数列的通项、求和与不等式的证明(教学案)-备战2018高考高三二轮数学一本过精品(word版含答案)

高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考查，对数列的考查往往与函数、不等式等结合在一起，特别是近几年的浙江高考试题，将数列不等式的证明作为压轴题目，要求学生有综合处理问题的能力.纵观最近几年高考，证明数列不等式，常用方法为方缩法，经过放缩，将数列化为可求和，最后再比较和值与结果大小即可，或与数学归纳法相结合.本文在分析近几年浙江高考试题的基础上，结合各地模拟试题，就以下几种类型加以总结，以期帮助同学们提高解答此类题目的应对能力. 【类型一】等差数列与不等式的结合问题【概要】等差数列与不等式的结合，一般涉及等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的常用性质，如 (1)通项公式的推广： ();n m a a n m d =+- (2)若{}n a 为等差数列，且2p q m n r +=+= ,则2p q m n r a a a a a +=+= ；(3)若{}n a 是等差数列，公差为d 2,,...k k m k m a a a ++，则是公差md 的等差数列；(4)数列232,,...m m m m m S S S S S --也是等差数列.在解决等差数列的运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 【题型示例】例1【浙江省湖州市】数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n =a n a n+1a n+2（n ∈N *），设S n 为{b n }的前n 项和．若125308a a =>，则当S n 取得最大值时n 的值等于_____．【答案】16例2【河南省洛阳市】已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 864S =，又2a 是1a 与5a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若62n n S a +>，求n 的最小值.【答案】（1）21n a n =-（2）8（2）()()1212122n n n a a n n S n ++-===∵62n n S a +>，∴22162n n +-> ∴22630n n +->， ()()790n n -+>∵*n N ∈，∴70n ->， 7n > ∴n 的最小值为8.【类型二】等比数列与不等式的结合问题【概要】等比数列与不等式的结合，一般涉及等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列的常用性质.其中与“错位相减法”、“放缩法”相结合的情形较多.运算中要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 【题型示例】例3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n t S ++=，若对任意的*N n ∈， ()()23275n S n λ+≥-恒成立，则实数λ的取值范围是__________． 【答案】1,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例4【2018届浙江省台州市高三上学期期末】数列{}n a ， {}n b 中， n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足111a b ==，()32n n S n a =+，()*1,2n n na b n N n a -=∈≥. （1）求{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）求证：2482111112n a a a a ++++< ； （3）令ln n c b =， 123n n T c c c c =++++ ，求证：)2*n T n N ≥∈.【答案】（1）()()*12n n n a n N +=∈， 1,1,{ 1,2;1n n b n n n ==-≥+（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由()32n n S n a =+，可得当2n ≥时， ()1131n n S n a --=+，两式相减可化为111n n a n a n -+=-，利用累乘法可得{}n a 的通项公式，进而可得{}n b 的通项公式；（Ⅱ）先证明试题解析：（Ⅰ） ()32n n S n a =+ ， ∴当2n ≥时， ()1131n n S n a --=+， ()()1321n n n a n a n a -∴=+-+， 111n n a n a n -+∴=-， ()312112211341112212n n n n n n n a a a a n n a a a a a a n n ---++∴=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=-- ， ()()*1N 2n n n a n +∴=∈， 1,1,{ 1,2;1n n b n n n ==-≥+（Ⅱ）()()1211212111222212212n n n n n n n n a ---==<=⋅+⋅+⋅， 2124821111111138322n n a a a a -∴+++≤++++ 1111111111118411336436214n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-<+= ⎪⎝⎭-，2482111112n a a a a ∴++++< ； （Ⅲ）（1）当1n =时，左边11ln 0T b ===右边， （2）当2n ≥时，∵n T = 1231ln1lnln ln ln 3451n n -++++++ ()()1231ln3451n n ⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯+ ()2ln1n n =+，【类型三】数列的求和与不等式相结合问题【概要】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等.数列不等式的证明问题，往往要先研究数列特征，在求和、结合放缩法加以证明. 【题型示例】例5【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*11,22n n a S na n n n N ==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ，使得3212112423n n S S S S n+++++= ？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由； （3）设()()*27n n c n N n a =∈+， ()*123n n T c c c c n N =++++∈ ，若不等式()32n mT m Z >∈对*n N ∈恒成立，求m 的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）10n =；（3）max 7m =.（2）由（1）知()*21nS n n N n=-∈, ()()2321121...2135 (21222232)n nn n n n n S S S S n n n ⎡⎤+-⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）()()12321111111111,...1...7212122231n n n n c T c c c c n a n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1112121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭,()()()()11110,2121221n n n n n n T T T T n n n n +++-=-=>∴<++++ ,即n T 单调递增, 故()1min 14n T T ==要使32n m T >恒成立, 只需1324m <成立, 即()8m m Z <∈. 故符合条件m 的最大值为7.例6【2018届天津市部分区高三上学期期末】已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且234,2,a a a +成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n S ， ()22974n n n g n S -+=- ()*2,n n N ≥∈，求正整数k 的值，使得对任意2n ≥均有()()g k g n ≥. 【答案】（1）2n n a =；（2）5（2）由（Ⅰ）得： 122n n n b na n +==⋅， 则23112222n n S n +=⋅+⋅++⋅ ①342212222n n S n +=⋅+⋅++⋅ ②①- ②得： 23412122222n n n S n ++-=⋅++++-⋅()3122222212212412n n n n n +++-⋅=⋅+-⋅=-⋅--，所以()2124n n S n +=-⋅+则()22974n n n g n S -+=-，则()()*2272,2n n g n n n N +-=≥∈由()()()32321727921222n n n n n ng n g n ++++---+-=-= 得：当()*92024n n n N ->⇒≤≤∈时， ()()()()2345g g g g <<<；当()*9205n n n N -<⇒≥∈时， ()()()567g g g >>> ；所以对任意2n ≥，且*n N ∈均有()()5g g n ≥，故5k = 【类型四】数列的通项与不等式结合问题【概要】此类问题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题． 【题型示例】例7【2017浙江，22】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n+1+ln(1+x n+1)（*∈N n ）．证明：当*∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n+1＜x n ； （Ⅱ）2x n+1− x n ≤12n n x x +；（Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．点评：本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明．例8.【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】已知数列满足，，求证：（I ）； （II ）；（III ）.【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.【类型五】数列、函数与不等式结合问题【概要】数列本身就是“特殊的函数”，因此，其更易于和函数相结合，一是数列的本身由函数呈现，二是在处理数列问题的过程中，可通过构造函数，利用函数的性质，达到解题目的．【题型示例】例9【2018届福建省漳州市高三1月调研】数列{a n }为单调递增数列，且()*2814,4{log ,4n t t n n t n a n N n n --+<=∈≥，则t 的取值范围是________. 【答案】3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使数列{}n a 为单调递增数列，则123a a a <<<⋅⋅⋅.当n<4时， ()23814n a t n t =--+必须单调递增，∴2t －3>0，即t>32.①.当n ≥4时， log n t a n =也必须单调递增，∴t>1 ②另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而34a a <，即3(2t －3)－8t ＋14<log 4t ，化简得log 4t ＋2t>5；③当322t <≤时， log 4t ＋2t>5；当522t <≤时， log 4t ＋2t>5；当52t >时， log 4t ＋2t>5，故③式对任意32t >恒成立，综上，解t 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 例10【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】已知数列{}n a 满足： 11p a p +=， 1p >， 11ln n n na a a +-=. （1）证明： 11n n a a +>>；（2）证明： 12112n nn n a a a a ++<<+； （3）证明： ()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.试题解析：（1）先用数学归纳法证明1n a >.①当1n =时，∵1p >，∴111p a p+=>； ②假设当n k =时， 1k a >，则当1n k =+时， 1111ln 1k k k k k a a a a a +--=>=-. 由①②可知1n a >.再证1n n a a +>.111ln ln ln n nn n n n n n na a a a a a a a a +----=-=， 令()1ln f x x x x =--， 1x >，则()'ln 0f x x =-<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=， 所以1ln 0ln n n n na a a a --<，即1n n a a +>.（3）由（2）知，一方面， 1112n n a a ---<，由迭代可得()1111111122n n n a a p --⎛⎫⎛⎫-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【名师点睛】1.数列与不等式结合的方式主要有三种：①判断数列问题中的一些不等关系；②以数列为载体，考查不等式的恒成立问题、求参数问题；③考查与数列问题有关的不等式的证明问题．2.数列中不等式问题的常见处理方法有：①函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．②放缩法：数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到．③数学归纳法．④差比法.。