三角形角格点问题系列：3-2H(3-B1-H)
三角形的格点
如果三角形的三个角的度数都是１０的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点．求解三角形中的格点问题，常可利用对称点．利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料．１证明对称点常用的方法大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴．Ｑ即可．不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系．例１２０°．求∠ＭＡＢ的度数．解：如图１，设∠ＭＢＡ的平分线交ＡＣ于Ｄ，连ＤＭ．图１显然，ＢＭ平分∠ＤＢＣ，而ＣＭ平分∠ＤＣＢ，即Ｍ为△ＤＢＣ的内心．可知∠ＭＤＢ＝∠MDC ＝60°．有∠ＡＤＢ＝６０°＝∠ＭＤＢ．故点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称．则∠ＭＡＢ＝９０°－∠ＤＢＡ＝７０°．这里证得“点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称”是根据“角、边、角”．例２在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０°，Ｐ为形内一点，∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°．求∠ＰＢＣ的度数．知ＰＡ＝ＰＣ．有点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称．得∠ＰＤＡ＝21∠ＡＤＣ＝３０°．由∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４０°，可知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ．易知∠ＰＡＤ＝８０°＝∠ＰＡＢ，可知点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称．有∠ＰＢＡ＝∠ＰＤＡ＝３０°．则∠ＰＢＣ＝１０°．这里证出“点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称”是根据“边、边、边”，证出“点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称”是根据“边、角、边”．综上可知，证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情．而且熟练以后，更可能节省些笔墨．明确了这一点，我们就要积极、主动地创造条件，注意利用对称点．２在哪些情况下应想到使用对称点三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时，要想到使用对称点例３在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｐ为∠ＡＢＣ的平分线上一点，∠ＰＣＢ＝１０°．求∠ＰＡＢ的度数．解：如图３，在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ．连ＤＰ、ＤＣ．图３由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，可知点Ｄ与点Ｃ关于ＢＰ对称．有ＰＤ＝ＰＣ．由∠ＤＰＣ＝２（∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ）＝６０°，可知△ＰＣＤ为正三角形．有ＰＣ＝ＤＣ．在△ＡＣＤ中，由∠ＡＤＣ＝７０°＝∠ＤＡＣ，可知ＡＣ＝ＤＣ．有ＡＣ＝ＰＣ．在△ＰＣＡ中，由∠ＰＣＡ＝２０°，可知∠ＰＡＣ＝８０°．则∠ＰＡＢ＝３０°．这里由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，想到在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ，则点Ｄ为点Ｃ关于ＢＰ的对称点．这是取对称点的最简单、最基本的方法．例４在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｑ为形内一点，∠ＱＢＡ＝∠ＱＣＡ＝２０°．求∠ＱＡＢ的度数．解：如图４，设ＢＱ交ＡＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＢＣ的垂线交ＱＣ于Ｅ．连ＢＥ．图４由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，可知ＤＥ为ＢＣ的中垂线．由∠ＱＣＢ＝１０°，可知∠ＥＢＣ＝１０°，∠ＱＢＥ＝２０°＝∠ＱＢＡ．由∠ＥＤＢ＝６０°＝∠ＥＤＣ，可知∠ＢＤＡ＝６０°＝∠ＢＤＥ．有点Ａ与点Ｅ关于ＢＤ对称．则∠ＱＡＢ＝∠ＱＥＢ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝２０°．这里注意到ＢＱ是∠ＡＱＣ的平分线，故想到在ＱＣ上取点Ｅ，使∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＱ，则点Ｅ为点Ａ关于ＢＱ的对称点．为此想到满足条件的点Ｅ，恰为ＢＣ中垂线与ＱＣ的交点。
三角形角格点问题系列：B2-3A
三角形角格点问题系列：B2-3A(图中有:PB=PC,AB+AP=BC,BP平分∠ABC,AB切△BCP的外接圆于B)已知:如图,∠PBA=∠PBC=∠PCB=10°,∠PCA=30°,求∠PAC,∠PCA.解法1:（同一法）作△A＇Ｂ＇Ｄ＇,使Ａ＇Ｂ＇＝Ｂ＇Ｄ＇＝ＡＢ，∠Ａ＇Ｂ＇Ｄ＇＝∠ＡＢＣ＝２０°,在△Ａ＇Ｂ＇Ｄ＇内作正△Ａ＇Ｄ＇Ｐ＇,连Ｂ＇Ｐ＇,延长B＇Ｄ＇到Ｃ＇，使Ｄ＇Ｃ＇＝Ｄ＇Ｐ＇.则∠Ａ＇Ｂ＇Ｐ＇＝∠Ｐ＇Ｂ＇Ｃ＇＝１０°,∠Ｂ＇Ａ＇Ｐ＇＝∠Ｂ＇Ｄ＇Ｐ＇＝２０°，∠Ｐ＇Ａ＇Ｃ＇＝１００°．因为△ＡＢＣ≌△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇，△ＡＢＰ≌△Ａ＇Ｂ＇Ｐ＇．所以ＰＢ＝Ｐ＇Ｂ＇,因为△ＢＰＣ≌△Ｂ＇Ｐ＇Ｃ＇,所以∠ＰＡＢ＝∠Ｐ＇Ａ＇Ｂ＇＝２０°,故∠ＰＡＣ＝∠Ｐ＇Ａ＇Ｃ＇＝１００°,∠ＰＣＡ＝2０°.解法2:如图,作正△DPC,连接DA、DB ,显然D、P关于AC对称.又PB=PC=PD,故P是△DBC的外心,∠PDB=∠PBD=20°,因此∠PBA=∠DBA=10°,则∠APB与∠ADB相等或互补.如果相等，则D、P关于AB 对称,此时△DPB是正三角形.∠BPC=120°,和已知矛盾,因此∠APB与∠ADB互补,D、B、P、A 四点共圆,∠PAB=∠PDB=20°,∠PAC=100°.解法3:（B1-2A）如图,在∠PCA内作∠PCD=20°,交AB于D，连DP，取△DBC的外心为O,连OB、OC、OD、OP.因为∠DCB=30°,所以∠DOB=60°.△DBO是正三角形,故∠OBC=∠OCB=40°,∠BOP=50°,因此∠DOP=∠DBP=10°,所以B、O关于DP对称.得∠BDP=30°=∠PCA,A、D、P、C四点共圆,∠PAC=∠PDC=100°,∠PAB=20°.解法4:（B1-2A）如图,在∠PCA内作∠PCD=20°,交AB于D,连DP,以P为圆心,PB的长为半径作圆,交CD延长线于E,连PE、BE.因为∠ECB=30°，所以∠EPB=60°,故△PBE是正三角形,∠EBA=50°,∠PEC=20°,∠BED=80°，∠BDE=50°,因此BE=ED=EP,E是△PDB的外心，∠PDB=30°=∠PCA,则A、D、P、C四点共圆,∠PAB=∠PCD=20°,∠PAC=100°.解法5:（B1-2A）如图,作正△EBC,连接EB、EC，作∠PCD=20°,交AB于D，连DE、DP.因为∠PBC=∠PCB=10°,故∠BEP=∠CEP=30°,又因为∠BCD=∠ECD=30°,所以∠DEC=∠DBC=20°，则∠DEP=10°=∠DBP，因此E、B、P、D四点共圆.∠BDP=∠BEP=30°=∠ACP,所以A、D、P、C四点共圆,∠PAB=∠PCD=20°,∠PAC=100°.解法6:（B1-2A）如图,在BC上取点D ,使∠PDB=20°,以P为圆心,PD为半径画弧交直线BA于A＇,联结PD、PA＇、DA＇.作∠PCE=20°,交AB于E,连EP,则∠PA＇B=∠PDB=20°=∠PCE,A＇、E、P、C四点共圆,又因为△PDA＇是正三角形,所以DP=DＡ＇=DC,则D是△PA＇C的外心,因此∠PＥB=∠PCＡ＇=30°=∠ＰＣＡ,故A与A＇重合,∠PAB=∠PCE=20°,∠PAC=100°.解法7:如图,作正△DPC,连DA、DB,在BD上截取BE=BP,连AE.由∠ACB=40°,∠ABC=20°,可知∠CAB=120°,由∠PCB=∠PBC=10°.可知PB=PC=PD,有P为△DCB的外心,于是∠DBC=30°,∠CDB=80°,∠PDB=20°.显然∠DBA=10°=∠PBA，可知P、E关于AB对称，有AE=AP，∠APB=∠AEB，由∠PCA=30°,可知CA为DP的中垂线,有AD=AP=AE，于是∠ADB=∠AED.由∠APB+∠ADB=∠AEB+∠AED=180°,可知P、B、D、A四点共圆,有∠PAB=∠PDB=20°.所以∠PAC=∠CAB -∠PAB=100°.解法8:(2B-8)如图,△ABC的外接圆交AP的延长线于D，连接BD、CD.易知∠ADC=20°,∠ADB=40°.△BPC的外接圆交AD的延长线于E,连接BE、CE,易知∠AEC=∠AEB=∠DCE=10°,∠DBE=30°.作E关于BD的对称点F,连接FB、FC、FP、FE,因为∠DBE=30°,所以△BEF是正三角形,∠EDF=80°=∠CDF ,所以C、E关于DF对称,FE=FC=FB,故F是△BCE的外心,因此∠BCE =30°.故∠BCD=20°,∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法9:(4B-4)如图,△ABC的外接圆交BP的延长线于D，连接AD、CD.易知∠CAD=10°,∠ADB=40°,∠BDC=120°,∠ACD=10°,∠CPD=20°.以D为圆心,CD长为半径作圆交CP于E,连EA、ED.因为∠ACP=30°,故△ADE是正三角形,所以∠DEC=40°,∠EPD=∠EDP=20°.得到EP=ED=EA,故∠APD=30°,∠PAB=20°,∠PAC=100°..解法10:(27-3)如图,△ABC的外接圆交CP的延长线于D，连接AD、BD.易知∠BAD=10°,∠ADC=20°,∠BDC=20°,∠ABD=30°,∠BPD=20°.作正△ADE,连EB、EP,因为∠ABD=30°,所以E是△ABD的外心,∠BED=20°,∠DBE=80°,∠EBP=∠EDP=40°,所以B、D、P、E四点共圆.所以PD=PE，D、E关于AP对称，所以∠DAP=30°，∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法11:(2A-7)如图,如图,△BCP的外接圆交AP的延长线于D，连接BD、CD,易知∠ADC=∠ADB=10°.设△ABC的外接圆交AD于E,连接EB、EC.易知∠DCE=10°,∠DBE=30°.作正△DCF，联结FB，FE.因为∠EBC=∠ECB=10°,故C、D关于EF对称,因此∠DFE=∠CFE=30°,故B、E、D、F四点共圆,∠BFE=10°,∠BFC=20°=∠BDC,因此D、F关于BC 对称,所以∠BCD=30°,∠BCE=20°.故∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法12:(B5-5A)如图,如图,△BCP的外接圆交AC的延长线于D，连接BD、DP,易知∠ADP=∠BDP=10°,∠CBD=20°.设E为B关于DP 的对称点，连EB、EP.易知E、A、D三点共线,∠ABE=40°,∠BE=50°,∠AEP=30.作正△PEF,连FA、FD，因为∠AEP=30°,所以P、F关于AE对称.AF=AP,∠APF=∠AFP ,又因为PB=PE=PF,所以P是△BEF的外心,∠EBF=30°,∠PBF=∠PFB=20°,∠ABP=∠ABF=10°,易知∠APB 与∠AFB不等,由正弦定理可得,∠APB与∠AFB互补,所以A、F、B、P 四点共圆.得到∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法13:(27-3)如图,如图,△ABP的外接圆交CP的延长线于D，连接BD、AD,易知∠ADC=10°,∠BAD=20°.作正△ADE,连EC、EB,因为∠ACD=30°,所以E是△ACD的外心,∠AEC=20°,∠CDE=80°,∠AEB=∠ACB=40°,所以A、C、E、B四点共圆.所以BA=BE，A、E 关于DB对称，所以∠BDA=30°，∠BDC=20°.得到∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法14:(B6-16D)如图,△ABP的外接圆交CA的延长线于D，连接BD、PD,易知∠CDP=10°.作正△DCE,连接EB、EP,显然D、E关于CP对称.得到∠CEP=∠CDP=∠CBP=10°,所以B、E、C、P四点共圆.故∠BEC=∠BCE=20°,BC=BE.得到C、E关于BD对称.∠BDC=30°,∠BDP=20°,所以∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法15:(B4-11I)如图,△ABP的外接圆交CB于D，连接AD、PD,易知∠ADP=∠DAP=10°.△ADC的外接圆交CP的延长线于E,连接EA、ED.易知∠DAE=10°,∠ADE=30°,作正△AEF,连FD、FP,因为∠ADE=30°,故F是△ADE的外心,所以FD=FE=FA,又∠DAE=10°，故∠DFE=20°，∠AFD =80°,而PD=PA,故∠PFA=∠PAF=40°,所以A、F 关于CE对称,故∠AEC=30°=∠ADC,得∠PDC=20°.所以∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法16:(4A-4)如图,△ACP的外接圆交BP的延长线于D，连接AD、CD,易知∠ADB=30°,∠CAD=20°.作A关于BD对称的对称点E，连接FA、FD。
正三角形黄金角格点猜想
正三角形黄金角格点猜想正三角形黄金角格点，是指正三角形角格点中，除去第一类模型后的正三角形角格点。
猜想认为只有两个，见图一：它们在《角格点完全分类》中，属于第11号角格点，即11（6°,42°,48°,12°,18°,54°）。
需要说明的是，一、必须撇开模型1类角格点来讨论，正三角形按模型1来分割，可以分割出无数个正三角型角格点来，如图2：二、11号角格点不只含有两个元素，还有不是正三角形的元素，如图3便是一例：我之所以把这两个正三角形角格点称之为黄金角格点，是因为它的六个分角中，图1-1 图1-2图2 图3三个小角（6°，12°，18°）和三个大角（42°，48°，54°）刚好是两组等差数列，而且公差都是6°，在0-60°的范围内，这六个角漂亮的成对称排列，真是天合之作。
更重要的是，除了模型1包涵的正三角形角格点外，就只有这两个正三角形角格点了，再也找不出第三个了。
我们先来证明一下它的成立。
已知：△ABC是正三角形，P 是其内部一点，且∠PCA=6°∠PBA=18°∠PBC=42°∠PCB=54°作∠ACB的平分线交PB于D，连接AD，=>A、B关于CD对称∠DAB=∠DBA=18°O 是△ACD的外心，连接OA、OC、OD、OP∠ACD=30°∠AOD=60°=> △AOD是正三角形∠OAC=∠DAO-∠DAC= 60°-42°=18°∠OCA=∠OAC=18°∠PCO=6°+18°=24°∠PDA=∠DAB+ ∠DBA=18°+18°=36°∠PDO=60°-36°=24°∠PCO=∠PDO=24°=>P、O、C、D 四点共圆∠POD=∠PCD=24°=>D、O 关于AP对称=>∠PAD=30°∠PAB=30°+18°=48°∠PAC=60°-48°=12°证明的方法有很多种，这大概是最直接最简单的一种了。
利用对称点解三角形中的格点问题
利用对称点解三角形中的格点问题（本讲适合初中）如果三角形的三个角的度数都是１０的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点．求解三角形中的格点问题，常可利用对称点．利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料．１证明对称点常用的方法大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴．根据对称点的定义不难知道，欲证两点Ｍ、Ｎ关于线段ＰＱ所在的直线对称，只要证明 ＭＰＱ≌ ＮＰＱ即可．不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系．例１在 ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＣＢ＝２０°，Ｍ为∠ＡＣＢ的平分线上一点，∠ＭＢＣ＝２０°．求∠ＭＡＢ的度数．解：如图１，设∠ＭＢＡ的平分线交ＡＣ于Ｄ，连ＤＭ．图１显然，ＢＭ平分∠ＤＢＣ，而ＣＭ平分∠ＤＣＢ，即Ｍ为△ＤＢＣ的内心．可知∠ＭＤＢ＝∠MDC＝60°．有∠ＡＤＢ＝６０°＝∠ＭＤＢ．故点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称．则∠ＭＡＢ＝９０°－∠ＤＢＡ＝７０°．这里证得“点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称”是根据“角、边、角”．例２ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０°，Ｐ为形内一点，∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°．求∠ＰＢＣ的度数．解：如图２，以ＡＣ为一边在△ＡＢＣ外作正△ＤＡＣ．连ＤＰ ．由∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°，可知ＰＡ＝ＰＣ．有点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称．得∠ＰＤＡ＝ 21∠ＡＤＣ＝３０°．由∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４０°，可知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ． 易知∠ＰＡＤ＝８０°＝∠ＰＡＢ，可知点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称．有∠ＰＢＡ＝∠ＰＤＡ＝３０°．则∠ＰＢＣ＝１０°．这里证出“点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称”是根据“边、边、边”，证出“点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称”是根据“边、角、边”．综上可知，证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情．而且熟练以后，更可能节省些笔墨．明确了这一点，我们就要积极、主动地创造条件，注意利用对称点． ２ 在哪些情况下应想到使用对称点三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时，要想到使用对称点．例３ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｐ为∠ＡＢＣ的平分线上一点，∠ＰＣＢ＝１０°．求∠ＰＡＢ的度数．解：如图３，在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ．连ＤＰ、ＤＣ．图 ３由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，可知点Ｄ与点Ｃ关于ＢＰ对称．有ＰＤ＝ＰＣ．由∠ＤＰＣ＝２（∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ）＝６０°，可知△ＰＣＤ为正三角形．有ＰＣ＝ＤＣ．在△ＡＣＤ中，由∠ＡＤＣ＝７０°＝∠ＤＡＣ，可知ＡＣ＝ＤＣ．有ＡＣ＝ＰＣ．在△ＰＣＡ中，由∠ＰＣＡ＝２０°，可知∠ＰＡＣ＝８０°．则∠ＰＡＢ＝３０°．这里由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，想到在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ，则点Ｄ为点Ｃ关于ＢＰ的对称点．这是取对称点的最简单、最基本的方法．例４在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｑ为形内一点，∠ＱＢＡ＝∠ＱＣＡ＝２０°．求∠ＱＡＢ的度数．解：如图４，设ＢＱ交ＡＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＢＣ的垂线交ＱＣ于Ｅ．连ＢＥ．图４由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，可知ＤＥ为ＢＣ的中垂线．由∠ＱＣＢ＝１０°，可知∠ＥＢＣ＝１０°，∠ＱＢＥ＝２０°＝∠ＱＢＡ．由∠ＥＤＢ＝６０°＝∠ＥＤＣ，可知∠ＢＤＡ＝６０°＝∠ＢＤＥ．有点Ａ与点Ｅ关于ＢＤ对称．则∠ＱＡＢ＝∠ＱＥＢ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝２０°．这里注意到ＢＱ是∠ＡＱＣ的平分线，故想到在ＱＣ上取点Ｅ，使∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＱ，则点Ｅ为点Ａ关于ＢＱ的对称点．为此想到满足条件的点Ｅ，恰为ＢＣ中垂线与ＱＣ的交点。
格点三角形的专题
格点三角形的专题
1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）以点A为端点画一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为5
（2）以（1）中的AB为边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数．
2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
3.（2013•哈尔滨）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
例2：（2012•松北区二模）正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
2、5
（1）在图1中，画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、2
（2）在图2中，画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2．。
中考数学复习专题之格点问题
A．
B．
C．
D．
解析： 该题考查相似三角形的判断定理，利用网格长度和 勾股定理计算出各条边的长度，再利用对应边成比 例达到判断相似的目的。
【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sinα的值是( ).
3 4
A.
4
3
B. D.
3
4 5
．
C. 5
解析: 该题在网格中考查锐角的 正弦的意义，首先要用勾 股定理计算直角三角形斜 边的长．
解析该题一道人性化的操作型开放题只要理解了轴对称图形的意义选取一条适当的直线作对称轴就可以画出符合题意的图2006年江西中考题请在由边长为正三角形组成的虚线网格中画出一个所有顶点均在格点上且至少有一条边长为无理数的等腰三角形该题画法很多只要利用等腰三角形的轴对称性结合网格特点再考虑到题目中的条件即可
解析: 从题目的语气看，似乎要画直线AB与CD 夹 角的平分线，但是网格中没有画出直线AB与 CD 的夹角，图形的特殊性就在于AC//BD， 又已知AB=CD，因此四边形ABDC是等腰梯 形，线段BD的垂直平分线就是这个等腰梯形 的对称轴．如图，M、N分别为BD、AC的中 点，直线MN上的点到直线AB、CD的距离相 等．恰好点M是格点，以MB为斜边的直角三 角形的直角边长为3和1，这样，斜边在直线 MN上，直角边为3和1的格点直角三角形有3 个，符合题意的点有4个．选C．
C1 C2 C3
B
【例17】已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所 示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点， 线段PC把Rt△OAB分割成两部分． 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似？ （注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相 y 应的点C的坐标）
三角形的格点公式
三角形的格点公式
（最新版）
目录
1.三角形的基本概念
2.格点公式的定义
3.三角形的格点公式
4.应用举例
正文
1.三角形的基本概念
三角形是由三条线段组成的一个闭合图形，其中任意两边之和大于第三边。
根据三角形的角度分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
三角形在几何学中具有重要的地位，许多几何问题都与三角形有关。
2.格点公式的定义
格点公式是一种用于计算几何图形面积的公式。
在平面直角坐标系中，一个格点是指横纵坐标都是整数的点。
格点公式能够计算出一个多边形在某个方向上投影的面积。
3.三角形的格点公式
三角形的格点公式是一种计算三角形面积的公式，它可以通过三角形的三个顶点坐标来计算三角形的面积。
设三角形的三个顶点坐标分别为
A(x1, y1)、B(x2, y2) 和 C(x3, y3)，那么三角形的面积 S 可以通过以下公式计算：
S = 0.5 * |(x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2))| 在这个公式中，|...|表示绝对值，保证了面积的正值。
4.应用举例
假设有一个三角形 ABC，其顶点坐标分别为 A(0, 0)、B(4, 0) 和 C(0, 3)，我们可以使用三角形的格点公式来计算这个三角形的面积。
初三数学 格点问题资料
初三数学格点问题一、网格中的图形变换1.如图，正方形网格图中每个小正方形边长都为1，每格的顶点叫做格点。
（1）以格点为顶点画出三边长分别为23104、、的ABC∆，并求出三角形的面积；（2）画出ABC∆的外接圆的圆心O，并求出这个外接圆的面积。
（π取14.3）二、网格中的计算问题2.图2是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________m．（结果保留根号）图2 图3 图4 图53.如图3，在边长为1的正方形网格中，•按下列方式得到“L”形图形．第1个“L”形图形的周长是8，第2•个“L•”形图形的周长是12，则第n个“L”形图形的周长是______．4.如图4，直角坐标系中，△ABC•的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，-1），则△ABC的面积为________平方单位.5.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于三、网格中的计数问题6.如图6，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A．B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A．B．C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是个.第6题第7题第7题A BCC’B’7.如图7，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’，则tanB ’的值为8.如第8题图，1∠的正切值等于 。
四、网格中的相似图形1. 如图2，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁2．有一张足够大的网格图，每一小格都是边长为a 正方形，每格的顶点叫做格点。
网格上有如右图的D C B A ,,,四点，连接AD BC AC AB 、、、。
（１）请问在网格上可以找到几个格点（记这个点为E ）使得以点E D A 、、为顶点的ADE ∆与ACD ∆相似；选择其中的一点，来说明ADE ∆与ACD ∆相似。
格点图中的锐角三角函数
格点图中的锐角三角函数正在正方形网格中，我们把水平线与竖直线相交的点称为格点。
如果在网格中，一个三角形的三个顶点在格点上，那么我们称这个三角形为格点三角形。
格点三角形有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。
在初中阶段，锐角三角函数值的求解经常作为一个考点来考查学生的观察、分析和计算能力。
由于此类题灵活多变，内容丰富，经常将其在中考试卷中作为考点进行考查，其考查学生能力的作用不言而喻。
下面择其中的中考题作个例析。
例1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC中点，则sin∠AEB的值是（）A．B．C．D．例1例2例2.（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．练习：1.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．第1题第2题2.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC 的值是．3.仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，求tan∠BOD的值．解析：连接AE，EF，导出∠BOD＝∠FAE，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问题．具体解法如下：连接AE，EF，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，根据勾股定理可得：AE＝，AF＝2，EF＝3，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠FAE＝＝3，即tan∠BOD＝3．任务：（1）如图2，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，求图中∠HPN的正切值；（2）如图3，A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，请你直接写出tan∠BAC的值．4.如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，（1）sin∠BAC＝，PC＝．（2）求tan∠DPA的值．参考答案：例1.【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。
格点图中的锐角三角函数
格点图中的锐角三角函数正在正方形网格中，我们把水平线与竖直线相交的点称为格点。
如果在网格中，一个三角形的三个顶点在格点上，那么我们称这个三角形为格点三角形。
格点三角形有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。
在初中阶段，锐角三角函数值的求解经常作为一个考点来考查学生的观察、分析和计算能力。
由于此类题灵活多变，内容丰富，经常将其在中考试卷中作为考点进行考查，其考查学生能力的作用不言而喻。
下面择其中的中考题作个例析。
例1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC 中点，则sin∠AEB的值是（）A．B．C．D．例1例2例2. （2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．练习：1. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．第1题第2题2.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC 的值是．3. 仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，求tan∠BOD的值．解析：连接AE，EF，导出∠BOD＝∠F AE，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问题．具体解法如下：连接AE，EF，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，根据勾股定理可得：AE＝，AF＝2，EF＝3，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝＝3，即tan∠BOD＝3．任务：（1）如图2，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，求图中∠HPN的正切值；（2）如图3，A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，请你直接写出tan∠BAC的值．4. 如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，（1）sin∠BAC＝，PC＝．（2）求tan∠DP A的值．参考答案：例1. 【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。
利用网格线-巧求三角函数值
例3（2015•南京二模）如图，方格纸中有三个格点A 、B、C，求sin∠ABC的值。 勾面股积定法理法
D
例3（2015•南京二模）如图，方格纸中有三个格点A 、B、C，求sin∠ABC的值。
E
建立平面直角坐标系DFra bibliotekO利用网格线 巧求锐角三角函数
构
建
造 直 角 三 角
转 化 角
面
勾 股
积
定
法
理
法
立 平 面 直 角 坐
形
标
系
利用网格线 巧求锐角三角函数
例1（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的 边长均为1，点A，B，C都在格点上，求∠ABC的正切 值。
构造直角三角形
例2 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中
，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、
CD相交于点P，求tan∠APD的值。
转化角
E O
E
三角形格点公式
三角形格点公式三角形格点公式这玩意儿，听起来是不是有点神秘？其实啊，它就藏在咱们的数学世界里，像是个小宝藏，等着咱们去发现。
我记得有一次，我在教室里给学生们讲三角形格点公式。
当时阳光透过窗户洒在课桌上，形成一片片光斑。
有个小家伙，眼睛瞪得大大的，一脸困惑地看着我，那模样就像是在说：“老师，这到底是个啥呀？”我笑了笑，拿起一支粉笔，在黑板上画起了三角形格点。
三角形格点公式说的是，如果在一个平面上有一个三角形格点图形，格点顶点处的点算为一点，边上的点算为半点儿，然后用格点图形内的点数加上图形周界上的点数除以 2 再减去 1，就能得到这个格点图形的面积。
比如说，有一个三角形格点图形，里面有10 个点，边上有8 个点。
那咱们就可以这样算：（10 + 8÷2 - 1）= 13，这 13 就是这个三角形格点图形的面积啦。
为了让同学们更好地理解，我让他们自己动手画一些三角形格点图形，然后算算面积。
一开始，大家都有点手忙脚乱，有的算错了，有的画得歪歪扭扭。
但慢慢地，大家找到了窍门，教室里充满了讨论声和欢笑声。
在实际生活中，三角形格点公式也挺有用的呢。
比如咱们要计算一块不规则的三角形农田的大概面积，就可以用类似的方法来估算。
虽然不会特别精确，但能给咱们一个大致的参考。
再深入想想，三角形格点公式其实也反映了数学的一种美。
它把看似复杂的图形和点数关系，用一个简单的公式就给概括了。
就像解开一团乱麻，找到了那根关键的线头。
学习三角形格点公式，可不能死记硬背哦。
得理解它背后的道理，多做几道题练练手。
我相信，只要大家用心，都能掌握这个有趣的小公式。
回想那堂课，阳光依旧温暖，同学们认真的脸庞和积极的态度，让我觉得教育是一件多么有意义的事情。
而三角形格点公式，就像那堂课上的一颗小明星，照亮了我们探索数学的道路。
所以啊，同学们，别害怕数学里的这些公式和定理，它们就像是一个个小挑战，等着你们去攻克，去发现其中的乐趣！。
三角形的格点
三角形的格点编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形的格点）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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如果三角形的三个角的度数都是１０的整数倍,三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质,我们称这样的点为三角形中的格点．求解三角形中的格点问题，常可利用对称点．利用对称点求解三角形中的格点问题,方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力,陶冶情操，提高素质的宝贵资料．１ 证明对称点常用的方法大家知道,把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴．根据对称点的定义不难知道，欲证两点Ｍ、Ｎ关于线段ＰＱ所在的直线对称，只要证明ＭＰＱ≌ＮＰＱ即可．不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系．例１ 在ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＣＢ＝２０°,Ｍ为∠ＡＣＢ的平分线上一点，∠ＭＢＣ＝２０°．求∠ＭＡＢ的度数．解:如图１，设∠ＭＢＡ的平分线交ＡＣ于Ｄ，连ＤＭ． 图 １显然，ＢＭ平分∠ＤＢＣ,而ＣＭ平分∠ＤＣＢ，即Ｍ为△ＤＢＣ的内心．可知∠ＭＤＢ＝∠MDC ＝60°．有∠ＡＤＢ＝６０°＝∠ＭＤＢ．故点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称． 则∠ＭＡＢ＝９０°－∠ＤＢＡ＝７０°．这里证得“点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称”是根据“角、边、角"．例２ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０°,Ｐ为形内一点,∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°．求∠ＰＢＣ的度数．解：如图２,以ＡＣ为一边在△ＡＢＣ外作正△ＤＡＣ．连ＤＰ．由∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°，可知ＰＡ＝ＰＣ．有点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称．得∠ＰＤＡ＝ ∠ＡＤＣ＝３０°．由∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４０°，可知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ．易知∠ＰＡＤ＝８０°＝∠ＰＡＢ，可知点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称．有∠ＰＢＡ＝∠ＰＤＡ＝３０°． 则∠ＰＢＣ＝１０°．21这里证出“点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称”是根据“边、边、边”，证出“点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称”是根据“边、角、边”．综上可知，证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情．而且熟练以后，更可能节省些笔墨．明确了这一点，我们就要积极、主动地创造条件，注意利用对称点．２在哪些情况下应想到使用对称点三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线,这是使用对称点的最方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时，要想到使用对称点例３在△ＡＢＣ中,∠ＡＢＣ＝４０°,∠ＡＣＢ＝３０°，Ｐ为∠ＡＢＣ的平分线上一点,∠ＰＣＢ＝１０°．求∠ＰＡＢ的度数．解：如图３,在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ．连ＤＰ、ＤＣ．图３由ＢＰ平分∠ＡＢＣ,可知点Ｄ与点Ｃ关于ＢＰ对称．有ＰＤ＝ＰＣ．由∠ＤＰＣ＝２(∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ)＝６０°，可知△ＰＣＤ为正三角形．有ＰＣ＝ＤＣ．在△ＡＣＤ中，由∠ＡＤＣ＝７０°＝∠ＤＡＣ,可知ＡＣ＝ＤＣ．有ＡＣ＝ＰＣ．在△ＰＣＡ中，由∠ＰＣＡ＝２０°，可知∠ＰＡＣ＝８０°．则∠ＰＡＢ＝３０°．这里由ＢＰ平分∠ＡＢＣ,想到在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ,则点Ｄ为点Ｃ关于ＢＰ的对称点．这是取对称点的最简单、最基本的方法．例４在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｑ为形内一点，∠ＱＢＡ＝∠ＱＣＡ＝２０°．求∠ＱＡＢ的度数．解：如图４，设ＢＱ交ＡＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＢＣ的垂线交ＱＣ于Ｅ．连ＢＥ．图４由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，可知ＤＥ为ＢＣ的中垂线．由∠ＱＣＢ＝１０°,可知∠ＥＢＣ＝１０°，∠ＱＢＥ＝２０°＝∠ＱＢＡ．由∠ＥＤＢ＝６０°＝∠ＥＤＣ，可知∠ＢＤＡ＝６０°＝∠ＢＤＥ．有点Ａ与点Ｅ关于ＢＤ对称．则∠ＱＡＢ＝∠ＱＥＢ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝２０°．这里注意到ＢＱ是∠ＡＱＣ的平分线，故想到在ＱＣ上取点Ｅ，使∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＱ，则点Ｅ为点Ａ关于ＢＱ的对称点．为此想到满足条件的点Ｅ，恰为ＢＣ中垂线与ＱＣ的交点。
专题1：网格中的三角函数习题
1.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是( )
2.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、
B、C都在这些小正方形的顶点上,则∠ABC的正切值
是（ )
3.如图,每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为（）
4.如图,△ABC的三个点顶均在正方形网格格点上，
则tan∠BAC=（）
5如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）
6.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sinA=( )
7.如图，在正方形网格中，点O、A、B均在格点上，则∠AOB的正弦值是（）
8。
如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处，则tan∠BAC的值为（)
9.在如图所示的正方形网格中,A、B、C都是小正方形的顶点，经过点A作射线CD，则sin∠DAB的值等于( ）
10。
如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，连结AB．连结CD与AB 相交于点P,则tan∠APD的值是。
中考中的格点三角形问题
中考中的格点三角形问题在正方形的方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形.在初中数学教材中都提到过格点三角形，并且近两年中考中都出现过一些题目，基本上是有关全等三角形、相似三角形、面积等问题，现特举例说明.图1例1 在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图1中画一个△A１B１C１∽△ABC （相似比不为1），且△A１B１C１都在单位正方形的顶点上.（上海市中考题）略解：AB=，BC=2,AC=,如图1，只要使Ａ１Ｂ１=2，Ｂ１Ｃ１=2,Ａ１Ｃ１=2或Ａ１Ｂ１=1,B１C１=，A１C１=等.例2 如图2，在正方形的网格上有两个三角形△Ａ１Ｂ１Ｃ１和△Ａ２Ｂ２Ｃ２，则△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的面积比等于（）．图2A.4∶1B.3∶1C.5∶2D.5∶3（山东省中考题）略解：先找到两个三角形△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△Ａ２Ｂ２Ｃ２是等高的，所以面积之比是两对应边Ｂ１Ｃ１与Ｂ２Ｃ２之比，为5∶2.例3 在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，请你在图310×10的方格中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明.要求：所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母.（2001年山西省中考题）略析：这样的三角形很多，找到两个相似的格点三角形（如图3），然后求出每个格点三角形的边长，证出三对对应边成比例或两对对应角相等，那么这两个三角形相似.图3例4 在方格纸上有一个△ＡＢＣ，它的顶点位置如图4所示，则这个三角形是________________三角形.（江西省中考题）图4略解：得出AB=AC=，是等腰三角形.例5 如图5所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）使三角形的三边长分别为3、2、（在图5中画一个即可）.（2）使三角形为钝角三角形且面积为2（在图6中画一个即可）.略解：（1）这样的三角形（如图5）为△ABC.图5 图6（2）如图6，△DEF即为所求.格点三角形的问题不但考查了相似三角形的判定与性质定理、勾股定理、正方形的性质、钝角三角形、等腰三角形的性质、面积，而且考查了同学们的运算、画图、推理等技能，并且考查了学生分析问题的能力.通过格点三角形的问题的学习，发现了在数学学习中要善于运用课本上的习题，并能进行归纳、引申、变式训练，以来培养同学们的创新意识及创新能力.。
网格中的锐角三角函数
网格中的锐角三角函数网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，因为网格中隐含着直角和单位长度，所以具有很强的可操作性．现在新课程标准对学生在数学思考能力和解决问题能力等方面越来越重视。
而格点问题主要考查学生的直觉推理能力和问题探究能力。
并且格点问题操作性强、趣味性浓，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念。
因此格点问题可以通过考试促进教师在教学过程中贯彻新课标的理念。
一、在网格中表示坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．【例1】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为（）．A．(－4，2) B、(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2) ．[解析] 根据轴对称的性质，y轴垂直平分线段AA'，因此点A与点A'的横坐标互为相反数，纵坐标相等．点A(－4，2) ，因此A'(4，2)．选D．练习1.（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．一、在网格中运用勾股定理进行计算．【例1】如图1是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为_______m．（结果保留根号）图1[解析] 推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB 、BC 分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC=25二、在网格中求一个锐角的三角函数。
【例2】（2014•贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．[解析] ∠A 是△ABC 中的一个锐角，而△ABC 不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，必须先构造直角三角形，使∠A 在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。
三角形角格点问题系列：B2-3C(20210812版
三角形角格点问题系列:B2-3C(图中有:PB=PC,AB+AP=BC,AB切△BCP的外接圆于B)已知:如图,∠PCB=10°,∠PCA=30°,∠PAB=20°,∠PAC=100°,求∠PBA,∠PBC.解法1:如图,作△APC的外心D,连DA、DP、DB、DC.因为∠PAC=100°，所以∠PDC=160°,∠DPC=∠DC P=10°,因为∠PCB=10°,所以D在BC 上,∠ADP=∠PAD=60°,因为∠ABC=20°,∠PDB=∠PAB=20°,得A、D 关于PB对称,所以∠PBA=∠PBC=10°.解法2:如上图,做正△PAD,连DC.由∠PCA=30°,可得D是△APC外心,∠DAC=∠DCA=40°=∠BCA,则B、D、C三点共线,得∠PDB=20°=∠PAB,于是D、A关于PB对称,所以∠PBA=∠PBC=10°.解法3:如上图,在BC上取一点D,使BD=BA,连DA、DC、DP.由∠ABC=20°,∠ACB=40°,可知∠BAC=120°,由∠PCB=10°,∠PAB=20°,可知∠APC=50°,由∠ABD=20°,可知∠BDA=∠BAD=80°,有∠DAC=∠DCA=40°,显然DA=DC,可知∠ADC=100°=2∠APC,D是△APC外心,显然∠ADP=2∠ACP=60°,可知△PDA为正三角形,于是D、A关于PB对称,所以∠PBA=∠PBC=10°.解法4:如图,过P作BC的垂线与△ACP的外接圆交于D.连接AD与BC交于E,连接EP.显然∠ADC=50°,∠CAD=∠CPD=80°,可知∠PAD=20°=∠PAB,∠ACD=50°,可知∠DCP=20°,有∠DCB=∠PCB,于是D、P关于BC对称,得∠EPD=∠EDP=∠PCA=30°,易知∠AEP=60°=∠PEB=∠DEB,因此PE平分∠AEB，显然AP平分∠BAE,可知P是△ABE的内心,所以∠PBA=∠PBC=10°.解法5:(30A-5)如图,作∠CPD=50°,连接DA、DP.取△APD的内心E ,连AE、DE,则∠AED=140°,且E在CP上,则A、C、D、E四点共圆.故C是△APD的旁心,得∠PAD=20°,∠ADP=∠BDP=60°.所以P是△ABD的内心,所以∠PBA=∠PBC=10°.解法6:(21A-6)如图，作∠APD =50°,连接DC、DP.作D关于AC的对称点E,连接EA、ED.易知E在CP上，∠EAP=20°,∠ECD=40°,∠EAC=80°.作正△CEF,连FA、FD.因为∠ACE=30°,所以E、F关于AC 对称,∠EAF=160°,得到F、A、P三点共线,∠EFA=10°,∠EFD=20°,故FD=FE=FC,所以F是△CDE的外心,所以∠PCD=10°,∠ADC=40°,∠BDP=∠CDP=70°,所以P是△BCD的内心,∠PBA=∠PBC=10°.解法7:(G3-25F)如图,做正△PCD,连接DA、DB,DP交AB于E,连接CE,由∠BEP=30°,可知A、C、P、E四点共圆,∠BCE=30°,∠DCE=40°,∠APD=∠ADP=10°.△DCE的外接圆交BC于F.连接EF、DF.易知∠DFE=40°,∠EDF=30°.做正△DFG,连接GB、GE.由∠EDF=30°,可得F、G关于DE对称,∠DGE=40°,∠EGF=∠EFG=20°,可得B、F、E、G四点共圆.∠GFB=∠GBF=40°,可得GB=GF=GD,G是△BDF外心,∠DBF=30°.所以∠ABD=10°,∠PDB=20°.可得A、D、B、P四点共圆.∠PBA=∠PBC=10°.解法8:(2B-1)如图,△ABC的外接圆与AP的延长线交于D,连接DB、DC,AD交BC于E,易知∠BCD=∠ADC=20°,∠ADB=40°,∠CBD=100°.作正△CDF,连FE、FD、EA.因为∠ACD=∠BDC=60°,所以F、B、D 三点共线,F、A、C三点共线.因为∠ACP=30°,F、D关于PC对称,故∠PFC=20°,∠DFP=∠AEC=40°,所以B、E、P、F四点共圆.又因为ED=EC，所以∠DFE=∠CFE=30°,∠PFE=10°.得到∠PBA=∠PBC=10°.解法9:(4B-10)如图，△ABC的外接圆与BP的延长线交于D,连接DA、DC,易知∠BDC=120°,∠ADB=40°.作△正ACE,连接DE、PE.易知∠PAE=∠PEA=∠ADP=40°.所以A、D、E、P四点共圆,∠BDE=40°,∠ADE=∠CDE=80°.所以∠DAE与∠DCE相等与互补,显然不能互补，则∠DAC=∠DCA=10°.得到∠PBA=∠PBC=10°.解法10:(27-4)如图，△ABC的外接圆与CP的延长线交于D,连接DA、DB,易知∠ABD=30°,∠BDC=120°,∠ADC=20°,∠BAD=10°.作正△ABE,连接ED、EP.因为∠ABD =30°,所以A、E关于BD对称,∠BED=10°,∠AED=50°,所以A、E、D、P四点共圆.∠AEP=20°,∠EAP=80°,所以EA=EP=EB,所以E是△ABP的外心,所以∠PBA=∠PBC=10°.解法11:(B6-16G)如图,△ABP的外接圆与CA的延长线交于D,与BC 交于E，连接DA、DB、ED、EP.易知∠BDP=20°,∠PFE=100°,∠DEP=100°,∠CEP=20°.设F为C关于PE的对称点,连接FP、FC、FD、FE.FE交CD于G,连接GP,易知∠PEF=20°,∠PED=10°,∠BDF=∠DEF=80°,△PCF是正三角形,所以P、F关于CD对称.DE=DG,∠PGE=∠PEG =20°,所以E、G关于DP对称.得到∠PDC=10°.所以∠PBA=∠PBC=10°.解法12:(B4-11F)如图,△ABP的外接圆与BC交于D,连接DA、DP.易知∠CDP=20°.取△ADC的外心E,连接EA、EB、EC、EP.因为∠ACP=30°,所以∠AEP=60°,△AEP是正三角形,可得∠ACE=∠EAC=40°=∠ACD,所以D、E、C三点共线,又因为∠PED=∠PDE=20°,所以PA=PE=PPD,所以∠PAD=∠PDA=10°.得到∠PBA=∠PBC=10°.解法13:(27-2)如图，△ABP的外接圆与CP的延长线交于D,连接DA、DB.易知∠BDC=20°,∠ABD=130°.设△ADC的外接圆交AB的延长线于E,连接ED、EC,易知∠AED=30°,∠BDE=100°.作正△BEF,连FC、FD ,显然B、F关于DE对称,DB=DF,∠DBF=∠DFB=10°=∠DCB,D、B、C、F四点共圆,∠BFC=∠BCFF=20°，BF=BC=BE,故B是△CEF的外心,∠BCE=∠BEC=10°.所以∠ADC=10°.得到∠PBA=∠PBC=10°.解法14:(4A-9)如图，△ACP的外接圆与BP的延长线交于D,连接DA、DC.易知∠AEB=30°,∠BEC=100°.作△ABD外接圆交AC的延长线于E,连EB、ED.则∠CBE=10°,∠BEC=30°,∠CDE=20°.设F为C关于BE 的对称点,连接FB、FC、FD、FE.易知∠CBF=20°,∠BFC=80°,△CEF 是正三角形.可得B、D、C、F四点共圆,∠CDF=20°,得到E、F关于CD对称.所以∠CBD=∠ABD=10°.解法15:(B1-2C)如图，△ACP的外接圆与AB交于D,连接DP、DC.易知∠DCP=20°,∠CDP=100°,∠BDP=30°.取△DPC的外心E,连接DE、EP、EC.因为∠PDC=100°,所以∠PEC=160°,∠ECP=∠BCP=10°,故E在BC上,所以∠PEB=20°,∠PED=40°.做∠PED 的平分线EF交AB于F,连接PF.因为EP=ED,所以D、P关于EF对称,∠AFE=60°，∠BFP=∠EFP=60°,所以P是△BED的内心,故∠PBA=∠PBC=10°.解法16:(B3-1C)如图，△ACP的外接圆与BC交于D,连接DP、DA.易知∠ADP=30°,∠BDP=100°,∠DAP=10°.以AD为边作正△ADE,连接EB、EP.因为∠ADP=30°，所以E、A关于DP对称，易知∠DEP=∠DAP=10°,∠DPE=∠DPA=140°.因为∠DAB=30°,所以E、D关于BA 对称,易知∠DBE=40°,因此B、D、P、E四点共圆,所以∠PBC=∠PBA=10°.解法17:(2A-3)如图，△BCP的外接圆与AP的延长线交于D,连接DB、DC,AD与BC交于E.易知∠ADB=10°,∠CBD=130°.作正△AEF,连FB、FD、FC.因为EA=EB,所以E是△ABF的外心,所以∠EBF=∠EFB=∠ADB=10°,所以B、E、F、D四点共圆.∠EFD =50°,因为AE=AF=AC，∠AFC=70°,所以B、F、C三点共线.所以∠ADC=10°.故∠PBA=∠PBC=10°.解法18:(B5-5G)如图,△BCP的外接圆与AC的延长线交于D,连接DB、DP,易知∠BDP=10°,∠PBD=30°.设E为P关于BD的对称点，连EA、EB、ED、EP.易知∠EDP=20°,∠DEP=80°,△PBE是正三角形.可得A、D、E、P四点共圆,∠EAP=20°,得到B、E关于AP对称.所以∠PBA=∠PBC=10°.解法19:(B4-11C)如图,作∠PAD=10°,连接DP.易知∠ADC=30°.取△ADC的外心E,连接EA、ED、EC、EP.因为∠ADC=30°,所以∠AEC=60°,则△AEC是正三角形,∠PAE=40°,因为∠ACP=30°,所以A、E关于PC 对称,∠PEA=40°,∠ADE=50°,∠DEP=40°,所以A、D关于PE对称,∠PDA=10°,∠PDC=20°.故A、B、D、P四点共圆,所以∠PBA=∠PBC=10°.解法20:(17B-1、D3-8C)如图,作∠PAD=40°,连DP. 作P关于AD的对称点E,连接EA、ED,显然E在PC上,∠CAE=20°,∠DAE=40°.作正△AEF,连FA、FC,显然F是△CAE的外心,∠FCA=∠FAC=∠CFE=40°,∠AFC=100°,故A、D、C、F四点共圆,∠ADF=40°,AD=AF=AE,故∠ADE=70°.所以∠ADP=70°,∠BDP=30°. 作AG平分∠PAD,连GP,显然D、P关于AG对称，∠AGD=∠AGP=∠BGP=60°,故P是△ABG 的内心,所以∠PBA=∠PBC=10°.解法21:(29-1、D1-6C)如图, 作∠PAD=30°,连DP.作正△DCE,连EA、EP,因为CD=CA,所以C是△ADE的外心,∠AEC=∠CAE=80°,所以E、A、P三点共线,∠CPE=∠ECP=50°，所以EP=EC=ED,所以E是△CDP的外心,所以∠CPD =30°,∠ADP =70°,∠BDP =40°.作AP 的中垂线分别交AB 、AD 于F 、G ,连接FG 、FP 、GP ,易知∠DGP =∠FGP =∠FGA =60°,∠BFP =40°,∠PFG =70°.故F 、D 关于PG 对称,GF =GD ,故F 、D 关于BG 对称,则B 、P 、G 三点共线,所以∠PBA =∠PBC =10°.B C解法22:(30A-1)如图,作∠PAD =20°,连DP .取△ABC 的外心E ,则E 在PC 上,且∠EAD =∠EDA =50°=∠APC ,故A 、E 、C 、P 四点共圆,得所以∠CPD =50°,∠ADP = ∠ADC =∠BDP =60°.则P 是△ABD 的内心,所以∠PBA =∠PBC =10°.A。
三角形角格点问题系列：B2-3E(20211229
三角形角格点问题系列:B2-3E(图中有:PB=PC,AB+AP=BC,BP平分∠ABC,AB切△BCP的外接圆于B,△ACP的外心在BC上)已知:如图,∠PBA=∠PBC=∠PCB=10°,∠PAB=20°,求∠PCA,∠PAC. 解法1:(30A-6)如图,作∠PAD=20°,连DP.显然P是△ABD的内心，得∠ADP=∠BDP=∠ADC=60°,∠APD=100°,∠CPD=∠CPA=50°.故C 是△ADP的旁心.则∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法2:如图,在BC上截取BD=BA,连DA、DP,易知A、D关于PB对称,∠PDB=∠PAD=20°,∠DPC=∠PCB=10°,DP=DC,易知△ADP是正三角形,DP=DC=DA,所以D是△ACP的外心.所以∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法3:如图,易知∠APC=50°,做等腰△DBC,使DB=DC,∠BDC=40°,易知B、C关于DP对称,∠PDB=∠PDC=20°=∠PAB,则A、D、B、P 四点共圆,得∠PDA=10°=∠ADC,∠APD=50°=∠APC,于是A是△CDP 的内心,所以∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法4:如图,作正△CDP,连接DA、DB.∠PBC=∠PCB=10°,显然PB=PC=PD,P是△DBC外心,∠PDB=∠PBD=20°=∠PAB,则A、D、B、P四点共圆,∠APD=∠ADP=10°,于是D、P关于AC对称,所以所以∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法5:(9B-5)如图,作C关于PB的对称点D，连接DA、DC、DP.显然D、A、B三点共线,∠ADP=∠APD=10°,∠PDC=70°,∠CPD=40°,AP=AD,PD=PC.作正△PCE.连接EA、ED,易知PC=PD=PE,∠APE=∠APD=10°,故E、D关于PA对称，AP=AD=AE,得到E、P 关于AC对称，故∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法6:(B4-11E)如图,作∠PAD=10°,连接DP.显然A、B、D、P四点共圆,∠ADP=10°，∠CDP=20°.以P为圆心，PA为半径作圆交BC于E,连接EA、EP.因为∠ADC=30°,所以∠APE=60°,△AEP是正三角形,可得∠PDC=∠PEB=20°,∠EPC=∠ECP=10°.所以EP=EA=EC,得E是△ACP的外心，所以∠PCA=30°，∠PAC=100°.解法7:(B3-1A)如图,作∠PAD=10°,连接DP.显然A、C、D、P四点共圆.在BC上取点E,使BE=BA,连接EP、EA.易知∠ADB=130°,∠ADC=50°,∠BAE=∠BEA=80°,可知∠EAD=∠ADC=50°,有EA=ED,易知A、E关于PB对称,∠BEP=∠BAP=20°,△AEP是正三角形.EP=ED=EA,可得E是△ADC的外心.所以∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法8:(D1-6A)如图,作∠PAD=30°,连接DP.作A关于PB的对称点E，连接EA、EC、EP.显然B、D、E三点共线,∠BEP=∠BAP=20°,∠PAE=∠PEA=60°,△PAE是正三角形.得到E、P关于AD对称，所以∠PDB=40°,∠PDA=70°.EP=EC=EA,可得E是△ADC的外心.所以∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法9:(D3-8A)如图,作∠PAD=40°,作AE平分∠PAD，连接EP、DP.显然P是△ABE的内心，∠ADP=∠BDP=∠ADC=60°,∠CPE=∠CPA=50°,C是△AEP的旁心,故∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法10:(21A-3)如图,作∠PCD=10°,作∠PAE=10°,AP与CD交于Q，AE与CD交于F，连接FP、EQ.易知∠ADC=40°,∠PDC=70°,A、C、P、F四点共圆，故E是△ADQ的旁心.∠DQE=30°,∠AEQ=20°,∠DFE=∠APD=50°,得到E、F、Q、P四点共圆，∠APF=20°,故∠ACD=20°.得到∠PCA=30°,∠PAC=100°.解法11:(B1-2A)如图,作∠PCD=20°,显连接DP.然A、C、P、D四点共圆.作△BCD的外心E,联结EB、EC、ED、EP,因为∠BCD = 30°,所以∠BED=60°,△BDE是正三角形,故∠CBE=40°,因为EB=EC，所以∠BEC=100°。
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三角形角格点问题系列:3-2H(3-B1-H)
(图中有PB=PC)
已知：如图,∠ABP=∠CBP=10°,∠ACP=20°,∠PAC=100°,求∠PCB ,∠PAB .
解法1：如图,作∠BPD=150°,即∠BDP=20°,在BA边上作BE=BD,连接EC、ED、EP.得∠BEP=∠ACP=20°,可知A、E、C、P四点共圆.∠CEP=∠CAP=100°,因为∠ABP=∠CBP=10°,所以△DEP是正三角形,可得∠CED=40°,易知DC=DE=DF,D是△CEP的外心,则∠PCB=10°,∠PAB=30°.
解法2：如图,作△ACP的外接圆交BP延长线D,连接DA、DC.则∠ADB=20°,∠BDC=100°.作A关于BD的对称点E，连接EA、ED.易知：∠AED=∠EAD=70°,∠DEC=30°,∠ADE=40°,∠CDE=80°,作正△DEF，连接FA、FC,因为∠DEC=30°,所以D、F关于BC对称,∠CDF=∠CFD=20°,DA=DE=DF，所以D是△AEF的外心,∠DAF=∠DFA=40°,∠DCH=140°,所以A、D、C、F四点共圆.所以∠CAD=20°=∠CPD.则∠PCB=10°,∠PAB=30°.
解法3：如图,作△ABC的外接圆交BP延长线D,连接DA、DC.则∠ADB=∠BDC=10°.作正△CDE,连接EA、EP,因为DA=DC=DE,故D
是△BACE的外心,∠DAE=∠AE=40°,∠CAE=30°,∠AEC=100°,设△APE的外接圆交PC于F,连FA、FD、FE,易知∠AEF =60°,∠CEF =40°,因为∠DCP=30°,所以D、E关于PC对称,∠FDE=∠FED=20°,∠DFE=140°,所以A、D、F、E、P五点共圆,所以∠DPC=∠DEF=20°.则∠PCB=10°,∠PAB=30°.。