2017-2018学年高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(十一) 柱、锥、台的侧面展开与面积

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高中数学第一章立体几何初步学业分层测评11 柱、锥

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步学业分层测评11 柱、锥、台的体积北师大版必修2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355πD ．355【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 设圆锥的高为h ，则h ＝82－32＝55， ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝355π.【答案】 C2．如图1723所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1ACD 的体积是( )图1723A.16B.13C.12D ．1【解析】三棱锥D 1ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12×1×1×1＝16. 【答案】 A3．某几何体的三视图如图1724所示，则它的体积是( )图1724A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3【解析】由几何体的三视图，可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V ＝23－13×π×12×2＝8－2π3.【答案】 A4．某几何体的三视图(单位：cm)如图1725所示，则该几何体的体积是( )【导学号：10690032】图1725A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3【解析】该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．【答案】 B5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A ．1∶2∶ 3B ．6∶23∶ 3C ．6∶23∶3D ．3∶23∶6【解析】设Rt△ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3.【答案】 C 二、填空题6．已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有πrl ＝15π，知r ＝3，∴h ＝52－32＝4，∴其体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13×π×32×4＝12π.【答案】 12π7．(2016·西安高一检测)棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是______．【解析】设棱台高为2h ，上底面面积为S ，则下底面面积为9S ，中截面面积为4S ， V 上V 下＝13S ＋S ·4S ＋4S h 13S ＋4S ·9S ＋9Sh＝719. 【答案】7198．已知某个几何体的三视图如图1726，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．图1726【解析】此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ，S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ， V S －ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝8 0003cm 3. 【答案】8 0003cm 3三、解答题9.如图1727所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm ，高为3 cm ，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm ，高为2 cm ，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．图1727【解】 V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)， V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积：V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．10．如图1728，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.图1728(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD A 1B 1D 1的体积．【解】 (1)证明：由题设知，BB 1═∥DD 1， ∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊆/平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1.∵A 1D 1═∥B 1C 1═∥BC ，∴A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊆/平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.[能力提升]1．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1729，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图1729A.18B.17C.16D.15【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.【答案】 D2．如图1730，三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1ABC ，B A 1B 1C ，C A 1B 1C 1的体积之比为( )图1730A ．1∶1∶1B ．1∶1∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶4【解析】设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S ，∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC－VC －A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴体积比为1∶2∶4.【答案】 C3．如图1731，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．图1731【解析】设AC ＝a ，CC 1＝b ，则BD 2＝DC 21＝a 2＋14b 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋14b 2×2＝a 2＋b 2，得b 2＝2a 2，又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋14b 2＝6，∴a 2＝8，b 2＝16，∴V ＝34×8×4＝8 3.【答案】 8 34．若E ，F 是三棱柱ABC A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A BEFC 的体积．【解】如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A BEFC 的高与四棱锥A B 1EFC 1的高相等， ∴V A BEFC ＝VA B 1EFC 1＝12V A BB 1C 1C. 又VA A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，V ABC A 1B 1C 1＝m ， ∴VA A 1B 1C 1＝m3，∴VA BB 1C 1C ＝VABC A 1B 1C 1－VA A 1B 1C 1＝23m ，∴V A BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A BEFC 的体积是m3.。

2017-2018学年高二数学北师大必修2课时跟踪检测：(三) 三视图

课时跟踪检测（三）三视图层级一　学业水平达标1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是( )A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球体解析：选C　主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．2．如图所示的是一个立体图形的三视图，此立体图形的名称为( )A．圆锥B．圆柱C．长方体D．圆台解析：选B　由俯视图可知几何体的上、下底面是全等的圆，结合主视图和左视图，可知其为圆柱．3．如图所示，五棱柱的左视图应为( )解析：选B　从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.4．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：选B　将三视图还原为几何体即可．如图，几何体为三棱柱．5．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的主视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的主视图可以为( )解析：选A　显然AB1，AC，B1D1，CD1分别投影得到主视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．故A正确．6．如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是________．解析：②的左视图是三角形，⑤的主视图和左视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：①③④7．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为________．解析：三棱锥PABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：18．如下图，图②③④是图①表示的几何体的三视图，其中图②是________，图③是________，图④是________(说出视图名称)．解析：由几何体的位置知，②为主视图，③为左视图，④为俯视图．答案：主视图　左视图　俯视图9．画出图中几何体的三视图．解：该几何体的三视图如图所示．10．根据如图所示的三视图，画出几何体．解：由主视图、左视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．层级二　应试能力达标31．直角边分别为1和的三角形，绕一条直角边所在直线旋转，形成的圆锥的俯视图是半径为1的圆，则它的主视图是( )3A．等腰直角三角形 B．边长为的等边三角形C．边长为2的等边三角形D．不能确定3解析：选C　由俯视图知长为的边在轴上．因此主视图为边长为2的等边三角形．2．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是( )解析：选B　由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．3．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为( )3A．2 B．33C.D．4解析：选A　当主视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时S左＝2.34.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )A ．2B ．22C. D ．233解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体A BCD ，由三视图知正方体的棱长为2.所以S △ABD ＝×2×2＝2，1222S △ADC ＝×2×2×＝2，1222323S △ABC ＝×2×2＝2，1222S △BCD ＝×2×2＝2.12所以所求的最大面积为2.故选D.35．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：左视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸2为俯视图正三角形的高，所以3正三棱柱的底面边长为4.答案：2　46．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：77．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何是否为棱柱；(2)画出它的三视图．解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图所示．8．已知，图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．。

同步北师大高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测十一柱锥台的侧面展开与面积含解析

课时跟踪检测（十一）柱、锥、台的侧面展开与面积一、基本能力达标1．一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为5、底边长为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，则此几何体的侧面积为()A．48B．64C．80 D．120解析：选C根据几何体的三视图，可知该几何体是正四棱锥，其底面边长为8，斜高为5，则该几何体的侧面积为4×12×8×5＝80，故选C.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2B．1∶ 3C．1∶ 5 D.3∶2解析：选C设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝5r.∴S侧＝πrl＝5πr2，S底＝πr2，∴S底∶S侧＝1∶ 5.3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45°角，则这个圆台的侧面积是()A．27π B．272πC．9 2 π D．362π解析：选B∵由题意r′＝3，r＝6，l＝32，∴S侧＝π(r′＋r)l＝π(3＋6)×32＝272π.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，所以S 表＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)，又S 侧＝h 2＝4π2r 2，所以S 表S 侧＝1＋2π2π.6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.答案：27．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为22－(3)2＝1，所以圆锥的侧面积为S 侧＝πrl＝π×1×2＝2π.答案：2π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成．其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积S 1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38；圆柱的侧面积S 2＝2π×1×1＝2π；圆柱的上下底面面积S 3＝2×π×12＝2π.故该几何体的表面积S ＝S 1＋S 2－S 3＝38.答案：389．已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm 2)．解：如图所示，正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE . ∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝2OE ＝4(cm)，因此，S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．10．圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体对角线长是102cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的底面半径和高．解：设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则：⎩⎪⎨⎪⎧ (2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm. 二、综合能力提升1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．88＋(25－2)πB ．96＋(25－4)πC ．88＋(45－4)πD ．88＋(25－4)π解析：选A 由三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求几何体的表面积S ＝4×4×6－12×4×4－π×222＋12×π×2×25＝88＋(25－2)π.故选A.2．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为( ) A ．5 B. 3 C.3＋12D.3＋1解析：选B 设底面边长为a ，则由底面周长为4，得a ＝1，SE ＝ 1－14＝32.∴S 侧＝12×4×32＝ 3. 3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20＋2πB ．20＋3πC ．24＋2πD ．24＋3π解析：选B 该几何体为正方体与半个圆柱的组合体，其表面积为S ＝π×12＋12×2π×1×2＋5×22＝20＋3π.故选B.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1-AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶2解析：选C 如图，三棱锥D 1-AB 1C 的各面均是正三角形．其边长为正方体侧面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S锥＝4×12(2a)2×32＝23a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶ 3.5．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．解析：方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，设侧面梯形的高为h，则由题意得12×(3＋6)·h×4＝32＋62，解得h＝52.答案：5 26．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．已知一正三棱台ABC-A1B1C1的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．解：如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，O，O1为两底面中心，D，D1是BC，B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．由A1B1＝20，AB＝30，得OD＝53，O1D1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下得12×(60＋90)·DD 1＝34×(202＋302)．所以DD 1＝133 3.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2 ＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝4 3. 即棱台的高为4 3 cm. 探究应用题8．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短距离为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)此棱柱的表面积．解：(1)正三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 移动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，即P 1C ＝x ，在Rt △MAP 1中，由勾股定理得(3＋x )2＋22＝29，求得x ＝2，∴PC ＝P 1C ＝2. ∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45.(3)棱柱的表面积：S＝S侧＋2S底＝9×4＋2×12×32×32＝72＋932.。

精选2017_2018学年高中数学课时跟踪训练一归纳与类比北师大版选修2_2

课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n项可能是( )A．2×10n B．2×10n－1C．2×10n＋1D．2×10n－212.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A．2 B．4C．6 D．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B 由题意知275L2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A 每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。

2017-2018学年高二数学北师大必修2课时跟踪检测：模块综合检测

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－23B ．0 C. 3D ．2 3解析：选B 易知k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.2．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12解析：选D 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12.3．在空间直角坐标系中，点B 是点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13 C ．2 3D.11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面DCC 1D 1，因此平面ABCD 、平面AA 1D 1D 均与平面DCC 1D 1垂直而且平面AA 1D 1D ∩平面ABCD ＝AD ，显然选项D 不正确，故选D.6．动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得：2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m解析：选A ∵l ⊥β，l ⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A 正确．9．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533解析：选C 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S -ABD 和C -ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DBC ＝∠DAC ＝45°，所以在△BDC 中，BD ＝4－x ，所以x ＝4－x ，解得x ＝2，所以AD ＝BD ＝2，所以△ABD 为正三角形．所以V ＝13S △ABD ×4＝433.10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285 B.125 C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴直线l 的方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0，又直线l 与圆相切，∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 由题意知，当所求直线与OP 所在直线垂直时，分圆形区域这两部分的面积之差最大，又k OP ＝1，故所求直线为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4解析：选C 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A -BCD ，最长的棱为AD ＝(42)2＋22＝6，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知平面α，β和直线m ，若α∥β，则满足下列条件中的________(填序号)能使m ⊥β成立．①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α. 解析：m ⊥α，α∥β⇒m ⊥β. 答案：②14．若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1. 答案：±115．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝________.解析：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh .因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝13h ⎝⎛⎭⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ，V 2＝Sh －V 1＝512Sh ，故V 1∶V 2＝7∶5.答案：7∶516．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ， (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.18．(12分)(全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确. 19．(12分)如图所示，在棱锥A -BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．求证：(1)DM ∥平面APC ； (2)平面ABC ⊥平面APC .证明：(1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴DM ∥AP .又∵DM 平面APC ，AP 平面APC ， ∴DM ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴DM ⊥PB . 又∵DM ∥AP ， ∴AP ⊥PB .又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ， ∴AP ⊥平面PBC . ∵BC 平面PBC ， ∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC . 又∵BC 平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面APC .20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a ＞0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若圆E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的圆E 是否存在？若存在，求出圆E 的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，半径r ＝22a . 由题意得⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需圆E 的半径2a2＝52，解得a ＝10，此时，圆E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.21．(12分)(四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .解：(1) 点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.22．(12分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心H(0,3)，半径r＝12＋32＝10，圆H的方程为x2＋(y－3)2＝10.设圆心H到直线l的距离为d，因为直线被圆H截得的弦长为2，所以d＝(10)2－1＝3.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，∴直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，所以⎩⎨⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2，因为关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对任意的m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎡⎦⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2. 又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对任意的m ∈[0,1]成立，即r 2＜325，故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，4105.。

2017-2018学年高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(七) 平行关系的性质

课时跟踪检测（七）平行关系的性质层级一学业水平达标1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A由面面平行的性质定理可知选项A正确．2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.3．已知直线a∥平面α，直线b平面α，则()A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点解析：选D由题意可知a与b平行或异面，所以两者无公共点．4．已知平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选D∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵aα，bβ，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．5. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶25解析：选D∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.6. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2. 答案： 27．过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析：记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：68．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a ∥α，b ∥β，则α∥β；③若a ∥α，a ∥β，则α∥β；④若a α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：④9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．证明：因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，因为AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .因为平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，所以BC ∥EF .因为AD ＝BC ，AD ≠EF ，所以BC ≠EF ，所以四边形BCFE 是梯形．10．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．证明：∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ， ∴N 为AC 的中点．层级二应试能力达标1．若平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线解析：选D 因为a 与B 确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线，只有唯一一条．2．如图所示的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能解析：选B 因为A 1B 1∥AB ，AB 平面ABC ，A 1B 1平面ABC ，所以A 1B 1∥平面ABC .又A 1B 1平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，所以DE ∥A 1B 1.又AB ∥A 1B 1，所以DE ∥AB .3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若经过D 1B 的平面分别交AA 1和CC 1于点E ，F ，则四边形D 1EBF 的形状是( )A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．正方形解析：选C 因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED 1，BF ，所以ED 1∥BF ，同理D 1F ∥EB ，所以四边形D 1EBF 是平行四边形．4．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选D 由于BD ∥平面EFGH ，由线面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .5.如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.解析：∵AB ∥平面α，AB 平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝12(AB ＋CD )＝5. 答案：56．如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.解析：因为AC ∥平面EFGH ，所以EF ∥AC ，HG ∥AC .因为BD ∥平面EFGH ，所以EH ∥BD ，FG ∥BD .所以EF ＝HG ＝BE BA ·m ，EH ＝FG ＝AE AB ·n .因为四边形EFGH 是菱形，所以BE AB ·m ＝AE AB ·n ，所以AE ∶EB ＝m ∶n .答案：m ∶n7．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平面ABC 外一点，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．证明：直线l ∥平面PAC ，证明如下：因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC .又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF 平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF∥l.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l∥平面PAC.8．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.因为AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1.又DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.。

2017-2018学年高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(一) 简单几何体 Word版含解析

课时跟踪检测（一）简单几何体层级一学业水平达标1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下面有关棱台说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长一定等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心解析：选D由圆锥、圆柱、圆台的概念可知A、B、C均不正确，只有D正确．4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是棱锥C．③是棱锥D．④不是棱柱解析：选C①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是棱柱．故选C.6．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)8．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．层级二应试能力达标1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.3．下列命题：①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．③解析：选C②所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．①③符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．4．给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④5．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．解析：将展开图还原为正方体，当第六个正方形在①④⑤的位置时，满足题意．答案：①④⑤6．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得(3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得(1)，只要是过球心就不可能截出截面(4)．答案：(1)(2)(3)7．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14(cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.。

2017-2018学年北师大版高中数学必修2全册同步检测试题【含解析】

2017-2018学年北师大版高中数学必修2全册同步检测试题一、选择题1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2 D．32．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成()A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()4．以下几何体中符合球的结构特征的是()A．足球B．篮球C．乒乓球D．铅球5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．7．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．其中正确命题的序号是________．8．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是______．三、解答题9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．答案1. 解析：选B根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2. 解析：选D把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．3. 解析：选A图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．4. 解析：选D因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．5. 解析：选D轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．6. 解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．答案：两个圆锥7. 解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．答案：②8. 解析：画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)， ∴S 四边形ABCD ＝(4＋10)×92＝63(cm 2)．答案：63 cm 29. 解：将直线段AB ，BC ，CD 及曲线段DE 分别绕AE 所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．10. 解：②是圆锥，圆面AOB 是圆锥的底面，SO 是圆锥的高．SA ，SB 是圆锥的母线． ③是圆柱，圆面A ′O ′B ′和圆面AOB 分别为上、下底面．O ′O 为圆柱的高，A ′A 与B ′B 为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是()A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱二、填空题6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．7．下列四个命题：(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．三、解答题9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．10．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．答案1. 解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．2. 解析：选D解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．3. 解析：选D如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4. 解析：选C图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．5. 解析：选D如图，正三棱锥A-BEF和正四棱锥B-CDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．6. 解析：如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．答案：①③④⑤7. 解析：(1)棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；(2)，(3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．答案：(4)8. 解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．答案：三棱柱或三棱台9. 解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．10. 解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3 D．42．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是如图所示中的()3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()A．16B．64 C．16或64D．都不对4．如图，直观图所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2 B.433a2C.34a2D．22a2二、填空题5．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．8．如图所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原△ACB中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．三、解答题9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm，高为2 cm)．10.用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC，AC＝1，∠ABC＝30°，如图所示，试求原图的面积．答案1. 解析：选B只有③④正确．2. 解析：选D正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3. 解析：选C当其中在x′轴上的边长为4时，正方形面积为16；当其中在y′轴上的边长为4时，正方形面积为64.4. 解析：选D由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°知对应的平面图形为直角三角形．5. 解析：选D 由题意知，平行四边形的直观图为对应在直角坐标系下的图形为：∴平行四边形的面积为S ′＝2×12×a ×22a ＝22a 2.6. 解析：在直观图中，A ′B ′C ′O ′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，∴B ′到x ′轴的距离为22. 答案：227. 解析：由于直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边AB 上的中线长为2.5. 答案：2.58. 解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD 长度相等的线段，把△ABC 还原后为直角三角形，则D 为斜边AC 的中点，∴AD ＝DC ＝BD .答案：29. 解：(1)画轴，以底面△ABC 的垂心O 为原点，OC 所在直线为y 轴，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A ′B ′C ′的垂心O ′与O 的连线为z 轴，建立空间坐标系． (2)画下底面，在xOy 平面上画△ABC 的直观图，在y 轴上量取OC ＝33 cm ，OD ＝36cm.过D 作AB ∥x 轴，且AB ＝2 cm ，以D 为中点，连接AC 、BC ，则△ABC 为下底面三角形的直观图．(3)画上底面，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，过O ′作x ′轴∥x 轴，y ′轴∥y 轴，在y ′轴上量取O ′C ′＝36 cm ，O ′D ′＝312cm ，过D ′作A ′B ′∥x ′轴，A ′B ′＝1 cm ，且以D ′为中点，则△A ′B ′C ′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图，连接AA ′，BB ′，CC ′，并擦去辅助线，则三棱台ABC －A ′B ′C ′，即为所要画的三棱台的直观图(如图)．10. 解：如图(1)所示，作AD ⊥BC 于D ，在BD 上取一点E 使DE ＝AD ，由AC ＝1，可知BC ＝2，AD ＝32，AE ＝62，由斜二测画法(如图(2))可知B ′C ′＝BC ＝2，A ′E ′＝2AE ＝6， ∴S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′E ′＝12×2×6＝ 6.(1) (2)一、选择题1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台2．(湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.32B．1C.2＋12 D. 23．三棱柱ABC-A1B1C1，如下图所示，以BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是()4．(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为( )A.32B.23 C ．12 D ．6 二、填空题6．如图所示，为一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．如图(1)，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B 1的中心，则四边形BED 1F 在该正方体的面上的射影可能是图(2)中的________(要求：把可能的图的序号都填上)．三、解答题9．如图所示，图②是图①中实物的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．10．某建筑由若干个面积相同的房间组成，其三视图如下，其中每一个小矩形表示一个房间．(1)该楼有几层？共有多少个房间？ (2)画出此楼的大致形状．答案1. 解析：选D 由主视图和左视图可以判断一定为棱台或圆台，又由俯视图可知其一定为棱台且为四棱台．2. 解析：选D 由已知，正方体的正视图与侧视图都是长为2，宽为1的矩形，所以正视图的面积等于侧视图的面积，为 2.3. 解析：选A 正面是BCC 1B 1的矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC ，所以左视图为三角形，俯视图为两个有一条公共边的矩形，公共边为CC 1在面ABB 1A 1内的投影．4. 解析：选D 球的三视图是三个相同的圆；当三棱锥为正三棱锥时其三视图可能是三个全等的三角形；正方体的三视图可能是三个相同的正方形；不论圆柱如何放置，其三视图形状都不会完全相同．5. 解析：选A 由主视图、左视图、俯视图之间的关系可以判断该几何体是一个底面为正六边形的正六棱锥．∵主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，此三角形的高为3，∴左视图的高为 3.俯视图中正六边形的边长为1，其小正三角形的高为32，∴左视图的底为32×2＝3， ∴左视图的面积为12×3×3＝32.6. 解析：由三视图可知该几何体图示为所以，其上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．答案：圆锥圆柱7. 解析：其俯视图如图所示时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正方体的个数)共需7个小正方体.答案：78. 解析：根据平行投影的理论，从正方体的上下、前后、左右三个角度分别投影，从上往下投影，选择②，从前往后投影，选择②，从左往右投影，选择③.答案：②③9. 解：图①是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．10. 解：(1)由主视图和左视图可知，该楼共3层，由俯视图可知，该楼一楼有5个房间，结合主视图与左视图，易知二楼和三楼分别有4个，1个房间，故共10个房间．(2)此楼的大致形状如图：一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβD．A b，b∈β3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．65．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．答案1. 解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB 与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2. 解析：选B∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A ∈b，bβ.3. 解析：选C∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4. 解析：选C如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5. 解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6. 解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47. 解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8. 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④9. 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10. 证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交2．如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A．2对B．3对C．4对D．6对3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是()A．5 B．10 C．12 D．不能确定5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是() A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交二、填空题6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．7．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则直线a 与直线c 的位置关系是________． 8．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线 ②直线AM 与BN 是平行直线 ③直线BN 与MB 1是异面直线 ④直线AM 与DD 1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．三、解答题9．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点．答案1. 解析：选D a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A 矛盾，而a与c异面、相交都有可能．2. 解析：选B据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.3. 解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4. 解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5. 解析：选D若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6. 解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17. 解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8. 解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④9. 证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EMC 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10. 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ，故EHλBD .同理FGμBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交．设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .一、选择题1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交2．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．平行或相交3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．45．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．相交或平行二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．7．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD 的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.答案1. 解析：选D若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2. 解析：选A如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3. 解析：选A作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4. 解析：选A①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n 确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5. 解析：选D当M与D 1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．6. 解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27. 解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8. 解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH9. 证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，∵M ，G 分别是A ′B ，A ′C 的中点，∴MG 12BC ，同理DE12BC ，∴MG DE ，∴四边形DEMG 是平行四边形， ∴ME ∥DG . 又ME平面A ′CD ，DG 平面A ′CD ，∴ME ∥平面A ′CD .10. 证明：(1)如图所示，连接SB .∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点， ∴EG ∥SB .又∵SB平面BDD 1B 1，EG 平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1.(2)∵F ，E 分别是DC ，BC 的中点，∴FE ∥BD .又∵BD平面BDD 1B 1，FE 平面BDD 1B 1，∴FE ∥平面BDD 1B 1.又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG 平面EFG ，EF平面EFG ，EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG∥平面BDD 1B 1.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b 的位置关系是()A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行3．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1 B．2C．3 D．44．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5B．3∶8C．4∶9 D．4∶255．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交二、填空题6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．7．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.8．如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.三、解答题9．如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．10．在底面是平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，如图，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，证明你的结论．答案1. 解析：选C a ∥α，a 与α内的直线没有公共点，所以，a 与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b 平行的直线与a 平行，α内与b 相交的直线与a 异面．2. 解析：选D 如图：∵a ∥b ，且a γ，b γ，∴a ∥γ， ∵a α且α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴b ∥c .3. 解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不正确．4. 解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ，从而S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 5. 解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故 △ABC 中至少有一边平行于α.6. 解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.答案： 27. 解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.答案：22a 38. 解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD . 因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ，所以a ∥EG ，即BD ∥EG .所以AF AC ＝AE AB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD .于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209.答案：2099. 解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，。

2017-2018学年北师大版必修二柱、锥、台的侧面展开与面积课时作业(含答案)

的正三棱锥的全面积为 4 3，则该正方体的棱长为 ( )
A. 2 B．2
Hale Waihona Puke C．4 D．2 2解析：设正方体棱长为 a，侧面的对角线长为 2a，所以正三棱
锥 A－ CB1D1 的棱长为
2a，其表面积为
3 4× 4 ×(
2a)2＝4
3，可得
a2＝2，即 a＝ 2.
答案： A
5．如图是一个几何体的三视图，其中主视图是边长为 2 的等边
答案： C
3．已知正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的表面积为
()
A ．48(3＋ 3) B．48(3＋2 3)
C．24( 6＋ 2) D．144
解析：由题意，知侧面积为 6×6×4＝144，两底面积之和为
2×
3 4×
42×
6＝48
3，所以表面积
S＝48(3＋
3)．
答案： A
4．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，以顶点 A、 C、B1、D1 为顶点
三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是 ( )
43
3
A. 3 π B. 6 π
1
3
C.2π D. 3 π
解析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半，其中高为
22－12＝
3，故所求的体积为
V＝12×13× π×12×
3＝
3 6 π．
答案： B
二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分)
柱的底面半径为 r ，它的侧面积 S 圆柱侧＝ 2πrx.
∵
Rr ＝H－H
x ，(由相似三角形可知
)
∴
r＝
R－
R H·x，

北师大版高中数学必修2同步检测题十一柱锥台的侧面展开与面积

课时跟踪检测（十一）柱、锥、台的侧面展开与面积一、基本能力达标1．一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为5、底边长为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，则此几何体的侧面积为( )A ．48B ．64C ．80D ．120解析：选C 根据几何体的三视图，可知该几何体是正四棱锥，其底面边长为8，斜高为5，则该几何体的侧面积为4×12×8×5＝80，故选C.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，∴S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45°角，则这个圆台的侧面积是( )A ．27πB ．272πC ．9 2 πD ．362π解析：选B ∵由题意r ′＝3，r ＝6，l ＝32，∴S 侧＝π(r ′＋r )l ＝π(3＋6)×32＝272π.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，所以S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，又S侧＝h2＝4π2r2，所以S表S侧＝1＋2π2π.6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.答案：27．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为22－(3)2＝1，所以圆锥的侧面积为S侧＝πrl ＝π×1×2＝2π.答案：2π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成．其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积S1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38；圆柱的侧面积S2＝2π×1×1＝2π；圆柱的上下底面面积S3＝2×π×12＝2π.故该几何体的表面积S＝S1＋S2－S3＝38.答案：389．已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm2)．解：如图所示，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，∴PE ＝2OE ＝4(cm)，因此，S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．10．圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体对角线长是102cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的底面半径和高．解：设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则：⎩⎨⎧(2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm. 二、综合能力提升1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．88＋(25－2)πB ．96＋(25－4)πC ．88＋(45－4)πD ．88＋(25－4)π解析：选A 由三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求几何体的表面积S ＝4×4×6－12×4×4－π×222＋12×π×2×25＝88＋(25－2)π.故选A.2．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为( )A ．5 B. 3 C.3＋12D.3＋1解析：选B 设底面边长为a ，则由底面周长为4，得a ＝1，SE ＝ 1－14＝32.∴S 侧＝12×4×32＝ 3. 3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20＋2πB ．20＋3πC ．24＋2πD ．24＋3π解析：选 B 该几何体为正方体与半个圆柱的组合体，其表面积为S ＝π×12＋12×2π×1×2＋5×22＝20＋3π.故选B.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶ 2 C ．1∶ 3D ．1∶2解析：选C 如图，三棱锥D 1AB 1C 的各面均是正三角形．其边长为正方体侧面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥＝4×12(2a )2×32＝23a 2， S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.5．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x 2－9x ＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．解析：方程x 2－9x ＋18＝0的两个根为x 1＝3，x 2＝6，设侧面梯形的高为h ，则由题意得12×(3＋6)·h ×4＝32＋62，解得h ＝52.答案：526．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．已知一正三棱台ABC A 1B 1C 1的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．解：如图，在正三棱台ABC A 1B 1C 1中，O ，O 1为两底面中心，D ，D 1是BC ，B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高．由A 1B 1＝20，AB ＝30，得OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下得12×(60＋90)·DD 1＝34×(202＋302)．所以DD 1＝133 3.在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝ ⎛⎭⎪⎫53－10332＝4 3. 即棱台的高为4 3 cm. 探究应用题8．如图所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短距离为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)此棱柱的表面积．解：(1)正三棱柱ABC A 1B 1C 1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 移动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，即P 1C ＝x ，在Rt △MAP 1中，由勾股定理得(3＋x )2＋22＝29，求得x ＝2，∴PC ＝P 1C ＝2. ∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45. (3)棱柱的表面积：S ＝S 侧＋2S 底＝9×4＋2×12×32×32＝72＋932.。

2017-2018学年北师大版高中数学二课时作业：1.7简单几何体的再认识12含答案

课时作业12 柱、锥、台的体积|基础巩固|（25分钟，60分）一、选择题(每小题5分,共25分）1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为（)A．1：3 B．1：6C．1：8 D．1：4解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b,c，则V三棱锥＝错误!错误!c＝错误!。

又V长方体＝abc。

故选B。

答案：B2．正四棱锥的侧棱长为2错误!，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°,则该棱锥的体积为（）A．3 B．6C．9 D．18解析：如图所示O为正四棱锥底面中心,∠PCO ＝60°，PC＝2错误!，则在Rt△POC中，PO＝3，OC ＝错误!，AC＝2错误!,AB＝错误!＝错误!，∴V锥＝错误!×错误!×错误!×3＝6，故选B.答案:B3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( ）A．26 B．28C．30 D．32解析：所求棱台的体积V＝错误!×(4＋16＋错误!）×3＝28.答案：B4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( ）A．12π B．45πC．57π D．81π解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱,由三视图可得该几何体的体积V＝V圆锥＋V圆柱＝错误!×π×32×错误!＋π×32×5＝57π.故选C.答案：C5．（2016·云南省第一次统一检测）如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注:正视图也称主视图,侧视图也称左视图)，则被削掉的那部分的体积为( )A.错误!B.错误!C.5π3－2 D．2π－错误!解析：由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成,其体积V＝错误!×错误!×π×12×2＋13×错误!×2×1×2＝错误!＋错误!,∴被削掉的那部分的体积为π×12×2－错误!＝错误!。

2017-2018学年高二数学北师大必修2课时跟踪检测：(十) 垂直关系的性质

2．平面 α⊥平面 β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β
C．a 与 β 相交
D．以上都有可能
解析：选 D 因为 a∥α，平面 α⊥平面 β，所以直线 a 与 β 垂直、相交、平行都有可
能．故选 D.
3．已知三个平面 α，β，γ，若 β⊥γ，且 α 与 γ 相交但不垂直，则( ) A．存在 aα，a⊥γ B．存在 aα，a∥γ C．任意 bβ，b⊥γ D．任意 bβ，b∥γ 解析：选 B 因为三个平面 α，β，γ，若 β⊥γ，且 α 与 β 相交但不垂直，则可知存在
aα，a∥γ，选 B.
4．已知平面 α，β 和直线 m，l，则下列命题中正确的是( ) A．若 α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则 l⊥β B．若 α∩β＝m，lα，l⊥m，则 l⊥β C．若 α⊥β，lα，则 l⊥β D．若 α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则 l⊥β 解析：选 D 选项 A 缺少了条件：lα；选项 B 缺少了条件：α⊥β；选项 C 缺少了条
3．如图所示，三棱锥 PABC 的底面在平面 α 上，且 AC⊥PC，平面 PAC⊥平面
PBC，点 P，A，B 是定点，源自动点 C 运动形成的图形是( )A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
解析：选 D ∵平面 PAC⊥平面 PBC，AC⊥PC，AC平面 PAC，且平面 PAC∩平面
③若 α⊥β，m∥α，则 m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 B ①中，α，β 可能平行，也可能相交，不正确；②中，α⊥β，m⊥β，mα
时，只可能有 m∥α，正确；③中，m 与 β 的位置关系可能是 m∥β 或 mβ 或 m 与 β 相交，

2017-2018学年高中数学课时跟踪训练(一)命题北师大版选修2-1

课时跟踪训练(一) 命题1．命题“若x ＞1，则x ＞－1”的否命题是( )A ．若x ＞1，则x ≤－1B ．若x ≤1，则x ＞－1C ．若x ≤1，则x ≤－1D ．若x ＜1，则x ＜－12．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y ，或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．(湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π44．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( )A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是____________________________，q 是__________________________．6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.答案1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．答案：一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6．答案：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交；逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行；否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交；逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。

2017-2018学年高二数学必修2课时跟踪检测：(十二) 柱、锥、台的体积

课时跟踪检测（十二）柱、锥、台的体积层级一学业水平达标1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm 3. 2．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B.13π6 C.7π3D.5π2解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.3．如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．6 3B ．9 3C ．8 3D ．12解析：选B 由三视图可知直观图是四棱柱，故V ＝3×3×3＝9 3. 4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．5．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋4B ．2π＋8C ．4π＋4D ．4π＋8解析：选B 由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V ＝1×2×4＋12×π×12×4＝8＋2π.6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. 解析：设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.答案： 37．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.答案：83π8．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为________．解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×12×π×12＝24－3π2.答案：24－3π29．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝35·157，V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．解：∵VM 是棱锥的高， ∴VM ⊥MC . 在Rt △VMC 中， MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)，∴AC ＝2MC ＝6(cm)．在Rt △ABC 中， BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm)．S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)， ∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3)．∴棱锥的体积为3253cm 3.层级二应试能力达标1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8π解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.2．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C′＝13V 柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 3．(浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3解析：选B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何的体积V ＝V 四棱锥＋V 三棱柱＝4×6×3＋12×4×3×3＝90(cm 3)．4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827πC.24(2－1)3πD.8(2－1)3π解析：选A 由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为32－12＝22，设其内接正方体的棱长为x ，则2x 2＝22－x 22，∴x ＝223.∴V 新工件＝x 3＝16227. 又V 原工件＝13π×12×22＝22π3，∴V 新工件V 原工件＝1622722π3＝89π.故选A. 5．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 解析：如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E -ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14. 答案：146．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．解析：由三视图易知几何体ABC -A 1B 1C 1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VP -A 1MN ＝VA 1-PMN ＝V A -PMN . 又S △PMN ＝12MN ·NP ＝12×12×1＝14，A 到平面PMN 的距离h ＝12，∴V A -PMN ＝13S △PMN ·h ＝13×14×12＝124. 答案：1247．如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB -A 1B 1C ＝V 台－VA 1-ABC －VC -A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴所求体积比为1∶2∶4.8．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，∴圆锥的侧面积S 1＝π×2×210＝410π(cm 2)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知r 2＝6－x6，∴r ＝6－x3，∴圆柱的侧面积S 2＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )＝－2π3[(x －3)2－9]， ∴当x ＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm 2.。