2020北京市朝阳区高考数学学业质量监测试题

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北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高2020届高三年级期中质量检测数学试题(word版,含答案)

高三数学试卷第1页（共13页）北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测数学试卷 2019．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =-（C ）2log y x =（D ）22x xy -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①②（B ）①③ （C ）②③（D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β （B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ （D ）若m β⊥，则αβ⊥高三数学试卷第2页（共13页）（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为（A ）32 （B（C）（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④ 若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④高三数学试卷第3页（共13页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市朝阳区2020届高三下学期学业水平等级性考试(一模)数学试卷

数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =U（A ）{}3（B ）{}1,3（C ）{}1,2,3,5（D ）{}1,2,3,4,5（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x = （B ）21y x =-+ （C ）2log y x = （D ）||2x y =（3）在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前项和为（A ）21- （B ）（C ） 31 （D ）63（4）如图，在△ABC 中，点，满足2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r．若DE x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (,)x y ∈R ，则x y +=（A ）12-（B ）13-（C ） 12（D ） 13（5）已知抛物线：22(0)y px p =>的焦点为，准线为l ，点是抛物线上一点，AD l ⊥于.若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线的方程为（A ）28y x = （B ） 24y x = （C ）22y x = （D ）2y x = （6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（A ） 23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（7）在△ABC 中，BC AB =，︒=∠120ABC ．若以，为焦点的双曲线经过点，则该双曲线的离心率为（A ）25 （B ）27（C（D（8）已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件ED CB A（第4题图）（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若关于的不等式()2a f x ≥在上恒成立，则实数的取值范围为（A）(,-∞ （B ）3[0,]2（C ）[0,2] （D）[0, （10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，分别是棱AB ，1BB 的中点，点在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点的位置是（A ）线段1CA 的三等分点，且靠近点1A （B ）线段1CA 的中点（C ）线段1CA 的三等分点，且靠近点（D ）线段1CA 的四等分点，且靠近点第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

朝阳区2020届高三二模数学试题及答案(word版)

高三数学试卷第1页（共14页）北京市朝阳区高三年级高考练习二数学 2020.6（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞U (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞U （3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件高三数学试卷第2页（共14页）（7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称（C ）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D ）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增（8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（A ）sin532sin 47a o o （B ）2sin 47sin53a oo （C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a o o o （D ）sin 26.5sin73.5sin 47a o oo（9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=u u u u r u u u ru u ur u u u r BM CN BC CD ，则⋅u u u u r u u u r AM AN 的最大值为（A ）2（B ）4 （C ）5 （D ）6（第8题图）高三数学试卷第3页（共14页）（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是（A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

★试卷3套汇总★北京市朝阳区2020年高一数学下学期期末学业质量监测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知60,1A b ︒==，ABC ∆的面积为3，则ABC ∆外接圆的直径为（） A ．83B ．27C ．263D ．2392．已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（） A ．2，3B ．3，3C ．2.5，3D ．2.5，23．设A ，B ，C 是平面内共线的三个不同的点，点O 是A ，B ，C 所在直线外任意-点，且满足OC xOA yOB =+，若点C 在线段AB 的延长线上，则（）A ．0x <，1y >B ．0y <，1x >C ．01x y <<<D ．01y x <<<4．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（）A ．360sinnnπ︒ B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 5．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ). A ．B ．C ．D ．6．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（） A ．14B ．12C ．18D ．167．以点()1,1和()2,2-为直径两端点的圆的方程是（）A ．22315222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．22315224x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()225322x y +++=D ．()()223225x y +++=8．设点M 是棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是() A ．222B 45C ．2D 269．计算:2sincos12122cos 112πππ=- A ．3 B ．33C ．23D ．2310．不等式的解集是A ．B ．C ．D ．11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S 12．设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β平行于同一条直线C ．α，β垂直于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面二、填空题：本题共4小题13．在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C________．14．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若23AB =C 的面积为________ 15．已知算式202-=⨯，在方框中填入两个正整数．．．，使它们的乘积最大，则这两个正整数之和是___.16．已知圆22:6440C x y x y +--+=，直线l 被圆所截得的弦的中点为(5,3)P .则直线l 的方程是________（用一般式直线方程表示）.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020朝阳二模数学试题

高三数学试卷第1页（共7页）北京市朝阳区高三年级高考练习二数学 2020.6（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）函数()ln 1=-f x x x 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞U (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞U（3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >>（C ）2a c b +> （D ）->-a c b c（4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y（B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y （D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n a n b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件高三数学试卷第2页（共7页）（7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称（C ）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D ）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增（8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（A ）sin532sin 47a o o （B ）2sin 47sin53a oo（C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a o o o （D ）sin 26.5sin73.5sin 47a o oo （9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=u u u u r u u u r u u u r u u u r BM CN BC CD ，则⋅u u u u r u u u r AM AN 的最大值为（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）6（第8题图）高三数学试卷第3页（共7页）（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=x f x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是（A ）①③ （B ） ①④（C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市朝阳区2020届高三二模数学试题及答案

北京市高考模拟北京市朝阳区高三年级高考练习二数学 2020.6（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞U (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞U （3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件北京市高考模拟（7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称（C ）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D ）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增（8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（A ）sin532sin 47a o o （B ）2sin 47sin53a oo （C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a o o o （D ）sin 26.5sin73.5sin 47a o oo（9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=u u u u r u u u ru u u r u u u r BM CN BC CD ，则⋅u u u u r u u u r AM AN 的最大值为（A ）2（B ）4 （C ）5 （D ）6（第8题图）北京市高考模拟（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是（A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市朝阳区2020届高三数学上学期期中质量检测试题

25
时期距今约在________年到 5730 年之间．（参考数据： log2 3 1.6,log2 5 2.3 ）
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（17）（本小题 13 分）
在 △ ABC 中， AB 2 7 ，点 P 在 BC 边上，且 APC 60 ， BP 2 .
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（11） 3 （12） 1 ， 3 （13） 5 6
（14）若 a b ， b 0 ，则 1 1 ．（答案不唯一） ab
（15） 1 ； (,0] （16） 1 ； 4011
2
2
三、解答题（共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
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所以 2q2 3q 2 0 ．
解得 q 2 （舍去）或 q 1 ． 2
因此
an
的通项公式为 an
16 ( 1)n1 2
25n
．………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 bn 3(5 n) log2 2 15 3n ，
（Ⅲ）设 a1 ， b1 ， c1 是非零整数，且 | a1 | ，| b1 | ， | c1 | 互不相等，证明：存在正整数 k ，使得数列{an} ，{bn} ，{cn} 中有且只有一个数列自第 k 项起各项均为 0 ．
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cn1 | an | | bn |．记 dn max{| an |,| bn |,| cn |}（ max x , y , z 表示 3 个实数 x ， y ， z 中的最

2020学年北京市朝阳区新高考高二数学下学期期末学业质量监测试题

提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数z 满足1z zi +=，则复数z 对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知定义在R 上的偶函数()1cos x kf x ex --=-（其中e 为自然对数的底数），记()20.3a f =，()0.32b f =，()3log 6c f k =+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<3．某样本平均数为a ，总体平均数为m ，那么（） A ．a m =B ．a m >C ．a m <D ．a 是m 的估计值4．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为,a b ，则椭圆22221x y a b +=的离心率e >( )A ．118B ．536C ．16D ．135．以圆M ：22460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（） A ．()()22239x y ++-= B ．()()22239x y -++= C ．()()22233x y ++-=D ．()()22233x y -++=6．曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( )A ．43π-B ．23π C ．43π D ．23π 7．曲线3()2f x x x =+-在点P 处的切线与直线410x y ++=垂直，则点P 的坐标为（） A ．(1,0)B ．(1,0)或(1,4)--C ．(2,8)D ．(2,8)或(1,4)--8．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（）A ．2B ．12CD ．29．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中的记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为（）A ．27.9B ．25.5C ．26.9D ．2610．数列{}n a 满足3OA OB ⋅=-2,()n n N ≥∈是数列{}n a 为等比数列的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．5(21)(1)x x ++的展开式中5x 的系数为（） A ．1B ．9C ．10D ．1112．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( ) A ．12512B ．3512C ．274D ．234二、填空题：本题共4小题13．如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，BA BC =，球心O 到平面ABC 的距离是322，则B 、C 两点的球面距离是______．14．设实数x ，y 满足101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则2x y -的最小值为___________.15．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________． 16．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

北京市朝阳区2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题含解析

北京市朝阳区2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---= 【答案】A【解析】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程.【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-， ∴1212422y y x x -==-， ∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=，故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．2．已知集合{}{13,},|2x A x x x Z B x Z A =|-≤∈=∈∈，则集合B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 【答案】D【解析】【分析】弄清集合B 的含义，它的元素x 来自于集合A ，且2x 也是集合A 的元素.【详解】因|1|3x -≤，所以24x -≤≤，故{}2,1,0,1,2,3,4A =--，又x ∈Z ，2x A ∈ ，则0,1,2x =，故集合B ={}0,1,2.故选：D.【点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ） A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B【解析】【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a .【详解】依题意 n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：B【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.5．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16 D ．12 【答案】B【分析】【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ．6．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x xx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩，只有选项A 中的图象符合要求，故选A.7．已知不等式组y xy x x a≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】【分析】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=，解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.8．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D【解析】【分析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解.由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2i n i i i i n i a a n c a a a n n i +-++-+=+++==++ 因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021 故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（）A ．21B ．22C ．11D ．12 【答案】A【解析】【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值.【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.10．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数()sin x y x -=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0x x =，排除D ，故选：A ．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =L ），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >> 【答案】A【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+12．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

《试卷3份集锦》北京市朝阳区2020高一数学下学期期末学业质量监测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元/分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元/分钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是（）万元 A ．72B ．80C ．84D ．903．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．16B ．20C ．24D ．284．已知向量222sin,2cos 22a αα⎛⎫=-⎪ ⎪⎭，cos ,2b m α⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的[]1,1m ∈-，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是（） A ．()572,21212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．()7132,21212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．()52,21212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()72,21212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭5．已知在等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7,则数列{}n a 的通项公式（） A ．B ．-1C ．+1D ．-36．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间具有线性相关关系，根据下表数据（单位：百万元)，由最小二乘法求得回归直线方程为95y x ∧=+.现发现表中有个数据看不清，请你推断该数据值为（ )x3 4 5 5 8 y2834★56 72A ．65B ．60C ．55D ．507．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM ED ②CN 与BM 成60角 ③CN 与BM 为异面直线 ④DM BN ⊥以上四个命题中，正确的序号是（）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④8．已知向量()()()1,2,1,0,3,4.a b c ===若λ为实数，()//a b c λ+则λ＝（） A ．2B ．1C ．14D ．129．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）10．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，3b =，120C =︒，则其面积等于（） A ．32B ．32C ．33D ．3311．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为（）海里/小时．A ．26B ．6C ．86D ．612．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，321S =，则公比q =（） A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本题共4小题13．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ(θ为钝角)．若3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则x 1x 2＋y 1y 2的值为_____．14．不等式103x x -≥+的解集是_______. 15．棱长为1，各面都为等边三角形的四面体内有一点P ，由点P 向各面作垂线，垂线段的长度分别为1234,,,d d d d ，则1234d d d d +++=______．16________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年北京市朝阳区数学高二(下)期末学业质量监测试题含解析

2019-2020学年北京市朝阳区数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C ．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 2．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---，故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.3．函数sin ()ln x f x x=的图像可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【详解】解：f （﹣x ）()sin x sinx ln x ln x-==-=--f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}，由f （x ）＝0得 sinx ＝0，得距离原点最近的零点为π，则f （6π）16266sinln ln ＜πππ==0，排除C ，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．4．已知复数z 满足2z zi i +=-（i 为虚数单位），则z =（） AB ．2 C．2 D ．1 【答案】C【解析】【分析】整理得到21i z i-=+，根据模长的运算可求得结果. 【详解】由2z zi i +=-得：21i z i -=+212i z i -∴===+ 本题正确选项：C【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题.5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．6．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A ．96B ．144C ．240D ．288【答案】B【解析】【分析】以重复使用的数字为数字1为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.【详解】当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：323436A C =个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同∴满足题意的五位数共有：364144⨯=个本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.7．在ABC V 中，90CAB ∠=︒，1AC =，3AB =.将ABC V 绕BC 旋转至另一位置P （点A 转到点P ），如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点.若3AE =，则AB 与平面ADE 所成角的正弦值是（）A ．38B 3C ．34D 3【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，证明PC ⊥平面ADE ，然后找出AB 与平面ADE 所成角，求解三角形得出答案.【详解】解：如图，由题意可知，111222CE PC AC ===，又3AE =，1AC =， ∴222CE AE AC +=，即AE PC ⊥，Q D ，E 分别为BC ，PC 的中点，∴//DE PB .Q BP PC ⊥，∴PC DE ⊥，而AE DE E =I ，∴PC ⊥平面ADE .延长ED 至F ，使=ED DF ，连接BF ，则CED V 与BFD △全等，可得BF ⊥平面ADE .∴BAF ∠为AB 与平面ADE 所成角，在V Rt AFB 中，由12BF CE ==,3AB =, 可得132sin 63BF BAF AB ∠===.故选：B.【点睛】本题考查直线与平面所成角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.8．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，若cos c A b <，则ABC ∆的形状为（） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求【详解】解：A Q 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，sin 0cos A c A b∴><Q 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0A B B AA B B A B A A B ∴+<∴+<∴<又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．9．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1【答案】B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．10．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表: 20()P K k ≥ 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.11．已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(.1)-∞-B ．(3,)-+∞C ．(13)-，D ．()3.1- 【答案】C【解析】【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<.【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<，解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.12．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（） A ．20B ．24C ．28D ．32 【答案】A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++- 116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号. x y ∴+的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 的参数方程为：21x at y a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点，则a 取值范围是___________．【答案】3[,0)(0,)2-+∞U 【解析】【分析】把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点，对判别式0∆≥进行计算即可.【详解】直线l 的参数方程为21x at y a t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），消去t 化为普通方程为ax ﹣y ﹣1＝0，且a 0≠,椭圆C 的参数方程为：12x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数化为()22114y x -+=．联立直线与椭圆()2210114ax y y x --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y 整理得()()224+8210a x a x -++=，若它们总有公共点，则()()22=8+24416(23)0a aa ∆-+=+≥，解得32a ≥-且a 0≠, 故答案为()3,00,2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题． 14．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为__________．【解析】分析：过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，则1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，由1BB ⊥平面11A C ，可得11C H BB ⊥，所以1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求平面角，因为4AB BC ==，12AA =，所以111221025C H sin C BH BC ∠===10点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.15．某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有______种（用数学作答）.【答案】540【解析】【分析】根据题意可知有3种不同的分组方法，依次求出每种的个数再相加即得．【详解】由题可知6名学生不同的分组方法有三类：①4，1，1；②3，2，1；③2，2，2.所以不同的选择方法共有411332132226213631364222540C C C A C C C A C C C A ++=种. 【点睛】本题考查计数原理，章节知识点涵盖全面．16．函数()()2ln 2f x x =-的定义域为______.【答案】(【解析】【分析】根据()f x 有意义，需满足220x ->，解出x 的范围即可．【详解】要使()f x 有意义，则：220x ->；x <()f x ∴的定义域为(．故答案为：(．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，以及对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，属于容易题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为3sinπρθ=（-）. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 【答案】（1）2214x y +=0y -+=（2）11||||PA PB -= 【解析】【分析】（1）将变换公式代入221x y ''+=得，即可曲线C 的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；（2）将直线l 0的参数方程代入曲线C的方程整理得27120t --=，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解11||||PA PB -的值. 【详解】。

2019-2020学年北京市朝阳区数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2019-2020学年北京市朝阳区数学高二下期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若不等式()()2210a a x x -++≤对一切()0,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是 ( )A．⎛-∞ ⎝⎦ B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D．⎣⎦ 【答案】C【解析】【分析】本题是通过x 的取值范围推导出a 的取值范围，可先将a 与x 分别放于等式的两边，在通过x 的取值范围的出a 的取值范围。

【详解】()()2210a a x x -++≤221x a a x --≤+ 221x a a x -+≥+，211x a a x，-+≥+ 因为()0,2x ∈ 所以111x 212x x x+≥≤+，所以212a a -+≥，解得11,,22x ⎛⎡⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ 【点睛】本题主要考察未知字母的转化，可以先将需要求解的未知数和题目已给出未知数区分开来，再进行求解。

2．设集合{}2|log (1)1M x x =-<，{|2}N x x =≥|，则M N ⋃=（）A ．{|23}x x ≤<B ．{|2}x x ≥C ．{|1}x x >D ．3|}1{x x ≤<【答案】C【解析】【分析】解出集合M 中的不等式即可【详解】因为{}{}2|log (1)1|13M x x x x =-<=<<，{|2}N x x =≥所以M N ⋃={|1}x x >故选：C【点睛】本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题.3．已知随机变量满足，，若，则（） A ．， B ．， C ．， D ．，【答案】C【解析】【分析】根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项. 【详解】依题意可知： 0 10 1由于，不妨设.故,，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4．对33000分解质因数得333300023511=⨯⨯⨯，则33000的正偶数因数的个数是（）A ．48B ．72C ．64D ．96【答案】A【解析】分析：分33000的因数由若干个2、若干个3、若干个5、若干个11相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含2的因数个数即可得结果.详解：33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况），若干个3（共有03,3两种情况），若干个5（共有32105,5,5,5四种情况），若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有424264⨯⨯⨯=，不含2的共有24216⨯⨯=， ∴正偶数因数的个数有641648-=个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）A ．a b +，a ，a b -B ．a b +，b ，a b -C ．a b +，c ，a b -D ．a b +，2a b -，a b - 【答案】C【解析】【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面【详解】解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ；()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ；()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ；若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底．故选：C ．【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.6．如图，,E F 分别为棱长为1的正方体的棱1111,A B B C 的中点，点,G H 分别为面对角线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是（）A ．该四面体体积有最大值，也有最小值B ．该四面体体积为定值C ．该四面体体积只有最小值D ．该四面体体积只有最大值【答案】D【解析】【分析】易证EF AC ，从而可推出EFG ∆面积为定值，则只需研究点H 到平面EFG 的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围【详解】,E F 分别为棱长为1的正方体的棱1111,A B B C 的中点，所以11EF AC ，又11AC AC ∥，故点G 到EF 的距离为定值，则EFG ∆面积为定值，当点H 与点A 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点A ，当点H 与点1A 重合时，h 有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值故选D【点睛】本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题 7．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A ．25B ．12C ．35D ．45【答案】C【解析】【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.【详解】由题意可得：x =甲888785929395906+++++=，设被污损的数字为x ，则：x =乙8586868890998966x x ++++++=+，满足题意时，x x >甲乙，即：908966x x >+⇒<，即x 可能的取值为0,1,2,3,4,5x =, 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：63105p ==. 故选C.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．若不等式()()121311133x x a gx g ++-≥-对任意的(],1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】B【解析】【分析】不等式可整理为1212()()333x x x x a +≤=+，然后转化为求函数y 12()()33x x =+在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．【详解】不等式()()121311133x xa g x g ++-≥-，即不等式lg ()12133x xa ++-≥lg3x ﹣1， ∴()1121333x xx a -++-⋅≥，整理可得1212()()333x x x x a +≤=+， ∵y 12()()33x x =+在（﹣∞，1）上单调递减，∴x ∈（﹣∞，1），y 1212()()3333x x =++=＞1， ∴要使原不等式恒成立，只需a ≤1，即a 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B.【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力． 9．设函数 ()'f x 是奇函数()f x 的导函数，当0x >时，()ln ()0f x x x f x '⋅+<，则使得2(1)()0x f x -<成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,) 【答案】D【解析】分析：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，对()g x 求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得()g x 在()0,∞+上为减函数，分析()g x 的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，结合函数的奇偶性可得在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，进而将不等式变形转化可得()2100x f x -><或()2100x f x -<>，解可得x 的取值范围，即可得答案. 详解：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，其导数()()()()()ln 1ln f x x x f x g x f x x f x x x+⋅=⋅+='⋅''，又当0x >时，()()ln 0f x x x f x '⋅+<，则有()()()ln 0f x x x f x g x x '+⋅'=<，即函数()g x 在()0,∞+上为减函数，又()()1ln110g f =⋅=，则在区间()0,1上，()()ln 0g x x f x =⋅>，又由ln 0x <，则()0f x <，在区间()1,+∞上，()()ln 0g x x f x =⋅<，又由ln 0x >，则()0f x <，则()f x 在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，又由()f x 为奇函数，则在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，()()210x f x -<⇒()2100x f x -><或()2100x f x -<>，解可得：10x -<<或1x >.则x 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析()0f x <与()0f x >的解集.10．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()8,-+∞B ．[)6-+∞,C ．(],6-∞-D ．[]8,6-- 【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减，则235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，再根据定义域则2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立求解.【详解】因为函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，所以235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，且2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立. 所以16a ≤-且350a ++≥，解得86a -≤≤-.故选：D【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.11．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ， 12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos b c A =⋅，则ABC 的形状为A ．正三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据题目,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos b c A =⋅可知，利用边化角的方法，将式子化为sin sin cos B C A =，利用三角形的性质将sin B 化为sin()A C +，化简得cos 0C =，推出90C ∠=︒，从而得出ABC 的形状为直角三角形．【详解】由题意知，cos b c A =⋅∴由正弦定理得sin sin cos B C A =又()B A C∴sin()sin cos A C C A +=展开得，sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C = 又角A ，B ，C 是三角形的内角sin 0cos 0A C ∴>∴=又0<C<π2C π∴=综上所述，ABC 的形状为直角三角形，故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意A B C π++=的应用．二、填空题：本题共4小题13．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．【答案】12【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有246C =种基本事件，甲被选中包含133C =种，基本事件，因此甲被选中的概率是31=.62考点：古典概型概率 14．某产品发传单的费用x 与销售额y 的统计数据如表所示：根据表可得回归方程ˆ9ˆyx a =+，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．【答案】1．【解析】【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到ˆa，进而构造不等式，可得答案．【详解】由已知可得：3x =，30y =，代入ˆ9ˆyx a =+，得ˆ3a =，令7ˆ935yx =+≥ 解得：8x ≥，故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，难度不大，属于基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.15．已知函数()()2log 41x f x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．【答案】()0,1【解析】【分析】首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为()()3log 0f x f <，进一步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.【详解】当0m =时，()()2log 41x f x =+是R 上的增函数，且()()20log 111f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为()()3log 0f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从而得答案为()0,1.故答案为()0,1【点睛】解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16．已知随机变量X 的分布列为P(X=i)=i 2a (i =1,2,3),则P(X=2)=_____. 【答案】13【解析】分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a 的方程，解方程求得a 的值，最后求出P （X=2）．详解：∵P （X=i ）=i 2a(i =1,2,3)， 1231222a a a∴++= 612a∴= ∴a=3，∴P （X=2）=2163=.故答案选：C ．点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①P i ≥0，i ＝1，2，...；②P 1+P 2+ (1)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

北京市朝阳区2020届高三上学期抽样检测数学试题 (含答案)

北京市朝阳区2020届第一学期抽样检测试卷高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B ⋂=（） A. (,1)-∞-B. 2(1,)3--C. 2(,3)3-D.(3,)+∞【答案】D 【解析】试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知等比数列{}n a ，满足23210log log 1a a +=，且3681116a a a a =，则数列{}n a 的公比为（） A. 4 B. 2C. 2±D. 4±【答案】B 【解析】【分析】利用对数运算公式和对数定义可由23210log log 1a a +=得到3102a a =，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由3681116a a a a =得到3114a a =，最后可以求出等比数列的公比.详解】等比数列{}n a 中，232102310310log log 1log 1()2a a a a a a +=⇒=⇒=①，36821131116)16(a a a a a a =⇒=，由等比数列各项正负性的性质可知：311,a a 同号，故3114a a =②，②除以①，得：等比数列的公比3113102a a a a q ==，故本题选B. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.3.已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是A. n ∀∈N ，2n ≤B. n ∀∈N ，2n <C. n N ∃∈，2n ≤D. n N ∃∈，2n >【答案】C 【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤选C.4.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3- B. 13-C.13D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xaf x a ⨯-=∈R 奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=，因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bx x b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R Q因此12log log 83b a ==-，故本题选A. 【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力.5.设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（）B. C. D.2+【答案】C 【解析】【分析】先求出圆心到直线10x y --=距离，然后利用圆的性质可以求出点P 到直线10x y --=距离的最大值.【详解】因为22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =线10x y --=的距离为d ==P 到直线10x y --=距离的最大值为d r += C.【点睛】本题考查了圆上的点到定直线距离的最大值问题，利用圆的几何性质是解题的关键. 6.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.7.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（） A. ① B. ②C. ③D. ①②【答案】D 【解析】【分析】①:根据圆的对称性可以阴影部分的面积是圆的面积一半，可以求出在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小； ②：当43a =-时，可以求出阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标，求出圆心到直线(2)y a x =-距离，这样可以判断出半圆与直线的关系，最后可以判断出直线(2)y a x =-与黑色阴影部分是否有公共点；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，所以可以判断出本结论是否正确.【详解】①：因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故本结论是正确的； ②：当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故本结论是正确的；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故本结论是错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的对称性. 8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为(,)N n k (3)k ≥，下面列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数211(,3)22N n n n =+，正方形数2(,4)N n n =，五边形数231(,5)22N n n n =-，六边形数2(,6)2N n n n =-，以此类推，下列结论错误的是（） A. (5,4)25N =B. (3,7)18N =C. (5,10)145N =D.(10,24)1000N =【答案】C 【解析】【分析】根据三角形数、正方形数、五边形数、六边形数中第n 个数的表达式，可以得到k 边形数中第n 个数的表达式，对四个选项依次判断即可.【详解】因为三角形数221132(,3)222432N n n n n n -+=-=+，正方形数2244242(,4)2N n n n n --=+=，五边形数223152(,5)222452N n n n n n -+=-=-，六边形数2262(,6)22462N n n n n n -=-=-+，所以可以类推得到：第n 个k 边形数为22(,)242k N n k kn n =-+-(3)k ≥，于是有(5,4)25N =，(3,7)18N =，(5,10)85N =，(10,24)1000N =，因此选项C 是错误的，故本题选C.【点睛】本题考查了合情推理的归纳推理，考查了代数式恒等变形的能力，属于基础题. 9.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为13．将角α沿逆时针方向旋转([,])2πββπ∈角后，得到角θ，则（）A. sin θ的最大值为13，sin θ的最小值为13-B. sin θ的最大值为3，sin θ的最小值为13C. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为1- D. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为3-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由三角函数的定义，可以求出锐角α的正弦，利用同角的三角函数关系式，可以求出锐角α的余弦值，结合正弦函数和余弦函数的单调性，求出sin θ、cos θ的最值，最后选出正确答案.【详解】由题意可知：1sin 3α=，(0,)6πα∈，所以有cos α==[,][,]22ππβπαβααπ∈∴+∈++Q ，即[,]2πθααπ∈++，因为(0,)6πα∈，所以3[,][,]222πππααπ++⊆，因为sin y θ=在3[,]22ππ上单调递减，所以sin y θ=的最大值为sin()cos 2παα+==， sin y θ=的最小值为1sin()sin 3απα+=-=-；因为[,]2πθααπ∈++，所以当θπ=时，cos y θ=有最小值，最小值为1-，1cos()sin 23παα+=-=-，cos()cos απα+=-=所以cos θ的最大值为13-，故本题选C.【点睛】本题考查了三角函数定义，考查了同角的三角函数关系式，考查了正弦函数、余弦函数的在闭区间上的最值.10.在平面直角坐标系xOy 中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P M ，p N ．所有点P M 构成的集合为M ，M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为()x Ω；所有点P N 构成的集合为N ，N 中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为()y Ω．给出以下命题：①()x Ω：②()()x y Ω+Ω的取值范围是；③()()x y Ω-Ω恒等于0．其中所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】根据新定义画图，通过正方形对角线的位置，数形结合可以选出正确的答案.【详解】由题意，根据正方形的对称性，设正方形的初始位置为正方形OABC ,画出图形，如下图所示：正方形的边长为12.当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，可以发现当对角线OB 在横轴时，如图所示：()x Ω的2，故结论①正确；此时 ()2,()2x y Ω=Ω=，所以有()()2x y Ω+Ω= 当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，当正方形有一边在横轴时，()x Ω，()y Ω有最小值为1，即()1,()1x y Ω=Ω=，所以()()x y Ω+Ω有最小值为2，所以有()()2x y Ω+Ω=，故结论②正确；由于()()x y Ω=Ω，所以()()x y Ω-Ω恒等于0，故结论③正确，综上所述：结论①②③都正确，故本题选D.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了数学阅读能力，考查了分类思想、数形结合思想.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.已知向量(1,2)m =-u r ，(1,)n λ=r ．若m n ⊥u r r ，则2m n +u r r 与m ur 的夹角为_________．【答案】4π 【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ⊥u r r，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n +u r r 与m u r的夹角.【详解】因为m n ⊥u r r ，所以1011202m n λλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r ，即(12)1,n =r ，因此2(1,3)m n +=u r r ，设2m n +u r r 与m ur 的夹角为θ，因此有(2)2cos 21052m m n m m n θ+⋅===⨯+⋅u r r u u r r r u r ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_______，最长棱长为_______．【答案】 (1). 2 (2). 3 【解析】【分析】画出四棱锥的图形，由三视图求出几何元素的长度，求出体积和最长棱长即可，【详解】四棱锥P ABCD -如下图所示：底面是直角梯形，,//,2,1AD AB AD BC AD AB BC ⊥===，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，所以四棱锥的体积为11(21)22232V =⨯⨯+⨯⨯=； 2222PD PA AD =+=, 2222PB PA AB =+=222223PC PA AC PA AB BC +=++=, 22(21)25DC =-+=所以最长棱长为3.【点睛】本题考查了四棱锥体积的求法，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力. 13.已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为_________．【答案】3- 【解析】【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，求出该切点处的切线的斜率，结合直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，可以求出a 的值.【详解】设直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切于点00(,)P x y ，'1ln()y x a y x a=-⇒=-，所以过点00(,)P x y 的切线的斜率为01k x a =-，因此有：0000000110223ln()3x a y y x x a y x a a ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⎪=+⇒=-∴=-⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查了已知曲线切线求参数问题，设切点、求导是解题关键，考查了数学运算能力.14.若函数2log ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨--≤⎩有且只有一个零点，则a 的取值范围是_______．【答案】(,1)[0,)-∞-+∞U 【解析】【分析】先判断当0x >时，函数是否有且只有一个零点，如果有且只有一个零点，那么当0x ≤时函数就不存在零点；如果函数在0x >时，没有零点，那么函数在0x ≤时，有且只有一个零点，这样就可以求出a 的取值范围.【详解】当0x >时，函数2()log f x x =，显然函数单调递增，且(1)0f =，所以函数()f x 有且只有一个零点，要想函数()f x 在全体实数范围内，有且只有一个零点，只需当0x ≤时，20x a -->或20x a --<恒成立即可.当20x a -->在0x ≤恒成立时，min 202(2)1x x xa a a -->⇒<-⇒<-=-；当20x a --<在0x ≤恒成立时，202,0200x x xa a x a --<⇒>-≤∴-<⇒≥Q ，综上所述：a 的取值范围是(,1)[0,)-∞-+∞U .【点睛】本题考查了已知分段函数的零点求参数问题，考查了不等式恒成立问题，考查了对数函数和指数函数的单调性应用.15.设函数()sin(2)3f x x π=+，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，则||αβ-的最小值为________．【答案】3π【解析】【分析】先求出当1[,]44x ππ∈-时，函数11()sin(2)3f x x π=+的值域，再根据12()()0f x f x +=，可以求出函数22()sin(2)3f x x π=+值域的子集，结合正弦型函数的单调性，可以求出||αβ-的最小值.详解】111121[,](2)[,]sin(2)[,1]4436332x x x ππππππ∈-∴+∈-∴+∈-Q ，即11()[,1]2f x ∈-，而12()()0f x f x +=，因此22()sin(2)3f x x π=+值域包含1[1,]2-，且2[,]x αβ∈，由题意可知在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，因此有以下两种情形：（1）152636k k πππαππ+<+≤+且32()32k k Z πβππ+=+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π；（2）3232k παππ+=+且13172()636k k k Z πππβππ+≤+<+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π；综上所述：||αβ-的最小值为3π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的值域问题，考查了已知正弦型函数在闭区间上值域求区间长度最小值问题，考查了数形结合思想.16.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r 的值为________．【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2＝10，r. 三、解答题（共6小題，共80分。

2020朝阳二模数学试题与答案

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞ (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞（3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数π()sin(2)6f x x，则下列四个结论中正确的是（A）函数()f x的图象关于5π(,0)12中心对称（B）函数()f x的图象关于直线π8x对称（C）函数()f x在区间(π,π)内有4个零点（D）函数()f x在区间π[,0]2上单调递增（8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（A）sin532sin47a（B）2sin47sin53a（C）tan26.5tan73.5tan47a（D）sin26.5sin73.5sin47a（9）在平行四边形ABCD中，π=3∠A，=2AB，1=AD，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足||||||||=BM CNBC CD，则⋅AM AN的最大值为（A）2 （B）4 （C）5 （D）6（第8题图）高三数学试卷第2页（共14页）高三数学试卷第3页（共14页）（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是（A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市朝阳区2020届高三下学期二模数学试题

北京市朝阳区高三年级高考练习二数学（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果. 【详解】因为(1)1z i i i =+=-+，所以其在复平面内对应的点为()1,1-位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型. 2. 函数ln ()1xf x x =-的定义域为（） A. (0,)+∞ B. ()0,11(),⋃+∞ C. [0,)+∞ D. [)0,11(),⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】令0x >且10x -≠即可求解.【详解】由题意得：010x x >⎧⎨-≠⎩得0x >且1x ≠，所以函数的定义域为()0,11(),⋃+∞，故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.3. 如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（） A. 22ac bc > B. 222a b c >> C. 2a c b +> D. a c b c ->-【答案】D 【解析】【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．【详解】对于选项A ，当c =0时，ac 2=bc 2，故选项A 错误；对于选项B ，当1,2,3a b c =-=-=-时，a 2＞b 2＞c 2错误；对于选项C ，当a =1，b =0，3c =-时，a +c ＞2b 错误；对于选项D ，直接利用不等式的基本性质的应用求出a c b c ->-，故选项D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4. 圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（） A. 22(1)(1)1x y -+-= B. 22(1)(1)1x y +++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【答案】A 【解析】【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把()0,1点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 22(1)(1)1x y -+-=圆心为(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=， ()0,1代入22(1)(1)1x y -+-=，即22(01)(11)1-+-=成立，正确；B. 22(1)(1)1x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误；C. 22(1)(1)2x y -+-=圆心(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=， ()0,1代入22(01)(111)2-=+-≠，错误；D. 22(1)(1)2x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.5. 直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A 【解析】【分析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=，故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.6. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<，所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<，必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.7. 已知函数π()sin(2)6f x x =-则下列四个结论中正确的是（）A. 函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称B. 函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称 C. 函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点 D. 函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增【答案】C 【解析】【分析】根据正弦三角函数的对称性、图象、单调性逐项排除，可得答案. 【详解】A. 5π5ππ2π3sin 2sin 01231262f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误； B. πsin 2sin 188612f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误；C. 当()π,π-时，函数13π112666x π-≤-≤，当π226x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π-，0，π时，πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，正确；D. 由π222,262k x k k Z ππππ-+≤-≤+∈，得()f x 单调递增区间为,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令0,63k x ππ=-≤≤，721,63k x ππ=--≤≤-所以()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调递增，错误. 故选：C .【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A. sin 532sin 47a ︒︒B. 2sin 47sin 53a ︒︒C. tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D. sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD △中即可求AC . 【详解】73.526.547BAD ∠=-=，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD=，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD △中，sin sin 73.5ACADC AD=∠=，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题. 9. 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的最大值为（） A. 2 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，然后选取,AB AD 为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为x 的函数，由函数知识得最大值．【详解】设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，则AM AB BM AB xBC AB xAD =+=+=+，(1)(1)AN AD DN AD x DC x AB AD =+=+-=-+，∴()(1)AM AN AB xAD x AB AD ⎡⎤⋅=+⋅-+⎣⎦()222(1)1x AB x x AB AD xAD =-++-⋅+ 222(1)2(1)21cos13x x x x π=-⨯++-⨯⨯⨯+⨯2225(1)6x x x =--+=-++，∵01x ≤≤，∴0x =时，AM AN ⋅取得最大值5．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．10. 设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质业m ψ．现有函数：①()3f x x =; ②()3xf x =; ③()3log f x x =; ④()tan f x x =．其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A 【解析】【分析】对各个选项分别加以判断：根据性质m ψ的函数定义，列出方程可以解出2x 关于1x 表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确答案.【详解】①()3f x x =的定义域为R ，函数的值域为R ，对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，对于任意的m ，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，其定义域上具有性质m ψ的函数； ②()3xf x =的定义域为R ，函数的值域为()0,∞+，对任意1x R ∈，都存在唯一的2x R ∈，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）不恒成立，例如1m =，11x =，不存在唯一的2x R ∈，故②()3xf x =不是定义域上具有性质m ψ的函数；③()3log f x x =定义域为()0,∞+，值域为R ，而且是单调递增函数，所以对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，对于任意的m ，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，，其定义域上具有性质m ψ的函数；④()tan f x x =定义域为R ，函数的值域为R ，不是单调函数，是周期函数，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，但2x 不唯一，所以在其定义域上不具有性质m ψ的函数；所以①和③是定义域上具有性质m ψ的函数；故选：A【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质m ψ的含义，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知平面向量(),3a m =，()1,6b =，若//a b ，则m =________．【答案】12【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】(),3a m =，()1,6b =，若//a b ，则63m =，解得：12m =，故答案为：12【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.12. 在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）【答案】15 【解析】【分析】由二项式展开式通项有6321r rr nTC x-+=，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为6632211()r rr r rr nn T C x C x x--+==， ∴当2r时，常数项23615T C ==，故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题； 13. 某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．【答案】12 【解析】【分析】先根据三视图判断其直观图，再利用三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】根据三视图可知其对应的直观图如下：下底面是等腰梯形，//AD BC ，2,4AD BC ==，高为3，侧棱EA ⊥平面ABCD ，4EA =，故体积()111243412332V Sh ⎡⎤==⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：12.14. 已知双曲线C 的焦点为()10,2F ，()20,2F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是______；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ⊥，则12QF F 的面积为______．【答案】 (1). 2 (2). 23 【解析】【分析】易得2c =，1a =，再结合222b c a =-，可知3b =，然后由ce a=求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为33y x =，设点3(,)3Q x x ，分别求出1FQ 和2F Q ，根据120FQ F Q ⋅=列出方程，求出x 的值，然后可得点Q 到y 轴的距离，124F F =，最后计算12QF F 的面积. 【详解】易知2c =，22a =，所以1a =，又222413b c a =-=-=，3b =，所以2ce a==；所以双曲线的方程为：2213x y -=，其中经过一、三象限的渐近线方程为33y x =，故可设点3(,)3Q x x ，所以13(,2)3F Q x x =-，23(,2)3F Q x x =+，因为12FQ F Q ⊥，所以120FQ F Q ⋅=，即23322033x x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解之得：3x =±，所以点Q 到y 轴的距离为3，又124F F =，所以：1212113342322QF F S F F =⨯⨯=⨯⨯=△.故答案为：2；23.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.15. 颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值()1,2,1,2,3,4i j ==．该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】②④ 【解析】【分析】先根据题意分析得直线ij OA 的斜率inoutC k C =越大，颗粒物过滤效率η越小，再看图逐一分析结论即可.【详解】依题意，out ininout out 100%1100%C C C C C η⎛⎫-=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭，知直线ij OA 的斜率in out C k C =越大，颗粒物过滤效率η越小. 看图分析如下：在第1种口罩的4次测试中，四条直线1(1,2,3,4)j OA j =中，直线14OA 斜率最大，故η最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；在第2种口罩的4次测试中，四条直线2(1,2,3,4)j OA j =中，直线23OA 斜率最小，故η最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；在第1次和第2次测试中，直线2j OA 斜率大于1j OA 斜率，(1,2)j =，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，1j OA 斜率大于直线2j OA ，斜率(1,2)j =，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确. 故答案为：②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，且51a =，___________．若存在正整数n ，使得n S 有最小值．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求n S 的最小值．从①31a =-，②2d =，③2d =-这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】【分析】分别选择①②③，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可．【详解】解：①31a =-时，根据题意得532a a d -=，1−（−1）＝2d ，解得d ＝1，（Ⅰ）()55154n a n d n a n =+-=+-=-; （Ⅱ）()()()211173222n S n n n n n nna d n ---=+=⨯-+=所以当n ＝3或4时，()min n S ＝−6.②2d =时，根据题意得1541427a a d =-=-⨯=-，（Ⅰ）()()1171229n a n d n n a =+-=-+-⨯=- （Ⅱ）()()()211172822n n n n n na d S n n n --=+=⨯-+⨯=-，所以当n ＝4时，()min n S ＝−16，③2d =-时，根据题意得()1541429a a d =-=-⨯-=，（Ⅰ）()()11912211n a n d a n n =+-=--⨯=-+；（Ⅱ）()()2111921022n n n n n na d n n S n --=+=⨯-⨯=-+，此时n S 没有最小值．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，关键是利用等差数列求和公式的函数性质来解题，属于基础题.17. 如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）答案见详解；（2）64；（3）存在，3AG =. 【解析】【分析】(1) 由AD DC ⊥和AD DE ⊥，利用线面垂直的判定定理即证结论； (2)先根据等体积法计算点B 到平面ADE 的距离d ，再利用正弦等于dBD即得结果； (3) 先取DC ，AB 上点N ，G 使得CN =BG =1，证明平面MNG //平面ADE ，即得//MG 平面ADE ，3AG =.【详解】解：（1）证明：正方形ABCD 中，AD DC ⊥，又AD DE ⊥，DCDE D =，,DC DE ⊂平面CDEF ，所以AD ⊥平面CDEF ；（2）设直线BD 与平面ADE 所成角为θ，点B 到平面ADE 的距离d ，则sin dBDθ=.依题意，42BD =，由（1）知AD ⊥平面CDEF ，得平面ABCD ⊥平面CDEF ，故点E 到平面ABCD 的距离1sin33h DE π=⋅=，Rt ADE △中，1124422ADESAD DE =⋅⋅=⨯⨯=，又1144822ABDS AD AB =⋅⋅=⨯⨯=，故根据等体积法B ADE E ABD V V --=，得11133ADEABDS d S h ⋅=⋅，即83234d ⨯==，故236sin 442d BD θ===，故直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值是64；（3）//AB DC ，DC ⊂平面CDEF ，AB ⊄平面CDEF ，//AB ∴平面CDEF ，又平面CDEF平面ABEF EF =，AB平面ABEF ，////AB EF CD ∴.分别取DC ，AB 上点N ，G ，使得CN =BG =1，又//CN BG ，故四边形CNGB 是平行四边形，//BC NG ∴，又NG 在平面ADE 外，BC 在平面ADE 内，//NG ∴平面ADE ，取DC 中点H ，则DH =EF =2，又//DH EF ，故四边形EFDH 是平行四边形，//DE HF ∴，又11142CN DC CH ===，M 是CF 的中点，故MN 是中位线，////DE HF MN ∴，又MN 在平面ADE 外，DE 在平面ADE 内，//MN ∴平面ADE ，因为MN ，NG 相交于平面MNG 内，所以平面MNG //平面ADE ，又MG ⊂平面MNG ，故此时//MG 平面ADE ，3AG =.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值. 18. 近年来，随着5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[)5,6，[)6,7，[)7,8，[]8,9并整理得到如下的频率分布直方图：（I ）求a 的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0μ．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1μ;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2μ．有同学认为0102μμμμ-<-，你认为正确吗？说明理由．【答案】（I ）0.3；（Ⅱ）分布列见解析，67；（Ⅲ）不正确，理由见解析. 【解析】【分析】（I ）根据频率分布直方图概率之和等于1，即可求得a 的值（Ⅱ）按照分层抽样比分别求出行驶里程在[)7,8和[)8,9的无人驾驶汽车数量，X 的所有可能取值为0,1,2，求出相应的概率即可列出分布列，求出数学期望.（Ⅲ）由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果的影响，这种说法不正确. 【详解】（I ）由题意可知:()10.10.20.41a ⨯+++=，所以0.3a =；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[)7,8这一组的无人驾驶汽车有410410⨯=辆，则行驶里程在[)8,9这一组的无人驾驶汽车有310310⨯=辆，有题意可知：X 的所有可能取值为0,1,2()2427207C P X C ===，()114327417C C P X C ===，()2327127C P X C ===，所以X 的分布列为X0 1 2P274717所以X 的数学期望为()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）这种说法不正确，理由如下：由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果的影响. 因此有可能1μ更接近0μ，也有可能2μ更接近0μ，所以0102μμμμ-<-不恒成立，所以这种说法不正确.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且椭圆C 经过点6(1,)2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=，(,)AQ QB μλμ=∈R ，求证：λμ+为定值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率得22222c a b a -==，由椭圆过一点6(1,)2．得221614a b +=，两者结合可解得,a b ，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l 方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，由AP PB λ=，AQ QB μ=，把,λμ用12,x x 表示，然后计算λμ+并代入1212,x x x x +即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2222221614a b a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆方程为22142x y +=；（Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22142(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元y 整理得2222(12)163240k x k x k +-+-=， ∴21221612k x x k +=+，212232412k x x k -=+，把1x =代入(4)y k x =-得3y k =-，即(1,3)Q k -，由AP PB λ=，得124(4)x x λ-=-，1244x x λ-=-，由AQ QB μ=，得121(1)x x μ-=-，1211x x μ-=-， ∴11121222224125()841(4)(1)x x x x x x x x x x λμ---+++=+=----22222264*********(4)(1)k k k k x x --+++==--， ∴λμ+为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,x x x x +，把它代入题中需求的量化简可得结论．20. 已知函数()()2sin cos f x x x x ax a R =--∈. （1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. （ⅰ）求a 的值；（ⅱ）证明：函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点；（2）当1a ≤时，证明：对任意()0,x π∈，()0f x >. 【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）（ⅰ）先对函数求导，然后把0x =代入导函数中使其值等于零，可求出a 的值；（ⅱ）令()()g x f x '=，则()cos g x x x '=，可得()g x 在()0,π上的单调性，也是()f x '在()0,π上的单调性，而()010g =>，022g ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()10g π=-<，所以存在唯一的0(,)2x ππ∈是()0f x '=的变号零点，故函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点；（2）由（1）可知，()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，当1a ≤时，()010f a '=-≥，()1f a π'=--，所以分两类讨论：（i ）若()10f a π'=--≥，易证()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=，符合题意，（ii ）若()10f a π'=--<，可得在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，而函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减，可得()0f x >，符合题意.【详解】（1）（ⅰ）因为()2sin cos f x x x x ax =--，所以()()2cos cos sin cos sin f x x x x x a x x x a '=---=+-. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1，所以()01f '=，即11a -=，故0a =.经检验，符合题意.（ⅱ）由（ⅰ）可知()2sin cos f x x x x =-，()cos sin f x x x x '=+. 设()()g x f x '=，则()cos g x x x '=. 令()0g x '=，又()0,x π∈，得2x π=.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减. 又()01g =，22g ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1g π=-，因此，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()00g x g >>，即()0f x '>，此时()f x 在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无极值点；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x =有唯一解0x ，即()0f x '=有唯一解0x ，且易知当0,2x x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<，故此时()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极大值点0x .综上可知，函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点.（2）因为()cos sin f x x x x a '=+-，设()()h x f x ='，则()cos h x x x '=. 令()0h x '=，又()0,x π∈，得2x π=.且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减. 当1a ≤时，()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，()1f a π'=--.（i ）当()10f a π'=--≥，即1a ≤-时，()0f x '≥. 此时函数()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=﹔ （ii ）当()10f a π'=--<，即11a -<≤时，因为()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=->⎪⎝⎭ ，所以，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内()0f x '≥恒成立，而在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减. 又因为()00f =，()()10fa ππ=-≥，所以此时()0f x >.由（i ）（ii ）可知，当1a ≤时，对任意()0,x π∈，总有()0f x >.【点睛】此题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题. 21. 设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除A S 的数对()(),i j i j <的个数．（I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值; （Ⅱ）求A n 的最大值;（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．【答案】（1）2A n =，4B n =；（2）4；（3）{},5,7,11A a a a a =，或{},11,19,29A a a a a =. 【解析】【分析】（1）根据定义得到A S ，B S ，即可得到A n ，B n 的值；（2）结合条件得到,)i j （最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，排除(2, 4) , (3，4)即可得到A n 的最大值；（3）假设12340a a a a a =<<<<，2311,a a a v a u +==+，根据定义可得166u a a ==或知识改变格局格局决定命运！ 21 11212u a a ==，进而得到A .【详解】（1）根据条件所给定义，S A =15=5(1+2)=3(1+4)，故2A n =， S B =24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故4B n =. （2）不妨设12340a a a a <<<<，因为1234243411()22A A a a a a a a a a S S +++++=<<<，所以24a a +，34a a +不能整除A S ，因为,)i j （最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以624A n ≤-=，当{}1,5,7,11A =时，4A n =，所以A n 的最大值为4 ；（3）假设12340a a a a a =<<<<，由（2）可知，当A n 取到最大值4时，12131423,,,a a a a a a a a ++++均能整除A S ，因{}14231max ,2A A a a a S S a ++≤<，故{}14231max ,2A a a a a S ++=，所以1423a a a a +=+，设2311,a a a v a u +==+，则,u v 是2312()2(2)A S a a u a v ==+-+的因数，所以v 是12(2)u a -的因数，且u 是12(2)v a -的因数，因为u v <，所以12(2)22u v a u -<<，因为v 是12(2)u a -的因数，所以124v u a =-，因为u 是112(2)412a v u a -=-的因数，所以u 是112a 的因数，因为124u v u a <=-，所以14u a >，所以166u a a ==或11212u a a ==，故{}1111,5,7,11A a a a a =，或{}1111,11,19,29A a a a a =，所以当A n 取到最大值4时，故{},5,7,11A a a a a =，或{},11,19,29A a a a a =.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质。

北京市朝阳区2020届高三第一学期期末质量检测数学(理)试卷及答案.doc

北京市朝阳区2017-2020学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C.{}|0x x > D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4 D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >-8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受A到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同m.一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，bb cdaca cbD C BA P 21B C且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ；（Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2020.1三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+，则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分（Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分（Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥，又因为1A D ⊥平面ABC ，所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．ACBB 1C 1A 1DE 1又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为菱形．由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ．设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分（Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（：当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

北京市朝阳区2020高考数学学业质量监测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 2．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+3．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -4．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2B ．2C ．0D ．1或25．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =( )A ．{}32x x -<< B ．{}22x x -<< C ．{}62x x -<< D ．{}12x x -<<6．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 7．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%8．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．3C ．3-D ．29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式n a =（）A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n10．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（） A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.14711．已知随机变量i ξ满足()()221kk k i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>12．若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02πθ<<）的图象过点()0,2，则（）A ．函数()y f x =的值域是[]0,2B ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届北京市朝阳区高三年级学业水平等级性考试(二模) 数学试卷及解析

2020届北京市朝阳区高三年级学业水平等级性考试（二模）数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ,集合2{|0}A x x x =->,那么集合U A （） A. (,0][1,)-∞⋃+∞B. (,0)(1,)-∞⋃+∞C. (0,1)D. [0,1] 【答案】D【解析】先解不等式20x x ->求出集合A,再求补集即可.【详解】由20x x ->得：1x >或0x <,所以{1A x =>或}0x <,所以|01U A x x ,故选：D2. 在△ABC 中,若π4A =,π3B =,a =则b =（）A. B.C.D. 【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B =,sin sin 43b π=,解得b =故选：B.3. 函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（） A. 1B. 2C. πD. 2π 【答案】A【解析】化简得到1()sin 22f x x π=,利用周期公式得到答案. 【详解】1()sin πcos πsin 22f x x x x π==,故周期212T ππ==. 故选：A.4. 若双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为（）C. 2【答案】C【解析】利用双曲线的渐近线过点,可以求得b a 的值,再利用e = 即可求出离心率. 【详解】双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线为b y x a =,因为渐近线过点,1b a =⨯,所以b a =所以2e =====, 故选：C5. 函数2()x f x e x =-的零点个数为（）A. 0B. 1。