河南省焦作市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析

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2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(四)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（四）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

―、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}14A x x =≤≤，{}*2N 23B x x x =∈-≤，则A B =( )A. {}13x x ≤≤ B. {}03x x ≤≤C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】【分析】解不等式223x x -≤，结合*N x ∈，用列举法表示集合B ，从而可求交集. 【详解】{}{}{}*2*23131,2,3B x N x x x N x =∈-≤=∈-≤≤=，{}1,2,3A B ∴⋂=.故选:C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合B 中*N x ∈这一条件.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()122i z i -=+，则z z ⋅=( ) A. 4 B. 2C. 4-D. 2-【答案】A 【解析】【分析】由已知可求出2221iz i i+==-，进而可求2z i =-，则可求出z z ⋅的值. 【详解】()122i z i -=+，()()()()211222111i i i z i i i i +++∴===--+，2z i ∴=-，4z z ∴⋅=. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念.本题的关键是通过复数的除法运算，求出复数z .3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若888S a ==，则公差d 等于( ) A.14B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】由88S a =，可求出4707S a ==，进而可知40a =，结合88a =，可求出公差. 【详解】解：888S a ==，1288a a a a ∴+++=，()17747207a a a S ∴+===，40a ∴=. 又由844a a d =+，得8480244a a d --===. 故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量.4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如图表：针对该校“选择考”情况，2019年与2017年比较，下列说法正确的是( ) A. 获得A 等级的人数不变 B. 获得B 等级的人数增加了1倍 C. 获得C 等级的人数减少了 D. 获得E 等级的人数不变【答案】D 【解析】【分析】设2017年参加“选择考”总人数为a ，分别求出2017,2019年获得A ，B ，C ，E 等级的人数，进而可选出正确选项.【详解】解：设2017年参加“选择考”总人数为a ，则2019年参加“选择考”总人数为2a ；则2017年获得A 等级有0.25a 人，2019年获得A 等级有0.2520.50.25a a a ⨯=≠，排除A ； 2017年获得B 等级有0.35a 人，2019年获得B 等级有0.420.820.35a a a ⨯=≠⨯，排除B ； 2017年获得C 等级有0.28a 人，2019年获得C 等级有0.2320.460.28a a a ⨯=>，排除C ； 2017年获得E 等级有0.04a 人，2019年获得E 等级有0.0220.04a a ⨯=，人数不变，故选:D.【点睛】本题考查了扇形统计图，考查了由统计图分析数据. 5.函数()cos xxy e ex -=-的部分图象大致是( )A .B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A,C.代入特殊值，如1x =，通过判断函数值的符号，可选出正确答案. 【详解】解：由()()cos xx x e e y ---=-，可知函数()cos x xy x e e -=-为奇函数，由此排除A ，C ，又1x =时，()11cos1y e e-=-，因为1,012e π><<，则110,cos10e e -->>，即此时()cos 0xxy e e x -=->，排除D .故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的选择.选择函数的图像时，常结合函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域排除选项，再代入特殊值，判断函数值的符号进行选择.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线C 的离心率为( )A.3B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即1=，结合双曲线中222+=a b c ，进而可求出离心率的大小.【详解】解：由题意知，圆心为()2,0在x 轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切，则圆心到渐近线by x a =的距离为半径1r =1=，即223b a =，又222+=a b c ，则()2223c a a-=，解得c e a ==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的性质，考查了直线和圆相切问题，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由相切得到223b a =.一般求圆锥曲线的离心率时，常根据题意列出,,a b c 的关系式进行变形求ca的值.本题的易错点是混淆了椭圆和双曲线中,a c 的关系. 7.在ABC 中，5AC AD =，E 是直线BD 上一点，且2BE BD =，若AE mAB nAC =+则m n +=( )A.25B. 25-C.35D.35【答案】D 【解析】【分析】通过向量的线性运算，以,AB AC 为基底，表示出25AE AB AC =-+，进而求出m n +的值. 【详解】解：()2225AE AB BE AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=-+，35m n ∴+=-.故选:D.【点睛】本题考查了向量的加法运算，考查了向量的减法运算.本题的难点是由题目条件求出,m n 的具体值.8.若函数()cos f x x x =+在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =，则函数()sin x x g x =-在区间[],a b 上( )A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值2-【答案】C 【解析】【分析】由辅助角公式可求得()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()2sin 3g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，由题意可知，不妨取2,33a b ππ=-=，令3t x π=-，结合()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-的图像，可选出正确选项.【详解】解：()1cos 2cos 2sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1sin 2sin 2sin 23g x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =，则2,2,6262a kb k k Z ππππππ+=-++=+∈，即22,2,33a kb k k Z ππππ=-+=+∈，不妨取2,33a b ππ=-=，设3t x π=-，则()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-，则图像为所以，()3sin x x g x -在[],a b 先增后减，可取到最大值为2. 故选:C.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的单调性，考查了三角函数的最值，考查了数形结合.本题的关键是由单调性和最值，确定,a b 的值.9.若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11ea b+的取值范围是( ) A. [)2,e B. (],4eC. [)2,+∞D. [),e +∞【答案】C 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，由题意知()000ln 1x a ex b e x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，从而可得2ea b +=，根据 “1”的代换，可求出11122b ea ea b ea b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出取值范围. 【详解】解：()ln y x a =+，1y x a ∴'=+，设切点为()00,x y ，则()000ln 1x a ex be x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，2ea b ∴+=，()111111222b ea ea b ea b ea b ea b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴.,,0a b e > ∴ 原式12222b ea ea b ⎛≥+⨯= ⎝，当且仅当b ea ea b =，即1,1a b e==时等号成立，即112ea b+≥. 故选:C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三相等.10.在三棱锥P ABC -中，已知4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，三棱锥P ABC -的体积为36，若点,,,P A B C 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】A 【解析】【分析】取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，由题意可知，AO BO R ==，由1336P ABC PBCV S AO -=⋅=，可列出关于R 的方程，进而可求出球的半径，则可求球的表面积. 【详解】解：取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，因为3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，所以AO BO R ==，2PC R =，PB R =，3BC R =，因为4APC π∠=，PA AC ⊥，所以PA AC =，则AO PC ⊥,因为平面PAC ⊥平面PBC ，所以AO ⊥平面PBC ，即133P ABC PBCV S AO -=⋅=，所以33366R =，1R ∴=，∴球的表面积为244R ππ=.故选:A.【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解.求球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解.本题的关键是面面垂直这一条件的应用. 11.已知函数()223f x x x=-+，()()g x f x b =+，若函数()()y f g x =有6个零点，则实数b 的取值范围为( ) A. ()2,+∞ B. ()1,-+∞C. ()1,2-D. ()2,1-【答案】A 【解析】【分析】结合导数，求出()223f x x x=-+的单调性，由120f f ，可得其零点及函数的简图，通过分析可知，()()f g x 有6个零点等价于()1f x b =--和()2f x b =-都分别有3个实数根，结合图像可得关于b 的不等式，进而可求出b 的取值范围.【详解】解：因为()223f x x x =-+，所以()()3222122x f x x x x+'=--=-，故当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10x -<<和0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；又120ff ，∴函数有两个零点分别为1-，2.则函数的简图为函数()()f g x 有6个零点，()1g x ∴=-与()2g x =的根共有6个，()1f x b ∴=--和()2f x b =-都分别有3个实数根，则10b --<且20b -<，即2b >.故选:A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，考查了运用导数求函数的单调性，考查了数形结合.本题的难点是对()()y f g x =有6个零点这一条件的理解.一般地，若()()()f x g x h x =-，则()f x 的零点个数就等于()(),y g x y h x ==的图像交点个数.12.已知抛物线()2:20C y px p =>，其焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线C 于点,A B （其中A 在x 轴上方），,A B 两点在抛物线的准线上的投影分别为,M N ，若23MF =，2NF =，则AFBF=( ) A. 3 B. 2C. 3D. 4.【答案】C 【解析】【分析】由题意可知2MFN π∠=，由22216MNNF MF =+=，可求出4MN =，由MNFS可求出3p =，由1cos 2p MFO MF ∠==可知3MFO π∠=，从而可知23AF MF ==， 231cos p BF θ==+，进而可求AF BF 的值. 【详解】解：由题意知，AF AM =，BF BN =，则,AMF AFM BFN BNF ∠=∠∠=∠, 由////BN AM x 轴，可知22AFM BFN π∠+∠=，则2MFN π∠=，22216MN NF MF ∴=+=，4MN ∴=，112322MNFp MN NF S MF =⋅=⋅=， 3p ∴=，则1cos 2p MFO MF ∠== ，3MFO π∴∠=，AF AM =，AMF ∴△为等边三角形，∴直线AB 的倾斜角3πθ=，且23AF MF ==,又因为cos cos BN BF BF BF p θθ+=+=，则231cos 3p BF θ==+.3AF BF ∴=.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系.本题的关键是p 的求解.对于抛物线的问题，一般结合抛物线的定义，可减少运算量.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6x⎛⎝展开式中常数项为________.【答案】240 【解析】【分析】先求出二项式6x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项.【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在平面直角坐标系中，若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()cos πα+=________.【答案】【解析】【分析】化简出P 的坐标，从而可求出cos α=()cos πα+的值.【详解】解：由题意知，221sin ,cos 3322P P ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则P 到原点的距离为1，cos 2α∴=，()cos cos 2παα+=-=-. 故答案为: . 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数值的求解.由P 点坐标求出角的余弦值是本题的关键. 15.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当01x <≤时，()213log ,02112x x f x x ⎧-<<⎪⎪=≤≤，则()9114f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【答案】5 【解析】【分析】由题意可知()f x 周期为2，从而可求出91544f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110f f ==，进而可求出()9114f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】解：由()()2f x f x +=-可知，()f x 关于1x =对称，又因为()f x 是偶函数，所以()f x 周期为2，则9915444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()1110f f == ()()9111150544f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:5.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键.16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足333321232n n n a a a a S S ++++=+，设2nn na b =数列{}n b 的前n 项和为nT，则使得n T m <成立的最小的m 的值为________.【答案】3 【解析】【分析】由333321232n n n a a a a S S ++++=+，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+，两式相减可得()2122n n n a S S n -=++≥，结合1,2n n n a S S n -=-≥，可求出()113n n a a n --=≥，又21321a a -=-=，从而可求出{}n a 的通项公式1n a n =+，用错位相减法可求出332n n n T +=-，进而可求使得n T m <成立的最小的m 的值.【详解】解：由333321232n n n a a a a S S ++++=+，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+，两式相减得()()3221112222n n n n n n n n n a S S S S a S S a n ---=+--=++≥，整理得，()2122n n n a S S n -=++≥，()211223n n n a S S n ---∴=++≥，两式相减得()22113n n n n a a a a n ---=+≥.数列{}n a 的各项为正数，()113n n a a n -∴-=≥，当1n = 时，321112a a a =+，即()211120a a a --=，解得12a =或1-（舍）或0（舍），又22212224a S S a =++=++，解得：23a =或22a =-（舍），则21321a a -=-=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，()2111n a n n ∴=+-=+⨯，12n n n b +∴=，12323412222nnn T +=++++，则23411111122222n n n T ++=++++，相减得1234111111111111111221222222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++++-=+--，3332n n n T +∴=-<，∴满足不等式的m 的最小正整数为3. 故答案为:3.【点睛】本题考查了通项公式的求解，考查了错位相减法求和.本题的难点是由已知,n n S a 递推关系式的整理.一般地，已知,n n S a 递推关系时，常结合11,2,,1n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩进行求解. 本题的易错点是由错位相减法求n T 时，计算量大，容易算错.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+.（1）求A ；（2）若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）1027+. 【解析】【分析】（1）由正弦定理对已知式子进行边角互化，结合三角形的内角和定理，化简后可得1cos 2A =，进而可求出A ；（2）由1sin 632ABCSbc A ==，可知24bc =，结合余弦定理可求出10b c +=，从而可求周长. 【详解】解：（1）由2cos cos cos a A b C c B =+知，2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，()2sin cos sin sin A A B C A ∴=+=.0A π<<，1cos 2A ∴=，则3A π=. （2）1632sin ABCbc SA ==，24bc ∴=.由余弦定理知， 2222cos 28=+-=a b c bc A ，即()222283b c bc b c bc =+-=+-，()2283100b c bc +=+=∴，解得10b c +=，ABC ∴的周长为1027+.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式.一般地，若题目已知式子中既有边又有角，常结合正弦定理和余弦定理进行边角互化；若式子中三个角都存在，则常结合三角形的内角和定理进行消角化简.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，3BC =，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 与平面PCD 所成二面角正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2178【解析】【分析】（1）通过BC PA ⊥，BC AB ⊥可证明BC ⊥平面PAB ，进而可得AE BC ⊥，结合AE PB ⊥证明线面垂直.（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可求出平面AEF 的法向量()1,4,1m =--，平面PCD 的法向量()0,4,3n =，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：PA AB =，E 为线段PB 中点，AE PB ∴⊥.PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥.又底面ABCD 是长方形，BC AB ∴⊥.又PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB .AE ⊂平面PAB ，AE BC ∴⊥. 又PB BC B ⋂=，AE ∴⊥平面PBC .（2）解：由题意，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,2E ，()4,1,0F ，()0,0,4P ，()4,3,0C ，()0,3,0D . 所以()2,0,2AE =,()4,1,0AF =，()4,3,4PC =-，()0,3,4PD =-，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22040x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则4y =-，1z =-，()1,4,1m ∴=--，同理可求平面PCD 的法向量()0,4,3n =，192cos ,,m n m n m n⋅∴==-，2178sin 1cos ,,m m n n ∴=-=，即平面AEF 与平面PCD 所成角的正弦值为17830.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角正弦值的求解，考查了同角三角函数的基本关系.证明线线垂直时，可结合等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的邻边、菱形的对边、线面垂直的性质证明. 19.2019新型冠状病毒（2019―nCoV ）于2020年1月12日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表：戴口罩未戴口罩总计未感染301040（1）根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；（2）从上述感染者中随机抽取3人，记未戴口罩的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）有把握；（2）分布列见解析，95. 【解析】【分析】（1）由表求出245043841..K ≈>，即可判断；（2）由题意知X 的取值可能为0，1，2，3，求出每种情况的概率，从而可得分布列，进而可求数学期望.【详解】解：（1）由列联表可知，()225030641045043841341640.10.K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关.（2）由题知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，则X 的取值可能为0，1，2，3.()343101030C P X C ===；()21463103110C C P X C ===；()1246210122C C P X C ===；()36310136C P X C ===，则X 的分布列为()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=∴. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望的求解.在第一问求2K 时，由于数据较大，应注意计算.一般对于求分布列的问题，写出分布列后，可结合概率之和为1这一性质，进行检验.20.已知点1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，215PF PF =，12F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）y x =y x =-. 【解析】【分析】（1）由1PF x ⊥轴，结合勾股定理可得2221122PF F F PF +=，从而可求出23PF =13PF =，则可知a =122F F c ==21b =，即可求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，:l x ty =+12y y +=，12213y y t =-+，从而可用t 表示出11212223AF BF F AF F BSSSt =+=+，用内切圆半径表示出()11112AF BSAF F B AB r =++⋅=，即可知23r t =+，结合基本不等式，可求出当半径取最大时，t 的值，从而可求出直线的方程.【详解】解：（1）因为1PF x ⊥轴，所以122PF F π∠=，则2221122PF F F PF +=，由215PF PF =，12F F =2PF =1PF =122F F c ==由椭圆的定义知233a =+=a ∴=2221b ac =-=， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）要使1AF B △的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B △的内切圆的半径r 最大.因为()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:l x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+；所以11212121212AF BF F A F F BSS SF F yy =+=-===，又()1111114222AF B S AF F BAB r a r r=++⋅=⋅⋅=⋅=，=，即，21232r t ==≤+；=，即1t =±时等号成立，此时内切圆半径取最大值为12， ∴直线l 的方程为y x =y x =-+.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简. 21.已知函数()()()2ln 2f x x a x a R =++∈.（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()122f x f x +>.【答案】（1）当0a >时，()f x 的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，()f x 的最大值为1；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数()2242x x a f x x ++'=+，分为2a ≥，02a <<，0a ≤三种情况，结合导数判断函数的单调性，继而求出最大值.（2）由函数()f x 存在两个极值点可知2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，从而可知()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，可求出a 的取值范围，结合韦达定理可求出()()12ln 42af x f x a a +=-+，结合令()ln 42x q x x x =-+，在()0,2x ∈上的单调性，可证明()()12ln 422af x f x a a +=-+>.【详解】解：（1）由题意知，()f x 定义域为()2,-+∞，且()2242x x af x x ++'=+，当1680a ∆=-≤时，解得2a ≥，此时()0f x '≥对[]1,1x ∈-成立，则()f x 在[]1,1-上是增函数，此时最大值为()11ln3f a =+，当2a <时，由2240x x a ++=得1x =-，由[]11,1---，取01x =-，则[)01,x x ∈-时，()0f x '≤；[)0,x x ∈+∞时，()0f x '≥，所以()f x 在[)01,x x ∈-上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，又()11f -= 则当()()11f f >-，即0a >时，此时，()f x 在[]1,1-上的最大值为1ln3a +；当()()11f f ≤-，即0a ≤时，()f x 在[]1,1-上的最大值为()11f -=，∴综上，当0a >时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1.（2）要使()f x 存在两个极值点，则2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，则对称轴为1x =-，则()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，解得02a <<，由韦达定理知121222x x a x x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，()()()()22121122ln 2ln 2f x f x x a x x a x ∴+=+++++()()2121212122ln 24x x x x a x x x x =+-++++⎡⎤⎣⎦()()222ln 22422a a a ⎡⎤=--⋅++⋅-+⎢⎥⎣⎦ln 42a a a =-+.令()ln42x q x x x =-+，()0,2x ∈，()ln 02xq x '∴=<，()q x ∴在()0,2上单调递减， 02x ∴<<时，()()22q x q >=，()()122f x f x ∴+>.【点睛】本题考查了二次函数根的分布，考查了韦达定理，考查了运用导数求最值，考查了已知极值点的个数求参数.本题的难点在于第一问中，参数范围的确定；第二问中，如何将极值点个数转化为参数的取值范围.一般地，含参函数求最值时，首先求出定义域，然后求得导数，令导数为零，讨论导数为零有无根；当有根时，再讨论根是否属于定义域，结合单调性，即可求最值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标系的原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试求,A B 两点间的距离.【答案】（1）3cos 4sin 10ρθρθ-+=，220x y x y +--=；（2）75.【解析】【分析】（1）将直线参数方程通过消参得到普通直角坐标方程，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得其极坐标方程；结合两角差的余弦公式，可得2cos sin ρρθρθ=+，从而可求出曲线C 的普通方程.（2）联立直线参数方程和圆的方程，可求出12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-=. 【详解】解：（1）消参得，直线:3410l x y -+=，即3cos 4sin 10ρθρθ-+=；曲线:cos cos sin sin 444C πππρθθθ⎛⎫⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，即2cos sin ρρθρθ=+，则22x y x y +=+ ，所以曲线C 的普通方程为220x y x y +--=.（2）设,A B 两点在直线上对应的参数分别为12,t t ，将415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入220x y x y +--=，得2705t t +=，则12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-==. 【点睛】本题考查了参数方程与普通直角坐标方程的转化，考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了弦长问题.求第二问的弦长时，可结合直线和圆的图形，由勾股定理求解，但是计算稍麻烦；也可结合参数的几何意义求解.选修4-5：不等式选讲23.已知0a >，0b >，1a b +=. （1（2）若不等式111x m x a b+-+≤+对任意x ∈R 及条件中的任意,a b 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1；（2）[]3,5-. 【解析】【分析】（1）求结合基本不等式可求出2的最大值为6+（2）结合基本不等式中“1”的代换，可求出114a b+≥，结合11x m x m +-+≤-，可得14m -≤，从而可求出m 的取值范围. 【详解】解：（1）21111116a b a b a b =+++++++++++=， =12a b ==时取等号，. （2）()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即a b =时取等号，11a b∴+的最小值为4.又11x m x m +-+≤-，∴ 14m -≤，解得35m -≤≤，即m 的取值范围为[]3,5-.【点睛】本题考查了基本不等式，考查了“1”的代换，考查了含绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式.在应用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。

河南省周口市2021届新高考第四次模拟数学试题含解析

河南省周口市2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】A 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．【详解】(1)2i ai bi -=+，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．2．下列结论中正确的个数是（）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =，可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则4222a b a b =+≥⋅，所以2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个；故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．3．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（）A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】D 【解析】【分析】由题意得2212cos m n mn AOB =++∠，再利用基本不等式即可求解．【详解】将OC mOA nOB =+平方得2212cos m n mn AOB =++∠，222211()2331cos 1122222()2m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-+⨯ （当且仅当1m n ==时等号成立），0AOB π<∠<，AOB ∴∠的最小值为23π，故选：D ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．4．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数 D ．不存在满足条件的实数a ，b【答案】A 【解析】【分析】求得()f x 的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得0a =，b 为任意非零实数. 【详解】依题意()'2f x bx =+，()y f x =在点1212,22x xx x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB平行，即有()1221b x x +=()1221ab x x x x =++-=，由于对任意12,x x 上式都成立，可得0a =，b 为非零实数.故选：A 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题． 5．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D 【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=，()70900.9544P X <=，所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=，()75900.68260.13590.8185P X <=+=. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.7．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B 【解析】【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为3y x =，故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=是解题的关键，属于中档题.8．设02x π≤≤1sin 2sin cos x x x -=-，则（） A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【答案】C 【解析】【分析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x ，即可求出x 的范围. 【详解】221sin 2sin cos 2sin cos x x x x -+-2(sin cos )x x =-|sin cos |x x =-sin cos x x =-sin cos 0,x x ∴- 即sin cos x x 02x π544xππ∴故选：C【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目. 9．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --【答案】B 【解析】【分析】求得复数1z ，结合复数除法运算，求得12z z 的值. 【详解】易知123z i =+，则()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555i i --==--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.10．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=，由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 11．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列通项公式推导出λ131819dd-=+，由d ∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．【详解】∵数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15， ∴1+3d+λ（1+9d ）+1+15d ＝15，解得λ1318d19d-=+，∵d ∈[1，2]，λ1318d 19d -==-+21519d++是减函数，∴d ＝1时，实数λ取最大值为λ13181192-==-+．故选D ．【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（） A ．8年 B ．9年C ．10年D ．11年【答案】D 【解析】【分析】根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出a ，求解15y >，即可求出答案.【详解】依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y==在回归直线上，ˆ4.5 1.6 3.5, 1.1, 1.6 1.1a a y x =⨯+=-∴-＝，由1ˆ 1.6 1.115,1016yx x ->>＝，估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直D．∥4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．88．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．611．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B． C． D．112．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M （x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10 （Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，∵A={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，故选：D．2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直D．∥【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的命题进行分析判断即可．【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），∴||=2，||===2，||=||，A正确；•=2×1+0×1=2，B正确；（﹣）•=（1，﹣1）•（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a 的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选D．8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（•+a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；∴（•+a）2=3+a2，解得，a=1；故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故选：C．9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B． C． D．1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，∴OQ=a，又OQ=2b，∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），即c2=a2，∴===2b+≥2=．当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．故选：C．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A． B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f （x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，半径r=2，故|AB|=2=2，故答案为：2．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，则，由图可知，当直线过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；直线过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故答案为：1．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为5．【考点】类比推理．【分析】f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，∴f（x）=+的最小值为=5．故答案为：5．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10 （Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：∴估算这100学生的数学平均成绩：=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2PEξ==．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（ III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P 点，则k PA+k PB=0，代入斜率公式化简即可求出x0，y0．【解答】解：（I）设抛物线的准线方程为x=﹣．圆O的半径r=2，由垂径定理得=4，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（II）联立方程组得y2+4y﹣4m=0，∴△=16+16m＞0，解得m＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4m．若抛物线上存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称，则k PA+k PB=0，∴+=+==0，∴y0=﹣=2，x0==1．∴存在点P（1，2），只要m＞﹣1，直线PA，PB关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+a﹣=，令f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即： =﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得： =+=[ln+]= [ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F 四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．8月1日。

2021届高考数学(新高考)仿真模拟卷(四)(含答案)

2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（四）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知复数2i1iz =+，则z z ⋅的值 A ．0B ．2iC ．2D ．12．命题“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是 A ．0x R ∃∈，使得200210x x ++> B ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤ C ．x R ∀∈，2210x x ++≤ D ．x R ∀∈，2210x x ++<3．已知向量()2,1m =-，(),2n λ=，若()2m n m -⊥，则λ= A ．94B ．94-C ．7-D ．74．如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME -7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为A ．n a n =，*n N ∈B ．n a =*n N ∈C ．n a =，*n N ∈D ．2n a n =，*n N ∈5．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则1231⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b 的最小值为A ．14+B ．25C ．24D ．6．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2sin 2BA C +=.2a =，3c =，则sin 2A 的值为A ．7-B ．14C ．7D ．14-7．已知a 、b 满足0a b e <<<，则ln +ba a a 与ln +ab b b的大小关系为 A ．ln ln +>+a ba ba b a b B ．ln ln +=+a ba b a b a bC ．ln ln +<+a ba b a b a bD ．不能确定8．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．德国数学家狄里克雷（1805—1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个x ，都有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数D(x )，即：当自变量x 取有理数时，函数值为1，当自变量x 取无理数时，函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数D(x )的性质表述正确的是A ．()0D π=B ．()D x 是奇函数C ．()D x 的值域是{}0,1D ．()()1D x D x +=10．若2nx⎛ ⎝的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有 A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在Rt ABC 中，2A π∠=，2AC =，那么CB CA ⋅=_____；14．夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为____.15．设函数()()21,11,1x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，()lg g x x =，则函数()()()F x f x g x =-零点的个数有______个.16．若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2121232222n n a a a a n n -++++=+，则n a =______n S =_____四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．如图，ABC 中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，8c =，1cos 7ACB ∠=-且14cos b B =．（1）求B（2）点D 在BC边的延长线上，且AD =CD 的长．18．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；②M ，T ，N ；③N ，T ，M ；④T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且__________依次成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）设,01,{1,1,n n n n na ab a a <≤=>数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分．19．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km h 的有40人，不超过100km h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km h 的有20人，不超过100km h 的有25人.（1）完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过100km h 与性别有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（2）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；（3）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km h 且为男性驾驶员的车辆数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .20．如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD //BC ，AD =2BC =4，AB =2√3，∠BAD =90∘，M,O 分别为线段CD,AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PBM ⊥平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使得ON //平面PAB ，若存在，求PN PM的值；若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x yc b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:e e =A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值. 22．已知函数()22xf x x ax e =+-在R 上单调递减.（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在非零实数1x ，2x 满足1f x ，()0f ，2f x 依次成等差数列.求证：120x x +<.参考答案1．C 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．ACD 10．ABC 11．ACD 12．ACD 13．4 14．1315．8 16．1212n n -+ 125102n n -+- 17．（1）3B π=；（2）7CD =.【解析】（1）因为1cos 7ACB ∠=-，(0,)ACB π∠∈，所以sin ACB ∠== 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin b c B ACB=∠，所以sin sin 3c B b B ACB ==∠，又14cos b B =14cos B B =，所以tan B = 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由（1）可得11472b =⨯=，在ACD △中，1cos cos 7ACD ACB ∠=-∠=，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，即22217277CD CD =+-⋅⋅⋅，即22350CD CD -⋅-=，解得：7CD =或5-（舍去），所以7CD =.18．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅰ）答案见解析. 【解析】（解答一）选②或③：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得423223a a a =-，又因为11a =，所以32223q q q =-，即22320q q +-=，解得12q =（负值舍去）．所以112n n a -=．（Ⅰ）由题意得112n n b -=，则1112121212n nn n S ---==-．由100n n S b >得 112110022n n n --->，即2101>n ，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为7．（解答二）选①或④：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得24343a a a =-，又因为11a =，所以3243q q q =-，即2340q q --=，解得4q =（负值舍去）．所以14n n a -=．（Ⅰ）由题意得114n n b -=，则11141413414n n n n S ---==⨯-．由100n n S b >得 1141100344n n n --->⨯，即4301n >，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为5． 19．（1）答案见解析，能；（2）2552；（3）答案见解析，65.【解析】（1）完成的22⨯列联表如下：()22100402515208.2497.87955456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过100km h 与性别有关”. （2）平均车速不超过100km h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为240C ，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为111525C C ，所以所求的概率()111525240152525203952C C P A C ⨯===⨯. （3）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100km h 且为男性驾驶员的概率为4021005=，故2(3,)5XB .所以0332327(0)()()55125P X C ===；()12323541()()55125P X C ===； ()22323362()()55125P X C ===；3303238(3)()()55125P X C ===. 所以X 的分布列为()2701231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或()26355E X =⨯=）.20．（1）证明见解析；（2）λ=13. 【解析】试题分析：（1）以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，可得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)， BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BM ⊥AC 又BM ⊥PO 得BM ⊥平面PAC ，进而得结论；（2）设OP =ℎ，可得平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(0,−ℎ,1)，再根据ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2λℎ+ℎ−λℎ=0可解得λ. 试题解析：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，B(2√3,0,0)，C(2√3,2,0)，D(0,4,0)，所以CD 中点M(√3,3)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3)×(2√3)+3×2=0，所以BM ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，所以BM ⊥PO ，由AC ∩PO =O ，所以BM ⊥平面PAC ，又BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAC .（2）法一：设OP =ℎ，则O(√3,1,0)，P(√3,1,ℎ)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−ℎ)，设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x 0,y 0,z 0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,ℎ)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，所以{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则{√3x 0+y 0+ℎz 0=02x 0=0 ，令z 0=1，得n ⃗ =(0,−ℎ,1)，设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,−λℎ) (0≤λ≤1)，则 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,ℎ−λℎ)，若ON//平面PAB ，则ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2λℎ+ℎ−λℎ=0，解得λ=13.法二：（略解）：连接MO 延长与AB 交于点E ，连接PE ，若存在ON//平面PAB ，则ON//PE ，证明OE EM=13即可.21．（1）22193x y +=；（2）2. 【解析】（1）由题意知1c e a =，2e c c==，因为12:e e =2c a c=⋅，22，将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a c a c --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b ，c =，所以),0A ，()0,B b -，所以直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y ，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=. （2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ，得()222124260k x knx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m km ∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=，将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=，由()*式可得()()()22222223641339129336k m k m k m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以213M NMN xk=-==+设213k t+=，则1t>，2MN==≤，22<，所以当4t=，即1k=±时，MN最大，且最大值为2.22．（1）(],2-∞；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，()220xf x x a e'=+-≤恒成立，即()maxf x'≤，设()()g x f x'=，则()22xg x e='-.令0g x，得0x=，当0x<时，0g x，()g x 单调递增；当0x>时，0g x，()g x单调递减.所以()()max02g x g a==-.所以20a-≤，即2a≤.故a的取值范围为(],2-∞.（2）由题意得()()()1202f x f xf+=，因为()f x单调递减，不妨设12x x<<.设()()()22x xf x f xF x x e e-+-==--，则()2x xF x x e e-'=-+.设()()G x F x'=，则()20x xG x e e-'=--≤，所以()G x单调递减，即()F x'单调递减.当0x<时，()()00F x F''>=，所以()F x在,0上单调递增.因为10x<，所以()()1F x F<，即()()()()()1112022f x f x f x f x f +-+<=，整理可得()()12f x f x -<. 因为()f x 在R 上单调递减，所以12x x ->，即120x x +<.。

2021届河南省焦作市高三四模数学(文)试题(解析版)

2021届河南省焦作市高三四模数学（文）试题一、单选题 1．若复数202112021iz i-=+，则z =（）A ．iB ．2021-C ．2021iD ．1-【答案】A【分析】先利用复数的除法化简复数z ，再利用共轭复数的定义求解. 【详解】因为复数202112021iz i-=+，所以()()()()2021120212021120211202112021i i i z i i i i ---===-++-，所以z i =，故选：A2．已知集合{}1A x x =<，{}2log 2B x x =≤，则A B =（）A ．()0,2B ．()1,4-C ．](1,4-D ．](0,4【答案】C【分析】先利用绝对值不等式的解法以及对数函数的单调性求出集合,A B ，再根据集合的并集运算即可求出．【详解】因为{}()11,1A x x =<=-，{}(]2log 20,4B x x =≤=，所以A B =](1,4-．故选：C ．3．某学校研究性学习小组对该校高一学生每周上网时长情况进行调查，从高一的全体2000名学生中随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．每周上网时长的中位数位于[5，7)内B．全年级学生每周上网时长低于11小时的人数约为1640C．每周上网时长的众数位于[7，9)内D．每周上网时长的平均数位于[5，7)内【答案】B【分析】先求出第五组的频率，利用频率分布直方图，对各选项分别计算并判断得解. 【详解】由题意知第五组的频率为：1﹣2×(0.015+0.035+0.135+0.12+0.09)=0.21，各组频率分别为0.03，0.07，0.27，0.24，0.21，0.18，而0.03+0.07+0.27=0.37，0.03+0.07+0.27+0.24=0.61，而0.37<0.5<0.61，则每周上网时长的中位数的估计值位于[7，9)内，即A错误；全年级学生每周上网时长低于11小时的人数约为(1-0.18)×2000=1640，B正确；频率最大的是第三组，即每周上网时长的众数的估计值位于[5，7)内，C错误；每周上网时长的平均数的估计值为：0.03×2+0.07×4+0.27×6+0.24×8+0.21×10+0.18×12=8.14，位于[7，9)内，D错误.故选：B4．下列叙述中正确的是（）A．命题“∃x0∈R，2021x02-2x0+1≤0”的否定是“∃x0∈R，2021x02-2x+1>0”B．“a2=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0垂直”的充分而不必要条件C．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0且n≠0”D．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假【答案】D【分析】对各个选项中的命题逐一分析判断即可得解.【详解】对于A选项：命题“∃x0∈R，2021x02-2x0+1≤0”的否定是“∀x∈R，2021x2-2x+1>0，A错误；对于B选项：若直线x+y=0和直线x-ay=0垂直，则1·1-a=0得a=1，而a2=1是a=1或a=-1，即“a2=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0垂直”的必要不充分条件，B错误；对于C选项：命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，C错误；对于D选项：若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，于是p，q一真一假，D正确.故选：D5．函数1()ln||cos32f x x x的部分图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再由06x π<<时对应函数值的正负即可得解.【详解】函数的定义域为{x |x ≠0}，11()ln ||cos(3)ln ||cos3()22f x x x x x f x -=--==，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当06x π<<时，f (x )<0，排除A ，D 符合要求.故选：D.6．若93tan 45πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．1517-B ．217-C ．217D ．1517【答案】A【分析】由诱导公式求得3tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得到tan 4α=，然后由三角恒等变换可得结果. 【详解】因为93tan tan 2tan 4445πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1tan 3tan 41tan 5πααα-⎛⎫-==-⎪+⎝⎭，解得tan 4α=，则22222222cos sin 1tan 11615cos2cos sin cos sin 1tan 11617ααααααααα---=-====-+++故选：A.【点睛】方法点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子.比如2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan ααααααααα===++，22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++. 7．人类通常有O ，A ，B ，AB 四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X →X ；②O →X ；X →AB ；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X 代表O ，A ，B ，AB 中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O ，A ，B ，AB 四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A 型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（） A ．0.27 B ．0.31C ．0.42D ．0.69【答案】B【分析】利用条件分析出不能为A 型血供血者的血型即可得解.【详解】当受血者为A 型血时，供血者可以为A 型或O 型，即B ，AB 两种血型不能为供血者，我国O ，A ，B ，AB 四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P =24%+7%=31%=0.31. 故选：B8．已知函数1331,1()1log (5),1x x f x x x -⎧-=⎨--+<⎩，且()2f m =-，则(6)f m +=（）A ．﹣16B ．16C ．26D ．27【答案】C【分析】根据分段函数的分段标准，分类建立方程求得m 的值，然后再求f (6+m )的值. 【详解】解：若f (m )=3m ﹣1﹣1=﹣2，则3m ﹣1=﹣1，方程无解，故f (m )=﹣1﹣log 3(m +5)=﹣2，可得log 3(m +5)=1，解得m =﹣2，所以f (6+m )=f （4）=34﹣1﹣1=26. 故选：C.9．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D【分析】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，然后放在正方体中求解.【详解】由三视图得该几何体为以ABCD 为底，以P A 为高的四棱锥，如图所示：正方体的棱长为2，则()()11212322ABCD S AD BC AB =+⨯==+⨯=，所以该几何体的体积为1132233ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=,故选：D10．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞在[],ππ-上的大致图象如图所示，则()f x 的最小正周期为（）A ．32π B ．43π C ．54π D ．76π 【答案】B 【分析】由2()09f π-=，求得39,2k k Z ω=-∈且0>ω，再由1222229πππππω-<⨯<+，求得18213ω<<，得到32ω=，结合最小正周期的求法，即可求解.【详解】由题意，可得22()2sin[()]0993f πππω-=-+=，可得22,93k k Z ππωπ-+=∈，解得39,2k k Z ω=-∈且0>ω，又由1222229πππππω-<⨯<+，即13218πππω<<，解得18213ω<<，当且仅当0k =时，32ω=满足题意，所以函数()f x 的最小正周期为243T ππω==. 故选：B.11．已知点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若OAF △(点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率17,65e ⎡∈⎣，则a 的取值范围为（） A ．[]1,2 B ．2⎡⎣C ．24⎤⎥⎣⎦ D ．22⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先求出2,,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭再根据OAF △(点O 为坐标原点)的面积为2，即得4ab =，解不等式41617165a +即得解. 【详解】解：取双曲线的渐近线为b y x a =，即OA 的方程为by x a =， (),0,F c ∴直线AF 的方程为()ay x c b=--，联立()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2,,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭ 122OAFabSc c∴=⋅=，即4ab =， 22241611b e a a=+=+又416,17165e a ∈∴+解得1.2a a ∴的取值范围为2⎤⎥⎣⎦故选：D.【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出,a c 代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（由已知得到关于e 的方程，解方程即得解）.要根据已知条件选择合适的方法求解.12．已知函数()f x 满足()()f x f x -=-，且对任意的[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()2121f x f x x x --()2,12020f >=，则满足不等式()()202021011f x x ->-的x 的取值范围是（） A ．()2021,+∞ B ．()2020,+∞C ．()1011,∞+D ．()1010,+∞【答案】A 【分析】()()21212f x f x x x ->-可化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，构造函数()2f x x -，再结合奇偶性可知该函数在R 上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式. 【详解】根据题意可知，()()21212f x f x x x ->-可转化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，所以()2f x x -在[0，+∞)上是增函数，又()()f x f x -=-，所以()2f x x -为奇函数，所以()2f x x -在R 上为增函数，因为()()202021011f x x ->-，(1)2020f =，所以(2020)2(2020)(1)2f x x f ，所以20201x，解得2021x >，即x 的取值范围是()2021,+∞. 故选：A. 【关键点点睛】本题的关键是将不等式()()21212f x f x x x ->-化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，从而构造函数()2f x x -，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.二、填空题13．已知向量()2,1a =-，()1,2b =，()//2a a kb +，则k =______．【答案】0【分析】先求向量2a kb +的坐标，再用向量平行的坐标表示建立方程即可求解. 【详解】由()2,1a =-，()1,2b =，()24,22a kb k k +=-++，()//2a a kb +，则444k k --=-+，0k =．故答案为:014．若抛物线C ：()220y px p =>上的点M 到焦点F 的距离与到y 轴的距离之差为2，则p =__________．【答案】4【分析】作出图象，过点MB l ⊥，交y 轴于点A ，由题意得到2MF MA -=，根据抛物线的定义，转化为2MF MA MB MA AB -=-==，即可求解. 【详解】如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为(,0)2pF ，准线方程为:2p l x =-，过点MB l ⊥，交y 轴于点A ，因为抛物线C 上的点M 到焦点F 的距离与到y 轴的距离之差为2，即2MF MA -=，根据抛物线的定义，可得MF MB =，所以2MF MA MB MA AB -=-==，即22p=，解得4p =. 故答案为：4.15．棱长为2的正四面体ABCD 的外接球的球心为O ，过点A ，B ，O 的平面截四面体ABCD 所得截面的面积为___________. 2【分析】将四面体ABCD 放置在正方体中，正四面体ABCD 的外接球的球心O ，即正方体外接球的球心.然后进行计算即可.【详解】解：将四面体ABCD 放置在正方体中，如图，则棱长为2的正四面体ABCD 的外接球的球心O ，即正方体外接球的球心. 设正方体的棱长为a ，则22,2AB a a ==∴=取CD 中点M ，连接AM ､BM ，则△ABM 为过点A ，B ，O 的平面截四面体ABCD 所得截面，由题意，截面积为1122222AB a ⨯⨯=⨯⨯= 故答案为：2.【点睛】本题考查多面体与球的外接问题，解答多面体置于正方体或长方体中，是解决此类问题的有效方法.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A =60°，b +c =6，且△ABC 3△ABC 的内切圆的半径为___________. 32【分析】由面积公式求得bc =4,由余弦定理求得a 的值，进而利用内切圆的性质，半周长与内切圆半径的乘积等于三角形的面积计算内切圆的半径. 【详解】解：由题意得ABC 的面积12S =bc sin A 33==,故4bc =. 因为60,6A b c =+=，由余弦定理得，2222()324a b c bc b c bc =+-=+-=，所以26a =ABC 的周长626+ 设ABC 的内切圆的半径为r ，则()(11626322a b c r r ++=⨯+=, 所以3 2.r = 32.【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式的综合运用，其中求内切圆半径的常用方法是利用pr S =(p 为半周长)计算.三、解答题17．已知正项数列{a n }满足211(2)n n n a a a n -+=⋅≥，且2532,4a a a ==.（1）求{a n }的通项公式；（2）若11n n n n a b n a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，求{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）12n n a -=；（2）()112nn T n =+-⋅.【分析】（1）根据已知条件求得a 1=1，q =2，即得解；（2）求得12n n b n -=⋅，利用错位相减法求和即得解. 【详解】解：（1）正项数列{a n }满足a n 2=a n ﹣1•a n +1(n ≥2)，可得数列{a n }为等比数列，设公比为q ，q >0，由a 2=2，a 5=4a 3，可得a 1q =2，a 1q 4=4a 1q 2，解得a 1=1，q =2，则a n =2n ﹣1；（2）1112n n n n n a b n n a --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，01211222322n n T n +-=⋅+⋅⋅+⋅⋯+⋅2321222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，两式相减可得21122+22n nn T n --=+++-⋅12212nn n -=-⋅-化简可得()112.n n T n =+-⋅【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）分组求和法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 18．为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动.某班统计了本班同学1~7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月劳动时间y 关于月份x 的线性回归方程ˆˆ4y bx=+，y 与x 的原始数据如表所示：由于某些原因导致部分数据丢失，但已知71452i ii x y==∑.（1）求m ，n 的值；（2）求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差).参考公式：在线性回归方程ˆˆy bxa =+中，1221ˆˆ,ni ii nii x y nxyb a y bxxnx ==-==--∑∑. 【答案】（1）m =10，n =16；（2）37. 【分析】（1）由表中数据先计算x ,y 的平均值，结合给出的计算结果，计算ˆb 的值，得到ˆb关于m ,n 的表达式，结合回归直线方程恒过样本中心点(),x y ，即可求得m +n 的的值，再由718183485114154452i ii x ym n ==++++++=∑，两者结合求得m ,n 的值.（2）根据（1）的计算过程可得到线性回归方程，将6x =代入即得预测值，并求出残差.【详解】解：（1）由表知:1170(1234567)4,(89121922),777m nx y m n ++=⨯++++++==⨯++++++= 所以()7222222221(3)(2)(1)012328ii x x ++=-=---++++=∑，所以()71721707452747ˆ28i ii ii m nx y xybx x ==++--⨯⨯==-∑∑，即m +n =43﹣7ˆb ①，因为回归直线方程恒过样本中心点(),x y ，所以70ˆ447m n b++=+，即m +n =28ˆb ﹣42②，由①②，得17ˆ7b=，m +n =26③，因为718183485114154452i ii x ym n ==++++++=∑，所以3m +5n =110④，由③④，得m =10，n =16.（2）由（1）知，线性回归方程为17ˆ47yx =+，. 所以当6x =时，预测值17130ˆ6477y=⨯+=，此时残差为130319.77-= 【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，关键是要牢固掌握线性回归方程的直线经过样本中心点(),x y .19．如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，AA 1⊥AC ，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点且AD =AA 1，DB ⊥AC .（1）在棱AA 1上找一点M ，使得1//D M 平面1DBC ，并说明理由；（2）若112,3AE EA AF BA →→→→==-，证明：1EF AD ⊥.【答案】（1）M 与A 重合时，1//D M 面1DBC ，理由见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）当M 与A 重合时，D 1M ∥面DBC 1，证明D 1A ∥C 1D ，D 1M ∥面DBC 1即得证；（2）连A 1B ，A 1D ，并交AD 1于点O ，证明AD 1⊥面A 1BD ，即得证. 【详解】（1）解：当M 与A 重合时，D 1M ∥面DBC 1，理由如下：∵D 1C 1∥AD ，且D 1C 1=AD ， ∴四边形D 1C 1DA 为平行四边形，∴D 1A ∥C 1D ，因为C 1D ⊂面BDC 1，∴D 1M ∥面DBC 1. （2）证明连A 1B ，A 1D ，并交AD 1于点O ， ∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，AA 1⊥AC ， ∴AA 1⊥面ABC ，BD ⊂面ABC ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥面AA 1CC 1，AD 1⊂面AA 1C 1C ，∴BD ⊥AD 1，又∵AD =AA 1，∴四边形AA 1D 1D 为正方形. ∴A 1D ⊥AD 1，A 1D ∩BD =D ， ∴AD 1⊥面A 1BD ，11AD A B ⊥由112,3AE EA AF BA →→→→==-，可得EF ∥A 1B ，∴1EF AD ⊥，得证.【点睛】方法点睛：证明线面平行垂直，常用的方法有：（1）几何法：线线平行垂直⇔线面平行垂直⇔面面平行垂直；（2）向量法. 要根据已知条件灵活选择方法解答.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>33⎛ ⎝⎭，其下顶点为点A ．若斜率存在的直线l 交椭圆E 于,P Q 两点，且不过点A ，直线,AP AQ 分别与x 轴交于,M N 两点．（1）求椭圆E 的方程．（2）当,M N 的横坐标的乘积是43时，试探究直线l 是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 过定点()0,2．【分析】（1）由离心率和椭圆所过点可构造方程组求得22,a b ，由此可得椭圆方程；（2）设():1l y kx m m =+≠-，()11,P x y ，()22,Q x y ，可得直线,AP AQ 方程，令0y =可求得,M N 的横坐标,M N x x ，从而得到M N x x ；将l 方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入43M N x x =可构造方程求得m ，得到l 方程，进而得到定点坐标. 【详解】（1）由2e =c a ===，解得：12b a =…①，将⎛ ⎝⎭带入椭圆E 方程得：221314a b +=…②，由①②得：24a =，21b =，∴椭圆E 的方程为：2214x y +=.（2）由（1）知：()0,1A -．设直线l 的方程为()1y kx m m =+≠-，()11,P x y ，()22,Q x y ，则直线AP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标为111M xx y =+，同理可得点N 的横坐标为221N x x y =+， ()()()()121212121111M N x x x x x x y y kx m kx m ∴==++++++()()()1222121211x x k x x k m x x m =+++++，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222418440k x kmx m +++-=，则()()222264441440k m k m ∆=-+->，解得：2241m k <+，122841km x x k ∴+=-+，21224441m x x k -=+， ()()2222222444414483114141M N m k x x m km k k m m k k -+∴==-⎛⎫⋅++⋅-++ ⎪++⎝⎭，又1m ≠-，可化简得：()41413m m -=+，解得：2m =，:2l y kx ∴=+，∴直线l 过定点()0,2.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 21．已知函数()2ln .f x x x x =-++（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的()()20,,1xx f x mxe x ∞∈+≤--恒成立，求实数m 的最小值.【答案】（1）增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；（2）1.【分析】（1）由解析式确定函数定义域，利用导数研究()f x 的单调区间即可. （2）由题设知22ln 1x x x x mxe x -++≤--在x ∈(0,)+∞上恒成立，即ln 1xx x m xe ++≥恒成立，构造ln 1()x x x g x xe ++=，利用导数研究单调性，进而确定最大值，即可求m 的范围.【详解】（1）由()2ln f x x x x =-++，得2121(21)(1)()21(0)x x x x x x x x x xf -+++-+=-++=>'=，当x ∈(0,1)时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ∈(1,)+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∴()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；（2）∵对于任意的x ∈(0,)+∞，()21xf x mxe x ≤--恒成立，∴22ln 1x x x x mxe x -++≤--恒成立，即ln 1xx x m xe++≥恒成立. 令ln 1()x x x g x xe ++=，则2(1)(ln )()xx x x g x x e -'++=，令l (n )h x x x =+，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，∵1110,(1)10h eh e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭， ∴存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()000ln 0h x x x =+=，当()00,x x ∈时，()0,()0,()h x g x g x '<>单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()()()0,0,h x g x g x '><单调递减，由00ln 0x x +=，可得00ln x x =-，()000max 00ln 1()1x x x g x g x x e ++∴===，又ln 1xx x m xe ++≥恒成立，1m ∴≥，故m 的最小值为1.【点睛】关键点点睛：第二问，应用参变分离法，将原不等式转化为ln 1xx x m xe ++≥在x ∈(0,)+∞上恒成立，令ln 1()xx x g x xe ++=只需max ()m g x ≥即可，结合导数求最值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2314x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2243sin 4ρθ-=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 在直线l 上，点N 在曲线C 上，求MN 的最小值．【答案】（1）:43110l x y +-=；2214y x +=；（2）minMN = 【分析】（1）消去参数t ，可得直线l 的普通方程，根据曲线C 的极坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，代入可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）由（1）知曲线C 的直角坐标方程，得到C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设点()cos ,2sin N ββ，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解．【详解】（1）由题意，直线l 的参数方程为2314x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），消去参数t ，可得直线:43110l x y +-=，由曲线222:43sin 4C ρρθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ==，代入曲线C 可得()222434x y y +-=，即曲线C 的直角坐标方程为2214y x +=．（2）由（1）知曲线C 的直角坐标方程为2214y x +=，可得曲线C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设点()cos ,2sin N ββ，所以点N 到直线l的距离为d ==其中2tan 3ϕ=，当()sin 1βϕ+=时，可得MN的最小值为min115MN -=． 23．设函数()131f x x x =-++．（1）求()21f x x ≥-的解集；（2）若不等式()233f x m m ≥-对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）R ；（2）41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，由()21f x x ≥-，分类讨论，即可求解；（2）由（1）知()f x 的最小值为43，根据不等式()233f x m m ≥-对任意实数x 恒成立，得到24333m m ⨯≥-，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()4,1122,1314,3x x f x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，因为()21f x x ≥-，所以1,421x x x >⎧⎨≥-⎩或1132221x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≥-⎩或13421x x x ⎧<-⎪⎨⎪-≥-⎩，解得 1x >或113x -≤≤或13x <-，所以()21f x x ≥-的解集为R ．（2）由（1）可得当13x =-时，函数()f x 的最小值为142233⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为不等式()233f x m m ≥-对任意实数x 恒成立，所以24333m m ⨯≥-，即2340m m --≤，所以413m -≤≤，故实数m 的取值范围是41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

河南省开封市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析

河南省开封市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则A B I元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2xy =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B I 元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 2．已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 【答案】B 【解析】由题意可得c=5F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 3．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC V 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程2222623r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭即可得解. 【详解】如图，由题意易知ABC V 与ADC V 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ，则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ，由3BN ND ==1cos 3BND ∠=可得3cos ON BN BND =⋅∠=，23OD =，2326333OB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴13ON ND =即点O 为ADC V 的中心，∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ， ∴11BO DO r ==，126OO r =-,∴222 2623r r⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得62r=，∴三棱锥A BCD-的外接球的表面积为234462S rπππ==⨯=.故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.4．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆22(2)1x y-+=都相切，则双曲线C的离心率是（）A．223B．23C36D236【答案】A【解析】【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx22311kkk∴=+＝，，得双曲线的一条渐近线的方程为3y=∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：①当焦点在x轴上时有：233323b cea a+==＝②当焦点在y轴上时有：233323a ceb a+==＝＝；∴求得双曲线的离心率2或33．故选：A ．【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．5．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（）A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】Q 函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增， 222'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤， [][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴Q 函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-，故选B.6．已知函数1()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】【分析】化简()1sin 2f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。

河南省焦作市2021届第四次新高考模拟考试物理试卷含解析

河南省焦作市2021届第四次新高考模拟考试物理试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．左手定则中规定大拇指伸直方向代表以下哪个物理量的方向（）A ．磁感强度B ．电流强度C ．速度D ．安培力【答案】D【解析】【详解】左手定则内容：张开左手，使四指与大拇指在同一平面内，大拇指与四指垂直，把左手放入磁场中，让磁感线垂直穿过手心，四指的方向与导体中电流方向的相同，大拇指所指的方向就是安培力的方向，故ABC 错误，D 正确。

故选D 。

2．如图所示为三颗卫星a 、b 、c 绕地球做匀速圆周运动的示意图，其中b 、c 是地球同步卫星，a 在半径为r 的轨道上，此时a 、b 恰好相距最近，已知地球质量为M ，半径为R ，地球自转的角速度为ω，引力常量为G ，则（）A ．卫星b 加速一段时间后就可能追上卫星cB ．卫星b 和c 的机械能相等C ．到卫星a 和b 下一次相距最近，还需经过时间3GM r ω- D ．卫星a 减速一段时间后就可能追上卫星c【答案】C【解析】【详解】A.卫星b 加速后将做离心运动，轨道变高，不可能追上卫星c ，选项A 错误；B.卫星的机械能等于其动能与势能之和，因不知道卫星的质量，故不能确定卫星的机械能大小关系，选项B 错误；C.对卫星a ，根据万有引力提供向心力有：22a MmG mr rω= 所以卫星a 的角速度3a M G r ω= 可知半径越大角速度越小，卫星a 和b 由相距最近至再次相距最近时，圆周运动转过的角度差为2π，所以可得经历的时间：3t GM r ω=- 选项C 正确；D.卫星a 减速后将做近心运动，轨道半径减小，不可能追上卫星c ，选项D 错误；故选C 。

3．如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径等于地球半径），c 为地球的同步卫星，以下关于a 、b 、c 的说法中正确的是（）A ．a 、b 、c 的向心加速度大小关系为b c a a a a >>B ．a 、b 、c 的向心加速度大小关系为a b c a a a >>C ．a 、b 、c 的线速度大小关系为a b c v v v =>D ．a 、b 、c 的周期关系为a c b T T T >>【答案】A【解析】【详解】AB ．地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa =ωc ，根据a=rω2知，c 的向心加速度大于a 的向心加速度。

河南省安阳市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析

河南省安阳市2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+，可得直线l 的方程为3y x =-，把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b+=-，由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =，又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ． 3B ．2 C ． 3或－3 D ． 2和－2【答案】C 【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．3．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B 【解析】试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-=故选B ．考点：正态分布5．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B ．6．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（）. A ．16 B ．283C ．5D ．4【答案】D 【解析】【分析】由76523a a a =+，可得3q =，由219m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值. 【详解】设等比数列公比为(0)q q >，由已知，525523a a q a q =+，即223q q =+，解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=，即2233m n +-=，故4m n +=，所以1914m n +=1919()()(10)4n mm n m n m n++=++ 1(1044≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题. 7．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （）A ．2B ．12C ．34D 【答案】A 【解析】【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+，()()()()22222112412411221212043=AD AB AC AB AC AB AC AB AC COS =+=+=++⋅=++⨯⨯⨯。

河南省洛阳市2021届新高考数学四模考试卷含解析

河南省洛阳市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设非零向量a r ，b r ，c r，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||b a -=r r 是“3πθ=”的（）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论．【详解】解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r rr r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，解得1cos 2θ=，[0θ∈，]π，解得3πθ=，∴ “||b a -=r r 是“3πθ=”的充分必要条件．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．33⎛⎛- ⎝⎭⎝UC ．2⎛ ⎝D ．22⎛⎛- ⎝⎭⎝U【答案】D 【解析】【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得k >或k <，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx x k x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k的取值范围为22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A 【解析】【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==．故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O 及点33,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的方程为（） A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入可得33b a =，连接FA ，根据圆的性质可得23333c -=，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：by x a=±， 3b a ∴=，连接FA ，则2333FAc b AO a -===2c =，所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=.故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.5．已知非零向量a r 、b r ，若2b a =r r 且2a b -=r r ，则向量b r 在向量a r方向上的投影为（）AB ．12b rC ．D ．12b -r【答案】D 【解析】【分析】设非零向量a r 与b r 的夹角为θ，在等式2a b -=r r 两边平方，求出cos θ的值，进而可求得向量b r 在向量a r方向上的投影为cos b θr ，即可得解.【详解】2b a =r r Q ，由2a b b -=r r 得2223a b b -=r r r ，整理得22220a a b b -⋅-=r r r r，22222cos 40a a a a θ∴-⨯-=r r r r ，解得1cos 2θ=-，因此，向量b r 在向量a r 方向上的投影为1cos 2b b θ=-r r.故选：D. 【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 6．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX < 【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【详解】13X =表示取出的为一个白球，所以()14116233C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，()12116123C P X C ===，所以()121832333E X =⨯+⨯=.23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11422268315C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，()22226115C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()242266415C P X C ===，所以()2816103241515153E X =⨯+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.7．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．247-B ．1731-C ．247D ．1731【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数定义得到4tan 3α=，故24tan 27α=-，再利用和差公式得到答案.【详解】∵角α的终边过点(3,4)P --，∴4tan 3α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--. ∴241tan 2tan1774tan 2244311tan 2tan 1147παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-⋅+⨯. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.8．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A ．1112B ．6C ．112D ．223【答案】D 【解析】【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得. 【详解】执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，12S =，4n ＝，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=.故选D ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易.10．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0），若该双曲线的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.11．已知点P 是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（） ABCD ．2【答案】A 【解析】【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+，所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.12．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（） A ．48 B ．60 C ．72 D ．120【答案】A 【解析】【分析】对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，共有22232212C A A =个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，共有1222232224C C A A =个故满足条件的不同的五位数的个数是48个故选A 【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

河南省周口市2021届新高考数学四模考试卷含解析

河南省周口市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先求出满足1cos 22α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．2．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项；当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项；当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题. 3．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1．故选：A ．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．4．()712x x-的展开式中2x 的系数为（）A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r r r n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.5．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数y =得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.6．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N【答案】D 【解析】【分析】利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可. 【详解】在函数xy e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积为()()1101xxS e e dx ex e =-=-=⎰，矩形OABC 的面积为1e e ⨯=，由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，M e N=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 7．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-，【答案】C 【解析】【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可．【详解】由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<，故答案为C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 8．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]【答案】A 【解析】【分析】根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点， ∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k=0时，解2839ω≤≤，当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A. 【点睛】本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.9．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，所以336a =，即32a =，又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=，故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题. 10．函数()cos2xf x x =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】先根据()f x 是奇函数，排除A ，B ，再取特殊值验证求解. 【详解】因为()()cos2cos2xxf x x x f x --=-==--，所以()f x 是奇函数，故排除A ，B ，又()1cos20f =<，故选：C 【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11．2-31ii =+（） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 12．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省焦作市2021届新高考物理四模考试卷含解析

河南省焦作市2021届新高考物理四模考试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，竖直平面内的Rt △ABC ，AB 竖直、BC 水平，BC=2AB ，处于平行于△ABC 平面的匀强电场中，电场强度方向水平。

若将一带电的小球以初动能E k 沿AB 方向从A 点射出，小球通过C 点时速度恰好沿BC 方向，则（）A ．从A 到C ，小球的动能增加了4E kB ．从A 到C ，小球的电势能减少了3E kC ．将该小球以3E k 的动能从C 点沿CB 方向射出，小球能通过A 点D ．将该小球以4E k 的动能从C 点沿CB 方向射出，小球能通过A 点【答案】D【解析】【分析】【详解】A ．设小球的速度为v ，则有2k 12E mv = 小球通过C 点时速度恰好沿BC 方向，则说明小球在竖直方向上的速度减为0，小球在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，运动的位移为竖直方向上位移的2倍，则平均速度为竖直方向上平均速度的2倍，又这段时间竖直方向的平均速度为2v v = 故水平方向的平均速度为2v v v '==又02C v v +'= 解得2C v v =则22k k 11(2)422C C E mv m v E === 从A 到C ，小球的动能增加了k k k k 43E E E E ∆=-=故A 错误；B ．由动能定理可知重力与电场力做功之和为动能的增加量即k 3E ，重力做负功，故电场力做功大于k 3E ，则小球的电势能减小量大于k 3E ，故B 错误；D ．由上分析可知：动能为k 4E ，则速度大小为2v ，即小球以2v 对速度从C 点沿CB 方向射出。

而由AB 分析可知，小球以初速度v 沿AB 方向从A 点射出时，小球将以速度大小为2v ，方向沿BC 方向通过C 点，则小球以2v 的速度从C 点沿CB 方向射出后运动过程恰好可视为其逆过程，所以若将小球以2v 的速度从C 点沿CB 方向射出，小球能通过A 点；故D 正确；C ．由D 分析可知，若将小球以2v 的速度从C 点沿CB 方向射出，小球能通过A 点；则若将小球小于2v 的速度从C 点沿CB 方向射出，小球将经过A 点右侧。

河南省部分重点高中2021届高三4月联合模拟考试——数学(理)

河南省部分重点高中2021届高三4月联合模拟考试数学（理科）1．已知集合A ＝{x ｜log 2x ＜3}，B ＝{x ｜｜x －1｜＜3}，则A ∩B ＝A ．（－2，3）B ．（0，4）C ．（0，＋∞）D ．（－2，8）2．若（2－i ）z ＝1＋i ，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．饺子源于古代的角子，又称水饺，是深受人们喜爱的中国传统食品．现盘子中有16个饺子，其中肉馅的有6个，素馅的有10个．从外观无法分辨是肉馅还是素馅，现用筷子从中随机夹出2个，则夹到的2个饺子恰好1个是肉馅，另1个是素馅的概率是 A ．16 B ．15 C ．38 D ．124．已知函数()242ln f x x x x ＝＋＋，则曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线方程为 A ．4x －y ＋2＝0 B ．2x ＋y －8＝0C ．x －4y ＋23＝0D ．2x －y ＋4＝05．已知1cos 65πα⎛⎫⎪⎝⎭＋＝，则2cos 23πα⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝ A ．35 B ．－35 C ．2325 D ．－23256．若函数f （x ）满足以下两个条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有f （x ＋T ）＝af （x ），则称f （x ）为以T 为周期的a 阶类周期函数．已知函数g （x ）是以2为周期的3阶类周期函数，且当x ∈（0，2]时，g （x ）＝2x ，则g （9）＝A ．2B ．32C ．81D ．1627．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin b c A C ＝，则 cos C ＝A B C D 8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，该书系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．现有鳖臑ABCD ，其中AB ⊥平面BCD ，∠BCD ＝90°，AB ＝2BC ，CD ，E 为AB 的中点，DE 与平面ACD 所成角的正弦值为A ．34 B ．15 C D9．将函数()2sin 214f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋－图象上每一点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，若g （x ）在[θ，8π]上的最小值为－3，则θ的最大值为A ．－48πB ．－18πC ．4π D ．18π 10．已知椭圆C ：2222111x y a b ＋＝（a 1＞b 1＞0）与双曲线D ：2222221x y a b －＝（a 2＞0，b 2＞0）具有共同的焦点F 1，F 2，离心率分别为e 1，e 2，且21e e ．点P 是椭圆C 和双曲线D 的一个交点，且PF 1⊥PF 2，则e 2＝ABCD11．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，AB ，A 1D 1的中点分别是P ，Q ，直线PQ 与正方体的外接球O 相交于M ，N 两点，点G 是球O 上的动点，则△GMN 面积的最大值为ABCD12．若对任意x ∈[2，8]，总存在y ∈[1，2]，使得()()222log 4y y m x ＋＋＋＝log 2x 成立，则m 的最小值是 A ．－254 B ．－234 C ．－145D ．－165 13．已知向量a ，b 满足a ＝（1，1），｜b ｜＝43，a ⊥（2a －3b ），则a 与b 的夹角为__________． 14．已知x ，y 满足约束条件6060260x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≤，－－≤，－－≥，则z ＝x ＋2y 的最大值是__________．15．2月23日，以“和合共生”为主题的2021世界移动通信大会在上海召开，工信部负责人在会上表示，在新冠疫情的背景下，中国5G 规模商用仍实现了快速发展．为了更好地宣传5G ，某移动通信公司安排甲、乙、丙、丁、戊五名工作人员到三个社区开展5G 宣传活动，每个社区至少安排一人，甲、乙两人不能安排在同一个社区，且丙、丁两人必须安排在同一个社区，则不同的安排方法总数为__________．（用数字作答）16．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，过焦点F 的直线与C 相交于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为A '，B '，△AFA '与△BFB '的面积分别为S 1，S 2，且S 1·S 2＝4，则△A FB ''的面积为__________ ．17．设数列{n a }的前n 项和为n S ，1a ＝1，1n S ＋－3n S ＝1（n N *∈）．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n a ＋2n S }的前n 项和n T ．18．近年来我国的航天事业不断取得新的成就，2021年2月24日6时29分，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道．某学校为了激发同学们的航天热情，举办了火星知识竞赛活动，该校随机抽取了100名同学，每人随机抽取一道试题回答，其中女生比男生少20人，回答错误的40人中有20人是男生．（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为“回答是否正确与性别有关”；（2）若学校所在的地区要举行同样的知识竞赛，该学校按性别采取分层抽样的方法抽取5名同学组成一组参加比赛，已知该校男女生比例为3：2，试题难度与学校组织的竞赛试题难度一致，若以上述2×2列联表统计结果得到的男生答对的频率作为这5名同学中男生答对的概率，以女生答对的频率作为这5名同学中女生答对的概率，每人只答一道试题，答对一题得2分，答错一题减1分，求该组同学得分总和的数学期望．19．（12分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SD ⊥底面ABCDE ，SD ∥BG ，S ，G 在底面的同侧．在五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，SD ＝CD ＝AD ＝2AB ＝2，DE ＝2AE ，AD 是 △ADE 外接圆的直径．（1）证明：GC ∥平面SED ．（2）若二面角S —AC —G 的余弦值为13，求BG ．20．已知函数f （x ）＝[－mx 2＋（4m ＋1）x －4m －3]e x ，()3211162g x x x ＝－＋．（1）当m ＞0时，讨论f （x ）的单调性．（2）当m ＝0，且a ≤2e 时，证明：不等式｜f （x 1）－f （x 2）｜≥a ｜g （x 1）－g （x 2）｜对任意的x 1，x 2∈（0，2]恒成立．21．已知椭圆C ：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）的焦距为2，坐标原点O 到直线1x y a b＋＝的距 221．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线l 的斜率为k ，且经过椭圆C 的左焦点，l 与椭圆C 交于M ，N 两点，椭圆C的右顶点为A ，△AMN 外接圆的圆心为G ，记直线OG 的斜率为k 0，证明：k ·k 0为定值．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为α，且过点P （0，－2），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ＝．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ，求｜PM ｜＋｜PN ｜的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知不等式｜2x ＋1｜－｜x ｜≤()153x ＋的解集为M ．（1）求M ．（2）设m 是M 中元素的最大值，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝m ，证明：111414141a b c ＋＋＋＋＋≥97．。

2021年高三第四次模拟考试数学(文)试题

2021年高三第四次模拟考试数学（文）试题注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.参考公式: 棱锥的体积公式：.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．2．等差数列中，，且成等比数列，则（）A．B．C．D．3．下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（）A．B．C．D．4．已知是虚数单位，、，且，则（）A．B．C．D．5．已知椭圆的离心率，则的值为（）A．B．或C．D．或6．“关于的不等式的解集为”是“”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．B．C．D．8．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．（）①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是 A ．①② B ． ②③ C ．③④ D ． ①④9. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中．位数．．大约是（） A ．岁 B ．岁 C ．岁 D ．岁10. 已知向量，，其中.若，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分） (一)必做题(11～13题) 11. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则这三个社团人数共有_______________. 12. 已知不等式组，表示的平面区域的面积为，点在所给平面区域内，则的最大值为 . 13. 对任意实数，函数，如果函数，那么函数的最大值等于 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线的方程为，则点到直线的距离为__________.15.（几何证明选讲）如图，为圆外一点，由引圆的切线与圆切于点，引圆的割线与圆交于点.已知， .则圆的面积为 .合唱社粤曲社书法社高一 45 30高二151020三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△中，角、、的对边分别为，若，且.（1）求的值；（2）若，求△的面积.17．（本题满分12分）文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级和获得等级不是的机会相等，物理、化学、生物获得等级的事件分别记为、、，物理、化学、生物获得等级不是的事件分别记为、、.（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为的所有可能结果（如三科成绩均为记为）；（2）求该同学参加这次水平测试获得两个的概率；（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于，并说明理由.18．（本题满分14分）如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.19．（本题满分14分）已知圆，圆，圆,关于直线对称.（1）求直线的方程；（2）直线上是否存在点，使点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.20．（本题满分14分）设,函数.（1）讨论函数的单调区间和极值;（2）已知和是函数的两个不同的零点,求的值并证明:.21．（本题满分14分）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.（1）用表示和；（2）若数列满足：.①求常数的值使数列成等比数列； ②比较与的大小.xx 届新兴县田家炳中学高三第四次模拟考试数学（文）参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11． 12． 13． 14． 15．三、解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分）解：（1）∵, ∴……3分∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦…………6分（2）由（1）可得…………………8分在△中，由正弦定理∴,…………………10分∴. …………………12分17．（本题满分12分）解：（1）该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为的可能结果有种，分别为、、、、、、、；…………………4分（2）由（1）可知，有两个A的情况为、、三个，从而其概率为…………………8分（3）方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为的事件概率大于，…………………10分理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为的事件有如下七种情况：、、、、、、，概率是. …………………12分方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个的事件概率大于，…………………10分理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为的事件有如下七种情况：、、、、、、，概率是. ……………………12分18．（本题满分14分）（1）证明：∵底面，且底面，∴…1分由，可得…………………………2分又，∴平面…………………………3分注意到平面，∴…………………………4分,为中点，∴………………………5分，∴平面………………6分（2）取的中点，的中点，连接，∵为中点，，∴. ……………7分∵平面平面，∴平面.………8分同理可证：平面.又，∴平面平面. …………9分∵平面，∴平面. …………10分（3）由（1）可知平面又由已知可得.238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF …………12分 ∴所以三棱锥的体积为. …………14分19．（本题满分14分）解：（1）因为圆,关于直线对称，圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为， …………………2分显然直线是线段的中垂线， ……………………3分线段中点坐标是，的斜率是，……………5分所以直线的方程是，即. ………………6分（2）假设这样的点存在，因为点到点的距离减去点到点的距离的差为，所以点在以和为焦点，实轴长为的双曲线的右支上，即点在曲线上， ……………………10分又点在直线上，点的坐标是方程组的解， …………12分消元得，，方程组无解，所以点的轨迹上是不存在满足条件的点. ………………14分 20．（本题满分14分）解：在区间上,. ……………………2分 ①若,则,是区间上的增函数,无极值； ………4分 ②若,令得: .在区间上, ,函数是增函数; 在区间上, ,函数是减函数; 在区间上, 的极大值为.综上所述，①当时,的递增区间,无极值； ………………7分 ③当时，的是递增区间，递减区间是，函数的极大值为. ……………………9分 (2) ∴，解得:. ……………………10分 ∴. ……………………11分又,, …………13分由(1)函数在递减,故函数在区间有唯一零点,因此. ……………………14分21．（本题满分14分）解：(1) 与圆交于点,则, ……2分由题可知，点的坐标为，从而直线的方程为, …3分由点在直线上得: , …………………4分将，代入化简得: . …………6分 (2)由得：， ……………………7分又，故， ……………8分①11142(42)(4)4(2)2n n n n n nn n a p a p p p +++-⋅=+-⋅+=-⋅+-⋅，22112142(42)(164)4(42)2n n n n n n n n a p a p p p ++++++-⋅=+-⋅+=-⋅+-⋅令得：(164)4(42)2(4)4(2)2n n n n p p q p q p -⋅+-⋅=-⋅+-⋅ ……………9分由等式(164)2(42)(4)2(2)n np p q p q p -⋅+-=-⋅+-对任意成立得：，解得：或故当时，数列成公比为的等比数列；当时，数列成公比为2的等比数列。

河南省焦作市2021届新高考第四次模拟数学试题含解析

河南省焦作市2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.2．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确；对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确；对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，；对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 3．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()xx f x g x e ⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 4．在复平面内，31ii+-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】将复数化简得=12z i +,12z i =-,即可得到对应的点为()1,2-,即可得出结果. 【详解】3(3)(1)12121(1)(1)i i i z i z i i i i +++===+⇒=---+，对应的点位于第四象限. 故选:D . 【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.5．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 6．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =I （） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<，所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题.7．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元【答案】D 【解析】【分析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】由图可知月收入的极差为903060-=，故选项A 正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B 正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.8．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（） A 3B ．23C 3D ．23【答案】B 【解析】【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC 外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案. 【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，由2420R ππ=，得25R =．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则212AG R =-=．在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BCAG ==︒，即23BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++…， 4xy ∴„．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为11234sin120232⨯⨯⨯︒⨯=故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>10．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.11．执行下面的程序框图，则输出S 的值为（）A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【答案】D 【解析】【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题. 12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B 【解析】【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省焦作市2021届新高考物理四模考试卷含解析

河南省焦作市2021届新高考数学四模试卷含解析

河南省焦作市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=vv v （）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】C 【解析】【分析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案.【详解】因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r.故选:C. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.2．已知双曲线222:1(0)3-=>y x C a a 的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（）A ．2 BC ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得234a +=，解可得1a =，由离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线28x y =的焦点为(0,2)，则双曲线22213y x a -=的焦点也为(0,2)，即2c =，则有234a +=，解可得1a =，双曲线的离心率2ce a==. 故选：A ．【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．3．已知函数f(x)＝223,1ln,1x x xx x⎧--+≤⎨>⎩,若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A．1,e2⎛⎫⎪⎝⎭B．1,2e⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．1,2ee⎛⎤⎥⎝⎦D．1,2ee⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－12有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－12的下方，即可求得：k＞12；再求得直线y＝kx－12和y＝ln x相切时，k＝ee；结合图象即可得解. 【详解】若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－12有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－12的下方．∴k×1－12＞0，解得k＞12.当直线y＝kx－12和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝1ln2mm+＝1m，∴m e此时，k＝1m＝ee，f(x)的图象和直线y＝kx－12有3个交点，不满足条件，故所求k 的取值范围是1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选D.. 【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题． 4．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S =V V （）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。

河南省洛阳市2021届新高考数学第四次调研试卷含解析

河南省洛阳市2021届新高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（） A ．12y x = B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x =-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减.故选：C 【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.2．已知ABC △的面积是12,1AB =,BC =,则AC =（）A ．5B ． 1C ．5或1D 【答案】B 【解析】∵11sin 22ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅=，1AB =,BC =∴sin2B ==①若B 为钝角，则cos 2B =-，由余弦定理得2222cos AC AB BC B AB BC =+-⋅⋅，解得AC =②若B 为锐角，则cos 2B =，同理得1AC =. 故选B. 3．已知复数552iz i i=+-，则||z =（）利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故22||(1)752z =-+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.4．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 5．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B ．6．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．【详解】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞，即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，故选C ．【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 7．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【详解】解：()f x Q 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-g g ，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-g g 是奇函数，故C 正确． |()()||()()|f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．8．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q ，则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98，即有a 4+a 7=94，即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1．本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 9．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 10．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D 【解析】由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2x π=对称，得到223ππϕ⨯+-2k ππ=+，由此求得满足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【详解】分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线πx 2=对称，得到πππ2φk π232⨯+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案. 详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+，将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到sin(2)3y x πϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．0x y ±=B ．0y ±=C ．0x ±=D ．30x y ±=【答案】B 【解析】【分析】由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，两渐近线的斜率分别为3和3-. 故选：B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题. 12．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++L ，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（） A ．201912-- B ．201912-+ C ．201912- D ．201912+【答案】A 【解析】【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L ，计算得到答案. 【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L . 故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--L . 故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省周口市2021届新高考第四次质量检测数学试题含解析

河南省周口市2021届新高考第四次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（）A B ． C D 【答案】B【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos α的式子，代入从而求得结果.详解：根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos 5α=，而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=+-=，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.2．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（） A ．212 B ．9 C ．172 D ．7【答案】A【解析】【分析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ．【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列，1239a a a ++=，48a =，1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（）．A ．()ln f x x x =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =- 【答案】B【解析】【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可.【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x x x x f x f x e e e e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0x x f x e e -=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=，满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.4．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i + 【答案】C【解析】【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】121312z i i z i +--==+. 故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。