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2023年高考数学试题全国卷2(文)全解全析

2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号．不能答在试卷卷上．3．本卷共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．参考公式:如果事件A B ，互斥,那么球地表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R=如果事件A B ，相互独立,那么其中R 表示球地半径()()()P A B P A P B = 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是p ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次地概率其中R 表示球地半径()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-= ，，，，一、选择题1．若sin 0α<且tan 0α>是,则α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】C【解析】sin 0α<,α在三、四象限；tan 0α>,α在一、三象限,∴选C2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（）A ．{}01，B ．{}101-，， C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【解析】B【解析】{}1,0,1,2--=M ,{}3,2,1,0,1-=N ,∴{}1,0,1-=N M 【高考考点】集合地运算,整数集地符号识别3．原点到直线052=-+y x 地距离为（）A ．1B ．3C ．2D ．5【解析】D 【解析】52152=+-=d 【高考考点】点到直线地距离公式4．函数1()f x x x=-地图像关于（）A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称【解析】C 【解析】1()f x x x=-是奇函数,所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性地性质5．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，,则（）A ．a <b <c B ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a【解析】C【解析】由0ln 111<<-⇒<<-x x e ,令x t ln =且取21-=t 知b <a <c 6．设变量x y ，满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥,则y x z 3-=地最小值为（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【解析】D【解析】如图作出可行域,知可行域地顶点是A （－2,2）、B(32,32)及C(－2,－2) 于是8)(min -=A z 7．设曲线2ax y =在点（1,a ）处地切线与直线062=--y x 平行,则=a （）A ．1B ．12C ．12-D ．1-【解析】A【解析】ax y 2'=,于是切线地斜率a y k x 2'1===,∴有122=⇒=a a 8．正四棱锥地侧棱长为32,侧棱与底面所成地角为︒60,则该棱锥地体积为（）A ．3 B ．6C ．9D ．18【解析】B【解析】高360sin 32＝︒=h ,又因底面正方形地对角线等于32,∴底面积为 6332212=⨯⨯⨯=S ,∴体积63631=⨯⨯=V 【备考提示】在底面积地计算时,要注意多思则少算9．44)1()1(x x +-地展开式中x 地系数是（）A ．4-B ．3- C ．3D ．4【解析】A【解析】41666141404242404-=-+=-+C C C C C C 【易错提醒】容易漏掉1414C C 项或该项地负号10．函数x x x f cos sin )(-=地最大值为（）A ．1 B ． 2C ．3D ．2【解析】B【解析】4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f ,所以最大值是2【高考考点】三角函数中化为一个角地三角函数问题【备考提示】三角函数中化为一个角地三角函数问题是三角函数在高考中地热点问题11．设ABC △是等腰三角形,120ABC ∠=,则以A B ，为焦点且过点C 地双曲线地离心率为（）A ．221+B ．231+C ． 21+D ．31+【解析】B【解析】由题意BC c =2,所以c c AC 3260sin 220=⨯⨯=,由双曲线地定义,有c a c c BC AC a )13(2322-=⇒-=-=,∴231131+=-==a c e 【高考考点】双曲线地有关性质,双曲线第一定义地应用12．已知球地半径为2,相互垂直地两个平面分别截球面得两个圆．若两圆地公共弦长为2,则两圆地圆心距等于（）A ．1 B ．2C ．3D ．2【解析】C【解析】设两圆地圆心分别为1O 、2O ,球心为O ,公共弦为AB,其中点为E,则21EO OO 为矩形,于是对角线OE O O =21,而3122222=-=-=AE OA OE ,∴321=O O 【高考考点】球地有关概念,两平面垂直地性质2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．把解析填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线,则=λ ．【解析】 2【解析】λ+a b ＝)32,2(++λλ则向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线274322=⇒--=++⇔λλλ14．从10名男同学,6名女同学中选3名参加体能测试,则选到地3名同学中既有男同学又有女同学地不同选法共有种（用数字作答）【解析】 420【解析】4202701501621026110=+=+C C C C 15．已知F 是抛物线24C y x =：地焦点,A B ，是C 上地两个点,线段AB 地中点为(22)M ，,则ABF △地面积等于．【解析】 2【解析】设过M 地直线方程为)2(2-=-x k y ,由0)1(444)2(22222=-+-⇒⎩⎨⎧=-=-k kx x k xy x k y ∴k x x 421=+,2221)1(4kk x x -=,由题意144=⇒=k k ,于是直线方程为x y = 421=+x x ,021=x x ,∴24=AB ,焦点F （1,0）到直线x y =地距离21=d ∴ABF △地面积是216．平面内地一个四边形为平行四边形地充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中地一个四棱柱为平行六面体地两个充要条件:充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确地两个充要条件）【解析】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注:上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确解析,同样给分．三、解答题:本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中,5cos 13A =-,3cos 5B =．（Ⅰ）求sinC 地值；（Ⅱ）设5BC =,求ABC △地面积．18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ，，成等比数列,求数列{}n a 前20项地和20S ．19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知,甲击中8环,9环,10环地概率分别为0.6,0.3,0.1,乙击中8环,9环,10环地概率分别为0.4,0.4,0.2．设甲、乙地射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中地环数多于乙击中环数地概率；（Ⅱ）求在独立地三轮比赛中,至少有两轮甲击中地环数多于乙击中环数地概率．20．（本小题满分12分）如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,124AA AB ==,点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明:1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --地大小．21．（本小题满分12分）设a ∈R ,函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =地极值点,求a 地值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，,在0=x 处取得最大值,求a 地取值范围．ABC D EA 1B 1C 1D 122．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它地两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =,求k 地值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积地最大值．2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷（必修+选修Ⅰ）参考解析和评分参考评分说明:∙∙∙1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生地解法与本解答不同,可根据试卷地主要考查内容比照评分参考制订相应地评分细则．∙∙∙2．对计算题,当考生地解答在某一步出现错误时,如果后继部分地解答未改变该题地内容和难度,可视影响地程度决定后继部分地给分,但不得超过该部分正确解答应得分数地一半；如果后继部分地解答有较严重地错误,就不再给分．3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得地累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题13．2 14．420 15．216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注:上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确解析,同样给分．三、解答题17．解:（Ⅰ）由5cos 13A =-,得12sin 13A =,由3cos 5B =,得4sin 5B =．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分所以ABC △地面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．解:设数列{}n a 地公差为d ,则3410a a d d =-=-,642102a a d d =+=+,1046106a a d d =+=+．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =,即2(10)(106)(102)d d d -+=+,整理得210100d d -=,解得0d =或1d =．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分当0d =时,20420200S a ==．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分当1d =时,14310317a a d =-=-⨯=,于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．解:记12A A ，分别表示甲击中9环,10环,12B B ，分别表示乙击中8环,9环,A 表示在一轮比赛中甲击中地环数多于乙击中地环数,B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中地环数多于乙击中地环数,12C C ，分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中地环数．（Ⅰ）112122A A B A B A B =++ ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++ 112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ 0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（Ⅱ）12B C C =+,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分22213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=,332()[()]0.20.008P C P A ===,1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．解法一:依题设,2AB =,1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ,则BD AC ⊥．由三垂线定理知,1BD A C ⊥．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分在平面1A CA 内,连结EF 交1A C 于点G ,由于1AA ACFC CE==,故1Rt Rt A AC FCE △∽△,1AA C CFE ∠=∠,CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直,所以1A C ⊥平面BED ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（Ⅱ）作GH DE ⊥,垂足为H ,连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥,故1A HG ∠是二面角1A DE B --地平面角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分EF ==,CE CF CG EF ⨯==,EG ==13EG EF =,13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1A C ==,11A G A C CG =-=．11tan A GA HG HG∠==所以二面角1A DE B --地大小为arctan ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分解法二:以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴地正半轴,建立如下图所示直角坐标系D xyz -．依题设,1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．AB CDE A 1B 1C 1D 1FH G(021)(220)DE DB ==，，，，，,11(224)(204)A C DA =--= ，，，，，．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分（Ⅰ）因为10A C DB = ,10A C DE =,故1A C BD ⊥,1A C DE ⊥．又DB DE D = ,所以1A C ⊥平面DBE ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 地法向量,则DE ⊥ n ,1DA ⊥ n ．故20y z +=,240x z +=．令1y =,则2z =-,4x =,(412)=-，，n ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分1A C <> ，n 等于二面角1A DE B --地平面角,111cos A C A C A C<>==，n n n ．所以二面角1A DE B --地大小为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．解:（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =地极值点,所以(2)0f '=,即6(22)0a -=,因此1a =．经验证,当1a =时,2x =是函数()y f x =地极值点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（Ⅱ）由题设,3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上地最大值为(0)g 时,(0)(2)g g ≥,即02024a -≥．故得65a ≤．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分反之,当65a ≤时,对任意[02]x ∈，,26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5xx x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤,而(0)0g =,故()g x 在区间[02]，上地最大值为(0)g ．综上,a 地取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（Ⅰ）解:依题设得椭圆地方程为2214x y +=,直线AB EF ，地方程分别为22x y +=,(0)y kx k =>．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中12x x <,且12x x ，满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+．所以212k =+,化简得2242560k k -+=,解得23k =或38k =．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（Ⅱ）解法一:根据点到直线地距离公式和①式知,点E F ，到AB 地距离分别为1h 2h ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分11又AB ==,所以四边形AEBF 地面积为121()2S AB h h =+12===≤当21k =,即当12k =时,上式取等号．所以S地最大值为．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分解法二:由题设,1BO =,2AO =．设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->,故四边形AEBF 地面积为BEF AEFS S S =+△△222x y =+∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分===,当222x y =时,上式取等号．所以S 地最大值为．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。

2023年高考真题及答案解析《数学文》(全国乙卷)

A ．24B ．264．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是（）A ．10πB ．5π5．已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则a(1)求证：EF //平面ADO ；(2)若120POF ∠=︒，求三棱锥-P 20．已知函数()(1ln 1f x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2)若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求21．已知椭圆2222:1(C b b x a a y +>=(1)求C 的方程；(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少7．C【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解【详解】因为区域(){}22,|14x y x y ≤+≤表示以的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.8．B【分析】写出2()3f x x a '=+，并求出极值点，转化为极大值大于【详解】3()2f x x ax =++，则f '若()f x 要存在3个零点，则()f x 令2()30f x x a '=+=，解得x =-且当,,33a ax ⎛⎫⎛⎫--∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当,33a a x ⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '<，故()f x 的极大值为3f a ⎛⎫⎪ ⎪-⎭-⎝，极小值为若()f x 要存在3个零点，则f f ⎧⎛-⎪ ⎪⎝⎨⎛⎪ ⎪ ⎝⎩故选：B.9．A【分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意得情况，即可得到概率【详解】甲有6种选择，乙也有6若甲、乙抽到的主题不同，则共有则其概率为305366=，故选：A.16．2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则3223sin 32AB r ACB ===∠，可得3r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接OA 因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；来源：高三答案公众号（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据61=3320．(1)()ln 2ln 20x y +-=；(2)1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即()0f x '≥在区间(0,()()()21ln 10g x ax x x x =+-++≥【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．22．(1)()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈(2)()(),022,-∞+∞-；23．(1)[2,2](2)6.【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -所以ABC 的面积12ABC S =。

2023年江西高考数学(文科)试卷及答案完整版

2023年江西高考数学(文科)试卷及答案_完整版高中数学（文科）教学指南高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学____两本书。

必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。

2023年高考数学(四川卷)(文科)(word版+答案)全解析

2023年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到8页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号。

不能答在试卷卷上。

3．本卷共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。

参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24RS π=如果事件A 、B 相互独立,那么其中R 表示球地半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是P,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次地概率其中R 表示球地半径kn k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。

1、设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4} ,则C U （A ∩B ）=（A ）{2,3} （B ） {1,4,5} （C ）{4,5} （D ）{1,5}2、函数1ln(21),()2y x x =+>-地反函数是（A ）11()2x y e x R =- ∈ （B ）21()x y e x R =- ∈ （C ） 1(1()2xy e x R =- ) ∈ （D ）21()xy e x R =- ∈3、设平面向量(3,5(2,1)a b = ) ,=- ,则2a b -=（A ）（7,3）（B ）（7,7）（C ）（1,7）（D ）（1,3）4、(tanx+cotx)cos 2x=（A ）tanx （B ）sinx （C ）cosx （D ）cotx 5、不等式2||2x x -<地解集为（A ）（－1,2）（B ）（－1,1）（C ）（－2,1）（D ）（－2,2）6、将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到地直线为（A ）1133y x =-+ （B ）113y x =-+ （C ）33y x =- （D ）31y x =+7、△ABC 地三个内角A 、B 、C 地对边边长分别是a b c 、、 ,若a =,A=2B,则cosB=（A ）（B （C （D学校班级姓名考号/密///////////封/////////////线/////////////内/////////////不/////////////要/////////////答/////////////题///////8、设M 是球O 地半径OP 地中点,分别过M 、O 作垂直于OP 地平面,截球面得到两个圆,则这两个圆地面积比值为（A ）14（B ）12（C ）23（D ）349、定义在R 上地函数()f x 满足:()(2)13,(1)2,f x f x f ∙+==则(99)f =（A ）13 （B ） 2 （C ）132（D ）21310、设直线l α⊂平面,过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角地直线有且只有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条11、已知双曲线22:1916x y C -=地左右焦点分别为F 1、F 2 ,P 为C 地右支上一点,且||||212PF F F =,则△PF 1F 2 地面积等于（A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）9612、若三棱柱地一个侧面是边长为2地正方形,另外两个侧面都是有一个内角为60°地菱形,则该棱柱地体积为（A（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题　共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。

23年文科数学全国三卷

23年文科数学全国三卷23年文科数学全国三卷第一题：选择题1. 下列函数中，在整个实数集上都是增函数的是：A. f(x) = 2^xB. f(x) = x^2 + 3x + 2C. f(x) = -2^xD. f(x) = -x^2 + 3x + 22. 已知函数f(x)在区间[-1,1]上的图像关于x轴对称，且f(x)的零点为x=0，若f(x)在该区间内取得最小值，则f(0)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 设函数f(x) = (x-2)^(2/3)，则f(g(3))的值为：A. 3B. 2C. 1D. 04. 已知函数f(x) = e^x * sin(x)，则f'(0)的值为：A. 0B. 1C. eD. e^25. 一列等差数列的首项为2，公差为3，若该数列的前n项和为Sn，则Sn的表达式为：A. 2n^2 + nB. n^2 + 2nC. 3n^2 + 3nD. n^2 + 3n第二题：解答题1. 已知直线L1过点A(-1,2)，斜率为2/3. 直线L2经过点B(4,-3)且与L1垂直，求直线L2的方程。

2. 已知圆心为O，直径为AB的圆与直线L1相交于点C和D，且OC > OD. 连接OC和OD并延长与AB交于点E，若OE = 9cm，OC = 12cm，求OD的长度。

3. 某城市年平均气温T（单位：摄氏度）与月份M的关系满足函数关系T(M) = -0.01M^3 + 0.2M^2 + 10M + 15.问该城市在哪个月份的平均气温最低？4. 若a和b是实数，方程(ax+2b)^2 + (ax+2b-3)^2 = 10ax + 12b - 30的解的个数为0，请问a和b的值应满足什么条件？5. 已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，其中a，b，c为实数. 若f(x) = 0有三个实根，且这三个实根互不相等，问a，b，c的取值范围。

2023贵州高考文科数学试卷+解析

2023贵州高考文科数学试卷+解析2023贵州高考文科数学试卷+解析高中数学常考知识点整理一、自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2、当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1、作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2、性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3、k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点;当b0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。

高中数学基础知识点总结1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.2.对集合，时，必须注意到“极端”情况：或;求集合的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.3.判断命题的真假关键是“抓住关联字词”;注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.4.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”;“非命题”的真假特点是“一真一假”.5.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.。

文科甲卷数学23选择题 -回复

文科甲卷数学23选择题 -回复一、概述近年来，我国高考数学试卷的难度逐渐增加，对文科生来说尤为明显。

其中，数学23选择题更是考验学生的逻辑思维和数学运算能力。

在本文中，我们将针对文科甲卷数学23选择题展开讨论，分析考点和解题方法，帮助学生更好地应对考试。

二、难点分析1. 等差数列和等比数列问题在23选择题中，等差数列和等比数列是常见的考点。

学生需要掌握等差数列和等比数列的概念、性质和常见公式，以便解答相关问题。

2. 函数与导数问题另外，函数与导数也是文科甲卷数学23选择题的难点之一。

学生需要熟练掌握函数的图像与性质，以及导数的计算方法和应用，才能解决相关题目。

3. 统计与概率问题统计与概率问题也是文科生难以应对的考点之一。

学生需要理解统计与概率的基本概念和方法，掌握相关的计算技巧，以解答相关问题。

三、解题技巧1. 理清思路，注意审题在解答选择题时，学生应该理清思路，注意审题，准确把握问题的要点，避免因题意理解不清而导致错误答案。

2. 熟练掌握基本概念和公式学生需要熟练掌握数学基本概念和公式，掌握解题的基本方法和技巧，提高解题效率。

3. 多做练习，总结归纳在备考过程中，学生应多做练习，总结归纳各种题型的解题方法，提高对各种考点的掌握程度，以便更好地应对考试。

四、学习资源推荐1. 教辅资料《高中数学-文科甲卷23选择题解析与讲解》《数学23选择题解题指导》2. 网络资源可通过网络评台下载相关的数学23选择题练习题和参考资料，例如知识、百度文库等。

五、结语文科甲卷数学23选择题考察了学生对数学基本概念和解题方法的掌握程度，具有一定的难度。

通过对考点的分析和解题技巧的探讨，相信学生能够更好地应对文科甲卷数学23选择题，取得满意的成绩。

希望本文能对广大学生有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异成绩。

六、解题示例为了更好地帮助学生应对文科甲卷数学23选择题，我们选取了一些典型的题目，进行详细的解题示例。

1. 题目1：已知等比数列 {an} 的公比 q=0.5，且 a1+a2=24，则a1=（）解题思路：首先要利用等比数列的性质来求解，根据等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，结合已知条件a1+a2=24，可以先利用公比关系式得出a2的表达式，然后再利用a1+a2=24来解得a1的值。

2022_年全国高考甲卷第23_题解析

２０２２年全国高考甲卷第２３题解析王大成(云南省玉溪第一中学ꎬ云南玉溪６５３１００)摘㊀要:每年高考试题中ꎬ都会有许多蕴含着丰富的数学素养㊁数学思想与方法的题目ꎬ一些前因后果需要教师从其背后去思考ꎬ去挖掘ꎬ从中探究出更多潜在价值ꎬ使高考试题真正发挥其应有的数学素养导向功能㊁科学选拔功能㊁教学志向功能.文章对２０２２年全国高考甲卷文科数学㊁理科数学第２３题的证法进行探究.关键词:高考试题ꎻ不等式ꎻ证法探究ꎻ数学素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００２７－０４收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:王大成ꎬ从事高中数学教学研究.１考题呈现题目㊀已知ａꎬｂꎬｃ均为正数ꎬ且ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ证明:(１)ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎻ(２)若ｂ＝２ｃꎬ则１ａ＋１ｃȡ３.这是２０２２年全国高考甲卷文㊁理数学第２３题.这是一道极其具有简约美的高考试题ꎬ是一道新颖别致㊁表述极为简洁明了㊁意境优雅㊁内涵丰富的好题ꎬ也是一道优质考题ꎬ综合考查了学生的多种核心数学素养ꎬ其求解需要学生具有一定的数学智慧与能力ꎬ特别是试题的第(２)问ꎬ计算量很小ꎬ但思考量很大ꎬ解法很灵活ꎬ对学生的数学素养要求很高ꎬ对学生的数学思维能力要求很强ꎬ对优秀层次的学生更有区分度.这道试题很值得我们去品味.２证法探究２.１第(１)问解析证法１㊀(平方转化法与均值不等式法相结合)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ所以(ａ＋ｂ＋２ｃ)２＝ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＋２ａｂ＋４ｂｃ＋４ａｃɤ３＋(ａ２＋ｂ２)＋(ｂ２＋４ｃ２)＋(ａ２＋４ｃ２)＝３＋２(ａ２＋ｂ２＋４ｃ２)＝９.又ａ㊁ｂ㊁ｃ均为正数ꎬ所以ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎬ当且仅当ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬａ＝ｂ＝２ｃꎬ{即ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.故ａ＋ｂ＋２ｃɤ３.证法２㊀(权方和不等式法)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ又ａ㊁ｂ㊁ｃ均为正数ꎬ所以由权方和不等式ꎬ得(ａ＋ｂ＋２ｃ)２１＋１＋１ɤａ２１＋ｂ２１＋４ｃ２１＝３.所以(ａ＋ｂ＋２ｃ)２ɤ９.所以ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎬ当且仅当ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬａ＝ｂ＝２ｃꎬ{即ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.故ａ＋ｂ＋２ｃɤ３.证法３㊀(柯西不等式法)由柯西不等式ꎬ得(１２＋１２＋１２)[ａ２＋ｂ２＋(２ｃ)２]ȡ(ａ＋ｂ＋２ｃ)２.因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ所以３ˑ３ȡ(ａ＋ｂ＋２ｃ)２.即ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎬ当且仅当ａ＝ｂ＝２ｃꎬａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ{即ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.故ａ＋ｂ＋２ｃɤ３.证法４㊀(均值不等式法)因为ａ２＋１ȡ２ａꎬｂ２＋１ȡ２ｂꎬ(２ｃ)２＋１ȡ４ｃꎬ所以ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＋３ȡ２ａ＋２ｂ＋４ｃ.又ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ所以６ȡ２ａ＋２ｂ＋４ｃ.所以ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎬ当且仅当ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.故ａ＋ｂ＋２ｃɤ３.２.２第(２)问解析证法１㊀(权方和不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.所以１ａ＋４ｃȡ１３.所以由权方和不等式ꎬ得１ａ＋１ｃ＝１２ａ＋２２４ｃȡ９ａ＋４ｃȡ３ꎬ当且仅当１ａ＝２４ｃꎬａ＝１ꎬｃ＝１２ꎬìîíïïïïïï即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法２㊀(柯西不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.所以１ａ＋４ｃȡ１３.因为１ａ＋１ｃ＝１ａ＋４４ｃꎬ由柯西不等式ꎬ得[(ａ)２＋(４ｃ)２][(１ａ)２＋(２４ｃ)２]ȡ(１＋２)２.所以１ａ＋４４ｃȡ９ａ＋４ｃȡ３ꎬ当且仅当ａ＋４ｃ＝３ꎬａ＝４ｃ２ꎬ{即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法３㊀(柯西不等式法)因为１ａ＋１ｃ＝１ａ＋２２ｃ＝１ａ＋１２ｃ＋１２ｃꎬ又ｂ＝２ｃꎬ所以１ａ＋１ｃ＝１ａ＋１ｂ＋１２ｃ.由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.即１ȡ１３(ａ＋ｂ＋２ｃ).所以１ａ＋１ｃ＝１ａ＋１ｂ＋１２ｃȡ１３(ａ＋ｂ＋２ｃ) (１ａ＋１ｂ＋１２ｃ)ȡ１３(ａ１ａ＋ｂ１ｂ＋２ｃ１２ｃ)２＝１３ˑ９＝３ꎬ当且仅当１３(ａ＋ｂ＋２ｃ)＝１ꎬａ＝ｂ＝２ｃꎬ{即ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.所以１ａ＋１ｃȡ３.证法４㊀(均值不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.所以１ａ＋１ｃ＝１３(３ａ＋３ｃ)ȡ１３(ａ＋４ｃａ＋ａ＋４ｃｃ)＝１３(１＋４ｃａ＋４＋ａｃ)ȡ１３(５＋２４ｃａ.ａｃ)＝３ꎬ当且仅当４ｃａ＝ａｃꎬａ＋４ｃ＝３ꎬ{即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法５㊀(均值不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.故３(１ａ＋１ｃ)ȡ(ａ＋４ｃ)(１ａ＋１ｃ)＝５＋４ｃａ＋ａｃȡ５＋２４ｃａ.ａｃ＝９ꎬ当且仅当４ｃａ＝ａｃꎬａ＋４ｃ＝３ꎬ{即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法６㊀(柯西不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.故１ȡ１３(ａ＋４ｃ).从而１ａ＋１ｃȡ１３(ａ＋４ｃ)(１ａ＋１ｃ)ȡ１３(ａ１ａ＋２ｃ１ｃ)２＝１３ˑ９＝３ꎬ当且仅当ａ＋４ｃ＝３ꎬａ＝２ｃꎬ{即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.评注㊀证法５与证法６本质上是同一种证法.证法７㊀(均值不等式法)由ｂ＝２ｃꎬ得(１ａ＋１ｃ)(ａ＋ｂ＋２ｃ)＝(１ａ＋１ｃ)(ａ＋４ｃ)＝５＋４ｃａ＋ａｃȡ５＋２４ｃａ.ａｃ＝９ꎬ所以１ａ＋１ｃȡ９１ａ＋ｂ＋２ｃ.由(１)可得１ａ＋ｂ＋２ｃȡ１３.故１ａ＋１ｃȡ９１ａ＋ｂ＋２ｃȡ９ˑ１３＝３ꎬ当且仅当ａ＝２ｃꎬａ＋ｂ＋２ｃ＝３ꎬｂ＝２ｃꎬìîíïïï即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.从而１ａ＋１ｃȡ３.证法８㊀(导数法)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬｂ＝２ｃꎬ所以ａ２＋８ｃ２＝３.所以ａ＝３－８ｃ２(０<ｃ<６４).所以１ａ＋１ｃ＝１３－８ｃ２＋１ｃ＝(３－８ｃ２)－１２＋ｃ－１.令ｆ(ｃ)＝(３－８ｃ２)－１２＋ｃ－１(０<ｃ<６４)ꎬ则ｆᶄ(ｃ)＝８ｃ(３－８ｃ２)－３２－ｃ－２(０<ｃ<６４).由ｆᶄ(ｃ)>０ꎬ得１２<ｃ<６４ꎻ由ｆᶄ(ｃ)<０ꎬ得０<ｃ<１２.所以ｆ(ｃ)在(０ꎬ１２)上单调递减ꎬ在[１２ꎬ６４)上单调递增.所以ｆ(ｃ)ȡｆ(１２)＝(３－８ˑ１４)－１２＋２＝３.所以１ａ＋１ｃȡ３.评注㊀通过代换㊁构造函数㊁求导来证明不等式ꎬ不失为一种好的方法.证法９㊀(三角换元法与导数法相结合)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬｂ＝２ｃꎬ所以ａ２＋８ｃ２＝３.由此可设ａ＝３ｃｏｓθꎬｃ＝３２２ｓｉｎθìîíïïïï(０<θ<π２)ꎬ则１ａ＋１ｃ＝１３(１ｃｏｓθ＋２２ｓｉｎθ)(０<θ<π２).令ｔ＝ｃｏｓθ(０<ｔ<１)ꎬ则１ａ＋１ｃ＝１３(１ｔ＋２２１－ｔ)(０<ｔ<１).设ｆ(ｔ)＝１３(１ｔ＋２２１－ｔ)(０<ｔ<１)ꎬ则ｆᶄ(ｔ)＝－１２３[１ｔ３/２－２２(１－ｔ)３/２].由ｆᶄ(ｔ)>０ꎬ得１>ｔ>１３ꎻ由ｆᶄ(ｔ)<０ꎬ得０<ｔ<１３.所以函数ｆ(ｔ)在(０ꎬ１３)上单调递减ꎬ在[１３ꎬ１)上单调递增.所以ｆ(ｔ)ȡｆ(１３)＝１３[(１３)－１２＋２２(２３)－１２]＝１３(３＋２２３２)＝３.从而ｆ(ｔ)ȡ３ꎬ当且仅当ｔ＝１３ꎬ即ｃｏｓθ＝３３时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法１０㊀(三角换元法与均值不等式法相结合)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬｂ＝２ｃꎬ所以ａ２＋８ｃ２＝３.㊀由此可设ａ＝３ｃｏｓθꎬｃ＝３２２ｓｉｎθìîíïïïï(０<θ<π２)ꎬ则１ａ＋１ｃ＝１３(１ｃｏｓθ＋２２ｓｉｎθ)(０<θ<π２).令ｙ＝１ｃｏｓθ＋２２ｓｉｎθ(ｙ>０)ꎬ则１＝１ｙｃｏｓθ＋２２ｙｓｉｎθ.于是２＋１＝２ｙｃｏｓθ＋２ˑ２２ｙｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝１ｙｃｏｓθ＋１ｙｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ＋２２ｙｓｉｎθ＋２２ｙｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θȡ３３(１ｙｃｏｓθ)２.ｃｏｓ２θ＋３３(２２ｙｓｉｎθ)２.ｓｉｎ２θ＝３(ｙ－２３＋２ｙ－２３).即３ȡ３(ｙ－２３＋２ｙ－２３)ꎬ解得ｙȡ３３ꎬ当且仅当１ｙｃｏｓθ＝ｃｏｓ２θꎬ２２ｙｓｉｎθ＝ｓｉｎ２θꎬìîíïïïï即ｃｏｓθ＝３３(０<θ<π２)等号成立.所以１ａ＋１ｃ＝１３ｙȡ１３ˑ３３＝３.故１ａ＋１ｃȡ３.评注㊀运用证法９㊁证法１０的思路ꎬ可快速解决如下问题:如ꎬ求函数ｙ＝ｓｉｎｘ２＋２ｓｉｎｘ(０<ｘ<π)ꎬｙ＝６３ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ(０<ｘ<π２)ꎬｙ＝１ｓｉｎｘ＋３３ｃｏｓｘ(０<ｘ<π２)ꎬｙ＝２７ｓｉｎｘ＋６４ｃｏｓｘ(０<ｘ<π２)ꎬｙ＝３ｃｏｓｘ＋２ｓｉｎｘ(０<ｘ<π２)ꎬｙ＝ｓｉｎｘ＋１ｓｉｎ２ｘ(０<ｘ<π)ꎬｙ＝ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ＋１ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ的值域(最值).这道高考试题平淡中彰显数学智慧㊁数学素养ꎬ具有很好的教学导向功能.我们一线数学教师的教学应与时俱进ꎬ运用好高考试题的教学导向功能ꎬ真正让学生的数学素养落地生根.参考文献:[１]人民教育出版社ꎬ课程教材研究所ꎬ中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书数学[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１４.[２]杜志建.２０２２年高考试题汇编数学[Ｍ].乌鲁木齐:新疆青少年出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]。

2023年高考真题文科数学新课标卷解析版

一般高等学校招生全国统一考试文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前, 考生务必将自己旳姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡对应位置上.2.问答第Ⅰ卷时.选出每题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目旳答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦洁净后, 再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题: 本大题共12小题, 每题5分, 在每题给同旳四个选项中, 只有一项是符合题目规定旳.1、已知集合A={x|x2－x －2<0}, B={x|－1<x<1}, 则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅【解析】集合 , 又 , 因此B 是A 旳真子集, 选B.【答案】B2.复数z ＝－3+i 2+i 旳共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i【解析】 , 因此其共轭复数为 , 选D.【答案】D3.在一组样本数据（x1, y1）, （x2, y2）, …, （xn, yn ）（n ≥2, x1,x2,…,xn 不全相等）旳散点图中, 若所有样本点（xi, yi ）(i=1,2,…,n)都在直线y= x+1上, 则这组样本数据旳样本有关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1【解析】根据样子有关系数旳定义可知, 当所有样本点都在直线上时, 有关系数为1, 选D.【答案】D4. 设是椭圆旳左、右焦点, 为直线上一点,是底角为旳等腰三角形, 则旳离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解析】由于是底角为旳等腰三角形, 则有 , , 由于 , 因此 , , 因此 , 即 , 因此 , 即 , 因此椭圆旳离心率为 , 选C.【答案】C5.已知正三角形ABC 旳顶点A(1,1), B(1,3), 顶点C 在第一象限, 若点（x, y ）在△ABC 内部, 则z=－x+y 旳取值范围是（A ）(1－ , 2) （B ）(0, 2) （C ）( －1, 2) （D ）(0, 1+ )【解析】做出三角形旳区域如图 , 由图象可知当直线通过点B 时, 截距最大, 此时 , 当直线通过点C 时, 直线截距最小.由于轴, 因此 ,三角形旳边长为2, 设 , 则 , 解得 , , 由于顶点C 在第一象限, 因此 , 即代入直线得 , 因此旳取值范围是 , 选A.【答案】A6.假如执行右边旳程序框图, 输入正整数N(N ≥2)和实数a1,a2,…,aN, 输出A,B, 则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 旳和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 旳算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大旳数和最小旳数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小旳数和最大旳数【解析】根据程序框图可知, 这是一种数据大小比较旳程序, 其中A为最大值, B为最小值, 选C.【答案】C7.如图, 网格纸上小正方形旳边长为, 粗线画出旳是某几何体旳三视图, 则此几何体旳体积为（）()A6()B9()C12()D18【解析】选由三视图可知, 该几何体是三棱锥, 底面是俯视图, 高为, 因此几何体旳体积为,选B.【答案】B8.平面α截球O 旳球面所得圆旳半径为1, 球心O 到平面α旳距离为 , 则此球旳体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π【解析】球半径 , 因此球旳体积为 , 选B.【答案】B9.已知ω>0, , 直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像旳两条相邻旳对称轴, 则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【解析】由于和是函数图象中相邻旳对称轴, 因此 , 即 .又 , 因此 , 因此 , 由于是函数旳对称轴因此 , 因此 , 由于 , 因此 , 检查知此时也为对称轴, 因此选A.【答案】A10.等轴双曲线旳中心在原点, 焦点在轴上, 与抛物线旳准线交于两点, ；则旳实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】设等轴双曲线方程为 , 抛物线旳准线为 , 由 ,则 ,把坐标代入双曲线方程得 , 因此双曲线方程为 , 即 , 因此 , 因此实轴长 , 选C.【答案】C11.当0<x ≤ 时, 4x<logax, 则a 旳取值范围是（A ）(0, ) （B ）( , 1) （C ）(1, ) （D ）( , 2)【解析】当时, 显然不成立.若时当时, , 此时对数 , 解得 , 根据对数旳图象和性质可知, 要使在时恒成立, 则有 , 如图选B.【答案】B12.数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n －1, 则{an}旳前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830【解析】由得,12]12)1[()1(12)1(112++-+--=++-=-++n n a n a a n n n n n n 12)12()1(++--+-=n n a n n ，即 , 也有 , 两式相加得 , 设为整数,则10`164)14(4)1(21444342414+=+++--=++++++++k k a a a a k k k k k ，于是1830)10`16()(1404434241414060=+=+++=∑∑=++++=k a a a a S K k k k k K 【答案】D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第22-24题为选考题, 考生根据规定作答.二．填空题：本大题共4小题, 每题5分.(13)曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处旳切线方程为________【解析】函数旳导数为 , 因此在旳切线斜率为, 因此切线方程为 , 即 .【答案】34-=x y(14)等比数列{an}旳前n 项和为Sn, 若S3+3S2=0, 则公比q=_______【解析】显然公比 , 设首项为 , 则由 , 得 , 即 , 即 , 即 , 因此 , 解得 .【答案】2-(15)已知向量夹角为 , 且；则【解析】由于 , 因此 , 即 , 因此 , 整顿得 , 解得或（舍去）.【答案】 (16)设函数f(x)= 旳最大值为M, 最小值为m, 则M+m=____【解析】 , 令 , 则为奇函数, 对于一种奇函数来说, 其最大值与最小值之和为0, 即 , 而 , , 因此 .【答案】2三、解答题: 解答应写出文字阐明, 证明过程或演算环节.（17）（本小题满分12分）(1)已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C旳对边, c = asinC－ccosA(2)求A若a=2, △ABC旳面积为, 求b,c18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元旳价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝10元旳价格发售.假如当日卖不完, 剩余旳玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当日旳利润y(单位:元)有关当日需求量n14 15 16 17 18 19 20（单位:枝，n∈N）旳函数解析式.（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花旳日需求量（单位：枝）, 整顿得下表：日需求量n频数 10 20 16 16 15 13 10(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花, 求这100天旳日利润（单位: 元）旳平均数；(2)若花店一天购进17枝玫瑰花, 以100天记录旳各需求量旳频率作为各需求量发生旳概率, 求当日旳利润不少于75元旳概率.（19）（本小题满分12分）如图, 三棱柱ABC －A1B1C1中, 侧棱垂直底面, ∠ACB=90°, AC=BC= AA1, D 是棱AA1旳中点 (Ｉ)证明: 平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分, 求这两部分体积旳比.B 1C B AD C 1 A 1（20）（本小题满分12分）设抛物线C: x2=2py(p>0)旳焦点为F, 准线为l, A为C上一点, 已知以F为圆心, FA为半径旳圆F 交l于B, D两点.（I）若∠BFD=90°,△ABD旳面积为4 , 求p旳值及圆F旳方程；（II）若A, B, F三点在同一直线m上, 直线n与m平行, 且n与C只有一种公共点, 求坐标原点到m, n距离旳比值.（21）（本小题满分12分）设函数f(x)= e x－ax－2(Ⅰ)求f(x)旳单调区间(Ⅱ)若a=1, k为整数, 且当x>0时, (x－k) f´(x)+x+1>0, 求k旳最大值请考生在第22,23,24题中任选一题做答, 假如多做, 则按所做旳第一题计分, 做答时请写清晰题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1: 几何证明选讲如图, D, E 分别为△ABC 边AB, AC 旳中点, 直线DE 交△ABC 旳外接圆于F, G 两点, 若CF//AB, 证明：FG D EABC (Ⅰ)CD=BC ；(Ⅱ)△BCD ∽△GBD(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C1旳参数方程是(φ为参数), 以坐标原点为极点, x轴旳正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2旳极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD旳顶点都在C2上, 且A.B.C.D以逆时针次序排列, 点A旳极坐标为(2, )(Ⅰ)求点A.B.C.D 旳直角坐标；(Ⅱ)设P为C1上任意一点, 求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2旳取值范围.（24）（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.(Ⅰ)当a =－3时, 求不等式f(x)≥3旳解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|旳解集包括[1,2], 求a旳取值范围.。

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训练目标(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破. 训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围. 解题策略 (1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.1．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2的最大值和最小正周期；(2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x的值．2．已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)．(1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间； (2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .3．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，a ∈R ，(1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋1，若对任意x 1∈(0，＋∞)，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．4．(2015·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2.(1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝⎛⎭⎫23n .5．(2015·山东济宁育才中学上学期期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝12ax 2－ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)讨论f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案解析1．解 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2，可得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1，其最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由f (x )＝2f ′(x )，易得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，解得tan x ＝13. ∴1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x＝116. 2．(1)解当a ＝12时，f (x )＝12x －e x .f ′(x )＝12－e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2. 当x <－ln 2时，f ′(x )>0；当x >－ln 2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－ln 2)；单调递减区间为(－ln 2，＋∞)．(2)证明令F (x )＝x －f (x )＝e x －(a －1)x ，①当a ＝1时，F (x )＝e x >0，∴f (x )≤x 成立．②当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x －(a －1)＝e x －e ln(a－1)，∴当x <ln(a －1)时，F ′(x )<0；当x >ln(a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，ln(a －1))上单调递减，在(ln(a －1)，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (ln(a －1))＝e ln(a－1)－(a －1)·ln(a －1)＝(a －1)[1－ln(a －1)]，∵1<a ≤1＋e ， ∴a －1>0,1－ln(a －1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0，∴F (x )≥0，即f (x )≤x 成立．综上，当1≤a ≤1＋e 时，f (x )≤x .3．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)． ①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a ，在区间(0，－1a)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．在区间(－1a，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，f (x )的单调递减区间为(－1a，＋∞)． (2)由已知，转化为f (x )max <g (x )max ，又g (x )max ＝g (0)＝1.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，即f (x )max ＝f (－1a )＝－1＋ln(－1a)＝－1－ln(－a )，所以1>－1－ln(－a )，解得a <－1e 2. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1e 2)． 4．(1)解当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1. (2)证明因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎝⎛⎭⎫23＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝⎛⎭⎫23n ≥1－2×⎝⎛⎭⎫232＞0，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内单调递增，因此f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n 1－a n －1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝⎛⎭⎫23n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫23n . 5．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－ln x (x >0)，f ′(x )＝x －1x，x >0， ∴k ＝f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为0.(2)f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x，x >0. 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a a (负值舍去)．当x ∈(0，a a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a a )上单调递减；当x ∈(a a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a a，＋∞)上单调递增． (3)存在a ∈(0，e 3)，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根．理由如下：由(2)可知当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，方程f (x )＝2不可能有两个不等的实数根；当a >0时，函数f (x )在(0，a a )上单调递减，在(a a，＋∞)上单调递增，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根，等价于函数f (x )的极小值f (a a )<2，即f (a a )＝12＋12ln a <2，解得0<a <e 3，所以a 的取值范围是(0，e 3)．。

高考数学精炼23 文

一、选择题1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：圆直径的两端点为A (0,2)，B (2,0)，故圆心为(1,1)，半径为2，其方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案： B2．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么下列直线中经过圆心的直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析： (x －1)2＋(y ＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，而(1，－3)满足2x ＋y ＋1＝0. ∴直线2x ＋y ＋1＝0过圆心．答案： C3．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－15＜a ＜1B ．a ＞1或a ＜－15C ．－15≤a ＜1D ．a ≥1或a ≤－15解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2a y ＝2x ＋a，得P (a,3a )，∴(a －1)2＋(3a －1)2＜4，∴－15＜a ＜1，故应选A.答案： A4．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0 解析：由圆的几何性质知k PQ ·k OM ＝－1，∵k OM ＝2，∴k PQ ＝－12.故直线PQ 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案： B5．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：作图可知圆心(1,0)到P 点距离为2，所以P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，其轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案： B6．方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆解析：原方程即⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1.|x |－1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1x ≤－1.故原方程表示两个半圆．答案： D 二、填空题7．圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点，则圆的方程为______________．解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以，两直线的交点即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以，圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.答案： (x －2)2＋(y －1)2＝28．已知OP →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ →满足O P →＋O Q →＝0，则动点Q 的轨迹方程是______________．解析：设Q (x ，y )，由O P →＋O Q →＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4.答案： (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝49．若实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则y x的最大值为________．解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝－ 3.答案： 3 三、解答题10．已知直线l 1：4x ＋y ＝0，直线l 2：x ＋y －1＝0以及l 2上一点P (3，－2)．求圆心C 在l 1上且与直线l 2相切于点P 的圆的方程．解析：设圆心为C (a ，b )，半径为r ，依题意，得b ＝－4a . 又PC ⊥l 2，直线l 2的斜率k 2＝－1，∴过P ，C 两点的直线的斜率k PC ＝－2－－4a3－a ＝1，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝|PC |＝2 2.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析方法代码108001106】解析： (1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8，∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O . ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8ba＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0.∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －42＋y 2＝16x ＋22＋y －22＝8. 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长． 12．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程.【解析方法代码108001107】解析：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |. 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为2r .故2|b |＝2r ，得r 2＝2b 2，又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，得2b 2－a 2＝1.又因为P (a ，b )到直线x －2y ＝0的距离为55，得d ＝|a －2b |5＝55，即有a －2b ＝±1，综前述得⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.于是r 2＝2b 2＝2.所求圆的方程是：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.。

高考数学基础知识专题训练23文试题

根底知识专题训练23一、考试要求二、根底知识 1．圆的方程〔1〕圆的HY 方程：_______________________。

圆心为_________，半径为________ 〔2〕圆的一般方程________________________，圆心为点_______，半径_________________。

注：二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是： _________________________。

注：求圆的方程常用的方法：待定系数法〔HY 方程或者一般方程〕；数形结合求圆心、半径 2．直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种〔22BA C Bb Aa d +++=〕：〔1〕假设相离⇔>r d ；〔2〕相切⇔=r d ；〔3〕相交⇔<r d 。

注：还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断. 直线与圆相交的弦长公式： ①几何方法：222d r AB -=；②代数方法：]4))[(1(22B A B A x x x x k AB -++=3．两圆位置关系的断定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。

外离⇔+>21r r d ；外切⇔+=21r r d ；相交⇔+<<-2121r r d r r ；内切⇔-=21r r d ；内含⇔-<<210r r d ；判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公一共解的个数来解决。

4．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的间隔与半径的大小关系。

点），（00y x P ,圆的方程：()()222r b -y a x =+-假如()()22b -y a x +- _____2r ⇔点），（00y x P 在圆外；假如()()22b -y a x +-______2r ⇔点），（00y x P 在圆内；假如()()22b -y a x +-______2r ⇔点），（00y x P 在圆上。

高考文科数学23题

高考文科数学23题高考文科数学23题1. 题目描述高考文科数学23题是一道与概率与统计相关的题目。

题目要求学生根据给定的条件计算概率或统计量。

2. 解题思路高考文科数学23题主要考察学生对概率与统计知识的理解与运用能力。

在解题过程中，学生需要注意以下几点：- 阅读题目，理解题目要求。

- 根据题目中给定的条件，确定解题的基本信息。

- 运用概率与统计的知识，进行计算或推理。

- 对计算结果进行合理解释。

3. 具体步骤下面，我们通过一个具体的例子来解释如何解答高考文科数学23题。

例题：某班级共有60名学生，其中40名男生、20名女生。

从班级中随机选取3名学生，求至少有一名男生的概率。

解题步骤：步骤1：明确基本信息。

这道题给出了班级总人数和男女生的分布情况。

步骤2：确定求解目标。

我们需要计算至少有一名男生的概率。

步骤3：计算总样本空间。

因为从班级中随机选取3名学生，所以总样本空间为C(60, 3)。

步骤4：计算不包含男生的样本空间。

在班级中没有男生的情况下，选取3名学生的样本空间为C(20, 3)。

步骤5：计算至少有一名男生的概率。

至少有一名男生的概率 = 1 - 不包含男生的概率 = 1 - (C(20, 3)/C(60, 3)).步骤6：进行计算。

根据步骤5的公式，可以计算出至少有一名男生的概率。

4. 解题技巧在解答高考文科数学23题时，学生可以运用以下几个技巧来提高解题效率：- 注意转化题目要求。

有时候题目可能会给出的条件相对复杂，但通过转化可以简化计算。

- 灵活使用组合数计算公式。

组合数计算公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!] 可以帮助学生计算样本空间的大小。

- 注意计算过程中的四舍五入问题。

在计算概率或统计量时，学生需要注意四舍五入的处理，确保结果的准确性和合理性。

5. 总结通过解答高考文科数学23题，学生可以提高对概率与统计知识的理解和应用能力。

在解题过程中，学生需要灵活运用相关的计算公式和技巧，并注意结果的准确性和合理性。

2020届高考文数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第23题+不等式选讲+Word版含答案 (1)

常考题型大通关：第23题不等式选讲1、已知函数()()12f x x x m m R =-++∈.（1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[]0,1x ∈上有解，求实数m 的取值范围.2、已知函数12f x x x =+--（）．（1）求不等式1f x ≥（）的解集；（2）若不等式2–f x x x m ≥+（）的解集非空，求m 的取值范围 3、设函数()2221f x x x a =---.(1).若2a =，求不等式()0f x <的解集；(2).若不等式()3f x >存在实数解，求实数a 的取值范围.4、已知函数()31f x x m x m =----．（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集；（2）对任意的R x ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围．5、已知函数()2f x x a x =-++.1.若1a =,解不等式2()1f x x ≤-;2.若0,0,0a b c >>>,且()f x 的最小值为4b c --,求证112a b c+≥+. 6、已知不等式21214x x ++-<的解集为M .(1)求集合M ；(2)设实数,a M b M ∈∈，证明:1ab a b +≤+.7、已知函数()22,f x x x a a R =-++∈.(1)当1a =时,解不等式()3f x ≥(2)若存在0x 满足00()25f x x +-<,求a 的取值范围.8、选修4-5:不等式选讲设函数()52f x x a x =-+--.(1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集;(2)若()1f x ≤,求a 的取值范围.9、[选修4-5:不等式选讲]已知函数()1f x x a x =---1.当2?a =时,求不等式()01f x <≤的解集2.若(0,)x ∀∈+∞,()23f x a ≤-,求a 的取值范围10、[选修4—5:不等式选讲] 已知函数()221f x x x =+--.1.求()5f x >-的解集;2.若关于 x 的不等式|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(0)a ≠能成立,求实数 m 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为1223x x -+--≤解得43x ≥-，所以413x -≤≤-；若11x -<<，则原不等式可化为1223x x -++≤解得0x ≤，所以10x -<≤；若1x ≥，则原不等式可化为1223x x -++≤解得23x ≤，所以x ∈∅．综上不等式的解集为4|03x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222x x m x -≤+≤-解得223x m x -≤≤-，又由题意知()()min max 223x m x --≤≤-，所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-．解析：2答案及解析：答案：（1）()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩＜＞当1x -＜时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤当2x ＞时，由()1f x ≥解得2x ＞.所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥.（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而22235512+1+2=--+244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤--+≤ ⎪⎝⎭且当32x =时，2512=4x x x x +---+. 故m 的取值范围为5-4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，解析：3答案及解析：答案：(1).若2a =，由()0f x <，得22140x x ---<，即2214x x -<-，即222214x x -<-，424221816x x x x -+<-+得2615x <，解得x <<故不等式()0f x <的解集是⎛ ⎝⎭(2).“不等式()3f x >存在实数解”等价于“不等式22213x x a --->存在实数解”. 因为()()2222222111x x a x x a a ---≤---=-，所以213a ->，即213a ->或213a -<-，解得2a >或2a <-.故实数a 的取值范围是()(),22,-∞-+∞U解析：4答案及解析：答案：(,3)-∞；1123m -≤≤ 解析：（1）()141f x x x =---<，所以11(4)1x x x <⎧⎨---<⎩或141(4)1x x x ≤≤⎧⎨---<⎩或4141x x x >⎧⎨--+<⎩．解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞．（2）当31m m +>，12m >-时，由题得2必须在31m +的右边或者31m +重合，所以231m ≥+；∴12m ≤，所以1123m -<≤；当1310,2m m +==-时，不等式恒成立；当131,2m m m +<<-时，由题得2必须在31m +的左边或者与31m +重合，由题得1231,3m m ≤+≥，所以m 没有解．综上，1123m -≤≤．5答案及解析：答案：1.【解】当1a =时，21,2,()3,21,21,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩①当2x <-时，由2()1f x x ≤-得；220x x +≥,所以2x <-;②当21x -≤≤时，由2()1f x x ≤-得24x ≥,所以2x =-;③当1x >时，由2()1f x x ≤-得2220x x --≥,所以1x ≥+综上可得不等式2()1f x x ≤-的解集为{|21x x x ≤-≥+或.2.【证明】因为()2()(2)2f x x a x x a x a =-++≥--+=+，当2x a -≤≤时，()f x 取到最小值2a +，所以24a b c +=--,即2a b c ++=, 所以1111()()22a b c a b c a b c ++=++=++12()2c a b a b c +++≥+12+，当且仅当2()2c a b a b c+=+，即a b c +=时等号成立解析：6答案及解析：答案：(1)设()2121f x x x =++-，则()f x =14,2112,2214,2x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，函数()f x 的图像如图，因为()4f x <，由图可得11x -<<，所以集合{}|11M x x =-<<(2)因为a M b M ∈∉,，所以1a <，1b ≥. 所以()1ab a b +-+1ab a b =+--()()110a b =-⋅-≤，所以1ab a b +≤+.解析：7答案及解析：答案：(1)[)2,0,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦(2)91a -<< 解析：8答案及解析：答案：(1)当1a =时()512f x x x =-+--.()0f x ≥即5120x x ----≥即215x x -++≤①当1x ≤-时,原不等式可化为:125x x ---+≤即121240x x x ≤-⎧⇒-≤≤-⎨--≤⎩②当2x ≥时,原不等式可化为:125x x ++-≤即223260x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩③当12x -<<时,原不等式可化为:125x x ++-≤1235x -<<⎧⎨≤⎩恒成立12x ⇒-<< 综上()0f x ≥得解集为[]2,3-.(2)()1f x ≤恒成立即24x a x ++-≥恒成立 ∵2()(2)2x a x x a x a ++-≥+--=+ ∴24a +≥即2a ≥或6a ≤-∴实数a 的取值范围为(][),62,-∞⋃+∞.解析：9答案及解析：答案：1.当2?a =时,因为()()()21211f x x x x x =---≤---=, 所以()1f x ≤的解集为R ,由()0f x >,得21x x ->-,则2221x x ->-,即22421x x x x ->-+,解得32x <, 故不等式()01f x <≤的解集为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭; 2.当()0,0,a x ≤∈+∞时, ()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧=---=⎨--<<⎩,则()()2max 113f x f a a ==-≤-,又0a ≤,所以a ≤. 当[)01,1,a x <<∈+∞时, ()2103f x a a =->>-,故01a <<不合题意, 当()1,0,a x ≥∈+∞时, ()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=- 当且仅当01x <≤时等号成立,则231a a -≥-,又1a ≥,所以2?a ≥ 综上: a的取值范围为[),2,⎛-∞+∞ ⎝⎦U . 解析：10答案及解析：答案：1. 3 , 21()2213 1 ,2213 , 2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩故()5f x >-的解集为(2,8)-2.由|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-,(0)a ≠能成立, 得22(1)b a b ax x m a +--≥++-能成立,即2211b b x x m a a+--≥++-能成立,令b t a=,则221(1)t t x x m +--≥++-能成立, 由1知, 52212t t +--≤ 又∵11x x m m ++-≥+ ∴512m +≤ ∴实数 m 的取值范围: 73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：。

2023全国甲卷数学文科

2023全国甲卷数学文科一、集合与常用逻辑用语本部分主要考察集合的基本概念、集合之间的关系、集合的运算以及常用逻辑用语。

重点考查的是对于集合概念的深入理解，以及对集合运算和逻辑推理的准确运用。

对于题目来说，以简单题和中等难度的题目为主。

二、函数概念与性质本部分主要考察函数的基本概念，函数的单调性、奇偶性和周期性，以及初等函数的性质和图象。

需要学生深入理解函数的基本概念和性质，并能准确应用这些性质解决相关问题。

这部分的题目难度较大，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。

三、导数的概念与应用本部分主要考察导数的概念、导数的计算、导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性、极值和最值。

这部分内容是高中数学的重点和难点，需要学生具备较高的数学思维能力和解决问题的能力。

题目难度较大，以难题为主。

四、三角函数与解三角形本部分主要考察三角函数的性质、图象和变换，以及解三角形的方法。

需要学生掌握三角函数的周期性、单调性、奇偶性和最值等性质，并能够运用这些性质解决相关问题。

同时，还需要学生掌握解三角形的方法，能够解决一些实际问题。

这部分的题目难度适中，以中等难度的题目为主。

五、平面向量本部分主要考察向量的概念、向量的运算以及向量的应用。

需要学生掌握向量的基本概念和运算规则，理解向量的数量积、向量积和向量的混合积等概念，并能够运用向量解决一些实际问题。

这部分的题目难度适中，以简单题和中等难度的题目为主。

六、数列与数列的递推公式本部分主要考察数列的概念、数列的通项公式以及数列的递推公式。

需要学生掌握数列的基本概念和性质，理解等差数列和等比数列的概念和性质，并能够运用数列的递推公式解决一些实际问题。

这部分的题目难度适中，以简单题和中等的题目为主。

七、空间几何体与点线面的位置关系本部分主要考察空间几何体的基本概念、空间几何体的表面积和体积以及点线面的位置关系。

需要学生掌握空间几何体的基本概念和性质，理解空间几何体的表面积和体积的计算方法，并能够运用这些知识解决一些实际问题。

2023广西高考文科数学试卷+答案

2023广西高考文科数学试卷+答案2023广西高考文科数学试卷+答案高中数学知识点总结一、平面的基本性质与推论1、平面的基本性质：公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2、空间点、直线、平面之间的位置关系：直线与直线—平行、相交、异面;直线与平面—平行、相交、直线属于该平面(线在面内，最易忽视);平面与平面—平行、相交。

3、异面直线：平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);所成的角范围(0，90)度(平移法，作平行线相交得到夹角或其补角);两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交(反证);异面直线不同在任何一个平面内;求异面直线所成的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角。

二、空间中的平行关系1、直线与平面平行(核心)定义：直线和平面没有公共点。

判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)。

性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行。

2、平面与平面平行定义：两个平面没有公共点。

判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。

性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线。

三、空间中的垂直关系1、直线与平面垂直定义：直线与平面内任意一条直线都垂直。

判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

性质：垂直于同一直线的两平面平行。

推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度。

2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)含答案解析

绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪∁U M=( )A. {2,3,5}B. {1,3,4}C. {1,2,4,5}D. {2,3,4,5}2.5(1+i 3)(2+i)(2−i)=( )A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i3.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗⃗=(2,2)，则cos〈a⃗⃗+b⃗⃗，a⃗⃗−b⃗⃗〉=( )A. 117B. √ 1717C. √ 55D. 2√ 554.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 235.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=( )A. 25B. 22C. 20D. 156.执行下边的程序框图，则输出的B =( )A. 21B. 34C. 55D. 897.设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则|PF 1|⋅|PF 2|=( ) A. 1 B. 2C. 4D. 58.曲线y =e xx+1在点(1,e 2)处的切线方程为( ) A. y =e4xB. y =e2xC. y =e 4x +e4D. y =e 2x +3e49.已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√ 5，C 的一条渐近线与圆(x −2)2+(y −3)2=1交于A ，B 两点，则|AB|=( ) A. √ 55B. 2√ 55C. 3√ 55D. 4√ 5510.在三棱锥P −ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA =PB =2，PC =√ 6，则该棱锥的体积为( ) A. 1B. √ 3C. 2D. 311.已知函数f(x)=e −(x−1)2.记a =f(√ 22)，b =f(√ 32)，c =f(√ 62)，则( )A. b >c >aB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b12.函数y =f(x)的图象由y =cos(2x +π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y =f(x)的图象与直线y =12x −12的交点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。