备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题五非线性规划问题 Word版含解析

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2017高考数学(全国通用)冲刺985优等生拔高系列讲义—专治各种学霸不服--第六章不等式

第六章不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题1 不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析． 1．1 函数性质法一、一次函数——单调性法给定一次函数()()0y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[],m n 内恒有()0f x >，则根据函数的图像（线段）（如右下图）可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或（2）0,()0.a f n <⎧⎨>⎩可合并定成()()0,0.f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩同理，若在[],m n 内恒有()0f x <，则有()()0,0.f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩例1．若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围．二、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ．类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或例2．已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立．则m 取值范围是（） A ．()1,0- B ．[]1,0- C ．()(),10,-∞-+∞ D ．(]1,0-例3．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（）A ．()0,2B ．()0,8C ．()2,8D ．(),0-∞三、其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．例4．（07年重庆卷理20)已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a ，b 为常数．（1）试确定a ，b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围．例5.（08天津文21）设函数432()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．（节选）例6.（09年全国卷II 文21）设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >．（II ）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围．（节选）1．2 分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例7.（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[-2,1]D .[-2,0]例8.（07年山东卷文15)当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是．例9.（09年山东卷文21）已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠．（1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．例10．（2010天津高考理16）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是．1．3 主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．例11.（07辽宁卷文科22)已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数 t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤．(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-，恒有2()11f x x mx ≥--，求x 的取值范围．例12．(08安徽文科20)已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．（Ⅱ）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．（节选）1．4 数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．例13. (07安徽理科3)若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）(A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥例14.若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围．例15．若不等式log sin 2(01)a x x a a >>≠且对于任意x ∈(0,]4π都成立，求a 的取值范围．1．5 消元转化法例16．已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围．2 不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()maxf x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()max D x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>，而含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()minDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()maxDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔>．例17．若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．例18．已知函数()()21ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围3 不等式恰好成立问题的处理方法例19．已知()22x x af x x++=当[)()1,,x f x ∈+∞的值域是[)0,+∞，试求实数a 的值．例20．已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(， ⑴若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f =，求实数a 的取值范围； ⑵若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，求实数a 的取值范围； ⑶若对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围； ⑹若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围； ⑺若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围.【迁移应用】1．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】若存在正数x 使2()1xx a -<成立，则a 的取值范围是（）A ．(,)-∞+∞B ．(2,)-+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞ 2．【2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】设0a <，()()2320x a x b ++≥在(),a b 上恒成立，则b a -的最大值为（）A ．13B ．12C ．33 D ．223.设集合{}2A=230x x x +->，集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞ 4.设函数22,0()log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（）A ．14 B ．12C ．2D ．4 5.函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立，则22b a ab-的最大值是（） A ．3 B ．154 C ．4 D ．1946.集合()*{,,S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是( )（A ）(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ （C ）(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉ 7．【湖南湘中名校2014届高三上学期第一次大联考数学8】已知()()21,2xf x xg x m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若对任意的[]11,3x ∈-，存在[]20,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ( )A ．14m ≥ B ．1m ≥C ．0m ≥D ．2m ≥8．【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+ 恒成立，则实数m 的取值范围是________．9．【2016届浙江省富阳市二中高三上学期第二次质量检测】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．10.若函数x x x f 3)(3+=对任意的0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m 恒成立，则∈x ．11.若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意实数1x 、2x ，当212ax x ≥>时，0)()(21<-x f x f ，则实数a 的取值范围为 .12若对满足条件8x y xy ++=的正实数,x y 都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .13对于在区间[a ，b ]上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[a ，b ]中的任意x 均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[a ，b ]上是“密切函数”， [a ，b ]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=x x x m 与32)(-=x x n 在区间[a ，b ]上是“密切函数”，则b a -的最大值为．14已知函数 f(x)=xlnx, g(x)=-x 2+ax-3. (1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a 的取值范围. (3)求证:对一切x∈(0,+∞),都有xlnx>e ex x2-.15已知二次函数()2,f x ax x =+若对于任意12,x x R ∈,恒有()()121222x x f f x f x +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭成立，不等式()0f x <的解集为A. (1)求集合A ；(2)设集合{}4B x x a =+<，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围.16．已知实数0,0a b >>，且2292a b +=，若a b m +≤恒成立. （1）求实数m 的最小值；（2）若2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围.17.已知函数()f x x m=-，函数()()m m x f x x g 72-+⋅=．（1）若1=m ，求不等式()0≥x g 的解集；（2）若对任意(]4,1∞-∈x ,均存在[)23,x ∈+∞,使得()()21x g x f >成立，求实数m 的取值范围．18.已知函数1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，，()()|2|g x af x x =--，R a ∈.（Ⅰ）当0a =时，若()|1|g x x b ≤-+对任意(0)x ∈+∞，恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，求函数()y g x =的最小值.问题二线性规划中的参数问题简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．类型一目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x 的系数为参数【例1】【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试7】x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A ．12或1-B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【牛刀小试】【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-32．目标函数中y 的系数为参数【例2】已知变量,x y 满足约束条件 23110,480,20,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若目标函数()0z x ay a =->的最大值为1，则a = ．3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ，y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最小值为2，则ab 的最大值为．【牛刀小试】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】设x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则b a 32+的最小值为（） A ．625 B ．38 C ．311D ．4 4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()()22211:r y x C =+++()0>r 不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是( )A ．[]52,22 B ．(]23,22 C ．(]52,23 D ．()()+∞⋃,5222,0【牛刀小试】【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a ＞0，a ≠ 1)的图象过区域M 的a的取值范围是（）（A ）[1，3] （B ）[2，] （C ）[2，9] （D ）[，9]类型二约束条件中含参数由于约束条件中存在参数，∴可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．【例5】“3m ≥”是“关于x 、y 的不等式组020100x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【牛刀小试】【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】实数k y x ,,满足223010,x y x y z x y x k +-≥⎧⎪-+≥=+⎨⎪≤⎩若的最大值为13，则k 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型三目标函数及约束条件中均含参数【例6】设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数my x z +=的最大值大于2，则m 的取值范围为（）．A ．()21,1+B ．()+∞+,21 C ．()3,1 D ．()+∞,3 【牛刀小试】【2014新课标Ⅰ高考】设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3【迁移应用】1.【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围为A ．[1,2]-B ．[2,1]-C ．[3,2]--D ．[3,1]- 2.【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（） A ．14 B ．12C ．1D ．2 3．【2016届甘肃省会宁县一中高三上第四次月考】已知由不等式00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，则k 的值（） A ．2- B ．1- C ．3- D ．24．【2016届福建省厦门一中高三上学期期中】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩ ，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（）A 、—2B 、—1C 、1D 、25．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】已知0a >，,x y 满足约束条件13(2)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最大值为112，则a =（） A ．14 B ．12C ．1D ．2 6．【2016届湖南省东部株洲二中六校高三12月联考】实数x ，y 满足2x ay x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩（1a <），且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（） A ．211 B ．14 C ．12 D ．1127.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为－2，则k 的值为（）．A ．1B ．-1C ．2D ．-28.若x ，y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是（A ）(4,2)- （B ）(4,1)- （C ）(,4)(2,)-∞-+∞ （D ）(,4)(1,)-∞-+∞9．设点（,a b ）是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,+∞）上是增函数的概率为（） A ．14 B ．23 C ．13 D ．1210.设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为（）11.若实数,x y 满足20,2360,6100.x ky x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩其中0k >，若使得1y x +取得最小值的解(),x y 有无穷多个，则k 等于 ( )A ．1B ．2C ．1．5D ．312．变量,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，若使z ax y =+取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是（）A ．{3,0}-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-13．设关于x ，y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是( ) A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14．当实数,x y 满足不等式0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有2ax y +≤成立，则实数a 的取值集合是（）A ．(1,1]-B ．(1,2)C ．(0,1]D ．(,1]-∞ 15三个正数a ，b ，c 满足2a b c a ≤+≤，2b a c b ≤+≤，则ba的取值范围是（） A ．23[,]32 B ．2[,2]3 C ．3[1,]2D ．[1,2]16．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1，0）对称，,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为（）A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,017.已知函数321()(1)(3)23f x x b x a b x b =+---+-的图像过原点，且在原点处的切线的斜率是3-，则不等式组00x ay x by -≥⎧⎨-≥⎩所确定的平面区域在圆224x y +=内的面积为（）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π18.已知实数x ，y 满足不等式组2040250x y ,x y ,x y ,-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩若目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为( ) (A)a<-l (B)0<a<l (C)a ≥l (D)a>119.已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]20．已知△ABC 的顶点A （3，0），B （0，1），C （1，1），P （x ，y ）在△ABC 内部（包括边界），若目标函数z=（a≠0）取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a ，b ）的轨迹可能是（）21．若关于x ，y 的不等式组0, , 10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = ．22．若不等式组50,5,02x y y kx x -+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k 的取值范是．23.设实数x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z abx y =+（0,0a b >>）的最大值为8，则a b +的最小值为．24．【北京市西城区2014届高三一模（理）】若不等式组126axyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是_______．25．【2014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试（一）】如图，已知可行域为ABC∆及其内部，若目标函数z kx y=+当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围是______．问题三利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题不等式问题始终是高考数学的热点题型之一，而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例，对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考．I 基础知识1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+；（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．2．（1）若00a ,b >>，则ab ba ≥+2；（2）若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；（3）若00a ,b >>，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． 3．若0x >，则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <，则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠，则12x x +≥，即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当ba =时取“=”）．4．若0>ab ，则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠，则2a bb a +≥，即2a b b a +≥或2a bb a+≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 5．若R b a ∈,，则22222a b a b 骣++琪£琪桫（当且仅当b a =时取“=”）．II 拓展1．一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b++≤≤≤+． 2.()()22223()3ab bc ca a b c a b c++≤++≤++3．函数()()0,0bf x ax a b x=+>>图象及性质（1）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如右图所示：（2）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：()22,ab ab,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣； ②单调递增区间：,,,b ba a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；单调递减区间：0,,,0b ba a ⎛⎤⎡⎫- ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．III 基本不等式的应用一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，应注意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中，以定值为本．因为在一定限制条件下，某些代数式需经过一定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值，而怎样变式，完全取决于定值的作用．主要有两种类型：一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式．类型一给出定值【例1】【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知,a b ∈R ，且24a b +=，则33ab +的最小值为（）A ．23B ．6C ．33D ．12【牛刀小试】设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是__________．类型二未知定值【例2】已知二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b +-的最小值为A ．1B ．2C ．2D ．22【牛刀小试】【2010江苏高考第14题】将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2S =梯形的周长梯形的面积，则S 的最小值是_________．技巧一：凑项【例3】已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值．【牛刀小试】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知()()1,2,1216a b a b >->-++=，则a b +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7技巧二：凑系数【例4】当04x <<时，求()82y x x =-的最大值．【牛刀小试】设230<<x ，求函数()432y x x =-的最大值．技巧三：分离【例5】求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域．【牛刀小试】【2016届江西省南昌市二中高三上第四次考试】已知a ，b 都是负实数，则b a bb a a +++2的最小值是（） A ．65B ．2（﹣1）C ．221-D ．2（+1）技巧四：换元上述例5也可以用换元法求解．【牛刀小试】已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求y ＝1ab的最小值．技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．【例6】已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值．【牛刀小试】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】若圆222410x y x y +---=上存在两点关于直线220ax by +-=(0,0)a b >>对称，则14a b+的最小值为（） A ．5 B ．7 C ．22 D ．9技巧六：取平方【例7】已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值．【牛刀小试】求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值．技巧七：构造要求一个目标函数),(y x f 的最值，我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得),(y x f 的最值．【例8】【2010重庆理】已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为（） A ． 3 B ． 4 C ． 92 D ． 112【例9】【2011浙江高考题理16】设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是．【牛刀小试】【2011浙江高考题文16】若实数x,y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是．【牛刀小试】若正数,a b 满足(3)(2)6a b --=，则ab 的最小值为．技巧八：添加参数【例10】若已知0,,>c b a ，则bcab c b a 2222+++的最小值为．【牛刀小试】设w z y x ,,,是不全为零的实数，求22222w z y x zwyz xy +++++的最大值．【牛刀小试】设,,x y z 是正实数，求2221010x y z xy yz zx++++的最小值．二：利用基本不等式证明不等式基本不等式ab ba ≥+2()00a ,b >>具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，并且有很多不同的变形，如：()222222,,,201122a ba b baa b ab ab ab a ba b+++常??+等，所以利用基本不等式及其变式证明不等式既方便又具有很大的技巧．类型一轮换对称型【例11】设000a ,b ,c ,>>>求证：222a b c a b c b c a++≥++．类型二用“1”代换型【例12】已知00a ,b >>，且1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【牛刀小试】已知000a ,b ,c ,>>>且1a b c ++=．求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例13】若11,22a b ≥-≥-且1a b +=，求证：212122a b +++≤．应用三：基本不等式与恒成立问题【例14】已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．【牛刀小试】若2()x xy a x y +≤+对任意的正实数,x y 恒成立，求a 的最小值．应用四：均值定理在比较大小中的应用【例15】若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是．应用五：利用基本不等式处理实际问题【例16】有一边长为,a b （a b ≥）的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？【迁移运用】1．【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知正实数a ，b 满足321=+ba ，则()()21++b a 的最小值是（）A ．163 B ．950 C ．499D ．62【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yxy x ,则yx 311+的最小值是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知实数m ，n ，若0≥m ，0≥n ，且1=+n m ，则1222+++n n m m 的最小值为（） A ．41 B ．154 C ．81 D ．31 4．【2016届河北省正定中学高三上学期期中】设,x y 均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为A ．4B ．43C ． 9D ．165．【2016届辽宁省抚顺市一中高三12月月考】若正数y x ,，满足xy y x 53=+，则y x 34+的最小值是（）A ．2B ．3C ． 4D ．56.已知函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）．A ．22B ．5C ．23+D ．237．【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试8】小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和()b a b <，其全程的平均时速为v ，则（） A ．a v ab << B ．v ab = C ．2a bab v +<<D ．2a b v +=8．下列命题中正确的是 A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且B ．当0>x ，21≥+xxC ．当20πθ≤<，θθsin 2sin +的最小值为22D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 9．实数y x ,满足y x yx -=，则x 的取值范围是． 10．【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+ 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 11．【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的最小值为．12．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知x ，y 均为正实数，且32x y +=，则2x y xy+的最小值为． 13．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】己知0a >，0b >，且1a b +=，则2211(1)(1)a b--的最小值为_______，21a ab +的最小值为． 14．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】己知0a >，0b >，1c >，且1a b +=，则212(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为． 15．【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为． 16．【2016届浙江省嘉兴市一中高三上学期能力测试】若实数,a b 满足436a b ==，则12a b+=_______． 17．（本小题满分12分）(原创)已知函数()x a f x x b +=+（a 、b 为常数）．（1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<；（2）若1a =，当[]1,2x ∈-时，21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围．18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +﹣b =0．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求bsinB+csinC的最小值．19．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km，按交通法规定：这段公路车速限制在40100（单位：km h）之间．假设目前油价为7.2（单位：元/L），汽车的耗油率为23360x⎛⎫+⎪⎝⎭（单位：L h），其中x（单位：km h）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其它费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？（注：租车总费用=耗油费+司机的工资）。

备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题四简单的线性规划问题 Word版含解析

I ．题源探究·黄金母题【例1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪．1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14g 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？【解析】设每天食用x kg 实物A ，y kg 实物B ，总成本为z 元，则0.1050.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数为2821.z x y =+二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域（如图），即可行域．考虑2821z x y =+，将它变形为4321z y x =-+，这是斜率为43-，随z 变化的一族精彩解读【试题来源】人教版A 版必5第88-89页例5．【母题评析】本题考查线性规划问题，作为基础题，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】解决此类问题的关键是通过线性约束条件，准确作出可行域，再根据目标函数的几何意义解题．平行直线．是直线在y 轴上的截距，当21z取得最小值时，z 的值最小．当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21z最小，即z 最小．解方程组775,1476,x y x y +=⎧⎨+=⎩得点14,77M ⎛⎫⎪⎝⎭，因此，当14,77x y ==时，2821z x y =+取最小值，最小值为16．由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（） A ．0 B ．3 C ．4D ．5【答案】C ．【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C ．【命题意图】本题主要考查线性规划问题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，属于容易题．【难点中心】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围．若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解．如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解．【例3】【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为__________．【答案】32．【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．【命题意图】本题考查简单的线性规划问题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为基础题．【难点中心】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．III ．理论基础·解题原理1．二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式(),,0Ax By C ++><≥≤在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧的所有点的平面区域．对于在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(),x y ，实数Ax By C ++的符号相同，故只需在此直线的某一侧取一个特殊点()00,x y，由实数00Ax By C ++的符号，即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域．2. 线性规划的有关概念：（1）线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，故又称线性约束条件．（2）线性目标函数：关于,x y 的一次式2z x y =+是欲达到最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫线性目标函数．（3）线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．（4）可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(),x y 叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，属于基础题．【技能方法】1．判断二元一次不等式(),,0Ax By C ++><≥≤表示的平面区域的方法：（1）特殊点法（线定界，点定域）；（2）符号判断法（同上异下）． 2.求解线性规划问题的一般步骤：（1）列出线性约束条件及线性目标函数；（2）作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线；（3）平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；（4）求值——解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.【易错指导】（1）画不等式表示的平面区域，若含等号，则边界线画成实线；否则边界线画成虚线．（2）线性目标函数()0z ax by b =+≠的几何意义：zb是直线0ax by z +-=在y 轴上的截距．（3）整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点；最优解一定是可行解；但可行解不一定是最优解；最优解可能唯一，也可能有无穷多个或者无最优解．在实际问题中变量,x y 除了受题目中已知的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及以人数为变量的实际应用题中，人数必须是自然数，在解题中不要忽视这些隐含的制约条件．V ．举一反三·触类旁通考向1 简单的线性规划问题【例4】【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（）A ．4-B ．6C ．10D ．17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B ．【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．【跟踪训练】【2016辽宁大连双基测试】已知点(,)x y 满足不等式组43021032190x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=-的最大值为（）A ．7-B ．1-C ．1D ．2考向2 线性规划应用题【例5】【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………① 目标函数2100900z x y =+．二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域．将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，平行直线73y x =-，当直线73900zy x =-+经过点M 时，z 取得最大值．解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标(60,100)．【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合．本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误．【跟踪训练】【2016高考天津文数】(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数．(Ⅰ)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．(1)【解析】（Ⅰ）根据生产原料不能超过A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（Ⅱ）目标函数为利润y x z 32+=，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润．试题解析：（Ⅰ）由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3z的值最大，即z 的值最大．解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，所以112243202max =⨯+⨯=z ．答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．(2)【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法．考向3 线性规划中的参数问题【例6】【2016年湖北师大一附中高三一模测试】已知变量,x y 满足48050,10x y x y y +-+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥若目标函数(0)z ax y a =+>取到最大值6，则a 的值为( ) A ．2 B ．54 C ．524或 D ．2- 【答案】B【解析】由4805010x y x y y +-+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥所确定的可行域为如下图所示的三角形ABC ，若直线y ax z =-+的斜率a -满足41a -≤-≤-，即14a ≤≤时，由图可知，直线y ax z =-+通过可行域内的点(4,1)B 时z 有最大值，此时max 416z a =+=得54a =，符合题意；当直线y ax z =-+的斜率a -满足4a -<-或10a -<-<，即01a <<或4a >时，直线通过可行域内的点(1,4)C 时z 有最大值，此时max 46z a =+=得，2a =，不符合题意，舍去，故选B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．【跟踪训练1】【2016年厦门一中高三质检卷】若,x y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，当且仅当3x y ==时，z ax y =+取得最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．23,35⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．32,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．3253，⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．23,,35⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】【跟踪训练2】【2016辽宁大连八中、二十四中联考】7、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，则目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为11，则b a +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】考向4 线性规划与解析几何【例7】【2016高考浙江文数】若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）ABCD【答案】B【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．【跟踪训练】【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（）A ．B ．4C ．D ．6 【答案】C【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由2=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R ，===AB QR ．故选C ．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．考向5 线性规划与平面向量【例8】【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题】已知O 是坐标原点，点A （﹣2，1），若点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【跟踪训练1】【2016山东实验中学打靶测试】已知O 为坐标原点，(3,4)A ，点(,)P x y满足约束条件31010x y x y x +≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则cos OP AOP ∠的最大值是．【答案】511【跟踪训练2】【甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题】已知不等式组002x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的区域为D ，(,)M x y 是区域D 内的点，点(12)A -，，则z OA OM =⋅的最大值为．【答案】2．【解析】。

备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题二不等式的解法含解析

I ．题源探究·黄金母题【例1】求不等式错误!未找到引用源。

的解集．【解析】注意到错误!未找到引用源。

，所以原不等式的解集为错误!未找到引用源。

．精彩解读【试题来源】人教版A 版必5第78页例1．【母题评析】本题考查了一元二次不等式的解法．作为基础题，不等式的解法是历年来高考的一个常考点．【思路方法】可以借助二次函数的图像解一元二次不等式．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考上海理数】设x 错误!未找到引用源。

，则不等式错误!未找到引用源。

的解集为__________．【答案】(2,4)．【解析】由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解绝对值不等式关键是去掉绝对值符号，再进一步求解．本题也可利用平方法．【例3】【2015高考江苏，7】不等式错误!未找到引用源。

的解集为________．【答案】错误!未找到引用源。

【解析】由题意得：错误!未找到引用源。

，解集为错误!未找到引用源。

【命题意图】本题主要考查指数不等式与一元二次不等式的解法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解答此类问题，关键在于熟记常见不等式的解法．III ．理论基础·解题原理考点一一元二次不等式我们把只含有一个未知数并且未知数的最高次项的次数是2的不等式叫做一元二次不等式．当错误!未找到引用源。

时，（1）若方程错误!未找到引用源。

的两实根分别为错误!未找到引用源。

，则不等式错误!未找到引用源。

的解集为错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

，不等式错误!未找到引用源。

的解集为错误!未找到引用源。

；（2）若方程错误!未找到引用源。

的两实根分别为错误!未找到引用源。

备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题三不等式恒成立问题含解析

I．题源探究·黄金母题【例1】当错误!未找到引用源。

取何值时，一元二次不等式错误!未找到引用源。

对一切实数错误!未找到引用源。

都成立？【解析】由已知结合二次函数的图像可得错误!未找到引用源。

解得错误!未找到引用源。

．所以当错误!未找到引用源。

时，一元二次不等式错误!未找到引用源。

对一切实数错误!未找到引用源。

都成立．精彩解读【试题来源】人教版A版必5第4页例3．【母题评析】本题考查一元二次不等式恒成立参数取值范围问题．不等式恒成立问题，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】合理运用二次函数的图像及其性质解题．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考浙江理数】已知实数错误!未找到引用源。

（）A．若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

B．若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

C．若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

D．若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

【答案】D【解析】采用反例排除法：令错误!未找到引用源。

，排除此选项A；令错误!未找到引用源。

，排除此选项B；令错误!未找到引用源。

，排除此选项C，故选D．【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质，属于创新题，有一定的难度．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．【例3】【2014湖北15】如图所示，函数错误!未找到引用源。

的图象由两条射线和三条线段组【命题意图】本题综合考查函数的图成．若错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则正实数错误!未找到引用源。

的取值范围是．【解析】错误!未找到引用源。

．【解析】由已知得错误!未找到引用源。

一非线规划问题的几种求解方法1罚函数法外点法

第三步：主程序main1.m
%最速下降方法实现一个非线性最优化问题 % min f(x)=2*x1^2+x2^2 global x0 x0=[ 1 1 ]; yefi=0.0001; k=1; d=-fun1gra(x0); lamada=1;
主程序main1.m（续）
while sqrt(sum(d.^2))>=yefi
对参数nonlcon的进一步示例
x12 x22 x32 100
x12 10x32 60
x1 x22 Leabharlann 3 802个不等式约束，x13
x
2 2
x3
80
2个等式约束
3个决策变量x1，x2，x3 如果nonlcon以‘mycon1’作为参数值，则程序 mycon1.m如下
对照约束条件编写myfun1.m
一、非线性规划问题的几种求解方法 1. 罚函数法（外点法）
min f (x) s.t. gi (x) 0(i 1,2,, m)
h j (x) 0( j 1,2,,l)
基本思想：利用目标函数和约束函数构造辅助函数：
F(x,) f (x) P(x)
要求构造的函数 F(x, ) 具有这样的性质：当点x位于可行域以外时，F(x, )取值很大，而
离可行域越远则越大；当点在可行域内时，
函数 F(x, ) f (x)
因此可以将前面的有约束规划问题转换为下列无约束规划模型：
min F(x,) f (x) P(x)
其中称为 P(x)罚项，称为罚因子，
F (x, ) 称为罚函数。
P( x) 的定义一般如下：
m
l
P(x) (gi (x)) (hj (x))
越是接近极值点，收敛越慢；

【山东省】2017年高考数学(理科)-不等式与线性规划-专题练习-答案

＝A－2＋A－＋4 tan A－2
2)＋tan －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当
故tan A tan B tan C 的最小值为8.] 二、线性规划问题
5．C[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，
2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2
＝10.故选C.] 6．B[根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程
．作出线段，如图所示
1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.] 9．216 000[设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则
⎩⎪⎨⎪⎧
1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，5
x ＋3y ≤600，x ≥0
，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *
.
目标函数z ＝2 100x ＋900y .
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0).
⎩
⎪⎨＋x ，x ．故选D.] log 2ab ＋
b －＋12b －3
2y ≤0，
－－
－－
＝6z ＝x ＋1y ＋2的最小值为6．B[由题意作出其平面区域如图，
．作出不等式组对应的平面区域如图，
22
8．B[作出可行域，如图所示的阴影部分.。

备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题五非线性规划问题 Word版含解析

I ．题源探究·黄金母题【例1】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y+-+--的最小值是．【答案】3.【解析】221x y +≤表示圆221x y +=及其内部，易得直线630x y --=与圆相离，故6363x y x y --=--．当220x y +-≥时，22632 4.x y x y x y +-+--=-+如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y =-+，则可知当34,55x y ==时，min 3z =；当220x y +-<时，2263834x y x y x y +-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y =--，同理可知当34,55x y ==时，min 3z =．综上所述：()min22633x y x y+-+--=．精彩解读【试题来源】2015年浙江高考理数第14题．【母题评析】本题考查了线性规划的运用；分类讨论的数学思想；直线与圆的位置关系．【思路方法】解决此类问题的关键是将线性规划解决问题的思想迁移到非线性规划问题中.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是．【答案】4[,13]5【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为245=，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4[,13]5．【命题意图】本题考查非线性规划的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力．【难点中心】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．III ．理论基础·解题原理常见代数式的几何意义（1表示点(),x y 与原点()0 0，之间的距离；（2(),x y 与点() a b ，之间的距离；（3）yx 表示点(),x y 与原点()0 0，连线的斜率；（4）y b x a--表示点(),x y 与点() a b ，连线的斜率．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等．【技能方法】非线性规划问题常利用目标函数或可行域的几何意义求解． V ．举一反三·触类旁通非线性规划主要有三大题型：平方型、分式型和其他类型（绝对值型）．考向1 平方型的非线性规划问题【例3】【2016高考山东文理】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（）A ．4B ．9C ．10D ．12 【答案】C【规律总结】非线性规划主要有两大题型：平方型和分式型．其中平方型——看成两点间的距离求解．【跟踪训练】【2016年安徽安庆高三检查】如果点(),x y P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，则()221x y ++的最大值和最小值分别是（）A ．3．9，95 C ．9，2 D ．3，【答案】B 【解析】如图，先作出点()P x y ，所在的平面区域．22)1(++y x 表示动点P 到定点(01)Q -，距离的平方．当点P 在(10)-，时，22PQ =，而点Q 到直线012=+-y x 的距离的平方为925<；当点P 在(02)，时，离Q 最远，92=PQ ．因此22)1(++y x 的最大值为9，最小值为95．故选B ．考向2 分式型的非线性规划问题【例4】【2016年湖南师大附中高三三模】设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是（）A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，103B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103【答案】D【解析】本题可先求得x y 的范围，在求z 的范围．令x yk =，可变形为kxy =),0(存在所以因为k x ≠，【规律总结】（1）yx 表示点(),x y 与原点()0 0，连线的斜率；（2）y b x a--表示点(),x y 与点() a b ，连线的斜率．【跟踪训练】【2016重庆巴蜀中学3月月考】已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥>0620y x x y x ，则xy x 22++的最小值为（）A ．1B ．3C ．4D ．6 【答案】C考向3 其它类型的非线性规划问题【例5】【2016山东滨州二模】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,43,x y x x y 则y x z 3-=的最大值为（）A ．8B ．4C ．2D ．554 【答案】A 【解析】x【规律总结】这种绝对值型的可以考虑几何意义，如本题是化归为点到直线的距离来求解．【跟踪训练1】【2016山东菏泽一模】若,x y 满足不等式组3401360x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，表示平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点，||OA OM OM λ⋅=，则λ的最大值为_________.【答案】【解析】作可行域：由题知：所以设M （x ，y ），由得：即的最大值为【跟踪训练2】【2016届江苏泰州、扬州、靖江中学高三下学期期初联考】已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值是．【答案】185-【解析】由3a b c a ≤+≤得13b c a a ≤+≤，由223()5b a a c b ≤+≤得2253())1(b c b a a a≤≤+，设,b c a x y a ==，则,x y 满足2213315x y x y x≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，平面区域如下图，令22b c x y a z -=-=，即1122y x z =-，所以当411,55y x ==时，z 有最小值185-．。

专题2-4 压轴解答题-2017年高考数学理走出题海之黄金1

1．已知函数()()2xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x ax e -+≥恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程()()f x m m R =∈有两个正实数根12,x x ，求证： 121mx x m e-<++. 【答案】(1) 0x y +=;(2) 0a e ≤≤;（3）见解析.（3）依第（2）问，取a e =，有()2x x x e ex e -≥-，因为()y f x =在0x =处的切线方程为y x =-.设()()2(0)x x x x e x x ϕ=-+>，则()()()()22'11,''3x x x x x e x x x e ϕϕ=+-+=+，令()''0x ϕ=得3x =-或0x =.容易知道()'y x ϕ=在()(),3,0,-∞-+∞单调递增，在()3,0-单调递减，而()'00ϕ=，所以当0x >时， ()()'0,x y x ϕϕ>=单调递增.而()00ϕ=，所以，当0x >时， ()0x ϕ>恒成立.所以()2x x x e x -≥-.设y m =分别与y x =-和()1y e x =-的两个交点的横坐标为34,x x ，则3124x x x x <<<，所以12431mx x x x m e-<-=++. 2．如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线与轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ， M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当2a 取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ ∆面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）MPQ ∆的面积最大值为125622⨯．此时:MP y =+（2）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b =，设椭圆的标准方程为2222143x y m m +=， ()()0011,,,P x y Q x y 由222221{434x y m m y mx+==-得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即23m P ⎛- ⎝⎭，于是12112576,2,2333m m m PF PF a PF F F m ==-===，又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =．此时抛物线方程为212y x =-， ()(13,0,F P --，则直线PQ的方程为)3y x =+．联立)23{12y x y x=+=-，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝．所以252PQ ==，设(()2,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d，则2752d t ⎛=- ⎝⎭，当t =时，max 752d ==，所以MPQ ∆的面积最大值为12522⨯=:MP y =+ 3．已知函数()322112,,32f x x ax a x b a b R =-+++∈．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线与曲线()y f x =的公共点的横坐标之和为3，求的值；（2）当102a <≤时，对任意[],1,2c d ∈-，使()()8f cb f d M a '-+≥+恒成立，求实数M 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）223M ≤-（2）()32211232f c b c ac a c -=-++，令()32211232g c c ac a c =-++，则()()()2222g c c ac a c a c a =-++=-+-'，令()0g c '=，则c a =-或2c a =，因为102a <≤，所以(]1,0,20,12a a ⎡⎫-∈-∈⎪⎢⎣⎭，所以当[]1,c a ∈--和(]2,2c a ∈时， ()0g c '<，函数()g c 单调递减，当(),2c a a ∈-时， ()0g c '>，函数()g c 单调递增，所以函数()g c 的极小值为()33331172326g a a a a a -=+-=-，又()282243g a a =-++，令()()()327824263h a g g a a a a =--=++-，易知，当102a <≤时，函数()h a 单调递增，故()max 1250248h a h ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，所以()()2g g a <-，即当[]1,2c ∈-时， ()()2min 82243g c g a a ==-++，又()22229224a a f d d ad a d ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭'，其对应图像的对称轴为122a d =<，所以2d =时， ()()2min 2422f d f a a ==-++''，所以()()220643f c b f d a a -+≥+-'，故有2206483a a M a +-≥+，又22201226486333a a a a ⎛⎫+--=-- ⎪⎝⎭，因为102a <≤，所以2122226333a ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭，所以223M ≤-． 4．设已知双曲线2:2C y px =的焦点为1F ，过1F 的直线与曲线C 相交于M N 、两点. (1)若直线的倾斜角为60︒，且163MN =，求p ； (2)若2p =，椭圆2212x y +=上两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.【答案】（1）2p =（2）（2）当直MN 斜率不存在时，直线PQ 斜率为0，此时4,PMQN MN PQ S ===四边形当直线MN 斜率存在时，直线()10MN y k x k =-≠：（），联立24y x =得()2222240(0)k x k x k -++=∆>，则242M N x x k+=+ ∴244M N MN x x p k =++=+ 由PQ MN ⊥可设直线PQ : ()()11k 0y x k=--≠，联立椭圆消去y 得， ()22224220(0)k x x k +-+-=∆>∴222422,22P Q P Q k x x x x k k-+==++∴)2212kPQ k +==+)()22221122PMQN k S MN PQ k k +=⋅=+四边形,令21(1)k t t +=>则()()2222111111PMQNS t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭四边形综上， ()minPMQNS =四边形5．已知函数()2ln f x a x bx =+的图像在点()()1,1f 处的切线方程为 ()()10,2,x y g x af x t t R --==+∈且 2.t ≤（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求证： ()().x g x e f x t <++【答案】（Ⅰ）()ln .f x x =（Ⅱ）见解析.6．已知点C 是圆()22:116F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF '的垂直平分线与线段CF 交于点P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线:l y kx =+E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）⎛ ⎝⎦【解析】试题分析：（1）根据圆的的性质及对称的几何性质可得，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长（2）把直线:l y kx =+代入椭圆方程消去y 得： ()2234360k x +++=，由0∆>得： 32k <-或32k >，因为直线与椭圆相交于两点()11,A x y ， ()22,B x y ，则12x x +=1223634x x k =+，因为点(M ，直线与y 轴交于点(0,DABM ∆的面积12121•2ABM S MD x x x x ∆=-=-==243k ==+6122=≤=，=，即k=±时取等号，k=满足0∆>所心ΔABM面积的取值范围是⎛⎝⎦.7．已知函数()ln(,a xf x b a b Rx=+∈）的图像在点()()1,1f处的切线方程为1y x=-.（1）求实数,a b的值及函数()f x的单调区间；（2）当()()()1212f x f x x x=≠时，比较12x x+与2e（为自然对数的底数）的大小.【答案】（1）函数()f x的单调递增区间为()0,e，单调递减区间为(),e+∞;（2）122x x e+>.（2）当()()()1212f x f x x x =≠时， 12x x 2e +>.证明如下：因为x e >时， ()f x 单调递减，且()lnxf x 0x=>，又()f 10=，当1x e <<时， ()f x 单调递增，且()f x 0>.若()()()1212f x f x x x =≠，则12x x ，必都大于，且必有一个小于，一个大于. 不妨设121x e x <<<，当2x 2e ≥时，必有12x x 2e +>. 当2e x 2e <<时， ()()()()()22122222ln 2e x lnx f x f 2e x f x f 2e x x 2e x ---=--=--，设()()ln 2e x lnx g x ,e x 2e x 2e x-=-<<-，则()()()()()()22222224e e x (1lnx)x ln x 2ex 2x1ln 2e x 1lnx g x x 2e x x 2e x ----++-'+--=-=-- ()()({}()222224e e x (1lnx)x 2ln x e e x 2e x ⎤--+---+⎦=- 因为e x 2e <<，所以()222e x e 0e --∈（，），故()(222ln x e e 0⎤---+>⎦.又()4e e x (1lnx)0-->，所以()g x 0'>，所以()f x 在区间()e,2e 内单调递增，所以()()11g x g e 0e e>=-=，所以()()12f x f 2e x >-. 因为11x e <<， 2e x 2e <<，所以202e x e <-<，又因为()f x 在区间()0,e 内单调递增，所以12x 2e x >-，即12x x 2e +>. 综上，当()()()1212f x f x x x =≠时，.8．已知函数()2ln 2ln a x f x x a k x a=+-- （1）若0k =，证明()0f x >；（2）若()0f x ≥，求的取值范围；并证明此时()f x 的极值存在且与无关. 【答案】（1）见解析（2）见解析（1）若()2ln 2ln 0a a f x x a k x x =+--≥，变形得到2ln x a a k a x x+≥，令=(0)x t t a >，得到22ln 1t t k t+≥ ()()()232ln 12ln 1,t t t t t g t g t t t='--+=，令()()l n 1,l n k t t t t k t t '=--=-，可得()k t 在(]0,1单增，在[)1,+∞单减，所以()()0,0k t g t '≤≤， ()g t 在()0,+∞单减，当(),0t g t →+∞→所以()0g t >，∴0k ≤（注：若令(0)a t t x=>），得到22ln t t t k -+≥ 令()()()22ln ,221ln g t t t t g t t t '=-+=-+，9．已知函数()()()221ln ,ln 1f x x x x g x x x ax =-+=--.（1）求证: 对()()1,,2x f x ∀∈+∞<；（2）若方程()0g x =有两个根，设两根分别为12,x x ,求证:1ln 12x > 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）即证对()()211,,ln 01x x x x -∀∈+∞->+，令()()21ln (1)1x h x x x x -=->+，求导证明最小值大于0即可；（2）根据条件有11221211ln ,ln x ax x ax x x -=-=，两式相加，相减得211212ln1x x a x x x x +=-，代入得()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，令21(1)x t t x => 由（1）可知()12121221ln 2,ln 21x x t t x x t x x ++>->-，整理即得. 试题解析：(1) ()()()1,,21ln 22x f x x x x ∀∈+∞⇔+-()()21211ln 2ln ln 0111x x x x x x x x x --+⇔>⇔>⇔->-++.下面证明：对()()211,,ln 01x x x x -∀∈+∞->+，令()()21ln (1)1x h x x x x -=->+，则()()()221'01x h x x x -=>+，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，即()21ln 01x x x -->+，即证得对()()1,,2x f x ∀∈+∞<.10．已知函数()22ln f x x a x x=++（0x >，为常数）. （1）讨论函数()()2g x f x x =-的单调性；（2）对任意两个不相等的正数1x 、2x ，求证：当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析;（2）见解析.()()()2222223122x x ax x x x x x x x ⎡⎤+=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∵()()22222310,0,022x x a x x x x x x +>>->++，∴()()2222231022x x ax x x x x x ++->++. 故当()20,x x ∈时， ()0t x '<， ()t x 为减函数；当()2,x x ∈+∞时， ()0t x '>， ()t x 为增函数.故对一切()0,x ∈+∞， ()()20t x t x ≥=.当且仅当2x x =时取等号. 题中12x x ≠，故()10t x >恒成立.得证.11．在平面直角坐标系xOy 中， ,M N 是轴上的动点，且228OMON +=，过点,M N 分别作斜率为22-的两条直线交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）过点()1,1Q 的两条直线分别交曲线E 于点,A C 和,B D ，且//AB CD ，求证直线AB 的斜率为定值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）直线AB 的斜率为定值34-.12．动点P 在圆E ： ()22116x y ++=上运动，定点()1,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ．（Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线，分别交轨迹E 于A ， B 两点和C ， D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）4,07⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅱ）分别设直线AB 和CD 的中点为M 、N ，当直线AB 斜率不存在或为0时，分析可知直线MN 与轴重合，当直线AB 的斜率为1时，此时43,77M ⎛⎫⎪⎝⎭， 43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为47x =，联立解得直线MN 经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭．下面证明一般性：当直线AB 的斜率存在且不为0,1时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为()11y x k=--，设()11,A x y ， ()22,B x y ，联立()221,{431,x y y k x +==-消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，则2122843k x x k -+=-+，所以122643ky y k +=-+，即22243,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理： 2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，于是直线MN 的斜率为()222222337344344413443MNk kk k k k k k k k +++==--++，故直线MN 的方程为()222374343441k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪++-⎝⎭，显然47x =时， 0y =，故直线经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭． 13．已知动圆P过定点()M且与圆(22:16N x y +=相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()3,0D 且斜率不为零的直线交曲线C 于A ， B 两点，在轴上是否存在定点Q ，使得直线,AQ BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）当定点为()12,0Q 时，常数为54；当定点为()22,0Q -时，常数为120．（Ⅱ）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ，由221,{43,x y x my +==+得()224650m y my +++=，所以()62122122(4540,6{,45,4m my y m y y m∆=-⨯+>+=-+=+则()121222464x x m y y m +=++=+，()221212122364394m x x m y y m y y m-=+++=+，假设存在定点(),0Q t ，使得直线AQ ， BQ 的斜率之积为非零常数，则()()()2121212x t x t x x t x x t--=-++22223642444m t t m m-=-⋅+++ ()22224362444t m t t m -+-+=+，所以121200AQ BQ y y k k x t x t--⋅=⋅--()22222544362444m t m t tm +=-+-++ ()2225436244t m t t=-+-+，要使AQ BQ k k ⋅为非零常数，当且仅当2240,{362440,t t t -=-+≠解得2t =±，当2t =时，常数为553648164=-+，当2t =-时，常数为55136481610020==++，所以存在两个定点()12,0Q 和()22,0Q -，使直线AQ ， BQ 的斜率之积为常数，当定点为()12,0Q 时，常数为54；当定点为()22,0Q -时，常数为120． 14．已知函数()ln f x x x =，为自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在3x e -=处的切线方程；（Ⅱ）关于的不等式()()1f x x λ≥-在()0,+∞恒成立，求实数λ的取值范围；（Ⅲ）关于的方程()f x a =有两个实根1x ， 2x ，求证： 12331122x x a e-<++. 【答案】（1）32y x e -=--（2）1λ=（3）见解析（2）记()()()1g x f x x λ=-- ()1xlnx x λ=--，其中0x >，由题意知()0g x ≥在()0,∞+上恒成立，下求函数()g x 的最小值，对()g x 求导得()1g x lnx λ'=+-，令()0g x '=，得1x e λ-=，当变化时， ()g x '， ()g x 变化情况列表如下：()()min g x g x ∴==极小 ()()111g e e λλλ--=- ()111e e λλλλ----=-， 1e λλ-∴-，记()1G eλλλ-=-，则()11G eλλ-=-'，令()0G λ'=，得1λ=．当变化时， ()G λ'， ()G λ变化情况列表如下：()()()=10max G G G λλ∴==极大，故10e λλ--≤当且仅当1λ=时取等号，又10eλλ--≥，从而得到1λ=；从而'11x x ≤，当且仅当33e a -=-时取等号，由（2）知， ()1f x x ≥-，则()'221a x f x =-= 21x ≥-，从而'22x x ≤，当且仅当0a =时取等号，故''122121x x x x x x -=-≤-= ()3a1a 122e ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭33a 1122e ++，因等号成立的条件不能同时满足，故1233a 1x x 122e-<++． 15．已知()()2212ln 22f x x ax x ax x =-+-，其中a R ∈. （Ⅰ）若0a =，且曲线()f x 在x t =处的切线过原点，求直线的方程；（Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x ， 212()x x x <，证明()()212132f x f x a a +<+.【答案】（Ⅰ）0x =;（Ⅱ）当0a ≤时， ()f x 在1x =时取到极小值122a -， ()f x 没有极大值；当01a <<时， ()f x 在x a =时取到极大值223ln 2a a a -+，在1x =时取到极小值122a -；当1a =时， ()f x 没有极大值也没有极小值；当1a >时， ()f x 在x a =时取到极小值223ln 2a a a -+. 在1x =时取到极大值122a -. （Ⅲ）见解析.（Ⅱ）由()()22ln f x x ax x =- 2122ax x +-，可得()()22ln f x x a x =-'， ①当0a ≤时()0f x '>⇔ 1x >， ()0f x '<⇔ 01x <<， ()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，()f x 在1x =时取到极小值，且()1122f a =-， ()f x 没有极大值；②当01a <<时()0f x '>⇔ 1x >或0x a <<， ()0f x '< 1a x ⇔<<. ()f x 在()0,a ， ()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减， ()f x 在x a =时取到极大值，且()223ln 2f a a a a =-+， ()f x 在1x =时取到极小值，且()1122f a =-； ③当1a =时()0f x '≥恒成立， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增， ()f x 没有极大值也没有极小值；④当1a >时()0f x '>⇔ x a >或01x <<， ()0f x '<⇔ 1x a <<， ()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减， ()f x 在x a =时取到极小值，且()223ln 2f a a a a =-+. ()f x 在1x =时取到极大值，且()1122f a =-. 综上可得，当0a ≤时， ()f x 在1x =时取到极小值122a -， ()f x 没有极大值；当01a <<时， ()f x 在x a =时取到极大值223ln 2a a a -+，在1x =时取到极小值122a -；当1a =时， ()f x 没有极大值也没有极小值；当1a >时， ()f x 在x a =时取到极小值223ln 2a a a -+. 在1x =时取到极大值122a -. （Ⅲ）由（Ⅱ）知当0a >且1a ≠时， ()f x 有两个极值()f x 点1x ， 2x ，且()()12f x f x += ()()1f a f + 2231ln 222a a a a =-++-. 所以()()12f x f x +- 2132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 21ln 2a a a ---< 21ln 1a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，设()1ln 1g a a a =-+，则()22111a g a a a a='-=-，所以()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，由0a >且1a ≠可得()()10g a g >=，所以()()12f x f x +- 2132a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭21ln 10a a a ⎛⎫--+< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x +< 2132a a +.16．已知点P 为22142x y E +=：上的动点，点Q 满足13OQ OP =. （1）求点Q 的轨迹M 的方程；（2）直线:l y kx n =+与M 相切，且与圆2249x y +=相交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值（其中O 为坐标原点）.【答案】（Ⅰ）2214299x y +=；（Ⅱ） 29.17．设函数()ln xf x ae x x =-，其中R a ∈，是自然对数的底数.（Ⅰ）若()f x 是()0,+∞上的增函数，求的取值范围；（Ⅱ）若22ea ≥，证明： ()0f x >. 【答案】（Ⅰ）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（I ）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II ）将原不等式()0f x >，转化为e ln 0xa x x ->，令()e ln xa F x x x=-，求出()F x 的导数，对分成01,1x x ≤两类，讨论函数的最小值，由此证得()0F x >，由此证得()0f x >. 试题解析：（Ⅰ）()()e 1ln xf x a x '=-+， ()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln exxg x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e 1ln x g x x x -⎛⎫=-'- ⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--， ()2110h x x x'=--<， ()h x 是()0,+∞上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈， ()0h x >， ()0g x '>， ()g x 递增；当()1,x ∈+∞， ()0h x <， ()0g x '<，()g x 递减；故当1x =时， ()g x 取得极大值且为最大值()11eg =，所以1e a ≥，即的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18．已知椭圆1C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为4，左、右焦点分别为1F 、2F ，且1C 与抛物线2C ： 2y x =的交点所在的直线经过2F . （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）分别过1F 、2F 作平行直线m 、，若直线m 与1C 交于A ， B 两点，与抛物线2C 无公共点，直线与1C 交于C ， D 两点，其中点A ， D 在轴上方，求四边形12AF F D 的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）22184x y +=;（Ⅱ）5⎛ ⎝.【解析】试题分析：（I ）由焦距可得2c =，故椭圆与抛物线交点坐标为(，利用椭圆的定义求得a =222a b c =+解得2b =，由此求得椭圆的方程；（II ）设出直线m 的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用判别式小于零求得的取值范围.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，写出AB 的弦长，求得,m n 两条直线的距离，代入面积公式，化简后利用基本不等式求取值范围. 试题解析：（Ⅰ）依题意得24c =，则1F ， 2F .所以椭圆1C 与抛物线2C 的一个交点为(P ，于是12a PF = 2PF +=a =又222a b c =+，解得2b =所以椭圆1C 的方程为22184x y +=.19．已知动圆过定点()0,2，且在轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积；（Ⅱ）点P 在直线:20l x y --=上，点()0,1Q ，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，证明：存在常数λ，使得2||=PQ QA QB λ⋅，并求λ的值．【答案】(Ⅰ)98(Ⅱ)1（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，则由题意可得，切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，切线PB 的方程为()2222x y y x x -=-，再设点()00,P x y ，从而有()()1010*******{2x y y x x x y y x x -=--=-，所以可得出直线AB 的方程为()20000011422222x x x y y x x y y x x x y -=-⇒-=⨯-=-⨯，即002x y x y =-．联立方程组002{24x y x yx y=-=，得200240x x x y -+=，又002y x =-，所以有()2002420x x x x -+-=，可得1201202{48x x x x x x +==-，()()222222000000||13269PQ x y x x x x =+-=+-=-+，()()2222121212121211114444x x x x QA QB y y y y y y ⋅=++=+++=⋅+++=()()2212121221164x x x x x x +-++()()()220002004822481269164x x x x x ---++=-+，所以常数2||=1PQ QA QBλ=⋅． 20．已知函数()ln x f x x=， ()()1g x k x =-. （1）证明： k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f xg x ≤+成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min 12x ϕ⇔≤， ()()222ln 111111ln ln ln 24ln x x k k k x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'.。

非线性问题

事实上, 事实上,客观世界中的问题许多是非线性的,给予线性大多是近似的, 性的,给予线性大多是近似的,是在作了科学的假设和简化后得到的. 学的假设和简化后得到的为了利用线性的知识,许多非线性问题常进行线性化处理. 但在许多非线性问题常进行线性化处理实际问题中,有一些是不能进行线性化处理实际问题中, 的,否则将严重影响模型对实际问题近似的可依赖型. 可依赖型
例7.(石油最优储存方法)有一石油运输公司, . 石油最优储存方法)有一石油运输公司, 为了减少开支,希望作了节省石油的存储空间. 为了减少开支,希望作了节省石油的存储空间. 但要求存储的石油能满足客户的要求. 但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问题,假设只经营两种油,各种符号表示的意义假设只经营两种油, 如表4所示. 如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的速度. 速度.
由于非线性规划问题在计算上常是困难的, 由于非线性规划那样给出简洁的结果形式和全面透彻的结论. 结果形式和全面透彻的结论这点又限制了非线性规划的应用,所以,在数学建模时, 线性规划的应用,所以,在数学建模时,要进行认真的分析,对实际问题进行合理的假设,简化, 认真的分析,对实际问题进行合理的假设,简化, 首先考虑用线性规划模型, 首先考虑用线性规划模型,若线性近似误差较大时,则考虑用非线性规划. 则考虑用非线性规划
① 适当选取初始点 x0 ,令 k = 0 . 是否满足停止迭代的条件,如是, ② 检验 xk 是否满足停止迭代的条件,如是,则停止迭代, 来近似问题的最优解,否则转至③ 止迭代,用 xk 来近似问题的最优解,否则转至③. 处的搜索方向. ③ 按某种规则确定 xk 处的搜索方向. ④ 从 xk 出发, 出发, 沿方向 d k , 按某种方法确定步长 λk , 使得: 使得:

备考高考物理复习攻略之方法汇总专题非线性关系问题含解析

专题06 非线性关系问题目录一、数形结合法 (1)二、数学解析法 (8)两个物理量之间的关系是一次函数关系，其图象是一条直线。

比如加速度与合外力关系，电压与电流的关系。

如果两个物理量不是一次函数关系，其图象是各种各样的曲线，它们是非线性关系。

非线性关系问题是中学物理教学中的难点，也是每年全国各地高考物理试题中的热点。

按解题方法把这些问题进行梳理分类，大致可分为数形结合法、数学解析法等几种类型。

通过解析，以期对高三物理复习教学工作有所启迪。

一、数形结合法数形结合法是定性分析非线性关系问题的最基本方法。

这是因为在高中物理中，非线性关系问题的研究重点是定性分析。

解决这类问题首先要定性地画出所要求的物理量与相关量的函数图象，按曲线所体现的物理意义来解释具体的物理问题，曲线的物理意义主要包括：曲线纵坐标随横坐标变化的物理意义，坐标值正负的物理意义，曲线与横轴、纵轴交点的物理意义，曲线上任意一点切线斜率的物理意义，曲线与横轴所围面积的物理意义等方面。

典例1.（19年全国2卷）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。

某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。

则（）A. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小B. 第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大C. 第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度比第一次的大D. 竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大【答案】BD【解析】A ．由v -t 图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以，A 错误；B ．由于第二次竖直方向下落距离大，由于位移方向不变，故第二次水平方向位移大，故B 正确C ．由于v -t 斜率知第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由0v v a t-=易知a 1>a 2，故C 错误 D ．由图像斜率，速度为v 1时，第一次图像陡峭，第二次图像相对平缓，故a 1>a 2，由G -f y =ma ，可知，f y 1<f y 2，故D 正确【总结与点评】v -t 图面积表示下落的纵向位移，可以数格子比较两种情况下的位移大小，纵向的阻力与纵向速度正相关，两种情况由于运动员姿势不同，受力面不同，因此正相关系数不同，导致纵向的速度时间图象不同。

解析几何-2017年高考数学走出题海之黄金100题系列(江苏版)含解析

1．过点()1,2P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数的值为 .【答案】0或432．已知双曲线221259x y -=上有一点M到右焦点1F 的距离为18,则点M 到左焦点2F 的距离是 . 【答案】8或28【解析】根据双曲线的定义可知点 M到两焦点的距离的差的绝对值为2a,即12210,MF MF a -==又118,MF =则2828MF =或。

3．椭圆E 的焦点在轴上,中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E 的标准方程为．【答案】22142x y +=【解析】由条件可知2b c ==， 2a = ,所以椭圆方程为22142x y += ．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =，若顶点到渐近线的距离为3，则双曲线的方程为．【答案】221124x y -=5．已知直线:30l kx y --=与圆22:4O xy +=交于B A 、两点，且2OA OB ⋅=，则k =．【答案】2± 【解析】1π22cos 2cos 2323O AB OA OB AOB AOB AOB AB d -⋅=⨯⨯∠=⇒∠=⇒∠=⇒=⇒= 2321k k=⇒=±+6．已知点()00,P x y 是抛物线24yx =上的一个动点，Q 是圆C ： ()()22241x y ++-=上的一个动点，则0x PQ+的最小值为．【答案】3源:］【解析】由题意可知圆C 的圆心坐标()2,4C -,半径为1；抛物线的焦点()F 1,0，虚线为抛物线的准线； PM为点到虚线的距离且1PM x =+，由抛物线的性质可知, PF PM=.故可知()22011111221423x PQ PQ PF PM PF PM PF CF +=+-≥-+-≥-+-≥-=--+=．7．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ,B 是切点,C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是．【答案】22【解析】由题设可知圆心和半径分别为()1,1,1C r =,结合图形可知四边形PACB 的面积222211PCAS SPA r PC r PC ∆==⋅=-⨯=-，所以当PC 最小时， S 最小，而minPC 就是圆心()1,1C 到直线3480x y ++=的距离，所以min 314183916PC ⨯+⨯+==+,所以四边形PACB的面积的最小值是2minmin 122SPC =-=．8．已知双曲线22221x y a b -=（0a >,b >）的渐近线与圆(228223x y -+=相切,则该双曲线的离心率为．【答案】62【解析】由题意知圆心()22,0到渐近线0bx ay -=的距离等于83,化简得2232a c =，解得62e =．9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、,过1F 且与轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点,直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ,若23ABCBCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为__________．【答案】5510．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，定点()14A ，, P 是双曲线右支上的动点,则PF PA+的最小值是_____________．【答案】【解析】由双曲线方程有2,4a c ==,设双曲线的右焦点为'F ，则()'4,0F ,由双曲线的定义有'24PF PF a -==，所以'4PF PA PF PA +=++，当,,'A P F 三点在一条直线上时,PF PA + 有最小值为()()22'4144049AF +=-+-+=。

2017年高考数学(第02期)小题精练系列专题05 线性规划理(含解析)

专题05 线性规划1. 已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（）A ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ B ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】A 【解析】考点：简单的线性规划求最值.2. 若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（）A ．2B ．4 C.6 D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得()lg lg lg a b a b +=+，即111ab a b a b=+⇒+=，因为0,0a b >>，所以11()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，故选B.考点：基本不等式求最值.3. 已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A ．2B ． D ．1 【答案】B 【解析】考点：基本不等式的应用.4. 若实数(),0,1a b ∈，且满足()114a b ->，则,a b 的大小关系是__________. 【答案】a b < 【解析】试题分析：因为(),0,1a b ∈，且满足()114a b ->12>，又(1)2a b -+≥以(1)122a b -+>，所以b a >. 考点：比较大小；基本不等式的应用. 5. 设5.03.15.03.1,5.0,5.0===z y x ，则z y x ,,的大小关系为（）A ．z y x <<B ．y z x <<C ．z x y <<D ．x z y << 【答案】C 【解析】试题分析：根据指数函数0.5x y =为单调递减函数，所以0.5 1.30.50.5>，即x y >，又由幂函数0.5y x =为单调递增函数，所以0.50.51.30.5>，所以z x >，所以z x y <<，故选C ．考点：比较大小．6. 已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的取值范围是（）A ．]1,2[--B ．]1,2[-C ．]2,1[D ．]2,1[- 【答案】D 【解析】考点：简单的线性规问题．7. 若,x y 满足约束条件0122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是____________．【答案】12- 【解析】试题分析：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立01x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得11(,)22A -，化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为1112()222⨯-+=-．考点：简单的线性规划问题．8. 已知正实数x y 、满足xy x y =+，若2xy m ≥-恒成立，则实数m 的最大值是__________．【答案】6 【解析】考点：基本不等式的应用；9. 设x ，y 满足约束条件1,4,0,0,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则3z x y =-的取值范围为．【答案】[]2,4- 【解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数3z x y =-过点53(,)22A 时，取得最小值，此时最小值为min 533222z =-⨯=-；当目标函数3z x y =-过点(4,0)B 时，取得最大值，此时最小值为max 4z =，所以3z x y =-的取值范围为[]2,4-．考点：简单的线性规划的应用．10. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ，y x z +=2的最大值为m ，若正数b a ,满足m b a =+，则b a 41+的最小值为．【答案】23 【解析】考点：简单的线性规划的应用.11. 设实数x ，y 满足20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z x y =-的取值范围是（）A.83[,]32-B.81[,]32--C.13[,]22-D.13[,]22【答案】A 【解析】考点：简单的线性规划的应用.12. 设y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+02301206y x y x y x ，若y ax z +=的最大值为42+a ，最小值为1+a ，则实数a 的取值范围为．【答案】[]2,1a ∈- 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数z ax y =+等价于y ax z =-+，这里z 表示直线在y 轴上的截距，则12a -≤-≤，则[]2,1a ∈-.考点：简单的线性规划.13. 已知实数x ，y 满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（）A．( B．C.[ D．[【答案】D 【解析】考点：线性规划.14. 设152a =，166()7b =，3ln c π=，则（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B 【解析】试题分析：依题意有ln10c <=，021a >=，06017b ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故c b a <<.考点：比较大小.15. 若正数x ，y 满足350x y xy +-=，则34x y +的最小值是．【答案】5 【解析】试题分析：由350x y xy +-=得13155y x +=，所以()131********3455555555x y x y y x y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭. 考点：基本不等式.16．已知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，求()()2211z x y =++-的最小值是．【答案】12【解析】考点：线性规划.17. 若直线 :l y ax = 将不等式组20600,0x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域的面积分为相等的两部分，则实数a 的值为（） A ．711 B ．911 C.713 D ．513【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，阴影部分总面积为14，要使7ABC S ∆=，只需1147,26AC h h ⋅⋅==，将146h =代入60x y +-≤，解得113x =，即147611113a ==.考点：线性规划.18. 直线 20x y a -+=与330x y +-=交于第一象限，当点(),P x y 在不等式组20330x y a x y -+≥⎧⎨+-≤⎩表示的区域上运动时，43m x y =+的最大值为8，此时 3yn x =+的最大值是_________. 【答案】34【解析】考点：两条直线的交点，线性规划.19. 已知实数,x y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y x ++的最小值为（）A ．1B ．3C ．4D ．6 【答案】C 【解析】考点：线性规划.20. 实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-++≤20222x y x x y ，则||y x z -=的最大值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.21. 已知点(1,2)P -，(1,1)Q --，(0,0)O ，点(,)M x y 在不等式组210,250,2x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩所表示的平面区域内，则||OP OQ OM ++的取值范围是（）A．⎤⎥⎣⎦B ．1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．⎣D ．1,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】试题分析：因为(1,2)P -，(1,1)Q --，(0,0)O ，点(,)M x y 所以()2,3||OP OQ OM x y OP OQ OM x ++=-+++=作出不等式组2102502x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩所表示的可行域如图，||OP OQ OM ++,即是可行域的点(),x y 到()0,3N的距离d ，由图知d 的最小值就是点()0,3到直线20x y -+=的距离min 2d ==，由210250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得()3,1A -，最大距离是()0,3到()3,1A -的距离，max5,||d MA OP OQ OM ==∴++的取值范围是2⎤⎥⎣⎦，故选A.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.22. 已知平面区域34180,:2,0,x y x y +-≤⎧⎪Ω≥⎨⎪≥⎩夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m ，若点(),P x y ∈Ω，且mx y -的最小值为的,yp x m+的最大值为q ，则pq 等于（） A ．2722 B ．3 C. 25D ．0【答案】A 【解析】x考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.23. 已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围为（）A ．(),1-∞-B ．()0,1 C. [)1,+∞ D ．()1,+∞ 【答案】D 【解析】考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.24. 已知2z x y =+，x 、y 满足2y x x y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（）A ．14 B ．15 C. 16 D ．17【答案】A 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示,(,),(1,1)A m m B 可知当2z x y =+过点A 时有最小值为3m ,当过点B 时有最大值为13,343,4m m ∴=⨯∴=,故选A.考点：线性规划.25. 设x y 、满足约束条件22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若z m x y =+取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值是__________．【答案】12- 【解析】考点：线性规划.26. 若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，且(6,3)α∈-，则y z x α=-仅在点1(1,)2A -处取得最大值的概率为（） A ．19 B ．29 C.13 D ． 49【答案】A【解析】考点：简单的线性规划；几何概型.。

备战2017高考十年高考数学分项版专题07 不等式、线性规划(解析版)

一．基础题组1. 【2006江苏，理8】设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是( ) （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+2132. 【2006江苏，理12】设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ▲【答案】18．【解析】画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18.3. 【2006江苏，理16】不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 ▲ 【答案】{}(322,322)1---+⋃．【解析】1(6)822log3log x x ++≤=，0〈168x x ++≤，∴12160x x x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩. 解得{}(322,322)1x ∈---+⋃.4. 【2007江苏，理10】在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={（x ，y ）|x +y ≤1，且x ≥0，y ≥0}则平面区域B ={（x +y ，x -y ）|（x ，y ）∈A}的面积为（）A.2B.1C.21D.41 【答案】B ．【解析】.5. 【2008江苏，理11】设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ▲【答案】3．【解析】由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”.6. 【2009江苏，理11】已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ▲ .7. 【2013江苏，理9】抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，x ＋2y 取得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B(0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.8. 【2013江苏，理11】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．9. 【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式二．能力题组1. 【2008江苏，理14】设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ▲【答案】4．2. 【2010江苏，理11】已知函数f (x )＝21,0,1,0,x x x ⎧+≥⎨<⎩则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x的取值范围是__________．【答案】(－12－1)．【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知不等式f(1－x2)＞f(2x)可化为22210,10,20,20.12,x x x x x x ⎧≥⎧>⎪≥⎨⎨<⎩⎪>⎩－－或－解得0≤x＜－1＋2或－1＜x ＜0. ∴－1＜x ＜－1＋2.3. 【2010江苏，理12】设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤2x y≤9，则34x y 的最大值是__________．【答案】27．三．拔高题组1. 【2010江苏，理17】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？【答案】(1) 124．(2) d ＝【解析】解：(1)由AB ＝tan H α，BD ＝tan h β，AD ＝tan H β及AB ＋BD ＝AD ，得tan Hα＋tan h β＝tan Hβ，解得H ＝tan 4 1.24tan tan 1.24 1.20h ααβ⨯=－－＝124.2. 【2012江苏，理13】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．【答案】9．【解析】∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为0，＋∞)， ∴∆＝a 2－4b ＝0.①又∵f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，即x 2＋ax ＋b －c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是对应方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两个根，∴(6),(6),m m a m m b c ++=-⎧⎨+=-⎩①②由②得，a 2＝4m 2＋24m ＋36，④ 由③得，4b －4c ＝4m 2＋24m ，⑤由①④⑤可得，4m 2＋24m ＋36＝4m 2＋24m ＋4c ，解得c ＝9..3. 【2012江苏，理14】已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则ba的取值范围是__________．【答案】e,7]．【解析】由5c －3a≤b≤4c－a 及c ＞0，得534a b ac c c-≤≤-，①由clnb≥a＋clnc 得：a c ≤lnb－lnc ＝ln bc∴切点坐标为(1，e)，切线方程为y＝ex.显然此时yx取得最小值，所以yx的取值范围为e,7]．4.【2016年高考江苏卷】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则22x y+的取值范围是▲ .【答案】4 [,13] 5【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的。

2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题03 不等式与线性规划理

不等式与线性规划【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1、【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【变式探究】(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.(2)已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________________．【答案】(1)52 (2)(1e，e 2)【命题热点突破二】基本不等式的应用 1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键. (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错. 2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有(1)x ＋bx －a＝x －a ＋bx －a＋a (x >a ).(2)若a x ＋b y＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数).例2、【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.【答案】(1) 2 (2)15【解析】(1)由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋y2－x22yx＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3、【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【变式探究】若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.【答案】3【解析】画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3).∴yx的最大值为3.] 【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C2.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C.4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（） A ．B ．4C ．D ．6 【答案】C【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由2=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R，===AB QR ．故选C ．5.【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.6.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC∆在命题p中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y=+的最大值为_____________.【答案】3 28.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………① 目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900zy x =-+经过点M 时,z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.9.【2016高考江苏卷】已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ▲ .【答案】4[,13]5【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为245=，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4[,13]51.(2015·重庆卷)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由x ＞1x ＋2＞3 log 12 (x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0x ＋2＞1x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.答案 B2.(2015·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2解析可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12 z ，当直线y ＝－12x ＋12 z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2.答案 D3.(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 答案 C4.(2015·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.解析约束条件的可行域如图，由y x ＝y －0x －0，则最大值为3.答案 35.(2015·四川卷)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812解析令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12， ∵2mn ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6，当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.答案 B6.(2015·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A.3B.2C.－2D.－3答案 B7.(2015·天津卷)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x －2|＜1得1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞11＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.答案 A 8.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.4解析不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题意当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值，即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C. 答案 C9.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.。

专题1.4解析几何2017年高考数学理走出题海之黄金100题系列原卷版

2017年高考数学（理）走出题海之黄金100题系列专题4 解析几何1．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个必要不充分条件是（）A. 01m <<B. 40m -<<C. 1m <D. 31m -<<2．已知椭圆2221(0)25x y m m +=>与双曲线2221(0)7x y n n-=>有相同的核心，那么m n +的取值范围是（）A. (]0,6B. []3,6C. (32,6⎤⎦D. [)6,9 3．设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右核心， O 为坐标原点，假设OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为23OF ，那么双曲线的离心率为（） A. 23 B.355 C. 25 D. 5 4．已知双曲线22:21C x my +=的两条渐近线相互垂直，那么抛物线2:E y mx =的核心坐标是（）A. 10,2⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()0,1D. ()0,1- 5．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右核心和虚轴上的一个端点别离为,F A ，点P 为双曲线C 左支上一点，假设APF ∆周长的最小值为6b ，那么双曲线C 的离心率为（）A.56 B. 85 C. 85 D. 106．已知点()03,M y 是抛物线22(06)y px p =<<上一点，且M 到抛物线核心的距离是M 到直线2p x =的距离的2倍，那么p 等于（） A. 1 B. 2 C.32D. 3 7．已知抛物线2:4C y x =的核心为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，假设60AFE ∠=︒，那么AFE ∆的面积为（）A. 43B. 23C. 433D. 2338．假设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，那么该双曲线C 的离心率为（）A. 23B. 2C.3 D. 2339．过双曲线2221(0)y x b b -=>的右核心F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E , O 为坐标原点，假设2,OFE EOF ∠=∠则b =（）A.12 B. 3 C. 2 D. 3310．已知椭圆1C 和双曲线2C 核心相同，且离心率互为倒数， 12,F F 是它们的公共核心， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，假设1260F PF ∠=︒，那么椭圆1C 的离心率为（）A. 33B. 32C. 22D. 1211．已知直线:30l kx y --=与圆22:4O x y +=交于B A 、两点且2OA OB ⋅=，那么k =（）A. 2B. 2±C. 2±D. 212．已知离心率是5的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个核心与抛物线220y x =的核心重合，那么该双曲线的标准方程为__________．13．已知抛物线21,,16y x A B =是该抛物线上两点，且24AB =，那么线段AB 的中点P 离x 轴最近时点的纵坐标为__________．14．已知实数4,,9m 组成一个等比数列，那么圆锥曲线221x y m+=的焦距为__________．15．已知圆C 过抛物线24y x =的核心，且圆心在此抛物线的准线上，假设圆C 的圆心不在x 轴上，且与直线330x y +-=相切，那么圆C 的半径为__________．16．已知,P Q 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上关于原点O 对称的任意两点，且点,P Q 都不在x 轴上. （1）假设(),0D a ，求证: 直线PD 和QD 的斜率之积为定值；（2）假设椭圆长轴长为4，点()0,1A 在椭圆E 上，设,M N 是椭圆上异于点A 的任意两点，且AM AN ⊥.问直线MN 是不是过一个定点？假设过定点，求出该定点坐标；假设只是定点，请说明理由.17．已知动圆C 与圆()221:21C x y -+=外切，又与直线:1l x =-相切 . （1）求动圆C 的圆心的轨迹方程E ；（2）假设动点M 为直线l 上任一点，过点()1,0P 的直线与曲线E 相交,A B 两点.求证：2MA MB MP k k k +=.18．设已知双曲线2:2C y px =的核心为1F ，过1F 的直线l 与曲线C 相交于M N 、两点. (1)假设直线l 的倾斜角为60︒，且163MN =，求p ； (2)假设2p =，椭圆2212x y +=上两个点P Q 、知足： 1P Q F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.19．在平面直角坐标系xOy 中， ,M N 是x 轴上的动点，且228OM ON +=，过点,M N 别离作斜率为33,22-的两条直线交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）过点()1,1Q 的两条直线别离交曲线E 于点,A C 和,B D ，且//AB CD ，求证直线AB 的斜率为定值.20．在平面直角坐标系xOy 内，动点(),M x y 与两定点()2,0-， ()2,0连线的斜率之积为14-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设点()11,A x y ， ()22,B x y 是轨迹C 上相异的两点.（Ⅰ）过点A ， B 别离作抛物线243y x =的切线1l ， 2l ， 1l 与2l 两条切线相交于点()3,N t ，证明： 0NA NB ⋅=；（Ⅱ）假设直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明： AOB S 为定值，并求出那个定值.。

2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣5 含解析

回扣5不等式与线性规划1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化（将二次项系数化为正数)；二判（判断Δ的符号）；三解（解对应的一元二次方程）；四写（大于取两边，小于取中间）．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑:①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形,一般分Δ>0、Δ＝0、Δ〈0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．2．一元二次不等式的恒成立问题(1）ax2＋bx＋c>0(a≠0）恒成立的条件是错误!(2)ax2＋bx＋c〈0(a≠0)恒成立的条件是错误!3．分式不等式错误!〉0(〈0）⇔f（x）g（x）>0（〈0）；f xg x≥0(≤0）⇔错误!4．基本不等式(1)①a2＋b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当a＝b时取等号．②错误!≥错误!(a，b∈（0,＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．（2）几个重要的不等式：①ab≤错误!2(a,b∈R)；②错误!≥错误!≥错误!≥错误!（a〉0,b>0，当a＝b时等号成立)．③a＋错误!≥2(a〉0，当a＝1时等号成立）；④2（a2＋b2）≥(a＋b）2（a，b∈R，当a＝b时等号成立）．5．可行域的确定“线定界，点定域"，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线,然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．6．线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2）线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c〉0时,易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a〉0，a<0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把错误!≤0直接转化为f(x)·g（x)≤0,而忽视g(x)≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝错误!＋错误!的最值,就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋错误!（x<0）时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题,要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点（－2，2)连线的斜率，而（x－1)2＋（y－1)2是指已知区域内的点(x，y）到点（1,1）的距离的平方等．1．下列命题中正确的是________．①a〉b，c〉d⇔a＋c〉b＋d；②a〉b，c〉d⇒错误!>错误!;③a2〉b2⇔|a｜>|b｜；④a>b⇔错误!〈错误!.答案①③解析①a〉b，c〉d⇔a＋c〉b＋d正确，不等式的同向可加性;②a〉b，c〉d⇒错误!>错误!错误，反例：若a＝3，b＝2，c＝1,d＝－1，则错误!〉错误!不成立;③a2>b2⇔|a|>|b|正确;④a〉b⇔错误!〈错误!错误,反例:若a＝2,b ＝－2，则错误!<错误!不成立．2．设M ＝2a (a －2）＋4，N ＝（a －1）（a －3），则M ，N 的大小关系为________．答案 M >N解析 M －N ＝2a (a －2）＋4－（a －1）(a －3）＝a 2＋1>0。

线性规划(第02期)-2017年高考数学(文)备考之百强校小题精练系列含解析

2017届高考数学（文）小题精练专题05 线性规划1。

若变量,x y满足约束条件1211x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则3z x y=-的最小值为（）A．-7 B．—1 C．1 D．2【答案】A考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求":(1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）;（2)找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克;每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ）A．1800元 B．2400元C．2800元D．3100元【答案】C【解析】试题分析：设生产甲x，乙y，依题意有212212,x yx yx y N+≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩，目标函数300400z x y=+，作出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()4,4B取得最大值为2800。

考点:线性规划。

【思路点晴】本题主要考查线性规划来解实际应用问题。

考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。

线性目标函数z Ax By C =++（,A B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+,这样线性目标函数可看成斜率为AB-,且随z变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解。

2017高考数学(全国通用)冲刺985优等生拔高系列讲义—专治各种学霸不服--第六章不等式含解析

第六章不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题1 不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析．1．1 函数性质法一、一次函数--单调性法给定一次函数()()0y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[],m n 内恒有()0f x >，则根据函数的图像（线段）（如右下图) 可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或（2）0,()0.a f n <⎧⎨>⎩可合并定成()()0,0.f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩同理,若在[],m n 内恒有()0f x <，则有()()0,0.f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩例1．若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围．二、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型: 类型1：设2()(0).f x axbx c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2)R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ．类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或例2．已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立．则m 取值范围是( )A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．()(),10,-∞-+∞D ．(]1,0-例3．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( ）A ．()0,2B ．()0,8C ．()2,8D ．(),0-∞三、其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >(注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0)；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．例4．（07年重庆卷理20）已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a ，b 为常数． (1）试确定a ,b 的值;(2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围．例5.（08天津文21）设函数432()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．(节选）例6.（09年全国卷II 文21）设函数321()(1)4243f x xa x ax a =-+++，其中常数1a >．(II ）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围．（节选）1．2 分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f x λ≥（或()()ming f x λ≤) ,得λ的取值范围．适用题型:（1）参数与变量能分离；（2)函数的最值易求出．例7.（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A 。

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