等差数列求和及等比数列

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数列与数列的等差和等比求和公式推导

数列与数列的等差和等比求和公式推导数列是数学中重要的一个概念，它被广泛应用于各个领域。

在数列中，有两种常见的数列模式，分别是等差数列和等比数列。

在学习数列的过程中，推导等差和等比数列的求和公式是非常重要的，它们能够帮助我们快速计算各种数列的总和。

首先，我们来推导等差数列的求和公式。

假设有一个等差数列a1, a2, a3, ...，其中首项为a1，公差为d，共有n个项。

我们的目标是求出这个等差数列的和Sn。

首先我们利用等差数列的性质，将这个数列表示出来：a1, a1 + d, a1 + 2d, ... , a1 + (n-1)d我们可以发现，数列中的每一项可以表示为首项a1加上一个等差数列的通项表达式。

接下来，我们对数列进行倒序排列如下：a1 + (n-1)d, a1 + (n-2)d, ... , a1 + d, a1现在，我们将这两个数列的对应项相加，并且将它们按照相反的顺序相加，有：S = (a1 + a1 + (n-1)d) + (a1 + d + a1 + (n-2)d) + ... + (a1 + (n-1)d + a1) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)通过这个推导，我们得到了等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)接下来，让我们来推导等比数列的求和公式。

假设有一个等比数列b1, b2, b3, ...，其中首项为b1，公比为q，共有n个项。

我们的目标是求出这个等比数列的和Sn。

与推导等差数列的求和公式类似，我们先将这个等比数列表示出来：b1, b1q, b1q^2, ... , b1q^(n-1)接下来，我们利用等比数列的性质，将公比q乘以等比数列的每一项，然后将这个数列表示为首项b1乘以一个等比数列的通项表达式：b1, b1q, b1q^2, ... , b1q^(n-1)接下来，我们用公比q乘以这个等比数列，并将它们相减，有：Sn - qSn = b1 + b1q + b1q^2 + ... + b1q^(n-1) - (b1q + b1q^2 + ... +b1q^n)这个等比数列可以进行化简，有：Sn - qSn = b1(1 + q + q^2 + ... + q^(n-1)) - (b1q + b1q^2 + ... + b1q^n)= b1(1 - q^n)/(1 - q) - b1q(1 - q^n)/(1 - q)将Sn - qSn两边合并，并整理可得：Sn(1 - q) = b1(1 - q^n)最后，我们求解Sn，得到等比数列的求和公式：Sn = b1(1 - q^n)/(1 - q)通过以上推导，我们得到了等差数列和等比数列的求和公式。

等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 二、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例1、已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1，且n ∈N *)满足y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.练一练①在递增数列{a n }中，n S 表示数列{a n }的前n 项和，)(,111++∈+==N n c c a a a n n 为常数，，且321,,S a a 成等比数列。

（1）求c 的值。

（2）若n nn n b b b N n a b 242,,)31(2+⋅⋅⋅++∈-⋅=++求。

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)11(1)(1kn n k k n n a n +-=+= （3）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n （4）n n n n a n -+=++=111练一练①在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.②已知各项均不相同的等差数列}{n a 的前四项和14=n S ，且731,,a a a 成等比数列。

等差数列与等比数列的求和

等差数列与等比数列的求和在数学中，等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。

它们被广泛应用于各个领域，包括数学、物理、金融等。

在本文中，我们将探讨等差数列与等比数列的定义、性质以及它们的求和公式。

一、等差数列的定义与求和公式等差数列是指具有相同公差（公差指相邻两项之间的差值）的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，则等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，...，a+(n-1)d。

对于等差数列，我们可以利用求和公式来计算前n项的和。

其求和公式如下：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示前n项的和。

例如，对于等差数列1，3，5，7，9，前5项的和可以通过求和公式计算：S5 = (5/2)(2×1 + (5-1)×2) = 5×(2+8) = 50二、等比数列的定义与求和公式等比数列是指具有相同公比（公比指相邻两项之间的比值）的数列。

通常用字母a表示首项，r表示公比，n表示项数，则等比数列的一般形式为：a，ar，ar²，...，ar^(n-1)。

对于等比数列，我们可以利用求和公式来计算前n项的和。

其求和公式如下：Sn = (a(r^n - 1))/(r - 1)其中，Sn表示前n项的和。

例如，对于等比数列1，2，4，8，16，前5项的和可以通过求和公式计算：S5 = (1(2^5 - 1))/(2 - 1) = (1(32 - 1))/1 = 31三、等差数列与等比数列的应用举例等差数列和等比数列在实际应用中具有广泛的应用。

以下是一些常见的例子：1. 财务规划：在财务规划中，等差数列和等比数列可以用来计算投资回报、贷款利息等。

通过了解数列的规律，我们可以更好地进行资金管理。

2. 物理学：在物理学中，等差数列和等比数列可以用于描述运动的加速度、速度等变化情况。

它们可以帮助我们分析并预测运动的轨迹和变化趋势。

3. 统计学：在统计学中，等差数列和等比数列可以用于分析数据集中的趋势和规律。

数列的等比数列与等差数列求和

数列的等比数列与等差数列求和数列是数学中一个非常重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。

数列可以分为不同类型，其中最常见的两种类型是等比数列和等差数列。

在求解等比数列和等差数列的和时，我们可以通过一些简单的公式来得出结果。

一、等差数列求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1)d对于等差数列的求和，我们可以利用求和公式来计算。

设等差数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2二、等比数列求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n - 1)对于等比数列的求和，我们也可以利用求和公式来计算。

设等比数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)三、等差数列与等比数列的应用举例现假设有一个等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。

根据等差数列的求和公式可得：a₁ = 2, d = 3, n = 10Sₙ = 10(2 + 2 + 9 * 3) / 2 = 110再举一个等比数列的例子，假设有一个等比数列的首项为4，公比为2，求该数列的前5项和。

根据等比数列的求和公式可得：a₁ = 4, q = 2, n = 5Sₙ = 4(1 - 2⁵) / (1 - 2) = 124通过以上两个例子，我们可以看出等差数列求和和等比数列求和的公式能够方便快捷地计算出数列的前n项和。

这在数学问题的求解和实际应用中起到了重要的作用。

总结：数列的等差数列与等差数列求和，是数学中的重要概念。

等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列，等比数列则是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

通过求和公式，我们可以方便地求解出等差数列和等比数列的前n项和。

等差等比数列求和公式(2024高考必考)

等差等比数列求和公式（2024高考必考）等比数列求和公式通项公式 an=a1×q^(n-1)求和公式 a1(1-q^n)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)求和公式推导(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)(2)qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)(3)Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)(4)a(n+1)=a1q^n(5)Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2/2+(a1-d/2)n末项=首项+(项数-1)×公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)×公差和=(首项+末项)×项数÷2末项:最后一位数首项:第一位数项数:一共有几位数和:求一共数的总和高中数学学习方法明晰概念高中数学中的概念是比较严谨的，各个定义间都有很强的逻辑联系，逐个理解后就应把概念记牢，高考的选择题会涉及这方面的内容，而某些解答题也会由于概念定义所限而由繁变简，掌握好概念之后，有利于基础打牢，要做到“明晰”，关键是要多查书，勤查书，不要一知半解。

刻苦练习熟能生巧，对数学而言，也是如此。

做题能提高对题型的熟识度，对技巧的熟识度，以及计算的准确度。

而以上这些，会大大提高解题速度和准确率。

而练习，也是要掌握方法的，习题太易，会使人生厌;习题太难，会让人胆怯。

调整状态状态对于考生来讲，非常重要，考试中状态的差异，会带来成绩上巨大的波动。

一般考前一段时间，老师会发很多练习以强化训练，而实际上，状态的调整因人而异。

有的人在训练之后对题目很厌烦，即使在考场上题目会做，往往草草收笔，过程简略，以致痛失步骤分;有的人训练得不够时，找不到做题的感觉，思维僵了，愣是解不出本在自己实力范围之内的题。

等差数列与等比数列的通项与求和公式

等差数列与等比数列的通项与求和公式数列（Sequence）是按照一定顺序排列的数的集合。

在数学中，等差数列与等比数列是两种常见的数列形式。

了解并掌握等差数列与等比数列的通项公式和求和公式，对于解决数学问题和数学推理具有重要意义。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质以及它们的通项公式和求和公式。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

例如，1、3、5、7、9 就是一个等差数列，其中的公差（公差是指相邻两项的差）为2。

等差数列的通项公式可以通过对数列的特性进行推导得到。

1. 等差数列的概念设数列a₁，a₂，a₃，...，an，... 是等差数列，若存在常数d（称为公差），使得对于任意正整数n，恒有 an+1 - an = d，则该数列称为等差数列。

2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an 表示等差数列的第n项。

3. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则等差数列的前n项和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2其中，aₙ 表示等差数列的第n项。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

例如，1、2、4、8、16 就是一个等比数列，其中的公比（公比是指相邻两项的比）为2。

等比数列的通项公式可以通过对数列的特性进行推导得到。

1. 等比数列的概念设数列a₁，a₂，a₃，...，an，... 是等比数列，若存在常数q（称为公比），使得对于任意正整数n，恒有 an+1 / an = q，则该数列称为等比数列。

2. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an 表示等比数列的第n项。

3. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则等比数列的前n项和公式为：Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)其中，aₙ 表示等比数列的第n项。

等差数列与等比数列的求和

等差数列与等比数列的求和数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。

在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式。

求解等差数列和等比数列的和是数学中的基础知识，下面将针对这两种数列的求和方法进行详细介绍。

一、等差数列的求和公式等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等。

通常记为{a1, a2, a3, ... , an}，其中a1为首项，d为公差。

等差数列的求和可以通过以下公式进行计算：Sn = n * (a1 + an) / 2其中，Sn为等差数列的前n项和，n为项数。

根据这个公式，我们可以快速求解任意等差数列的和。

二、等差数列求和的例题例题1：求等差数列{1, 3, 5, 7, 9, ... , 99}的前50项和。

解：首先确定该数列的首项a1为1，公差d为2，项数n为50。

代入求和公式，计算得到：Sn = 50 * (1 + 99) / 2 = 50 * 100 / 2 = 2500所以，等差数列{1, 3, 5, 7, 9, ... , 99}的前50项和为2500。

例题2：已知等差数列的前6项和为33，公差为4，求该等差数列的首项。

解：设该等差数列的首项为a1。

根据求和公式，可得等式：33 = 6 * (a1 + a6) / 2将a6表示为a6 = a1 + 5d，并将公差d代入，得到：33 = 3 * (a1 + a1 + 5d)化简得：33 = 6a1 + 15d由公差d = 4可得，代入上式计算得到：33 = 6a1 + 60化简得：6a1 = -27解得：a1 = -4.5所以，该等差数列的首项为-4.5。

三、等比数列的求和公式等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等。

通常记为{a1, a2, a3, ... , an}，其中a1为首项，q为公比。

等比数列的求和可以通过以下公式进行计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn为等比数列的前n项和，n为项数。

数列中等差数列和等比数列的解题方法

数列中等差数列和等比数列的解题方法一、等差数列的解题方法1.通项公式的应用：已知首项a1，公差d，求第n项an。

2.求和公式的应用：已知首项a1，末项an，项数n，求数列的和Sn。

3.等差数列的性质：已知数列是等差数列，求出中间项、项数的应用。

4.等差数列的通项公式和求和公式的推导过程。

5.等差数列的递推关系式的应用。

6.等差数列的函数特性：求最大值、最小值、函数图像的分析。

二、等比数列的解题方法1.通项公式的应用：已知首项a1，公比q，求第n项an。

2.求和公式的应用：已知首项a1，公比q，项数n，求数列的和Sn。

3.等比数列的性质：已知数列是等比数列，求出中间项、项数的应用。

4.等比数列的通项公式和求和公式的推导过程。

5.等比数列的递推关系式的应用。

6.等比数列的函数特性：求最大值、最小值、函数图像的分析。

三、等差数列和等比数列的综合应用1.等差数列与等比数列的混合问题：求解数列的前n项和、某项的值等。

2.等差数列和等比数列的交叉问题：已知数列既是等差数列又是等比数列，求解相关问题。

3.等差数列和等比数列在实际问题中的应用：如人口增长、放射性衰变等。

四、解题技巧与策略1.数列问题的转化：将数列问题转化为函数问题、方程问题等。

2.数列的拆分与合并：将数列拆分成多个小数列，或合并成一个大数列，便于求解。

3.数列的递推关系式的运用：通过递推关系式，简化问题，便于求解。

4.数列的图像分析：通过数列的图像，直观地了解数列的性质，找出解题思路。

五、常见题型和解题方法1.求数列的第n项：根据通项公式，直接求解。

2.求数列的和：根据求和公式，直接求解。

3.求数列的项数：根据已知条件，求解项数。

4.数列的单调性、周期性分析：通过通项公式，分析数列的单调性、周期性。

5.数列的极值问题：通过通项公式，求解数列的最大值、最小值。

6.等差数列和等比数列的定义、性质、通项公式和求和公式。

7.等差数列和等比数列的解题方法：求某项的值、求数列的和、分析数列的性质等。

等差数列和等比数列的公式

等差数列和等比数列的公式
我们要了解等差数列和等比数列的公式。

等差数列是一个数列，其中任意两个相邻的项之间的差是一个常数。

等比数列是一个数列，其中任意两个相邻的项之间的比是一个常数。

对于等差数列，我们可以用以下公式表示：
1. 第一个项 a1
2. 公差 d
3. 项数 n
4. 和 S
等差数列的和 S 可以用以下公式表示：
S = n/2 × (2a1 + (n-1)d)
对于等比数列，我们可以用以下公式表示：
1. 第一个项 a1
2. 公比 r
3. 项数 n
4. 和 S
等比数列的和 S 可以用以下公式表示：
S = a1 × (r^n - 1) / (r - 1)
现在我们来计算一些具体的例子。

等差数列的和 S = 185
等比数列的和 S = 242。

等差、等比数列及其求和及答案

等差、等比数列及其求和一、考点、热点1．a n 与S n 的关系：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q (2)q ＝1，S n ＝na 12．数列求和的方法技巧 (1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． 3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式．二、典型例题题型一等差(比)数列的基本运算例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 审题破题 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a 1和d ，从而求出a n .(2)求出b m ，再根据其特征选用求和方法．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1. 所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.变式训练1 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.题型二等差(比)数列性质的应用例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是 ( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值为( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013 审题破题 (1)根据等差数列的性质，a 7＋a 14＝a 1＋a 20，S 20＝20(a 1＋a 20)2可求出a 7＋a 14，然后利用基本不等式；(2)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．解析 (1)∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤⎝⎛⎭⎫a 7＋a 1422＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．(2)根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 013，公差d ＝1，故S 2 0132 013＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，所以S 2 013＝－2 013.变式训练2 (1)数列{a n }是等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析 ∵{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴数列为递减数列．又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，得a 10＋a 11<0.而S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0.故当n ＝19时，S n 取得最小正值．(2)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5. 题型三等差数列、等比数列的综合应用例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *.(1)证明：数列{a n }为等比数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．审题破题 (1)利用a n ＝S n －S n －1求出a n 与a n －1之间的关系，进而用定义证明数列{a n }为等比数列．(2)由(1)的结论得出数列{b n }的通项公式，求出c n 的表达式，再利用错位相减法求和．(1)证明由题意得a n ＝S n －S n －1＝32(a n －a n －1)(n ≥2)，∴a n ＝3a n －1，∴a na n －1＝3(n ≥2)，又S 1＝32(a 1－1)＝a 1，解得a 1＝3，∴数列{a n }为首项为3，公比为3的等比数列．(2)解由(1)得a n ＝3n ，则b n ＝log 3a n ＝log 33n ＝n ，∴c n ＝a n b n ＝n ·3n ，设T n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n －1)·3n －1＋n ·3n ，3T n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.∴－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ·3n ＋1，∴T n ＝(2n －1)3n ＋1＋34.变式训练3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *，均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2 013.解 (1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，d >0，∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝2.则a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.又∵b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3.∴b n ＝b 2q n －2＝3×3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1，得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n ，两式相减，得c nb n ＝a n ＋1－a n ＝2，∴c n ＝2b n ＝2×3n －1(n ≥2)而当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.∴c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 012＝3＋6－6×32 0121－3＝3－3＋32 013＝32 013.题型四分组转化法求和例4 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .审题破题 (1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得a n ；(2)可以分组求和：将{b n }前n 项和转化为数列{a n }和数列{(－1)n ln a n }前n 项的和．解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3.故a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)． (2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.变式训练4 在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝42，a 8＝30.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝(3)a n ＋2＋λ(λ∈R )，则是否存在这样的实数λ使得{b n }为等比数列；(3)数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T 2n .解 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝42，∴a 4＝14. 设数列{a n }的公差为d ，则4d ＝a 8－a 4＝16，故d ＝4.故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝4n －2. (2)b n ＝(3)a n ＋2＋λ＝9n ＋λ.假设存在这样的λ使得{b n }为等比数列，则b 2n ＋1＝b n ·b n ＋2，即(9n ＋1＋λ)2＝(9n ＋λ)·(9n ＋2＋λ)，整理可得λ＝0，即存在λ＝0使得{b n }为等比数列．(3)∵c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数2n －3，n 为偶数，∴T 2n ＝1＋(2×2－3)＋22＋(2×4－3)＋24＋…＋22n －2＋(2×2n －3) ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4×n (n ＋1)2－3n ＝4n －13＋2n 2－n .题型五错位相减法求和例5 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －1b n ＝a n ，求数列{nb n }的前n 项和T n . 审题破题 (1)列方程求{a n }的通项公式；(2)先求b n (两式相减)，再用错位相减法求T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由⎝⎛⎭⎫1a 22＝1a 1·1a 4，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝2，所以a n ＝2n . (2)b 1＋2b 2＋4b 3＋…＋2n －1b n ＝a n① b 1＋2b 2＋4b 3＋…＋2n －1b n ＋2n b n ＋1＝a n ＋1②②－①得：2n ·b n ＋1＝2.∴b n ＋1＝21－n .当n ＝1时，b 1＝a 1＝2，∴b n ＝22－n .T n ＝12－1＋220＋321＋…＋n 2n －2，12T n ＝120＋221＋322＋…＋n 2n －1，上两式相减得12T n ＝2＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝2＋2⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n2n －1，∴T n ＝8－n ＋22n －2.变式训练5 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)．令c n ＝b 2n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设公差为d ，令n ＝1，则a 2＝2a 1＋1，a 1＝d －1， ① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ，②由①②得：a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由题意知，T n ＝λ－n 2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝λ－n 2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1.∴c n ＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *)．∴R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n －1＋c n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1，①14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ， ② ①－②得：34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n －11－14－n －14n ＝13⎝⎛⎭⎫1－14n －1－n －14n＝13⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ，∴R n ＝49⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1. 题型六裂项相消法求和例6 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．审题破题 (1)列方程组(两个条件)确定a n ；(2)不可以采用裂项相消法求得，应该和已知T n ＝19－1n ＋9对比求得公差．解设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )， ∴a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0，∴a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前10项和为45可得S 10＝10a 1＋10×92d ＝45，即90d ＋45d ＝45，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)·13＝13(n ＋8)．(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d [⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1]＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫19d －19d ＋nd ＝1d 2⎝⎛⎭⎫19－1n ＋9＝19－1n ＋9.故数列{a n }的公差d ＝1或－1.变式训练6 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝－2nn ＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.题型七数列的综合应用例7 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，点(n ，S n )在函数f (x )＝12x 2＋32x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项；(2)若c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，求证：2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12.审题破题 (1)由S n 求a n 可考虑a n ＝S n －S n －1；(2)利用不等式放缩、数列求和分析． (1)解因为点(n ，S n )在f (x )的图象上，所以S n ＝12n 2＋32n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，适合上式．所以a n ＝n ＋1对任意n ∈N *都成立．(2)证明 c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1>2 n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋1＝2，所以c 1＋c 2＋…＋c n >2n .又因为c n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2.故c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)]＝2n ＋12－1n ＋2<2n ＋12.所以2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12成立．反思归纳数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法．变式训练7 已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n (1＋a n )2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)若a 2＝3，求证：当n ∈N *时，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 证明 (1)由S 1＝1＋a 12＝a 1知a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (1＋a n )2－(n －1)(1＋a n －1)2，化简得(n －2)a n －(n －1)a n －1＋1＝0，①以n ＋1代替n 得(n －1)a n ＋1－na n ＋1＝0.② 两式相减得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0.则a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，其中n ≥2. 所以，数列{a n }为等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝3，结合(1)的结论知a n ＝2n －1(n ∈N *)．于是1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)<12. 典例 (已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．(1)解对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.[5分](2)证明 ①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B (n )A (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q (a 1＋a 2＋…＋a n )a 1＋a 2＋…＋a n＝q ，C (n )B (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B (n )A (n )＝C (n )B (n )＝q . 所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．[8分]②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1.由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．[11分]综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．[12分]专题限时规范训练一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63答案 C 解析 ∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14.∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72 解析设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝8S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x ) (x ∈R )，且f (1)＝52，则数列{f (n )} (n ∈N *)前20项的和为( )A ．305B ．315C ．325D ．335 答案 D 解析因为f (1)＝52，f (2)＝32＋52，f (3)＝32＋32＋52，…，f (n )＝32＋f (n －1)，所以{f (n )}是以52为首项，32为公差的等差数列．所以S 20＝20×52＋20(20－1)2×32＝335. 4．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为 ( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1解析因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n . 5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋3n ，若a n ＋1a n ＋2＝80，则n 的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 A 解析由S n ＝－n 2＋3n 可得a n ＝4－2n .因此a n ＋1a n ＋2＝[4－2(n ＋1)][4－2(n ＋2)]＝80，即n (n －1)＝20，解得n ＝5，故选A. 6．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析 ∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.7．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析结合三角函数性质，寻求数列前n 项和的符号特点． ∵a n ＝1n sin n π25，∴当1≤n ≤24时，sin n π25>0，即a 1，a 2，…，a 24>0；当n ＝25时，a 25＝0；当26≤n ≤49时，a n ＝1n sin n π25＝－1n sin (n －25)π25<0，且|a n |<1n －25sin (n －25)π25＝a n －25；当n ＝50时，a 50＝0.∴S 1，S 2，S 3，…，S 50>0，同理可知S 51，S 52，S 53，…，S 100>0. ∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数为100.8．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1.可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 二、填空题9．在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1，∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.10．各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.解析设每10项一组的和依次组成的数列为{b n }，由已知可得，b 1＝10，b 1＋b 2＋b 3＝70.①设原等比数列{a n }的公比为q ，则b 2b 1＝a 11＋a 12＋…＋a 20a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1q 10＋a 2q 10＋…＋a 10q 10a 1＋a 2＋…＋a 10＝q 10.同理：b 3b 2＝q 10，b 4b 3＝q 10，…，∴{b n }构成等比数列，且公比q ′＝q 10.由①可得10＋10q ′＋10(q ′)2＝70，即(q ′)2＋q ′－6＝0，解得q ′＝2或q ′＝－3. ∵q ′＝q 10>0，∴q ′＝2.∴{b n }的前4项依次是10,20,40,80.∴S 40＝150.11．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n＝________.答案 n n ＋1解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和等于________．答案 19114解析 S 100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114.三、解答题13．正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1). 14．已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足b n ＝na n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)S n ＝2a n －n .令n ＝1，解得a 1＝1；令n ＝2，解得a 2＝3.(2)S n ＝2a n －n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝2a n －1＋1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，又因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)b n ＝na n ，所以b n ＝n (2n －1)＝n ·2n －n ，所以T n ＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n ·2n －n )，T n ＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )－(1＋2＋3＋…＋n )．令S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， ① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，－S n ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1， S n ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1，所以T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2(n ∈N *)．。

等差数列和等比数列的公式总结

等差数列和等比数列的公式总结1. 什么是等差数列？等差数列，顾名思义，就是每个数之间的差都是一样的。

想象一下，你在逛超市，发现有一款零食，价格每次涨一块钱。

第一天10块，第二天11块，第三天12块……你能想到这个规律吗？每天都在加一块，这就是等差数列的魅力！简单来说，如果我们把这个序列写出来，就可以看到：10, 11, 12, 13，依此类推。

这里面，1110=1，1211=1，这个“1”就是我们说的公差。

1.1 等差数列的通项公式好啦，讲到这里，肯定有人好奇，等差数列的通项公式是啥？其实，它特别简单。

我们用字母来表示，假设第一项是 ( a_1 )，公差是 ( d )，那么第 ( n ) 项可以用这个公式表示：。

a_n = a_1 + (n1) times d 。

举个例子，如果第一项是2，公差是3，那么想要知道第5项是多少呢？只要把公式代进去：。

a_5 = 2 + (51) times 3 = 2 + 12 = 14 。

哎呀，14块钱的零食又来了，想想都馋！1.2 等差数列的求和公式说到求和，等差数列也有它的独门秘籍。

假如你想要把前 ( n ) 项的和加起来，别着急，有个公式可以帮你轻松搞定：。

S_n = frac{n{2 times (a_1 + a_n) 。

或者，你也可以用这个公式：S_n = frac{n{2 times (2a_1 + (n1)d) 。

别看公式长得有点吓人，其实运用起来还真不难！想象一下，你在计算一堆零食的总价，第一天买了10块，第二天11块，第三天12块，……，总共买了5天的，怎么算呢？我们先算出第5项是14，然后带入公式：。

S_5 = frac{5{2 times (10 + 14) = frac{5{2 times 24 = 60 。

哎哟，60块钱的零食，真是爽到飞起！2. 什么是等比数列？再来聊聊等比数列。

这种数列可有意思了！它的特点是每个数之间的比是固定的。

想象你正在进行一个小投资，第一年投100块，第二年收益翻倍，结果是200块，第三年又翻倍成400块……这就是等比数列！用数字来表示就是：100, 200, 400，瞧，翻得飞起。

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列数列是数学中一个重要的概念，它由一系列的数字按照一定的规律排列而成。

在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念及性质。

一、等差数列等差数列又称为等差数数列，是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。

公差可以为正、负或零。

2. 首项和末项：等差数列的第一项为a1，最后一项为an。

3. 通项公式：等差数列的通项公式可以根据首项和公差来求得。

4. 求和公式：等差数列的前n项和可由求和公式来计算：Sn = (a1 + an) * n / 2其中Sn表示前n项和。

5. 递推公式：等差数列可以使用递推公式来逐项计算，即an = an-1 + d。

二、等比数列等比数列又称为等比数数列，是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列中相邻两项之比称为公比，常用字母r表示。

公比可以为正、负或零。

2. 首项和末项：等比数列的第一项为a1，最后一项为an。

3. 通项公式：等比数列的通项公式可以根据首项和公比来求得。

4. 求和公式：等比数列的前n项和可由求和公式来计算：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中Sn表示前n项和。

5. 递推公式：等比数列可以使用递推公式来逐项计算，即an = an-1 * r。

综上所述，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

它们分别由相邻项之差或相邻项之比保持恒定而成。

对于等差数列，可以通过公差、首项和末项来确定数列；而等比数列则可以通过公比、首项和末项来确定数列。

此外，两种数列都可以使用通项公式、求和公式和递推公式来计算其特定项和总和。

等差数列与等比数列的求和公式

等差数列与等比数列的求和公式等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，求和公式则是计算这些数列所有项的和的公式。

在数学和应用领域中，这些公式非常有用，并且在许多计算中被广泛应用。

本文将详细介绍等差数列和等比数列的求和公式及其推导过程。

一、等差数列求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

它的一般形式可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+(n-1)d。

其中，a代表首项，d代表公差，n代表项数。

要计算等差数列的和，我们可以使用以下公式：Sn = (n / 2) * (a + L)其中，Sn代表等差数列的和，n代表项数，a代表首项，L代表末项。

该公式的推导过程如下：设等差数列的和为Sn，项数为n，首项为a，公差为d。

等差数列的前n项和可以表示为：Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n - 1)d] ---------（1）将等差数列的最后一项展开，可以得到：Sn = [a + (n - 1)d] + [a + (n - 2)d] + ... + (a + d) + a ---------（2）将公式（1）和公式（2）相加，每一项都有相同的首项a，得到：2Sn = (a + a + (n - 1)d) + (a + d + a + (n - 2)d) + ... + ([a + (n - 1)d] + a)化简可得：2Sn = n * a + (n - 1)d + n * d + (n - 2)d + ... + d + a2Sn = n * a + n * d + n * d + ... + n * d + a （项数为n 的等差数列，共有n项）2Sn = n * (a + L)其中，L代表末项。

即：L = a + (n - 1)d继续化简表达式，得到等差数列和的求和公式：Sn = (n / 2) * (a + L)这就是等差数列和的求和公式。

数学中的数列进阶等差数列与等比数列的求和

数学中的数列进阶等差数列与等比数列的求和数学中的数列：进阶等差数列与等比数列的求和在数学中，数列是由一组有序的数构成的序列，其中包括等差数列和等比数列两种常见的数列。

等差数列是指按照相同的差值递增或递减的数列，而等比数列是指按照相同的比值递增或递减的数列。

在解题过程中，求和是非常重要的一环，下面将分别介绍进阶的等差数列与等比数列的求和方法。

一、进阶等差数列的求和对于等差数列而言，其通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

当数列的项数较多时，逐项相加的方法显得繁琐，这时可以使用求和公式来简化计算。

1. 等差数列求和公式等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为尾项。

2. 求和公式的推导我们来简单推导一下等差数列求和公式。

首先，我们将等差数列从首项到尾项反向排列，并将两个等差数列相加，得到以下形式：S = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + anS = an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1将两个等差数列相加，得到：2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1)由于这些括号中的项均相同，可以化简为：2S = n(a1 + an)从而可以得到等差数列求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)3. 例题：计算等差数列的和例如，求和S1 = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 100的结果。

首先确定首项a1 = 1，公差d = 4-1 = 3，末项an = 100。

代入公式Sn = (n/2)(a1 + an)，得到：S1 = (n/2)(a1 + an) = (100/2)(1 + 100) = 50(101) = 5050因此，等差数列1 + 4 + 7 + 10 + ... + 100的和为5050。

理解等差数列与等比数列的递推公式与求和公式

理解等差数列与等比数列的递推公式与求和公式数列是数学中非常重要的概念，是由一系列按照规律排列的数所组成的有限或无限集合。

在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

了解它们的递推公式和求和公式对于解决相关问题以及在数学领域的应用都非常重要。

一、等差数列的递推公式与求和公式等差数列是指数列中的每两个相邻的数之差都是相等的。

我们假设等差数列的首项为a，公差为d。

递推公式将会给出任意一项和它前一项的关系，求和公式则是用于计算等差数列的前n项和。

递推公式：对于等差数列，我们可以通过如下递推公式来计算任意一项的值：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项，a1表示首项，d表示公差。

求和公式：等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n表示项数，a1表示首项，an表示第n项。

二、等比数列的递推公式与求和公式等比数列是指数列中的每两个相邻的数之比都是相等的。

我们假设等比数列的首项为a，公比为r。

递推公式将会给出任意一项和它前一项的关系，求和公式则是用于计算等比数列的前n项和。

递推公式：对于等比数列，我们可以通过如下递推公式来计算任意一项的值：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示首项，r表示公比。

求和公式：等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，n表示项数，a1表示首项，r表示公比。

三、等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列在数学及其他领域中都有广泛的应用。

在数学中，它们常常被用于解决方程和证明问题。

在金融领域，等差数列可以用于计算利息，等比数列可以用于计算复利。

在自然科学中，等差数列和等比数列可以用于模型建立和变化分析。

总结：等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，通过递推公式和求和公式，我们可以计算数列中任意一项的值以及前n项的和。

等差数列与等比数列的求和公式

等差数列与等比数列的求和公式数列在数学中是一种重要的数学概念，它由一系列按照一定规律排列的数组成。

等差数列和等比数列是最常见的数列类型，它们在数学和其他学科中的应用非常广泛。

本文将介绍等差数列与等比数列的概念，并详细阐述它们的求和公式。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

若数列的首项为a，公差为d，则等差数列可以表示为a，a+d，a+2d，a+3d......。

等差数列的求和公式可由以下方法得出：设等差数列的首项为a，末项为L，共有n项，求和结果为S。

则有：S = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2即 S = (a + L) × n ÷ 2二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。

若数列的首项为a，公比为r，则等比数列可以表示为a，ar，ar²，ar³......。

等比数列的求和公式可由以下方法得出：当公比r为1时，等比数列所有项相等，求和公式为S = a ×项数。

当公比r不为1时，求和公式为S = a × (rⁿ - 1) ÷ (r - 1)，其中n为项数。

三、等差数列与等比数列求和公式的应用等差数列和等比数列的求和公式在数学和其他领域都具有广泛的应用。

其中，等差数列的求和公式常用于计算等差数列的总和，而等比数列的求和公式常用于计算等比数列的总和。

在数学中，等差数列与等比数列的求和公式可用于解决一些数列相关的问题，如计算物理实验中的位移、速度、加速度等的变化情况，或者解决一些金融、经济中的增长与减少等问题。

此外，在计算机科学、统计学和经济学等学科中，等差数列与等比数列的求和公式也被广泛应用于算法设计、数据分析和模型建立等方面。

总结：等差数列与等比数列是常见的数列类型，在数学以及其他学科中都有着重要的应用。

它们的求和公式提供了一种有效的解决数列相关问题的方法。

通过学习掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用数列的性质，解决实际问题，提升数学与科学的能力。

数列的等差和等比求和公式的推导

数列的等差和等比求和公式的推导等差数列求和公式的推导现在我们来推导等差数列的求和公式。

假设有一个等差数列，其首项为a，公差为d，共有n项。

我们要求这个数列的和。

为了简化问题，我们先考虑一个特殊情况，即首项为1，公差也为1的情况。

我们假设这个数列的前n项和为Sn，我们可以将这个数列从首项到末项分别写出来：1, 2, 3, ..., n-1, n接下来我们将这个数列逆序排列，然后将两个数列相加：1, 2, 3, ..., n-1, nn, n-1, n-2, ..., 2, 1---------------n+1, n+1, n+1, ..., n+1, n+1我们可以看到，相加后的结果是n+1重复了n次。

所以，我们可以得出结论：2Sn = (n+1)n即Sn = (n+1)n/2这就是等差数列的求和公式。

现在，我们来考虑一般情况下的等差数列。

假设我们要求的等差数列的首项为a，公差为d，共有n项。

首先，我们可以将这个数列进行变换，使得首项为1，公差也为1。

具体的变换是：将每一项减去首项a，然后再除以公差d。

这样，我们就得到了一个首项为1，公差为1的等差数列。

根据前面的推导，这个等差数列的和为：Sn' = (n'+1)n'/2其中，n'表示首项为1，公差为1的等差数列的项数。

接下来，我们将这个和Sn'进行变换，使其变回原来的数列的和Sn。

具体的变换是：将每一项乘以公差d，然后再加上首项a。

Sn = a + d((n'+1)n'/2)我们知道，n' = (an - a)/d，将其代入上式，得到：Sn = a + d((an - a)/d + 1)(an - a)/2d化简后得到：Sn = (2a + (n-1)d)n/2这就是一般情况下等差数列的求和公式。

等比数列求和公式的推导现在我们来推导等比数列的求和公式。

假设有一个等比数列，其首项为a，公比为r，共有n项。

等比与等差数列求和公式

等比与等差数列求和公式在咱们学习数学的漫长道路上，等比数列和等差数列就像是两个调皮又重要的小伙伴，总和咱们“捉迷藏”，不过只要咱们抓住它们的小尾巴——求和公式，就能把它们“收拾”得服服帖帖。

先来说说等差数列。

比如说，咱们从 1 开始，每次都多 2 ，依次得到 1 、 3 、 5 、 7 、 9 ......这就是一个等差数列，公差为 2 。

那怎么求出它前 n 项的和呢？这就得请出等差数列求和公式：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，其中$n$是项数，$a_1$是首项，$a_n$是末项。

我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这公式咋来的呀？”我就给他举了个例子。

想象一下，咱们把这个数列正序写一遍，再倒序写一遍：1 3 5 7 9 ...... $a_1$ $a_2$ $a_3$ $a_4$ $a_n$$a_n$ $a_{n-1}$ $a_{n-2}$ $a_{n-3}$ $a_{n-4}$ (1)然后把上下两排对应相加，你会发现每一组的和都是一样的，都等于$a_1 + a_n$。

那一共有多少组呢？正好是 n 组呀！所以总和就是$n(a_1 + a_n)$。

但这是我们加了两遍得到的结果，所以再除以 2 ，就得到了求和公式。

小家伙听完，眼睛一下子亮了，“哦！原来是这样！”再看看等比数列，比如 2 、 4 、 8 、 16 ...... 公比为 2 。

它的求和公式就稍微复杂点啦，当公比$q ≠ 1$时，$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$。

记得有一回课堂小测验，有道题是求等比数列 3 、 6 、 12 、 24 前5 项的和。

好多同学一看到就慌了神，不知道该用哪个公式。

我就在旁边提醒他们：“先看看公比是不是 1 呀？”大家这才反应过来，公比是2 ，然后赶紧套用公式，算出了正确答案。

其实呀，无论是等差数列还是等比数列的求和公式，都像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开数学世界里一扇又一扇的大门。