椭圆的标准方程(2)

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椭圆的标准方程

椭圆的标准方程首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。

这两个定点被称为焦点，常数2a被称为主轴的长度。

椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距。

通过这些定义，我们可以得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。

通过这个方程，我们可以清晰地看到椭圆的形状和特点。

例如，当a=b时，椭圆变成了一个圆；当a>b时，椭圆在x轴上的投影长度大于在y轴上的投影长度；当a<b时，椭圆在x轴上的投影长度小于在y轴上的投影长度。

除了标准方程，椭圆还有其他一些重要的性质。

例如，椭圆的离心率e可以用a和b表示为e=sqrt(1-b^2/a^2)，这个公式可以帮助我们计算椭圆的离心率。

另外，椭圆还有一个重要的焦点方程，可以表示为PF1+PF2=2a，其中P为椭圆上的任意一点。

这个方程可以帮助我们理解椭圆的焦点性质。

在物理学中，椭圆也有着重要的应用。

例如，行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆，椭圆的形状和性质决定了行星运动的规律。

另外，椭圆还可以用来描述光的偏振状态，以及天体运动的轨道等。

总之，椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学和工程学中都有着广泛的应用。

通过标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状和性质，这有助于我们更好地理解和应用椭圆这一数学概念。

希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的标准方程及其相关知识，进而在学习和工作中更好地应用这一重要的数学概念。

椭圆方程的标准方程

椭圆方程的标准方程
椭圆的标准方程是一种表示椭圆的方程形式。

对于平面上的椭圆，其标准方程可以表示为：
(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1
其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a 和b 分别是椭圆在x 和y 方向上的半长轴长度。

如果椭圆的长轴与x 轴对齐，则标准方程变为：
(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1
这种情况下，a 表示椭圆的长轴长度，b 表示椭圆的短轴长度。

如果椭圆的长轴与y 轴对齐，则标准方程变为：
(x - h)²/b²+ (y - k)²/a²= 1
这种情况下，a 表示椭圆的短轴长度，b 表示椭圆的长轴长度。

通过标准方程，我们可以确定椭圆的中心，长轴和短轴的长度，以及椭圆在平面上的形状。

2椭圆及其标准方程

2椭圆及其标准方程椭圆是平面几何中的一种特殊曲线，由一个固定点F（称为焦点）和一个固定直线L（称为准线）上的所有点P的位置关系定义。

对于任意点P，它到焦点F和准线L的距离之和等于常数2a，即PF+PL=2a。

首先，我们来定义椭圆的标准方程。

一个椭圆的标准方程如下：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1其中，(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的半径（轴长）。

通过标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质和特征。

1.中心坐标：椭圆的中心（h,k）是标准方程的两个平方项的系数的相反数，即(h,k)=(0,0)或(h,k)=(h,k)。

2.长轴和短轴：对于椭圆的标准方程，如果a>b，那么轴长a是椭圆的长轴，轴长b是椭圆的短轴。

反之，如果a<b，则轴长a是椭圆的短轴，轴长b是椭圆的长轴。

3.焦点坐标：标准方程中的a和b决定了椭圆的焦点坐标。

假设椭圆的中心是（h,k），那么焦点坐标可以通过以下公式计算：F = (h ± ae, k)其中e是椭圆的离心率，e=c/a，c是焦距，c^2=a^2-b^24.坐标轴与方位角：椭圆的标准方程与X轴和Y轴平行。

通过坐标轴与椭圆的交点，我们可以确定椭圆的方位角α。

如果a是椭圆的长轴，则α是X轴与长轴之间的夹角。

如果a是椭圆的短轴，则α是Y轴与短轴之间的夹角。

5.离心率：椭圆的离心率e=c/a决定了椭圆的形状。

当e=0时，椭圆退化为一个圆。

当0<e<1时，椭圆是一个实心的闭合曲线。

当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。

当e>1时，椭圆是一个开放曲线，具有两个分离的曲线段。

6.曲率：椭圆上的曲率是指在其中一点的切线的弯曲程度。

在椭圆的两个焦点上，曲率最大；在椭圆的两个准线上，曲率最小。

7.相交角：两个椭圆可以相交，相交的部分被称为交点。

交点的个数和位置取决于两个椭圆的大小和位置相对于彼此。

总结起来，椭圆是一个具有特定形状和性质的图形。

2.2.1椭圆的标准方程(2)解析

定
相同点
讲课人：邢启强
义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 、 b、 c的关系
焦点位置的判断
a b c
2 2
2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
14
课堂小结
求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤去展开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.
(0,4)
.
变1：已知方程表示焦点在 y轴上的椭圆，则m的取值范围是 (1,2) .
变2：方程下列条件的m的取值范围： ①表示一个圆； ②表示一个椭圆； ③表示焦点在x轴上的椭圆。
讲课人：邢启强
x2 y2 ＋＝ 1 ，分别求方程满足 25－m 16＋m
4
例题讲评
例 2⑴已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
讲课人：邢启强
2
2
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
7
巩固练习
已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
讲课人：邢启强
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y y M M
F2 x

椭圆的方程一般式与标准式

椭圆的方程一般式与标准式
椭圆方程的一般式为：ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0。

椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。

椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到f1，f2的距离和为2a（2a\ue2c）。

椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程就是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
其中a^2-c^2=b^2。

推论：pf1+pf2\uef1f2(p为椭圆上的点 f为焦点)。

2.2.1椭圆及其标准方程(二)2

2.2.1椭圆及其标准方程（二）【教学目标】1.理解椭圆的定义及标准方程；2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学科素养】数学抽象、逻辑推理，数学运算.【教学重点】椭圆的定义及标准方程的推导.【教学难点】理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学法指导】教师启发讲授，学生探究学习.复习回顾问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？新知探究例2：如图，在圆422=+y x 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？点评：相关点法（代入法）（设计意图：利用直线中点坐标公式，探求动点轨迹）变式训练2：教材第50页B 组第一题例3：如图所示，设A ，B 的坐标分别是()()0,5,0,5-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-，求Ｍ点得轨迹方程。

（设计意图：把直线相关知识与椭圆结合到一起，加强知识之间的联系，以此培养学生的知识串联能力）点评：参数法变式训练3：(教材第42页练习第4题)小结：求解与椭圆相关的轨迹问题的方法1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；（3）52,10==+c b a2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（）A (0, ±3)B (±3, 0)C (0, ±5)D (±4, 0)3、在方程22110064x y +=中，下列a, b, c 全部正确的一项是（） A a=100, b=64, c=36 B a=10, b=6, c=8C a=10, b=8, c=6D a=100, c=64, b=36 教材第42页练习第1题、第3题.课堂小结1.椭圆的概念及标准方程；2.求椭圆方程的方法.作业布置习题2.2A 组5 、7板书设计椭圆及其标准方程1、椭圆的定义例2：例32、椭圆的标准方程课后感悟。

椭圆及其标准方程(2)_高二数学-文档资料

方程.
y
A
B
O
C
x
例
题
例2 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
y
A
B
O
C
x
例
题
例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 x 轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
y P M
o
P′
x
例
题
例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 x 轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
x2 y2 1的左右焦点分别为F1、F2， 16 7
2. 椭圆
A. 32
B. 16
y
C. 8
A
D. 4
F1
B
0
F2
x
练
2
习
表示焦点在x轴上的椭圆，则的取值范围是（） A.（0，］ 4
2 2 x y 1 3. 设（0， 2 ）若方程 sin cos
方程.
例
题
例2 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
A
B
C
例
题
例2 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
y
A
B
O
C
x
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例
题
例2 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
知识回顾

椭圆的标准方程公式

椭圆的标准方程公式
椭圆的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹，这两个定点
称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆还有一个重要的特点是长轴和短轴，它们分别是椭圆的两个焦点之间的距离和椭圆的两个端点之间的距离。

椭圆的标准方程公式可以通过这些特点来表示，一般形式为：
\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]
其中，\( (h, k) \) 是椭圆的中心坐标，\( a \) 和 \( b \) 分别是椭圆长轴和短轴的
长度。

通过这个标准方程公式，我们可以直观地看出椭圆的中心位置、长短轴的长度以及离心率的大小，这对于研究椭圆的性质和解决实际问题非常有帮助。

在实际应用中，椭圆的标准方程公式可以帮助我们解决很多问题。

比如在天文
学中，行星绕太阳运动的轨道就是椭圆，我们可以利用椭圆的标准方程公式来描述和预测行星的运动轨迹；在工程中，椭圆的形状也经常出现在机械设计、建筑结构等领域，我们可以通过椭圆的标准方程公式来计算和优化结构参数。

除了标准方程公式外，椭圆还有其他一些重要的性质和公式，比如椭圆的焦点、直径、离心率等。

这些性质和公式都可以通过标准方程来推导和解释，它们共同构成了椭圆这一重要几何图形的完整描述。

总之，椭圆的标准方程公式是描述椭圆形状的重要工具，通过这个公式我们可
以清晰地了解椭圆的性质和特点。

在实际应用中，椭圆的标准方程公式也具有重要的意义，它可以帮助我们解决很多实际问题。

因此，对椭圆的标准方程公式及其相关知识点进行深入学习和理解，对于提高数学水平和应用能力都是非常有益的。

希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。

高二数学椭圆的标准方程2

( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2，
整理得： a 2 cx a ( x c ) 2 y 2．两边再平方得：
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．
2
2
2
2
建立直角坐标系
列等式代坐标
设坐标
化简方程
根据已知条件求椭圆的标准方程： (1) 确定焦点所在的位置，选择标准方程的形式； (2) 求解 a ， b 的值，写出椭圆的标准方程．
；喵吉亚洲电竞；
到咯北天丶而目前能够查到の,有关北天の线索,只有自己见过の壹些文字和九龙珠环,还有就是星空银河兽小银,别の史料记载等等の,毫无记载丶根汉只是出去咯壹个多时辰,便将这八件宝物给全部拿到手咯,这个效率还是极高の,不仅如此,根汉还锁定咯几条潜在の线索,其中就是这枚九龙珠子珠の来源丶据那个掌柜の所知,送这枚珠子去他店里の,是壹个住在郊外の兽亭大魔神,是壹个兽修部落の小首领,他们约好咯三天后还在这里交易丶因为对方可能还会有九龙珠送上门来,当然只不过他们不知道这是什么珠子,这个掌柜の收来之后,也壹直就没有卖出去过,甚至还没有拿给过一些顾客看,就被根汉给寻上门来咯丶"既然还有三天,三天后咱再来吧。"根汉心满意足の笑咯笑,今天这壹天出来闲逛,收获还真是出乎预料丶刚离开这片交易市场,根汉来到外面の壹条有些老旧の街道上,就在这里遇到咯壹个熟人丶是在系主府内遇到の那个尤家姐妹俩当中の,尤落落,她正在这里,和壹个黑袍人在角落里,不知道在那里做什么商量什么事情丶这个黑袍人の实力也不弱,同样是壹位挺强大の魔系,境界可能与她差不多,都是初阶魔系丶根汉迅速の扫咯扫对

2.2.1椭圆及其标准方程(2)

y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12

椭圆及其标准方程

椭圆的第二定义
25 x|，解：设 M 到直线 l 的距离为 d ，则 d | 4 | MF | 4 T3 | MF | ( x 4) 2 y 2 对比P50 且 d 5 2 2 2 2 x y ( x 4) y 4 化简得 1 得 25 9 25 5 | x| 4
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程得： 1 25 16
又∵ A、B、 C 三点不共线，∴ y 0 .
x y 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
2 214ຫໍສະໝຸດ 作业P49 习题 A组 T6 T7
B组 T1 T2 T3
15
7
4．求焦点在坐标轴上，且经过点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 的椭圆的标准方程。
解法二：设椭圆的方程为 mx2 ny 2 1,(m 0, n 0) 由点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 代入得 1 m 3m 4n 1 15 ，解得， 12m n 1 n 1 5 x2 y 2 1 故所求的椭圆方程 15 5
13
练习：3.已知 B 、C 是两个定点， BC 6 ，且 △ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图 ,以直线 BC为 x 轴 ,线段 BC 的中点为原点 ,建立平面直角坐标系 ,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
8
2 2 x + y = 4 上的点的横坐标保持不变，例1 将圆
纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程，并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为M(x,y),圆上的对应点的坐标P(x1,y1), y

2.2.1椭圆的标准方程 (2)

（2）已知a 10，b 6；
（3）两个焦点坐标分别是（0，-2）、（0，2），且经过点（-
3 2
，5 ）； 2
椭圆标准方程的识别
已知方程： x2 y2 1
25 k k 9
（1）表示椭圆时实数k 的取值范围是______ （2）表示焦点在x 轴上的椭圆时实数的取值范围是_______ （3）表示焦点在y 轴上的椭圆时实数的取值范围是________ （4）椭圆的焦距长为6，则实数的值是_____
1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等，右边为“1”．
2．焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的分母较大，焦点在 y 轴上⇔标准方程中 y2 项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
1．椭圆的标准方程（分类），根据条件求椭圆标准方程 2．椭圆标准方程中字母的含义及三者之间的关系 3．椭圆方程本质特征的认识
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程
1．椭圆的定义：
平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2 )的点的轨迹
注意点：
1平面内
2到两个定点之和为定值 2a
32a F1F2
PF1 PF2 2a(2a 2c 0)
以F1，F2所在直线为 x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 xOy
F1，F2的坐标分别为 - c，0，c，0
设Px，y为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知
PF1 PF2 2a
x c2 y2 (x c)2 y2 2a
将这个方程移项后两边平方，得
y
▪o F1

高二 10 椭圆的定义及标准方程(2)

“杂点” 可不要忘了哟
椭圆及其标准方程应用
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定义的应用1
已知圆B : (x 1)2 y2 16及点A(1, 0), C为圆B上任一点，求线段AC的垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程.
【思路分析】分析条件发现 PA PB 4 2
定义的应用---三角形问题
已知椭圆 x2 9

y2 4
1的两个焦点F1、F2 ,
点P是椭圆上一点，当F1PF2 600 ,
则三角形F1PF2的面积是
y P
. 答案：4 3 3
【思路分析】
根据题意画出图形，观察图形，并将已知信息在图中标出，转化为解三角形问题，利用三角形中相关的知识进行求解.
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
椭圆及其标准方程应用
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1、已知F1、F2是定点，F1F2 =8，动点M 满足 MF1 MF2 8,则点M的轨迹是（） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2、如下图，F1、F2分别为椭圆
x a
2 2

y2 b2
设顶点A的坐标(x, y)
Q AB AC BC 16, BC 6
AB AC 10 6
由椭圆的定义可知
动点A的轨迹是以B, C为焦点的椭圆. 则方程为 x2 y2 1
25 16 又Q A, B,C三点不共线， y 0.
所求点A的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0) 25 16
方法
1、应对焦点的位置进行讨论：
一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b、c
的值.

高二数学椭圆的标准方程2

?
练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a=
6
,b=1,焦点在x轴上；
x2 6
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5； 25 16 (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； x y 1
2 2
y2
x2
1
16
12
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：
（1）必须在平面内; （2）两个定点---两点间距离确定; （3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
F1 F2
思考：在同样的绳长下，两定点间距离 Nhomakorabea长，则所画出的椭圆较扁（线段）;两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）.由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．

♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：坐标法（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式; （5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
M
o
F1
x
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2 F 1
M
图形
F 1
o
F2 x
o
x
方程焦点 a,b,c之间的关系

高二数学椭圆及其标准方程2

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过/甚至有生灵の利爪/直接抓到马开身上/到马开身上留下壹道血痕/ 生灵确定恐怖の/它们都虹咯眼睛/都拼命似の扑向马开/要为人形生灵报仇/舞动の力量/都确定最强の攻击/ 壹抓而下/要确定别の修行者肯定会被撕裂/但到马开身上只确定留下咯壹道血痕/这就确定它の肉身/强悍恐怖/ 马开横推而去/无敌天下般/真有至尊风范/强势の壹塌糊涂/到它手中抪知道沾染咯多少血液/真の如同战神/身上已经沾满咯血液/壹路杀伐而去/ 当然/它身上也留下咯抪少伤痕/血痕壹道道/触目惊心/ 上万の修行者/到这些生灵の厮杀下/只剩下五千抪到到咯/这确定惨烈の战斗/但每壹佫人依旧咬紧牙关/冲杀而去/此刻/唯有拼命壹搏/还有壹线生机/ 众人也到咯马开/马开身下已经尸骨堆积如山咯/抪知道被它斩杀咯多少生灵/尽管每壹佫人都见到马开身上触目惊心交错の血痕/但依旧心生敬畏/ 这数万の修行者/无数都冲杀向马开/到这样の围攻下/马开只确定伤痕累累根本抪算确定伤/马开の战斗力这次再次展现出来/ 着马开依旧声势如雷/如同战神壹样/抪少人都心中震动/这佫人真の确定越战越勇/杀咯这么多生灵/居然毫无力竭の趋势/ 杀戮依旧到持续/马开身上再次添加咯几道伤痕/身下の尸骨多咯许多/到它手中/抪知道死咯多少生灵/ "哈哈哈/如此大战/怎么能缺少我们/" 就到群雄和数万生灵交手の时候/壹佫响亮の声音响起来/随着这佫身影响起/恐怖の威严暴动而下/ 冰凌王/晴文婷/慕纤纤/龙华皇子这些强者都出现/身后还有无数の修行者跟随它们前来/也有数万之多/ 这些人参与进来/原本处于绝对下风の群雄这时候才缓咯壹口气/士气大涨の它们/冲杀向无数の生灵/开始疯狂の反扑起来/ 壹面倒の情况改变咯/两者开始势如破竹の厮杀起来/惨叫声抪绝于耳/时抪时有生命被斩杀/ 生灵到夺取修行者の精华/修行者到夺取生灵の血液/它

椭圆标准公式

椭圆标准公式椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个固定点分别称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴，椭圆的短轴长为2b。

椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆标准公式的推导。

我们可以通过椭圆的定义来推导出椭圆的标准方程。

假设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，那么根据椭圆的定义，点P(x,y)到F1和F2的距离之和等于常数2a，即有：\[PF1 + PF2 = 2a\]利用两点间距离公式，我们可以得到PF1和PF2的距离分别为：\[PF1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}\]\[PF2 = \sqrt{(x c)^2 + y^2}\]将PF1和PF2的距离代入到PF1 + PF2 = 2a中，得到：\[\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x c)^2 + y^2} = 2a\]整理得到：\[\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a \sqrt{(x c)^2 + y^2}\]两边平方得到：\[(x + c)^2 + y^2 = (2a \sqrt{(x c)^2 + y^2})^2\]展开得到：\[x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{(x c)^2 + y^2} + (x c)^2 + y^2\]化简得到：\[4a\sqrt{(x c)^2 + y^2} = 4a^2 x^2 2cx c^2\]再次整理得到：\[a^2(x^2 + 2cx + c^2) = a^2(4a^2 x^2 2cx c^2) a^2(x^2 c^2)\]\[a^2x^2 + 2a^2cx + a^2c^2 = 4a^4 a^2x^2 2a^2cx a^2c^2 a^2x^2 + a^2c^2\]合并同类项得到：\[2a^2x^2 + 2a^2c^2 = 4a^4 a^2x^2 a^2x^2\]继续化简得到：\[2a^2x^2 + a^2x^2 = 4a^4 2a^2c^2\]\[3a^2x^2 = 4a^4 2a^2c^2\]最终得到椭圆的标准方程：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中\[b^2 = a^2 c^2\]。