大学物理自测题下(黄皮书)机械波动要点及详细答案
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2 2 2
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小 相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。 2）在波传动过程中，任意质元的能量不守恒，所以波动过
程实质上是能量的传递过程。
惠更斯原理：在波的传播过程中，波面（波前）上的各点，
都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波 的包迹就成为新的波面。
v A sin( t 0 )
x A cos( t 0 )
1 1 2 2 E k mv E p kx 2 2 1 2 1 2 kA sin2 ( t 0 ) kA cos 2 ( t 0 ) 2 2
1 2 E E k E p kA 2
k 2 , T 2 m
m k
kT 2 200 0.04 2 m 2.0 (kg ) 2 2 4 4
解：由能量守恒定律可知：左右两侧所 处最高位置应该相等，即势能相等。
mg l 0.451 cos 1 mgl 1 cos 2
答案为（c)
1 1 1 弹簧串联： k k k'
T 2
k k' 2
m 2 k' 2m k
2
弹簧并联： k ' x kx kx mg
k ' 2k
m 2k
T
2
2
m 2 k'
５．一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1,如果简谐振动振幅 增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能 量E1变为： (A)E1/4 (B)E1/2 (C)2E1 (D)4E1 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
两根并联时
k ' 3k
1 2 2
k '' m
k '' 2k ' 6k
所以振动系统的频率为：（Ｂ）
解：
mg k1 x1 k2 x2 x1 nx2 mg k1 x1 k2 x2 kx x x1 x2
k2 nk1
1 1 1 k1 k2 k
cos(t )
A1 1 A2 2 1.5 1.2 1.05
注意这相当于两个振动而不是两列波 A1 10 / 2 A 20 0
o
2
x
频率相等，所以相位差等于初相差：
2 1 20 10 0 / 2 / 2
在波动的传播过程中，某质元任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相 位相同，同时达到最大，同时等于零。在平衡位置动能和势能同时达到最 t o, , b, d ,大值， 在最大位移处动能和势能同时为零. f
1 2 E kA 2
m T 2 / 2 k
1 4 2 m 2 E 2 A 2 T
坡因廷矢量
1 2 1 电磁波的能量密度： w E H 2 2 2
电磁波的能流密度(坡因廷矢量)： S wu
S EH S EH
E
S
H
1. 一轻弹簧,上端固定,下端挂有质量为m的重物，其自由振动 的周期为Ｔ．今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度 为v，加速度为a，试判下列计算倔强系数的公式中那个是 错误的：
8. 一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平 固定轴上，（如图所示），作成一复摆。已知 细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 J ml 2 / 3， 此摆作微小振动的周期为:
O
l
d 2 l mgl 转动定理： J mg sin 2 dt 2 2 d 2 mgl 0 2 dt 2J
T
波动方程
2
2
1
T u
2
u
y 2 y u 2 2 t x
平面简谐波的波动式
x y A cos (t ) u xyt振动图
O
u
x
o
x
波动图
p
波中各质点的总机械能为：
x E Ek E p A sin (t ) V u Ek E p
1 1 m(k1 k2 ) m 答案：C T 2 2 m 2 k k1k2 k1 k2
1、将一个劲度系数为k的弹簧一截为二，则一半长的弹簧的劲度
系数为多少？
解：设弹簧截断后的劲度系数为k1， k1，平衡时分别伸长了x1， x2，则
kx mg k1 x1 mg
1 1 2 2 2 E k mv kA sin ( t / 2) 2 2
动能之比为（Ｄ）2:1
解：弹性力所做的功等于动能的变化量，所以半个 周期所做的功为零。
E kA2/2 o x t E
Ep
Ek
E p Ek
T
t
12.一列机械横波在t时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能 量为最大值的媒质质元的位置是： (A) o, b, d , f (C) o, d (B) a, c, e, g (D) b, f
kx mg k1 x1 k2 x2 mg
k k1 k2 k3
x x1 x2
3、把一根弹簧在其一半处折叠成一根双股弹簧，其弹簧的劲度
系数为多少？
k ' 2k
k '' 2k ' 4k
解：截成三等份，设每等份的倔强系数为 k ' , 则
1 1 1 1 k' k' k' k
mgl 2J
2l 3g
周期为:
T
2
2
2J 2 mgl
９. 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正 方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段 路程所需要的时间为
(A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．
解：采用旋转矢量法：
总能量变为（Ｄ）
6.一物体作简谐振动，振动方程 x A cos(t / 2)，则该物体 在t=0时刻的动能与t =T/8 (T为振动周期)时刻的动能之比为：
(A)1:4 解：动能为
(B)1:2
（C)1:1 (D)2:1
1 2 2 Ek kA sin t=0时刻， 2 2 1 2 2 T t=T/8时刻， Ek kA sin 2 8 2 1 2 2 2 1 2 2 3 kA sin kA sin 2 8 2 2 4
多普勒效应
u v0 ' u vs
v0 观察者向着波源运动 + ，远离 - ；
vs 波源向着观察者运动 - ，远离 + 。
电磁波的性质
x E E0 cos (t ) c
y
H
x H H0 cos (t ) c
平面电磁波
o
z
E
u x
u
c
r r
E H
1 cos 1 mgl 1.5 1 cos 2 mg l 0.45 1.05 2 1 1 2sin 2 1 / 2 1 1 cos 1 1.5 2 1 cos 2 1 1 2sin 2 / 2 2 1.05
x x1 x2 , x A cos(t )
A A A 2 A1 A2 cos(2 1 )
2 1 2 2
x x1 x2
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
波的周期 T 、频率 v 和波长 之间的关系
k 0,1, 2,3,...
称为波程差：
2
,
r2 r1
2k 1 , 2
k 0,1, 2,3,...
驻波方程
相邻波腹或相邻波节间的距离都为：
x 2
波节两侧的点振动相位相反，波节之间的点其振动相位相同。
半波损失
当波从波疏媒质入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失； 当波从波密媒质入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失。
简谐振动微分方程
其通解为： x
d x 2 x 0 2 dt
简谐振动的运动学方程
2
A cos(t )
A, ,
v0
利用初始条件确定
A
x0 2 (
)2
v0 tan x0
T 2
2 2 T
1 T 2
简谐振动的旋转矢量表示法
3. 劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在 一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个 竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为：
解：设弹簧串联后弹簧的劲度系数为k， 平衡时伸长了x,则
k1 k2 m
kx mg k1 x1 mg
x x1 x2
k2 x2 mg
1 1 1 1 k k1 k2 k3
t=t A
t+0
0
A t=0
x X
o
x A cos(t 0 )
简谐振动系统机械能守恒
1 2 1 2 1 2 机械能 E E p Ek kx mv kA 2 2 2 同方向、同频率的两个简谐振动的合成 A A x1 (t ) A1 cos(t 1 ) 2 x2 (t ) A2 cos(t 2 ) A1 2 1 x1 x2 合振动 :
波的相干条件
1.具有相同的频率 2.振动方向相同 3.具有恒定的相位差
2 (20 10 ) (r2 r1 ) 2k k 0,1, 2,3,...
A2 A12 A22 2 A1 A2 cos
(2k 1)
k 2k
( A)k mv
2 max
/x
2 max
( B)k mg / x
( D)k ma / x
(C )k 4 m / T
2
2
1 1 2 ( A) mvmax kxmax 2 2 2
(C ) k 2 , T 2 m
( D) F kx ma
m k
2. 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点， 位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有 一个小物体落到盘上并粘住，如果以新的平衡位置为原点， 设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅， 且以小物体与盘相碰时为计时零点，那么新的位移表示式的 初相在：
(A) 0～π/2之间。 (B) π/2～π之间。
(C) π～3π/2之间。 (D) 3π/2～2π之间。
解：位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小物体
落到盘上，则振子系统向下还是向上运动？ 考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小 于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。 采用旋转矢量法可知初相位在第四象限。
x x1 x2
k2 x2 mg
1 1 1 k k1 k2
k1 k2 2k
将劲度系数为k的弹簧平分为N段，则一段弹簧的劲度系数为：
k ' Nk
2、将两根劲度系数分别为k1和k2的弹簧两端固定，在两弹簧中间 连接一个质量为m的物体，合成后的弹簧的劲度系数为多少？
解：设弹簧并联后的劲度系数为k，平衡时伸长了x，则
3
解:与标准方程比较:
x y A cos[ (t ) 0 ] u A cos[t x 0 ] u
相邻波腹或相邻波节间的距离都为：
x 2 x 4
相邻波腹与波节间的距离为：
F kx
40 k 0.2
k 40 0.2 200N / m
A2 20 3 / 4
o
2 A2 / 2
x
2 A2 2
10 3 / 2
3 / 2 3 / 4 3 / 4
A1
x x1 x2 0.05 2cos t 11 /12 cos 2 / 3 0.05 cos t 11 /12 0.05 cos t /12
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小 相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。 2）在波传动过程中，任意质元的能量不守恒，所以波动过
程实质上是能量的传递过程。
惠更斯原理：在波的传播过程中，波面（波前）上的各点，
都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波 的包迹就成为新的波面。
v A sin( t 0 )
x A cos( t 0 )
1 1 2 2 E k mv E p kx 2 2 1 2 1 2 kA sin2 ( t 0 ) kA cos 2 ( t 0 ) 2 2
1 2 E E k E p kA 2
k 2 , T 2 m
m k
kT 2 200 0.04 2 m 2.0 (kg ) 2 2 4 4
解：由能量守恒定律可知：左右两侧所 处最高位置应该相等，即势能相等。
mg l 0.451 cos 1 mgl 1 cos 2
答案为（c)
1 1 1 弹簧串联： k k k'
T 2
k k' 2
m 2 k' 2m k
2
弹簧并联： k ' x kx kx mg
k ' 2k
m 2k
T
2
2
m 2 k'
５．一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1,如果简谐振动振幅 增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能 量E1变为： (A)E1/4 (B)E1/2 (C)2E1 (D)4E1 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
两根并联时
k ' 3k
1 2 2
k '' m
k '' 2k ' 6k
所以振动系统的频率为：（Ｂ）
解：
mg k1 x1 k2 x2 x1 nx2 mg k1 x1 k2 x2 kx x x1 x2
k2 nk1
1 1 1 k1 k2 k
cos(t )
A1 1 A2 2 1.5 1.2 1.05
注意这相当于两个振动而不是两列波 A1 10 / 2 A 20 0
o
2
x
频率相等，所以相位差等于初相差：
2 1 20 10 0 / 2 / 2
在波动的传播过程中，某质元任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相 位相同，同时达到最大，同时等于零。在平衡位置动能和势能同时达到最 t o, , b, d ,大值， 在最大位移处动能和势能同时为零. f
1 2 E kA 2
m T 2 / 2 k
1 4 2 m 2 E 2 A 2 T
坡因廷矢量
1 2 1 电磁波的能量密度： w E H 2 2 2
电磁波的能流密度(坡因廷矢量)： S wu
S EH S EH
E
S
H
1. 一轻弹簧,上端固定,下端挂有质量为m的重物，其自由振动 的周期为Ｔ．今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度 为v，加速度为a，试判下列计算倔强系数的公式中那个是 错误的：
8. 一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平 固定轴上，（如图所示），作成一复摆。已知 细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 J ml 2 / 3， 此摆作微小振动的周期为:
O
l
d 2 l mgl 转动定理： J mg sin 2 dt 2 2 d 2 mgl 0 2 dt 2J
T
波动方程
2
2
1
T u
2
u
y 2 y u 2 2 t x
平面简谐波的波动式
x y A cos (t ) u xyt振动图
O
u
x
o
x
波动图
p
波中各质点的总机械能为：
x E Ek E p A sin (t ) V u Ek E p
1 1 m(k1 k2 ) m 答案：C T 2 2 m 2 k k1k2 k1 k2
1、将一个劲度系数为k的弹簧一截为二，则一半长的弹簧的劲度
系数为多少？
解：设弹簧截断后的劲度系数为k1， k1，平衡时分别伸长了x1， x2，则
kx mg k1 x1 mg
1 1 2 2 2 E k mv kA sin ( t / 2) 2 2
动能之比为（Ｄ）2:1
解：弹性力所做的功等于动能的变化量，所以半个 周期所做的功为零。
E kA2/2 o x t E
Ep
Ek
E p Ek
T
t
12.一列机械横波在t时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能 量为最大值的媒质质元的位置是： (A) o, b, d , f (C) o, d (B) a, c, e, g (D) b, f
kx mg k1 x1 k2 x2 mg
k k1 k2 k3
x x1 x2
3、把一根弹簧在其一半处折叠成一根双股弹簧，其弹簧的劲度
系数为多少？
k ' 2k
k '' 2k ' 4k
解：截成三等份，设每等份的倔强系数为 k ' , 则
1 1 1 1 k' k' k' k
mgl 2J
2l 3g
周期为:
T
2
2
2J 2 mgl
９. 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正 方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段 路程所需要的时间为
(A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．
解：采用旋转矢量法：
总能量变为（Ｄ）
6.一物体作简谐振动，振动方程 x A cos(t / 2)，则该物体 在t=0时刻的动能与t =T/8 (T为振动周期)时刻的动能之比为：
(A)1:4 解：动能为
(B)1:2
（C)1:1 (D)2:1
1 2 2 Ek kA sin t=0时刻， 2 2 1 2 2 T t=T/8时刻， Ek kA sin 2 8 2 1 2 2 2 1 2 2 3 kA sin kA sin 2 8 2 2 4
多普勒效应
u v0 ' u vs
v0 观察者向着波源运动 + ，远离 - ；
vs 波源向着观察者运动 - ，远离 + 。
电磁波的性质
x E E0 cos (t ) c
y
H
x H H0 cos (t ) c
平面电磁波
o
z
E
u x
u
c
r r
E H
1 cos 1 mgl 1.5 1 cos 2 mg l 0.45 1.05 2 1 1 2sin 2 1 / 2 1 1 cos 1 1.5 2 1 cos 2 1 1 2sin 2 / 2 2 1.05
x x1 x2 , x A cos(t )
A A A 2 A1 A2 cos(2 1 )
2 1 2 2
x x1 x2
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
波的周期 T 、频率 v 和波长 之间的关系
k 0,1, 2,3,...
称为波程差：
2
,
r2 r1
2k 1 , 2
k 0,1, 2,3,...
驻波方程
相邻波腹或相邻波节间的距离都为：
x 2
波节两侧的点振动相位相反，波节之间的点其振动相位相同。
半波损失
当波从波疏媒质入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失； 当波从波密媒质入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失。
简谐振动微分方程
其通解为： x
d x 2 x 0 2 dt
简谐振动的运动学方程
2
A cos(t )
A, ,
v0
利用初始条件确定
A
x0 2 (
)2
v0 tan x0
T 2
2 2 T
1 T 2
简谐振动的旋转矢量表示法
3. 劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在 一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个 竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为：
解：设弹簧串联后弹簧的劲度系数为k， 平衡时伸长了x,则
k1 k2 m
kx mg k1 x1 mg
x x1 x2
k2 x2 mg
1 1 1 1 k k1 k2 k3
t=t A
t+0
0
A t=0
x X
o
x A cos(t 0 )
简谐振动系统机械能守恒
1 2 1 2 1 2 机械能 E E p Ek kx mv kA 2 2 2 同方向、同频率的两个简谐振动的合成 A A x1 (t ) A1 cos(t 1 ) 2 x2 (t ) A2 cos(t 2 ) A1 2 1 x1 x2 合振动 :
波的相干条件
1.具有相同的频率 2.振动方向相同 3.具有恒定的相位差
2 (20 10 ) (r2 r1 ) 2k k 0,1, 2,3,...
A2 A12 A22 2 A1 A2 cos
(2k 1)
k 2k
( A)k mv
2 max
/x
2 max
( B)k mg / x
( D)k ma / x
(C )k 4 m / T
2
2
1 1 2 ( A) mvmax kxmax 2 2 2
(C ) k 2 , T 2 m
( D) F kx ma
m k
2. 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点， 位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有 一个小物体落到盘上并粘住，如果以新的平衡位置为原点， 设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅， 且以小物体与盘相碰时为计时零点，那么新的位移表示式的 初相在：
(A) 0～π/2之间。 (B) π/2～π之间。
(C) π～3π/2之间。 (D) 3π/2～2π之间。
解：位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小物体
落到盘上，则振子系统向下还是向上运动？ 考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小 于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。 采用旋转矢量法可知初相位在第四象限。
x x1 x2
k2 x2 mg
1 1 1 k k1 k2
k1 k2 2k
将劲度系数为k的弹簧平分为N段，则一段弹簧的劲度系数为：
k ' Nk
2、将两根劲度系数分别为k1和k2的弹簧两端固定，在两弹簧中间 连接一个质量为m的物体，合成后的弹簧的劲度系数为多少？
解：设弹簧并联后的劲度系数为k，平衡时伸长了x，则
3
解:与标准方程比较:
x y A cos[ (t ) 0 ] u A cos[t x 0 ] u
相邻波腹或相邻波节间的距离都为：
x 2 x 4
相邻波腹与波节间的距离为：
F kx
40 k 0.2
k 40 0.2 200N / m
A2 20 3 / 4
o
2 A2 / 2
x
2 A2 2
10 3 / 2
3 / 2 3 / 4 3 / 4
A1
x x1 x2 0.05 2cos t 11 /12 cos 2 / 3 0.05 cos t 11 /12 0.05 cos t /12