量子力学思考题及解答
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学思考题和讨论题
（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体 系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个 经典力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子 力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观 理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决 定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用 的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什 么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义 的，也是没有必要的。
类似地，它的动量的平均值也可表示为
若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因 为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中 用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后 再转换到坐标表象中去。
利用有
作代换，并对积分得（推广到三维）
可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相 当。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相 应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。 用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。我们知道，在量 子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相 互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学 量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间
定态的线性叠加 态中平均值与无关，所以叠加态是定态。
量子力学思考题
ˆ ,B ˆB ˆ ) ψ = (A ˆ )ψ = (A B − B A )ψ = 0 ˆ ]ψ = (A ˆ −B ˆA ˆ −B ˆA [A ∑ n ∑ ˆB ∑ n n n n n n
n n n
8. 以能量算符为例简要说明能量算符和能量之间的关系（华科大 02 考研） 在量子力学中，能量算符用表示 Hˆ ,当体系处于某个能量的本征态时，算符 Hˆ 对本征 态 φn 的作用是得到这一本征值，即 Hˆφn = E nφn ，若体系处于任意态ψ 时， Hˆ 作用于ψ
5. 如果算符 F 表示力学量 F，那么当体系处于算符 F 的本征态是，力学量 F 是否有确 定值？（华科大 03 考研）
ˆ 在本征态 ψ 的本征值 是，其确定值就是 F
6.如果一组算符有共同的本征函数，且这些函数组成完全系，问这组算符中的一个是 否与其余的算符对易（华科大 03 考研）
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 是 ， 设 这 组 算 符 为 A, B, C ， 完 全 系 为 {ψ n } ， 依 题 意 Aψ n = A n ψ n ， Bψ n = Bn ψ n ， ˆψ = C ψ C n n n ，………。则对任意波函数 ψ ，
i Jˆ 任何满足此式的算符所代表的力学 量子力学中，角动量是按下式定义 Jˆ × Jˆ =
ˆ r = ˆ× p ˆ 更具普遍性。 量，都可以认为是角动量。此定义较之角动量的仿佛经典定义 L
后者只能适用于轨道角动量而不能适用于自旋。 3.试比较经典角动量的相加与量子角动量的耦合，二者有什么区别？ 经典力学中，两角动量可按矢量相加法则简单地相加。它们相加的角度可以是任何的 （取决于体系的性质） ，因此得到的合动量其数值与取向也是连续变化的。 量子力学中，角动量总是一个量子化的量。不仅两个任意角动量的大小与取向是量子 化的，如果它们相互耦合。则合角动量的大小和与取向也是量子化的，因此两角动量 的耦合方式要受到限制，不能是任意的。例如，在量子力学中，两角动量的耦合满足 三角形关系，而按照经典方式描述，这种耦合的限制就相当于两角动量的夹角不能是 任意的，而是量子化的。 4.斯特恩-盖拉赫实验中，只有使用处于 s 态的中性原子，而不能使用电子，为什么？
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题
《结构化学》课程作业题 2009.1.15第一部分：《量子力学基础和原子结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。
如何正确对待归量子论？2. 电子兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒子的运动都是量子化的，都不能在一定程度上满足经典力学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔方程得来的线索。
求解该方程时应注意什么？5. 通过一维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔方程的算符表达式。
你是怎样理解这个表达式的？ *7. 量子力学中的算符和力學量的关系怎样？8. 求解氢原子和类氢离子基态和激发态波函数的思想方法是怎样的？ 9. 通过氢原子薛定谔方程一般解的讨论明确四个量子数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电子云图象？为什么不能说p +1和p -1就是分别代表p x 和p y ? 11. 样来研究多电子原子的结构？作过哪些近似？用过哪些模型？试简单说明之。
12. 电子的自旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原子内电子运动时，我们是怎样考虑电子自旋的？*13. 哈特里-福克SCF 模型考虑了一些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表示原子的整体状态？光谱项、光谱支项各代表什么含义？洪特规则、选择定则又是讲的什么内容？15. 原子核外电子排布的规律是什么？现在哪些问题你比过去理解得更加深入了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想方法上有何收获？16. 巴尔末起初分析氢原子光谱是用波长）（422-=n n c λ，其中c 为常数，n 为大于2的正整数，试用里德伯常数H R ~求出c 值。
17. 试计算氢原子中电子处于波尔轨道n = 1和n = 4时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
量子力学思考题及解答
量子力学思考题1、以下说法就是否正确:(1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系;(2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。
解答:(1)量子力学就是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。
(2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而就是量子力学实际上已经过渡到经典力学,二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义就是什么？解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ϖψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其她力学量的概率分布也均可通过)(r ϖψ而完全确定。
由于量子理论与经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。
解答:设1ψ与2ψ就是分别打开左边与右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ与2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不就是概率相加,而就是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定,2ψ中出现有1ψ与2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ,1c 与2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ与2ψ就是体系的可能态,则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也就是体系的一个可能态”。
(1)就是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=;(2)对其中的1c 与2c 就是任意与r ϖ无关的复数,但可能就是时间t 的函数。
第一章思考题
第一章思考题1．下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2．什么是黑体？（1）黑颜色的物体。
（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。
（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。
（4）吸收比为1的物体。
（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
答：（4），（5）正确。
吸收比α（λ，T）=1蕴含了任何温度下，对入射的任何波长的辐射α（λ，T）均为1。
（2）是常见的黑体定义，显然，应加上“在任何温度下”才完整。
3．康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？答：光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只吸收一个光子。
另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电子没有能量的积累过程，即电子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非常小的。
因而，截止频率的限制是必需的。
4．德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？答：德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关。
因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复杂体系。
5．粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？答：由基本假设 =，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6．在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？答：为了验证是否大量粒子集合才呈现波动性，1949年比尔曼（苏）等曾做了，极微弱电子束射向金属箔发生的射的实验，实验中两个电子相继穿过衍射系统的时间约为一个电子穿过仪器所需时间的三万倍！尽管这样，产生的衍射图样和用强大的倍的电子束所得到的图样完全一样。
第十八章量子物理基础-思考题和习题解答
第⼗⼋章量⼦物理基础-思考题和习题解答思考题18-1 把⼀块表⾯的⼀半涂了烟煤的⽩瓷砖放到⽕炉内烧，⾼温下瓷砖的哪⼀半显得更亮些？参考答案实验表明：⼀个良好的吸收体也是⼀个良好的发射体。
也就是说，⼀个物体吸收辐射的能量越强，那么它的热辐射能⼒也越强。
辐射本领越强的物体，单位时间内从表⾯辐射出来的能⼒越多，它的表⾯就显得越亮。
瓷砖涂了烟煤的⼀半在正常情况下更⿊，说明⽐起未涂烟煤的⼀半，它吸收辐射的能⼒也更强，相应地，它的辐出度更⾼，所以在⽕炉内烧热后应该显得更亮⼀些。
18-2 刚粉刷完的房间从房外远处看，即使在⽩天，它的开着的窗⼝也是⿊的。
为什么？参考答案从窗⼝进⼊的光线在屋⾥经过多次反射后极少能再从窗⼝反射出来，所以看起来窗⼝总是⿊的。
这样的窗⼝就可看作是⼀个⿊体。
18-3 为什么⼏乎没有⿊⾊的花？参考答案如果花是⿊颜⾊的，表明花对于可见光没有反射，也就是花将可见光波段的能⼒都吸收了，与其他颜⾊的花相⽐，⿊⾊花的温度将更⾼，这样的花很可能会由于没有及时将能量从其他途径释放掉的机制⽽枯死。
另外，对于⾍媒花来说，⿊⾊是昆⾍的视觉盲点，因⽽⽆法授粉。
18-4 在光电效应实验中，如果（1）⼊射光强度增加⼀倍；（2）⼊射光频率增加⼀倍，各对实验结果有什么影响？参考答案光电效应⽅程为2012m c mv eU h A h eU νν==-=- （1）⼊射光强度的概念：单位时间内单位⾯积上的光⼦数乘以每个光⼦的能量。
如果频率不变，每个光⼦的能量就不变。
⼊射光强度增加⼀倍，意味着⼊射的光⼦数增加⼀倍，从⽽饱和电流强度将增加⼀倍。
截⽌电压不变（设频率不变）。
（2）⼊射光的频率增加⼀倍，h ν就增加⼀倍，每个光⼦的能量从h ν增加到2h ν。
从光电效应⽅程可以看出截⽌电压c U 相应地增加h e ν。
饱和电流的数值不变（因为单位时间⼊射的光⼦数密度未变）。
18-5 ⽤⼀定波长的光照射⾦属表⾯产⽣光电效应时，为什么逸出⾦属表⾯的光电⼦的速度⼤⼩不同？参考答案⾦属中的电⼦是运动着的，它与⾦属中的离⼦有相互作⽤，不断与离⼦发⽣碰撞，导致它的动量发⽣变化。
量子思考题与解答-1
第一章第一章黑体辐射，光的波粒二象性1.什么是黑体？（1 ）黑颜色的物体。
（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。
（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。
（4 ）吸收比为1的物体。
（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2•康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？3•可以观察到可见光的康普顿效应吗？光电效应对入射光有截止频率的限制，康普顿效应对入射光有没有类似限制？4•光电效应中，对入射光有截止频率（红限）的限制是否必需？因为当一个电子同时吸收两个或几个频率低于截止频率的光子或电子可积累多次吸收光子的能量，则在任何频率光入射时都能形成光电流。
5•康普顿效应中作为散射体的电子是否一定是自由电子？光子被束缚电子散射时结果如何？6•光电效应的爱因斯坦方程，在什么温度下才准确成立？第二章微观粒子的波粒二象性1•德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？3•关于粒子的波动性，某种看法认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动式变化，这种看法对不对？4.在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？5.有人认为德布罗意波是粒子的疏密波，如同声波一样？这种看法对不对？6•波动性与粒子性是如何统一于同一客体之中的？物资在运动过程中是如何表现波粒二象性的？7.电子是粒子，又是波”，电子不是粒子，又是波”，电子是粒子，不是波”，电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？8.以下说法是否正确？（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。
（2 ）量子力学适用于h不能忽视的体系，而经典力学适用于h可以忽略的体系。
第三章波函数态叠加原理波动方程1.判断下列说法是否确切、完整。
物理学中的量子力学的哲学问题与思考
物理学中的量子力学的哲学问题与思考量子力学是研究物质微观粒子在运动过程中发生的各种现象的科学。
它是现代物理学中最重要的一个分支，也是最为深奥的一门学科。
在量子力学中，人们发现了一些看似荒唐的实验现象，如超越障碍、不确定关系、量子纠缠等，这些实验现象无法用经典力学解释。
这些现象引发了一系列的哲学问题与思考。
一、不确定性原理不确定性原理是量子力学中最为典型的一个哲学问题。
不确定性原理指出，测量位置和动量的精度越高，就越难以准确地测量微观粒子的位置和动量。
这个问题的实质是人类的认识活动对微观粒子的本质造成的困扰，即测量行为的干扰影响了粒子的运动状态。
对于这一问题，有人提出了“测不准原理只是测量方法的限制，表明我们的测量技术还很不成熟，不是自然界的限制”这样的解释。
但实际上，不确定性原理是基于对测量精度的理论分析和计算推导得出的。
不确定性原理的存在意味着量子力学的本质是不确定性，也就是人类认识能力的局限性问题。
二、超越障碍在量子力学中，粒子可以穿过看似不可逾越的障碍物，这被称为“隧穿效应”。
这个现象与粒子和波的二象性有关。
粒子的波动性使得它有一定的概率在障碍物后面出现的可能性。
超越障碍问题引发的思考是：我们如何区分客观的真实（量子力学预言的行为）和我们对于行为的观测、测量（人的认知行为）之间的干扰？这样一个看似微小的差别，却展现了认知与现实之间迥异的本质。
为此，一些哲学家推测，人类生活的这个世界，可能不完全是一个客观的、本质确定的世界。
三、量子纠缠量子纠缠指的是两个或多个微观粒子间有一种相互的依存关系。
在一些实验中，纠缠作用被证实是瞬时的、非局域的。
一个粒子的状态改变会几乎立即影响到另一个粒子，不论它们之间的距离有多远。
因此，提出了“爱因斯坦纠缠难题”，即物理学的定律是通过物质之间的相互作用而发展起来的，物质在时间和空间的维度下都是一个孤立的实体，但量子力学在这方面的表现却是不完全的。
量子纠缠引发了大量的哲学讨论，有些哲学家认为，量子纠缠证实了存在着超越时空界限的联系，而这些联系与我们日常生活中的直觉、谬误的认知模型有着很大的区别。
量子力学中的常见问题解答与思考
量子力学中的常见问题解答与思考近几十年来，量子力学已经成为了物理学的基石之一。
它的发现和发展为我们解释了微观世界的奇妙现象，包括粒子的叠加态、量子纠缠和测量问题等。
然而，尽管量子力学已经广泛应用于科学和技术领域，仍然存在着一些常见问题和困惑。
本文将解答一些常见的问题，并提供一些对量子力学的思考。
问：什么是量子力学？答：量子力学是一门研究微观领域的物理学理论，它描述了微观粒子的行为和性质。
与经典力学不同，量子力学认为微观粒子的性质具有波粒二象性，即既可以表现为粒子也可以表现为波动。
量子力学的公式和理论描述了微观粒子的能量、动量、角动量等物理量的本质和变化规律。
问：什么是粒子的叠加态？答：在量子力学中，粒子的叠加态是指它可以同时处于多个状态的线性叠加态。
例如，一个电子可以同时处于自旋向上和自旋向下的状态。
直到我们对其进行测量时，它才会选择其中的一个状态。
这种叠加态的存在引起了许多哲学上的争议和思考，例如著名的薛定谔猫思想实验。
问：什么是量子纠缠？答：量子纠缠是指两个或多个微观粒子之间存在一种特殊的关联关系。
这种关联关系是非局域的，即它不受空间距离的限制。
当两个粒子处于纠缠态时，它们的状态是相互关联的。
当我们对一个粒子进行测量，另一个粒子的状态也会立即发生变化，即使它们之间的距离很远。
这一现象被爱因斯坦称为“鬼魅般的遥远作用”。
问：量子力学中的测量问题指的是什么？答：量子力学中的测量问题是指当我们对粒子进行测量时，其状态会发生怎样的变化。
根据量子力学的原理，测量结果是不确定的，只能给出一定的概率。
测量问题涉及到波函数坍缩的概念，即在测量之后，粒子的状态会突然塌缩到一个确定的状态。
这一概念引发了一系列的哲学和解释上的争论，例如哥本哈根解释和多世界诠释。
问：量子力学对我们日常生活有什么影响？答：尽管量子力学是一门微观物理学理论，它却在许多科学和技术领域产生了深远的影响。
例如，量子力学在电子学、计算机科学和通信技术中的应用已经变得不可或缺。
大学物理-量子力学基础习题思考题及答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c =+ 可得p ===h pλ==834-=131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415h 9.110m p λ--====⨯22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmEh 12220107.722ph-⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。
已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：3411h 1.410p m λ--====⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ=22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题
《结构化学》课程作业题第一部分：《量子力学基础和原子结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。
如何正确对待归量子论？2. 电子兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒子的运动都是量子化的，都不能在一定程度上满足经典力学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔方程得来的线索。
求解该方程时应注意什么？5. 通过一维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔方程的算符表达式。
你是怎样理解这个表达式的？ *7. 量子力学中的算符和力學量的关系怎样？8. 求解氢原子和类氢离子基态和激发态波函数的思想方法是怎样的？ 9. 通过氢原子薛定谔方程一般解的讨论明确四个量子数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电子云图象？为什么不能说p +1和p -1就是分别代表p x 和p y ? 11. 样来研究多电子原子的结构？作过哪些近似？用过哪些模型？试简单说明之。
12. 电子的自旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原子内电子运动时，我们是怎样考虑电子自旋的？*13. 哈特里-福克SCF 模型考虑了一些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表示原子的整体状态？光谱项、光谱支项各代表什么含义？洪特规则、选择定则又是讲的什么内容？15. 原子核外电子排布的规律是什么？现在哪些问题你比过去理解得更加深入了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想方法上有何收获？16. 巴尔末起初分析氢原子光谱是用波长）（422-=n n c λ，其中c 为常数，n 为大于2的正整数，试用里德伯常数H R ~求出c 值。
17. 试计算氢原子中电子处于波尔轨道n = 1和n = 4时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
18. 已知电磁波中电场强度ε服从波动方程222221t c x ∂∂⋅=∂∂εε，试说明如下函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x t x y νλπεε2c o s 0），（是这个方程的解。
量子力学3
在θ0−θ0+dθ 中的几率为
φ (r , θ 0 , ϕ , t ) sin θ 0 dθr 2 drdϕ = ∫
− 1 = sin θ 0 dθ e a r 2 drdϕ 8πa 3 ∫ r 2
1 1 3 = sin θ 0 dθ ⋅ 2a ⋅ 2π = sin θ 0 dθ 3 2 8πa
在ϕ0−ϕ0+dϕ 中的几率为
h2 1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ =− T 2 r + 2 sinϑ + 2 2 2m r ∂r ∂r r sinϑ ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
柱坐标下
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 ˆ =− h T ρ + 2 2 + 2 2m ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
ψ = e ip x
0
h
请计算动量分布函数。 请计算动量分布函数。 思考题2.对一维粒子具有确切位置 思考题 对一维粒子具有确切位置x=x0相应的波 对一维粒子具有确切位置 函数？ 函数？ ψ ( x) = δ ( x − x0 ) 请计算动量分布函数。 请计算动量分布函数。
[例题] 将波函数归一化
首先， 首先，如果将这里观测时间的不确定量看作观测的 持续时间，那么， 持续时间，那么，测量粒子能量 E 的不确定量和对 它进行观测的持续时间之间， 它进行观测的持续时间之间，将存在这种不确定性 关系。换句话说，对测量过程分析表明，为了精确 关系。换句话说，对测量过程分析表明， 测量能量(精确度达到 测量能量 精确度达到 ∆E )，要求测量所花费的 ， 时间至少为
能量（ 能量（Hamilton)算符 算符 角动量算符
h2 2 v ˆ = T +V = − ˆ ˆ H ∇ +V ( r ) 2m
《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题
《量⼦⼒学基础和原⼦、分⼦及晶体结构》习题和思考题《结构化学》课程作业题第⼀部分：《量⼦⼒学基础和原⼦结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。
如何正确对待归量⼦论？2. 电⼦兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒⼦的运动都是量⼦化的，都不能在⼀定程度上满⾜经典⼒学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔⽅程得来的线索。
求解该⽅程时应注意什么？5. 通过⼀维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔⽅程的算符表达式。
你是怎样理解这个表达式的？ *7. 量⼦⼒学中的算符和⼒學量的关系怎样？8. 求解氢原⼦和类氢离⼦基态和激发态波函数的思想⽅法是怎样的？ 9. 通过氢原⼦薛定谔⽅程⼀般解的讨论明确四个量⼦数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电⼦云图象？为什么不能说p +1和p -1就是分别代表p x 和p y ? 11. 样来研究多电⼦原⼦的结构？作过哪些近似？⽤过哪些模型？试简单说明之。
12. 电⼦的⾃旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原⼦内电⼦运动时，我们是怎样考虑电⼦⾃旋的？*13. 哈特⾥-福克SCF 模型考虑了⼀些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表⽰原⼦的整体状态？光谱项、光谱⽀项各代表什么含义？洪特规则、选择定则⼜是讲的什么内容？15. 原⼦核外电⼦排布的规律是什么？现在哪些问题你⽐过去理解得更加深⼊了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想⽅法上有何收获？16. 巴尔末起初分析氢原⼦光谱是⽤波长）（422-=n n c λ，其中c 为常数，n 为⼤于2的正整数，试⽤⾥德伯常数H R ~求出c 值。
17. 试计算氢原⼦中电⼦处于波尔轨道n = 1和n = 4时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
大学物理量子力学习题答案解析
一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。
写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。
解：()⎰Ω=adrr r d P 022,,ϕθψ。
2. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π ，,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。
解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q t Q。
4.）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？解：()zL L,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlmY。
),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。
5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
解： ()dxx x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。
6. 一个电子运动的旋量波函数为()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。
解：电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r 处的几率密度为()22/, r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率为()232/,⎰-r r d ψ。
量子力学课后问题详解
a
a
A2 a 1 [1 cos n (x a)]dx
a 2
d2 dx 2
2
(x)
E
2
(x)
②
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx 2
3
(x)
U
( x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 (x) dx 2
2mE 2
2
(x)
子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动 性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才 能显现。
1．3 氦原子的动能是 E 3 kT （k 为玻耳兹曼常数），求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波 2
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实
种转化，光子的波长最大是多少？
解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正
负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过
(2)
J2
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《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题(可编辑修改word版)
《结构化学》课程作业题2009.1.15第一部分：《量子力学基础和原子结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。
如何正确对待归量子论？2. 电子兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒子的运动都是量子化的，都不能在一定程度上满足经典力学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔方程得来的线索。
求解该方程时应注意什么？5. 通过一维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔方程的算符表达式。
你是怎样理解这个表达式的？ *7. 量子力学中的算符和力學量的关系怎样？8. 求解氢原子和类氢离子基态和激发态波函数的思想方法是怎样的？ 9. 通过氢原子薛定谔方程一般解的讨论明确四个量子数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电子云图象？为什么不能说 p +1 和 p -1 就是分别代表 p x 和 p y ? 11. 样来研究多电子原子的结构？作过哪些近似？用过哪些模型？试简单说明之。
12. 电子的自旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原子内电子运动时，我们是怎样考虑电子自旋的？ *13. 哈特里-福克 SCF 模型考虑了一些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表示原子的整体状态？光谱项、光谱支项各代表什么含义？洪特规则、选择定则又是讲的什么内容？15. 原子核外电子排布的规律是什么？现在哪些问题你比过去理解得更加深入了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想方法上有何收获？n 216. 巴尔末起初分析氢原子光谱是用波长= c （~里德伯常数 R H 求出 c 值。
n 2- 4 ），其中 c 为常数，n 为大于 2 的正整数，试用 17. 试计算氢原子中电子处于波尔轨道 n = 1 和 n = 4 时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
量子力学课后答案
=，量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
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量子力学思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(rψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rψ而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r无关的复数，但可能是时间t 的函数。
这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
（2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=已知1ψ和2ψ是体系的可能态，它们应满足波方程式 11ψψH t i =∂∂22ψψH ti =∂∂ 如果1ψ和2ψ的线性叠加),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=也是体系的可能态，就必须满足波方程式 ψψH ti =∂∂，然而， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂++∂∂=∂∂dt dc dtdci H c H c dt dc t c dt dc tc i t i 2211221122221111ψψψψψψψψψ可见，只有当021==dt dc dt dc 时，才有ψψψψH c c H ti =+=∂∂)(2211 。
因此，),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=中，1c 与2c 应是任意复常数，而不是时间t 的复函数。
如上式中ψ态不含时间，则有)()()(2211x c x c x ψψψ+=。
5、（1）波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？221122112121;;ψψψψψψααi i e c e c c c +++这里21,c c 是复常数，21,αα是实常数。
解答：（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率=2221)()(x x ψψ=2221)()(x k x k ψψ2221)()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψαi e 均描述同一态。
（2）由于任意复数θi e c c =，以及2*12*1*21*2122221122211ψψψψψψψψc c c c c c c c +±+=±显然，只有当复数c c c ==21，即c c c ==21，且αααi i i e e e ==21时，αααψψψψψψψψψψi i i e c e c e c c c c )(),(,2122112122112121+=++=++均描述同一态。
6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力学统计规律的客观基础是什么？解答：经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动，而大量分子组成的体系存在着统计规律。
例如，对个别分子不存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均平动动能的量度。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。
如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义的，也是没有必要的。
7、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？ 解答：用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。
我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示方法。
下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。
如果体系处于)(x ψ中，则它的位置平均值为 xdx x x 2)(⎰=ψ 类似地，它的动量的平均值也可表示为 pdx x p 2)(⎰=ψ若要求出上述积分，必须将p 表示为x 的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。
我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。
pdp p p 2)(⎰=ϕ 利用⎰-=dx e x p ipx/2/1)()2(1)(ψπϕ有 ⎰⎰⎰''=-'dxdp x d e x p x e p ipx x ip/*/)()(21ψψπ作代换//ipx ipx exi pe--∂∂=，并对x p ',积分得（推广到三维） τψψd r i r p )())((*∇-=⎰可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符∇- i 相当。
实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。
用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。
我们知道，在量子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。
力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。
8、力学量之间的对易关系有何物理意义？解答：力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。
它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理含义。
对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力学量能够同时确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。
与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。
从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点。
此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如γαβγβαεL i L L =],[，就可作为角动量的定义。
9、什么是力学量的完全集？它有何特征？解答：设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（ ,,21F F ），它们的共同本征函数系为),,(21 n n ϕϕ，如果给定一组量子数),,(21 n n 就可以确定体系的一个可能态，那么，就称（ ,,21F F ）为体系的一个力学量完全集。
它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组),,(21 n n 所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。
10、何谓定态? 它有何特征？解答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。
若势场恒定0=∂∂tV，则体系可以处于定态。
定态具有以下特征:（1）定态波函数时空坐标可以分离，/)(),(iEt e r t r -=ψψ，其中)(rψ是哈密顿量H的本征函数，而E 为相应的本征值；（2）不显含时间t 的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。
注意，通常用)(rψ表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态的波函数都是含时的。
11、（1）任意定态的叠加一定是定态。
理由如下：定态的线性叠加 ∑-=nt iE nn n e x c t x /)(),(ψψ),(t x ψ态中平均值⎰∑==nn n E c dx H E 2*ψψ与t 无关，所以叠加态),(t x ψ是定态。
（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。
以上说法正确吗？ 解答：（1）能量不同的定态的叠加态∑-=nt iE nn n e x c t x /)(),(ψψ中，不具有确定的能量值，尽管E 与t 无关，但位置概率密度∑-==mn t E E i m n m n m n e x x c c t x t x W ,/)(**2)()(),(),(ψψψ依赖于时间t ，这表明任意定态的叠加不再具有定态的特征，是非定态。
（2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态∑-=nt iE n n ne x c t x /)(),(ψψ仍是波动方程的解。
因此，只能说定态解（H 不显含时间t ）是体系含时波动方程ψψH ti =∂∂的解，但不能说该体系的含时波动方程的解都是定态解。
由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程ψψE H =中明显出现E ，体系中不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解，而这种叠加态正是实际存在的最一般的可能态。
12、什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。
解答：当粒子被势场约束在特定的区域内运动，即在无限远处波函数等于零的态叫束缚态。