阵为B, 则a= ? 的逆矩阵为 1 T 1 T T T 解: Q AB = E ⇒ E + αα − αα − αα αα = E
a
1 T E是n阶的单位矩阵 A = E − αα , B = E + αα 阶的单位矩阵, 是 阶的单位矩阵 a
逆矩阵公式运算法则
逆矩阵公式运算法则
逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是线性代数的基础之一。
其本质是行列式的倒数，它可以用来研究数学建模问题、解方程等。
在实际运算中，我们需要了解逆矩阵公式运算法则，以便正确地计算逆矩阵。
首先，要知道求逆矩阵的定义：一个n阶正定矩阵A的逆矩阵是指一个m阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
即AB=BA即
两个矩阵相乘等于其自身，此时我们就可以说A的逆矩阵是B。
其次，我们来说一下逆矩阵公式运算法则：
1.如果矩阵A的行列式的值不等于0，则A的逆矩阵存在，公式为A^(-1)=1/det(A)*[A*]t，其中det(A)为矩阵A的行列式，[A*]t
是矩阵A的伴随矩阵转置。
2.如果矩阵A的行列式的值等于0，则A的逆矩阵不存在。
3.如果矩阵A可以被分解为LU分解，即A=LU，则A的逆矩阵可以用公式A^(-1)=U^(-1)*L^(-1)来求解，其中U^(-1)和L^(-1)分别是上三角矩阵U和下三角矩阵L的逆矩阵。
4.如果矩阵A可以被分解为QR分解，即A=QR，则A的逆矩阵可以用公式A^(-1)=R^(-1)*Q^(-1)来求解，其中R^(-1)和Q^(-1)分别是上三角矩阵R和正交矩阵Q的逆矩阵。
最后，在求解逆矩阵公式中值得注意的一点是，在求解逆矩阵公式时，我们一般要确保矩阵A中的元素值均非零，以免出现矩阵不可逆的情况。
总之，在求解逆矩阵时，我们首先要明确求解逆矩阵的定义，然后要熟练掌握逆矩阵公式运算法则，在求解的过程中，我们还要注意矩阵A中的元素值是否存在0值，以免出现矩阵不可逆的情况。
只有掌握了这些，我们才能准确地计算出逆矩阵的值。
线性代数课件-2.3逆矩阵
•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.
对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有
An En En An An
从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位： a * 1 = 1 * a = a.
若设 B 和 C 是 A的可逆矩阵， 则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的，即 B C A1.
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
结论：AA* A* A | A | E.
例3 已知A 0 0 3 0 0 求A1.
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
解 因 A 5! 0, 故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1 A A ,
2 3 4 5 0
0
0
0
1
0 0
1345 0 0 1245
0 0
0 0
5!
0
0
0 1235 0
0
0
0
0 1 2 3 4
1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0
概念的引入
在数的运算中，当数 a 0时，有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中
的1， 那么，对于矩阵 A，如果存在一个矩阵 A1,
使得
AA1 A1 A E ,
线性代数逆矩阵
3. 利用逆矩阵求解矩阵方程.
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
2 A1 1 A1.
3 AB 1 B 1 A1
4
AT
1
A1 T .
5 若A可逆,则有 A1 A 1.
例 若|A|≠0, 试证 ①|A*|=|A|n-1; ②(A*)-1=(A-1)* ③(A*)T=(AT)*; ④ (A*)*=|A|n-2A; ⑤ (kA)*=kn-1A*.
A
d c
b a
,
所以，
当
A
0
时，有 A 1
ad
1
bc
d c
b a
.
例
求方阵
A
1 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 解 Q A 2 2 1 0, A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21
0
1 L
a2
0
0
a1 0
0 a2
L L
L L L
0
0
矩阵的逆矩阵与行列式计算
矩阵的逆矩阵与行列式计算矩阵是线性代数中的一项重要概念，它在各种领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆矩阵和行列式是矩阵理论中的两个关键概念，本文将介绍逆矩阵和行列式的计算方法及其重要性。
一、逆矩阵逆矩阵是矩阵理论中非常重要的一个概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I表示单位阵），那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的倒数。
对于可逆矩阵A，它的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的计算方法如下：设A为一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则B为A的逆矩阵。
求矩阵A的逆矩阵的方法有多种，以下是其中两个常用的方法：1. 初等行变换法通过利用矩阵初等行变换，将矩阵A变换成一个特殊形式，然后通过初等行变换得到B，使得AB=I。
具体步骤如下：a) 取A和单位阵I并排组成一个增广矩阵[A|I]；b) 对[A|I]做行变换，将矩阵A变换为n阶单位矩阵；c) 当[A|I]变为[I|B]时，B就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法通过伴随矩阵的概念，求解矩阵A的逆矩阵。
设A为n阶方阵，A 的伴随矩阵记作Adj(A)，则A的逆矩阵B的表达式如下：B = (1/det(A)) * Adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式，Adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、行列式行列式是矩阵理论中用于刻画矩阵性质的一种特殊函数。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其计算方法如下：1. 二阶方阵的行列式计算：A = [[a, b], [c, d]]det(A) = ad - bc2. 三阶方阵的行列式计算：A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh对于高阶方阵，通常使用行列式的性质和展开定理来计算。
行列式的计算过程相对繁琐，但是具有重要的应用价值。
行列式的性质有如下几个：a) 互换行列式的两行，行列式改变符号；b) 行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面；c) 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为0；d) 行列式的某一行（列）可以表示成其他行（列）的线性组合。
线性代数3-2 逆矩阵
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵.
二、逆矩阵的概念与性质
第三章 矩阵的运算
定义3.2.1 设A是一个n 阶方阵，若存在n 阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵.
例如
1 2 5 2
A 2 5 , B 2
2
2
A1 1 3E A
2
第三章 矩阵的运算
小结
1.逆矩阵概念 若AB=E，则 A1 B, B1 A.
2.伴随矩阵概念与性质定理
A1 1 A * A
3. 矩阵可逆的充要条件 A可逆 A 0
4.逆矩阵的性质 ( A1 )1 A ( AT )1 ( A1 )T
1
有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵.
第三章 矩阵的运算
说明: 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明:
记作 A-1
若设B和C是A的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的 , 记作 A-1
An1
只A 要aA21
a022，就有a2An (
1 AA* *)A(12 A
1 AA22* ) A A
EAn
2
an1
an2
ann
A1n
A2n
Ann
第三章 矩阵的运算
定理3.2.1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆 | A | 0，而且A1 1 A. | A|
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§2.3 逆矩阵
例8. 求A =
a b 的伴随矩阵. c d
解: A11 = d, A21 = b,
A12 = c, A22 = a. A11 A21 d b A* = . = c a A12 A22
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
例9. 设A为方阵, A*为其伴随矩阵. 证明: AA* = A*A = |A|E. a11 … a1n A11 … An1 证明: AA* = an1 … ann A1n … Ann
设A, B为同阶可逆方阵, 数k 0. 则 (1) (A1)1 = A. (2) (AT)1 = (A1)T. (3) (kA)1 = k1A1. (4) (AB)1 = B1A1. 要证明(4), 只要验算
① (B1A1)(AB) = E, ② (AB)(B1A1) = E
即可.
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
4.方阵可逆的条件 设A = [aij]nn为方阵, 元素aij的代数余子 式为Aij, 则称如下矩阵
A11 A* = A12 … A1n
A21 … An1 A22 … An2 … … … A2n … Ann
为方阵A的伴随矩阵(adjoint).
第二章 矩阵与行列式
…
…
…
…
k=1
a1kA1k … a1kAnk
k=1 n
n
n
|A| = |A|
…
n k=1 k=1
…
=
.
a1kA1k … a1kAnk
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
定理.方阵A可逆的充分必要条件是|A| 0. 当|A| 0时, 有 A1 = 1 A*. |A|
A非奇异(nonsingular)
1a = a1 = a, a
事实 a0 b s.t. ab = ba = 1 ba = 1, ax = c x = 1x = bax = bc 应用 ab = 1, xa = c x = x1 = xab = cb
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E, 则称A可逆(invertible), 并称B为A的
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
例11. 设方阵A满足A2+3AE = 0. 证明: A及A2E可逆, 并求它们的逆矩阵.
逆矩阵(inverse matrix). 2. 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C. 命题. A可逆 A的逆矩阵唯一. 注: A的逆矩阵记为A1.
第二章ห้องสมุดไป่ตู้矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
3. 逆矩阵的运算性质
推论. 设A, B为方阵, 若AB = E(或BA = E), 则B = A1. 事实上, AB = E |A| 0 A可逆 B = EB = (A1A)B = A1(AB) = A1E = A1.
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
例10. 求下列方阵的逆矩阵.
1 2 3 1 2 (1) A = , (2) B = 2 2 1 . 3 4 3 4 3 解: (1) A1 = 1 A* = 1 4 2 . |A| 2 3 1 (2) |B| = 2 0, B11 = (1)1+1 2 1 = 2, B21 =6, 4 3 B31 = 4, B12 = 3, B22 = 6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = 2. 2 6 4 B1 = 1 B* = 1 3 6 5 . |B| 2 2 2 2
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
§2.3方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念
数(一阶方阵) n阶方阵 EA = AE = A, A A 满足 ? B s.t. AB = BA = E BA = E, AX = C X = EX = BAX = BC AB = E, XA = C X = XE = XAB = CB