《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修1-2【备课资源】第二章推理与证明 章末复习课

1 π (1－cos α>0，当且仅当 cos α＝ ，即 α＝ 时取等号) 2 3 1 ∴4cos α≤ . 1－cos α
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∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
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sin α ∴4sin αcos α≤ . 1－cos α
sin α ∴2sin 2α≤ . 1－cos α
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③设 3 个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 a，b，c，则这 a2＋b2＋c2 个四面体的外接球的半径为 R＝ . 2
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② 跟踪训练 1 (1)下列推理是归纳推理的是________， 是类比推 ③④ 理的是________.
当 n＝3 时，有 sin3x＋cos3x＝(sin2x＋cos2x)(sin x＋cos x)－ sin xcos x· x＋cos x). (sin
因为(sin x＋cos x)2＝(－1)2，
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所以 sin2x＋2sinxcos x＋cos2x＝1.
所以 sin xcos x＝0.
例 3 设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的 a、b、c 都为整 数，已知 f(0)、f(1)均为奇数，求证：方程 f(x)＝0 无整数根. 证明 假设方程 f(x)＝0 有一个整数根 k，
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则 ak2＋bk＋c＝0
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c 都为奇数，∴a＋b 必为偶数.
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综上可知方程 f(x)＝0 无整数根.
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小结
反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；
涉 及 “ 都 是 „„”“ 都 不 是 „„”“ 至 少 „„”“ 至 多„„”等形式的命题时，也常用反证法.
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跟踪训练 3 已知：ac≥2(b＋d). 求证：方程 x2＋ax＋b＝0 与方程 x2＋cx＋d＝0 中至少有一 个方程有实数根.
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反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度 看，命题：“若 p 则 q”的否定是“若 p 则綈 q”，由此进 行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若 p 则綈 q”为假， 从而可以导出“若 p 则 q”为真，从而达到证明的目的.
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解析 由于 1＝13,3＋5＝8＝23， 7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，„，猜想第 n 组内各数之和 f(n)与组的编号数 n 的关系式为 f(n)＝n3.
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a，则
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(2)在平面几何中，对于 Rt△ABC，设 AB＝c，AC＝b，BC＝ ①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1； a2＋b2 ③Rt△ABC 的外接圆半径为 r＝ . 2 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证 明，写出证明过程；如果在直角三角形中，你能发现了异于 上面结论，试试看能否类比到空间？
①
当 k 为偶数时，令 k＝2n(n∈Z)，则 ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝ 2n(2na＋b)必为偶数，与①式矛盾；
当 k 为奇数时， k＝2n＋1(n∈Z)， ak2＋bk＝(2n＋1)· 令 则 (2na ＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与①式矛盾.
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∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
1 只要证明 4cos α≤ . 1－cos α
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上式可变形为 1 4≤ ＋4(1－cos α). 1－cos α
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∵1－cos α>0，
1 ∴ ＋4(1－cos α)≥2 1－cos α
1 · 41－cos α＝4， 1－cos α
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证明 假设两方程都没有实数根， 则 Δ1＝a2－4b<0 与 Δ2＝c2－4d<0，有 a2＋c2<4(b＋d)，
而 a2＋c2≥2ac，从而有 4(b＋d)>2ac，
即 ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.
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画一画·知识网络、结构更完善
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题型一
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合情推理与演绎推理
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整 体的推理， 后者是由特殊到特殊的推理， 但二者都能由已知 推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进 一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数 学中证明的基本推理形式， 也是公理化体系所采用的推理形 式.另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者 是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
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(2)解 选取 3 个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类 比对象. ①设 3 个两两垂直的侧面的面积分别为 S1，S2，S3，底面面积 2 为 S，则 S2＋S2＋S2＝S2. 1 3 ②设 3 个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 α，β，γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
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(2)设 n∈N*，且 sin x＋cos x＝－1，归纳猜想 sinnx＋cosnx 的 值.
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解 先观察研究 n＝1,2,3,4 时的情形.
当 n＝1 时，有 sin x＋cos x＝－1.
当 n＝2 时，有 sin2x＋cos2x＝1.
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代入前面的式子，即得： sin3x＋cos3x＝1×(－1)－0×(－1)＝－1. 当 n＝4 时，有 sin4x＋cos4x＝(sin3x＋cos3x)(sin x＋cos x)－ sin xcos x(sin2x＋cos2x)＝(－1)2－0×1＝1.
由以上可以猜测，当 n∈N*时，sinnx＋cosnx＝(－1)n.
①A、B 为定点，若动点 P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点
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P 的轨迹是椭圆； ②由 a1＝1，an＋1＝3an－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的 通项 an 和 Sn 的表达式； ③由圆 x2＋y2＝1 的面积 S＝πr2， 猜想出椭圆的面积 S＝πab； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.
1 π 当且仅当 cos α＝ ，即 α＝ 时取等号. 2 3
1 ∴4≤ ＋4(1－cos α)成立. 1－cos α
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sin α ∴不等式 2sin 2α≤ 成立. 1－cos α
综合法
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1 ∵ ＋4(1－cos α)≥4， 1－cos α
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题型二
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直接证明
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法， 但 两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思 路， 也可以是完整的证明过程， 分析法与综合法可相互转换， 相互渗透， 要充分利用这一辩证关系， 在解题中综合法和分 析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径.一般以分析 法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程.
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sin2α＋β sin β 跟踪训练 2 求证： －2cos(α＋β)＝ . sin α sin α
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
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＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
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例 2 用综合法和分析法证明. sin α 已知 α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤ . 1－cos α
证明 (分析法)
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sin α 要证明 2sin 2α≤ 成立. 1－cos α
sin α 只要证明 4sin αcos α≤ . 1－cos α 研一研·题型解法、解题更高效
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例 1 (1)有一个奇数列 1,3,5,7,9，„，现在进行如下分组：第 一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数
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{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；„试观察每组内各 * f(n)＝n3 数之和 f(n)(n∈N )与组的编号数 n 的关系式为________.
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以 sin α 得 sin2α＋β sin β －2cos(α＋β)＝ . sin α sin α
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题型三
间接证明
反证法是一种间接证明命题的方法， 它从命题结论的反面出 发引出矛盾，从而肯定命题的结论.