正交多项式最小二乘法拟合.doc
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即=从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。
函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得(2)即(3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式(5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。
我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。
实验题目用正交多项式做小二乘曲线拟合
实验题目：用正交多项式做小二乘曲线拟合实验题目： 用正交多项式做最小二乘的曲线拟合 学生组号： 6 完成日期： 2011/11/27 1 实验目的针对给定数据的煤自燃监测数据中煤温与NO 22,之间的非线性关系，用正交多项式做最小二乘曲线拟合。
2 实验步骤2.1 算法原理设给定n+1个数据点：（yx kk,），k=0,1,···,n ，则根据这些节点作一个m 次的最小二乘拟合多项式pm（x ）=a+x a x a a mm x +++ (2)21=x a jmj j ∑=0①其中，m ≤n,一般远小于n.。
若要构造一组次数不超过ｍ的在给定点上正交的多项式函数系｛)(x Qj（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）｝，则可以首先利用｛)(x Qj（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）｝作为基函数作最小二乘曲线的拟合，即pm（x ）＝)(...)()(11x x x Qq Q q Q q mm+++ ②根据②式，其中的系数qj（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）为∑∑===nk kjnk kjkjx Q x Q y q2)()(，ｊ＝０，１，．．．，ｍ ③将④代入③后展开就成一般的多项式。
构造给定点上的正交多项式)(x Qj（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）的递推公式如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-==-+1,...,2,1),()()()()()(1)(11010m j x x x x x x x QQ Q Q Q j jj j j βαα ④其中αj＝dx x jk j=0，ｊ＝０，１，．．．，ｍ－１ ⑤βj＝dd j j1-，ｊ＝１，２，．．．，ｍ－１ ⑥∑==nk k jjx Q d2)(，ｊ＝０，１，．．．，ｍ－１ ⑦则实际计算过程中，根据⑤式逐步求出个正交多项式)(x Qj，并用公式④计算出q j，并将每次计算展开后累加到拟合多项式①中。
2.2 算法步骤用三个向量Ｂ,Ｔ,Ｓ,存放多项式)(1x Qj -，)(x Q j，)(1x Qj +的系数。
最小二乘法的本原理和多项式拟合
第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合一 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10Λ=的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir 02=[]∑==-mi i i y x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二 多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
最小二乘法多项式拟合(最新编写)
对于给定的数据点 (xi , yi ), 1 i N ，可用下面的 n 阶多项式进行拟合，即
n
f (x) a0 a1x a2x2 ak xk k 0
为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差
| i || f (xi ) yi |
i 1
yi ] 0
N i 1
f (xi )
N i 1
yi
S
a1
N i 1
2xi[ f
(xi )
yi ]
0
N i 1xi[ f源自(xi ) yi ]
0
N i 1
xi
f
(xi )
N i 1
xi yi
S
ak
N
2kxik[ f (xi ) yi ] 0
i 1
N
xik [ f (xi ) yi ] 0
y
a0
a1x
a2 x2
i 1 N i 1
xi4
a2
i 1 N
i 1
xi2
yi
关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，还可以有另一思路，下面对此进行说明。 由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距两个参数来确定， 因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到
i 1
N
N
N
N
a0N a1 xi a2 xi2 an xin yi
i 1
i 1
i 1
i 1
N
N
xi f (xi ) xi yi
i 1
i 1
N
N
xik f (xi ) xik yi
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合一 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir2=从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二 多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)[ ] ∑ = = - mi ii y x p 02 min ) (当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即=从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。
函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得(2)即(3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式(5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。
我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。
legendre 正交多项式的最小二乘逼近
legendre 正交多项式的最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值方法，用于将一组数据点逼近为一个给定函数的线性组合。
在多项式逼近中，最小二乘逼近方法可以用于选择合适的多项式来逼近给定的数据点。
而Legendre正交多项式是一组常用的正交多项式之一，可以作为最小二乘逼近的基函数。
Legendre正交多项式是以法国数学家Adrien-Marie Legendre的名字命名的。
它是一族以符号P_n(x)表示的多项式，其中n是多项式的次数。
Legendre多项式是在区间[-1,1]上正交的，并具有一些特殊的性质，这些性质使它们成为进行最小二乘逼近的良好选择。
最小二乘逼近通过寻找最佳的多项式系数来逼近给定的数据点。
对于Legendre正交多项式的最小二乘逼近，我们首先需要给定一组数据点和一个要逼近的目标函数。
然后，我们可以通过构建一个线性方程组来求解最佳的多项式系数。
对于n个数据点，我们可以构建一个(n+1) x (n+1)的方程组，其中包含n个多项式的系数和一个常数项。
具体来说，设给定的数据点为(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)，目标函数为f(x)，要逼近的多项式为P(x)。
Legendre正交多项式的最小二乘逼近可以通过以下步骤进行：1.计算Legendre多项式的系数。
根据Legendre多项式的定义，我们可以通过计算正交性条件来求解多项式的系数。
具体来说，我们可以使用Legendre多项式的正交性条件：∫P_i(x)P_j(x)dx = 0，其中i≠j。
这个计算可以使用数值积分方法来进行。
2.构建线性方程组。
对于每个数据点(x_i, y_i)，我们可以将其代入逼近多项式P(x)中，得到一个方程：y_i = a_0*P_0(x_i) +a_1*P_1(x_i) + ... + a_n*P_n(x_i)，其中a_0, a_1, ..., a_n是多项式的系数。
正交多项式的曲线拟合
正交多项式的曲线拟合
在数学和工程领域中，曲线拟合是一种常见的数据分析技术，
它用于找到最适合一组数据点的曲线或函数。
而正交多项式的曲线
拟合则是一种特殊的曲线拟合方法，它利用正交多项式来拟合数据，具有一些独特的优势和特点。
正交多项式是一组满足一定正交条件的多项式函数，其中最常
见的包括勒让德多项式、切比雪夫多项式和拉盖尔多项式等。
这些
多项式在一定区间内是正交的，也就是说它们在该区间内的内积为0，这使得它们在曲线拟合中具有一些独特的性质。
正交多项式的曲线拟合通常通过最小二乘法来实现。
最小二乘
法是一种常见的数学优化方法，它通过最小化实际数据点与拟合曲
线之间的残差平方和来找到最优的拟合曲线参数。
而利用正交多项
式进行曲线拟合可以使得拟合过程更加稳定和高效，因为正交多项
式之间的正交性质可以减少计算中的相关性和干扰。
正交多项式的曲线拟合在实际应用中具有广泛的用途。
例如，
在信号处理中，正交多项式的曲线拟合可以用于拟合复杂的信号波形，从而实现信号分析和预测。
在工程领域中，正交多项式的曲线
拟合也可以用于拟合复杂的工程数据，从而帮助工程师们更好地理解和利用数据。
总之，正交多项式的曲线拟合是一种强大而灵活的数据分析工具，它通过利用正交多项式的特殊性质来实现更加稳定和高效的曲线拟合，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用正交多项式的曲线拟合方法。
最小二乘法拟合多项式系数
最小二乘法拟合多项式系数好吧，今天咱们来聊聊最小二乘法拟合多项式系数。
这听上去有点复杂，是吧？但别担心，我们就像在茶余饭后闲聊，慢慢说，绝对不会让你头大。
想象一下，你在外面散步，随便拍了几张照片。
每张照片都有不同的色彩和风景，像极了我们生活中的点点滴滴。
这些点就是数据，而我们要做的就是找到一个完美的曲线，尽量把这些点都包在里面，就像把朋友们围在一起，一起合影留念。
可是，有些点可能离得比较远，不太听话，怎么才能让它们乖乖地靠过来呢？这就要用到最小二乘法了。
最小二乘法就像是我们找朋友聚会时的“小推手”。
它的工作原理很简单：想把一条线画得尽量接近那些点，但有时候这些点就像小孩子一样，左摇右晃，不好管理。
于是我们通过计算每个点到线的距离，来找出最优解。
我们想要的就是最小化这些距离的平方和，听上去像是个数学家的游戏，其实就是让我们的拟合效果尽量好，能把所有点都纳入囊中。
多项式的部分就像是我们开车时选择的路线。
你可以走直线，也可以选择弯曲的道路。
简单的直线很容易，但生活可不止这么简单，对吧？曲线可以更好地适应那些离经叛道的数据点。
多项式的阶数越高，拟合的灵活性就越强，仿佛你在路上加了更多的转弯，但这也带来了麻烦。
太多的转弯可能让人晕车，容易过拟合。
这样一来，虽然看起来完美，但在新数据面前却像个“纸老虎”，没什么用处。
想象一下，咱们有一堆数据点，先来个简单的线性拟合，咔嚓，得到了最简单的直线。
可这条线能抓住多少信息呢？可能只能讲述个简单的故事。
然后我们试试二次多项式，突然之间，故事开始丰富起来，像是增加了很多细节，情节也变得跌宕起伏。
再往上走，三次、四次……每增加一阶，就像在逐渐添加配乐和特效，简直是一场视觉盛宴。
不过，咱们要记住，找系数可不光靠眼力。
在计算的时候，你得认真对待那些数据，像对待家里的宠物一样，不能随便放任。
用最小二乘法的时候，咱们的目标是构建一个方程，里面有未知数，就是咱们要找的多项式系数。
把数据代进去，构造一个大方程，像拼图一样，把所有的未知数一一找到。
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10Λ=的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i yx (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir 02=[]∑==-mi i i y x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二 多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
数值分析2013年12月最小二乘法的基本原理和多项式拟合摘要：随着科技发展和社会进步，尤其是计算机大范围的普及，计算机应用逐渐由大规模科学计算的海量数据处理转向日常学习中遇到的小型数据的处理与计算，这就产生了解决各种实际问题需要的各种应用程序，特别是在电磁检验实验中的应用更为广泛。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，是利用最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配的一种计算方法[1]，本文对最小二乘法进行了深入细致的研究，利用Matlab语言编制程序和数学知识相结合，通过实验数据的输入，实现多项式和曲线拟合的输出，并利用设计的程序实现了一些实际问题的求解和处理。
关键词：最小二乘法，曲线拟合，多项式一、前言曲线拟合又称作函数逼近，是求近似函数的一类数值方法．它不要求近似函数在每个节点处与函数值相同，只要求其尽可能的反映给定数据点的基本趋势以及某种意义上的无限“逼近”．在需要对一组数据进行处理、筛选时，我们往往会选择合理的数值方法，而曲线拟合在实际应用中也倍受青睐．采用曲线拟合处理数据时，一般会考虑到误差的影响，于是我们往往基于残差的平方和最小的准则选取拟合曲线的方法，这便是经常所说的曲线拟合的最小二乘法．通过对一些文献的分析和整理，不仅有数据处理（数据采集），还有模型建立，可以了解到曲线拟合的最小二乘法的应用领域较为广泛。
二、最小二乘法法的介绍1），最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
最小二乘法多项式直线拟合
最小二乘法多项式直线拟合，根据给定的点，求出它的函数y=f(x)，当然求得准确的函数是不太可能的，但是我们能求出它的近似曲线
y=φ(x)
最小二乘法是经典的参数稳健估计方法。
核心思想是使得估计出的模型与实际数据之间误差的平方和最小（趋于0）。
直线参数的估计又是最常用的曲线参数估计，稳健估计方法有很多：RANSAC、BaySAC、极大似然法等，这篇博文主要讲解如何使用最小二乘法估计直线参数。
原理
假设有点 , I = 1,2,3,……n,求近似曲线y=φ(x)，并且使得y=φ(x)与
y=f(x)的平方偏差和最小，偏差
一群离散观测点，及其最小二乘估计直线方程
直线方程最优拟合
直线方程的形式比较多，粗略统计有10种之多，如：一般式、点斜式、截距式、斜截式⋯⋯。
本博文采用直线斜截式，最小二乘拟合其方程系数。
斜截式：y=kx+by=kx+b，适用于不垂直于xx轴的直线。
斜率为kk
yy轴截距为b。
拟合多项式的最小二乘法
数值计算理论报告题目：有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组温度T 和电阻R 的数据如下，问当温度为60o C时，电阻有多大？多项式拟合：已知变量x ，y 之间的函数关系为： n n-112n n+1y=a x +a x ++a x+a通过实验获得一组{i x ，i y | i =1,2,3，···，m}测量数据，确定出系数12n+1a a a （，，，）。
当n=1时，函数为线性关系若函数为线性关系，其形式为：y=ax+b （1）式中a, b 为要用实验数据确定的常数。
由实验测得的数据是总是存在着误差，所以，把各组数据代入(1)式中，两边并不相等。
相应的作图时，数据点也并不能准确地落在公式对应的直线上，误差的的平方和为：为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差|)(|||i i i y x f -=δ都较小。
为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即min ])([)(2121=-=∑∑==ii N i i N i y x f δ称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式)(x f 的方法即为最小二乘法多项式拟合。
按最小二乘法，当a, b 选择适当，能使为最小时y=ax+b 才是最佳曲线。
用偏导数的方法求出此式的最小值。
以上是线性拟合的基本原理。
程序：x0=[20.5, 32.7, 51.0, 73.0, 95.7]; %t 的行向量y0=[765, 826, 873, 942, 1032]; %r 的列向量%plot(x0,y0,'r'); %画连续的图形，颜色设置为红()2112∑∑=--==∂n i bx a y n i v i i in=1;P=polyfit(x0,y0,n) %生成拟合多项式xx=0:1:100;z=polyval(P,xx); %计算z的值plot(xx,z,'-b',x0,y0,'.r') %绘图legend('拟合曲线','原始数据','Location','SouthEast') %注标题xlabel('x')zz=polyval(P,60); %计算60时拟合多项式的值display(zz)当n=1时，即线性拟合。
数值分析--32正交多项式与最小二乘拟合
j 0 n
{ j(x) = x j } 对应代数多项式 /* algebraic polynomial */
{ j(x) = cos jx }、{ j(x) = sin jx } { j(x), j(x) }对应三 角多项式 /* trigonometric polynomial */ { j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
n
定理 Ba = c 存在唯一解 0(x), 1(x), … , n(x) 线性无关。
证明：若存在一组系数 {i } 使得 0 0 + 1 1 + ... + n n 0 则等式两边分别与0, 1, … , n作内积，得到：
0 ( 0 , 0 ) + 1 ( 1 , 0 ) + ... + n ( n , 0 ) 0 ( , ) + ( , ) + ... + ( , ) 0 1 1 1 n n 1 0 0 1 . . . ( , ) + ( , ) + ... + ( , ) 0 1 1 n n n n 0 0 n
1 2 49 3 y P( x) x + x 2 10 2
cond ( B ) 7623
|| B || 484,
|| B
1
||
63 4
§6 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation
j 例：连续型拟合中，取 j ( x) x , ( x) 1, y( x) C[0, 1]
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《MATLAB 程序设计实践》课程考核一、编程实现以下科学计算算法,并举一例应用之。
（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》,王正林等著,电子工业出版社,２００９年）“正交多项式最小二乘法拟合”正交多项式最小二乘法拟合原理正交多项式做最小二乘法拟合：不要求拟合函数y=f(x)经过所有点（x i ,y i ),而只要求在给定点x i 上残差δi=f(x i )-y i 按照某种标准达到最小,通常采用欧式范数||δ||2作为衡量标准。
这就是最小二乘法拟合。
根据作为给定节点x 0,x 1,…x m 及权函数ρ(x)>0,造出带权函数正交的多项式{P n （x ）}。
注意n ≤m,用递推公式表示P k （x ）,即()()()()()()()01101111,,(1,2,,1)k k k k k P x P x x P x P x P x P x k n ααβ++-=⎧⎪=-⎨⎪=--=...-⎩ 这里的P k (x)是首项系数为1的k 次多项式,根据P k (x)的正交性,得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2i 012i 02i 0211i 10x ,,x ,0,1,1,x ,0,1,1,x m i k i k k i k m k k k i i k k m k k k i k k i k m k k k i i x P x xP x P x a P x P x P x xP P k n P P P x P P k n P P P x ρρρβρ=+==---=⎧⎪⎪==⎪⎪⎪==⋅⋅⋅-⎨⎪⎪===⋅⋅⋅-⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑ 根据公式(1)和(2)逐步求P k （x ）的同时,相应计算系数()()()020()(),(0,1,n (,)()m i j i k i k i k m k k ik i i x x x f P a k P P x x ρϕϕρϕ=====⋅⋅⋅,∑∑） 并逐步把*k a P k （x ）累加到S （x ）中去,最后就可得到所求的拟合函数曲线***0011n n y=S x =a P x +a P x ++a P x ⋅⋅⋅（）（）（）（）.流程图M 文件 function [p] = mypolyfit(x,y,n)%定义mypolyfit 为最小二乘拟合函数%P = POLYFIT(X,Y,N)以计算以下多项式系数%P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).if ~isequal(size(x),size(y))（2）（1）error('MATLAB:polyfit:XYSizeMismatch',...'X and Y vectors must be the same size.')end%检验X Y维数是否匹配x = x(:);y = y(:);if nargout > 2mu = [mean(x); std(x)];x = (x - mu(1))/mu(2);end%利用范德蒙德矩阵构造方程组系数矩阵V(:,n+1) = ones(length(x),1,class(x));for j = n:-1:1V(:,j) = x.*V(:,j+1);end% 对矩阵进行QR分解以求得多项式系数值[Q,R] = qr(V,0);ws = warning('off','all');p = R\(Q'*y);warning(ws);if size(R,2) > size(R,1)warning('MATLAB:polyfit:PolyNotUnique', ...'Polynomial is not unique; degree >= number of data points.')elseif condest(R) > 1.0e10if nargout > 2warning('MATLAB:polyfit:RepeatedPoints', ...'Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points.') elsewarning('MATLAB:polyfit:RepeatedPointsOrRescale', ...['Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points\n'...' or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.']) endendr = y - V*p;p = p.'; % 将多项式系数默认为行向量.5、运行流程图过程：clearx =[ 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000]y=[1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60]x1=0.5:0.05:3.0;p=mypolyfit(x,y,2)y1=p(3)+p(2)*x1+p(1)*x1.^2;plot(x,y,'*')hold onplot(x1,y1,'r')二、编程计算以下电路问题[例8-1-3]如图所示电路,已知R=5Ω,ωL=3Ω,C 1ω=5Ω,Uc=100∠0,求I .R ,I .C ,I .和U .L ,U .S ,并画其相量图。
理论分析：根据电路分析Z=R+j*(Xl-Xc)Ic=Uc/Z3;Z3=-j*XcIr=Ur/Z2=Uc/Z2;Z2=RI=Ir+IcUl=I*Z1;Z1=j*XLUs=Ul+Ur计算得Ir =2；Ic =2.00iI =2.00 + 2.00iUl =-6.00 + 6.00iUs =4.00 + 6.00iM文件clearR=5;XL=3;XC=5;UC=10;UR=UC;%为给定元件赋值Z1=j*XL;Z2=R;Z3=-j*XC;%定义各电抗disp('电流')IR=UR/Z2%计算IRIC=UC/Z3%计算ICI=IR+IC%计算Idisp('电压')UL=I*Z1%计算ULUS=UC+UL%计算USdisp('IR IC I UL US')disp('幅值');disp(abs([IR,IC,I,UL,US]))disp('相角');disp(angle([IR,IC,I,UL,US])*180/pi)ph=compass([IR,IC,I,UL,US]);%分别画出IR,IC,I,UL,US相量图set(ph,'linewidth',3)运行流程图：开始读取已知数据构造电抗Z1,Z2,Z3计算Ir ,Ic, I ,Ul ,UsIR=UR/Z2；IC=UC/Z3；I=IR+IC；UL=I*Z1；US=UC+UL输出Ir ,Ic, I ,Ul ,Us并画出对应的相量图结束运行图三、编程解决以下问题求自然三次样条曲线,经过点（-3,2）,（-2,0）,（1,3）,（4,1）,而且自由边界条件S''(-3)=0,S''(4)=0。
算法说明：三次样条也是分片三次插值函数,它是在给定的区间[a,b]上的一个划分：a=x0<x1<…<x n=b,已知函数f(x)在xj上的函数值为f(x j)=y j ,（j=0,1,2,3...,n)如果存在分段函数[][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⋯⋯∈∈=-n n n x x x x S x x x x S x x x x S x S ,)(,)(,)()(1212101满足下述条件：（1）S(x)在每一个子区间 [ x j-1,x j ],（j=0,1,2,3...,n)上是三次多项式；（2）S(x)在每一个内接点 （j=0,1,2,3...,n)具有直到二阶的连续导数； 则成为节点x 0,x 1,…,x n 上的三次样条函数。
若 S(x) 在节点 x 0,x 1,…,x n 上海满足插值条件：（3）S(x j )=y j （j=0,1,2,3...,n)则称 S(x)为三次样条插值函数。
由（1）知,S(x)在每一个小区间[ x j-1,x j ]上是一三次多项式,若记为S j (x),则可设： S j (x)=a j x3+b j x 2+c j x+d j要确定函数S(x)的表达式,需确定4n 个未知数{aj,bj ,cj, dj}（j=0,1,2,3...,n ）。
由（2）知S(x),S'(x),S''(x)在内节点x 1, x 2,....,x n-1上连续,则Ⅰ型 S(x j -0)=S(x j +0)Ⅱ型 S'(x j -0)=S'(x j +0)Ⅲ型 S''(x j -0)=S''(x j +0) j=0,1,2,3...,n-1可得3n-2个方程,又由条件（3）S(x j )=y j j=0,1,2,3...,n得n 个方程,共得到4n-2个方程。
要确定4n 个未知数,还差俩个方程。
通常在端点x 0=a. x n =b 处各附加一个条件称边界条件,常见有三种：（1）自然边界条件：S''(x 0)=S''(x n )=0（2）固定边界条件：S'(x 0)=f'(x 0),S'(x)=f'(x n )（3）周期边界条件：S'(x 0)=S'(x n ),S''(x 0)=S''(x n )共4n 个方程,可唯一的确定4n 个未知数流程图：（2） 运行流程图。