人教A版理科数学课时试题及解析(17)同角三角函数的基本关系式与诱导公式

高考数学 课时作业(十七) [第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式]

[时间：35分钟 分值：80分]

基础热身

1． cos ⎝⎛⎭

⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 2．已知△ABC 中，1tan A ＝－125，则cos A 等于( ) A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213

3． 已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α

的值为( ) A ．－1 B ．－2 C.12

D ．2 4． 若sin(π＋α)＝12

，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α＝________. 能力提升

5．已知A 是△ABC 的内角，则“cos A ＝12”是“sin A ＝32

”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－13

，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6的值为( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233

7． 已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π2，则sin x ＝( ) A.－1±52 B.3＋12

C.5－12

D.3－12

8．若α∈(0，π)，sin α＋cos α＝3－12

，则tan α的值为( ) A ．－33或－ 3 B ．－33

C ．－ 3

D ．－32

9． 已知cos α＝－513

，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________. 10． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2cos π3x ，x ≤2 000，x －100，x >2 000，则f [f (2 010)]＝________. 11． 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限的角，则sin α－32

π·cos(π－

α)tan(π＋α)＝________.

12．(13分)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭

⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．

难点突破

13．(12分)已知函数f (n )＝sin n π6

(n ∈Z )．求值： (1)f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)；

(2)f (1)·f (3)·f (5)·…·f (101)．

课时作业(十七)

【基础热身】

1．C [解析] cos ⎝⎛⎭⎫－20π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12

，故选C. 2．D [解析] 由1tan A ＝－125，得tan A ＝－512

<0，则A 为钝角， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A ＝cos A tan A ，得

cos 2A ＝11＋tan 2A ＝11＋⎝⎛⎭

⎫－5122＝144169， 因为A 为钝角，则cos A ＝－1213

，故选D. 3．D [解析] 由sin α＋cos α＝2，得1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，

∴tan α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α

＝2，故选D. 4．－33 [解析] 由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－12， ∵α∈⎝⎛⎭

⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝32，tan α＝sin αcos α＝－33

. 或由sin α＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得α＝－π6，tan α＝－tan π6＝－33

. 【能力提升】

5．A [解析] ∵A 是△ABC 的内角，cos A ＝12

， ∴0

， 若sin A ＝32，则cos A ＝±1－sin 2A ＝±12

，故选A. 6．A [解析] ∵π3＋α＝π2＋⎝

⎛⎭⎫α－π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13

，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，故选A. 7．C [解析] ∵tan x ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π2，∴tan x ＝cos x ， ∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，

解得sin x ＝－1±52

， ∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12

，故选C. 8．C [解析] sin α＋cos α＝3－12⇒sin αcos α＝－34⇒tan α＝－33或tan α＝－ 3. 由α∈(0，π)，0

<1⇒α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以tan α＝－3，故选C. 9.125 [解析] 由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125

，则 tan(2π－α)＝－tan α＝125

. 10．－1 [解析] 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2cos π3x ，x ≤2 000，x －100，x >2 000，得f (2 010)＝2 010－100＝1 910，

f (1 910)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3×1 910＝2cos ⎝⎛⎭⎫636π＋2π3＝2cos 2π3

＝－1，故f [f (2 010)]＝－1. 11．－1225

[解析] 因为sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根， 所以sin α＝－35

. 因为α是第三象限角，所以cos α＝－45，tan α＝34

， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－32πcos(π－α)tan(π＋α)＝cos α·(－cos α)·tan α＝－cos α·sin α＝－1225

. 12．[解答] ∵sin α＝255

＞0，∴α为第一或第二象限角． 当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55

， tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α ＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52

. 当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55

， 原式＝1sin αcos α＝－52

. 【难点突破】

13．[解答] (1)∵sin (n ＋12)π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n 6π＋2π＝sin n 6

π，∴f (n ＋12)＝f (n )， 且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0，又102＝8×12＋6，

∴f (1)＋f (2)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)

＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3. (2)∵f (2n －1)＝sin (2n －1)π6

，其周期为6， f (1)·f (3)·…·f (11)＝12×1×12×⎝⎛⎭

⎫－12×(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫124. 从1到101有51个奇数，而51＝6×8＋3，

∴原式＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1248·f (1)·f (3)·f (5)＝⎝⎛⎭

⎫1234.