“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用

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算两次思想在高考解题中的应用

算两次思想在高考解题中的应用作者：雷亚庆
来源：《中学课程辅导·高考版》2018年第10期
波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来.”也就是将一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理，又称福比尼原理.利用向量数量积推导两角差的余弦公式就是算两次思想的经典应用.它的本质实际就是从研究对象的不同表征去探索和发现，算两次思想在数学解题特别是高考解题中能发挥非常重要的作用，下举几例加以说明.
例1 （2018江苏高考第13题）.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为;;; .
分析：这是双变量最值问题，解决问题的关键是从已知条件中探寻a，b的等量关系，这时候面积算两次就要大显身手了.
“算两次”作为一种重要的数学解题方法，蕴涵着换一个角度看问题的转换思想.其实质是将同一个量从两个不同的角度計算两次，利用“殊途同归”获得的等量关系达到“出奇制胜”的目的.单墫教授编著的《算两次》中，将算两次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一
个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”，如果一个数学研究对象具有“双重身份”或“两面性”，也就是说既满足条件A又满足条件B，就可以考虑使用这种方法.。

高二联赛班秋季第7讲算两次

第7讲算两次7.1 组合问题知识点睛算两次，顾名思义就是对同一个量从两个不同角度进行计算，对分别计算出的结果进行比较，从而得到某个新的结论.实际上，数学研究中有很大比例的定理就是利用算两次的思想得来的.而在竞赛中也有很多问题用到了算两次的思想.其中，在组合中算两次的思想用到的最多，而在代数、几何等问题中算两次思想也有比较多的应用.一般地，如果直接对某个量进行计算，可能会得到一个等式；而从一个方向得到确切值，从另一个方向得到对这个量的估计，那么我们会得到一个不等式.在组合中，前者我们常会得到某个组合恒等式等，而后者，我们会得到一个组合不等式.整个步骤如同“三步舞曲”：一方面…，另一方面…，综合以上两方面可以得到….在组合中有一类子集问题，运用“算两次”思想来解决有固定的套路，也就是列表方法：我们列出一个方格表，首先从横向求和得到一个式子然后再先从纵向求和得到另一个式子，再对这两个式子进行比较.这种方法常被称为“富比尼原理”.经典精讲【例1】 25个人组成若干委员会，每个委员会5名成员，每两个委员会至多有1名公共成员.证明：委员会的个数不大于30.【例2】将一个三角形的三个顶点分别涂以红蓝黑三种颜色.在此三角形内取若干个点，将它分为若干个小三角形，将每个小三角形的顶点涂以红蓝黑三种颜色之一.证明：不论怎样涂，都有一个三角形，它的三个顶点颜色全不相同.【例3】在一张正方形纸片的内部给出了1985个点，现用M记这纸片的4个顶点与内部1985个点构成的集合，并按下述规则将这张纸剪成一些三角形：（1）每个三角形的三个顶点都是M中的点；（2）除顶点外，每个三角形中不再含有M中的点.问：可剪出多少个三角形，共需剪多少刀？（剪出一条边需要剪一刀）【例4】将六阶完全图6K 的每条边染上红色或蓝色，证明图中必有两个同色三角形（这两个三角形的颜色不一定相同）.【例5】设n 和k 是正整数，S 是平面上n 个点的集合，满足：（1） S 中任何三点不共线；（2）对S 中的每一点P ，S 中存在k 个点与P 距离相等.求证：12k <+【例6】设二次设12,,,n a a a …为1，2，…，n 的一个排列，k f 是集合{},i i k a a a i k <>元素的个数，而k g 是集合{},i i k a a a i k ><元素的个数（1,2,,k n =…），证明11n nk kk k f g===∑∑【例7】设{}1,2,,,2N n n =≥…。

(完整版)一种转化思想----算两次

一种转化思想 ————算两次湖北省武汉市蔡甸区第二中学朱本韬算两次是一种常用的数学方法，也称作富比尼原理。

它体现了数学的转化思想，方程思想。

波利亚在《数学的发现》一文中就曾经说过：“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来。

新编人教版高中教材例题习题中多次使用“算两次”的方法解决问题，同时，在每年全国各省市的高考压轴题或摸拟题中也是常见的方法.一 “算两次”在教材中例１《必修４》（人教版）第二章“两角和与差的余弦公式”的证明证明：如图1,在直角坐标系xOy 中,以Ox 为始边分别作角α、β ，其终边分别与单位圆交于P 1(cos α，sin α),P 2(cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β,由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以只需证明0≤α－β＜π的情况,设向量α＝−→−1OP ＝（cos α，sin α），b =−−→−OP2＝（cos β，sin β），则一方面有a ·b ＝｜α|·｜β｜ cos （α－β)＝cos (α－β）,另一方面,用向量数量积的坐标表示，又有a ·b ＝cos α cos β＋sin α sin β.综上可得cos （α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β，证毕在该公式的证明过程中，用平面向量数量积的两种运算方法,把α·β分别表示为α·β＝|α｜·|β｜ cos θ与α·β＝x 1x 2＋y 1y 2，建立方程关系，从而证明了该公式,这里用到的数学方法就是算两次原理.例２《必修５》(人教版）第二章“等差数列前n 项和的公式"的推导。

解:一方面,Ｓn ＝α1+α2+α3+…＋αn ＝α１＋（α１＋d)＋（α２＋２d ）＋…＋［α１＋（n －１）d] ①另一方面，Ｓn ＝αn ＋αn-1＋αn-2＋…＋α１＝αn ＋(αn －d ）＋( αn －2d ）＋…＋［αn －(n －1)d ］ ② ①＋②得：２Ｓn ＝（α１＋αn ）＋(α１＋αn ）＋…＋(α１＋αn ）＝n(α１＋αn ) 由此得到等差数列{αn ｝的前n 项和公式：Ｓn ＝2)a n(a n 1+ 在该公式推导中,结合等差数列的通项公式及其推论性质，将Sn 进行两种不同的表示,然后倒序相加.人教版高中数学新教材中多次出现用算两次的方法解决问题，如《必修2》中用等积法证明了点到直线的距离公式等。

“算两次”方法在高中数学中的应用

“算两次”方法在高中数学中的应用在高中数学中，"算两次"方法是一种常用的解题方法，可以帮助学生更快更准确地解决一些复杂的数学问题。

这种方法通过将原问题拆分成两个或多个较简单的问题来逐步解决，最终得出最终的答案。

下面将介绍"算两次"方法在高中数学中的具体应用。

1.代数方程式的解法"算两次"方法在解代数方程式时非常常见。

对于一些复杂的方程式，可以通过"算两次"的方法将其拆解为较为简单的方程式逐步解决。

例如，对于含有分式的方程式，可以先用分式的通分法化简，再解出方程的结果。

这样可以避免一次性解决整个复杂的方程式，提高解题效率。

2.几何图形的计算在几何学中，"算两次"方法也常常被应用。

比如，在计算三角形的面积时，可以将三角形划分成更小的形状，分别计算每个小形状的面积，再将结果相加得到三角形的总面积。

这样可以更直观地理解整个计算过程，提高计算准确性。

3.概率和统计的问题"算两次"方法也可以在概率和统计问题中有所应用。

例如，在计算复杂事件发生的概率时，可以通过将事件拆解为几个较为简单的事件，分别计算每个事件的概率，再结合起来得到最终的概率。

这种方法可以降低解决概率问题的难度，提高解题效率。

4.数列的求和在数列中，"算两次"方法也可以得到应用。

对于一些复杂的数列，可以通过将数列分解为多个简单的部分，分别计算每个部分的和，再将结果相加得到整个数列的和。

这种方法可以帮助学生更清晰地理解数列的求和过程，提高计算的准确性。

5.函数的运算在函数的运算中，"算两次"方法也是非常常见的。

对于复杂的函数关系，可以通过将函数分解为多个简单的部分，分别进行计算，再将结果组合起来得到最终的函数关系。

这种方法可以帮助学生更深入地理解函数的性质，提高解题的效率。

总的来说，"算两次"方法在高中数学中有着广泛的应用。

_算两次_的思想方法_解决数学问题的一把金钥匙

a ∈ V，记 a 的象为 f （ a ）．若映射 f：于映射 f： V→V， V→V 满足：对所有 a， b ∈ V 及任意实数 λ ， μ 都有 f（ λa + μb） = λf（ a） + μf （ b ），则 f 称为平面 M 上的线性变换．现有下列命题： a， b ∈V， ①设 f 是平面 M 上的线性变换，则 f（ a + b） = f（ a） + f（ b）； ②若 e 是平面 M 上的单位向量，对 a ∈ V，设 f （ a ） = a + e，则 f 是平面 M 上的线性变换； ③对 a ∈ V ，设 f（ a ） = － a，则 f 是平面 M 上的线性变换； a ∈ V， ④设 f 是平面 M 上的线性变换，则对任意实数 k 均有 f（ ka） = kf（ a）．其中的真命题是的编号）．（写出所有真命题
个方面的估计，缩小得到式（ 3 ），放大得到式（ 4 ），综合得到关于 a 的不等式 3 归谬在解决某些存在型探索性问题（或反证法证明命题）时，首先假设满足条件（或假设结论不成考虑某个量的性质，从 2 个不同的角度，也会立），得到 2 个不同的关系，而这 2 个关系是互相矛盾的，从而说明不存在（或假设错误）．例6 已知函数 f（ x） = 1 2 x + （ a － 3 ） x + lnx． 2 3 ＞ 1． a
第2 期
： “算两次” 郑日锋的思想方法
· 23·
立， ③是具有性质 P 的映射．因此，具有性质 P 的映射的序号为①， ③．上述例题是在新定义下，考查学生的逻辑推理能力．一般需要肯定一个结论就要通过演绎点评推理的方法证明其正确性，在数学的推理中，我们大量使用的就是这种演绎推理；而要否定一个结论，只要能举出一个反例就可．演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论 ” 是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较高． 5 精题集萃 1 ．观察下列等式 1 = 1， 2 + 3 + 4 = 9， 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 ， 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49 ， … ．照此规律，第 n 个等式为 2 ．在平面几何里，有勾股定理：设 △ABC 的 2 2 2 2 AC 互相垂直，条边 AB ，则 AB + AC = BC ；拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论 BCD 的 3 个侧面 ABC ， ACD， ADB 两是：设三棱锥 A．两相互垂直，则 3 ．设等差数列｛ a n ｝的前 n 项和为 S n ，则 S4 ， S8 － S4 ， S12 － S8 ， S16 － S12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列｛ b n ｝的前 n 项积为 T n ，则 T4 ， T16 ，，成等比数列． T12 4 ．设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对

“算两次”的思想方法——解决数学问题的一把金钥匙

（杭州学军中学浙江杭州３０１）１２０
●郑日锋
美国数学教育家波利亚说“ 为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来” 即将一个量“ ，算两次” 从而建立相等关系，，这
就是算两次原理，又称富比尼（．ｕｉ）ＧＦｂｉ原理．ｎ单
要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较
高．５精题集萃１观察下列等式．
１＝１，
③对ａＶ设厂ａ ∈ ，（）＝一，是平面上的ａ则厂
线性变换；
④设，是平面Ｍ上的线性变换，Ｖ则对任ａ，Ｅ意实数ｋ均有ｋ）ｋａ．ａ＝ｆ）（
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Ｓｎ１＋ｓｎｌｌ￣２
４设是已知平面上所有向量的集合，．对
５・ —ｆ
＜ｉｓｎ
“ 算两次＂的思想方法
— —
解决数学问题的一把金钥匙
１１３
通常的列方程其实就是一种“ 算两次”２．个方面考虑的是同一个量，因此结果相等，这就产生了方程（等式）许多数学公式的推导可以运用“ ．算两次” 思想，如两角和的余弦公式的向量方法证明．
例１如图１，在
Ｃ
Ｄ
ｌ
Ｂ
≤ １一了 ≤ 了，
Ａ）＝ｆａｂ，厂为平面上的ｏ＋ａ（）＋）则称
辑推理能力．一般需要肯定一个结论就要通过演绎推理的方法证明其正确性，在数学的推理中，我们大量使用的就是这种演绎推理；而要否定一个结论，只要能举出一个反例就可．绎推理是推理证演

“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用-2019年文档

“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用“算两次”是一种重要的数学方法，又称为富比尼（G。

Fubini）原理。

它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，从而建立等量关系。

如立体几何中求距离常用的等体积法，就是利用三棱锥可换底的特点，两次计算体积建立等式求高（即距离）。

又如在解析几何中求某些动点轨迹，常根据动点满足的两个条件列出等式。

“算两次”常用于解各类数学竞赛题。

而在高中数学解题教学中“算两次”的方法虽有应用但不受重视，没有从思想的高度予以认识。

甚至解题教学中很少提到“算两次”的概念。

“算两次”的解题形式，单?教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”。

如果两个方面都是精确的结果，综合起来得到一个等式；如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。

“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。

向学生介绍“算两次”的解题应用，能有效地培养学生思维的发散性，使学生体会到数学知识的内在联系及统一性。

它应当成为学生进行再发现、再创造活动的探索方式。

本文介绍算两次原理在高中数学解题中的应用情况，以期引起大家的重视。

一、算两次与解析几何例1椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点，且经过各边的中点，求椭圆的离心率。

评注如何建立关于a、c的关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两种表达形式，正是表达的多样性使得“算两次”有了用武之地。

在很多与图形有关的题目中只要细心寻找诸如AM这样的量，“算两次”就有了一展身手的机会。

二、算两次与向量评注本题解决的关键是从两个角度来考虑向量AP。

一个角度顺其自然（题目已知），一个角度曲径通幽（隐藏的结论）。

教学过程中教师有必要总结提炼出这里的数学方法――算两次，使学生对问题的解决能力得到进一步提升。

三、算两次与导数评注题中分别利用导数的几何意义和斜率的坐标公式得到切线的斜率k的两种算法，建立方程使问题得以解决。

基于教材,挖掘“算两次”的思想方法——解析算两次在三角函数应

２０１９年第６期中学数学月刊 ·４９·
基于教材，挖掘“算两次”的思想方法
———解析算两次在三角函数应用中的三策略
卢风平何威（江苏省张家港外国语学校２１５６００）
１问题提出：让“算两次”方法接地气数学离不开解题，解题过程中若能找到解决
取最小值．连结犃犆交犅犇于犈，犆（２ｃｏｓ３０°，２＋
２ｓｉｎ３０°），即犆（槡３，３），直线犅犇的方程为狓＋２狔
（Ａ）１２
（Ｂ）槡３
（Ｃ）槡２３
（Ｄ）槡３
４
＝４，直线犃犆的方程为狓＋２狔＝６＋槡３，
解如图１２所示，由２．２
（）犉０，６＋２槡３
＝槡４３，选
Ｄ．
４结束语
在坐标系视角下，平面向量基本定理中，坐标
（λ１，λ２）确定了点犘的位置．通过研究关于λ１，λ２的方程对应的直线、不等式对应的平面区域，利用几何直观，可获得当λ１＋λ２为定值时求向量犗犘→ 的模的取值范围、当λ１＋λ２为变量时求λ１＋λ２最值的方法，大大提高了解题速度和精准度．
首先，我们来看必修４中诱导公式的推导．古希腊数学家毕达哥拉斯认为平面图形中最完美的对称图形是圆，圆形充分展现了数学的简洁美、对称美，同时也具有广泛的应用价值．如图１，推导过程的本质是从坐标与三角函数的定义两个角度表示出点犘，犃，犅，犆，从而建立等式关系，得到一系列诱导公式．这是“算两次”在三角函数中的一次精彩的应用，选取的 “坐标 ”与 “角 ”是三角问题中常用的切入口．

一种转化思想----算两次

一种转化思想 ----算两次湖北省武汉市蔡甸区第二中学朱本韬算两次是一种常用的数学方法，也称作富比尼原理。

它体现了数学的转化思想，方程思想。

波利亚在《数学的发现》一文中就曾经说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来。

新编人教版高中教材例题习题中多次使用“算两次”的方法解决问题，同时，在每年全国各省市的高考压轴题或摸拟题中也是常见的方法。

一 “算两次”在教材中例１《必修４》（人教版）第二章“两角和与差的余弦公式”的证明证明：如图1，在直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边分别作角α、β ，其终边分别与单位圆交于P 1（cos α，sin α），P 2（cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以只需证明0≤α－β＜π的情况，设向量α＝−→−1OP ＝（cos α，sin α），b =−−→−OP2＝（cos β，sin β），则一方面有a ·b ＝|α|·|β| cos （α－β）＝cos （α－β），另一方面，用向量数量积的坐标表示，又有a ·b ＝cos α cos β＋sin α sin β。

综上可得cos （α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β，证毕在该公式的证明过程中，用平面向量数量积的两种运算方法，把α·β分别表示为α·β＝|α|·|β| cos θ与α·β＝x 1x 2＋y 1y 2，建立方程关系，从而证明了该公式，这里用到的数学方法就是算两次原理。

例２《必修５》（人教版）第二章“等差数列前n 项和的公式”的推导。

解：一方面,Ｓn ＝α1+α2+α3+…＋αn ＝α１＋（α１＋d ）＋（α２＋２d ）＋…＋[α１＋（n －１）d] ① 另一方面,Ｓn ＝αn ＋αn-1＋αn-2＋…＋α１＝αn ＋(αn －d)＋( αn －2d)＋…＋[αn －(n －1)d ] ② ①＋②得：２Ｓn ＝（α１＋αn ）＋（α１＋αn ）＋…＋（α１＋αn ）＝n （α１＋αn ）由此得到等差数列{αn }的前n 项和公式：Ｓn ＝2)a n(a n 1+ 在该公式推导中，结合等差数列的通项公式及其推论性质，将Sn 进行两种不同的表示，然后倒序相加。

浅谈“算两次”正高中数学中的应用

所以３ｓｉｎａ —ｓｉｎ（ａ＋２口）．
析
＋
—— —’
———＋
———＋
———＋
彝言
差
（作者单位：湖北省枣阳市高级中学）
ｆＯＡ・ＯＣ— ＯＡ＋ＯＡ・ＯＢ，
、Ｉ — Ｏ — ＋Ｂ・ — ＯＣ — ＋＝ＡＯ — — Ａ・ ÷ ＯＢ＋Ｏ — — ＋ — — ＋．Ｂ
２ｃｏｓ（，￣＋ｆ１）ｓｉｎ＋ｃｏｓ（ａ＋ｆ１）ｓｉｎ卢一３ｃｏｓ（ａ＋＃）ｓｉｎ
Hale Waihona Puke 又ｓｉｎ口＝＝＝ｓｉｎ（ａ＋ｆ１）ＣＯＳ卢一ｃ０ｓ（口＋ｐ）ｓｉｎ卢一
一
－
— —— —— ＋
．
卟７
ｓｉｎ（ａ＋）２ｓｉｎ
２向量运算中的“ 算两次”
ＣＯＳ（ａ＋）
ＣＯＳ ’
；，例２如图所示，平面内有３个向量Ｏ — — 十 —｝Ａ、ＯＢ、
ＯＣ，其中ＯＡ与ＯＢ的夹角为１２０。，
代入解得ｆ二三 ’ 所以＋一６．
毒喜亨 — — ＋— — — ＋— — — ＋时
例３设椭圆ｃ：２＋２ — １（。＞６＞。）的右焦点
◇ 湖北陈刚明
的倾斜角为６０。，Ａ一Ｆ：２商，求椭圆Ｃ的离心率．
ＯＡ与ＯＣ的夹角为３Ｏ。，且
— — — —

刘瑞美.也谈“算两次思想”在解题中的应用,中学生数学.2011年第11期

综合可得 1 3x - 3 , x
=பைடு நூலகம்
图2
图3
1= 3, x 从而 1 + 1 = 3.
证明
当 B 1 点在射线 A P 上时 , 如图 2, A CA B;
一方面, 由向量的减法得 B1 C1 = A C1 - A B 1 =
另一方面 , 由共线向量定理知 : B1 C1 = x B 1 G= x ( A G- A B1 )
在该题的证明过程当中, 分别用不同的方
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19
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中学生数学
2011 年 6 月上
第 419 期 ( 高中)
思路与方法
= 2x A D - x A B 3 x = ( A B + A C) - x A B 3 = ( x - x ) A B + x A C, 3 3 综合可得 1 3x - 3 = , x 1 3 = , x 从而 1 + 1 = 3. 当 B 1 点在射线 BQ 上时如图 3, 一方面, 由向量的减法得 B 1 C1 = A C 1 - A B 1 = A C - A B ; 另一方面 , 由共线向量定理知 : 2x B1 C1 = x B 1 G= x ( A G- A B 1) = A D- x A B 3 = x ( AB + A C) - x A B = ( x - x ) A B+ x A C, 3 3 3 x 1 3x - 3 = = , 3 x 综合可得 x 1 3 = x. 3- x = 1 1 从而 + = 3. 当 B1 点在线段 A B 上时 , 如图 4, 一方图4 面 , 由向量的减法得: B 1 C1 = A C 1 - A B 1 = A C - A B ; 另一方面, 由共线向量定理知令 B 1 C1 = x B 1 G = x ( A G - A B 1 ) 2x = AD- x AB 3 = x ( A B + A C) - x A B 3 x x = ( - x ) A B + A C, 3 3 x 1 3x - 3 = = , 3 x 综合可得: x 1 3 - x = = , 3 x x = 3 x - x = 3

“算两次”方法在高中数学中的应用

C
=
a
—^ •过点 —• ).
轴、 ^轴的平行线，交直线/于点M ， N . 由已知点
P (x 0 ， ^ 0) 和直线 Z 的方程 A x
丄x 轴，垂足为 =
cos (
M
，则
图2
犅狔 0 +C
^ 则狘M
N
A^
，狔。 )
^
犅
)
A B
过点 P 作 P A 丄 O P i，垂足为 A .过点 A 作
由向量数量积的坐标表示，有
2
s
“ 算两次” 原理在一些数学问题中的运用
(1)在平面向量的线性运算中大显身手
OJB • 〇 B B = (cos a ， sin a ) • (c o
cos a cos
^， sin [3)
^+Hale Waihona Puke Asin a sin
例1
如图 5,设 P ， Q 分别是四边形ABCD = h 试用基
设O
O A
与〇B 的夹角为心则
= \ O A
对角线A C ， B D 的中点， BB = a ， l A
d
•O B
|• |O
B
| cos
=
cos
a
cos
底 a ，表示向量PQ ,
3
十 si n a si n 3. 另一^方面，由图 3 可知 a = 2々n + 3 十由图 4 可知， a = 2 々 n + 3 — 沒•于是a — 3 = 2 々 n 士汐（ 6
+ C = 0 (A
# 0 ，B # 0 ) 和直线 / 外的一点 P (x 0 ， ^。），求点 P 到直线 / 的距离丄

高中数学教学中“算两次”思想方法的应用探析

高中数学教学中“ 算两次” 思想方法的应用探析
蒋科煜（江苏省海安县曲塘中学，江苏南通，２２６６００）
摘要：在数学教学中， “ 算两次” 是一种重要原理，但其对教学的促进意义没有得到重视。为了提升高中数学的教学质量，文章结合教学经验，主要对在高中数学教学中应用“ 算两次” 思想方法进行探讨，并且提出相关建议。
指在两个层面充分考虑适当量。假设两方面都具备精确结
果，会综合得到一个等式。 “ 算两次 ’ ’ 不但指在两个方面计算试题，还指转换角度对问题进行研究。学生应用“ 算两次 ” 解
题，可扩展思维，明确数学知识间的联系。此外， “ 算两次 ” 是高中数学经常应用的解题方式，也是较为重要的数学理念，代表方程思想的表达方式，展现了转换角度解题的思路。二、在数学教材解题当中， “ 算在立体几何中计算点面距所使用的
等体积法，便是应用三菱锥每个面都可作为底面的性质，两次算出体积而构建等式求高。又如，在深入探究几何中一些动点轨迹时，经常参照动点符合的两个条件，以此列举出等式。
关键词：算两次；高中数学；教学方法中图分类号：Ｇ６３３．６文献标志码：Ａ
文章编号：２０９５ — ６４０１（２０１６）２３－０２３５ — ０ｌ

试论高中数学“算两次”应用

试论高中数学“算两次”应用概要：结合本文问题我们可以发现“算两次”，其实是对于一个问题，由两个角度的切入，通过不同途径，并最终达成一致的结果，在这个过程中引入变量并最终解决变量的方法。

正应了这样一句诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。

我们观察事物，如果所处的立场不同，观察到的结果也会不同。

如果从某一角度用某种方法难以奏效，不妨换一个角度去观察，换一种方法去处理便有可能“迎刃而解”。

“算两次”在数学解题中有广泛的应用，本文专门探讨利用“算两次”解决高中阶段出现的一些问题问题。

一、“算两次”在与导数相关切线方程中的应用“算两次”在导数中的应用主要体现在切线方程，它的应用基础是一个量的两种表示。

在切线方程方面，能够通过两种表示的有两个量：切线斜率和切点（x0，f（x0））。

通过学习我们都知道，导数的几何意义即函数y=f（x）在x0处的导数f/（x0）为相应切线方程的斜率k。

如果我们知道函数在在x0处的切线或者与切线平行或垂直的直线我们就可以知道，通过这两方面都能求出。

当然在这中间还有一个共同的量——切点，它是切线与曲线的交点，能够起到沟通的作用。

我们不妨通过下面一道题来说明这个问题：例1：设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为？分析：我们不妨设切点为（x0，f（x0））（1）通过题意我们由切线y=x+b可知切线的斜率为k=1（2）再由函数y=lnx可得k=1/x0通过上面的形式我们对k “算两次”可得x0= 1（1）由于切点为曲线上的点，可知切点为（1，0）（2）切点也在切线上，通过上述形式我们对于切点“算两次”，可得1+b=0则b=-1。

结合上述问题我们不难发现，我们对切线的斜率和切点进行了算两次，基于这类题目我们不妨看下列这些相似的问题：变式1：设曲线y=eax在x=0处的切线于x+2y+1=0垂直，求a变式2：曲线y=x3+x-2在P点的切线平行于y=4x-1，求P点坐标。

“算两次”原理在高中数学竞赛中的应用

以下只要说明，以ｍ个子集Ａ，：， …，Ａ中的元素排在前面，以它们的对应余集中的元素排在后
全包含在全排列数！中．
设集合Ｓ＝｛（０，６）Ｉ。∈ ｛１，２， …，ｍ｝，ｂ∈ ｛１，２，ｎ｝｝，４为５的子集．若不存在正整数，，，ｙ１，Ｙ２，Ｙ３，使得１＜２＜３，ｙ１＜ｙ２＜Ｙ３，且（１，Ｙ），（，Ｙ：），（，，Ｙ）∈Ａ，求集合／４的元素个数的
＝
证明：（１）要证明∑
≤１，只要证
∑（ｂ一１）（ｎ＋２一ｂ）＝１・ｎ＋２・（一１）＋３
（ｎ一２）＋… ＋・１．
兰厶
一
ｎＩ
≤ ＇ ” ｐ只／、要夏证
・
综上可知结论成立．评注：这是一个数学归纳法的习题，但注意到等式左端有组合数＋的“ 影子”，因此这里给出的做法是赋予右端一种相匹配的组合解释，以此证明等式．有相当多的恒等式与不等式可以通过这种组合上的考虑而获得证明，即“ 组合论证 ”，这是 “ 算两
一
另一方面，设Ａ中一系列不少于３个点的列为第ｉ，ｉ：， …，ｉ列，对于每一列，除了纵坐标最大和最
小的点，剩下的点用它对应的纵坐标来标记它，则对每一个纵坐标，至多被标记１次，则共至多标记凡一２

高考数学一轮复习“算两次”在解三角形中的运用

2
C＝6sin A
＋sin C，即6sin A＋sin C＝S.②.由①②得37－12cos（A＋C）＝S2＋25，所
以S2＝12－12cos（A＋C）≤12＋12＝24，所以S≤2 6，等号成立的条件是
cos（A＋C）＝－1，即A＋C＝π，此时四边形ABCD为圆内接四边形，所以
Smax＝2 6.
答案 2 6
象、数学建模等思维能力提出了较高要求，只要是列方程，均离不开“算两
次”原理.其实我们也可将“算两次”中表示同一数学对象拓展为表示相关对
象，即表示存在特定关系的边、角或面积的对象，通过“算两次”的方法找到
解决问题的关键点.
真题展示
⁠
（2022·新高考Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
教考衔接4
“算两次”在解三角形中
的运用
“算两次”就是从两个不同的角度或用两种不同的方法、途径表示同一数
学对象，根据结果的唯一性，得到方程的方法，也叫“富比尼”.“算两次”的
解题程序概括为三个步骤：“一方面，另一方面，综合可得.”“算两次”在运
用的过程中要求学生能用数学的眼光看问题，找寻等量关系，对学生的数学抽
（1）证明：BD＝b；
解（1）证明：因为BDsin∠ABC＝asin C，所以由正弦定理得，BD·
b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·
b＝b2，
又b＞0，所以BD＝b.
（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC.
解（2）如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，

2
因为AD＝2DC，所以＝＝2，＝，
的正切值，再借助C＝2B以及其正切值的等量关系，取得问题的关键点，获得

演算两次数学方法中的利器

演算两次——数学方法中的利器——读《解题分析与方法提炼——演算两次》有感宜兴市和桥高级中学张海强 214211读罢罗增儒教授的《解题分析与方法提炼——演算两次》一文，感慨颇多！通过罗教授从理论上对“演算两次”的诠释，使我茅塞顿开，对“演算两次”有了更深刻的体会，惊叹其不愧为数学方法中的利器。

本文试图在罗教授的基础上着重对“等量证明中的‘演算两次’”作进一步的拓宽，就其在中学数学教学中的作用作一些探讨。

一、“演算两次”有利于改变数学观念所谓数学观念是指人们对数学的基本态度和根本看法，大致可以分为形而上学的数学观和辩证唯物主义的数学观，数学观念直接影响一个人对数学的认识。

对于初一“列一元一次方程解应用题”的教学存在两个关键问题： Ⅰ、如何建立等量关系布列方程？Ⅱ、如何将这部分内容与小学里学习的算术方法结合起来？指导学生从系统的角度来学习数学。

对于问题Ⅰ如果从“演算两次”的角度来理解，则会有一种豁然开朗之感，即：在题目描述的过程中，随便“拉出”一个量，依题意用两种方式表达它，中间连“等号”，方程即列成。

例1：一手推车满载时，可装半袋面粉加180斤大米，或者4袋面粉加5斤大米。

求1袋面粉的重量。

分析：设1袋面粉重x 斤。

思考1：以两种方式表达半袋面粉重量：1805421-+=x x 思考2：以两种方式表达180斤大米： x x 2154180-+= 思考3：以两种方式表达4袋面粉重量： 5180214-+=x x 思考4：以两种方式表达5斤大米的重量： x x 4180215-+=思考5：以两种方式表达1袋面粉的重量： )18054(2-+=x x思考6：以两种方式表达半袋面粉的“半”字xx 1805421-+= 思考7：以两种方式表达4袋面粉的“4”xx 5180214-+=思考8：以两种方式表达手推车的满载重量：5418021+=+x x 思考9：以两种方式表达一袋面粉的重量并且在其中一种表达中不许出现xx =--2145180 ……思考9正是小学里学习过的算术方法，彼此相差甚远的不同内容出乎意料的在这里交汇了，使算术方法和方程的方法达到了完美的统一。

“算两次”在求体积中的应用

“算两次”在求体积中的应用“算两次”是一种重要的数学解决方案，它可以在求解体积中得到广泛应用。

对于求体积问题，我们可以将物体分解成多个小单元，这些小单元构成物体的整体，然后根据它们的形状和大小，将它们的体积相加，来推测出整体的体积。

而使用“算两次”的解决方案，我们可以在上述过程中更加准确地计算出物体的体积。

“算两次”解决方案的原理是，首先根据物体的形状，把它分解成不同的部分，比如正方体、圆柱体等，然后根据它们的形状和大小，计算出各个小单元的体积，并将它们的体积加总。

之后，第二次从大的角度出发，以此来精确计算物体的体积，而不是一拨拨的将小体积累加起来。

这样就可以最大限度地排除误差。

应用“算两次”求体积的方法也有很多，比如三角形的体积计算，我们可以先采用垂直边积法，求出三角形的每个边的长度，然后再采用Heron公式求出三角形的面积，最后将三角形的面积乘以三角形的高，即可求出三角形的体积。

同样，对于其他形状的体积计算，也可以使用“算两次”的原理，通过分解求得每个部分的体积。

总之，“算两次”解决方案在求体积方面能够更加完美地把握数学原理，帮助我们精确计算体积，而不是受到误差限制。

它可以最大程度地减少实际工作过程中可能出现的误差，为我们节省大量的时间和精力。

由于“算两次”能够得到更加精确的计算结果，所以它也是在工程学、物理学和化学学等学科中得到广泛应用的数学解决方案。

比如在物理学中，可以应用“算两次”的原理来解决有关动能的问题，例如通过给定一个物体的初始动能、动能变化量及初始和末动能时的位置等，推断出它在动能变化期间经过了哪些路径、最终位置到底在哪里等问题。

此外，“算两次”还能够在空气动力学方面得到广泛应用，可以帮助我们更好地了解飞机飞行过程中空气流动情况。

在舰船设计方面，也可以使用“算两次”原理，根据舰船的形状、大小和整体结构，来计算其体积、重心和船模的体积，这对舰船的设计和配置都有着重要作用。

总之，“算两次”在求体积方面的应用非常广泛，不仅在数学科学、工程学、物理学和化学学等学科中得到广泛应用，还有空气动力学、舰船设计等许多领域，它既可以帮助我们精确计算体积，又能够更好地了解流体的流动规律，及其他涉及空间的问题。