人教A版理科数学课时试题及解析(17)同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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高考数学 课时作业(十七) [第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式]

[时间:35分钟 分值:80分]

基础热身

1. cos ⎝⎛⎭

⎫-20π3=( ) A.12 B.32 C .-12 D .-32 2.已知△ABC 中,1tan A =-125,则cos A 等于( ) A.1213 B.513 C .-513 D .-1213

3. 已知sin α+cos α=2,则tan α+cos αsin α

的值为( ) A .-1 B .-2 C.12

D .2 4. 若sin(π+α)=12

,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,则tan α=________. 能力提升

5.已知A 是△ABC 的内角,则“cos A =12”是“sin A =32

”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π3+α=-13

,则sin ⎝⎛⎭⎫α-π6的值为( ) A.13 B .-13 C.233 D .-233

7. 已知tan x =sin ⎝⎛⎭

⎫x +π2,则sin x =( ) A.-1±52 B.3+12

C.5-12

D.3-12

8.若α∈(0,π),sin α+cos α=3-12

,则tan α的值为( ) A .-33或- 3 B .-33

C .- 3

D .-32

9. 已知cos α=-513

,且α是第二象限的角,则tan(2π-α)=________. 10. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧

2cos π3x ,x ≤2 000,x -100,x >2 000,则f [f (2 010)]=________. 11. 已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根,α是第三象限的角,则sin α-32

π·cos(π-

α)tan(π+α)=________.

12.(13分)已知sin α=255,求tan(α+π)+sin ⎝⎛⎭

⎫5π2+αcos ⎝⎛⎭⎫5π2-α的值.

难点突破

13.(12分)已知函数f (n )=sin n π6

(n ∈Z ).求值: (1)f (1)+f (2)+f (3)+…+f (102);

(2)f (1)·f (3)·f (5)·…·f (101).

课时作业(十七)

【基础热身】

1.C [解析] cos ⎝⎛⎭⎫-20π3=cos ⎝⎛⎭⎫6π+2π3=cos 2π3=cos ⎝⎛⎭⎫π-π3=-cos π3=-12

,故选C. 2.D [解析] 由1tan A =-125,得tan A =-512

<0,则A 为钝角, 由sin 2A +cos 2A =1,sin A =cos A tan A ,得

cos 2A =11+tan 2A =11+⎝⎛⎭

⎫-5122=144169, 因为A 为钝角,则cos A =-1213

,故选D. 3.D [解析] 由sin α+cos α=2,得1+2sin αcos α=2,即2sin αcos α=1,

∴tan α+cos αsin α=sin 2α+cos 2αsin αcos α=1sin αcos α

=2,故选D. 4.-33 [解析] 由sin(π+α)=12,得sin α=-12, ∵α∈⎝⎛⎭

⎫-π2,0, ∴cos α=1-sin 2α=32,tan α=sin αcos α=-33

. 或由sin α=-12,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,得α=-π6,tan α=-tan π6=-33

. 【能力提升】

5.A [解析] ∵A 是△ABC 的内角,cos A =12

, ∴0

, 若sin A =32,则cos A =±1-sin 2A =±12

,故选A. 6.A [解析] ∵π3+α=π2+⎝

⎛⎭⎫α-π6, ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3+α=cos ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫α-π6=-sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=-13

,∴sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=13,故选A. 7.C [解析] ∵tan x =sin ⎝⎛⎭

⎫x +π2,∴tan x =cos x , ∴sin x =cos 2x ,∴sin 2x +sin x -1=0,

解得sin x =-1±52

, ∵-1≤sin x ≤1,∴sin x =5-12

,故选C. 8.C [解析] sin α+cos α=3-12⇒sin αcos α=-34⇒tan α=-33或tan α=- 3. 由α∈(0,π),0

<1⇒α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π4,所以tan α=-3,故选C. 9.125 [解析] 由α是第二象限的角,得sin α=1-cos 2α=1213,tan α=sin αcos α=-125

,则 tan(2π-α)=-tan α=125

. 10.-1 [解析] 由f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧

2cos π3x ,x ≤2 000,x -100,x >2 000,得f (2 010)=2 010-100=1 910,

f (1 910)=2cos ⎝⎛⎭⎫π3×1 910=2cos ⎝⎛⎭⎫636π+2π3=2cos 2π3

=-1,故f [f (2 010)]=-1. 11.-1225

[解析] 因为sin α是方程5x 2-7x -6=0的根, 所以sin α=-35

. 因为α是第三象限角,所以cos α=-45,tan α=34

, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α-32πcos(π-α)tan(π+α)=cos α·(-cos α)·tan α=-cos α·sin α=-1225

. 12.[解答] ∵sin α=255

>0,∴α为第一或第二象限角. 当α是第一象限角时,cos α=1-sin 2α=55

, tan(α+π)+sin ⎝⎛⎭⎫5π2+αcos ⎝⎛⎭⎫5π2-α=tan α+cos αsin α =sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α=52

. 当α是第二象限角时,cos α=-1-sin 2α=-55

, 原式=1sin αcos α=-52

. 【难点突破】

13.[解答] (1)∵sin (n +12)π6=sin ⎝⎛⎭⎫n 6π+2π=sin n 6

π,∴f (n +12)=f (n ), 且f (1)+f (2)+f (3)+…+f (12)=0,又102=8×12+6,

∴f (1)+f (2)+…+f (102)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)

=sin π6+sin 2π6+sin 3π6+sin 4π6+sin 5π6+sin 6π6=12+32+1+32+12+0=2+ 3. (2)∵f (2n -1)=sin (2n -1)π6

,其周期为6, f (1)·f (3)·…·f (11)=12×1×12×⎝⎛⎭

⎫-12×(-1)×⎝⎛⎭⎫-12=-⎝⎛⎭⎫124. 从1到101有51个奇数,而51=6×8+3,

∴原式=⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫1248·f (1)·f (3)·f (5)=⎝⎛⎭

⎫1234.

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