正交多项式最小二乘法拟合.doc
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理
和多项式拟合
GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
一最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差
(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差
(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
=
从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称
为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.
6—1
二多项式拟合
假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得
(1)
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然
为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得
(2)
即
(3)
（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为
用正交多项式做最小二乘拟合-文档资料59页
5
由归纳法假定，当 0sk2时
(P l,P s)0, (Pk1,Ps)0.
另外，xPs (x) 是首项系数为1的 s 1次多项式，它可由
P0,P1, ,Ps1 的线性组合表示. 而 s1k1，由归纳法假定又有 (xk,P P s) (P k,xs) P 0 ,
(k0 ,1 , ,n 1 ).（6.7）
在（6.6）中，若 nN，则 S ( x) 为 f ( x) 在点
xj(j0 ,1 , ,N1 )上的插值函数， 即 S(xj)f(xj),
于是由（6.6）得
N 1 ik2πj
fj ckeN,
(j0 ,1 , ,N 1 ).（6.8）
14
令
xj
2πj 2m 1
(j0,1, ,2m ),
可以证明对任何 0k,lm成立
2 m
sin j0
lx j sin
kx j
02,m 2
1
,
0,
l k , l k 0; l k 0; l k;
2m
cos
j0
k 0
22
（6.7）是由 { f j } 求 {c k } 的过程，称为 f ( x) 的离散 傅里叶变换. 简称DFT，
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
mn
2 a j j ( xi )
i 0 j0
yi k ( xi ) 0
mn
m
整理为
a j j ( xi )k ( xi ) yik ( xi ) 0
i0 j0
i0
n
m
j
(
xi
)k
(
xi
)
a
j
m
yik ( xi )
j0 i 0
i0
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
例如，电阻与导线的长度呈线性关系，如何确定具体 的线性表示式，可通过对不同长度的导线测试电阻所得数 据作拟合曲线而得。
7 31 179
AT
A
31
179
1171
179 1171 8147
28
ATY 121
635
法方程组为：
7
31
31 179
179 c0
1171
c1
28 121
179第三1章171曲线8拟14合7的 最c小2 二乘 635
2021/6/21
法
21
7
31
31 179
179 c0
1171
c1
28 121
179 1171 8147 c2 635
解得： c0 1.3185, c1 3.4321, c2 0.3864
最小二乘法matlab多项式拟合
最小二乘法拟合探究
吴春晖
（中国海洋大学海洋环境学院山东青岛 266100）
摘要：
本文的拟合对象为含多个变量的待定系数的多项式。通过最小二乘法对多项式作出拟合，以向量矩阵的形式来解出待定的系数。在matlab中，通过算法，写出具体的解法。之后，先对最小二乘法的准确性作出检验，分析该方法在应对复杂情况的误差。在检验该方法的可行性之后，对给定的变量值进行拟合与解题。同时，本文将对基于Laguerre多项式的最小二乘法进行分析检验，
关键词：最小二乘法拟合多变量 Laguerre多项式
引言：
在之前的计算方法中，在给出已知节点后，如果需要根据给出的节点来确定未知节点的值，我们需要运用插值。在对插值的精准性进行分析后，我们发现不同插值方式的误差都极大，而且插值所得出的函数的特征由插值方式所决定，并不能反映具体的节点原来可能的规律与分布。所以，拟合的方法相比插值而言，并不要求函数值在原节点处的值相等，却能在一定程度上反映原函数的规律。在该文中，我们主要运用最小二乘法进行拟合。
目录
第一章matlab最小二乘法拟合程序 (3)
1.1 最小二乘法拟合的数学方法 (3)
1.2 编写最小二乘法的matlab拟合程序 (3)
1.2.1程序算法 (3)
1.2.2 最小二乘法拟合的程序 (4)
1.3程序的分析说明 (4)
第二章最小二乘拟合法的检验及应用 (5)
2.1 最小二乘法拟合的检验 (5)
2.2最小二乘法拟合的实际应用 (7)
第三章Laguerre多项式的最小二乘拟合 (8)
3.1 算法与程序 (8)
3.2检验与分析 (9)
正交多项式模型
正交多项式模型
正交多项式模型
一、引言
正交多项式模型是统计学中一个重要的概念，主要用于回归分析和时间序列分析等。它利用正交性，将高维问题转化为低维问题，从而简化计算和建模过程。本文将介绍正交多项式模型的基本概念、应用和实现方法。
二、正交多项式模型的基本概念
正交多项式是一种特殊的多项式，它的各个项之间是正交的，即各项的系数互为相反数。这种特性使得正交多项式在统计学中有广泛的应用。正交多项式模型是指利用正交多项式来拟合数据的一类模型，具有简洁、高效和易于解释等特点。
三、正交多项式模型的应用
时间序列分析：在时间序列分析中，很多数据的趋势和季节性因素可以用正交多项式来描述。例如，使用正交多项式模型可以有效地提取时间序列中的长期趋势、季节性和周期性变化。
回归分析：在回归分析中，正交多项式模型可以用来处理自变量和因变量之间的关系，特别是当自变量之间存在多重共线性时，使用正交多项式模型可以有效地消除这种影响。
数据降维：由于正交多项式具有将高维问题转化为低维问题的特性，因此可以用于数据降维。通过选择合适的正交多项式，可以将高维数据投影到低维空间，从而降低计算复杂度和提高可视化效果。
四、正交多项式模型的实现方法
选择合适的正交多项式：根据数据的特性和问题要求，选择合适的正交多项式类型，如Legendre多项式、Chebyshev多项式等。
拟合模型：利用选定的正交多项式对数据进行拟合，通过最小二乘法或其他优化算法求解系数，得到最佳拟合模型。
预测与评估：利用拟合得到的模型进行预测，并对预测结果进行评估和比较，选择最优的模型。
曲线拟合的最小二乘法
§7 曲线拟合的最小二乘法
7-1 一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)
最小二乘法的一般提法是:对给定的一组数据(,)(0,1,,)i i x y i m =L ,要求在函数类01{,,,}n ϕϕϕϕ=L 中找一个函数*()y S x =,使误差平方和
2
2
*2
22()001[()]min [()]m m m i i i i i
S x i i i S x y S x y ϕδδ∈=====−=−∑∑∑
其中 0011()()()()
()n n S x a x a x a x n m ϕϕϕ=+++<L 带权的最小二乘法： 2
220()[()()]m
i i i i x S x f x δω==−∑
其中()0x ω≥是［a,b ］上的权函数。
用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在()S x 中求一函数*()y S x =，使
22δ取的最小。它转化为求多元函数
20100(,,,)()[()()]m n n i j j i i i j I a a a x a x f x ωϕ===
−∑∑L 的极小点***01(,,,)n a a a L 问题。由求多元函数极值的必要条件，有
00
2()[()()]()0m n i j j i i k i i j k I x a x f x x a ωϕϕ==∂=−=∂∑∑ ),,1,0(n k L =
若记 0
(,)()()()m j k i
j i k i i x x x ϕϕωϕϕ==∑ 0(,)()()()m
k i i k i k i f x f x x d ϕωϕ==
第五章 曲线拟合
)2
j 1
j 1 i0
对ak求偏导数（k＝0,1…m)
ak
nm
2
(
ai
x
i j
j1 i0
y
j
)
x
k j
0
m
m
n
化简得
ai
xik j
y
j
x
k j
i0 j 1
j 1
n
n
记
x
k j
Sk
y
j
x
k j
Tk
j 1
j 1 m
aiSki Tk (k 0,1m)
i0
写成矩阵形式
S0 S1 S2 Sm S1 S2 S3 Sm1 S2 S3 S4 Sm2 Sm Sm1 Sm2 S mm
rj
)2
0
(a, b) b
b
(
7 j 1
(a
bt j
rj
)2
0
a 70.57 b 0.29
∴所求拟合曲线是： r=p(t)=70.57+0.29t
由此得二乘法的一般定义
定义：设有n对数据（xj,yj)(j=1,2,…n)，从这些数据中找一个m次近似
多项式 p(x) a0 a1x am xm
通常化为线性情况来处理
ln p(x) ln A Mx B Mx
用正交多项式做最小二乘拟合matlab
用正交多项式做最小二乘拟合matlab
最小二乘拟合是一种常见的数据拟合方法，可以解决许多实际问题。在matlab中使用正交多项式进行最小二乘拟合是一个非常有用的技巧。
正交多项式是一组特殊的多项式函数，具有许多优良的数学性质。这些性质使得正交多项式非常适合用于最小二乘拟合。在matlab中，我们可以使用polyfit函数来进行最小二乘拟合。该函数可以使用正交多项式来拟合数据。
具体步骤如下：
1. 导入数据：将需要拟合的数据导入matlab中。
2. 选择正交多项式阶数：根据实际情况，选择合适的正交多项式阶数。通常来说，阶数越高，拟合精度越好，但同时也会增加计算量和过拟合的风险。
3. 计算正交多项式系数：使用polyfit函数计算正交多项式的系数，即使用最小二乘法拟合数据。
4. 输出拟合结果：使用polyval函数在拟合曲线上进行插值，得到拟合预测结果。在matlab中，可以使用plot函数绘制原始数据和拟合曲线进行对比。
使用正交多项式进行最小二乘拟合可以提高拟合的准确性和稳定性，适用于许多实际问题。
最小二乘法
也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方 不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较 大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与 已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小.
y
•
•
•
•
••
•• ••
•
• •
•• •
o 曲线拟合示意图
x
四、曲线拟合的问题
设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为
二、残差的选取方法（原则）
“使 i=φ (xi) yi 尽可能地小”有不同的准则
常见做法：
较复杂
使 m 1iam x|(xi)yi | 最小
m
使 | ( xi ) yi | 最小 i 1
m
使 | (xi ) yi |2 最小 i 1
三、最小二乘原则（方法）
最小二乘原则
1、定义：使“偏差平方和最小”的原则称为最小二乘原则。
参照例1的做法，解法方程组
16
16
i 1
t (1) i
16
t (1) i
a
i 1
16
i 1
(ti (1)
)2
b
16
y i (1)
i1 16
i1
t i (1)
y
(1 ) i
即得 a=80.6621，b=161.6822
最小二乘法拟合fai0 fai1 fai2
最小二乘法拟合fai0 fai1 fai2
最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用于拟合各种函数形式。如果你要用最小二乘法来拟合一个二次函数 y = fai0 + fai1 * x + fai2 * x^2，其中 fai0、fai1、fai2 是待求的系数，可以按照以下步骤进行拟合：
1.收集数据：收集一组包含自变量 x 和因变量 y 的数据点。
2.建立方程：将二次函数的形式代入拟合方程，得到拟合方
程为 y = fai0 + fai1 * x + fai2 * x^2。
3.设定目标函数：定义一个目标函数，表示实际观测值与拟
合值之间误差的平方和。
4.最小化目标函数：使用最小二乘法的思想，通过最小化目
标函数来确定未知系数 fai0、fai1、fai2 的值。可以使用数值计算方法（如迭代法）或解析解法（如求导）来求解最小化目标函数的过程。
5.拟合结果：根据求解得到的 fai0、fai1、fai2 的值，得
到最佳拟合的二次函数模型。
需要注意的是，在实际应用中，可能会遇到数据噪声、非线性问题等，此时需要对数据进行预处理、选择合适的拟合模型，并评估拟合结果的准确性和可靠性。
最小二乘法是一种经典的拟合方法，可以应用于不同类型的数据拟合问题。希望以上步骤能帮助你进行二次函数的最小二乘法拟合。
最小二乘拟合多项式
问题：如何选择a和b，使得到的方程与实际情况比较符合.
引入残差的概k念 次： 观在 测第 数据中yˆ， k与模 实型 测 y值 k 值 有误差：
k(a,b)yk yˆk yk (abxk),k1,2,,7. 通常称 k为残. 差
易见，在数据给定的前提下，误差的大小仅依赖于a,b的选择。反过来，衡量 a,b的好坏可以由整体误差的大小来确定。
xin yi
i1
1 1
x0
x1
1
xm
1
T
1
x0 x1
x
n 0
x
n 1
x0n
x1n
n x m (n1)(m1)
1
xm
x
n m
则法方程系数矩阵为： T 常数项为：
Ta y
T
y0
k 1
0 a j k m 1y k (a n x k n a 1 x k a 0 )x k j, j 0 ,1 , ,n
m
m
m
m
a 0 x k j a 1 x k j 1 a n x k j ny k x k j, j 0 ,1 , ,n .
数值分析之最小二乘法与最佳一致逼近
则称 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)在点集 不同的零点，
{xi , i 0,1,, m}上满足哈尔(Haar)条件.
显然 1, x,, x n在任意 m(m n)个点上满足哈尔条件.
m 如果 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) [a, b] 在 {xi }0 上满足
哈尔条件，则法方程 的系数矩阵 非奇异， 方程存在唯一的解
于是
* ak ak , k 0,1, , n. 从而得到
n 函数 f ( x) 的最小二乘解为 (k , j )a j d k j 0
(k 0,1,, n).
9
* * * S * ( x) a0 0 ( x) a1 1 ( x) an n ( x).
这样就变成了线性模型 .
19
例2
设数据 ( xi , yi )(i 0,1,2,3,4) 由表3-1给出，
表中第4行为 ln yi yi ,通过描点可以看出数学模型为 及 b. y aebx , 用最小二乘法确定 a
表3 1 i xi yi 0 1.00 5.10 1 1.25 5.79 2 1.50 6.53 3 1.75 7.45 4 2.00 8.46
0 ( x) 1, 1 ( x) x, ( x) 1,
得
表3 1 (0 , 0 ) 5, i 0 2 3 41 ,00 1 ) xi 7 .5 , 0. xi ( 1 1.25 1 .50 1.75 i 0 4.79 yi 5.10 5 6.53 7.45 2 (1 , 1 ) xi 11.875, yi 1. 629 1 .756 1.876 2.008 i 0
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理
和多项式拟合
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
一最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差
(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差
(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量
的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方
和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用
误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即
=
从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称
为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.
6—1
二多项式拟合
假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得
(1)
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然
为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得
(2)
即
(3)
（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为
6-2正交多项式
(k 2, 3,)
§6.2 正交多项式
基本概念 格拉姆-施密特方法 常用的正交多项式
注意：本节所定义的函数的内积与上节不同
它将在下节-----函数的最佳平方逼近中发挥 作用。
基本概念
定义 6.2 如果函数 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x ), 满足
其中
(k 2,3, n)
( xk 1 , k 1 ) k (k 1 , k 1 )
(k 1 , k 1 k (k 2 , k 2
( x) ) ( x) ) ( x)
a b a b
a b a
b
( x) xk21 ( x)dx
1 2
性质
Tn ( x )满足递推公式 2.
Tn 1 ( x) 2 xTn ( x) Tn 1 ( x)
3. Tn ( x)在[-1,1]上有n个互异零点 2i 1 xi cos 2n
(n 1,2,)
(i 1, 2, , n)
(k 0,1, n)
1
nm nm
2. Pn ( x)
满足递推公式
(n 1,2,)
(n 1) Pn 1 ( x) (2n 1) xPn ( x) nPn 1 ( x)
任意区间[a,b]上的正交多项式
一般最小二乘拟合
第三节 一般最小二乘拟合
多项式拟合形式比较规范，方法也比较简单，但在实际应用中，针对所讨论问题的特点，拟合函数可能为其他类型，如指数函数、有理函数、三角函数等，这就是一般最小二乘拟合问题。
一 线性最小二乘拟合 设
)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 为n+1个线性无关（与向量的线性无关定义类似）的连续函数，Φ为
)(),(),(10x x x n ϕϕϕ 所张成的n+1维线性空间，即由其 所有线性组合
∑==∈n
k k k
k n k R a x a 0
)
,,1,0(),( ϕ
构成的集 合，记作
{})(,),(),(10x x x span n ϕϕϕ =Φ
任取
Φ∈)(x p ，则
∑==n
k k k x a x p 0
)
()(ϕ，它是关于
n a a a ,,,10 的线性函数。
对已知数据点
),,1,0)(,(m i y x i i =，在Φ中求一)(x p ，使得
[]
min )()(0
02
02
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=-=∑∑∑===m
i m
i n k i i k k i i y x a y x p I ϕ (1)
这就是一般线性最小二乘拟合问题。
同多项式拟合完全类似，上述问题归结为多元函数的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，可得
n
j x y x a a I
m i i j n
k i i k k j ,1,0,0)())((200
==-=∂∂∑∑==ϕϕ
即
n
j y x a x x m i i i j k n
k m i i k i j ,,1,0,)()()(000 ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===ϕϕϕ (2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《MATLAB 程序设计实践》课程考核
一、编程实现以下科学计算算法,并举一例应用之。（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》,王正林等著,电子工业出版社,２００９年）
“正交多项式最小二乘法拟合”
正交多项式最小二乘法拟合原理
正交多项式做最小二乘法拟合：
不要求拟合函数y=f(x)经过所有点（x i ,y i ),而只要求在给定点x i 上残差δi=f(x i )-y i 按照某种标准达到最小,通常采用欧式范数||δ||2作为衡量标准。这就是最小二
乘法拟合。
根据作为给定节点x 0,x 1,…x m 及权函数ρ(x)>0,造出带权函数正交的多项式{P n （x ）}。注意n ≤m,用递推公式表示P k （x ）,即
()()()()()()()01101
111,,
(1,2,,1)k k k k k P x P x x P x P x P x P x k n ααβ++-=⎧⎪=-⎨⎪=--=...-⎩ 这里的P k (x)是首项系数为1的k 次多项式,根据P k (x)的正交性,得
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2i 012i 02i 0211i 10x ,,x ,0,1,1,x ,0,1,1,x m i k i k k i k m k k k i i k k m k k k i k k i k m k k k i i x P x xP x P x a P x P x P x xP P k n P P P x P P k n P P P x ρρρβρ=+==---=⎧⎪⎪==⎪⎪⎪==⋅⋅⋅-⎨⎪⎪===⋅⋅⋅-⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑ 根据公式(1)和(2)逐步求P k （x ）的同时,相应计算系数
()()()020()(),(0,1,n (,)()
m i j i k i k i k m k k i
k i i x x x f P a k P P x x ρϕϕρϕ=====⋅⋅⋅,∑∑） 并逐步把*k a P k （x ）累加到S （x ）中去,最后就可得到所求的拟合函数曲线
***0011n n y=S x =a P x +a P x ++a P x ⋅⋅⋅（）（）（）（）.
流程图
M 文件 function [p] = mypolyfit(x,y,n)
%定义mypolyfit 为最小二乘拟合函数
%P = POLYFIT(X,Y,N)以计算以下多项式系数
%P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).
if ~isequal(size(x),size(y))
（2）
（1）
error('MATLAB:polyfit:XYSizeMismatch',...
'X and Y vectors must be the same size.')
end
%检验X Y维数是否匹配
x = x(:);
y = y(:);
if nargout > 2
mu = [mean(x); std(x)];
x = (x - mu(1))/mu(2);
end
%利用范德蒙德矩阵构造方程组系数矩阵
V(:,n+1) = ones(length(x),1,class(x));
for j = n:-1:1
V(:,j) = x.*V(:,j+1);
end
% 对矩阵进行QR分解以求得多项式系数值
[Q,R] = qr(V,0);
ws = warning('off','all');
p = R\(Q'*y);
warning(ws);
if size(R,2) > size(R,1)
warning('MATLAB:polyfit:PolyNotUnique', ...
'Polynomial is not unique; degree >= number of data points.')
elseif condest(R) > 1.0e10
if nargout > 2
warning('MATLAB:polyfit:RepeatedPoints', ...
'Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points.') else
warning('MATLAB:polyfit:RepeatedPointsOrRescale', ...
['Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points\n'...
' or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.']) end
end
r = y - V*p;
p = p.'; % 将多项式系数默认为行向量.
5、运行流程图
过程：
clear
x =[ 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000]
y=[1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60]
x1=0.5:0.05:3.0;
p=mypolyfit(x,y,2)
y1=p(3)+p(2)*x1+p(1)*x1.^2;
plot(x,y,'*')
hold on
plot(x1,y1,'r')
二、编程计算以下电路问题
[例8-1-3]如图所示电路,已知R=5Ω,ωL=3Ω,C 1ω=5Ω,Uc=100∠0,求I .R ,I .C ,I .和U .L ,U .
S ,并画其相量图。