五：平面向量与空间向量十年高考题(含答案)

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2010-2019北京高考数学(理)真题分类汇编专题五平面向量的概念与运算

2010-2019北京高考数学（理）真题分类汇编专题五

平面向量的概念与运算

2019年

1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=

A ．-3

B ．-2

C ．2

D ．3

2.（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=-c a ，则cos ,<>=a c ___________.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =

A ．3144

AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．

1344AB AC + 2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

4．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3

<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为

A ．4

B ．–4

C ．

D ．– 6．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点

2019-2021全国高考数学真题汇编：空间向量(教师版)

2019-2021全国高考数学真题汇编：空间向量

一．选择题（共6小题）

1．（2019•全国）经过点（1，﹣1，3）且与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为（）A．2x+y﹣z+2＝0B．2x+y+z﹣6＝0C．2x+y+z﹣4＝0D．2x+y﹣z﹣3＝0

2．（2020•新课标Ⅱ）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π（）

A．B．C．1D．

3．（2020•海南）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°（）

A．20°B．40°C．50°D．90°

4．（2019•上海）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）

A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）

5．（2019•浙江）设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）

A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β

6．（2019•全国）正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点（）A．B．C．D．

二．填空题（共3小题）

7．（2019•上海）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．8．（2019•新课标Ⅱ）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，BC的距离均为，那么P到平面ABC的

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之立体几何

十年高考真题（2011-2020）（北京卷）

专题09立体几何与空间向量

本专题考查的知识点为：立体几何与空间向量，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：空间几何体的结构特征，空间几何体的表面积与体积，多面体与球的切接问题，空间向量的应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以空间向量的应用，空间几何体的性质为重点较佳.

1．【2020年北京卷04】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．

A．6+√3B．6+2√3C．12+√3D．12+2√3

2．【2018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（

）

A．1B．2C．3D．4

3．【2017年北京理科07】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）

A．3√2B．2√3C．2√2D．2

4．【2016年北京理科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A．1

6B．1

C．1

D．1

5．【2015年北京理科04】设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．【2015年北京理科05】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A．2+√5B．4+√5C．2+2√5D．5

7．【2014年北京理科07】在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D （1，1，√2），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）

2023-2024学年高考数学平面向量及其应用专项练习题(含答案)

的大小是（

A．3B．4二、多选题

9．在△ABC中，角A，B，C

因为在中，满足ABC BC

所以，即222AB BC AC += ()

AC BC BC BA BC ⋅=-⋅

4．C

【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.【详解】由题意可知

，

()

22200

BC CB BA BC BC BC BA BC BC BA ⋅++=-+⋅+=⇒⋅= 所以，即的形状是直角三角形.BC BA ⊥ABC 故选：C 5．A

【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.

b a

c =223a bc c ac +=+2223b c a bc +-=【详解】因为，且，

b a

c =223a bc c ac +=+所以，

222

3b c a bc +-=所以

，2223

cos 22b c a A bc +-==

因为

，所以

，

()

0,πA ∈π

6A =

故选：A 6．C

【分析】求出，对两边平方可得答案.

r 25

a b -=

【详解】，，

5a =

5a b ⋅=

因为，所以，

25a b -=

222220-=-⋅+= a b a a b b 即，解得.251020

-+= b 5b =

故选：C.7．C

【分析】由零向量与任意向量共线判断A ，根据判断B ，设，建立方程，根据

3a b =r r a b λ=

方程解的情况判断C ，根据判断D.

12a b

=【详解】对于A ：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；对于B ：因为

，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；1233a e e =+ 12b e e =+ 3a b =r r

高考数学专题训练：平面向量基本定理含详解

高考数学专题训练：平面向量基本定理

一、单选题

1．

在ABCD 中，点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，连结BN 并延长交AD 于M ，则MN = （

）

A ．1136A

B AD -+ B ．1136

AB AD -

C ．1344AB AD

D ．3144

AB AD

2．如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c

的起点和终点均在格点，且满足向量(),a xb yc x y R =+∈r r r

，那么x y -=（

）．

A ．0

B ．2-

C ．1

D ．2

3．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=-

，则λμ+=（

）

A ．

B ．

C ．1

D ．2

4．若a ，b 是两个不共线的向量，已知2MN a b =- ，2PN a kb =+ ，3PQ a b =-

，若M ，

N ，Q 三点共线，则k =（

）

A ．1

-B ．1

C ．

D ．2

5．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB = ，2NC AN =

，则向量MN =

（

）．

A ．1233

AB AC - B ．1233

AB AC +

C ．1233AC AB

D ．1233

AC AB

6．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M 、N ，若12

AB AM = ，AC nAN =

，则n =（

）

A ．1

B ．

C ．2

D ．3

7．如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，25

数学高考复习空间向量及其运算专题训练(含答案)

数学2021届高考复习空间向量及其运算专题训

练（含答案）

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，下面是空间向量及其运算专题训练，请考生及时练习。

一、选择题

1.以下四个命题中正确的是().

A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底

C.ABC为直角三角形的充要条件是=0

D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b=(b+c)+(c+a)，

(1)a=(1)b+(+)c，，不可能同时为1，设1，则a=b+c，则a、

b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾.

答案 B

2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)=2，则x= ().

A.4

B.2

C.4

D.2

解析 a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，

ca=(0,0,1x)，2b=(2,4,2).

(ca)(2b)=2(1x)=2，x=2.

答案 D

3.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是().

A.{a，a+b，ab}

B.{b，a+b，ab}

C.{c，a+b，ab}

D.{a+b，ab，a+2b}

解析若c、a+b、ab共面，则c=(a+b)+m(ab)=(+m)a+(m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a+b，ab可构成空间向量的一组基底.

答案 C

【高考必刷题】高三——立体几何与空间向量(后附参考答案与解析)

平行的截面，则截得的三

；截得的平面图形中，面积最大的值是．

的中点，点在线段上．点到直线5

的中点，为线段上的动点，过点，

，则下列命题正确的是．

，，且平面

上，且．

与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．

是正方体棱上一点（不包括棱的端点），

．

，则的取值范围是．

的最大值为

满足

的中点，沿将矩形折起使得

分别为中点．

C.3个

D.4个

分别为棱，上的点．已知下列判断：

上的正投影是面积为定值的三角形；平行的直线；

所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关．

11，，，与平面所

的位置，使得平面，并证明你的13

，坐标平面上的一组正投影图像如

．

如图是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．

求证：平面平面．

（1）

15 16 17 18

椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

于，且，则

19 D.，

所成角都相等的直线条数为

所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是（

20分别是棱的中点，是侧面

长度的取值范围是（）．

D.③④

分别是棱

，的中点，过直线，

，给出以下四个命题：

22为正方形,，则三棱锥

24 25

26 27

29 30

A. B.

C. D.

∵，

∴，，

在三角形中，，∴，

∵，∴平面；

方法1：连接，∵为的中点，为中点，

（2）

∴，

∵平面，平面，

∴平面．

方法2：由（Ⅰ）知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知

得：

，，

，，，

，

则，，，

．

∴∴

∵平面，平面，∴平面；

（3）

设平面的法向量为，直线与平面所成角，

则，即，

解得，令，则平面的一个法向量为，

十年(2013-2022)高考数学真题分类汇编解析12 立体几何与空间向量(大题)

十年（2013-2022）高考数学真题分类

汇编解析12 立体几何与空间向量解答题

1．【2022年全国甲卷理科18】在四棱锥中，底面

．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【解析】

(1)证明：在四边形中，作于，于，

因为，

所以四边形为等腰梯形，

所以，

故，，

所以，

因为平面，平面，

所以，

又，

所以平面，

又因平面，

所以；

(2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

，

空间向量与立体几何 2024高考题目及答案

2024年高考题目及答案：空间向量与立体几何

【引言】

2024年高考数学试题中，空间向量与立体几何是一个重要的考点。

在此次试题中，考查了空间向量的定义、运算和应用，以及立体几何

中的线面交角、直线方程和平面方程等内容。本文将对这些题目进行

具体分析和解答，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。

【题目一：空间向量的定义和运算】

题目描述：已知点A(1, 2, -3)、B(4, -1, 2)，向量AB可以表示为OA

减去OB。求向量AB的模长和方向余弦。

解答：

首先，根据向量的定义，向量AB可以表示为OB减去OA，即AB = OB - OA。

则有向量AB = (4, -1, 2) - (1, 2, -3) = (4-1, -1-2, 2-(-3)) = (3, -3, 5)。

其次，求向量AB的模长，使用模长的定义：|AB| = √(3^2 + (-3)^2

+ 5^2) = √(9 + 9 + 25) = √43。

最后，利用方向余弦的定义，设向量AB与空间坐标轴的夹角为α、β、γ，则有：

cosα = 3 / √43，cosβ = -3 / √43，cosγ= 5 / √43。

【题目二：空间向量的应用】

题目描述：在空间直角坐标系中，已知向量a = (3, 0, 4)，向量b = (1, -2, 2)。求向量a与向量b的数量积、向量积和夹角。

解答：

首先，求向量a与向量b的数量积，使用数量积的定义：a·b = 3*1 + 0*(-2) + 4*2 = 3 + 0 + 8 = 11。

十年真题(-2019)高考数学真题分类汇编专题09 立体几何与空间向量选择填空题理(含解析)

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表

题型年份考点试题位置

单选题2019表面积与体积2019年新课标1理科12单选题2018几何体的结构特征2018年新课标1理科07单选题2018表面积与体积2018年新课标1理科12单选题2017三视图与直观图2017年新课标1理科07单选题2016三视图与直观图2016年新课标1理科06

单选题2016空间向量在立体几何中的应

用2016年新课标1理科11

单选题2015表面积与体积2015年新课标1理科06

单选题2015三视图与直观图2015年新课标1理科11

单选题2014三视图与直观图2014年新课标1理科12

单选题2013表面积与体积2013年新课标1理科06

单选题2013三视图与直观图2013年新课标1理科08

单选题2012三视图与直观图2012年新课标1理科07

单选题2012表面积与体积2012年新课标1理科11

单选题2011三视图与直观图2011年新课标1理科06

单选题2010表面积与体积2010年新课标1理科10

填空题2017表面积与体积2017年新课标1理科16

填空题2011表面积与体积2011年新课标1理科15

填空题2010三视图与直观图2010年新课标1理科14

历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC,△ABC是边长为2的正三角形,E，F分别是PA,AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（)

A．8πB．4πC．2πD．π

【解答】解：如图，

由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，

平面向量高考题选及答案

27.2015高考安徽,理8 是边长为的等边三角形,已知向量 , 满足 , ,则下列结论正确的是
A B C D
28.2015高考福建,理9已知 ,若点是所在平面内一点,且 ,则的最大值等于
A．13 B．15 C．19 D．21
29.2015高考北京,理13在中,点 , 满足 , ．若
,则；．
30.2015高考湖北,理11已知向量 , ,则 .
31.2015高考天津,理14在等腰梯形中,
已知 ,动点和分别在线段和上,且, 则的最小值为.
32.2015高考浙江,理15已知是空间单位向量, ,若空间向量满足 ,
且对于任意 , ,则 , , ．
33.2015高考新课标2,理13设向量 , 不平行,向量与平行,则实数 _________．
34.2015江苏高考,14设向量ak ,则 ak ak+1的值为
35.2015江苏高考,6已知向量a= ,b= ,若ma+nb= ,则的值为______.
.7 C
平面向量参考答案之一
1.答案
试题解析： ,所以 .
秒杀解析：利用如下图形,可以判断出的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为 .
2.答案解析试题分析：由 ,得 ,所以 ,解得 .
3.解析试题分析：由题知 = ,故选A.

2024届新高考数学复习：专项(空间向量及其运算)历年好题练习(附答案)

→
→
又AB ＝(6，－2，－3)，AC ＝(x－4，3，－6)
6（x－4）－6＋18＝0，
得 x＝2.
∴
2
（x－4）＝4，
1
12.2 (b＋c－a)
→
→
→
答案解析：MN ＝ON －OM
1 →
1 →
→
＝2 (OB ＋OC )－2 OA
1
＝2 (b＋c－a)
13．D
1
1 →
→
→
14．B ∵OE ＝2 C ⃗＝2 (AB ＋AD ＋A ⃗)，
1
1
→ →
＋AC ꞏAD )＝4 (a2cos 60°＋a2cos 60°)＝4 a2.
10．3
答案解析：∵λa＋b＝(4，1－λ，λ)，
∴|λa＋b|＝ 42＋（1－λ）2＋λ2 ＝ 29 ，∴17＋2λ2－2λ＝29，
∴λ＝3 或 λ＝－2(舍).
11．2
→ →
→
→
答案解析：由题意得AB ꞏAC ＝0，|AB |＝|AC |，
D．(－1，0，1)
)
8．已知 a＝(2，－1，3)，b＝(－4，y，2)，且 a⊥(a＋b)，则 y 的值为(
A．6
B．10
C．12
D．14
)
9．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC，AD

高考数学复习空间向量及其运算理专题训练(含答案)

高考数学复习空间向量及其运算理专题训

练（含答案）

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。

一、填空题

1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).

[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，

设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面

2.(2019济南调研)在下列命题中：

若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;

若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;

若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;

已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.

其中不正确的命题是________(填序号).

[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定

共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.

[答案]

3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且

OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则

=________.(用a，b，c表示)

[解析] =-=(+)-

=b+c-a.

[答案] b+c-a

(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题10立体几何与空间向量解答题理(含解析)

专题10立体几何与空间向量解答题

历年考题细目

表

解答题2011空间向量在立体

几何中的应用

2011年新课标1

理科18

解答题2010空间角与空间距

离

2010年新课标1

理科18

历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°,E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．

【解答】（1）证明:如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1,且,又MB∥AA1，MB，∴四边形NMBH为平行四边形,则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点,得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，

∴NM∥DE，

∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE,

∴MN∥平面C1DE;

（2)解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则N（，，2），M（，1，2）,A1（，﹣1，4），

，，

设平面A1MN的一个法向量为，

由，取x，得，

又平面MAA1的一个法向量为，

∴cos．

∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．

2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E,F

分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

【解答】（1）证明:由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，,

四川省成都列五中学平面向量多选题试题含答案

一、平面向量多选题

1．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（） A ．()

()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗

C ．()()()

a b c a c b c +⊗=⊗+⊗

D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】

对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λa

b 时,

()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,

()()()sin ,sin

,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会

恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行

化简验证即可. 【详解】

解：对于A ：()

()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a b

λλλ⊗=⋅，

故()

()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；

对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立；对于C ，若λa

b ，且0λ>，()

()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，

()()()sin

,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，