物理光学6 (1)

通常定义，振幅峰值的 1 宽为有效空间频率带宽。
（或 2 , 或 1 2
e ）所对应的空频带
1 波动光学基础
1.4 实际光波与理想光波
由
1.4.2 波在空域和时域中的反比关系
sin x f x sinc x f x x f x
f x sin x f 2 2 x sinc x f x 2 x 2
分别是 g( x , y , z ) 在x、y、z方向的空 间展宽和其频谱在相应方向的空间频率展宽。
1 波动光学基础
1.4 实际光波与理想光波
1.4.3 球面波与平面波之间的转化关系
•
•
在此前的研究中, 集中研究球面波和平面波的理由在于:
球面波,或来自实际点源, 或来自波前上的次波源. 经典 波动光学以球面波为基元研究波的干涉和衍射. • 平面波是现代光学中的基元, 任意复杂波前都可以通过 傅立叶分析方法分解为一系列平面波的叠加. • 平面波经透镜可以转化为球面波; 球面波在一定远距离 之外可以具有平面波的特点.
1 波动光学基础
1.4 实际光波与理想光波
1.4.1实际光波的分解与分析
f A（k）被称为函数 g(x)的傅立叶变换，常以算符F记之
x
A(k ) F g ( x)
1
g(x)被称为函数A（k）的傅立叶逆变换，常以算符F-1记之 g ( x) F g(x)和A（k）称为空间域中的一傅立叶变换对
有
f sin x x f 2 2 sinc x x f 2 x x 2
得
f x f x sin x sin x 2 2 4 f f x x x x 2 2
g(x) G( f x ) exp(i2f x x)df x
2．上式中G(fx)为基元简谐波 exp( i 2f x x) 的复振幅， G(fx)随fx的分布
g(x)称为空间频率谱。 G( f x ) g(x) exp(i2f x x)dx
空间频率谱G(fx)是空间函数g(x)的傅立叶变换。
G(
x
A(k )
g ( x) A(k )
f 利用傅立叶级数和傅立叶积分可以把任意一个非简谐的复 至此已经清楚： )随 )为基元简谐波 杂波动分解为许多单色波的组合 ． f
x
fx
fx
fx
即：
1．空间函数g(x)可表示为空间频率fx 连续分布的无限多基元简谐波
fx fx
exp( i 2f x x) 的叠加积分：
显然， exp[i 2 ( f x x f y y f z z )]是三维基元函数； G ( f x , f y , f z )是对应基元函数exp[i 2 ( f x x f y y f z z )] 的复振幅， 也就是 g( x , y , z ) 的三维空间频谱．
x , y , z 和 f x , f y , f z
A0 , An , Bn 称为傅立叶系数，
A , A ,B 决定周期函数g(x)的系数 A0 , An , Bn 的过程称为傅立叶分折。
0 n n
以空间角频率为横坐标，振幅为纵坐标所作的图叫做傅立叶分析的频 谱图。
周期性复杂波的频谱图解是一些离散的线，所以它的频谱是离散频谱。
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1.4 实际光波与理想光波
这一定理又可写为如下形式：
A0 g x An cosnkx Bn sinnkx 2 n 1
——如果g(x)是代表一个以空间角频率k沿x方向传播的周期性复杂波，那 么, 这个复杂波可以分解为许多空间角频率为k、2k、3k…的简谐波之和.
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1.4 实际光波与理想光波
1.周期性复杂波的分析
1.4 实际光波与理想光波
付里叶级数定理：具有空间周期 的函数g(x)可以表示成周期为
分数倍（即
的整
, / 2 , / 3等）的简谐函数之和，即
2 2 g x a0 a1 cos x 1 a 2 cos x .... 2 2
f 显然，若把函数g(x)中的自变量看成时间变量，并依惯例写成 g(t)，
x
v
前面所有分析和结论仍然成立，只需将空间量改换成相应的时间量 , 即x换为t，空间频率f换为时间频率ν，波的空间宽度Δx换为在同一处 振动的延续时间Δt，相应地就有
g (t ) G (v) exp( i 2vt)dv
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1.4 实际光波与理想光波
1.4.3 球面波与平面波之间的转化
2. 远场条件/相位条件 ---- z 2
相位因子可忽略的小量应当是远小于π
• • • • •
即: 当 时, 可以认为
∴ 在球面波的波前函数中
0
0
x2 y 2 若 k 2z
1.4.1实际光波的分解与分析
傅立叶级数也可以表示为复数形式：
g ( x)
其中系数
n
inkx C e n

Cn
0
1

g ( x)e inkx dx
仍然是频率为k（基频）、nk的简谐波成分对应的振幅。
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1.4.1实际光波的分解与分析
1 波动光学基础
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1.4.3 球面波与平面波之间的转化
一、球面波向平面波的转化: • 1、旁轴条件/振幅条件 ---- z 2 2 a1 • 若点光源在坐标原点，则xoy平面内的波前函数为： E x,y exp ikr r 2
• 其中： r
x y x y z z 2z
•
z
2
条件下的波前函数:
a1 E x, y 2 2 x y z
1 波动光学基础
第1章 波动光学基础
§1.1 光的波动性质 *§1.2 光波的函数表述 *§1.3 光的偏振态 §1.4 实际光波与理想光波 *§1.5 光在介质界面的反射与折射
1 波动光学基础
§1.4 实际光波与理想光波
1. 实际光波的分解与分析 2. 波在时、空域中的反比关系 3.球面波与平面波之间的转化关系
1 波动光学基础
1.4 实际光波与理想光波
任意实际光波都可以表示成(有限或无限)多个单色 简谐波的叠加。 求已知光波的各个谐波组分(振幅及相对相位)的方 法常使用傅立叶(J.B.J.Fourier)分析方法, 其实质就是 进行波在(时间或空间)频率域的分解。
1 波动光学基础 1.4.1实际光波的分解与分析
2.非周期性复杂波的分析
傅立叶积分定理 : 一个非周期函数g(x)可以分解为无限多个简谐波，即 可用积分表示为
1 g ( x) 2
其中



A(k )e ikx dk
Ak g( x )e ikxdx

是g(x)的空间频率谱，它—般为复数，其绝对值(模)表示该谐波的振幅， 其辐角表示相位． 非周期性波可以分解为无限多个简谐波，这些简谐波的振幅随空间 角频率k的变化关系就是A(k)——空间频率谱。 由于非周期波包含无限多个简谐分波，两个“相邻”分波的频率相 差无穷小，因此非周期波的频谱是连续频谱。
x f x sin x f x 2
x f x 1
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1.4 实际光波与理想光波
1.4.2 波在空域和时域中的反比关系
2. 时、空频谱及其反比关系
由 x f x 1 可以看到，波的空间宽度与该方向的空间频率带宽 成反比 。 因此可以得知，波的空间有限性一定对应其空间频率谱的一定宽度。 。
1.4.1实际光波的分解与分析
A0 , An , Bn
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0 2 An g ( x ) cosnkx dx 0 2 Bn g ( x ) sinnkx dx 0 A0 2

g ( x )dx
A0 , An , Bn 是频率为k（基频）、nk的简谐波成分对应的振幅 。
→
z x 2 y 2 2


ikr ikz • 则相位因子 • • 注意: 此时振幅系数中的二次项无法忽略 • 即: 2 2
e
e
a1 a1 r
x y z 2z

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1.4.3 球面波与平面波之间的转化
1 波动光学基础
1.4.2 波在空域和时域中的反比关系 1. 归一化频谱函数及空频带宽度
令 Gmax k Amax k
1.4 实际光波与理想光波



g( x )e ikxdx 1 所得到的频谱函数叫作 ~
x 例： F rect x sinc f x x x
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1.4 实际光波与理想光波
1.4.2 波在空域和时域中的反比关系
在三维空间:
G( f x , f y , f z ) F g x, y, z g( x, y, z ) exp[ i 2 ( f x x f y y f z z )]dxdydz
2 2 2 2 2
2 2 x y
3z
3

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1.4 实际光波与理想光波
• 若
1.4.3 球面波与平面波之间的转化
z 2 x 2 y2
a1 r a1 z
2 2 x y ikz exp ikr e exp ik 2z
g( x, y, z ) F 1 G f x , f y , f z G( f x , f y , f z ) exp[i 2 ( f x x f y y f z z )]df x df y df z


x f x 1， y f y 1， z f z 1
x 1 g ( x) rect x 0
x
x 2 x为其它值
sin( x) sin c( x) , x
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1.4.2 波在空域和时域中的反比关系
·
归一化的频谱 sinc( x f x ) 只在一定频段有较大值。 也就是说，其所 包含的频率成分中，振幅大小分布差别很大。
G (v ) g (t ) exp( i 2vt)dt
t 1
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1.4.2 波在空域和时域中的反比关系
x f x 1, t 1 分别表明了波在空域和时域中的反比关系
对行波来说，波函数中既有时间变量，又有空间变量。 若考察某一给定时刻的波形，它可看做是空间的函数； 若考察某一给定场点的振动，它又可看做是时间的函数。 由于波列在给定点的延续时间 t 与其沿传播方向的纵向空间展宽 x (即波列长度) 通过波速V联系起来( x V t )，对波在时域中的限制必然 会带来空域中的限制，反之亦然。 结论：在时、空域对波的任何限制, 均会引起其在相应频域的展宽, 而且限制 愈甚，展宽愈大。 例：沿z轴方向传播的单色波，垂直经过有限宽度的狭缝后，将导致其在 垂直于原传播方向的空间频率从无到有。
• 则
• ∴
x 2 y2 a1 E x, y exp ik z 2z
ikz e
• 这个波函数的特点是： • ①振幅是常数，具有平面波特点； • ②相位因子是二次因子，不是线性因子。 所以 z 2 x 2 y2 被称为球面波向平面波转化的振幅条件。