柏努利方程的应用

Q
H
2 g ( a )
0

zdz
2 gH ( a ) (m3 s) 2 BH 3
构成的装置，称为孔板流量计。在孔板前后的测压孔接上U
型管压强计，由压强计所显示的读数，可计算出管内流体的
流速和流量。

孔板使一种节流装置。当流体流过孔口以后，流动截 面并不立即扩大到与管道截面相等，而是继续收缩。经过 一定距离后，才开始扩大，最后等于整个管道截面。流动 截面的最小处称为缩流。流体在缩流处的流速比缩流前的 流速要高。流速的升高意味着动能的升高，而缩流处的静 压强就要降低。因此，当流体以一定流量流经空口时，就 产生一定的压强变化。流量越大，产生的压强变化也就越 大，所以可以通过测量压强差的大小来度量流体流量的大 小。流体流经孔板时的压强变化，除由流速改变而引起之 外，还有一部分是由于流体在孔板前后突然收缩和扩大的 阻力所造成的。这一部分压强降在孔板下游也不能恢复， 称为永久压强降。

2g
v12 z1 )
• 由上式可以看出，通风机的全压强是指通风机的出口截面上 的全压与入口截面上的全压之差。由于通风机出口截面与入 口截面间压位差很小，即 z2 z1 。故通风机的全压表达式 可写成：
p ( p2 2g
2 v2 ) ( p1
2g
v12 )
pa
①

由方程①可知，离心水泵扬程H是输水高度Hg+Hd，截 面2－2与截面1－1的动能差 阻力损失hw三项之和。
1 4Q 2 1 1 ( ) ( 4 4 ) 、水管中总 2g d 2 d1

例题 某矿井输水高度Hg+Hd=300m，d1=250mm,d2=200mm, 流量Q＝200m3/h，总阻力损失hw＝0.1H。试求水泵扬程应
Qf 2( p1 pa )

（2）

若窑底处相对静压强为零，且忽略沿窑高度动压头的变化 时，则有： p1 pa gH ( a ) ④ 将式④代入式（2）得 Q f 2 gH ( a )


（3）

式（1）（2）（3）对于气体通过小孔及管嘴流速和流量的 计算都适用。当然，对于各种孔嘴由于缩流和阻力情况不 同，即使在介质相同和相同压差的情况下，气体的流速和 流量也将是不同的。下表列出气体通过孔嘴流动时的 、 、 值。

在距窑底z处取一单元面积 df Bdz ，在此单元面积 上可以认为气体的静压头不变。单位时间内通过这一小单 元面积的溢气量根据式（3）可以表示为：
dQ df 2 gz ( a )

B
2 gz ( a )

dz

单位时间内通过炉门的总溢气量为：
Q dQ B
----通过孔口、管嘴气体的密度，kg
。
m3

因为 f1 f 2 , v1 v2 , 1截面气体流速w1可忽略不计，则上式 可以写成 1 2 p1 p2 v2
v2 2 2( p1 p2 )

(m ) s
②

若考虑气体流动过程中的能量损失，实际流速 v2 应按式② v2 乘以速度系数 ，
1.3.8 柏努利方程的应用源自柏努利方程是能量守恒和能量转换定律
在流体力学中的具体体现。应用柏努利方程 可以解决很多实际工程问题。下面举例说明 柏努利方程的应用。
1.3.8.1 测速管（皮托管）

皮托管是一种测速仪器，能测出管道截面某一点上流体 的速度。图所示出皮托管的结构和测速原理。利用套装在一 起的同心管道，内管的顶端开一小孔角，正迎向流动着的流 体；外管前部侧壁上开有一排（同流体流动方向相垂直的） 小孔。工作时，内管将流体滞止，使速度压头变为静压，因 此内管测得总压头；而外管可测得流体静压头。将内外管分 别接到U型压强计的两侧，压强计显示读数R，即为测量点 的速度压头的大小。 2
H = 344(m)
1.3.8.5不可压缩气体通过气孔和管嘴的流出

如图所示气体由一个较大空间突然经过一个较小的孔口 向外逸出。由于惯性的作用，气流流股会发生收缩，也就是 有小孔流出的流股会自动地形成一个最小截面f2,这种现象称
为缩流，气流最小截面f2与小孔截面f之比称为缩流 系数
f2 f
2( p1 p0 )

C0 2 g h C0
2 gR( 介质 )


式中：v0――流体通过孔口时的流速，m/s；
△h――孔板前后流体的静压头差，m流体柱；
R――U型管压强计上的读数，m； g――重力加速度，g/s2；
ρ介质――压强计指示液体的密度。㎏/m3；
ρ――管道内流动的流体的密度，㎏/m3； C0――校正系数，称为孔板流量系数，由实验 确定该数值。
2
2 v0 v12
2( p1 p0 )

2( p1 p0 )


在此式中并没有考虑到流体流经孔板的阻力。因此引 入校正系数C，将上式改写如下：
v0 C A0 1 A1 C
A0 1 A1
2
2( p1 p0 )
2

C0
则
v0 C0
1.3.8.6

炉门溢气
炉门开启后会有热气体由炉内溢出，炉门溢气
量的计算原理和气体从小孔流出相同。但小孔直径 一般都比较小，可以认为沿小孔高度气体的静压头
不变，而炉门垂直高度一般都比教大，所以必须考
虑沿炉门高度气体静压头的变化。

在此以窑底部相对静压头为零进行讨论。如图所示 炉门宽度为B，高度为H。
1.3.8.4 离心水泵扬程

如图所示为离心式水泵工作示意图，设离心式水泵要求 的输出体积流量为Q，把水自1－1截面处输送至2－2截面处。 在截面1－1与2－2处均为大气压Pa,吸水高度为Hg，排 水高度为Hd，吸水和排水管的总阻力损失为hw，吸水管和排 水管内径分别为d1，d2，试计算离心式水泵扬程H。 吸水管内水流平均速度为：

薄 墙 0.62

0.98

0.63
厚 墙
0.82
0.82
1
这里所谓薄墙和厚墙是按气体最小截面的位置来分的。气 流最小截面在小孔外的墙称为薄墙；若气流最小截面在小孔内， 则该墙称厚墙。经验证明： 薄墙：l<(3.5~4)d 厚墙：l>(3.5~4)d 其中：l----窑墙厚度（m） d----小孔当量直径（m）
•
1.3.8.3
通风机全压强
设通风机入口截面上的绝对静压强为p1，动压强为 2 g v1 ， 位压强为 z1 ；通风机出口截面上的绝对压强为p2、动压强 为 v 2 、位压强为 z2 ，则通风机的全压p定义为:
2

2g
2
p ( p2

2g
v z2 ) ( p1
2 2
皮托管只能直接测出测量点上流体的点速度。若要使
用皮托管来测量管道流量，尚须采用下述办法来确定 管道截面的平均流速。 将皮托管插在圆形管道截面中心，测得最大速 度
u max ，然后根据平均流速对最大速度之比值求出
平均流速。
1.3.8.2 孔板流量计

在管道里插入一片带有圆孔的薄板（孔板），用法兰固 定在管道上，使圆筒位于管道的中心线上，如图所示。这样
v2

则
v
' 2
2( p1 p2 )

③
2( p1 p2 )
此时通过小孔气体的 Q f 2 v2 fv2 f 体积流量Q为：
其中： 。称为流量系数，由实验测定。

（1）

当p2为大气压强时，即 p2 pa，则 p1 p2 p1 pa 所表示的是 窑内气体的相对压强。于是式（1）可以写成：
或
f2 f

对于小孔而言，其高度不大，可以认为在整个截面上气 体的压强是一致的；又由于未能的变化不大，或根本不变。 则可认为截面位能相等；并假设气体流动过程中没有阻力损 失。则1－1与2－2截面间的柏努利方程为：
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2

式中 p1, p2-----分别为1、2截面气体的绝对压强 ， N m2 ； v1，v2-----分别表示1、2截面气体的平均流速， m s ；
u hk 米流体柱 2g
于是测得速度为：
u 2 ghk
(m / s)
实际流速：
u实 2 ghk
式中φ－速度修正系数。 当被测流体密度为ρ，测压计工作介质为ρ介质：
p总 p ( 介质 ) gR
u实 2 g ( 介质 ) R


u 必须着重指出， 并不是管道截面上的平均速度。

在孔板上游截面1－1（截面积为A1，流速为v1，静压强 为p1）与孔板所在截面0－0（截面积为A0，流速为v0，静压 强为p0）之间列出柏努利方程式，先略去两截面之间的流 动阻力，可得流速与压强的变化关系：
因 v A v A ，代入上式可得 1 1 0 0
v0 1 A0 1 A1
为多少？

解：根据式①可求得水泵扬程就为：
1 4Q 2 1 1 H H g Hd ( ) ( 4 4 ) hw 2g d 2 d1
1 4 200 2 1 1 300 ( ) ( ) 0.1H 2 9.81 3600 3.14 0.24 0.254
解得
4Q v1 d12 排水管内水流平均速度为：
4Q v2 d 22

选1－1截面为基准面
2 pa v2 v12 H ( H g H d ) hw 2g 2g 1 4Q 2 1 1 H Hg Hd ( ) ( 4 4 ) hw 2g d 2 d1