高中数学第一章教学设计

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《第一章-集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计

《第一章-集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计

《第一章集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计一、内容分析与整合(一)教学内容分析《第一章集合与常用逻辑用语》是高中数学学习的起点,为学生后续学习函数、数列、不等式等数学内容提供了重要的逻辑基础。

本章内容主要分为五个部分:集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、以及全称量词与存在量词。

这些内容不仅在数学内部逻辑上紧密相连,而且在实际问题解决中也具有广泛的应用价值。

集合是现代数学的基本概念之一,它是描述事物群体及其相互关系的重要工具。

通过学习集合的概念,学生能够理解集合的确定性、互异性、无序性,并掌握集合的表示方法(如列举法、描述法等)。

集合的学习有助于学生形成分类讨论的数学思想,为后续学习打下坚实基础。

集合间的基本关系主要包括子集、真子集、相等关系等。

这些关系揭示了集合之间的层次结构和相互联系,是学习集合运算和逻辑推理的基础。

学生需要掌握判断集合间关系的方法,并能根据具体问题灵活应用。

集合的基本运算包括并集、交集、补集等。

这些运算是集合论中的重要内容,也是解决实际问题中常用的数学工具。

学生需要掌握集合运算的定义、性质及运算法则,并能够进行复杂的集合运算。

充分条件与必要条件是逻辑推理中的基本概念,它们描述了条件与结论之间的逻辑关系。

通过学习充分条件与必要条件,学生能够理解命题之间的逻辑关系,掌握推理的基本方法,提高逻辑思维能力。

全称量词与存在量词是数学语言中的重要组成部分,它们用于描述具有普遍性或特殊性的数学命题。

学生需要理解全称命题与特称命题的区别,掌握全称量词与存在量词的含义及用法,并能够运用量词进行逻辑推理和命题证明。

(二)单元内容分析本单元内容不仅涵盖了集合论和逻辑推理的基础知识,更在数学学科中占据着举足轻重的地位。

集合论,作为现代数学大厦的基石之一,为我们提供了一个描述和研究数学对象及其相互关系的强大框架。

它使我们能够更清晰地理解和表达数学中的基本概念,为深入学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。

高二数学 第一章《算法初步》教案人教A版必修3

高二数学 第一章《算法初步》教案人教A版必修3

1.1.1算法的概念一、三维目标:1、知识与技能:(1)了解算法的含义,体会算法的思想。

(2)能够用自然语言叙述算法。

(3)掌握正确的算法应满足的要求。

(4)会写出解线性方程(组)的算法。

(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

(6)会应用Scilab 求解方程组。

2、过程与方法:通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。

由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点:重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点:把自然语言转化为算法语言。

三、学法与教学用具:学法:1、写出的算法,必须能解决一类问题(如:判断一个整数n(n>1)是否为质数;求任意一个方程的近似解;……),并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确,且计算机能够执行,如:让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的,但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具:电脑,计算器,图形计算器四、教学设想:1、创设情境:算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。

但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。

如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。

我们知道解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。

高中数学第一章集合教案1

高中数学第一章集合教案1

高中数学第一章集合教案1
教学目标:使学生掌握集合的基本概念和表示方法,了解集合的运算及其性质。

一、集合的定义和表示方法
1. 集合的基本概念
- 了解集合的概念和元素的概念
- 掌握集合的表示方法:列举法、描述法
2. 集合的符号表示
- 学习如何用符号表示集合:A={1,2,3,4,5}
二、集合的运算及其性质
1. 集合的运算
- 了解集合的交集、并集、差集等运算
- 学习集合的运算规则和性质:交换律、结合律、分配律
2. 集合的运算应用
- 能够解决实际问题中的集合运算
三、集合的性质和定理
1. 集合的性质
- 了解集合的基本性质:互斥、重复、子集等
- 学习如何判断两个集合是否相等
2. 集合的定理
- 掌握集合的代数定理和逻辑定理
教学步骤:
1. 引入新知识,通过生动有趣的例子引出集合的概念和表示方法
2. 介绍集合的运算及其性质,让学生掌握集合的基本运算规则
3. 练习集合的运算和性质,加深学生的理解和掌握程度
4. 引导学生应用集合运算解决实际问题,培养学生的应用能力
5. 总结本节课的内容,强调重点,帮助学生做好知识的复习和巩固
教学反馈:通过课堂练习、作业布置等方式对学生的学习情况进行及时反馈,发现问题及时纠正,提高学生的学习效果。

教学资源:教科书、课件、练习题等
教学评价方法:通过课堂练习、小测验、作业等不同方式对学生的学习情况进行评价,及时发现问题,实施个性化教学。

教案高中数学必修一

教案高中数学必修一

教案高中数学必修一
1. 知识与技能:掌握数列的概念、基本性质和常见数列的求和公式等知识,能够运用数列的性质解决实际问题。

2. 过程与方法:培养学生观察问题、提出问题、解决问题的能力,培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

3. 情感态度价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教学重点与难点:
1. 了解数列的概念和性质。

2. 掌握数列的求和公式。

3. 理解并应用数列的相关知识解决问题。

教学准备:
1. 教材:高中数学必修一教材。

2. 教具:黑板、粉笔、投影仪等。

3. 学生自带:笔、笔记本等。

教学步骤:
一、导入(5分钟)
教师出示一个数列,让学生分别讨论这个数列的特点,引导学生了解数列的概念。

二、讲授(30分钟)
1. 数列的概念和基本性质。

2. 等差数列和等比数列的性质及求和公式。

三、练习(15分钟)
教师设计一些相关练习题,让学生在课堂上进行练习,巩固所学知识。

四、讨论与解析(10分钟)
教师与学生共同讨论练习题的解法,并解析其中的难点。

五、作业布置(5分钟)
布置作业,让学生回顾所学知识,巩固练习。

六、小结(5分钟)
教师总结本节课的重点内容,强调数列的重要性及应用,并激励学生努力学习数学。

高中数学第一章第2课教案

高中数学第一章第2课教案

高中数学第一章第2课教案
教学内容:集合及其运算
教学目标:
1. 了解集合的定义和表示方式。

2. 掌握集合的基本运算:交集、并集、差集。

3. 能够运用集合的运算解决实际问题。

教学重点和难点:
重点:集合的定义、表示方式,集合的基本运算。

难点:理解集合运算的概念及运用。

教学准备:
1. 教材《数学》第一册。

2. 教学课件。

3. 练习题。

教学过程:
一、导入
教师引导学生回顾上节课所学内容,引出集合及其运算的主题。

二、讲解
1. 集合的定义和表示方式。

2. 集合的基本运算:交集、并集、差集。

三、讲解案例
教师通过案例演示集合的运算方法及应用,让学生深入理解集合运算的概念。

四、练习
教师布置练习题,让学生运用所学知识进行练习。

五、总结
教师对本节课所学内容进行总结,强调重要概念和运算方法。

六、作业
布置作业:完成《数学》第一册相关练习题。

七、课外拓展
学生可自行拓展集合运算的相关知识,加深对集合的理解。

教学反思:
教师应该结合学生实际情况,注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力,引导学生自主学习和思考。

同时,注重实际运用,让学生掌握数学知识的应用技能。

高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5

(新课标)高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业.正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理.利用正弦定理、余弦定理,可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化,许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究.本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用.教学难点定理及有关性质的综合运用.教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形确良;2.三角形各种类型的判定方法;3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析,解答典型例题,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.三、情感态度与价值观通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系.教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容?生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗?生 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即R CcB b A a 2sin sin sin ===; 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=a 2+c 2-2acco s B , c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好!哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题? 生 正弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知两角和一边解三角形;(2)已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形;(2)已知两边及其夹角解三角形.生 老师,我来补充.利用正弦定理的解题的类型(1)在有解时只有一解,类型(2)可有解、一解和无解;利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good !除了以上这些,我们还学习了什么? 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式:C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ,利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善,你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 (2)已知两边及其夹角类型(1)(2)有解时只有一解正弦定理(3)已知两角和一边类型(3)在有解时只有一解,类型(4)可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === (4)已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S =21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师,我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题.师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错.下面,我们来看一下例题与练习. [例题剖析]【例1】在△ABC 中,若sin A >sin B ,则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的,A 与B 的大小关系不定. 师 对吗?生 我认为不对.我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件. (其他学生一致认可) 师 那本题应该怎么做呢?生 我觉得答案应该是A >B ,但是理由我说不上来. 生 我来说.因为在△ABC 中,由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A >sin B ,所以A >B . 又因为在三角形中,大边对大角,所以A >B . 师 好,你解得非常正确.【例2】在△ABC 中,若△ABC 的面积为S ,且2S=(a +b )2-C 2,求t a n C 的值. 师 拿到题目你怎么考虑,从哪里下手?生 利用三角形的面积公式,代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中,再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢? 生 用哪一个都可以吧. 生 不对,应该先化简等式右边,得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2,出现了A 与B 的乘积:AB ,而2abco s C =a 2+b 2-c 2,因此面积公式应该用S=21ab sin C ,代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2.从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC.师思路非常清晰,请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点?生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式.生还有余切的二倍角公式.师你能总结这类题目的解题思路吗?生拿到题目不能盲目下手,应该先找到解题切入口.师对,你讲得很好.生正弦定理、余弦定理都要试试.【例3】将一块圆心角为120°,半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形,有如图(1)、(2)的两种裁法:让矩形一边在扇形的一条半径OA上,或让矩形一边与弦AB平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.师本题是应用题,怎么处理?生由实际问题抽象出数学模型,找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题,从图形的特点来看,涉及到线段的长度和角度,将这些量放置在三角形中,通过解三角形求出矩形的边长,再计算出两种方案所得矩形的最大面积,加以比较,就可以得出问题的结论.解:按图(1)的裁法:矩形的一边O P在OA上,顶点M在圆弧上,设∠M OA=θ,则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ,即当4πθ=时,S m a x=200.按图(2)的裁法:矩形的一边PQ与弦AB平行,设∠M O Q=θ,在△M O Q中,∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理,得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ),=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600{-21[co s60°-co s(2θ-60°)]}=33800[cos(2θ-60°)-co s60°]. 所以当θ=30°时,S m a x =33400. 由于33400>200,所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形,最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量(角度、距离)、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看,关键是要找出或设出角度,实质是解斜三角形,将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中,灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数,求所有这些三角形中的最大角的度数.(精确到°) 师 已知什么,要求什么?生(齐答)已知三角形的三边,要求三角形中的角. 师 怎么处理呢?生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化,可是三条边的值不知道啊. 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数,那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1,n ,n+1,最大的角为θ,则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢?生 因为co sθ是[0°,180°]内的减函数,所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值. 师cosθ的最小值怎么求呢? 生 因为cosθ>-1,从而有)1(2321--n >-1)1(23-⇒n <23n-1>1⇒n >2. 又因为n 为自然数,所以当n=3时,(cosθ)min =-41,所以θ的最大值为°. (教师用多媒体投影)解:设这三个连续的自然数为n-1,n ,n+1,最大的角为θ,则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是[0°,180°]内的减函数,所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值,且cosθ>-1,从而有)1(2321--n >-1)1(23-⇒n <⇒23n-1>1⇒n >2. 因此,当n=3时,(cosθ)min =-41,所以θ的最大值为°. 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中,若A =30°,B =45°,C =6,则A 等于( ) A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中,若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为(精确到0.1)( ) A .7B .C .D . 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为( ) >d 2=d 2 <d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中,若A ·co t A =bco t B ,则△ABC 是_______三角形.5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ,EF 是直线A ,B 的公垂线段,若EM =5,EF =3,FN =4,MN =6,则异面直线A ,B 所成的角为___________.(精确到1°) 练习题答案:4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么?生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候,都可以用余弦定理;当关系式中有边的平方项时,可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程,更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系,然后假设有关的边和角,利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.其基本步骤是: (1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形);(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解这些三角形,求得数学模型的解; (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是__________.2.在△ABC 中,已知t a n A =21,t a n B =31,试求最长边与最短边的比. 3.某人坐在火车上看风景,他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上,1分钟后,他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上,设火车的速度是100 km/h ,求宝塔离开铁路线的垂直距离. 答案:1.(5,13)2.解:因为t a n A =21,t a n B =31,所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A . 因为0°<A <45°,0°<B <45°,所以A +B = 45°. 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ,所以最长边与最短边的比为35. 3.解:如图,设宝塔在C 点,先看时的位置为A ,再看时的位置为B ,由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=(km ),AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)(km ).板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素.已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形. 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角,例如△ABC 中,C =90°,角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C .那么利用以下关系式:(1)A +B =90°;(2)A 2+B 2=C 2;(3)A =c sin A =cco s B =B ·t a n A ;(4)B =cco s A =c sin B =acxtana . 可分四种情况来解直角三角形. (1)已知斜边和一锐角; (2)已知一条直角边和一锐角; (3)已知一斜边和一直角边; (4)已知两条直角边. 2.斜三角形的解法在一个三角形中,如果没有一个角是直角,那么这个三角形叫做斜三角形.斜三角形的解法可分以下四种情况:(1)已知两角和一边;(2)已知两边和其中一边的对角;(3)已知两边和它们的夹角;(4)已知三边.解斜三角形常常利用以下基本关系式: 1.三角形内角和为180°,即A +B +C =180°; 2.正弦定理,即R CcB b A a 2sin sin sin ===3.余弦定理,即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说,在已知两边和其中一边的对角的情况下,解三角形时,问题不一定有解,如果有解也不一定有唯一解.对这类问题进行讨论,可得如下结论.90°≤A <180°0°<A <90°a >b 一解 一解 a =b 无解 一解a <b无解A >B sin A A =B sin A A <B sin A两解 一解 无解。

高数教学设计(共8篇)

高数教学设计(共8篇)

高数教学设计〔共8篇〕第1篇:高数教案设计教案设计教材:《高等数学》〔第三版〕上册,第一章函数与极限,第三节函数的极限。

一、方案学时本小节分为两个局部,对于初学者来说有一定的难度,所以也就分为两个学时进展教学。

第一学时:自变量趋于有限值时函数的极限。

第二学时:自变量趋于无穷大时函数的极限。

〔本次教案主要说明第一学时的内容。

〕二、教材处理通过第一节关于函数根本知识的学习,以及高中时已经对函数极限有过一定的学习理解与铺垫,所以就要通过一些根本的例如,来一步步引导学生接触本节的内容,并进一步学习与研究。

来扩展同学们的知识面,并易于承受新内容。

三、教学目的知识和才能目的:1、通过教学过程培养学生的思维才能、运算才能、以及数学创新意识。

让你给同学们积极考虑、敢于提出自己的想法。

2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。

3、通过数学知识为载体,增强学生们的逻辑思维才能,进步学习的兴趣和才能。

传达出数学的人文价值。

四、教学难点和重点1、如何让学生较快的承受新的理念与知识,而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。

2、让学生们纯熟的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理,从而更好的做题。

五、教学设计1、总体思路先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题,让同学们到黑板上去做。

然后,对题目做一些变形,就成了本小节所学的知识,此时,就要通过一步步的引导,让同学们呢理解步骤的方法技巧。

最后,就是先要学生们自己总结本节的内容与规律技巧,之后,再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。

2、教学过程〔1〕先让同学们大致看一下本小节内容,对本节内容有一定的理解。

〔4分钟〕设计说明:通过让同学们进展自主学习,对本小节内容有大志的理解,以便于学生更易于承受新知识。

〔2〕通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。

如:问题:当x无限接近于1的时候,函数f(x)=2x-1的取值。

解析:问题可转化成|f(x)-1|最小取值,因为|f(x)-1|可以无限变小,也就是无限趋近于0,所以当x无限接近于1的时候,函数f(x)=2x-1的取值就是0.〔5分钟〕设计说明:通过引导学生们的思维,带到新的内容,培养学生们的逻辑思维才能以及发撒思维才能。

高中数学必修一的教学设计5篇

高中数学必修一的教学设计5篇

中学数学必修一的教学设计5篇教案是我们现在教学中必不行少的,在你的教案设计中,如何设计课堂形成性评价?在你的教案设计中,是否用到学习需求分析?下面给大家带来关于中学数学必修一的教学设计,便利大家学习中学数学必修一的教学设计1教学目标:(1) 了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的属于和不属于关系;(3) 驾驭常用数集及其记法;教学重点:驾驭集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点,高一班级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感爱好的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念--集合(宣布课题),即是一些探讨对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能推断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地,我们把探讨对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。

3. 思索1:推断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程的解;(5) 某校20xx级新生;(6) 血压很高的人;(7) 闻名的数学家;(8) 平面直角坐标系内全部第三象限的点(9) 全班成果好的学生。

对学生的解答予以探讨、点评,进而讲解下面的问题。

4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个详细对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种状况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。

人教版高中数学必修1第一章教案

人教版高中数学必修1第一章教案

1.1.1集合的含义通过本节学习应到达如下目标:(1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法.,初步了解“∈〞关系的意义.。

.(2)通过实例,初步体会元素与集合的〞属于〞关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合.(3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.(4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素确实定性、互异性).(5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度.学习重点:集合概念的形成。

学习难点:理解集合的元素确实定性和互异性.学习过程〔一〕自主学习阅读课本,完成以下问题:1、例〔3〕到例〔8〕和例〔1〕〔2〕是否具有相同的特点,它们能否构成集合,如果能,他们的元素是什么?结合现实生活,请你举出一些有关集合的例子。

2、一般地,我们把研究对象称为.,把一些元素组成的总体叫做。

3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。

4、集合的元素一定是的,相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。

5、集合通常用大写的拉丁字母表示,如。

元素通常用小写的拉丁字母表示,如。

6、如果a是集合A 的元素,就说a属于A ,记作,读作〞〞。

如果a不是集合A的元素,就说a不属于A ,记作,读作〞〞。

7、非负整数集〔或自然数集〕,正整数集,整数集,有理数集,有理数集,实数集。

〔二〕合作探讨1、以下元素全体是否构成集合,并说明理由〔1〕世界上最高的山〔2〕世界上的高山。

(3) 2的近似值(4)爱好唱歌的人〔5〕本届奥运会我国取得优秀成绩的运发动。

〔6〕本届奥运会我国参加的所有运动工程。

2、结合具体例子,请你说明你对集合中元素具有的互异性和确定性的理解。

3、如果用A表示高一〔3〕班全体学生组成的集合,用a表示高一〔3〕班的一位同学,b是高一〔4〕班的一位同学,那么a, b与集合A有什么关系?由此可见元素与集合间有什么关系?4、请你指出以下集合中的元素。

苏科版高中数学章节教案

苏科版高中数学章节教案

苏科版高中数学章节教案
章节:苏科版第一册第一章立体几何
教学目标:
1. 理解三维空间中的点、直线、平面等基本概念。

2. 掌握立体图形的表示方法和性质。

3. 掌握直线与平面的位置关系和交点的性质。

教学内容:
1. 立体几何基本概念:三维空间、点、直线、平面等。

2. 立体图形的表示方法:欧氏空间、剖面、投影等。

3. 直线与平面的位置关系:平行、垂直、交点等。

教学步骤:
1. 导入:通过展示三维立体图形,引入立体几何的概念,让学生感受到立体空间的存在和重要性。

2. 概念讲解:介绍点、直线、平面等基本概念,并与平面几何进行对比,帮助学生建立起立体几何的概念框架。

3. 实例演练:通过例题演练,让学生掌握立体图形的表示方法和性质,培养学生解决实际问题的能力。

4. 练习巩固:设计一些练习题,让学生熟练运用直线与平面的位置关系和交点的性质,检验他们的掌握程度。

5. 小结:总结本节课的重点内容,强调立体几何在日常生活和工作中的重要性,激发学生对数学的兴趣和学习动力。

教学过程中,教师要注重启发学生的思维,引导他们从具体问题中找到抽象规律,培养他们的逻辑推理能力和问题解决能力。

同时,教师要及时给予学生反馈和指导,帮助他们建立正确的数学思维方式和解题方法。

通过本节课的学习,学生将能够掌握立体几何基本概念和性质,为今后的数学学习打下坚实的基础。

同时,他们也将意识到数学在工程、建筑等领域中的应用和重要性,为未来的学习和职业规划提供参考和启示。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念2教案第一册

高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念2教案第一册

第一章 集合与常用逻辑用语第1节 集合的概念本课是本节的第一课,也是同学们刚进入高中阶段的第一课。

常言道“良好的开端是成功的一半”。

本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手,体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言,学习并掌握它的最好方法是使用.因此,教学中要多引导学生使用集合语言描述对象,进行自然语言与集合语言间的转换. 养成良好的数学习惯。

集合语言是现代数学的基本语言,可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识,用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,初步运用集合的观点和思想来分析数学,解决简单的数学问题。

符号,并能够用其解决有关问题.C.会用集合语言表示有关数学对象:描述法,列举法。

1.教学重点:集合的含义与表示方法,元素与集合的关系;2。

教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合。

多媒体注意:在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}。

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合.(1)方程x2—2=0的所有实数根组成的集合。

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解:(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2—2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.方程x2-2=0有两个实数根为22-,,因此,用列举法表示为A={2,}。

2-(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此,用描述法表示为B={x∈Z∣10〈x<20}.。

高一数学北师大版必修1教学教案第一章3-1交集与全集(4)

高一数学北师大版必修1教学教案第一章3-1交集与全集(4)

3.1 交集、并集一、教材的地位与作用本节通过实例,使学生掌握集合之间的两种运算——交和并。

集合作为一种数学语言,在后续的学习中是一种重要的工具。

因此,在教学过程中要针对具体问题,引导学生恰当使用自然语言、图形语言和集合语言来描述相应的数学内容。

有了集合的语言,可以更清晰的表达我们的思想。

所以,集合是整个数学的基础,在以后的学习中有着极为广泛的应用。

二、教学目标:1. 知识与技能:(1)理解交集与并集的概念;(2)理解“或”、“且”的含义,掌握交集、并集运算.2.过程与方法:①会用符号语言表示交集、并集;②掌握交集和并集的表示法,会求两个集合的交集与并集;③逐步学会数形结合法.3.情感态度与价值观:通过对集合符号语言的学习,培养学生符号表达能力,培养严谨的学习作风,养成良好的学习习惯。

三、教学重难点教学重点:交集和并集的概念.教学难点:交集和并集的概念、符号之间的区别.学情分析:学习对象为高一新生,高一学生虽然在智力等各方面都有较之初中的发展,但毕竟刚刚由初中阶段上升而来,对于新的知识朦胧性较大,虽然集合的思想在小学以及初中就有了渗透,但是由于学生之间知识的差异层次较大,再者,一个概念的引入,如想较理性的认识还得靠深入的学习和多一些的训练。

学习习惯:高中级学生经过多年的学习,已经有了自己初级的学习习惯和方法,我们可以充分调动他们的积极性,并且适当帮助他们调整学习方法中的不妥之处。

四、教法学法与教具教学过程是教师和学生共同参与的过程,启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法,提高学生素质,采用如下的教学方法:(1)类比发现法。

通过让学生类比实数加法运算引入集合间的运算。

(2)图示法。

利用Venn图和数轴让学生理解集合的交与并。

教具:多媒体.五、教学过程:一、创设情景:1、观察集合A,B,C元素间的关系:A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},C={5,8}2、观察集合A,B,C元素间的关系: A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},C={3,4,5,6,7,8}师:请观察1中A、B、C三个集合的元素,你能发现什么?生:集合C的元素是集合A、B的公共元素.师:请观察2中A、B、D三个集合的元素,你能发现什么?生:集合A与集合B中的元素都是集合D中的元素.师: 我们把集合C叫做集合A与B的交集,把集合D叫做集合A与B的并集这是这节课我们要学习的两个重要概念.二、讲解新课:名称交集并集文字语言一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集.一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集.记法A B(读作“A交B”)A B(读作“A并B”)符号语言A B={x|x∈A,且x∈B}A B ={x|x∈A,或x∈B}图形语言(一般情形)引导学生自主对交集和并集进行概念的类比、内涵类比、外延类比,重点讲清“且”与“或”的区别与联系,为分析问题、解决问题的实际应用中能迅速、准确地决定取“交”还是取“并”扫清障碍。

高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算教案新人教B版必修1

高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算教案新人教B版必修1

高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算教案新人教B版必修1整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍补集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如归纳等.值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用Venn图的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用Venn图进行求补集的运算.三维目标1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高归纳的能力.2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.重点难点教学重点:交集与并集,全集与补集的概念.教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.引导学生通过观察、归纳、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.思路3.(1)①如下图甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B 有什么关系?②观察集合A与B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A 与B中的所有元素组成的集合C.学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算.推进新课新知探究提出问题①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么?②用文字语言来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.③用数学符号来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.④试用Venn图表示A∪B=C.⑤请给出集合的并集定义.⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗?请同学们考察下面的问题,集合A与B与集合C之间有什么关系?(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};(ⅱ)A={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}.⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义,并分别用三种不同的语言形式来表达.活动:先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来显示.讨论结果:①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集,记为A∪B=C,读作A并B.②所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.③C={x|x∈A,或x∈B}.④如下图所示.⑤一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B}.⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.⑦一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.其含义用符号表示为:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.用Venn图表示,如下图所示.应用示例思路1例1设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.活动:让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于Venn图写出.观察这两个集合中的元素,或用Venn图来表示,如下图所示.解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.点评:本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.例2 设A ={x|-1<x <2},B ={x|1<x <3},求A∪B,A∩B.活动:学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义.利用数轴,将A 、B 分别表示出来,则阴影部分即为所求.用数轴表示描述法表示的数集.解:将A ={x|-1<x <2}及B ={x|1<x <3}在数轴上表示出来,如下图所示的阴影部分即为所求.由图得A∪B={x|-1<x <2}∪{x|1<x <3}={x|-1<x <3},A∩B={x|-1<x <2}∩{x|1<x <3}={x|1<x <2}.点评:本类题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的数集,运算时常利用数轴来变式训练1.设A ={x|2x -4<2},B ={x|2x -4>0},求A∪B,A∩B.答案:A∪B=R ,A∩B={x|2<x <3}.2.设A ={x|2x -4=2},B ={x|2x -4=0},求A∪B,A∩B.答案:A∪B={3,2},A∩B=∅.3.设A ={x|x 是奇数},B ={x|x 是偶数},求A∩Z ,B∩Z ,A∩B.解:A∩Z ={x|x 是奇数}∩{x|x 是整数}={x|x 是奇数}=A ,B∩Z ={x|x 是偶数}∩{x|x 是整数}={x|x 是偶数}=B ,A∩B={x|x 是奇数}∩{x|x 是偶数}=∅.4.已知A ={(x ,y)|4x +y =6},B ={(x ,y)|3x +2y =7},求A∩B.分析:集合A 和B 的元素是有序实数对(x ,y),A ,B 的交集即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x +y =6,3x +2y =7的解集.解:A∩B={(x ,y)|4x +y =6}∩{(x,y)|3x +2y =7}={(x ,y)|{ 4x +y =63x +2y +7}={(1,2)}.5.已知A ={x|x 是等腰三角形},B ={x|x 是直角三角形},求A∩B.解:A∩B={x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形}={x|x 是等腰直角三角形}.思路2例1 A ={x|x <5},B ={x|x >0},C ={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C 分别是什么?活动:学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果的寻求就容易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.解:因A ={x|x <5},B ={x|x >0},C ={x|x≥10},在数轴上表示,如下图所示,所以A∩B={x|0<x <5},B∪C={x|x >0},A∩B∩C=∅.点评:本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或Venn 图)写出结果. 变式训练1.设A ={x|x =2n ,n∈N +},B ={x|x =2n ,n∈N },求A∩B,A∪B.解:对任意m∈A,则有m =2n =2·2n -1,n∈N +,因n∈N +,故n -1∈N ,有2n -1∈N ,那么m∈B,即对任意m∈A 有m∈B,所以A ⊆B.而10∈B 但10A ,即A B ,那么A∩B=A ,A∪B=B.2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B 的个数.解:满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B 一定含有元素3,B ={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.3.设A ={-4,2,a -1,a 2},B ={9,a -5,1-a},已知A∩B={9},求a.解:因A∩B={9},则9∈A,a -1=9或a 2=9,a =10或a =±3,当a =10时,a -5=5,1-a =-9;当a =3时,a -1=2不合题意;当a =-3时,a -1=-4不合题意.故a =10,此时A ={-4,2,9,100},B ={9,5,-9},满足A∩B={9}.4.设集合A ={x|2x +1<3},B ={x|-3<x <2},则A∩B 等于… ( )A .{x|-3<x <1}B .{x|1<x <2}C .{x|x >-3}D .{x|x <1}解析:集合A ={x|2x +1<3}={x|x <1},观察或由数轴得A∩B={x|-3<x <1}. 答案:A例2 设集合A ={x|x 2+4x =0},B ={x|x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,a∈R },若A∩B=B ,求a 的值.活动:明确集合A 、B 中的元素,教师和学生共同探讨满足A∩B=B 的集合A 、B 的关系.集合A 是方程x 2+4x =0的解集,可以发现,B ⊆A ,通过分类讨论集合B 是否为空集来求a 的值.利用集合的表示法来认识集合A 、B 均是方程的解集,通过画Venn 图发现集合A 、B 的关系,从数轴上分析求得a 的值.解:由题意得A ={-4,0}.∵A∩B=B ,∴B ⊆A.∴B=∅或B≠∅.当B =∅时,即关于x 的方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0无实数解,则Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)<0,解得a <-1. 当B≠∅时,若集合B 仅含有一个元素,则Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)=0,解得a =-1,此时,B ={x|x 2=0}={0}⊆A ,即a =-1符合题意. 若集合B 含有两个元素,则这两个元素是-4、0,即关于x 的方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0的解是-4、0.则有⎩⎪⎨⎪⎧ -4+0=-2(a +1),-4×0=a 2-1.解得a =1,则a =1符合题意.综上所得,a =1或a≤-1.点评:本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题. 变式训练1.已知非空集合A ={x|2a +1≤x≤3a-5},B ={x|3≤x≤22},求能使A (A∩B)成立的所有a 值的集合.解:由题意知A ⊆(A∩B),即A ⊆B ,A 非空,得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a +1≤3a-5,2a +1≥3,3a -5≤22.解得6≤a≤9,即所有a 值的集合是{a|6≤a≤9}.2.已知集合A ={x|-2≤x≤5},集合B ={x|m +1≤x≤2m-1},且A∪B=A ,试求实数m 的取值范围.分析:由A∪B=A 得B ⊆A ,则有B =∅或B≠∅,因此对集合B 分类讨论.解:∵A∪B=A ,∴B ⊆A.又∵A={x|-2≤x≤5}≠∅,∴B=∅,或B≠∅.当B =∅时,有m +1>2m -1,∴m<2.当B≠∅时,观察下图:由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧ m +1≤2m-1,-2≤m+1,2m -1≤5.解得-2≤m≤3. 综上所述,实数m 的取值范围是m <2或-2≤m≤3,即m≤3.知能训练1.设a ={3,5,6,8},B ={4,5,7,8},(1)求A∩B,A∪B.(2)用适当的符号(⊇、⊆)填空:(A∩B)________A ,B________(A∩B),(A∪B)________A ,(A∪B)________B ,(A∩B)________(A∪B).解:(1)因A 、B 的公共元素为5、8,则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.又A 、B 两集合的元素为3、4、5、6、7、8,故A∪B={3,4,5,6,7,8}.(2)(A∩B) ⊆A ,B ⊇ (A∩B),(A∪B) ⊇A ,(A∪B) ⊇B ,(A∩B) ⊆ (A∪B).2.设A ={x|x <5},B ={x|x≥0},求A∩B.解:因x <5及x≥0的公共部分为0≤x<5,故A∩B={x|x <5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.3.设A ={x|x 是锐角三角形},B ={x|x 是钝角三角形},求A∩B.解:因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立,故A 、B 两集合没有公共部分.所以A∩B={x|x 是锐角三角形}∩{x|x 是钝角三角形}=∅.4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.解:在数轴上将A、B分别表示出来,得A∪B={x|x>-2}.5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.解:因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B={x|x是平行四边形}.6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.分析:M、N中元素是数,A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.解:∵M={1},N={1,2},则A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}.7.若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=∅解析:思路一:∵(B∩C)⊆B,(B∩C)⊆C,A∪B=B∩C,∴(A∪B)⊆B,(A∪B) ⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.思路二:取满足条件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D,令A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件A∪B=B∩C,而此时A=C,排除C.答案:A拓展提升观察:(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B 的关系;(2)当A=∅时,A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系;(3)当A=B={1,2}时,A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系.由(1)(2)(3)你发现了什么结论?活动:依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A、B的关系.用Venn 图来发现运算结果与集合A、B的关系.(1)(2)(3)中的集合A、B均满足A⊆B,用Venn图表示,如下图所示,就可以发现A∩B、A∪B与集合A、B的关系.解:A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:A∪B=B∪A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B);A∪A=A,A∪∅=A,A⊆B⇔A∪B=B;A∩B=B∩A;(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B;A∩A=A;A∩∅=∅;A⊆B⇔A∩B=A.课堂小结本节主要学习了:1.集合的交集和并集.2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.作业1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律?2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.3.书面作业:课本习题1—2A 3、4、5.设计感想由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn 图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.(设计者:尚大志)第2课时导入新课问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x -3)(x -3)=0,其结果会相同吗? ②若集合A ={x|0<x <2,x∈Z },B ={x|0<x <2,x∈R },则集合A 、B 相等吗? 学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同,这个“范围”问题就是本节学习的内容,引出课题.推进新课新知探究提出问题①用列举法表示下列集合:A ={x∈Z |(x -2)(x +13)(x -2)=0}; B ={x∈Q |(x -2)(x +13)(x -2)=0}; C ={x∈R |(x -2)(x +13)(x -2)=0}. ②问题①中三个集合相等吗?为什么?③由此看,解方程时要注意什么?④问题①,集合Z 、Q 、R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集,请给出全集的定义.⑤已知全集U ={1,2,3},A ={1},写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B. ⑥请给出补集的定义.⑦用Venn 图表示U A.活动:组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围.讨论结果:①A={2},B ={2,-13},C ={2,-13,2}. ②不相等,因为三个集合中的元素不相同.③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同.④在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U 表示.⑤B={2,3}.⑥对于一个集合A ,全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集.集合A 相对于全集U 的补集记为U A ,即U A ={x|x∈U,且x A}.⑦如下图所示,阴影表示补集.应用示例思路1例1设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求U A,U B.活动:让学生明确全集U中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义写出U A,U B.解:根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以U A={4,5,6,7,8};U B={1,2,7,8}.点评:本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出集合运算的结果.常见结论:U(A∩B)=(U A)∪(U B);U(A∪B)=(U A)∩(U B).变式训练1.已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5}.求U A,A∩U A,A∪U A.解:U A={2,4,6},A∩U A=∅,A∪U A=U.2.已知U={x|x是实数},Q={x|x是有理数},求U Q.解:U Q={x|x是无理数}.3.已知U=R,A={x|x>5},求U A.解:U A={x|x≤5}.例2设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,U(A∪B).活动:学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A∩B是由集合A、B中公共元素组成的集合,U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合.解:根据三角形的分类可知A∩B=∅,A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},U(A∪B)={x|x是直角三角形}.变式训练1.已知集合A ={x|3≤x<8},求R A. 解:R A ={x|x <3或x≥8}.2.设S ={x|x 是至少有一组对边平行的四边形},A ={x|x 是平行四边形},B ={x|x 是菱形},C ={x|x 是矩形},求B∩C,A B ,S A.解:B∩C={x|正方形},A B ={x|x 是邻边不相等的平行四边形},S A ={x|x 是梯形}.3.已知全集I =R ,集合A ={x|x 2+ax +12b =0},B ={x|x 2-ax +b =0},满足(I A)∩B={2},(I B)∩A={4},求实数a 、b 的值.答案:a =87,b =-127. 4.设全集U =R ,A ={x|x≤2+3},B ={3,4,5,6},则(U A)∩B 等于…( )A .{4}B .{4,5,6}C .{2,3,4}D .{1,2,3,4}解析:∵U=R ,A ={x|x≤2+3},∴U A ={x|x >2+3}.而4、5、6都大于2+3,∴(U A)∩B ={4,5,6}.答案:B思路2例1已知全集U =R ,A ={x|-2≤x≤4},B ={x|-3≤x≤3},求:(1)U A ,U B ;(2)(U A)∪(U B),U (A∩B),由此你发现了什么结论?(3)(U A)∩(U B),U (A∪B),由此你发现了什么结论?活动:学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A ,B.解:如下图所示,(1)由图得U A={x|x<-2或x>4},U B={x|x<-3或x>3}.(2)由图得(U A)∪(U B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3}.∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3},∴U(A∩B)=U{x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}.∴得出结论U(A∩B)=(U A)∪(U B).(3)由图得(U A)∩(U B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x<-3或x>3}={x|x<-3或x>4}.∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4},∴U(A∪B)=U{x|-3≤x≤4}={x|x<-3或x>4}.∴得出结论U(A∪B)=(U A)∩(U B).变式训练1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(U A)∪(U B)等于( )A.{1,6} B.{4,5}C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}答案:D2.设集合I={x||x|<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(I B)等于( )A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2}答案:D例2设全集U={x|x≤20,x∈N,x是质数},A∩(U B)={3,5},(U A)∩B={7,19},(U A)∩(U B)={2,17},求集合A、B.活动:学生回顾集合的运算的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集U,根据题中所给的条件,把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A、B的关键是确定它们的元素,由于全集是U,则集合A、B中的元素均属于全集U,由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多,可借助于Venn图来解决.解:U={2,3,5,7,11,13,17,19},由题意借助于Venn图,如下图所示,∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.点评:本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题,使问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.变式训练1. 设I为全集,M、N、P都是它的子集,则下图中阴影部分表示的集合是( )A.M∩[(I N)∩P] B.M∩(N∪P)C.[(I M)∩(I N)]∩P D.M∩N∪(N∩P)解析:思路一:阴影部分在集合M内部,排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.思路二:阴影部分在集合M内部,即是M的子集,又阴影部分在P内不在集合N内即在(I N)∩P 内,所以阴影部分表示的集合是M∩[(I N)∩P].答案:A2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(U A)∩B={3,7},(U B)∩A={2,8},(U A)∩(U B)={1,5,6},则集合A=________,B=________.解析:借助Venn图,如下图,把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.答案:{2,4,8,9} {3,4,7,9}知能训练1.设全集U=R,A={x|2x+1>0},试用文字语言表述U A的意义.解:A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集,U A中元素均不能使2x+1>0成立,即U A中元素应当满足2x+1≤0.∴U A即不等式2x+1≤0的解集.2.如下图所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是________.解析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M、P的公共部分内.因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M、P的交集的交集,即(U S)∩(M∩P).答案:(U S)∩(M∩P)3.设集合A、B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(U A)∩(U B)={2},(U A)∩B={1},则A等于( )A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{1,4}解析:如下图所示.由于(U A)∩(U B)={2},(U A)∩B={1},则有U A={1,2}.∴A={3,4}.答案:C4.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则U(S∪T)等于…()A. B.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}解析:直接观察(或画出Venn图),得S∪T={1,3,5,6},则U(S∪T)={2,4,7,8}.答案:B5.已知集合I={1,2,3,4},A={1},B={2,4},则A∪(I B)等于( )A.{1} B.{1,3} C.{3} D.{1,2,3}解析:∵I B={1,3},∴A∪(I B)={1}∪{1,3}={1,3}.答案:B拓展提升问题:某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均解对者有20人,问:(1)至少解对其中一题者有多少人?(2)两题均未解对者有多少人?分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型,然后根据题意写出它们的运算,问题便得到解决.解:设全集为U,A={只解对甲题的学生},B={只解对乙题的学生},C={甲、乙两题都解对的学生},则A∪C={解对甲题的学生},B∪C={解对乙题的学生},A∪B∪C={至少解对一题的学生},U(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.由已知,A∪C有34个人,C有20个人,从而知A有14个人;B∪C有28个人,C有20个人,所以B有8个人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人),U(A∪B∪C)有N2=50-42=8(人).所以至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人.课堂小结本节课学习了:①全集和补集的概念和求法.②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.作业课本习题1—2A 9.设计感想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法,因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合,本节也对此也予以体现,可以利用课余时间学习有关解不等式的知识.备课资料[备选例题]例1已知A={y|y=x2-4x+6,x∈R,y∈N},B={y|y=-x2-2x+7,x∈R,y∈N},求A∩B,并分别用描述法、列举法表示它.解:y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,A={y|y≥2,y∈N},又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8,∴B={y|y≤8,y∈N}.故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.例2设S={(x,y)|xy>0},T={(x,y)|x>0且y>0},则( )A.S∪T=S B.S∪T=TC.S∩T=S D.S∩T=解析:S={(x,y)|xy>0}={(x,y)|x>0且y>0或x<0且y<0},则T S,所以S∪T =S.答案:A例3 某城镇有1 000户居民,其中有819户有彩电,有682户有空调,有535户彩电和空调都有,则彩电和空调至少有一种的有________户.解析:设这1 000户居民组成集合U,其中有彩电的组成集合A,有空调的组成集合B,如下图所示.有彩电无空调的有819-535=284户;有空调无彩电的有682-535=147户,因此二者至少有一种的有284+147+535=966户.答案:966差集与补集有两个集合A、B,如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合,那么C 就叫做A与B的差集,记作A-B(或A\B).例如,A={a,b,c,d},B={c,d,e,f},C=A-B={a,b}.也可以用维恩图表示,如下图甲所示(阴影部分表示差集).特殊情况,如果集合B是集合I的子集,我们把I看作全集,那么I与B的差集I-B,叫做B在I中的补集,记作B.例如,I={1,2,3,4,5},B={1,2,3},B=I-B={4,5}.也可以用维恩图表示,如上图乙所示(阴影部分表示补集).从集合的观点来看,非负整数的减法运算,就是已知两个不相交集合的并集的基数,以及其中一个集合的基数,求另一个集合的基数,也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数.。

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法教学设计2新人教B版必修第一册

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法教学设计2新人教B版必修第一册

1.1.1集合及其表示方法集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等.【教学目标】在高中数学课程中,集合是刻画一类事物的语言和工具,本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象,学会用数学的语言表达和交流,积累数学抽象的经验。

【数学抽象】了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征;【数据分析】理解元素与集合的"属于"和"不属于"关系;【数学运算】掌握常用数集及其记法;【逻辑推理】掌握集合的表示方法;【教学重点】1、掌握集合、元素的基本概念2、学会用描述法表示集合3、用区间表示集合【教学难点】1、集合中元素的三个特征2、空集的理解3、记住几种常见的数集符号由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.【新课导入】在生活与学习中,为了方便,我们经常要对事物进行分类。

例如,图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的,作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行,整数可以分成正整数、负整数和零这三类?你能说出数学中其他分类实例吗?试着分析为什么要进行分类.【新课讲授】一、集合的概念在数学中,我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。

把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集),组成集合的每个对象都是这个集合的元素。

集合通常用英文大写字母A,B,C,...表示,集合的元素通常用英文小写字母a,b,c,...表示。

如果a是集合A的元素,就记作a∈A,读作“a属于A”;如果a不是集合A的元素,就记作a∉A,读作“a不属于A”.【尝试与发现】你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗?指出例子中集合的元素是什么.【典型例题】(1)如果A是由所有小于10的自然数组成的集合,则0∈A,0.5∉A;(2)如果B是由方程x²=1的所有解组成的集合,则-1∈B,0∉B,1∈B(3)如果C是平面上与定点O的距离等于定长r(r>0)的点组成的集合,则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说,都有P∈C.【思考与讨论】现在我们来考虑方程x+1=x+2的所有解组成的集合,由于该方程无解,因此这个集合不含有任何元素。

高中数学 第一章《三角函数》正弦、余弦函数的周期性教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

高中数学 第一章《三角函数》正弦、余弦函数的周期性教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析:《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课,其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性.本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后,对三角函数知识的又一深入探讨.正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质,是研究三角函数其它性质的基础,是函数性质的重要补充.通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力,而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去,为以后研究三角函数的其它性质打下基础.所以本课既是前期知识的发展,又是后续有关知识研究的前驱,起着承前启后的作用.二、教学目标:学情分析:学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法;在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力;在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想.本课的教学目标:(一)知识与技能1.理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性.2.会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性,通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性.(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活,体会从感性到理性的思维过程,体会数形结合思想;让学生亲身经历数学研究的过程,享受成功的喜悦,感受数学的魅力.三、教学重点:周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点:周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备:三角板、多媒体课件六、教学流程:求下列函数的周期: (1)3sin4x y =,x R ∈;(2)sin()10y x π=+,x R ∈;(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-,x R ∈ 课外思考:1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+(其中,,A ωϕ为常数,且0,0A ω≠>)的周期.2.求下列函数的周期:(1)|sin |x y =,x R ∈;(2)|2cos |x y =,x R ∈ 附:板书设计附:1.本节课预计学生建构周期函数概念时有困难,特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点,借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维.2.预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难,为了突破这个难点,设计了三道判断题让学生分组讨论交流,通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨,通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识.3.预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难,为了解决这个困难,在设计中,例1第1问由师生共同完成,完成后小结解题的思路方法.再由学生完成第2问和第3问,再由师生共同点评.教案设计说明 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课,其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性.正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质,是研究三角函数其它性质的基础,是函数性质的重要补充.本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性,难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分,包括:教材分析,目标分析(含学情分析),教学重难点,教学准备,教学流程,教学过程.设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发,通过概括、抽象,并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程,这是设计的数学本质基础;设计中结合本班学生的学习的实际情况,从而确定了教学活动的环节.以这些分析为基础从而确定教学目标,而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计.教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想.下面从如下几个方面进行详细说明.一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性.通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知,使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础,然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律.学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识,已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图;在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力;在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想.另外,我还对我班学生的具体情况做了如下分析:我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃,学生层次差异不大,能够很好的掌握教材上的内容,能较好地做到数形结合,善于发现问题,深入研究问题,但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高.于是,结合以上的学情分析,我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为:理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性,会求一些简单三角函数的周期.过程与方法则是:从学生实际中的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性,通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性.并且在过程中渗透了本课的情感态度目标:让学生体会数学来源于生活,体会从感性到理性的思维过程,体会数形结合思想;让学生亲身经历数学研究的过程,享受成功的喜悦,感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明.二、教学流程入探讨.正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质,是研究三角函数其它性质的基础,是函数性质的重要补充.通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力,分析问题和解决问题的能力,而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去,为以后研究三角函数的其它性质打下基础.正弦函数、余弦函数的周期性,与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系.在数学和其它领域(物理学、生物学、医学等)中具有重要的作用,所以,该内容在教材中具有非常重要的意义,是连接理论知识和实际问题的一个桥梁.四、教学诊断分析1.学习正弦、余弦函数的周期性时,用图象法求周期学生容易理解;建构周期函数概念时学生有困难,特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象(动画演示),通过动画演示,让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律,再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.2.部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误,需要在教学中反复强调.3.本节课充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去.五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况,我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式,而在知识构建过程中,在教师引导下,使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动,提高数学思维能力;注重信息技术与数学课程的整合,提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容,鼓励学生运用信息技术进行探索和发现.本节课遵循学生的认知规律,通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动,使学生理解周期概念的形成过程,体会蕴含在其中的数形结合的思想方法,把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态,教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境,使教学内容不仅贴近生活,并且来源于旧知识,设计内容一环扣一环,使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法,如观察、分析、归纳、讨论;在知识的学习过程中,重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中,引导学生分析、归纳方法,注意优化学生的思维品质;在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法.通过本节课学习,我力求达到:1 、形成学生主动参与,自主探究,合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活,理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程,体会数形结合思想,让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多,难度不大,相信大多数学生都能掌握本课知识,实现预期的目标.。

高中数学必修1教案人教版

高中数学必修1教案人教版

高中数学必修1教案人教版教材版本:人教版教学内容:函数教学目标:1. 理解函数的概念和特征,掌握函数的运算法则。

2. 能够用一次函数、二次函数和绝对值函数解决实际问题。

3. 能够应用函数的性质解决实际问题。

教学重点和难点:1. 函数的概念和特征。

2. 一次函数、二次函数和绝对值函数的性质。

3. 函数的应用问题。

教学准备:1. 教师准备教材《高中数学必修1》人教版。

2. 准备数学练习题和实际问题,以便学生练习和应用。

教学过程:第一节函数的概念和特征1. 引导学生讨论“函数”这一概念,并给出定义。

2. 介绍函数的自变量和因变量的概念,说明函数的性质。

3. 讲解函数的图像和函数的图形性质。

第二节函数的运算法则1. 教师讲解函数的四则运算规则,例如加减乘除。

2. 给出例题让学生进行练习。

3. 教师引导学生进行讨论,总结函数的运算规则。

第三节函数的应用问题1. 提供一些实际问题,让学生利用一次函数、二次函数和绝对值函数进行解决。

2. 学生进行讨论和解答,讲解解题方法。

3. 学生完成练习题和应用题。

第四节函数的性质1. 教师讲解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。

2. 学生进行讨论和练习。

3. 总结函数的性质及其应用。

教学反馈:1. 教师对学生的课堂表现和练习题做出评价和反馈。

2. 学生提出问题,教师进行解答和指导。

3. 鼓励学生在课后继续练习和应用。

教学反思:1. 总结此次教学的亮点和不足之处。

2. 探讨如何更好地引导学生理解和应用函数。

3. 调整教学策略,提高教学效果。

第一章集合与逻辑用语大单元单元设计

第一章集合与逻辑用语大单元单元设计

高中数学第一单元集合与常用逻辑用语教学设计一、单元思维导图二、单元教学内容本章主要学习集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词。

三、单元教学内容分析本章学习内容包括集合的有关概念、关系和运算,还有充分条件、必要条件、充要条件、全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题及其否定。

这些知识在后续学习中会得到大量应用,是进一步学习的重要基础。

在学生已经掌握初中知识的前提下,学习本章知识用联系的观点和递进的方式可以加强对本章内容的理解。

在本章内容的学习中,首先应掌握集合语言的表述方式,学习集合的含义,明确集合中元素的确定性、无序性、互异性等特征;再学习列举法、描述法等集合的表示法,其中描述法利用了研究对象的某种特征,需要先理解研究对象的性质;类比数与数的关系,我们研究集合之间的包含关系与相等关系,这些关系是由元素与集合的关系决定的,其中集合的相等关系很重要;类比数的运算,我们学习集合的交、并、补运算,通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合,由此可以表示研究对象的某些关系。

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是逻辑思维的基本语言,也是数学表达和交流的工具。

充分条件、必要条件和充要条件,全称量词命题,存在量词命题及它们的否定都能与许多已学过的内容进行融合,如初中学习过的数学定义、定理、命题及许多代数结论等都可以用常用逻辑用语表示。

利用常用逻辑用语表述数学内容,进行推理论证,可以大大提升表述的逻辑性和准确性,提升逻辑推理素养。

四、单元教学目标(1)理解集合的含义,表示法,明确元素与集合,集合与集合的关系;(2)理解并掌握集合的运算法,能解决集合的交、并、补运算问题;(3)能通过“若p,则q”形式命题的真假性,判断充分条件、必要条件、充要条件;(4)能辨别全称量词命题和存在量词命题的真假,并能写出否定形式。

五、单元教学目标分析达成上述目标的标志是:(1)能沿着“集合的含义——集合的表示——集合的关系”这个路径,结合具体问题回顾这一部分内容,并解决与集合的描述法、列举法表示和集合的关系等相关的问题;(2)能结合具体问题,明确集合的交、并、补运算的规则并解决与集合的运算相关的问题;(3)能结合具体问题,明确充分条件、必要条件、充要条件的含义并能解决与它们有关的判断问题;(4)能结合具体问题,表述出全称量词命题和存在量词命题及它们的否定形式并判断其真假。

高中第一单元教案数学

高中第一单元教案数学

高中第一单元教案数学
教材目标:
1. 了解有理数的定义和性质。

2. 熟练掌握有理数的加减乘除运算规则。

3. 能够灵活运用有理数解决实际问题。

教学重点:
1. 有理数的概念和性质。

2. 有理数的加减乘除运算规则。

教学难点:
1. 有理数加减乘除运算的复杂应用。

2. 解决实际问题时如何利用有理数进行计算。

教学准备:
1. 教材《高中数学》第一单元相关内容。

2. 教学准备好PPT课件。

3. 练习题集。

教学过程:
一、导入(5分钟)
通过一个实际问题引入有理数的概念,让学生思考有理数在生活中的应用。

二、讲解有理数的概念及性质(15分钟)
1. 讲解有理数的定义和性质。

2. 通过例题讲解有理数的加减乘除运算规则。

三、练习与讲解(20分钟)
1. 给学生布置练习题,让他们自行完成并相互核对。

2. 逐题讲解练习题,检查学生的学习情况,并纠正错误。

四、小结与应用(10分钟)
1. 总结有理数的加减乘除运算规则。

2. 给学生提供一个实际问题,让他们运用所学知识解决问题。

五、作业布置(5分钟)
布置相关练习题作业,巩固所学知识。

教学反思:
通过本节课的教学,学生对有理数的概念和性质有了较好的理解,熟练掌握了有理数的加减乘除运算规则。

但在实际问题的应用中,有些学生还存在一定困难,需要在接下来的教学中加强相关训练与引导。

高中数学说课稿第一章教案

高中数学说课稿第一章教案

高中数学说课稿第一章教案一、教学目标:1. 了解数域的概念,能够区分不同数域之间的特点。

2. 理解整式的概念,掌握有理数的加减乘除运算。

3. 掌握代数式的含义和运算规则,能够简化代数式。

二、教学重点和难点:重点:整式的加减乘除运算,代数式的简化。

难点:理解数域的概念,区分不同数域之间的特点。

三、教学过程:1. 概念引入请同学们思考以下问题:什么是数域?不同数域之间有什么区别?通过讨论,引出数域的概念,让学生理解数域是一个包含一组数的集合,并且具有特定的运算规则。

2. 整式的概念和运算介绍整式的概念,以及整式的加减乘除运算规则。

通过例题演练,让学生掌握有理数的加减乘除运算方法,并能够灵活运用。

3. 代数式的概念和运算引导学生理解代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子,可以包含变量。

介绍代数式的含义和运算规则,教授如何进行代数式的简化操作。

通过实例演练,让学生熟练掌握代数式的简化方法。

4. 总结归纳总结本节课的重点内容,让学生明确整式和代数式的概念及运算规则,强化学生的记忆和理解。

5. 课堂练习布置相关练习题目,巩固学生的学习成果。

在下节课开始前,可以让学生自主复习或者相互交流讨论,提高对知识的掌握和理解能力。

四、板书设计:1. 数域的概念2. 整式的加减乘除3. 代数式的简化4. 代数运算规则五、教学反思:本节课主要介绍了数域与代数运算的基本概念和规则,通过理论讲解和实例演练,帮助学生建立了整式和代数式的概念框架,并掌握了相关运算技巧。

在后续的教学中,可以通过更多的例题训练和综合运用,进一步提高学生的代数运算能力,并引导学生将代数式运用到实际问题中解决。

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1.2.2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.三维目标1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣.3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.重点难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念.教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为:生日快樂!英文为:Happy Birthday!法文是Bon Anniversaire!德文是Alles Gute Zum Geburtstag!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?引出课题:函数的表示法.思路2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢?这节课我们就来研究这个问题(板书课题).推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的?讨论结果:(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.应用示例例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).活动:学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为图1点评:本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系,可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图、股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.图2+c<0b=ax2+bx+c的性质,易知表:活动:学生思考做学情分析,具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具?本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解:把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图3所示.图3由图3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意:本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.图4的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h 所示,那么水瓶的形状是( )图5图6要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系,突出了对思维能力的考查.观察图象,根据图象的特点发现:取水深h =H 2,注水量V ′>V 02,知能训练课本本节练习2,3. 【补充练习】1.等腰三角形的周长是20,底边长y 是一腰长x 的函数,则( )A.y=10-x(0<x≤10)B.y=10-x(0<x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)解析:根据等腰三角形的周长列出函数解析式.∵2x+y=20,∴y=20-2x.则20-2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x>20-2x,得x>5,∴函数的定义域为{x|5<x<10}.∴y=20-2x(5<x<10).答案:D2.定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则y=f(x+1)的值域为( )A.[a,b] B.[a+1,b+1]C.[a-1,b-1] D.无法确定解析:将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数y=f(x+1)的图象,由于定义域均是R,则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同,所以y=f(x+1)的值域也是[a,b].答案:A3.函数f(x)=11+x2(x∈R)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]解析:(观察法)定义域是R,由于x2≥0,则1+x2≥1,从而0<11+x2≤1.答案:B拓展提升问题:变换法画函数的图象都有哪些?解答:变换法画函数的图象有三类:1.平移变换:(1)将函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得函数y=f(x+a)的图象;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位得函数y=f(x-a)的图象;(3)将函数y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)+b的图象;(4)将函数y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)-b的图象.简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”.2.对称变换:(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0即y轴对称;(2)函数y =f (x )与函数y =-f (x )的图象关于直线y =0即x 轴对称; (3)函数y =f (x )与函数y =-f (-x )的图象关于原点对称. 3.翻折变换:(1)函数y =|f (x )|的图象可以将函数y =f (x )的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留y =f (x )的x 轴上方部分即可得到.(2)函数y =f (|x |)的图象可以将函数y =f (x )的图象位于y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y =f (x )在y 轴右边部分图象即可得到.函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,可以直观地显示出函数的变化状况及其特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础.另一方面,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函数的不同表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片,观察函数的图象可以解决研究其性质,当然,也可以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的图象问题是高考的热点之一,应引起重视.课堂小结本节课学习了:函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数.作业课本习题1.2A 组 7,8,9.设计感想本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表示方法,提出了表示法的应用,特别是用图象法求函数的值域,并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求.第2课时 作者:刘菲导入新课思路1.当x >1时,f (x )=x +1;当x ≤1时,f (x )=-x ,请写出函数f (x )的解析式.这个函数的解析式有什么特点?教师指出本节课题.思路2.化简函数y =|x |的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题. 推进新课新知探究 提出问题①函数h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x ,-x +1,x <-1,x ≥-1与f (x )=x -1,g (x )=x 2在解析式上有什么区别?②请举出几个分段函数的例子.活动:学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.讨论结果:①函数h (x )是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.②例如:y =⎩⎪⎨⎪⎧ 0,1,x >0,x <0等.应用示例例1 画出函数y =|x |的图象.活动:学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一:由绝对值的概念,我们有y =⎩⎪⎨⎪⎧ x ,-x ,x ≥0,x <0.所以,函数y =|x |的图象如图7所示.图7解法二:画函数y =x 的图象,将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方,与函数y =x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y =|x |的图象如图7所示.点评:函数y =f (x )的图象位于x 轴上方的部分和y =|f (x )|的图象相同,函数y =f (x )的图象位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方就是函数y =|f (x )|图象的一部分.利用函数y =f (x )的图象和函数y =|f (x )|的图象的这种关系,由函数y =f (x )的图象画出函数y =|f (x )|的图象.图821),0,x ≤>的图象.①画整个二次函数y =(x +1)2的图象,再取其在区间图9(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动:学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.图10解:设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x∈(0,20].由“招手即停”公共汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:y =⎩⎪⎨⎪⎧ 2,3,4,5, 0<x ≤5,5<x ≤10,10<x ≤15,15<x ≤20.根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图10所示.点评:本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.注意:①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值不同的几种表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.1.函数f (x )=|x -1|的图象是( )图11解析:方法一:函数的解析式化为y =⎩⎪⎨⎪⎧ x -1,1-x , x ≥1,x <1.画出此分段函数的图象,故选B.方法二:将函数f (x )=x -1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与f (x )=x -1位于x 轴上方部分合起来,即可得到函数f (x )=|x -1|的图象,故选B.方法三:由f (-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A ,C ,D ,故选B.答案:B2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2, x >0,1, x =0,-1x ,x <0.(1)画出函数的图象; (2)求f (1),f (-1),f [f (-1)]的值.解:分别作出f (x )在x >0,x =0,x <0上的图象,合在一起得函数的图象.(1)如图12所示,画法略.图12(2)f (1)=12=1,f (-1)=-1-1=1,f [f (-1)]=f (1)=1. 3.某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地,到达B 地并停留1.5小时后,再以65千米/时的速度返回A 地.试将此人驱车走过的路程s (千米)表示为时间t 的函数.分析:本题中的函数是分段函数,要由时间t 属于哪个时间段,得到相应的解析式.解:从A 地到B 地,路上的时间为26052=5(小时);从B 地回到A 地,路上的时间为26065=4(小时).所以走过的路程s (千米)与时间t 的函数关系式为s =⎩⎪⎨⎪⎧ 52t ,260,260+65(t -6.5), 0≤t <5,5≤t ≤6.5,6.5<t ≤10.5.拓展提升问题:已知函数f (x )满足f (1)=1,f (n +1)=f (n )+2,n ∈N *.(1)求:f (2),f (3),f (4),f (5);(2)猜想f (n ),n ∈N *.探究:(1)由题意得f (1)=1,则有 f (2)=f (1)+2=1+2=3,f (3)=f (2)+2=3+2=5,f(4)=f(3)+2=5+2=7,f(5)=f(4)+2=7+2=9.(2)由(1)得f(1)=1=2×1-1,f(2)=3=2×2-1,f(3)=5=2×3-1,f(4)=7=2×4-1,f(5)=9=2×5-1.因此猜想f(n)=2n-1,n∈N*.课堂小结本节课学习了:画分段函数的图象;求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用.作业课本习题1.2B组3,4.设计感想本节教学设计容量较大,特别是例题涉及图象,建议使用信息技术来完成.本节重点为分段函数,这是课标明确要求也是高考的重点,通过分段函数问题能够区分学生的思维层次,因此教学中应予以重视.第3课时作者:林大华导入新课思路1.复习初中常见的对应关系1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应.2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应.3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应.4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.5.函数的概念.我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射(板书课题).思路2.前面学习了函数的概念是:一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应.(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.(2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应.(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.那么这些对应又有什么特点呢?这种对应称为映射,引出课题.推进新课新知探究提出问题①给出以下对应关系:图13这三个对应关系有什么共同特点?②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义?③“都有唯一”是什么意思?④函数与映射有什么关系?讨论结果:①集合A,B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.②一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:A→B”.如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象.③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.应用示例例题下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.活动:学生思考映射的定义.判断一个对应是否是映射,要紧扣映射的定义.(1)中数轴上的点对应着唯一的实数;(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对;(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆;(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生.解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.图14答案:(1)不是;(2)是;(3)是.在图15中的映射中,A中元素60°对应的元素是什么?在A中的什么元素与中元素22对应?图1560°对应的元素是32,在A 中的元素1.下列对应是从集合S 到T 的映射的是( )A .S =N ,T ={-1,1},对应法则是(-1)n,n ∈SB .S ={0,1,4,9},T ={-3,-2,-1,0,1,2,3},对应法则是开平方C .S ={0,1,2,5},T ={1,12,15},对应法则是取倒数 D .S ={x |x ∈R },T ={y |y ∈R },对应法则是x →y =1+x 1-x解析:判断映射的方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受对应法则f 的作用,作用的结果是否一定在B 中,作用的结果是否唯一这三个方面.很明显A 符合定义;B 是一对多的对应;C 中集合S 中的元素0没有象;D 中集合S 中的元素1也无象.答案:A2.已知集合M ={x |0≤x ≤6},P ={y |0≤y ≤3},则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( )A .f :x →y =12x B .f :x →y =13x C .f :x →y =xD .f :x →y =16x 解析:选项C 中,集合M 中部分元素没有象,其他均是映射.答案:C3.已知集合A =N *,B ={a |a =2n -1,n ∈Z },映射f :A →B ,使A 中任一元素a 与B 中元素2a -1对应,则与B 中元素17对应的A 中元素是( )A.3 B.5 C.17 D.9解析:利用对应法则转化为解方程.由题意得2a-1=17,解得a=9.答案:D4.若映射f:A→B的象的集合是Y,原象的集合是X,则X与A的关系是________;Y 与B的关系是________.解析:根据映射的定义,可知集合A中的元素必有象且唯一;集合B中的元素在集合A 中不一定有原象.故象的集合是B的子集.所以X=A,Y⊆B.答案:X=A Y⊆B5.已知集合M={a,b,c,d},P={x,y,z},则从M到P能建立不同映射的个数是________.解析:集合M中有4个元素,集合P中有3个元素,则从M到P能建立34=81个不同的映射.答案:816.下列对应哪个是集合M到集合N的映射?哪个不是映射?为什么?(1)设M={矩形},N={实数},对应法则f为矩形到它的面积的对应.(2)设M={实数},N={正实数},对应法则f为x→1|x|.(3)设M={x|0≤x≤100},N={x|0≤x≤100},对应法则f为开方再乘10.解:(1)是M到N的映射,因为它是多对一的对应.(2)不是映射,因为当x=0时,集合N中没有元素与之对应.(3)是映射,因为它是一对一的对应.7.设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素________对应B中的元素3.( )A.1 B.3 C.9 D.11解析:对应法则为f:n→2n+n,根据选项验证2n+n=3,可得n=1.答案:A8.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.分析:先从集合A和对应法则f入手,同时考虑集合中元素的互异性,可以分析出此映射必为一一映射,再由3→10,求得a值,进而求得k值.解:∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应,∴A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10.∵a∈N,∴由a2+3a=10,得a=2.∵k 的象是a 4,∴3k +1=16,得k =5.∴a =2,k =5.9.已知集合A ={(x ,y )|x +y <3,x ∈N ,y ∈N },B ={0,1,2},f :(x ,y )→x +y ,则这个对应是否为映射?是否为函数?请说明理由.解:是映射,不是函数.由题意得A ={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},显然对于A 中的每一个有序实数对,它们的和是0或1或2,则在B 中都有唯一一个数与它对应,所以是映射,因为集合A 不是数集而是点集,所以不是函数. 拓展提升问题:集合M 中有m 个元素,集合N 中有n 个元素,则从M 到N 能建立多少个不同的映射?探究:当m =1,n =1时,从M 到N 能建立1=11个不同的映射;当m =2,n =1时,从M 到N 能建立1=12个不同的映射;当m =3,n =1时,从M 到N 能建立1=13个不同的映射;当m =2,n =2时,从M 到N 能建立4=22个不同的映射;当m =2,n =3时,从M 到N 能建立9=32个不同的映射.集合M 中有m 个元素,集合N 中有n 个元素,则从M 到N 能建立n m 个不同的映射. 课堂小结本节课学习了:(1)映射的对应是一种特殊的对应,元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”.(2)映射由三个部分组成:集合A ,集合B 及对应法则f ,称为映射的三要素.(3)映射中集合A ,B 中的元素可以为任意的.作业课本本节练习4.补充作业:已知下列集合A 到B 的对应,请判断哪些是A 到B 的映射,并说明理由.(1)A =N ,B =Z ,对应法则f 为“取相反数”;(2)A ={-1,0,2},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12,对应法则:“取倒数”; (3)A ={1,2,3,4,5},B =R ,对应法则:“求平方根”;(4)A ={0,1,2,4},B ={0,1,4,9,64},对应法则f :a →b =(a -1)2;(5)A =N *,B ={0,1},对应法则:除以2所得的余数.答案:(2)不是映射,(1)(3)(4)(5)是映射.设计感想本节教学设计的内容拓展较深,在实际教学中根据学生实际选取例题和练习.本节重点为映射的概念,对于映射来说,只需要掌握概念即可,不要求拓展其内容,以免加重学生的负担,也偏离了课标要求和高考的方向.备课资料【备选例题】【例1】区间[0,m]在映射f:x→2x+m下所得的象集区间为[a,b],若区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大5,则m等于( )A.5 B.10 C.2.5 D.1解析:函数f(x)=2x+m在区间[0,m]上的值域是[m,3m],则有[m,3m]=[a,b],则a=m,b=3m,又区间[a,b]的长度比区间[0,m]的长度大5,则有b-a=(m-0)+5,即b-a=m+5,所以3m-m=m+5,解得m=5.答案:A【例2】设x∈R,对于函数f(x)满足条件f(x2+1)=x4+5x2-3,那么对所有的x∈R,f(x2-1)=________.解析:(换元法)设x2+1=t,则x2=t-1,则f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=t2+3t-7,即f(x)=x2+3x-7.所以f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9.答案:x4+x2-9【知识总结】1.函数与映射的知识记忆口诀:函数新概念,记准要素三;定义域值域,关系式相连;函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见;对应变映射,只是变唯一;映射变函数,集合变数集.2.映射到底是什么?怎样理解映射的概念?剖析:对于映射这个概念,可以从以下几点来理解:(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等;(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的;(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应,而这个与之对应的元素是唯一的,这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心;(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应;(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”;(6)映射是特殊的对应,函数是特殊的映射.3.函数与映射的关系函数是特殊的映射,对于映射f:A→B,当两个集合A,B均为非空数集时,则从A到B 的映射就是函数,所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.。

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