变系数耦合非线性薛定谔方程的怪波解

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非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真

admin[非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真]——利用分步快速傅里叶变换对光纤中光信号的传输方程进行数值求解1、非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。

由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。

通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。

而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。

本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。

一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。

通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。

NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。

具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。

一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。

于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。

并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。

非线性薛定谔方程的基本形式为:22||t xx iu u u u =+其中u 是未知的复值函数.目前，采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。

分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的，这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(Fast Fourier Transform Algorithm)。

变系数非线性薛定谔方程的明暗孤子解

变系数非线性薛定谔方程的明暗孤子解付中华;耿青松【摘要】非线性薛定谔方程在光纤通讯、浅水波、量子力学和玻色-爱因斯坦凝聚等领域有重要的应用.在符号计算和几个特殊函数的帮助下,一个变系数非线性薛定谔方程是被列出.我们获得了方程明孤子解和暗孤子解,这些解含有丰富的物理结构,可以帮助我们更好的理解光孤子.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2018(042)006【总页数】4页(P532-535)【关键词】变系数非线性薛定谔方程;明孤子解;暗孤子解;孤子交互作用【作者】付中华;耿青松【作者单位】武汉城市职业学院,湖北武汉430064;武汉城市职业学院,湖北武汉430064【正文语种】中文由于群速度色散(GVD)和自相位调制(SPM)效应之间的平衡，光孤子能够在长距离传播过程中保持其形状和速度，由于它们在光通信系统和全光超高速开关设备中的潜在应用，已经成为一个有吸引力的研究领域。

而在光孤子领域有一类重要的非线性偏微分方程，那就是非线性薛定谔方程，具有非常重要的研究价值，吸引了大量的研究者。

非线性薛定谔方程可用于研究非线性光学中孤子相互作用的性质和特征在实际物理模型中，变系数非线性方程包含了更多的未知参数，能够代表一些更复杂的物理现象和模型。

借助符号计算的帮助[2-12]，考虑以下变系数非线性薛定谔方程[13]iut+iL1(t)ux+L2(t)uxx+L3(t)u|u|2=0(1)其中u=u(x,t)是一个复函数,表示光纤系统中电场的时空复杂包络线。

L1(t)，L2(t)表示不同的GVD系数，L3(t)表示非线性系数。

当L1(t)=0时，方程(1)变成标准的变系数非线性薛定谔方程。

最近Lin等人通过Hirota双线性方法获得了方程(1)的震荡孤子解[14]。

Li等人通过相似变换获得了方程(1)的怪波解。

此外，通过选择群速度色散系数作为特定函数分别讨论了一阶和二阶怪波解[15]。

怪波在形状，振幅，峰值数和伸展方面表现出丰富的特征，而且也可通过系统参数控制。

变系数耦合非线性薛定谔方程的矢量孤子解：暗-亮孤子解

摘
要：利用相似约化的方法获得了变系数耦合非线性薛定谔方程的矢量孤子解：暗一亮孤子解；详细讨论了
在周期分布放大系统中矢量孤子的传播特性；最后通过数值模拟证明了在有限的约束条件扰动或者初始扰
动下矢量孤子都能稳定传播．关键词：暗．亮孤子解；变系数耦合非线性薛定谔方程；周期分布放大系统；稳定性分析
第３６卷第３期２０１３年８月
浙江师范大பைடு நூலகம்学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎｌａｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．）
Ｖｏ１．３６．Ｎｏ．３Ａｕｇ．２０１３
ｐｅｉｏｒｄｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄａｍｐｌｉｉｃｆａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓ
０引言
在非线性光学研究中，耦合非线性薛定谔方程一般用来描述光孤子在双折变光纤、多模光纤及光纤阵列中的传播．大多数文献１－７］都是对常系数耦合非线性薛定谔方程进行研究，Ｍａｎａｋｏｖ于１９７３年提
ｏｆｔｈｅｃｏｕｐｌｅｄｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｖａｉｒａｂｌｅｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｄｙ－

2.1 非线性光学-耦合波方程.

第二章耦合波方程及二次谐波的产生§2.1 引言第一章我们讨论了光波在介质中传播时的响应过程，给出了光电场在介质中产生的极化强度及介质非线性极化率张量的表达式，并详细讨论了它们的性质。

由于介质的极化强度随时间变化，它们作为场源产生辐射场，这些辐射场就是在介质中发生各种光学现象的光电场。

这一章主要内容：(1)由非线性介质中的波动方程导出稳态和瞬态耦合波方程，以及曼利——罗宾关系；(2)二次谐波（倍频）的小信号解及有泵浦损耗的条件下的解；(3)讨论满足二次谐波产生的相位匹配条件，包括角度相位匹配、温度相位匹配和准相位匹配；(4)二次谐波的有效非线性系数及高斯光束的二次谐波。

§2.2 耦合波方程2.2.1 非线性波动方程用麦克斯韦方程(Maxwell)组描述介质中的线性和非线性光学性质都是有效的。

国际单位制的麦克斯韦方程组如下：BE t∂∇⨯=-∂ (2.2.1-1) DH j t∂∇⨯=+∂ (2.2.1-2) D ρ∇⋅= (2.2.1-3)0B ∇⋅= (2.2.1-4)描写电磁场对介质作用的本构方程：0D E P ε=+ (2.2.1-5)()0B H M μ=+ (2.2.1-6) j E σ= (2.2.1-7)介质中无自由电荷和电流，则00ρ==j分别在用∇⨯运算作用于BE t∂∇⨯=-∂式左右两边得到： 00μμ⎛⎫∂∂∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=- ⎪∂∂∂⎝⎭D E H t t t (2.2.1-8)由()2E E E ∇⨯∇⨯=∇∇•-∇及近似认为0E ∇•=；()()()0100101εεεχεχε=+=+⋅+=+⋅+=⋅+NLNLNLD E PE E P E PE P(2.2.1-9)从而得到波动方程为：()222εμμ∂⋅∂∇=+∂∂NLE PE t t (2.2.1-10) 小结：非线性波动方程右边多了一个非线性极化项22NLPt ∂∂，此非线性项可以看作一个波源，各种非线性光学现象的产生均是由此项引起的。

一类耦合非线性薛定谔方程组的求解

第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０５Ｇ１５基金项目:国家自然科学基金项目(１１７６１０４４)作者简介:仁世杰(１９９５Ｇ),男,甘肃庄浪人,助教,硕士,研究方向为孤立子理论及其应用．E Ｇm a i l :４８７４５０３９５＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ００３９Ｇ０５一类耦合非线性薛定谔方程组的求解仁世杰１,李永军２,张㊀娟３(１．兰州城市学院信息工程学院,甘肃兰州７３００７０;２．兰州城市学院电子工程学院,甘肃兰州７３００７０;３．宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)摘要:在可积条件c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï下,利用特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 方法,得到了双芯光纤变系数线性耦合薛定谔方程组i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïï的精确解．其中:C i (i ＝１,２)是常数;γi (t )(i ＝１,２)是第i 个纤芯的非线性参数;c (t )是两个纤芯之间的线性耦合参数．关键词:双芯光纤;线性耦合;薛定谔方程;可积;S i n e Ｇc o s i n e 方法中图分类号:O １７５．２９㊀㊀㊀文献标志码:AS o l v i n g aC l a s s o fC o u p l e dN o n l i n e a r S c h r öd i n g e rE qu a t i o n s R E N S h i Ｇj i e １,L IY o n g Ｇju n ２,Z HA N GJ u a n ３(１．S c h o o l o f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;２．S c h o o l o fE l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;３．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e ,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a n７５６０００,N i n gx i a ,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,t h e e x a c t s o l u t i o n s o f t h e l i n e a r l y c o u p l e d n o n l i n e a r S c h r öd i n g e r E qu a Ｇt i o n G r o u p i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïïïïw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s o f t w o Ｇc o r e f i b e r a r e c a l c u l a t e db y s p e c i a l t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d a n dm e t h o du n Ｇd e r i n t e g r a b l e c o n d i t i o n c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïïa m o n g wh i c h C i (i ＝１,２)i s t h e c o n Ｇs t a n t ,γi (t )i s t h e n o n l i n e a r p a r a m e t e r s o f t h e i Ｇt h c o r e a n d c (t )i s t h e l i n e a r c o u p l i n g p a r a m e Ｇt e r sb e t w e e n t h e t w o c o r e s ．K e y wo r d s :t w o Ｇc o r e f i b e r ;l i n e a r c o u p l i n g ;S c h r öd i n g e r e q u a t i o n ;i n t e g r a b l e ;S i n e Ｇc o s i n em e t h o d 0㊀引言双芯光纤耦合方程是一类数学与物理领域研究的热点方程,它描述了光纤中光孤子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效应相平衡的结果．因为光孤立子通信具有高码率㊁长距离和大容量的优点,可以构成超高速传输系统,所以光孤立子及其在通信中的应用研究具有重要的研究价值．文献[１]研究了变系数线性耦合的非线性薛定谔方程组:i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x β１１u (x ,t )－㊀β１２２∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２㊀u (x ,t )＋c v (x ,t )＋δa u (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x β２１v (x ,t )－㊀β２２２(t )∂２∂t２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２㊀v (x ,t )＋c (t )u (x ,t )－δav (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１)其中:βj １(j ＝１,２)是第j 个纤芯的群速度参数;βj ２(j ＝１,２)是第j 个纤芯的色散参数;γi (i ＝１,２)是非线性参数;c 是两个纤芯之间的线性耦合参数;δa 是两个纤芯的相速度参数．对于方程组(１),文献[１]针对非线性定向耦合器中光学明孤子的相互作用动力学进行了广泛的数值研究,考虑群速度失配,相速度失配,以及群速度色散和有效模面积的差异等因素的影响,主要使用数值方法研究了在均匀白躁声形式下的谐波无穷小扰动作用下亮孤子的稳定性．求解此类方程学有以下方法:I S T 方法[２Ｇ３],齐次平衡法[４Ｇ５],B äc k l u n d 变换方法[６Ｇ７],S i n e Ｇc o s i n e 方法[８Ｇ９]等．本文研究的是变系数的线性耦合非线性薛定谔方程组,方程组为i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋㊀γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋㊀γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀c (t )u (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(２)通过P a i n l e v é检验,得到当非线性参数和耦合参数满足:c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï(３)时,方程组(２)是P a i n l e v é可积的．本文在条件(３)基础上,首先利用S i n e Ｇc o s i n e 方法求解方程组的特殊精确解,然后选取满足方程的特定参数,并给出图像,所涉及的计算均由M a pl e 完成．1㊀预备知识S i n e Ｇc o s i n e 方法是求解非线性数学物理方程的有效方法,主要用于可积系统的求解．本节简单地介绍S i n e Ｇc o s i n e 方法．考虑非线性偏微分方程组i ∂∂T U (X ,T )－α∂２∂X ２U (X ,T )＋㊀㊀βU (X ,T )２U (X ,T )＋㊀㊀μV (X ,T )＝０,i ∂∂T V (X ,T )－α∂２∂X ２V (X ,T )＋㊀㊀βV (X ,T )２V (X ,T )＋㊀㊀μU (X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(４)假设方程组(４)的解具有如下形式:U (X ,T )＝r １(X ,T )e i (ωT ＋k X ),V (X ,T )＝r ２(X ,T )e i (ωT ＋k X )．{(５)将(５)代入方程组(４),得－α∂２∂X２r １(X ,T )＋i ∂∂T r １(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X ２r ２(X ,T )＋i ∂∂T r ２(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(６)分离(６)中实部和虚部,则式(６)等价于虚部为０:式(７),实部为０:式(８)．０４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷∂∂T r １(X ,T )－２αk ∂２∂X２r １(X ,T )＝０,∂∂T r ２(X ,T )－２αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＝０．ìîíïïïï(７)－α∂２∂X ２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïï(８)求解(７)可得r １(X ,T )＝F １(ξ),r ２(X ,T )＝F ２(ξ)．{(９)其中ξ＝２T αk ＋X２αk,F i (ξ)(i ＝１,２)为任意函数,其具体形式根据F i (ξ)(i ＝１,２)满足的条件确定．将(９)代入(８)得－１４αk ２∂２∂ξ２F １(ξ)＋β(F １(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F １(ξ)＋μF ２(ξ)＝０,－１４αk ２∂２∂ξ２F ２(ξ)＋β(F ２(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F ２(ξ)＋μF １(ξ)＝０．ìîíïïïïïïïï(１０)在方程组(１０)中,假设F i (ξ)(i ＝１,２)有如下形式:F i (ξ)＝E i s i n (h (ξ))＋G i c o s (h (ξ))＋H i (i ＝１,２),(１１)其中E i ,G i 和H i (i ＝１,２)是待定常数,同时h (ξ)满足常微分方程:d h (ξ)d ξ＝A s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))＋E ,(１２)其中A ,B 和E 是待定常数．再将(１１),(１２)代入(１０)中,整理得到关于s i n (h (ξ)),c o s (h (ξ))的多项式,令其系数为零,得到关于E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k 和ω的代数方程组．将得到的解带回(１２)中,再利用文献[１０]中介绍的S i n e ＧG o r d o n 方程(１２)的解,可以得到方程组(４)的解．2㊀方程组的求解本节使用S i n e Ｇc o s i n e 方法和特殊变换求方程组(２)的一组精确解．定义下列函数:T (t )＝－１t ,b (x ,t )＝－１２ln (２t ),a (x ,t )＝－(t －x )２４t,X (x ,t )＝x ２t ．ìîíïïïïïïïïïï(１３)方程(２)可经过变换:㊀u (x ,t )＝U (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ),v (x ,t )＝V (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ){(１４)转化为方程(４)．故先求解方程(４)得到方程的解U (X ,T ),V (X ,T ),然后再通过变换(１４)就可以得到原方程组(２)的解．由第一节求解方程组(４)可以得到E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k ,ω的代数方程组,令D １＝４H １α２k ４－４H １αk ２ω＋４H ２αk ２μ＋２A E E １－B E G １,D ２＝４H ２α２k ４＋４H １αk ２μ－４H ２αk ２ω＋２A E E ２－B E G ２,D ３＝４E ２α２k ４＋４E １αk ２μ－４E ２αk ２ω＋A ２E ２－A B G ２＋E ２E ２,D ４＝４G １αk ２μ－４G ２αk ２ω＋２A ２G ２＋３A B E ２－B ２G ２＋E ２G ２,则代数方程组有如下表示,－２４Ε１G １H １αβk ２＋３A E G １＋３B E E １＝０,(１５)１２E １２H １αβk ２－１２G １２H １αβk ２－３A E E １＋３B E G １＝０,(１６)１２E １２G １αβk ２－４G １３αβk ２－２A ２G １－４A B E １＋２B ２G １＝０,(１７)４E １３αβk ２－１２E １G １２αβk ２－２A ２E １＋４A B G １＋２B ２E １＝０,(１８)㊀－１２E １２H １αβk ２－４H １３αβk ２＋D １＝０,(１９)－４G １αk ２ω＋４G ２αk ２μ＋２A ２G １＋３AB E １－B ２G １＋E ２G １＋４＝０,(２０)－２４E ２G ２H ２αβk ２＋３A E G ２＋３B E E ２＝０,(２１)１２E ２２H ２αβk ２－１２G ２２H ２αβk ２－３A E E ２＋３B E G ２＝０,(２２)１２E ２２G ２αβk ２－４G ２２αβk ２－２A ２G ２－４A B E ２＋２B ２G ２＝０,(２３)４E ２３αβk ２－１２E ２G ２２αβk ２－１４第１期仁世杰等:一类耦合非线性薛定谔方程组的求解２A ２E ２＋４A B G ２＋２B ２E ２＝０,(２４)－１２E ２２H ２αβk ２－４H ２３αβk ２＋D ２＝０,(２５)－４E ２３αβk ２－１２E ２H ２２αβk ２＋D ３＝０,(２６)－１２E ２２G ２αβk ２－１２G ２H ２２αβk ２＋４G ２α２k ４＋D ４＝０．(２７)求解方程组(１５)－(２７),选取其中一组非平凡解:A ＝３３B ,B ＝B ,E ＝０,E １＝E ２,E ２＝E ２,H １＝０,H ２＝０,G １＝－３３E ２,G ２＝－３３E ２,k ＝－B ２E ２２αβ,ω＝－８E ４２β２－６E ２２βμ＋３B ２６E ２２β．ìîíïïïïïïïï(２８)将(２８)代入方程(１２),得d h (ξ)d ξ＝３３B s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))．(２９)求解微分方程(２９),得h (ξ)＝２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú．(３０)取特定例子如下:取定常数μ＝１０,β＝－１,α＝１,B ＝－１,E ２＝３,将(３０)代入方程组(１１),得F １(ξ)＝F ２(ξ)＝３s i n２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}．(３１)相应F ２i (ξ)(i ＝１,２)的图像如图１所示,特别地,当待定系数αβ＜０时,发现F ２i (ξ)(i ＝１,２)的能量凹陷,即为暗孤立子解．根据(５)和(２８)可知U (X ,T )＝V (X ,T )．当常数确定后,则k ＝－２６,ω＝３９７１８,ξ＝T ＋２６X ．(３２)由此U (X ,T ),V (X ,T )表示为U (X ,T )＝V (X ,T )＝{３s i n２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}}e I (３９７１８T －２６X )．(３３)图１㊀F ２i (ξ)的图像㊀㊀限制自变量的范围,得到U (X ,T )２图像,如图２所示．图２㊀U (X ,T )２的图像从图２发现U (X ,T )２的能量凹陷,即为暗孤立子解．将(１３)代入(３３)中,令D (x ,t )＝e －I (９x ２＋９t ２＋３２x －１８t x ＋７９４)＋１８t l n (２t )３６t,u (x ,t ),v (x ,t )表示为u (x ,t )＝v (x ,t )＝{３s i n２a r c t a n ３(１＋e －３２x －４３６t )－３＋e －３２x －４３６t éëêêùûúú{}－２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷３c o s２a r c t a n ３１＋e －３２x －４３６t ()－３＋e－３２x －４３６t éëêêùûúú{}}D (x ,t)．(３４)限制自变量的范围,得到u (x ,t )２图像如图３所示．图３㊀u (x ,t )２的图像㊀㊀从图３可以发现u (x ,t )２的部分能量突起,即为亮孤立子解．3㊀结语本文主要研究的是一类薛定谔方程组在可积条件下,通过特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 求解其精确解,然后给定待定的常数,确定方程组精确解的图像．本文的目标方程可进行适当地调整,若将部分常系数改为变量系数,那么可积条件将会发生变化,同时可使用上述方法求方程的精确解．参考文献:[１]G O V I N D A R A J A N A ,A R UMU G AM M ,U T HA Y A ＧK UMA R A．I n t e r a c t i o nd y n a m i c so fb r i gh ts o l i t i o n s i n L i n e a r l y c o u p l e d a s y mm e t r i c s y s t e m s [J ]．O p t Q u a n tE l e c t r o n ,２０１６,４８(１２):５６３．[２]G A R D N E R C S ,G R E E N EJ M ,K R U S K A L M D ,e ta l ．M e t h o d f o r s o l v i n g t h eK o r t e w e g Ｇd eV r i e s e q u a t i o n [J ]．P h y sR e v ,１９６７,１９:１０９５Ｇ１０９７．[３]郭玉翠．非线性偏微分方程引论[M ]．北京:清华大学出版社,２００８．[４]F A N E G ,Z HA N G H Q．N e we x c e pt s o l u t i o n s t oa s y s t e mo fc o u p l e de q u a t i o n s [J ]．P h y Le t t A ,１９９８,２４５:３８９Ｇ３９２．[５]WA N G M L ．E x a c ts o l u t i o n sf o rac o m po u n d K d v ＧB u r g e r s e q u a t i o n [J ]．P h ys L e t t A ,１９９６,２１３:２７９Ｇ２８７．[６]M I U R A M R．B a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n [M ]．B e r l i n :S p r i n g e r ＧV e r l a g,１９７８．[７]C A O X F ．B äc k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o raf a m i l y of c o u p l e dK d ve q u a t i o n s [J ]．P h y sS c r ,２０２３,９８:１１５Ｇ２０９．[８]李新月,祁娟娟,赵敦,等．自旋Ｇ轨道耕合二分量玻色Ｇ爱因斯坦凝聚系统的孤子解[J ]．物理学报,２０２３,７２(１０):２８５Ｇ２９５．[９]X I AJ ,Y A N GD ,Z HO U H ,e t a l ．E v o l v i n g ke r n e l e x Ｇt r e m e l e a r n i n g m a df o r m e d i c a ld i ag n o s i sv i aad i s Ｇp e r s e f o r a g i n g s i n ec o n s i n ea l g o r i th m [J ]．C o m pu t e r s i nB i o l o g y an d M e d i c i n e ,２０２２,１４１:１０５１３７．[１０]Y A N C T．S o m e t h i n g hi d d e ni nt h eF o u r i e rs e r i e s a n d i t s p a r t i a l s u m :S o l i t a r y w a v e s o l u t i o n t o p o l y n o Ｇm i a l n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e qu a t i o nw a v em o t i o n [J ]．P h y Le t tA ,１９９７,２６:２１９Ｇ２３７．[责任编辑:赵慧霞]３４第１期仁世杰等:一类耦合非线性薛定谔方程组的求解。

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。

薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。

随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。

1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。

非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。

因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。

1 分步傅里叶法计算演化过程对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。

上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。

对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。

可以得到2kk k k kdAi A i a adzβγ=∆+F.其中222kiββ∆=Ω令()expk kA B i zβ=∆可以得到()2expkk k kdBi a a i zdzγβ=-∆F以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。

耦合非线性薛定谔方程的怪波解分析

分类号：密级：U D C：编号：河北工业大学硕士学位论文耦合非线性薛定谔方程的怪波解分析论文作者：牛瑞学生类别：全日制学科门类：理学硕士学科专业：物理学指导教师：李再东职称：教授资助基金项目：国家自然科学基金(61774001)，河北省研究生示范课程建设项目和河北省高等学校科学技术研究项目(ZD2015133)。

Dissertation Submitted toHebei University of TechnologyforThe Master Degree ofScienceANALYSIS OF ROGUE WA VE SOLUTIONS FOR COUPLED NONLINEARSCHRÖDINGER EQUATIONSbyNiu RuiSupervisor: Prof. Li Zai-DongDecember 2018This work was supported by the Natural Science Foundation of China, No. 61774001, the Construction Project of Graduate Demonstration Course in Hebei Province, and the Key Projects of Scientific and the Technological Research in Hebei Province, No. ZD2015133.原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本学位论文不包含任何他人或集体已经发表的作品内容，也不包含本人为获得其他学位而使用过的材料。

对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人或集体，均已在文中以明确方式标明。

本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。

学位论文作者签名：日期：关于学位论文版权使用授权的说明本人完全了解河北工业大学关于收集、保存、使用学位论文的以下规定：学校有权采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供本学位论文全文或者部分内容的阅览服务；学校有权将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流；学校有权向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版。

变系数_2_1_维非线性薛定谔方程的孤子解

第30卷第5期吉首大学学报(自然科学版)Vol.30No.5 2009年9月Journ al of Jishou University(Natural Science Edition)Sept.2009文章编号:1007-2985(2009)05-0056-04变系数(2+1)维非线性薛定谔方程的孤子解*徐四六,陈顺芳(咸宁学院电子与信息工程学院,湖北咸宁437005)摘要:利用F-展开法求解了一个变系数的(2+1)维非线性薛定谔方程,从而得到一个精确的明、暗孤子的解析解,这些孤子构成了一类空间孤子簇.关键词:空间孤子;F-展开法;非线性薛定谔方程中图分类号:O43文献标识码:A自然界普遍存在非线性物理现象,均可采用NLSE(非线性薛定谔方程)描述.近来,非线性薛定谔方程已经成为研究的热点,究其原因是因为它是自然界普遍存在的非线性物理现象的重要方程,是非常重要的一类非线性模型.它描述自然界许多物理现象,如玻色-爱因斯坦凝聚、非线性光学中的光脉冲传输、等离子物理和流体力学等都可以归于这一类模型.由于非线性偏微分方程的精确解可以解释自然界存在众多的非线性物理现象.因此,非线性偏微分方程再次引起人们的高度关注和研究热情.传统精确求解非线性方程的方法有:Zakhar ov和Shabat[1]的逆散射法(IST);Painleve展开法、H ir ota双线性法、Backlund[2]变换等.近年来,随着理论研究和实验探究的发展,一些处理非线性问题的数学方法与技巧得到飞速发展,尤其值得关注的是非线性偏微分方程解析解的解法研究领域中出现的各种代数方法,如齐次平衡原理[3-4]、扩展双曲函数法、F-展开技术[5-6]等.由于逆散射方法在一维情况下可以得到稳定的孤子解,但在高维情况(包含二维、三维)下,该方法已不再适用.因此,笔者将利用改进的齐次平衡原理[7]和F-展开技术[6-7],获得变系数含损耗或增益的(2+1)维非线性薛定谔方程(NLSE)的精确孤子解.1变系数的(2+1)维非线性薛定谔方程模型及解法在直角坐标系中,描述克尔介质中二维各向异性的空间孤子的传输特性,可以用一般的变系数(2+1)维非线性薛定谔模型来描述,其归一化形式为[7-8]:i 9u9t+12B1(t)92u9x2+12B2(t)92u9y2+C(t)|u|2u=i g(t)u,(1)其中:u(z,x,y)是光弹包络或物质波波包;t是归一化传输时间;x,y是归一化的两维空间坐标;B1(t), B2(t)的物理意义决定于具体的物理模型,在空间孤子模型中,B1,2(t)代表衍射系数[9];C(t)是Kerr(克尔)非线性系数,其值可以取正或负的值,当C(t)>0时,其对应于聚焦非线性介质,相反对应于散焦非线性介质;g(z)是增益或损耗系数.对于模型(1),当B1=1,B2=C=-1,g=0时,方程简化为Kerr(克尔)介质中标准的二维非线性薛*收稿日期:2009-07-20作者简介:徐四六(1968-),男,湖北咸宁人,湖北咸宁学院物理系讲师,华中科技大学博士生,主要从事光学空间孤子的理论和数值模拟研究.定谔方程[10-11].特别地,当t 和z 变化时,使B 1=0,B 2=1,方程(1)化简为(1+1)推广的分布系数的非线性薛定谔方程,此方程控制单模光纤中光孤子的传播规律[10,12].精确的啁啾自相似的孤子解已经获得,并且孤子解的稳定性得到了证实[13].3种类型的新奇自相似孤子解已经获得[14].进而当B 1=B 2时,方程(1)描述(2+1)维时空孤子(光弹)在层状的克尔非线性分布系数介质中的传输规律.同时,方程(1)体现了另一种描述波色-爱因斯坦凝聚的中的物质波的非线性G -P 方程.最近的研究表明,在周期性的光子晶格控制下,能够得到稳定的物质波.为了寻求方程(1)式的解,笔者定义复场包络为u(t,x ,y )=A(t,x ,y )e i B(t,x,y),(2)其中A(t,x ,y ),B(t,x ,y )分别为场的大小和相位,它们是时间空间坐标的实函数.将(2)式代入(1)式,让实部与虚部分别为零,则可以得到以下2个耦合方程:9A 9t +B 1(29A 9x 9B 9x 2+A 92B 9x 2)+B 2(29A 9y 9B 9y +B 2A 92B 9y 2)=g(t)A ,(3)-A 9B 9t +12B 1[92A 9x 2-A(9B 9x )2]+12B 2[92A 9y 2-A(9B 9y )2]+C (t)A 3=0.(4)根据推广的F -展开方法和齐次平衡原理[3-5],则A (t,x ,y,z )=f 1(t)+f 2(t)F(H )+f 3(t)F -1(H ),(6)H =k(t)x +l(t)y +X (t),(7)B(t,x ,y )=a(t)(x 2+y 2)+b(t)(x +y )+e(t),(8)其中:f 1,f 2,f 3,k,l,a,b,e 是待确定的系数;F(H )是Jacobi 椭圆函数,满足方程:(d F d H)2=q 0+q 2F 2+q 4F 4.2 变系数的(2+1)维非线性薛定谔方程的孤子解把(6)至(8)式代入(3)至(4)式,令x s F n ,y s F n (s =0,1,2;n =0,1,2,3)和q 0+q 2F 2+q 4F 4的系数都为0,其中:s =0,2;n =0,1,2,3.可以得到如下2种情况的周期性的行波解:(1)若B 1,2(t),C (t)和g(t)是传输时间的任意函数,则选取f 1=f 3=a =0,b(t)=b 0,k(t)=k 0,l(t)=l 0,可以得到:f 2=f 20exp [Q t 0g(S )d S ],(9)X (t)=-k 0b 0Q t 0B 1(S )d t -p 0l 0Q t 0B 2(S )d S +X 0,(10)e(t)=(12q 2k 20-b 20)Q t 0B 1(S )d S +12(q 2l 20-b 20)Qt 0B 2(S )d S +e 0,(11)C =-B 1k 20q 4+B 2l 20q 4f 220ex p [-2Q t0g (S )d S ].(12)其中带下标的/00表示变系数的初始值.应当引起注意的是,(9)至(11)式决定了一种新的类型的空间孤子参数,特别地,衍射参数B 1(t),B 2(t)紧密关联着非线性系数C (t)和增益系数g(t).将(9)至(11)式代入(2)式及(6)至(8)式,可以得到:H =k 0x +l 0y +p 0z +w (t),(13)u(t,x ,y )=f 20ex p [Q t 0g(S )d S ]F(H )e i [b 0(x+y)+e],(14)其中q 参数见文献[4-5]中的m 值,对于给定的m 值,q 0,q 2,q 4的值能够确定.特别地,当m y 1时,以上Jacobi 椭圆函数退化成双曲函数,即sn (H )y tan h(H ),cn (H )y sec h(H ),dn (H )y sec h(H ).所以周期性Jacobi 椭圆函数行波解可以变成如下的空间孤子解:u 1(t,x ,y ,z )=f 20exp [Q t 0g (S )d S ]tan h(H 1)exp {i [b 1-(k 20+12)Q t0B 1(S )d S -(l 20+12b 20)Q t 0B 2(S )d S ]+e 0},(15)57第5期徐四六,等:变系数(2+1)维非线性薛定谔方程的孤子解u 2(t,x ,y )=f 20ex p [Q t 0g(S )d S ]sec h(H 1)exp {i b 1+i [12k 20-b 20]Q t 0B 1(S )d S +i [(-12(l 20-b 20)]Q t 0B 2(S )d S ]+e 0},(16)此时可知衍射系数B 1,2(t),非线性系数C (t)和以及增益系数g(t)是相互关联的,当B 1(k 20+l 20)q 4+B 2p 20q 4f 220C<0时,空间孤子解(15),(16)式可以获得.(2)若B 1,2(t),C (t)和g(t)是传输时间的任意函数,则选取f 1=f 3=0,b(t)=b 0a(t),k (t)=k 0a(t),l(t)=l 0a(t),可以得到:f 2=f 20a exp [Q t 0g(S )d S ],(17)-12a 2d a d t =B 1=B 2,(18)X (t)=12(k 0+l 0)b 0a +X 0,(19)e(t)=-14q 2(k 20+l 20)a -34b 20a +e 0,(20)C =-q 4(k 20+l 20)B 1f 220a ex p [-2Qt 0g(S )d S ].(21)将(17)至(21)式代入(2)式及(6)至(8)式,则u(t,x ,y )=f 20a ex p [Q t 0C (S )d S ]F (H )e i[a(x 2+y 2)+b 0a(x+y )+e].(22)类似上述情况1,当m y 1时,周期性Jacobi 椭圆函数行波解可变成如下的空间孤子解:u 31(t,x ,y ,z )=f 20a ex p [Q t 0g(S )d S ]tan h(H 2)ex p {i [K +12(k 20+l 20)a -14b 20a+e 0]},(23)u 32(t,x ,y ,z )=f 20ex p [Q t 0g(S )d S ]sec h(H 2)ex p {i [K -14(k 20+l 20)a -14b 20a+e 0]}.(24)其中:H 2=a(x 2+y 2)+(k 0+l 0)b 0a+12(k 0+l 0)b 0a+X 0;K =a(x 2+y 2)+b 0a(x +y ).根据以上的解析解可以得到,存在着2种类型的空间孤子,并且得到的孤子解可以简化为(1+1)维的孤子解[15].特别值得注意的是,q 4(k 20+l 20)B 1f 220a C<0时,可以获得啁啾性的周期性Jaco bi 椭圆函数行波解和空间孤子解.3 结语利用推广的平衡原理和F-展开法研究了变系数含损耗或增益的(2+1)维非线性薛定谔方程,得到了一类精确的Jacobi 椭圆函数解.在极限情况下,这些周期性Jacobi 椭圆函数可以过渡到双曲函数,从而得到精确的时空孤子解.这些解受衍射或色散系数、非线性系数、损耗或增益函数之间的关系的限制.该求解方法也可推广到其他非线性数学物理方程的求解.参考文献:[1] ZA L T H AR OV V E,SH ABA T A B.Exact T heo ry of T wo -Dimensional Self -M odulatio n of W aves in N onlinear M edia[J].Sov.P hy s.JET P.,1972,34:62.[2] M A T V EEV V B,SA L LE M A.Darboux,T r ansfo rmatio ns and So litons [M ].Ber lin:Spr inger ,1991:125-128.[3] F AN E G,ZH AN G H Q.T wo T ypes of T raveling W ave So lutio ns to Bur ger s -KdV Equations [J].Phy s.Lett.A,1998,246:403-406.[4] FA N E G.Ex tended T anh -Function M etho d and I ts A pplicatio ns to No nlinear Equatio ns [J].P hy s.Lett.A,2000,265:353-357.[5] ZH OU Y B,WA N G M L ,WA N G Y M.P 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(2+1)-dimensional Schr Êdinger equa -tion w ith distributed coefficients,and thus exact solutions to bright and dark so litons are g otten.T hose solitons co nstitute a class of so lito n cluster.Key words:spatial solitons;F -ex pansion technique;nonlinear Schr Êding er equation(责任编辑陈炳权)59第5期徐四六,等:变系数(2+1)维非线性薛定谔方程的孤子解。

一类(2+1)维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的有理解及怪波

一类(2+1)维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的有理解及怪波李倩;舒级;汪春江;王云肖;杨袁【摘要】利用painleve分析,判别非线性微分方程的可积性,根据双线性导数,借扩展同宿呼吸检验法检验方程变换后的形式,讨论了非线性波动方程的有理解.在同宿呼吸子孤波中,当孤波的周期趋于无穷时得到了怪波解.%This paper discusses a class of classical (2+1)-dimensional KP equation, which has found wide applications in hydrodynamics, plasma physics, gas dynamics.By use of the Painleve analysis, the integrability of nonlinear differential equation is determined.Double linear method of Hirota is a transformation in nature.By testing the form with expanded homoclinic breather limit method, the form of the transformed equation is tested and the rational solution of the nonlinear wave equation is put under examination.Among homoclinic breather solitary waves, the cusp wave solution is worked out when the period of the solitary wave tends to be infinite.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2017(032)002【总页数】5页(P68-71,81)【关键词】KP方程;精确解;同宿呼吸子极限法;有理解;怪波【作者】李倩;舒级;汪春江;王云肖;杨袁【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O17.27非线性科学问题的研究可用非线性偏微分方程来简练而准确地描述，求解非线性偏微分方程的精确解具有非常重要的理论和应用价值，尤其是孤立子解，其中KP方程是一类具有代表性的方程.1970年,Kadomtsev等[1]提出了一种二维波色散方程[1]，即一类KdV方程的孤子解在弱横向扰动影响下的稳定性，这个方程被称为KP方程,并认为其原型是二维上的可积的非线性色散波方程.KP方程是一个完全可积系统且有非常丰富的数学结构.数学结构包括N-soliton解的存在性、逆散射变换的Lax形式、无限维对称性的存在.1981年,佐藤提出了佐藤通用格拉斯曼流,给出KP方程是一个Plucker Grassmannian关系.近年来已出现了许多研究方法，如反散射法[6]，Backlund变换[7]，Darboux变换法[8]，Hirota方法[9]，tanh 函数方法[10]等.耦合的KdV方程组和扩散长水波方程组也进行了探讨并获得了一些孤子解[11].KP方程的解用图像模拟出来就形成怪波现象，也就是“畸形波”(freak wave)的概念[12]. Draper首次提出[12]，此后越来越多的学者开始关注这一现象，有的把它叫做怪波，杀人波，极端风浪等[13].从直观上看，怪波具有超常的波高，因此大多数学者和研究人员只能从波高角度对其进行定义[14]，即认为波高大于有效波高2倍(或2.2倍)的单波可以称为怪波[15-18](H>2Hs，或H>2.2Hs).怪波产生的原因包括外在影响因素和内在作用机理两种.调制不稳定性(Benjamin-Feir不稳定性)是生成怪波的一个重要机理[19-20].目前对此类方程研究主要有达布变换、反散射方法、代数几何极限方法等.已有的研究结果有: 常系数的非线性Schrodinger方程[21]、非线性导数Schrodinger方程[22]、耦合的NLS-MB方程[23]、两分量的非线性Schrodinger方程[24-25]、变系数的非均质的非线性Schrodinger方程[26]、非自治的非线性Schrodinger方程[27]、变系数非线性导数Schrodinger方程[28]、Hirota方程[29]、高阶方程[30]、KP方程[31]等.本文结合painleve分析、双线性导数和扩展同宿呼吸检验法得到uxt+6(+uuxx)+uxxxx+λuyy=0的有理解和怪波解.其中，u是关于x，y，t的函数，λ=1.该方程在流体动力学、等离子物理、气体动力学等方面有广泛应用. 下面给出一般的非线性偏微分方程形式:P(u,ut,ux,uy，…)=0,其中，P是一个多项式，u(t，x，y): Rx×Ry×Rt→R.下面求解u(t，x，y).步骤1 借助于Painleve分析，作代换u=T(f),f是一个未知函数.步骤2 由步骤1，将原始方程转变为Hirota双线性形式 G(Dt，Dy；f)=0, D有如下定义步骤3 采用扩展同宿呼吸检验法求出以上方程的同宿呼吸子孤波解.步骤4 在同宿呼吸子孤波解中，令周期趋于无穷，可以得到同宿波的有理解，即怪波解.定理2.1 在参数p1=p条件下，(2+1)维KP方程的有理解为证明由行波变换ξ=x+ct(c为常数)，得容易看到方程(6)有平衡解u0,其中u0为任意常数.假定其中，f(ξ，y)是实函数，将方程(7)代入(6)，得到下面双线性形式其中，·f=2(ff4ξ-4fξ)·f=2().对于方程(8)，可以通过下面的形式运用同宿检验法求解其中，p1，p，a，b，δ1，δ2是常实数.将方程(4)代入方程(3)，得到关于ep1(ξ-ay)的代数方程，即令ejp(ξ-ay)(j=-1,0,1)前的系数全为0，得令p1=p,方程组(5)化简如下求解方程组(6)其中，a，b，u0，δ2是任意实常数.令u0≠且δ2>0，有或将(7)代入(4)，有其中，，p=±，a，b为实数.将(8)代入(4)，可得有理解其中u1(ξ，y)，u2(ξ，y)体现了一种新的族波即双波.其振幅随时间的演变呈周期性振荡，向后向的周期波发生弹性碰撞，一列波以速度b传播，另一列波以向相反方向传播.定理2.2 在参数δ2=1,周期趋于,m1趋于1时，(2+1)维KP方程的怪波解为证明令δ2=1,即(δ2)=0,将其代入u2(ξ，y),可化简为其中考虑(ξ，y)的呼吸子极限，当周期趋于,即p趋于0.经计算，得其中，,并假定m1趋于，p趋于0时有a=b.包含两种不同方向和速度的波.易验证Urouguewave为(6)的有理解，同时Urouguewave也是呼吸子类型解.实际上，对于固定的，当y→±时，有U→0.所以，U不仅是呼吸子的有理解，也是怪波解，它比周围一般的波振幅高2～3倍，而且通常在短时间内形成.这就说明怪波可以来自实方程中的呼吸子孤波解.因此，可以认为在一定时间内的能量聚集或叠加是产生怪波的原因之一.令ξ=x+ct,代入(9)，得到(2+1)维KP方程的怪波解其中，,并假定m1趋于，p趋于0时有a=b.文中运用同宿呼吸子极限法求解(2+1)维KP方程，得到同宿呼吸解和同宿有理解，其中同宿有理解包含怪波解.下一步将应用其它方法得出更多可积和不可积系统的怪波解.对于满足Lax可积的方程或方程组可改写为其他等价形式，借助达布变换得到其平凡解和非平凡解.【相关文献】[1] Kadomtsev B B, Petviashvili V I. 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非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解

1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。

非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。

上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。

对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。

一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解

第１７卷㊀第１期２０１９年３月南京工程学院学报(自然科学版)ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ)Ｖｏｌ.１７ꎬＮｏ.１Ｍａｒ.ꎬ２０１９㊀㊀ｄｏｉ:１０.１３９６０/ｊ.ｉｓｓｎ.１６７２－２５５８.２０１９.０１.０１５投稿网址:ｈｔｔｐ://ｘｂ.ｎｊｉｔ.ｅｄｕ.ｃｎ一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解洪宝剑１ꎬ陈㊀威２ꎬ陈㊀阳２ꎬ刘昊霖２ꎬ廖凯鑫２ꎬ张书青２(１.南京工程学院数理部ꎬ江苏南京２１１１６７ꎻ㊀２.南京工程学院电力工程学院ꎬ江苏南京２１１１６７)摘㊀要:利用光孤子传输信息的光纤通信系统在远距离和大容量传输方面具有极大的优势.非线性薛定谔方程被认为是描述光孤子传播的最佳模型ꎬ但标准薛定谔方程(ＮＬＳ)是光纤无损耗特殊情况下得到的ꎬ故在描述光孤子的特性时ꎬ考虑高阶非线性和高阶色散ꎬ得出的结果往往比低阶的非线性方程更准确㊁有效.利用行波约化方法ꎬ研究一个带有高阶色散项的广义ＮＬＳ方程ꎬ结合(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法和辅助方程法ꎬ借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件ꎬ求得该方程的几组新解ꎬ包括扭结及反扭结波解㊁奇异波解及三角函数周期波解等.关键词:高阶非线性薛定谔方程ꎻ光纤通讯ꎻ行波约化ꎻ(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法ꎻ孤立波中图分类号:Ｏ１７５.２５收稿日期:２０１８－０９－２１ꎻ修回日期:２０１８－０９－２８基金项目:江苏省高等学校自然科学研究项目资助(１８ＫＪＢ１１００１３)ꎻ江苏省大学生实践创新训练计划指导项目(２０１８１１２７６０６０Ｘ)ꎻ南京工程学院科研基金资助项目(ＺＫ２０１５１３).作者简介:洪宝剑ꎬ博士ꎬ副教授ꎬ研究方向为非线性科学.Ｅ￣ｍａｉｌ:ｈｂｊ＠ｎｊｉｔ.ｅｄｕ.ｃｎ引文格式:洪宝剑ꎬ陈威ꎬ陈阳ꎬ等.一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解[Ｊ].南京工程学院学报(自然科学版)ꎬ２０１９ꎬ１７(１):８０－８４.１㊀研究现状非线性薛定谔方程是一类重要的非线性演化方程ꎬ并且被推广到变系数㊁复系数㊁高维㊁高阶㊁非局域和分数阶等包含各类物理效应的ＮＬＳ方程[１－３]ꎬ故研究薛定谔方程的解具有重要的物理意义.本文讨论光孤子领域的一个含有三阶色散㊁四阶色散㊁三次非线性和五次非线性项的高阶薛定谔方程[４－５]:㊀ｉｑｔ＋１２ｑｘｘ＋｜ｑ｜２ｑ＋ｉα(ｑｘｘｘ＋６ｑｘ｜ｑ｜２)＋㊀㊀γ(ｑｘｘｘｘ＋６ｑ２ｘｑ∗＋４ｑ｜ｑｘ｜２＋８ｑｘｘ｜ｑ｜２＋㊀㊀２ｑ∗ｘｘｑ２＋６ｑ｜ｑ｜４)＝０(１)式中:γ为任意常数ꎻｑ为缓变的电场包络.文献[４]通过广义的达布变换获得该方程的怪波解ꎻ文献[５]运用双线性和达布变换方法获得了该方程的孤子解和呼吸子解ꎬ并讨论了解的性质ꎬ当α＝０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为标准的ＮＬＳ方程ꎻ当αʂ０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为著名的Ｈｉｒｏｔａ方程[６－７]ꎻ当γʂ０ꎬα＝０ꎬ方程(１)退化为Ｌａｋｓｈｍａｎａｎ￣Ｐｏｒｓｅｚｉａｎ￣Ｄａｎｉｅｌ(ＬＰＤ)方程[８－９].因而研究方程(１)具有重要的意义.目前ꎬ求解孤子方程有试探函数法㊁ｊａｃｏｂｉ椭圆函数法㊁ｔａｎｈ￣ｃｏｔｈ展开法㊁分步傅里叶法㊁Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换法㊁达布变换法㊁形变映射法㊁对称约化法等[１０－１２].利用这些方法ꎬ国内外学者成功求解出不同类型的偏微分方程.这些解有数值解也有精确解ꎬ在不同领域不同的解具有不同的价值.本文通过近期被国内外学者广泛运用的(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法[１３]成功求解方程(１)ꎬ得到几组新的行波解ꎬ这些新解对于研究非线性数学物理方程具有重要的意义.２㊀(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法及方程求解２.１㊀高阶非线性薛定谔方程行波约化㊀㊀假设方程(１)的精确波解为:㊀ｑ(ｘꎬｔ)＝ｕ(ξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２)式中:Ｌ㊁ｍ㊁ｋ㊁ω为待定常数.将式(２)代入方程(１)ꎬ得到一个复的常微分第１７卷第１期洪宝剑ꎬ等:一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解方程ꎬ将其分为实部和虚部方程ꎬ得到:㊀(－ｋ２２－ω＋ｋ３α＋ｋ４γ)ｕ＋１－６ｋ２α－１２ｋ２γ()ｕ３＋㊀㊀６γｕ５＋１０Ｌ２γｕ(ｕᶄ)２＋(Ｌ２２－３ｋＬ２α－６ｋ２Ｌ２γ)ｕᵡ＋㊀㊀１０Ｌ２γｕ２ｕᵡ＋Ｌ４γｕ(４)＝０(３)㊀(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕᶄ＋(６Ｌα＋２４ｋＬγ)ｕ２ｕᶄ＋㊀㊀(Ｌ３α＋４ｋＬ３γ)ｕ(３)＝０(４)将式(４)积分得到:㊀(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ＋(２Ｌα＋８ｋＬγ)ｕ３＋㊀㊀(Ｌ３α＋４ｋＬ３γ)ｕᵡ＝Ａ(５)式中ꎬＡ为积分常数.当α＝０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为标准的薛定谔方程ꎬ但从文献[１４]中可以推断ꎬ在方程(１)系数条件下利用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法没有实数解ꎬ故当α㊁γ不同为０时ꎬ可将式(３)和式(５)合并ꎬ有:㊀(－ｋ２２－ω＋ｋ３α＋ｋ４γ)ｕ＋(１－６ｋ２α－１２ｋ２γ)ｕ３＋６γｕ５＋㊀㊀(Ｌ２２－３ｋＬ２α－６ｋ２Ｌ２γ)(Ａ－(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ－(２Ｌα＋８)ｕ３)Ｌ３α＋４ｋＬ３γ＋㊀㊀１０Ｌ２γｕ２(Ａ－(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ－(２Ｌα＋８)ｕ３)Ｌ３α＋４ｋＬ３γ＋１０Ｌ２γｕ(ｕᶄ)２＋Ｌ４γｕ(４)＝０(６)２.２㊀应用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法求解约化后的非线性常微分方程㊀㊀由(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法的思想[１５－１６]ꎬ假设式(６)的解为:㊀ｕ(ξ)＝ðｎｉ＝０ａｉＧᶄＧ(７)式中ꎬｎ为平衡常数.根据齐次平衡原则[１７]ꎬ通过平衡方程(６)最高导数阶数ｕ(４)和最高非线性项ｕ５得到ｎ＝１ꎬ从而可设方程(７)的一般形式为:㊀ｕ(ξ)＝ａ０＋ａ１ＧᶄＧ(８)式中ꎬａ０㊁ａ１为待定系数.并且Ｇ＝Ｇ(ξ)满足方程二阶线性常微分方程:㊀Ｇᵡ(ξ)＋λＧᶄ(ξ)＋μＧ(ξ)＝０(９)当λ２－４μ>０ꎬ可以得到方程(９)的双曲函数解:㊀Ｇ＝[Ａ１ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)]ｅ－λ２ξ(１０)㊀ＧᶄＧ＝λ２－４μ２Ａ１ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)Ａ１ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)æèççöø÷÷－λ２(１１)当λ２－４μ<０ꎬ可以得到方程(９)的三角函数周期解:㊀Ｇ＝[Ａ３ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ３ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)]ｅ－λ２ξ(１２)㊀ＧᶄＧ＝４μ－λ２２－Ａ３ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ４ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)Ａ３ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ４ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)æèççöø÷÷－λ２(１３)㊀㊀当λ２－４μ＝０ꎬ可以得到方程(９)的有理解:㊀Ｇ＝(Ａ１ξ＋Ａ２)ｅ－λ２ξ(１４)㊀ＧᶄＧ＝Ａ５Ａ５ξ＋Ａ６－λ２(１５)式中ꎬＡ１㊁Ａ２㊁㊁Ａ６为任意常数.将式(９)和式(８)代入方程(６)中得到关于ＧᶄＧ各次幂的多项式ꎬ将各项系数待定为０后ꎬ得到超定非线性代数方程组:㊀－３ａ３１ｋＬα２＋３ａ３１ｋ２Ｌα２＋５ａ３１ｋＬγ＋５ａ３１ｍγ＋７０ａ２０ａ３１Ｌαγ－２７ａ３１ｋ２Ｌαγ＋１２ａ３１ｋ３Ｌαγ＋２８０ａ２０ａ３１ｋＬγ２－㊀㊀２０ａ３１ｋ３Ｌγ２－１０ａ０ａ２１Ｌ３αγλ－４０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２λ－５ａ３１Ｌ３αγλ２－２５ａ１Ｌ５αγλ２－２０ａ３１ｋＬ３γ２λ２－㊀㊀１００ａ１ｋＬ５γ２λ２－１０ａ３１Ｌ３αγμ－２０ａ１Ｌ５αγμ－４０ａ３１ｋＬ３γ２μ－８０ａ１ｋＬ５γ２μ＝０㊀Ａ－ａ０ｋＬ－ａ０ｍ－６Ａｋα＋８ａ０ｋ２Ｌα＋６ａ０ｋｍα－２ａ０Ｌωα＋１２ａ３０ｋＬα２－１２ａ３０ｋ２Ｌα２－１６ａ０ｋ３Ｌα２＋２０Ａａ２０γ－㊀㊀１２Ａｋ２γ－２０ａ３０ｋＬγ＋１２ａ０ｋ３Ｌγ－２０ａ３０ｍγ＋１２ａ０ｋ２ｍγ－８ａ０ｋωＬγ－２８ａ５０Ｌαγ＋１０８ａ３０ｋ２Ｌαγ－４８ａ３０ｋ３Ｌαγ－㊀㊀５０ａ０ｋ４Ｌαγ－１１２ａ５０ｋＬγ２＋８０ａ３０ｋ３Ｌγ２－４０ａ０ｋ５Ｌγ２＋２ａ１Ｌ５αγλ３μ＋８ａ１ｋＬ５λ３γ２μ＋２０ａ０ａ２１αＬ３γμ２＋１８南京工程学院学报(自然科学版)２０１９年３月㊀㊀８０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２μ２＋１６ａ１Ｌ５αγλμ２＋６４ａ１ｋＬ５γ２λμ２＝０㊀１８ａ０ａ２１ｋＬα２－１８ａ０ａ２１ｋ２Ｌα２＋１０Ａａ２１γ－３０ａ０ａ２１ｋＬγ－３０ａ０ａ２１ｍγ－１４０ａ３０ａ２１Ｌαγ＋１６２ａ０ａ２１ｋ２Ｌαγ－㊀㊀７２ａ０ａ２１ｋ３Ｌαγ－５６０ａ３０ａ２１ｋＬγ２＋１２０ａ０ａ２１ｋ３Ｌγ２＋１０ａ０ａ２１Ｌ３αγλ２＋４０ａ１ａ２１ｋＬ３γ２λ２＋１５ａ１Ｌ５αλ３γ＋㊀㊀６０ａ１ｋＬ５γ２λ３＋２０ａ０ａ２１Ｌ３αγμ＋８０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２μ＋２０ａ３１Ｌ３αγλμ＋６０ａ１Ｌ５αγλμ＋８０ａ３１ｋＬ３γ２λμ＋㊀㊀２４０ａ１ｋγ２Ｌ５λμ＝０㊀－ａ１ｋＬ－ａ１ｍ＋８ａ１ｋ２Ｌα＋６ａ１ｋｍα－２ａ１Ｌωα＋３６ａ２０ａ１ｋＬα２－３６ａ２０ａ１ｋ２Ｌα２－１６ａ１ｋ３Ｌα２＋４０Ａａ０ａ１γ－㊀㊀６０ａ２０ａ１ｋＬγ＋１２ａ１ｋ３Ｌγ－６０ａ２０ａ１ｍγ＋１２ａ１ｋ２ｍγ－８ａ１ｋＬωγ－１４０ａ４０ａ１Ｌαγ＋３２４ａ２０ａ１Ｌｋ２αγ－㊀㊀１４４ａ２０ａ１ｋ３Ｌαγ－５０ａ１ｋ４Ｌαγ－５６０ａ４０ａ１ｋＬγ２＋２４０ａ２０ａ１ｋ３Ｌγ２－４０ａ１ｋ５Ｌγ２＋２ａ１Ｌ５αλ４γ＋８ａ１ｋＬ５γ２λ４＋㊀㊀４０ａ０ａ２１Ｌ３αγλμ＋１６０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２λμ＋４４ａ１Ｌ５αγλ２μ＋１７６ａ１ｋＬ５γ２λ２μ＋２０ａ３１Ｌ３αγμ２＋３２ａ１Ｌ５αγμ２＋㊀㊀８０ａ３１ｋＬ３γ２μ２＋１２８ａ１ｋＬ５γ２μ２＝０㊀７ａ０ａ４１γ－ａ０ａ２１Ｌ２γ－２ａ３１Ｌ２γλ－６ａ１Ｌ４γλ＝０㊀７ａ５１γ－５ａ３１Ｌ２γ－１２ａ１Ｌ４γ＝０(１６)２.３㊀利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求解用数学Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求得非线性代数方程组(１６)的解(已略去平凡解)ꎬ有:解组一㊀ａ０＝０ꎬａ１＝ʃ２３７Ｌꎬλ＝０ꎬｋ＝－α４γꎬ㊀ｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２ꎬＡ＝０(１７)解组二㊀ａ０＝０ꎬａ１＝ʃｉＬꎬλ＝０ꎬＡ＝０ꎬｋ＝－α４γꎬ㊀ｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２(１８)解组三㊀ａ１＝ʃ２３７Ｌꎬμ＝０ꎬλ＝ʃ３７ａ０Ｌꎬα＝０ꎬ㊀Ａ＝０ꎬｍ＝１９(－９ｋＬ－９１ａ２０ｋＬγ＋３６ｋ３Ｌγ)ꎬ㊀ω＝１７２(９１ａ２０－３６ｋ２＋８１２ａ４０γ－１０９２ａ２０ｋ２γ＋７２ｋ４γ)(１９)解组四㊀ａ１＝ʃｉＬꎬλ＝∓２ｉａ０Ｌꎬμ＝０ꎬα＝０ꎬＡ＝０ꎬ㊀ｍ＝－ｋＬ－８ａ２０ｋＬγ＋４ｋ３Ｌγꎬ㊀ω＝１２(２ａ２０－ｋ２＋１２ａ４０γ－２４ａ２０ｋ２γ＋２ｋ４γ)(２０)解组五㊀ａ０＝０ꎬλ＝０ꎬγ＝０ꎬＡ＝０ꎬｋ＝１ꎬ㊀ω＝－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２２Ｌα(２１)将不同的解组代入方程(８)ꎬ结合方程(７)的解ꎬ可以得到方程(１)的精确行波解.本文不考虑没有物理意义的虚数解.类型１㊀将解组一代入ꎬ有:１)当μ<０时ꎬ可得方程(１)的孤立波解㊀ｑ１(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌˑ㊀㊀Ａ１－μｓｉｎｈ(－μξ)＋Ａ２－μｃｏｓｈ(－μξ)Ａ１ｃｏｓｈ(－μξ)＋Ａ２ｓｉｎｈ(－μξ)ˑ㊀㊀㊀ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２２)式中:ｋ＝－α４γꎻｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２.２)当μ>０时ꎬ可得方程(１)的三角函数周期波解:㊀ｑ２(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌˑ㊀㊀－Ａ３μｓｉｎ(μξ)＋Ａ４μｃｏｓ(μξ)Ａ３ｃｏｓ(μξ)＋Ａ４ｓｉｎ(μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２３)式中:ｋ＝－α(４γ)ꎻｍ＝Ｌα(α２＋２γ)(８γ２)ꎻＡ１㊁Ａ２㊁Ａ３㊁Ａ４为任意常数ꎬ当取不同的数时ꎬ可以得到方程(１)的不同情形的行波解.当Ａ２＝０时ꎬｑ１(ｘꎬｔ)退化为方程(１)的(反)扭结波解:㊀ｑ１.１(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌ－μｔａｎｈ(－μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２４)２８第１７卷第１期洪宝剑ꎬ等:一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解当Ａ１＝０时ꎬｑ２(ｘꎬｔ)退化为方程(１)的奇异之波解:㊀ｑ１.２(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌ－μｃｏｔｈ(－μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２５)类型２㊀将解组三代入ꎬ便可得方程(１)的孤立波解:㊀ｑ３(ｘꎬｔ)＝ａ０ʃ２３７Ｌ－λＡ７ｅ－λξＡ８＋Ａ７ｅ－λξæèçöø÷ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２６)式中:Ａ７㊁Ａ８为任意常数ꎻλ＝ʃ３７ａ０Ｌꎻｍ＝１９(－９ｋＬ－９１ａ２０ｋＬγ＋３６ｋ３Ｌγ)ꎻω＝１７２(９１ａ２０－３６ｋ２＋８１２ａ４０γ－１０９２ａ２０ｋ２γ＋７２ｋ４γ).类型３㊀将解组五代入ꎬ有:１)当μ<０时ꎬ可得方程(１)的双曲函数解:㊀ｑ４(ｘꎬｔ)＝ａ１ˑ㊀㊀Ａ１－μｓｉｎｈ(－－μξ)＋Ａ２－μｃｏｓｈ(－μξ)Ａ１ｃｏｓｈ(－－μξ)＋Ａ２ｓｉｎｈ(－μξ)ˑ㊀㊀㊀ｅｉ(ｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２７)式中ꎬω＝(－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２)(２Ｌα).２)当μ>０时ꎬ可得方程(１)的三角函数周期波解:㊀ｑ５(ｘꎬｔ)＝ａ１－Ａ３μｓｉｎ(μξ)＋Ａ４μｃｏｓ(μξ)Ａ３ｃｏｓ(μξ)＋Ａ４ｓｉｎ(μξ)ｅｉ(ｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２８)式中ꎬω＝(－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２)(２Ｌα).ｑ１(ｘꎬｔ)~ｑ５(ｘꎬｔ)在文献中尚未出现ꎬ是方程(１)的新解.３㊀结语本文利用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法和辅助方程(９)研究了一类广义的高阶非线性薛定谔方程ꎬ得到了该方程的双曲函数解㊁三角函数周期解㊁奇异波解和孤子解ꎬ这些解对于解释某些非线性现象具有一定的帮助.参考文献:[１]㊀ＷＡＴＡＮＡＢＥＭ.Ｔｉｍｅ￣ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｎｏｎ￣ｌｉｎｅａｒＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓꎬ２０１８ꎬ４５９:９３２－９４４.[２]㊀ＢＥＺＥＲＲＡＦＤＭꎬＣＡＲＶＡＬＨＯＡＮꎬＤＬＯＴＫＯＴꎬｅｔａｌ.ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎꎻｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｗｉｔｈｃｌａｓｓｉｃａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏꎬ２０１８ꎬ４５７(１):３３６－３６０.[３]㊀ＪＵＳＴＩＮＭꎬＨＵＢＥＲＴＭＢꎬＢＥＴＣＨＥＷＥＧꎬｅｔａｌ.ＣｈｉｒｐｅｄｓｏｌｉｔｏｎｓｉｎｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＣｈａｏｓꎬＳｏｌｉｔｏｎｓ＆Ｆｒａｃｔａｌｓꎬ２０１８ꎬ１０７:４９－５４.[４]㊀柳伟ꎬ邱德勤ꎬ贺劲松.Ｌｏｃａｌｉｚｅｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｒｏｇｕｅｗａｖｅｆｏｒａｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１５ꎬ６３(５):５２５－５３４.[５]㊀田艳姣.一个高阶非线性薛定谔方程的精确解研究[Ｄ].北京:华北电力大学ꎬ２０１７.[６]㊀ＨＩＲＯＴＡＲ.ＥｘａｃｔＮ￣ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｌｏｎｇｗａｖｅｓｉｎｓｈａｌｌｏｗ￣ｗａｔｅｒａｎｄｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｌａｔｔｉｃｅｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬ１９７３ꎬ１４:８１０－８１３.[７]㊀ＡＮＫＩＥＷＩＣＺＡꎬＳＯＴＯ￣ＣＲＥＳＰＯＪＭꎬＡＫＨＭＥＤＩＥＶＮ.ＲｏｇｕｅｗａｖｅｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＨｉｒｏｔａｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＥꎬ２０１０ꎬ８１:０４６６０２.[８]㊀ＰＯＲＳＥＺＩＡＮＫꎬＬＡＫＳＨＭＡＮＡＮＭ.ＯｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｏｆｔｈｅｒａｄｉａｌｌｙｓｙｍｍｅｔｒｉｃＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓｐｉｎｓｙｓｔｅｍ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ１９９１ꎬ３２:２９２３－２９２８.[９]㊀ＬＡＫＳＨＭＡＮＡＮＭꎬＰＯＲＳＥＺＩＡＮＫꎬＤＡＮＩＥＬＭ.ＥｆｆｅｃｔｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅｎｅｓｓｏｎｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｕｍｌｉｍｉｔｏｆｔｈｅＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇｓｐｉｎｃｈａｉｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓＡꎬ１９８８ꎬ１３３:４８３－４８８.[１０]㊀ＢＩＳＷＡＳＡꎬＥＫＩＣＩＭꎬＴＲＩＫＩＨꎬｅｔａｌ.Ｒｅｓｏｎａｎｔｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｗｉｔｈａｎｔｉ￣ｃｕｂｉｃｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙｂｙｅｘｔｅｎｄｅｄｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ[Ｊ].Ｏｐｔｉｋꎬ２０１８ꎬ１５６:７８４－７９０.[１１]㊀ＨＯＮＧＢＪꎬＬＵＤＣ.Ｍｏｄｉｆｉｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｉｍｅ￣ｓｐａｃｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＴｈｅＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＷｏｒｌｄＪｏｕｒｎａｌꎬ２０１４ꎬＡｒｔｉｃｌｅＩＤ:９６４６４３ꎬ６ｐａｇｅｓ.[１２]㊀洪宝剑ꎬ卢殿臣ꎬ田立新.变系数组合ｋｄｖ￣Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的Ａｕｔｏ￣Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换和类孤子解[Ｊ].江西师范大学学报(自然科学版)ꎬ２００６(１):４７－４９.[１３]㊀ＡＬ￣ＳＨＡＷＢＡＡＡꎬＧＥＰＲＥＥＬＫＡꎬＡＢＤＵＬＬＡＨＦＡꎬｅｔａｌ.ＡｂｕｎｄａｎｔｃｌｏｓｅｄｆｏｒｍｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｃｏｎｆｏｒｍａｂｌｅｔｉｍｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＳａｗａｄａ￣Ｋｏｔｅｒａ￣Ｉｔｏｅｑｕａｔｉｏｎｕｓｉｎｇ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ３８南京工程学院学报(自然科学版)２０１９年３月[Ｊ].ＲｅｓｕｌｔｓｉｎＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１８ꎬ９:３３７－３４３.[１４]㊀员保云.非线性薛定谔方程精确解的研究[Ｄ].呼和浩特:内蒙古工业大学ꎬ２０１４.[１５]㊀ＷＡＮＧＭＬꎬＺＨＡＮＧＪＬꎬＬＩＸＺ.ＴｈｅＧᶄ/Ｇ￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ[Ｊ].ＰｈｙｓＬｅｔｔＡꎬ２００８ꎬ３７２(４):４１７－４２３.[１６]㊀ＮＡＨＥＲＨ.Ｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｏｆ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒＺＫＢＢＭｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＥｇｙｐｔｉａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙꎬ２０１５ꎬ２３(１):４２－４８.[１７]㊀王明亮ꎬ李志斌ꎬ周宇斌.齐次平衡原则及其应用[Ｊ].兰州大学学报(自然科学版)ꎬ１９９９ꎬ３５(３):８－１６.ＡｎａｌｙｔｉｃａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆａＣｌａｓｓｏｆＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＨｉｇｈ￣ｏｒｄｅｒＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒＥｑｕａｔｉｏｎＨＯＮＧＢａｏ￣ｊｉａｎ１ＣＨＥＮＷｅｉ２ＣＨＥＮＹａｎｇ２ＬＩＵＨａｏ￣ｌｉｎ２ＬＩＡＯＫａｉ￣ｘｉｎ２ＺＨＡＮＧＳｈｕ￣ｑｉｎｇ２１.ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎｄＰｈｙｓｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ２.ＦａｃｕｌｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＡｂｓｔｒａｃｔＯｐｔｉｃａｌｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓｂｙｕｓｉｎｇｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓｔｏｔｒａｎｓｍｉｔｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｈａｖｅｇｒｅａｔａｄｖａｎｔａｇｅｓｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｎｅｗｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｌｏｎｇ￣ｄｉｓｔａｎｃｅａｎｄｌａｒｇｅ￣ｃａｐａｃｉｔｙｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ.ＴｈｅｒｅｆｏｒｅｓｔｕｄｉｅｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｃａｎｐｒｏｖｉｄｅｐｏｓｉｔｉｖｅｈｅｌｐｆｏｒｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｔｏｂｅｔｈｅｍｏｓｔｆａｖｏｒａｂｌｅｍｏｄｅｌｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓ.ＨｏｗｅｖｅｒｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎＮＬＳｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｓｐｅｃｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｌｏｓｓｌｅｓｓｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒ.Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅｗｈｅｎｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓｔｈｅｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎａｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｆｔｅｎｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｈａｎｔｈｅｌｏｗｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ.ＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｕｓｅｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｔｏｓｔｕｄｙａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｈｉｇｈｅｒｏｒｄｅｒｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎｔｅｒｍｓ.ＣｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅＧᶄ/Ｇｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅａｕｘｉｌｉａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｅｖｅｒａｌｎｅｗｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｃｌｕｄｉｎｇｋｉｎｋａｎｄａｎｔｉ￣ｋｉｎｋｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｓｉｎｇｕｌａｒｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｓｏｆｔｗａｒｅ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓｈｉｇｈ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄＧᶄ/Ｇ￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｕｘｉｌｉａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ４８。

PT对称耦合非线性波导中的孤子和怪波【毕业作品】

BI YE SHE JI（20 届）PT对称耦合非线性波导中的孤子和怪波PT对称耦合非线性波导中的孤子和怪波内容摘要：基于PT对称线性耦合的非线性薛定谔方程，研究连续波背景的调制不稳定性，以及确定性怪波的产生和演化。

这样的系统可以用来描述克尔非线性光耦合器，其中吸收和损耗保持PT平衡。

除这个线性耦合，我们也考虑交叉相位调制项的耦合。

由Peregrine孤子构造的怪波是不稳定的，然而我们证明聚焦交叉相位调制的相互作用会导致其部分稳定。

关于PT对称和反对称高亮孤子，我们得到其解析形式以及稳定区域，并通过直接模拟验证了这一理论结果。

关键词：时间宇称对称不稳定性怪波非线性薛定谔方程Solitons and rogue waves in PT -coupled nonlinear waveguidesAbstract: We considered the modulational instability of continuous-wave backgrounds, and the related generation and evolution of deterministic rogue waves in the recently introduced parity–time (PT )-symmetric system of linearly coupled nonlinear Schr¨odinger equations, which describes a Kerr-nonlinear optical coupler with mutually balanced gain and loss in its cores. Besides the linear coupling, the overlapping cores are coupled through the cross-phase-modulation term too. While the rogue waves, built according to the pattern of the Peregrine soliton, are (quite naturally) unstable, we demonstrate that the focusing cross-phase-modulation interaction results in their partial stabilization. For PT -symmetric and antisymmetric bright solitons, the stability region is found too, in an exact analytical form, and verified by means of direct simulations.Keywords: parity–time symmetry, instabilities, rogue wave, nonlinear Schr¨odinger equatio目录1. 引言 (3)2. 模型 (4)3. 调制不稳定性 (4)4. PT对称系统中的Peregrine孤子 (8)5. 亮孤子 (11)6. 总结 (13)参考文献 (13)众所周知，连续波背景的不稳定性是规则的或随机的怪波出现的先决条件，与基本物理无关[1]。

非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真

1、非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。

由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。

通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。

而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。

本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。

一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。

通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。

NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。

具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。

一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。

于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。

并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。

基于MATLAB 科学计算软件以及MATLAB 强大的符号计算功能，完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。

复变系数ginzburg—landau方程的啁啾组合孤波解

复变系数ginzburg—landau方程的啁啾组合孤波解复变系数Ginzburg-Landau方程是一类描述物理系统中非线性现象的方程，其中包含了复变函数和空间变量的导数。

在研究这类方程中的孤波解时，啁啾组合孤波解是一种常见的解析方法。

啁啾组合孤波解是一类特殊的孤波解，由于其形式简单、计算方便，被广泛应用于物理、数学和工程等领域。

该类解的形式为： $$u(x,t) = A operatorname{sech}^nleft[frac{(x-ct) -x_0}{alpha}right]e^{i(beta x + omega t + gamma)}$$其中，$A$、$alpha$、$x_0$、$n$、$beta$、$omega$、$gamma$、$c$ 都是常数。

在复变系数Ginzburg-Landau方程中，我们可以通过适当的取值来得到啁啾组合孤波解。

具体地，设复变函数 $u(z,t)$ 满足下述复变系数Ginzburg-Landau方程：$$u_t = (1 + ieta)Delta u + (a + ib)|u|^2u + F(z,t)$$其中，$Delta$ 表示二维拉普拉斯算子，$eta$、$a$、$b$ 是实数常数，$F(z,t)$ 是外部激励。

通过选取适当的函数形式和系数，我们可以构造出复变系数Ginzburg-Landau方程的啁啾组合孤波解。

例如，取 $F(z,t) = 0$，$n=1$，$beta = 0$，$omega = 0$，$gamma = 0$，并且假设 $a=-1$，$b=1$，$eta=0$，则复变系数Ginzburg-Landau方程的啁啾组合孤波解可以写成：$$u(z,t) = Aoperatorname{sech}left[frac{(x-ct) -x_0}{alpha}right]e^{iy}$$其中，$y$ 是常数，$A$、$alpha$、$x_0$、$c$ 都是与$y$ 有关的常数。

变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索

2
U=
g + U 0, f
( 5)
p 3 p 3 tt - p 3t = 0. 从( 18) 式可得 p 3 = exp[ p 0 ( x ) ( a 1 t + l 1 ) ] , 数, 则由 ( 13) 式可得
( 18) ( 19)
其中 g ( x , t ) , f ( x , t ) 分别为复函数和实函数 , U0 ( x , t ) 为方程 ( 4) 的一个任意的已知解 . 在 ( 5) 式的变换下方程( 4) 可写为双线性形式 2 -1 * 2 ( iD x + D t ) gf + g f [ V ( x ) gg - D tff ] + V( x) [ 2 U + g U + ( g U0 U + g 0 gg
张解放
1) 2)
*
1)
徐昌智
1) 2)
何宝钢
1) 2) 321004)
( 浙江师范大学非线性物理研究所 , 金华
( 金华教育学院物理系 , 金华 321000)
( 2003 年 7 月 24 日收到 ; 2004 年 1 月 2 日收到修改稿 )
把变量分离法应用于 ( 1+ 1) 维非线性物理模型 , 构建了色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程的一类新的孤子解 . 作为特例 , 也得到了常系数非线性薛定谔方程的包络型孤子解 , 只是解的形式有点变化 .
关键词: 变量分离法, 变系数, 薛定谔方程, 孤子解 PACC: 0340, 0230 某些精确解. 本文旨在把变量分离法应用于 ( 1+ 1)
11 引
言
维变系数非线性物理系统, 作一些有益的探索 . 变系数非线性薛定谔方程在众多物理领域, 如等离子体物理、流体动力学、非线性光学、固体物理, 尤其是纤维光学中有着极其重要的地位, 在实际光纤通讯中传播信息的孤子一般变系数非线性薛定谔方程为 1 2 B( z ) U tt + A ( z ) | U| U= i C ( z ) U, ( 2) 2 其中 B( z) , A ( z) , C ( z) 分别为纵向距离缓变的二阶色散、非线性系数和光纤的损耗因子 , U( z, t ) 为待求 iU z + 函数 . 本文用变量分离法对方程 ( 2) 进行了研究, 在此基础上构建了二类色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程的精确解.

广义耦合非线性薛定谔方程中的达布变换和多孤子解

广义耦合非线性薛定谔方程中的达布变换和多孤子解*1林机, 郭帮兴【摘要】给出了广义耦合非线性薛定谔方程(GCNLS)的2种达布变换和多孤子解.对于自聚焦型GCNLS，给出了N个亮-亮孤子解，对于散焦型的GCNLS，由第2种达布变换给出了N-暗-暗孤子解.作为例子，文中给出了二孤子相互作用.【期刊名称】浙江师范大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2015(000)002【总页数】8【关键词】广义耦合非线性薛定谔方程;达布变换;多孤子解;孤子相互作用；高孤子0 引言广义耦合非线性薛定谔方程(简称GCNLS)为式(1)中：a和c是常数;b是一个复常数;符号“*”表示复共轭.在非线性光学中，a和c表示自相位调制效应和交叉相位调制效应，b和b*两项表示四波混频效应.GCNLS(1)具有Lax对、双线性形式和根据黎曼-希尔伯特方法得到的N个孤子解[1-2].近来，利用τ函数方法给出了广义耦合非线性方程(1)的N-暗-暗孤子解[3].众所周知，一个非线性偏微分方程若具有可解的逆散射变换、N-孤子解、双线性形式、Lax对和达布变换(DT)等特性，就称该方程是完全可积.对于标准的耦合非线性薛定谔方程(简称CNLS)，亦称为Manakov方程，且自聚焦型的CNLS，利用逆散射方法和达布变换及双线性方法得到了N-亮-亮孤子和N-亮-暗孤子解[4-7].近来，利用达布变换和双线性方法，研究了非线性自散焦式和聚焦散焦混合型的CNLS的孤子解[8-10]，对于自散焦的CNLS，利用双线性方法可以得到N-亮-暗孤子和2-暗-暗孤子解[11-12].通过逆散射变换，一些简单的暗-暗孤子和亮-暗孤子可以被构造出来[13].文献[9-10]给出了自聚焦-散焦混合型的CNLS的2-和3-亮-亮孤子和亮-暗孤子解.尽管求解自散焦型的CNLS的方法有很多，但是多暗孤子还未能给出.因此，如何获得自散焦型CNLS的多暗孤子是非常重要的研究课题.最近，Ohta和Yang通过τ函数方法构造了自散焦型的CNLS与GCNLS的一般N-暗-暗孤子解.求具有Lax对的非线性偏微分系统的多孤子解，达布变换方法是非常有效的[14-19]，所以我们相信可以通过达布变换得到GCNLS的多孤子解.本文中，笔者主要研究了GCNLS(1)的达布变换和多孤子解.第2节将构造自聚焦和自散焦型的GCNLS方程(1)的达布变换，推导给出GCNLS方程在自聚焦型情况下的多-亮-亮孤子和自散焦情况下的多-暗-暗孤子.最后是结果和讨论.1 达布变换GCNLS(1)具有如下的Lax对:式(2)中：Φ(x,t)是矩阵函数;λ为谱参量;以及其中:r1=-ap*-bq*,r2=-b*p*-cq*.通过直接计算表明，满足式(2)相容条件可以得到GCNLS(1).显然，GCNLS(1)的达布变换应该有以下形式：Φ′=(λI-M)Φ,M=GΛG-1,Λ=diag(λ1,λ2,λ3).(3)这里的G是一个非奇异矩阵，并且满足GCNLS(1)的Lax对在达布变换(2)变换下其形式保持不变，即要求满足以下关系式U′=U+i(JM-MJ),Mx=MU-U′M(6)如果能给出一个3×3的矩阵M(G)，那么就可以得到GCNLS(1)的达布变换(3)，最后由达布变换(3)得到GCNLS(1)的新解.根据一般计算达布变换原则，式(3)的矩阵元素是Lax对(2)中的解.事实上，引入以下幺正变换:. (7)这里φ满足以下的Lax对:这里u=(q-p),v=.变量u和v满足CNLS方程.通过以上的变换关系可以得到自聚焦型的GCLNS(1)的达布变换.以下笔者将研究相应的达布变换和自聚焦型和自散焦型的GCNLS(1)的多孤子解.1.1 自聚焦型GCNLS中的达布变换和多孤子解对于自聚焦型的GCNLS(1)，其参量a>0,c>0,设Lax对(2)中的谱参量分别为λ1=μ，λ2=λ3=μ*及解为Φ(j)(j=1,2,3)，即Φ(j)=(i μ*J+U)Φ(j), j=2,3.(10)若能够得到方程(9)的解Φ(1)，通过寻找Φ(2,3)和Φ(1)的关系，进而给出方程(10)的解.笔者发现((Φ(j)*)TΦ(1))x=((φ(j)*)Tφ(1))x=(φ(j)*)T(Ω(-1)U+Ω+U)φ(1)=0,(11)从式(11)得到φ(1)和φ(j)满足如下关系:(φ(j),φ(1))=φ(j)*iφ(1)i=0, j=2,3(12)式(12)中：φ(1)和φ(j)是式(8)的谱参量(λ1,λj)=(μ1,μ*1)的解.最后，笔者给出式(3)中的矩阵G及矩阵MM=GΛG-1=ΩHΛH-1Ω-1. (14)因此，由式(14)可以做一次达布变换，从方程(1)的一种子解(p0,q0)出发就能得到方程(1)的一个新解若做N次达布变换，就能得到GCNLS方程(1)的一般迭代新解这里Φ(j)i=, j=2,3,…,N; i=1,2,3(17)(18)式(18)中，φ(j)是式(8)关于λ=μj和Φ(1)i=φ(1)i(i=1,2,3)的解.1.2 自散焦GCNLS的达布变换和一般迭代解通过上述传统的达布变换方法,很难获得自散焦型的GCNLS(1)的一般迭代解.受文献[16]中的方法启发，尝试使用简单的达布变换方法寻找GCNLS的多暗孤子解.对于自散焦型的GCNLS(1)中的参量，要求a<0,c<0.式(8)中的第1个式子中伴随的谱问题可以写成下面形式利用规范变换构建式(8)的达布变换.假设在λ=μ1时有式(8)谱问题的一个解Φ1，以及在λ=v1时有式(19)伴随谱问题的一个解Ψ1.然后式(8)的达布变换和伴随谱问题式(19)的达布变换T-11=I+. (21)因此，就可以给出Q的迭代关系式Q[1]=Q+i(μ1-v1)[Λ,P], P=.(22)同时我们假设Q矩阵函数具有如下对称性:Q的对称性意味着：如果Φ1是λ=λ1(λ∈R)谱问题(8)的特殊矢量解，那么Φ+1M就是λ=λ1的伴随谱问题(19 )的特殊解.为了满足对称性(23)，笔者选择和Ψ1=(-βψ*1,-αψ*1,ψ1).(25)其中φ1和ψ1是复函数.可以很容易证明式(24)和式(25)特殊的选择可以使式(22)满足对称性Q[1]†=-MQ[1]M-1.因此，单-暗-暗孤子解为式(26)中,-<μ1≠v1<，以及对于所有的(x,t)∈R2，Im(φ1,ψ1)≠0.假设我们选择不同的2N个μ1,μ2,…,μN;v1,v2,…,vN实数，并能找到相应的矢量函数Φ和Φ+M,则通过反复迭代达布变换(20)和(21)，就能给出N次的达布变换.若Φi=Φ(λ=μi)，Ψi=Φ†(λ=μi)M，则得到了方程(1)的N次迭代解(28)其中，.2 GCNLS的多孤子解一般来说，通过选取不同种子解，可以得到GCNLS方程(1)的不同类型的孤子解.这里，笔者给出2种类型的孤子解.2.1 自聚焦型GCNLS的多亮-亮孤子取GCNLS(1)的种子解p=q=1,N=1，把它们代入式(8)，从中可解得φ(1)k(k=1,2,3):并且从迭代公式(16)得到GCNLS(1)的1-亮-亮孤子解式(30)中：ε1=2μ12(-x+4μ11t);μ1=μ11+iμ12.若取N=2，就能得到GCLNS 的2-亮-亮孤子解式(31)中：式(32)中：Ak(k=1,2,3,4,5,6)为任意常数.令μ1=-0.2+i，μ2=0.2+i，a=3,b=1+i，A1=A2=A3=A4=-A5=A6=c=1，将这些参数代入式(32)和式(31)，就能导出p和q的2个孤子解.图1分别显示了GCNLS(1)中二场振幅为2个亮孤子传播特征，表明2个孤子碰撞前后，它们传播的方向、速度及形状都未发生变化.2.2 自散焦型GCNLS的多-暗-暗孤子解选择Lax对(8)的u=c1exp[-2i(c21+c22)t]，v =c2exp[-2i(c21+c22)t],c1,c2∈R 为GCNLS(1)的种子解，容易验证下式满足式(24)和式(25)的Lax对(8)和(19)的一个解. (33)式(33)中:是一个实数，δ=-1,0,1.根据式(23)的对称关系性，有Ψ=Φ†1M|μ=v.例如，选择参量a=-2,c=-3,b=b*=1/2,c1=/2,c2=1/2,λ=3/5,可以得到自散焦型GCNLS的单暗-暗孤子解取式(27)中N=2，可以得到2-暗-暗孤子式(35)中:ε1=;ε2=.3 结果与讨论笔者分别得到了自聚焦型和自散焦型的GCNLS(1)达布变换和多孤子解.通过构造GCNLS的达布变换，分别得到自聚焦型GCNLS的N-亮-亮孤子和自散焦型GCNLS的N-暗-暗孤子.以2个孤子(包括聚焦非线性GCNLS的2个亮-亮孤子和散焦非线性GCNLS的2个暗-暗孤子)的传播为例，讨论2个孤子相互作用性质，发现在传播过程中它们的振幅和传播速度都没有发生变化.事实上，对于自聚焦和自散焦混合型(a>0,c<0)的GCNLS,通过简单的达布变换，可以很容易地获得方程的N-亮-暗孤子解.致谢:感谢楼森岳教授和凌黎明博士的有益讨论.参考文献：[1]Wang Dengshan.Symmetries and prolongation structure theory of some nonlinear wave equation[D].Beijiang:Chinese Academy of Sciences,2008.[2]Wang Dengshan,Zhang Dajun,Yang Jianke.Integrable properties of the general coupled nonlinear Schrödinger equations[J].J Math Phys,2010,51(2):023510.[3]Ohta Y,Wang Dengshan,Yang Jianke.General N-Dark-Dark solitons in the coupled nonlinear Schrödinger equations[J].Stud Appl Math,2011,127(5):345.[4]Matveev V B,Salle M A.Differential-difference evolution equation II:Darboux transformation for the Toda lattice[J].Lett MathPhys,1979,3(3):425-429.[5]Manakov S V.Nonlinear Fraunhofer diffraction[J].Zh Eksp Teor Fiz Sov Phys JETP,1974,38(4):693-696.[6]Park Q H,Shin H J.Systematic construction of vector solitons[J].IEEE J SEL TOP QUANT,2002,8(8):432-439.[7]Radhakrishnan R,lakshmanan M,Hietarinta J.Inelastic collision and switching of coupled bright solitons in optical fibers[J].Phys Rev E,1997,56(4):2213.[8]Park Q P,Shin H J.Systematic construction of vector solitons[J].IEEE J of Selected T opics in Quantun Electronics,2002,8(3):432.[9]Kanna T,Lakshmanan M,Tchofo P,et al.Soliton collisions with shape change by intensity redistribution in mixed coupled nonlinear Schrödinger equations[J].Phys Rev E,2006,73(2):026604.[10]Vijayajayanthi M,Kanna T,Lakshmanan M.Bright-dark solitons and their collisions in mixed N-coupled nonlinear Schrödinger equations[J].Phys Rev A,2008,77(1):013820.[11]Sheppard A P,Kivshar Y S.Polarized dark solitons in isotropic Kerr media[J].Phys Rev E,1997,55(10):4773.[12]Radhakrishnan R,Lakshmanan M.Bright and dark soliton solutions to coupled nonlinear Schrödinger equations[J].J Phys A:Math Gen,1995,28(10):2683.[13]Prinari B,Ablowitz M J,Biondini G.Inverse scattering transform for thevector nonlinear Schrödinger equation with nonvanishing boundary conditions[J].J Math Phys,2006,47(6):063508.[14]Li Yishen.The reductions of the Darboux transformation and some solutions of the soliton equations[J].J Phys A:Math Gen,1996,29(9):4187.[15]Lin Ji,Ren Bo,Li Huamei,et al.Soliton solutions for two nonlinear partial differential equations using a Darboux transformation of the Lax pairs[J].Phys Rev E,2008,77(3):036605.[16]Mänas M.Darboux transformations for the nonlinear Schrödinger equations[J].J Phys A:Math Gen,1996,29(17):7721.[17]Lmai K.Generalization of the Kaup-Newell Inverse scattering formulation and darboux transformation[J].J Phys Soc Jap,1999,68(2):355.[18]Steudel H.The hierarchy of multi-soliton solutions of the derivative nonlinear Schrödinger equation[J].J Phys A:Math Gen,2003,36(7):1931. 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