第12章组合变形
《工程力学Ⅰ》课程教学大纲
《工程力学Ⅰ》课程教学大纲课程编号：125111 学分： 4 (4学时/周) 总学时：68大纲执笔人：陈洁大纲审核人：王斌耀一、课程性质与目的工程力学（Ⅰ）（包括静力学、材料力学两部分）是土木工程专业的一门重要的技术基础课，它是各门后续课程的基础，并在许多工程技术领域中有着广泛的应用。
本课程的目的是使学生掌握静力学中一般力系的简化与平衡问题的分析介绍方法；掌握材料力学中构件在拉、压、剪切、扭转和弯曲时的强度与刚度问题的分析计算方法，构件在组合变形时的强度与刚度问题的分析计算方法，以及构件在受压时稳定性问题的分析计算方法等；掌握材料的基本力学性能和基本的材料力学实验方法；初步学会应用基本概念、基本理论和基本分析方法去分析问题和解决问题，为学习一系列后继课程打好必要的基础。
同时结合本课程的特点培养学生分析、解决工程实际问题的能力，提高学生的综合素质。
二、课程基本要求1、掌握力的概念、力的投影和力矩的计算；2、掌握力系简化的方法和一般的简化结果；3、掌握刚体静力学的平衡条件和平衡方程；4、对材料力学的基本概念和基本的分析方法有明确的认识。
5、具有将简单受力杆件简化为力学简图的初步能力，具有力学建模的初步概念与能力。
6、能熟练地做出杆件在基本变形下的内力图、计算其应力和位移、并进行强度和刚度计算。
7、对应力状态理论和强度理论有明确的认识，并能将其应用于组合变形下杆件的强度计算。
8、理解掌握简单超静定问题的求解方法。
9、对能量法的有关基本原理有明确认识，并熟练地掌握一种计算位移的能量方法。
10、对压杆的稳定性概念有明确的认识，能熟练计算轴向受压杆的临界载荷与临界应力，并进行稳定性校核等计算。
11、掌握质点系的质心、刚体的转动惯量、惯性积、惯性主轴和惯性积的平行移轴公式；掌握截面的静矩，形心的位置，惯性矩和惯性积及它们的平行移轴公式，转轴公式。
组合截面的惯性矩、惯性积计算，截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算11、对于常用材料在常温下的基本力学性能及其测试方法有初步认识。
建筑力学第十二章-第十五章
第一节 弯曲变形的概念
1.挠度 2.转角 3.挠度和转角的关系
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程 为了得到挠曲线方程，必须建立变形与外力之间的关系。本书第 十一章在推导梁的应力公式时，已经求得挠曲线曲率ρ和弯矩M之 间的关系，即式（11⁃1）
二、用积分法求梁的变形
图 12-2
第三节 用叠加法求梁的变形
表12-1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移
例12-3 简支梁AB所受荷载如图12-8所示。求跨度中点C的挠度和 支座A的转角。截面抗弯刚度EI
第三节 用叠加法求梁的变形
图 12-8
解：由表12-1查得，在力偶单独作用下，跨度中点C的挠度为
第三节 用叠加法求梁的变形
例12-4 悬臂梁AB受载如图12-9所示。截面抗弯刚度EI为常数。 试用叠加法求截面B的挠度和转
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
自由端受一集中力P作用，梁的弯曲刚度为EI，度求梁的挠度方程 和转角方程，并计算梁的最大挠度和最大转角。
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
图 12-5
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
解：(1)列弯矩方程。
图 12-6
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
(2)列挠曲线近似微分方程。 (3)积分。 (4)确定积分常数。 (5)确定挠度方程和转角方程。 (6)求最大挠度和最大转角。 例12-2 如图12-7所示承受均布荷载q作用，梁的抗弯刚度为EI。 求
解：由表12-1查得，均布荷载q单独作用下截面B的挠度和转角为
第四节 梁的刚度条件
一、刚度条件 在建筑工程中，为了能保证梁正常工作，除了满足强度条件外， 还应满足刚度条件，即把梁在荷载作用下产生的变形控制在工程 允许的范围内。
材料力学 能量法
3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4
可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C
用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)
C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)
工程力学ppt(吴渝玲)哈工大
工程力学
哈尔滨工业大学出版社
前 言
本书主要遵循“以就业为导向，工学结合”的原则，以实用为基础，突出培养应用型人才解决实际 问题的能力。根据专业实际需要进行课程体系设置和教材内容的选取，注重提高案例教学的比重， 强化实际应用。特色鲜明，集高质量与实用性于一体。 本书是为了适应高等教育改革的要求，体现培养应用型人才的特点，在深入调研的基础上组织编 写的，力求体现大学特色。 本书在内容上以“应用”为导向，基础理论以“必须、够用”为度，以渗透“现代力学思想，讲清概 念，减少理论推导，强化生活和工程实际应用”为重点。力求做到知识面适度，内容简明，实用 性强。结构上遵循循序渐进、承上启下的规律；文字上力求语言精练、通俗易懂，坚持少而精， 做到重点突出，理论联系实际，增强应用性。
分布力或线分布力，分布力的大小用符号q表示，计算式如下：
q＝
Δ Δ
F S
(1－1)
式中，ΔS为分布力作用的范围(长度、面积或体积)； ΔF为作用于该部分范围内的分布力的合力； q表示分布力作用的强度，称为荷载集度；若力的分布是均匀的，则称为均匀分布力，简 称均布力。 二、力系 力系是指作用在物体上的一群力。若对于同一物体，有两组不同力系对该物体的作用效
图10 图12
8 图11 图13
9
绪论
二、工程力学的研究内容 为了便于解决工程实际问题及遵从循序渐进的认识规律，本书分为两篇，即第一篇静力学，第二篇材料力学。 在第一篇静力学中，主要研究力的基本性质、物体受力分析的基本方法及物体在力系的作用下处于平衡的条件。 在结构的设计与施工中，一定要用到静力学的知识。如在设计厂房时，就要先分析屋架、吊车梁、柱、基础等构件受到哪些力的作用， 需对它们分别进行受力分析。这些力中的大部分力是未知的，但是，这些构件是在所有这些力的作用下处于平衡的，应用力系的平衡条件， 就可求出未知的那部分力。而要掌握力系的平衡条件，就要研究力的基本性质，研究力系的合成规律。只有应用静力学原理对构件进行受力 分析并算出这些力，才能进一步设计这些构件的断面尺寸及钢筋配置情况等。 在第二篇材料力学中，主要以杆、轴、梁等物体(统称为构件)为研究对象，这些构件的原材料被看作由均匀、连续且具有各向同性的线 性弹性物质所构成。在此假设下，主要研究构件在外力作用下的应力、变形和能量，以及材料在外力和温度共同作用下所表现出的力学性能 和失效行为。材料力学是工程设计的重要组成部分，即设计出杆状构件或零、部件的合理形状和尺寸，以保证它们具有足够的强度、刚度和 稳定性。 在本篇研究中，仅限于材料的宏观力学行为，不涉及材料的微观机理。 在设计传动机构或操作机器时，要分析各部分之间运动的传递与转变，研究某些点的轨迹、速度和加速度，看能否符合要求。如卷扬机 作业时，电机启动后，通过减速机构使卷筒转动，钢丝绳便将重物提升；已知电机的转速，求重物的提升速度，这就属于运动学的问题。若 已知重物的质量及提升速度，要考虑选用多大功率的电机，这就属于动力学的问题。 三、工程力学的学习方法 工程力学系统性比较强，各部分有比较紧密的联系，学习时要循序渐进，并及时解决不清楚的问题。 要注意深入体会和掌握一些基本概念，不仅掌握公式的推导，还应理解其物理意义。 要注意各个章节的主要内容和重点；注意有关概念的来源、含义和用途；要注意各个章节之间在内容和分析问题的方法上有什么不同， 又有什么联系。要学会思考，善于发现问题，并加以解决。 做习题是运用基本理论解决实际问题的一种基本训练。要注意例题的分析方法和解题步骤，从中得到启发。通过做题，可以较深入地理 解和掌握一些基本概念和基本理论，既要做足够数量的习题，更要重视做题的质量。 要学会从一般实际问题中抽象出力学问题，进行理论分析。在分析中，要力求做到既能做定性的分析，又能做定量的计算。
组合变形
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
材料力学第12篇能量方法
(
2 x
2 xy
2 xz
)dV
V 2E 2G 2G
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) F N (x)
dx 图12.9
组合变形时的应变能
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) FN (x)
dx
图12.9
dV
dW
1 2
FN (x)d(l)
1 2
M T (x)d
dF1l EA
F 2l 2EA
1 2
Fl
V
1 2
F l
FN2l 2EA
F
(a)
如果杆件的轴力 FN 分段为常量时
V
n FN2i li i 1 2Ei Ai
△l
l
F
F1
dF1
F A
B △l
O
△ l1 d(△ l1)
△l
(b)
图12.1
杆件轴线的轴力为变量 FN (x) 时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
V
V
v
dV
l
A
1 2G
FbSISzz*图122.d6 A
dx
(d)
γdx
dx
(c) 图12.6
FS( x)
梁的应变能
V
V v dV
{
l
A
[
M 2(x)y
2EI
2 z
2
FS
2
(
x)
S
*2 z
2GI z2b 2
]dA}dx
令
k
A
I
2 z
A
吉林大学材料力学考试大纲
吉林大学材料力学考试大纲
要考的章数为1-14章。
第3章第9节不考弹簧应力和变形不考。
第4章第6节叠加法做弯矩图不考。
第5章第5节弯曲理论对某些问题的扩充不考。
第6章叠加法求弯曲变形不考。
第7章第10节莫尔强度理论和双剪理论不考。
第9章不考。
第10章第3节不考虚功原理不考。
第12章第5节不考。
第13章8节不考弯曲组合构件交变力计算知道公式推算不必计算。
第14章5、6、7节不考。
考试重点
一：画内力图（轴力•剪力•弯矩）
二：组合变形（拉•扭）静不定
三：压杆稳定，弯曲应力
四：应力状态•强度稳定
五：能量法•求位移，变形
六：冲击，动载荷
七：疲劳
八：求变形能（10章能量法）（非必考）（拉分题）（变形能基本公式推倒）
九：推倒公式（拉分题）
十：广义胡克定律
注：考试重点内容考的机率很大。
另外除了考试重点和不考范围之外的内容也要看，只是考的机率没那么大，但并非不考。
材料力学第12章 能量方法
9
(2)剪切变形时的应变能及应变能密度 工程中的剪切变形，一般是与其他变形相伴存 在的，且横截面上的切应力是不均匀分布的。在计 算其应变能时，应以单元体为基础。
图12.3
10
剪切变形时的应变能密度为
可见，剪切变形的应变能密度在数值上等于三 角形OAB的面积。 杆件的剪切应变能为
11
(3)圆轴扭转时的应变能 圆轴扭转时，如果材料应力应变关系处于线弹 性范围，则扭矩MT与扭转角φ的关系也是一条直线 ，如图12.4（b）所示。仿照杆件拉伸应变能的证 明，则变形过程中扭矩所做的功在数值上等于三角 形OAB的面积。有
4
那么，在外力从F1增加到F1+dF1的过程中， 外力功的增量为 当外力从零开始逐渐增加到F值时，则外力功 为 代入 ，得
5
图12.1
6
根据功能原理公式（12.1），则应变能为
式（12.3）为等截面直杆在轴力为常量条件下 的应变能计算公式。如果杆件的轴力FN分段为常 量时，应变能应为各段应变能的总和，即
7
积分可得整个杆件的应变能Vε为 为了更全面地了解应变能，还要知道单位体积 内的应变能，即应变能密度（strainenergy dens ity）由式（a）得应变能密度vε
8
显然，应变能密度vε的数值等于如图12.1（c） 所示三角形oab的面积。这样，又可以将上式的应 变能密度和应变能式（12.5）改写为
第12章
第一节 概述
能量方法
在工程结构分析中，经常需要计算结构和构件 的变形。使用一般的方法（如积分法）进行变形计 算时，需要分析结构和构件的具体变形形式，计算 工作量大。特别是对于刚架、桁架和曲杆等变形复 杂的超静定结构，一般方法根本无法完成。工程上 通常采用能量原理完成结构和构件的变形分析。
第十二章第3节 物质的制备(共109张PPT)
[固本自测] 1. 实验室用贝壳与稀盐酸反应制备并收集CO2气 体，下列装置中合理的是________。
答案：b、d 解析：收集CO2应用向上排空气法，a错误，c中 气体从长颈漏斗逸出。
知识点二
几种重要物质的制备
1．乙酸乙酯的制备 (1)原理 浓硫酸 CH3COOH＋CH3CH2OH CH3COOCH2CH3＋H2O △
牢记常见气体实验室制法的5个反应原理： MnO2 (1)O2：2H2O2=====2H2O＋O2↑。 (2)H2：Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑。 (3)CO2：CaCO3＋2HCl===CaCl2＋CO2↑＋H2O。 △ (4)Cl2：MnO2＋4HCl(浓)=====MnCl2＋Cl2↑＋2H2O。 (5)NH3：2NH4Cl＋Ca(OH)2 2H2O。 △ ===== CaCl2＋2NH3↑＋
B
B
A
(2)收集方法： 排水法
。
(3)验满方法：用带火星的木条放在集气瓶瓶口。 2．制备氢气和二氧化碳 (1)气体发生装置
(2)反应原理 ①制H2： Zn＋H2SO4(稀)===ZnSO4＋H2↑ 。 ②制CO2：CaCO3＋2HCl(稀)===CaCl2＋H2O＋CO2↑。 (3)收集方法 ①H2： 排水法或向下排空气法 。 ②CO2： 向上排空气法 (用燃烧的木条放在瓶口 验满)。 饱和NaHCO3溶液 (4)净化方法 制取的CO2：用 除去HCl。
(2)操作步骤 加热蒸馏水至沸腾，逐滴滴加饱和氯化铁溶液，加热至液 体呈 红褐色 停止加热，不可搅拌。
[特别提醒] (1)在制备乙酸乙酯时，浓H2SO4的 作用为催化剂和吸水剂。 (2)在制备Fe(OH)3胶体时，不能长时间加热，否 则胶体易聚沉。
804工程力学
西安理工大学研究生招生入学考试《工程力学》考试大纲科目代码：804科目名称：工程力学第一部分课程目标与基本要求一、课程目标“工程力学”是机械类和土木水利类学科的一门专业基础课，本课程主要考查考生对工程力学基本概念的理解；对物系平衡以及对工程设计中有关构件的强度、刚度、稳定性等问题有明确的认识，掌握材料力学的基本概念、基本定律及必要的基础理论知识，应具备综合运用工程力学知识解决问题的能力。
考生二、基本要求充分理解和掌握工程力学的基本概念、基本原理和基本方法，能熟练运用平衡的概念和强度、刚度、稳定性的理论对相关力学问题进行分析。
重点掌握：刚体及刚体系统的静力平衡和拉压、扭转、弯曲的基本问题；会求解拉压和弯曲的超静定问题；应力状态和强度理论；组合变形；压杆稳定。
第二部分课程内容与考核目标绪论：课程的目的与任务，研究对象和研究方法，基本假设，杆件的基本变形。
静力学：第一章静力学公理和物体的受力分析1、深入理解并掌握刚体和力等概念；2、深入理解并掌握静力学公理；3、熟练掌握物体的受力分析和受力图。
第二章汇交力系1、理解并掌握平面汇交力系合成的几何法和平衡的几何条件；2、平面汇交力系合成的解析法和平衡的解析条件、平衡方程；第三章力偶理论1、深入理解并掌握力对点之矩；2、了解平面力偶理论；3、平面力偶系合成和平衡条件。
第四章平面一般力系1、深入理解并掌握平面任意力系向作用面内一点简化、力系的主矢和主矩、力系简化的各种结果、平面任意力系的平衡条件和平衡方程；2、熟练掌握物体系统的平衡求解；3、理解并掌握考虑摩擦时物体的平衡问题.第五章空间一般力系1、理解并掌握空间汇交力系的合成和平衡条件；2、熟练掌握力对点的矩和力对轴的矩；3、了解空间任意力系向一点简化和空间任意力系的平衡方程。
4、了解平行力系的中心与重心。
材料力学第六章轴向拉伸与压缩1、熟悉内力和应力（横截面及斜截面上）的计算；2、掌握轴向拉伸与压缩时的变形计算；3、了解材料的力学性质，塑性材料与脆性材料力学性能的比较；4、熟练应用超静定概念和简单拉压超静定计算；5、理解应力集中的概念；6、掌握工程剪切、挤压问题的实用计算方法。
第十二章---压杆稳定(习题解答)
12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。
试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？N BB CN B AB CC D解：（1）各杆的临界力222..222cr BD cr EI EI P P aaππ===外（2）求各杆的轴力与P 的关系。
由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N NN N ===。
研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。
第一种情况：C:)02450CB CB X P N cos N =→--=→=-∑ 压杆B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P =→--=→==∑拉杆 令2,.2=C B cr C B cr EI N P P P aaπ=-==↔外第二种情况： )C B P N =拉杆 ()-BD BC N P ==压杆22.22-==22BD BC cr BD EI EI N P P P aaππ===↔12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。
试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。
0.57101.04xz xz yl i μλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。
27242.490.200xy xy zli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
m ax(.)242.49xz xy λλλ==（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr cr E P A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。
复合材料力学答案
复合材料力学答案【篇一：材料力学】教程第二版 pdf格式下载单辉祖主编本书是单辉祖主编《材料力学教程》的第2版。
是根据高等工业院校《材料力学教学基本要求》修订而成。
可作为一般高等工业院校中、少学时类材料力学课程的教材，也可作为多学时类材料力学课程基本部分的教材，还可供有关工程技术人员参考。
内容简介回到顶部↑本教村是普通高等教育“十五”国家级规划教材。
. 本教材仍保持第一版模块式的特点，由《材料力学(Ⅰ)》与《材料力学(Ⅱ)》两部分组成。
《材料力学(Ⅰ)》包括材料力学的基本部分，涉及杆件变形的基本形式与组合形式，涵盖强度、刚度与稳定性问题。
《材料力学(Ⅱ)》包括材料力学的加深与扩展部分。
本书为《材料力学(Ⅱ)》，包括非对称弯曲与特殊梁能量法(二)、能量法(二)、静不定问题分析、杆与杆系分析的计算机方法、应力分析的实验方法、疲劳与断裂以及考虑材料塑性的强度计算等八章。
各章均附有复匀题与习题，个别章还安排了利用计算机解题的作业。
..与第一版相同，本教材具有论述严谨、文字精炼、重视基础与应用、重视学生能力培养、专业面宽与教学适用性强等特点，而且，在选材与论述上，特别注意与近代力学的发展相适应。
本教材可作为高等学校工科本科多学时类材料力学课程教材，也可供高职高专、成人高校师生以及工程技术人员参考。
以本教材为主教材的相关教学资源，尚有《材料力学课堂教学多媒体课件与教学参考》、《材料力学学习指导书》、《材料力学网上作业与查询系统》与《材料力学网络课程》等。
...作译者回到顶部↑本书提供作译者介绍单辉祖，北京航空航天大学教。
1953年毕业于华东航空学院飞机结构专业，1954年在北京航空学院飞机结构专业研究生班学习。
1992—1993年，在美国特拉华大学复合材料中心．从事合作研究。
.历任教育部工科力学教材编审委员、国家教委工科力学课程指导委员会委员、中国力学学会教育工作委员会副主任委员、北京航空航天大学校务委员会委员、校学科评审组成员与校教学指导委员会委员等。
《材料力学》第十二章-求变形的能量法
3 虚功的计算 外力：P1, P2,……, 虚位移：a1, a2,……., 外力虚功： 内力：N, M,… 虚变形：
We=P1a1+P2a2+……..
内力虚功：
由 We=Wi
虚功原理是最一般的功能原理
对于梁，施加单位力P=1, 力P产生的内力 则有：
莫尔定理
小结： 1 变形位能的概念 2 卡氏定理 3 莫尔定理 4 互等定理 5 虚功原理 作业：12.19, 12.20
2 ( x)
2G
L
dv
2 w ( x)
L
2E
dv
内力表达的变形位能
应力表达的变形位能
结
论
1. 变形位能是状态函数 （同最终的力和变形有关）
11
2. 变形位能的计算不能用叠加原理
如何解释交叉项？ 单独作用时 则 交叉项是两个载荷相互作用的外力功
〈解释1〉
载荷
在载荷
引起的位移上做的功
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构
例
A
求等截面直梁C点的挠度和转角（例 12.3 [P356]）
q B x a C
A
P0 =1
B
a
a
C
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
qx2 M ( x ) aqx 2
③变形
q A x a C B A P0 =1 B
a
a
C
a
对称性
④求转角，重建坐标系（如图）
q
A
§12–3 莫尔定理 Mohr Theory
q(x)
A
在实载荷下得到
相应内力如弯矩为M(x) 如何计算任一点A的位移？ 1、 在A点加虚单位力
材料力学第十二章压杆的稳定
Pcr
=
π 2 EI (µL)2
= π 2EI
L2e
- - - - Euler formula
where : Le = µ L - - effective length;
µ - - coefficient of length concerned with boundary conditions
12-2 Limitation of the Euler Formulas and Slenderness
3. Stability
n=Pcr/Pmax=406/42=9.7 >nallow=8
Being in stable
12-3 提高压杆稳定性的措施
●尽量减小压杆长度 对于细长杆,其临界载荷与杆长平方成反比。因此,减小杆长可以显著
地提高压杆承载能力。在某些情况下,通过改变结构或增加支点可以达到 减小杆长、提高压杆承载能力的目的。例如,图a、b所示的两种桁架,不难 分析,两种桁架中的杆①、④均为压杆,但图b中的压杆承载能力要远远高 于图a中的压干杆。
Find the shortest length L for a steel
column with pinned ends having a cross-sectional area of 60
by 100 mm, for which the elastic Euler formula applies. Let
●合理选用材料
在其它条件均相同的情形下,选用弹性模量E数值大的材料,可以提高大 柔度压杆的承载能力,例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界 载荷。但是,普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不 大。因此,对于细长杆,若选用高强度钢对压杆临界载荷影响甚微,意义不大, 反而造成材料的浪费。但对于粗短杆或中长杆,其临界载荷与材料的比例 极限σP,和屈服强度σYP有关,这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。
第十二章工程力学之组合变形方案
将T分解为沿AC杆轴线的分量Tx和垂直于轴线的分量Ty
Tx T cos 30 40
3 34.6KN 2
Ty
T
sin 30
40
1 2
20KN
可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变 形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。
32 M
d 3
4 15 103
d 2
32 6 103
d 3
根据强度条件 t max [ ]
有
4 15 103
d 2
32
6 103
d 3
35 106
由上式可求得立柱的直径 d≥122mm
例12-3：如图12-6（a）所示，电动机的功率为9kW，转速为 715r/m，皮带轮直径D=250mm，电动机主轴外伸部分长度为 l=120mm，直径d=40mm。求外伸部分根部截面A、B两点的应力。
二、叠加原理
杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理： 实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下， 杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷 单独作用下所产生的应力和变形的总和。
当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一 系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下 所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下 的应力和变形。
M
M max Wy
35 103 2 152 106
115106
115MPa
截面上的弯曲正应力分布如图12-4（c）所示。 （4） 组合变形下的最大正应力
材料力学12(1)
（二）斜弯曲时的强度条件 a. 中性轴与z轴的夹角
tan Iz M y 12 1
Iy Mz
以图12-2为例，此时中性轴位置的表达式为：
图12-2
tan
Iz Iy
P sin l P cos l
x x
Iz Iy
tan
12 1
tan
Iz Iy
P sin l P cos l
例3图
例3图
受力简图
解（一）外力分析
将各力向圆轴的 截面形心简化， 画出受力简图。
（二）内力分析
画出内力图如图， 从内力图分析，B截面 为危险截面。B截面上 的内力为：
扭矩： Mn 1KN m
弯矩：
M M
z y
0.364KN 1KN m
m
总弯矩为：
MB
M
2 z
M
2 y
1.06KN
m
i
2 y
ez
12
4
式(12-4)中ay, az为中性轴在直角坐标轴上的截距（图12-3）； ey, ez为偏心力P的作用点的位置（图中E点），iy, iz为惯性半径， 其计算式为：
i
y
Iy A
iz
Iz A
b. 正应力强度条件 最大正应力和最小正应力发生在离中性轴最远的点，危
险点的应力状态是单向应力状态，建立的强度条件为：
若圆杆受扭转与拉伸（压缩）的联合作用，危险点的应
力状态与图12-4相同，只是正应力为
N
N A
，强度条
件用式 (12-6) 和式(12-7)来计算，式中 M以 N 代替。
图12-4 若圆杆受拉伸（压缩）、弯曲和扭转的联合作用，
危险点应力状态还是图12-4所示的单元体，此时正应