2.2.2-1对数函数及其性质

合集下载

2.2.2.1 对数函数的图象及性质

比较下列各组数中两个值的大小：例2 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4,log28.5 (2) log0.31.8,log0.32.7 a＞0,且 (3) loga5.1,loga5.9 ( a＞0,且a≠1 ) 解:⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所以它因为它的底数2 1,所以它考察对数函数y=log x,因为它的底数在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5 (0,+∞)上是增函数,于是log 3.4＜上是增函数因为它的底数0 0.3＜1,所 ⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0＜0.3＜1,所考察对数函数y=log x,因为它的底数以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 1.8＞以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8＞log0.32.7 (0,+∞)上是减函数
2
lg x lg x y = log 1 x = =− = − log 2 x 1 lg 2 2 lg 2
的图象. 因此我们还可以利用对称得到 y = log 1 x 的图象.
2
y
y = log2 x
O
x
1
y = log1 x
2
思考（1）在同一坐标系中画出下列函数的图象
y = log 2 x, y = log 1 x,
在 ( 0 , +∞ ) 上是减函数
例1：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（1）y=logax2 (9（3）y=loga(9-x) 分析：主要利用对数函数y=log 分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为（0，+∞）求解。 +∞）求解。 (4（2）y=loga(4-x)

数学：2.2.2《对数函数及其性质》教案(新人教版A必修1)

2.2.2对数函数及其性质一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。

函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。

必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。

通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.2第一课时对数函数的图象及性质aa高一数学

1．对数函数的概念函数 y＝ logax (a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0，＋∞) ．
[点睛] 形如 y＝2log2x，y＝log2 x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2021/12/12
第二页，共十八页。
2．对数函数的图象及性质
a 的范围

0＜a＜1
4．已知 y＝ax 在 R 上是增函数，则 y＝logax 在(0，＋∞)上是 ________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
2021/12/12
第六页，共十八页。
对数函数(duìshù hán shù)的概念
[例 1] 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；(3)y＝logx5; (4)log2x＋1.
[活学活用] 1．函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实数 a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 1. 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，∴a＝1. 答案：1
2021/12/12
第九页，共十八页。
求对数(duìshù)型函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x); (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝lnx4－－3x； (4)y＝ log0.54x－3.
2.2.2 对数函数及其性质
第一课时对数函数的图象及性质
预习课本 P 70～73，思考并完成以下问题
(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？
(3)反函数的概念是什么？
2021/12/12

高中数学2.2.2.1 (2)对数函数的图象及性质

4 x 0,
【解析】要使函数有意义,必须 x 2 0,
解得-2<x<4且x≠-1.
x 2 1,
故函数的定义域为(-2,-1)∪(-1,4).
答案:(-2,-1)∪(-1,4)
【延伸探究】
1.本题函数式不变,若f(a)=2,则a=
.
【解析】若f(a)=2,即f(a)=log(a+2)(4-a)=2,
b
行讨论.
2.典例2中函数恒过定点,此时应使真数x+1等于何值?
提示:依据loga1=0,此时应使x+1=1.
3.典例3中由对数函数的图象,怎样判断相应底数的大小? 提示:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个函数的底数, 在第一象限内,自左向右,底数逐渐变大.
【解析】1.选B.由lga+lgb=0,得lg(ab)=0,
2x 1 0,
2.要使函数有意义,必须 x 1 0,
x 1 1.
解得x>1且x≠2.
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1,2)∪(2,+∞)
【延伸探究】
1.(变换条件,改变问法)本例2函数式不变,若f(a)=1,则a= .
【解析】若f(a)=1,即f(a)=log(a-1) 2a 1 =1,
单调性
_(_0_,_+_∞__)_ R
__(_1_,_0_),即x=__1时,y=_0_ 在(0,+∞)上是_减__函__数__ 在(0,+∞)上是_增__函__数__
3.反函数指数函数_y_=_a_x 和对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数.
【即时小测】 1.判断. (1)y=log2x2与y=logx3都不是对数函数. ( ) (2)对数函数的图象一定在y轴右侧. ( ) (3)当0<a<1时,若x>1,则y=logax的函数值都大于零. ( ) (4)函数y=log2x与y=x2互为反函数. ( )

2.2.2 对数函数及其性质

2.2.2 对数函数及其性质教学目标（一)知识目标： 1、通过教学，使学生理解对数函数的概念.2、会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质。

(二)能力要求：1、通过例题，使学生掌握利用函数的性质，比较两个数的大小的方法，从而加深学生对对函数性质的理解。

2、掌握对数函数的图象和性质.(三)德育目标：1、.用联系的观点分析问题；2、认识事物之间的互相转化.教学重点：1、对数函数的图象和性质2、对数函数性质的初步应用。

教学难点：难点是底数对对数函数性质的影响．教学方法：联想、类比、发现、探索教学辅助：多媒体（一）复习提问：1、指数函数图像和性质2、指数式与对数式的互化（二）引入课题：材料1：北京青年报曾报道：潮白河底挖出冰冻古树可能是山杨，专家经过检测可推断树的埋藏时间．你知道专家是根据什么推断数的埋藏时间的吗？材料2：湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时考古学家推测汉墓女尸保存二千多年，你知道考古学家是怎么计算出这个时间的么？（三）对数函数定义：一般地，我们把函数xyalog=（0>a且1≠a）叫做对数函数，其中x是之变量，函数的定义域是（0，+∞）。

（四）对数函数的图像性质：（课件给出）（五）例题：例1：求下列函数的定义域：例2：比较下列各题中两个值的大小：（六）小结：（七）作业：习题7.2 7、8 ()()x y a -=4log 2()2log 1x y a =5.8log 4.3log 22， )1,0(9.5log 1.5log ≠>a a a a 且，7.2log 8.1log 3.03.0，。

高中数学必修1课件：2.2.2《对数函数及其性质》 (共22张PPT)

值域: R
自左向右看图象逐渐上升在(0,+∞)上是：增函数
列
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
表 y log 2 x … -2 -1 0 1 2 …
y log 1 x … 2
2
1 0 -1 -2 …
y
描
2
点
1 11
这两个函数的图象有什
42
0 1 23 4
x 么关系呢？
连线
-1
-2
关于x轴对称
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质 Nhomakorabea复习回顾
1 指数函数的概念；
复习
2 指数函数的图像与性质：
3 对数的概念和基本运算法则
对数函数的概念
一般地,函数y =
(a＞0,且a≠1)
叫做对数函数.其中 x是自变量.
注意：
1.对数函数对底数的限制条件：a＞0,且a≠1
2.函数的定义域是（0,+∞）.
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
性
值域 : R
过定点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数
质当x>1时，y>0
当x=1时，y=0 当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
作y=log2x的图象
列
x
1/4 1/2 1 2
表 y=log2x -2 -1 0 1

2020版数学人教A版必修一同步进阶攻略课件：2-2-2-1 对数函数的图象与性质

第二十九页，编辑于星期日：一点十七分。
(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如 y ＝f(|x|)的函数，可先作出 y＝f(x)的图象在 y 轴右侧的部分，再作关于 y 轴对称的图象，即可得到 y＝f(|x|)的图象．对于函数 y＝ |f(x)|，可先作出 y＝f(x)的图象，然后 x 轴上方的不动，下方的关于 x 轴翻折上去即可得到 y＝|f(x)|的图象．
(3)要使函数式有意义，需l4oxg－0.534>x0－，3≥0，解得34<x≤1，所以函数 y＝ log0.54x－3的定义域是{x|34<x≤1}．
第三十四页，编辑于星期日：一点十七分。
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于 0；若自变量在底数上，应保证底数大于 0 且不等于 1.
∴f(x)＝log2x，f312＝log2312＝log22－5＝－5. (2)因为函数 f(x)是对数函数，则2mm－2－1＝m0＝，1，解得 m＝1.
第十九页，编辑于星期日：一点十七分。
类型二对数函数图象的有关问题命题视角 1：对数函数的底与图象变化的关系
[例 2] 对数函数 y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx 在同一坐标系内的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是 _a_>_b_>_c_>_d_．
第三十三页，编辑于星期日：一点十七分。
[解] (1)要使函数式有意义，需 1－x>0，解得 x<1，所以函数 y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需11－－xx≠>01，，解得 x<1，且 x≠0，所以函数 y＝log1－x5 的定义域是{x|x<1，且 x≠0}．

2.2.2 第一课时对数函数及其性质

(
)
x－1>0，解析：由题意得解得 2－x>0.
1<x<2.
答案：B
3．求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1＋x)； (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝ log2x； (4)y＝ log0.5（4x＋3）. 3
3．求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1＋x)；
大，图象向右越靠近x轴；0<a<1时，a越小，图象向
右越靠近x 轴． (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
答案：[1，2]
[例3] 求函数y＝log2(x2－4x＋6)的值域．
[思路点拨] 先确定真数的取值范围，再运用对数函数的单调
性求解．
解: ∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数， ∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1. ∴函数的值域是[1，＋∞)．
[一点通] 解决与对数函数有关的定义域问题时，经常需要考虑的问题 1 (1) 中 f(x)≠0； f（x） (2) 2n f（x）(n∈N*)中 f(x)≥0；
(3)logaf(x)(a>0，且 a≠1)中 f(x)>0； (4)logf(x)a 中 f(x)>0 且 f(x)≠1； (5)[f(x)]0 中 f(x)≠0； (6)实际应用问题中自变量的取值要有实际意义．
8．求下列函数的值域： (1)y＝log2(x ＋4)； (2)y＝log1(3＋2x－x )．
2
2
2
(2)设 u＝3＋2x－x2，则 u＝－(x－1)2＋4≤4.
2＋4)的定义域为R. 解：(1) y ＝ log ( x ∵u >0 ， ∴ 0 ＜ u≤4. 2 2＋4)≥log 又 y＝ log1u 在 (0 ，＋ ∞)上是减函数， ∵ x 2＋ 4≥4 ，∴ log ( x 2 24＝2.

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质

【解析】(1)由xlg＋x1＋>01，－3≠0，得xx>＋－1≠1，103， ∴x>－1 且 x≠999. ∴函数的定义域为{x|x>－1 且 x≠999}.
(2)由xx>≠01，， 2－x>0，
得xx>≠01，， x<2，
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}.
12/9/2021
第二十页，共三十四页。
logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x.
12/9/2021
第十一页，共三十四页。
1. 函数 f(x) ＝ (a2 － a ＋ 1)log(a ＋ 1)x 是对数函数，则实数 a ＝
【答案】(2,1)
【解析(jiě xī)】函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0， ∴x－1＝1，x＝2，y＝1.∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1).
5.函数y＝ln x的反函数是________. 【答案】y＝ex
【解析】由同底指数函数和对数函数互为反函数，可得y＝ln x的反函数为y＝ex.
2.2 对数函数(duìshùhán shù)
2.2.2 对数函数(duìshù hán shù)及其性质
第1课时对数函数的图象(tú xiànɡ)及性质
12/9/2021
第一页，共三十四页。
目标定位
1.理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图象及性质. 3.会类比指数函数，研究对数函数的性质.
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标
从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．

高考数学第一轮复习：2.2.2 第1课时对数函数的图象及性质

【例 1】 (1)若 a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是( )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
(2)下列不等式成立的是(其中 a>0 且 a≠1)( )
A．loga5.1<loga5.9
B．log1 2.1>log1 2.2
2
2
C．log1.1(a＋1)<log1.1a D．log32.9<log0.52.2
单调性
在(0，＋∞)上是 ____增__函__数
在(0，＋∞)上是 ___减__函__数_
知识点3 反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与__y____a_x_(_a___0_,_a___1_)___
互为反函数．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型一对数函数的概念及应用
例1若函数f(x) ＝log(a＋ 1)x ＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
________.
a2－2a－8＝0，解析由题意可知a＋1>0，
a＋1≠1，
解得 a＝4.
答案 4
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型二对数型函数的定义域
【例 2】 (1)函数 f(x)＝ 21－x＋ln(x＋1)的定义域为________； (2)函数 f(x)＝ log1 12x＋1的定义域为________．

2-2-2-1 对数函数及其性质对数函数的概念、图像和性质2

新课标A版 ·数学 ·必修1
1．函数f(x)＝logax的图象如图所示，则a的取值可能是 ( )
A．10 1 C．3
1 B．2 1 D．4
[答案] A
第 3页
第二章
2.1 2.2.2 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
2．函数y＝log4.3x的值域是( A．(0，＋∞) C．(－∞，0) [答案] D B．(1，＋∞) D．R
y＝loga(x2－2x＋2)(a>0 且 a 1)．
答案
a>1 时，[0，＋∞)；0<a<1 时，(－∞，0]
第 9页
第二章
2.1 2.2.2 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
题型二：考查对数函数的图象
思考: 函数 y loga ( x b) 与
y loga x (a 0, a 1, b 0)
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
1．对数函数的概念
y＝logax (a>0 且 a≠1)叫做对数函数．函数_________
2．对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图像和性质
第 1页
第二章
2.1 2.2.2 第1课时
高考调研对数函数的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图象
新课标A版 ·数学 ·必修1
-2
可由 y log3 x 的图象向左
平移2个单位得到.
-3
-4
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
例3 画出函数 y log2 | x |的图象 ,
并由图象写出它们的单调区间.
C
1
1

2-2-2-1 对数函数及其性质(第1课时)对数函数的概念、图像和性质

第13页
第二章 2.1 2.2.2 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
题型二对数函数的图像
例 2 在同一坐标系中画出下列四个对数函数的图像，并指
出不同的对数函数的图像随底数变化的规律：
(1)y＝log3x；
(3)y＝log1 x;
2
(2)y＝lgx； (4)y＝log110x.
第14页
第二章 2.1 2.2.2 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
解析列表
x
1 9
1 3
139
y＝log3x －2 －1 0 1 2
直角坐标系中描出表中对应点，并用光滑曲线顺次连接起来
就得到函数 y＝log3x 的图像．并用同样的方法得到函数 y＝lgx，y
＝log1
2
x，y＝log110x
(1)log2.10.4 与 log2.10.3； (2)log1 8 与 log1 7；
3
3
(3)log67 与 log76; (4)log3π 与 log20.8；
(5)log1 3 与 log1 3.
2
5
第20页
第二章 2.1 2.2.2 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
思路点拨比较大小从以下三方面入手：①符号，②单调性，③图像．
第32页
第二章 2.1 2.2.2 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
题型四对数函数的值域
范例 4 求函数 y＝log1 (x－4x2)的值域．
2
第33页
第二章 2.1 2.2.2 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1

2-2-2-第1课时对数函数及其性质

2
＝log2(x＋1)．
[解析]
2
①是指数函数；②中 log3x 的系数为－1，但可变
形为 y＝log3 x；∴②是对数函数；③中的真数为 x，但可变形为 y＝log
0.5x，∴③是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴
⑤不是对数函数；∴②③④是对数函数.
命题方向 2 对数函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域： 1 (1)y＝； log2x＋1－3 (2)y＝log(2x－1)(3x－2)．
y 2 1 11
y log1
2
x
O
-1 -2
42
1 2 3
4
x
的图象填写下表
图象特征图象位于y轴右方
代数表述定义域: ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降
值域: R 在(0,+∞)上是减函数
对数函数y=logax
a ＞ 1 图象
y
x =1
(a＞0,且a≠1) 的图象与性质
[解析]
(1)要使函数有意义，则有即 x>－1 且 x≠7.
x＋1>0， log2x＋1－3≠0，
故所求的函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)．
3x－2>0， (2)要使函数有意义，则有2x－1>0， 2x－1≠1， 2 解得 x>3且 x≠1. 2 故所求的定义域为(3，1)∪(1，＋∞)．
(2)当 0<x<1，a>1 或 x>1,0<a<1 时，logax<0，即当真数 x 和底数 a 中一个大于 1，而另一个小于 1 时，也就是说真数 x 和底数 a 的取值范围“相异”时，对数 logax<0，即为负数，简称为“异负”．因此对数的符号徇简称为“同正异负”(可联想有理数积的符号规则“同号得正，异号得负”帮助记忆).

§2.2.2对数函数及其性质 -1

§2.2.2对数函数及其性质一、教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律；（2）掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题；（3）了解指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数(01)a a >≠，且．2．过程与方法：让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质． 3．情感、态度与价值观（1）培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；（2）培养学生严谨的科学态度.二、教学重点与难点1．教学重点：对数函数的概念与性质． 2．教学难点：复合函数的研究．三、教学过程第一课时1．新课讲解思考1：能否将xy a =改写成对数式为？log a x y =．若将其中x 、y 字母对调，是否是一个函数？定义：一般的，函数log (01)a y x a a =>≠，且叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为(0,)+∞．强调：对数函数的定义和指数函数一样，也是一种严格的形式定义．归纳：具体函数求定义域练习：书P73 2．（第1小题为例，后3小题让学生板演）图象：思考2：观察几何画板中函数2log y x =、12log y x =的图像，以及(01)a a a >≠且变化时log y x =的图象，探索函数性质(1)对数函数log a y x =的底a 的变化对图像位置的影响：《测评》P60 测评 1 法1：对比2log y x =、12log y x =、3log y x =和13log y x =的图象；法2：作直线1y =．结论：当1a >时，a 越大，图象越接近x 轴；当01a <<时，a 越小，图象越接近x 轴．(2)利用单调性研究对数函数最值：测评 P60 测评 4(3)对数比大小（利用单调性） ①书P73 3②《测评》P60 变 2，测评12总结：1）同底对数比较大小，利用对数函数的单调性；2）不同底对数比较大小，先观察能否利用换地公式换成同底对数，否则借助中间值（0或1）进行判断；3）指对数混合比大小，先比较同底，后与中间值比． 2．课堂小结（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）记住两个基本图形： 3．课后作业解不等式log a (2x ＋3)>log a(5x －6)，书P74 A 组 7，P82 A 组 5（1）x a xd 1=。

第二章 2.2.2 第1课时对数函数及其性质(一)

2.2.2 对数函数及其性质第1课时对数函数及其性质(一)学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.知识点一对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).知识点二对数函数的图象与性质对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：1.由y ＝log a x ，得x ＝a y ，所以x >0.( √ )2.y ＝2log 2x 是对数函数.( × )3.y ＝a x 与y ＝log a x 的单调区间相同.( × )4.由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0).( √ )题型一对数型函数的定义域例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x ). 考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是(－3,3). (2)由16－4x >0，得4x <16＝42，由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2).反思感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变. 跟踪训练1 求下列函数的定义域. (1)y ＝x 2－4lg (x ＋3)；(2)y ＝12－x＋ln(x ＋1). 考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，即－3<x <－2或x ≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞).(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，∴－1<x <2. 故所求函数的定义域为(－1,2). 题型二对数型函数的求值问题例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 3x ，x >0，(1)求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫127的值； (2)若f (a )＝12，求a 的值.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫127＝log 3127＝－3， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫127＝f (－3)＝2－3＝18. (2)当a >0时，由f (a )＝12，得log 3a ＝12.∴a ＝123＝ 3.当a ≤0时，由f (a )＝12，得2a ＝12，∴a ＝－1，综上所述a 的值为－1或 3.反思感悟理解运算对象，选择运算方法即对于分段函数要注意分类讨论，掌握运算法则，即指数、对数的运算法则，求得运算结果，所以本题充分体现了数学运算的核心素养. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝log 3(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 ∵f (a )＝log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝3，∴a ＝2.题型三对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )答案 C(2)画出函数y ＝lg|x －1|的图象. 考点对数函数的图象题点含绝对值的对数函数的图象解 (1)先画出函数y ＝lg x 的图象(如图).(2)再画出函数y ＝lg|x |的图象(如图).(3)最后画出函数y ＝lg|x －1|的图象(如图).延伸探究1.把本例(1)的条件“y ＝log a x ”改为“y ＝log a (－x )”，则函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 C解析 ∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0， ∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数， y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数， y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C. 2.把本例(2)改为f (x )＝|log 2(x ＋1)|＋2，试作出其图象. 解第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图①所示.第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示.第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示.第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示.反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.1.下列函数为对数函数的是()A.y＝log a x＋1(a＞0且a≠1)B.y＝log a(2x)(a＞0且a≠1)C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2log a x(a＞0且a≠1)考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 C2.函数y＝log2(x－2)的定义域是()A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(2，＋∞)D.[4，＋∞)考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域答案 C3.函数f(x)＝3－x＋lg(x＋1)的定义域为()A.[－1,3)B.(－1,3)C.(－1,3]D.[－1,3] 答案 C4.已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )答案 B解析由y ＝log a (－x )，知－x >0，即x <0，可排除A ，C.当a >1时，B 适合. 5.若函数f (x )＝2log a (2－x )＋3(a >0，且a ≠1)过定点P ，则点P 的坐标是__________. 考点对数函数的性质题点对数函数图象过定点问题答案 (1,3)1.含有对数符号“log ”的函数不一定是对数函数.判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log ”，还要符合对数函数的概念，即形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式.如：y ＝2log 2x ，y ＝log 5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数.2.研究y ＝log a f (x )的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.一、选择题 1.给出下列函数：①223log y x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 A解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.2.已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A.{x |x >－1} B.{x |x <1} C.{x |－1<x <1}D.∅考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域答案 C解析 ∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}， N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}.3.函数y ＝log 2(x －1)2－x 的定义域是( )A.(1,2]B.(1,2)C.(2，＋∞)D.(－∞，2) 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，2－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，∴1<x <2.∴函数的定义域为(1,2).4.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2 B.y ＝x 2 C.2log 2xy =D.y ＝log 22x答案 D解析因为y ＝log 22x 的定义域为R ，且根据对数恒等式知y ＝x . 5.函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(2，－1) D.(1,1) 答案 A解析令2x －3＝1，则x ＝2.∴y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点(2,1).6.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A7.已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( ) A.－2 B.2 C.12 D.－12考点对数函数的性质题点对数函数图象过定点问题答案 B解析代入(6,3)，3＝log a (6＋2)＝log a 8，即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.8.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )考点对数函数的图象题点同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象答案 D解析由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1， ∴g (x )的图象应为D. 二、填空题9.函数f (x )＝log 2x －2的定义域是________. 答案 [4，＋∞)解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≥4，∴x ≥4，∴函数f (x )的定义域为[4，＋∞). 10.已知0<a <1,0<b <1，若log (3)1b x a -<，则x 的取值范围是__________.考点对数不等式题点解对数不等式答案 (3,4)解析 ∵0<a <1， ∴log (3)1b x a-<＝a 0等价于log b (x －3)>0＝log b 1.∵0<b <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3<1，解得3<x <4.11.函数12log (3)y x a =- 的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________. 答案 2解析由12log (3)y x a =-知，3x －a >0，即x >a3.∴a 3＝23，即a ＝2. 三、解答题12.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1). 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域是(1,2)∪(2,3). (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13，且x ≠1.故f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞).13.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示，14.已知log a (3a －1)恒为正，则a 的取值范围是________. 考点对数函数的图象题点对数函数的图象答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a <23或a >1 解析由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1. 当a >1时，y ＝log a x 是增函数， ∴3a －1>1，解得a >23，∴a >1；当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<1，3a －1>0，解得13<a <23.∴13<a <23. 综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a <23或a >1. 15.已知函数f (x )＝log 21＋x1－x .(1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2；(2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值.(1)证明左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2.右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边.(2)解因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12，所以f (b )＝log 21＋b 1－b＝－12，利用(1)可知f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ，所以f (a )－12＝1，解得f (a )＝32.。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)

2。

2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。

因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。

只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。

像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。

对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。

5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。

5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。

5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。

"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。

（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图象定义域（0，+∞）值域R 性质（1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。