2006年全国高中数学联赛河南省预赛高二

( 1) 求证 :
1
OA
2
+
1
OB
2
为定值 ;
( 2) 求菱形 ABCD 面积的最值 . ( 20 分 ) 设三个正实数 x 、 六、 y、 z . 试求
代数式
16 x + 9
2 xy + 9 x +2y + z
3
3 xyz
的最大值 .
参考答案
一、 1. A. 利用数形结合 ,易得实数 a 的取值范围 .
30
中 等 数 学
2006 年全国高中数学联赛河南省预赛 ( 高二)
一、 选择题 ( 每小题 5 分 ,共 30 分) 1. 已知关于 x 的方程 | x | = ax + 1 有一 个负根而且没有正根 . 则实数 a 的取值范围 ). 是 ( (A) { a| a ≥ 1}
(B) { a| a ≥ 1 或 a ≤- 1} ( C) { a| a < - 1 或 a > 1} (D) { a| 0 < a < 1} 2. 当 θ取遍全体实数时 ,直线
2006 年第 8 期
31
c - 2 b = - 3.
( 20 分 ) 已知菱形 ABCD 是椭圆 C : 五、
x y 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的内接四边形 . a b
2 2
6. A.
q 只能取 40. 当 p = 3 k 时 , p 只能等于 3 ,符合要 求 ;当 p = 3 k + 1 时 , p + 14 不是质数 ; 当 p = 3 k + 2 时 , p + 40 不是质数 . 二、 1. 4. 因抛物线 y2 = a ( x + 1 ) 与抛物线 y2 = ax 具有 相同的垂直于对称轴的焦点弦长 , 故可用标准方程 2 2 y = ax 替换一般方程 y = a ( x + 1) 求解 , 而 a 值不 变 . 由通径长公式得 a = 4. 2. 48. 32 32 128 4 4 ≥a4 + a + = a + 2 b ( a - b) ( b + a - b) 2 a 4 3 12 64 64 4 = a + 2 + 2 ≥ 3 2 = 48 ( a = 2 时取等号) . a a
利用 4 = x2 + 4 y2 ) 2 + 4 ( y1 cos θ+ y2 sin θ )2 = ( x1 cos θ+ x2 sin θ
所以 , a1 , a3 , …, a2 n + 1 和 a2 , a4 , …, a2 n 都是公 差为 - 3 的等差数列 . 故 a52 = a10 + 21 ×( - 3) = - 80 ,
a51 = a11 + 20 ×( - 3) .
1 ab = a + b + 2
a + b . a + b .
2 2
2
2
所以 ,
1 ab - a - b = 2
又 a10 + a11 = - 30 ,所以 , a11 = - 13. 故 a51 = - 73 , b51 = a51 a52 = 5 840.
4. D.
由题意得 2 a + ( c + d) a + cd - 1 = 0 , 2 b + ( c + d) b + cd - 1 = 0. 2 则 a、 b 是方程 x + ( c + d ) x + cd - 1 = 0 的两 根 . 于是 ,有
2. D.
直线方程可变为 ( x - 1) cos θ+ ( y - 1) sin θ= 4. 于是 ,点 A (1 ,1) 到直线的距离为
d=
3.源自文库
n ( n + 5)
2
.
4 cos θ+ sin θ
2 2
= 4.
利用归纳可得 an = n + 2. 则有
2 an + 1 = ( n + 2) - ( n + 1) ( n + 2) + 1 = n + 3 ,
5. 过椭圆
x
2
6
2
+
y
2
2
2
= 1 的一个焦点 F 作弦 1
m
x
AB . 若 | A F | = m , | B F | = n , 则
+
1
n
=
π 4
. 1 2 5 + + . 则关于 2 3 6 x 的方程 ( t - 1 ) ( t - 2) ( t - 3) = 0 的所有实 数解之和等于 . ( 20 分 ) 如图 1 , 三、 在矩形 ABCD 中 , AB = 6. 设 t = 3 , BC = a . 又 PA ⊥平 面 ABCD , PA = 4. (1) 若在边 BC 上存
x ( 20 分) 已知椭圆 C : + y2 = 1 及定 四、 4
2
1 点 P ( t ,0) ( t > 0) ,斜率为 的直线 l 经过点 2
P 并与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B , 且对于
的焦点 ,并且与 x 轴垂直 . 若 l 被抛物线截得 的线段长为 4 ,则 a = . 32 4 2. 设 a > b > 0. 则 a + 的最小 b ( a - b)
NQ =
2 2 19 + t × 3 + (4 - t ) . 4 2
1
n
则 cos ∠MNQ =
MN = NQ
4(4 - t) 19 + t × 3 + (4 - t ) 15 ; 5 7 . 7
2 2
.
+
=
2a
b
2
= 3.
由式 ① 得 t = 1 或 t = 3. 当 t = 1 时 ,cos ∠MNQ =
π] ,使得 椭圆上任意一点 M ,都存在 θ∈[ 0 ,2
OM = cos θ ・ OA + sin θ ・ OB 成立 . 试求出满
足条件的实数 t 的值 .
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c | FA | = e= a | AA 1 |
所以 , ( a + c) ( b + c) = ab + ( a + b) c + c . 故 ( a + c) ( b + c) = - 1.
5. C.
2
= =
| FA | | DF| + | FE|
m m cos α+ b c
2
取 x = - 2 ,有 f ( c - 2 b) = 16 - 16 × 2 + 15 = - 1. 而当 x2 + 6 x + 8 = - 1 时 ,有 x = - 3. 所以 ,
,
图2
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中 等 数 学
1
m
所以 , 同理 , 故
1
m
= = 1
n
a - ccos α . 2 b a + ccos α . 2 b
a + b = - ( c + d) , ab = cd - 1.
两边平方并整理得 ab - 4 a - 4 b + 8 = 0. 则 ( a - 4) ( b - 4) = 8. 因为 a 、 b 都是正整数 , 所以 , 当 a = 5 时 , b = 12 ; 当 a = 6 时 , b = 8. 故满足题意的三角形有 2 个 . 5. 3. 如图 2 ,作 AA1 垂直准线 于点 A1 ,AE ⊥x 轴于点 E. 因为
x cos θ+ y sin θ= 4 + 2sin θ+
值是 . 3. 已知数列{ a n } 满足 : 2 a1 = 3 , a n + 1 = a n - ( n + 1) an + 1. 则数列{ an }的前 n 项和等于 . 4. 边长为整数且面积 ( 的数值) 等于周长 的直角三角形的个数为 .
y = y1 cos θ+ y2 sin θ .
由 Δ = a2 - 12 = 0 ,解得 a = 2 3 , t = 3 . 故 Q 是 BC 的中点 . 如图 1 ,取 AD 的中点 R , PA 的中点 S ,联结 RS 、
RC . 有 RS ∥ PD , RC ∥AQ . 则 ∠SRC 就是异面直线 AQ 与 PD 所成的角 .
3. B.
2
.
因为 an + an + 1 = - 3 n ,则
an + 2 - an = ( an + 2 + an + 1 ) - ( an + 1 + an )
4. 2.
设直 角 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a 、 b 和 c =
2 a + b ( a ≤b) ,则有 2
= - 3 ( n + 1) - ( - 3 n) = - 3.
所以 ,当 θ∈R 时 ,直线
x cos θ+ y sin θ= 4 + 2sin θ+
π 4
并且 a1 = 3 = 1 + 2 满足条件 . 所以 , an = n + 2. 从而 ,数列{ an } 的前 n 项和为
S n = 3 + 4 + …+ ( n + 2) = n ( n + 5)
所围成的图形是以点 A 为圆心 、 4 为半径的圆 .
2
2
由 PQ ⊥QD ,得 19 + t2 + 3 + ( a - t ) 2 = 16 + a2 , 即 t2 - at + 3 = 0. 由Δ = a - 12 ≥ 0 ,解得 a ≥ 2 3. (2) 因为 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ⊥QD .
2
①
线 AB 的方程为 x - 2 y - t = 0. 联立方程可得 2 2 2 2 2 x - 2 tx + t - 4 = 0 和 8 y + 4 ty + t - 4 = 0. 2 2 t - 4 t - 4 所以 , x1 x2 = 和 y1 y 2 = . 2 8 由 OM = cos θ ・ OA + sin θ ・ OB ,可得 x = x1 cos θ+ x2 sin θ,
f ( bx + c) = 4 x + 16 x + 15 ,
2
2
). 那么 , c - 2 b = ( (A) 3 (B) 7 ( C) - 3 (D) - 7 6. 已知 p 、 p + 14 、 p + q 都是质数 , 并且 ). p 有唯一的值和它对应 . 则 q 只能取 ( (A) 40 (B) 44 ( C) 74 (D) 86 二、 填空题 ( 每小题 5 分 ,共 30 分) 2 1. 直线 l 过抛物线 y = a ( x + 1) ( a > 0)
程 x + 3 nx + bn = 0 的两根 ,已知 a10 = - 17.
). 则 b51 的值等于 ( (A) 5 800 (B) 5 840 ( C) 5 860 (D) 6 000 4. 已知 a 、 b、 c、 d 是四个不同的有理数 , 且 ( a + c) ( a + d) = 1 , ( b + c) ( b + d ) = 1. 则 ( a + c) ( b + c) 的值等于 ( ). (A) 2 (B) 1 ( C) 0 (D) - 1 2 5. 设函数 f ( x ) = x + 6 x + 8. 如果
(1) 设 BQ = t ,则 三、
2 2 2 2 PQ = 19 + t , QD = 3 + ( a - t ) ,
15 7 或 arccos . 5 7 四、 设点 M ( x , y ) 及点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) . 直 arccos
PD = 16 + a .
图1 在一点 Q , 使 PQ ⊥QD , 求 a 的取值范围 ; ( 2) 当 BC 上存在唯一点 Q , 使 PQ ⊥QD 时 ,求异面直线 AQ 与 PD 所成的角 ; (3) 若 a = 4 ,且 PQ ⊥QD ,求二面角 A PD - Q 的大小 .
x x
). 所围成的图形的面积是 ( (A)π (B) 4 π ( C) 9 π (D) 16 π 3. 数列 { an } 中 , 相邻两项 a n 、 a n + 1 是方
x x
6. 4.
定义 : f ( x ) = 变形为 f ( x ) =
1 2 3 6
x
+
x
2 3 + 3 6 4 6
x
+
x
5 6 + 5 6
x
.
x
当 t = 3 时 ,cos ∠MNQ =
.
故二面角 A - PD - Q 的大小为
5 6
x
易发现函数 f ( x ) =
+
4 6
+
是定义在实数集上的减函数 . 又因为 f (3) = 1 , f (1) = 2 , f (0) = 3 ,从而 ,关于 x 的方程 ( t - 1) ( t - 2) ( t - 3) = 0 的解分别是 0 、 1、 3.