2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题40抛物线(题型专练)含解析

合集下载

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题16函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(题型专练)含解析

1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度【解析】由图象平移的规律“左加右减”，可知选A。

【答案】A2．若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.π8B.π4C.3π8D.3π4【答案】C3．为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝2cos3x的图象()A．向右平移π12个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π12个单位D．向左平移π4个单位【解析】因为y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x－π4，所以将y＝2cos3x的图象向右平移π12个单位后可得到y＝2cos3x－π4的图象。

【答案】A4．将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间π12，7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D ．在区间－π6，π3上单调递增【解析】由题可得平移后的函数为y ＝3sin 2x －π2＋π3＝3sin 2x －2π3，令2k π－π2≤２x －2π3≤２k π＋π2，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，故该函数在k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)上单调递增，当k ＝0时，选项B满足条件，故选B 。

【答案】B5．将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是()A ．y ＝cos2x ＋s in2xB ．y ＝cos2x －sin2xC ．y ＝sin2x －cos2xD ．y ＝sin xcosx【答案】B6．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象()A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π3个长度单位C ．向右平移π6个长度单位D ．向左平移π3个长度单位【解析】由函数f(x)＝Asin(ωｘ＋φ)的图象可得A ＝1，根据T 4＝14·2πω＝7π12－π3，求得ω＝2，再根据五点法作图可得2×π3＋φ＝π，求得φ＝π3，∴f(x)＝sin 2x ＋π3＝sin2x ＋π6，故把f(x)的图象向右平移π6个长度单位，可得g(x)＝sin2x 的图象。

2019高中数学高考真题分类：考点42-抛物线

考点42 抛物线一、选择题1. （2018·四川高考文科·Ｔ5）抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（）A. 2C. 1【解题指南】本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选D ，抛物线28y x =的焦点(2,0)到直线0x =的距离，根据点到直线的距离公式可得2012d -==，故选D. 2.（2018·北京高考理科·Ｔ7）直线l 过抛物线C:x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（）A.43 B.2 C.83 D.3【解题指南】把所求面积转化为一个矩形面积减去一个积分值。

【解析】选C 。

l 的方程是1y =，所以求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值：23220084242(|)4123x x S dx =-=-=⎰. 3.（2018·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ10）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

若||3||AF BF =，则l 的方程为（）A.1y x =-或1y x =-+B.1)y x =-或1)y x =-C.1)y x =-或1)y x =-D.(1)2y x =-或1)2y x =-- 【解题指南】设出A 、B 点的坐标，利用抛物线的定义表示出,AF BF ，再利用||3||AF BF =，确立l 的方程.【解析】选C. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则因为|AF|=3|BF|，所以x 1+1=3（x 2+1），所以x 1=3x 2+2，因为|y 1|=3|y 2|，x 1=9x 2，所以x 1=3，x 2=13，当x 1=3时，2112y =，所以此时1y ==±若1y =则1(3,(,33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

历年高三数学高考考点之抛物线必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<抛物线>必会题型及答案体验高考1.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4) 答案 D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0， 2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.2.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 3.(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33B.23C.22D.1 答案 C 解析如图，由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立.故选C.4.(2016·课标全国乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B解析不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2， ②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.5.(2015·上海)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝______. 答案 2解析根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ |min ＝p2＝1⇒p ＝2.高考必会题型题型一抛物线的定义及其应用例1 已知P 为抛物线y 2＝6x 上一点，点P 到直线l ：3x －4y ＋26＝0的距离为d 1.(1)求d 1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点P 到抛物线的准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值. 解 (1)设P (y 206，y 0)，则d 1＝|12y 20－4y 0＋26|5＝110|(y 0－4)2＋36|，当y 0＝4时，(d 1)min ＝185，此时x 0＝y 206＝83，∴当P 点坐标为(83，4)时，(d 1)min ＝185.(2)设抛物线的焦点为F ，则F (32，0)，且d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，它的最小值为点F 到直线l 的距离|92＋26|5＝6110，∴(d 1＋d 2)min ＝6110.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 (1)(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________.(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2，1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.(14，1) B.(14，－1)C.(1，2) D.(1，－2) 答案 (1)9 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.(2)抛物线y 2＝4x 焦点为F (1，0)，准线为x ＝－1，作PQ 垂直于准线，垂足为M ，根据抛物线定义，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋|PM |，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ |＋|PM |的最小值是点Q 到抛物线准线x ＝－1的距离. 所以点P 纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，－1).题型二抛物线的标准方程及几何性质例2 (2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解同方法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.点评 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ，则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上，且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ，即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |，即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3x P ，代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝43，∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.题型三直线和抛物线的位置关系例3 已知圆C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝1，定直线l 的方程为y ＝－1.动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；(2)直线l ′与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l ′的垂线恰好经过点A (0，6)，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为△POQ (O 为坐标原点)的面积，求S 的值. 解 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，动圆半径为R ，则|CC 1|＝x 2＋(y －2)2＝R ＋1，且|y ＋1|＝R ，可得x 2＋(y －2)2＝|y ＋1|＋1.由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方， ∴有y ＋1>0，x 2＋(y －2)2＝y ＋2，整理得x 2＝8y ，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 208)，则y ＝x 28，y ′＝14x ，k l ′＝x 04，k PQ ＝－4x 0，∴直线PQ 的方程为y ＝－4x 0x ＋6.又k PQ ＝x 208－6x 0，∴x 208－6x 0＝－4x 0，x 20＝16，∵点P 在第一象限，∴x 0＝4，点P 的坐标为(4，2)，直线PQ 的方程为y ＝－x ＋6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋6，x 2＝8y ，得x 2＋8x －48＝0，解得x ＝－12或4，∴点Q 的坐标为(－12，18). ∴S ＝12|OA |·|x P －x Q |＝48.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A.y 2＝9x B.y 2＝6x C.y 2＝3x D.y 2＝3x 答案 C解析如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得： |BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°. 在直角三角形ACE 中，∵|AF |＝3，∴|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ， ∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，∵BD ∥FG ， ∴1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A.2±3B.2＋3C.3±1D.3－1 答案 A解析依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.3.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值是( ) A.6B.8C.9D.12 答案 D解析由抛物线方程，得F (2，0)，准线方程为x ＝－2. 设A ，B ，C 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则由抛物线的定义，知|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝x 1＋x 2＋x 3＋6. 因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以(x 1－2＋x 2－2＋x 3－2，y 1＋y 2＋y 3)＝(0，0)，则x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝6，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝|FA |＋|FB |＋|FC | ＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12，故选D.4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2，2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A.2B.22C.12D.2 答案 D解析抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程可得 k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1·x 2＝4，所以y 1＋y 2＝8k，y 1·y 2＝－16，因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0，解得k ＝2，故选D.5.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12B.23C.34D.43答案 D解析抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12. 因为切点在第一象限，所以k ＝12. 将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43. 6.已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝8x 的一个动点，B (x 2，y 2)是圆(x －2)2＋y 2＝16上的一个动点，定点N (2，0)，若AB ∥x 轴，且x 1<x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是( )A.(6，10)B.(10，12)C.(8，12)D.(8，10)解析抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，又定点N (2，0)，∴△NAB 的周长即为△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x 1＋2＋(x 2－x 1)＋4＝6＋x 2，由抛物线y 2＝8x 及B (x 2，y 2)在圆(x －2)2＋y 2＝16上，∴x 2∈(2，6)，∴6＋x 2∈(8，12)，故选C.7.如图，从点M (x 0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0＝________.答案 6解析由题意得P (2，4)，F (2，0)⇒Q (2，－4)，因此N (6，－4)，因为QN ∥PM ，所以MN ⊥QN ，即x 0＝6.8.已知直线l 过点(0，2)，且与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1y 1＋1y 2＝_____.答案 12解析由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线y 2＝4x 可得y 2－4k y ＋8k＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12. 9.已知抛物线y 2＝4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，|AB ||BC |＝2，则直线l 的斜率为________.解析设A (x 0，y 0)，则|AB |＝x 0，|BC |＝1，由|AB ||BC |＝x 01＝2，得x 0＝2，y 0＝4×2＝22，又焦点F (1，0)，所以直线l 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点为P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1得2x 2＋2bx －b 2－3＝0，所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2，所以b ＝m2，所以P (－m 4，34m ). 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ，解得m ＝0或m ＝－8. 11.(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1，0)满足y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0). 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题10导数的概念及运算(题型专练)含解析

1．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数在点x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1 【解析】∵y ′＝ln x ＋1，∴x ＝1时，y ′|x ＝1＝1， ∵x ＝1时，y ＝0，∴切线方程为y ＝x －1. 【答案】C2．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.π4B ．0C.3π4D ．1 【解析】由f ′(x )＝e x(cos x －sin x )，则在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，故倾斜角为π4，选A.【答案】A3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0【答案】B4．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0) D ．(1,5)【解析】设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1，所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1.把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x 得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．【答案】C5．若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x (－12≤x ≤12)图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4 C.π4 D.π6【解析】由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x＋e －x－3≥2e x ·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.【答案】B6．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6]【解析】f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．【答案】C7．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12C ．－22 D.22【答案】B8．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.【答案】B9．若P 为曲线y ＝ln x 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ |min ＝( ) A ．0 B.22C. 2 D ．2【答案】C10．过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的切线方程为( ) A ． x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0【解析】令f (x )＝x 3－2x ，当(1，－1)为切点时，切线的斜率为f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －2. 当(1，－1)不是切点时，设切点为(x 0，x 30－2x 0)，可得切线方程为y －x 30＋2x 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，又该切线过点(1，－1)，可得x 0＝－12，故切线方程为5x ＋4y ＝1.【答案】A11．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.π4B ．0 C.3π4D ．1【解析】f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，所以f ′(0)＝e 0cos0－e 0sin0＝1，所以倾斜角为π4。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题44二项式定理(题型专练)含解析

1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C 。

2.⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20【答案】A3．若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24【答案】C【解析】T k ＋1＝C k 7(2x )7－k ⎝⎛⎭⎫a x k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1，选C 。

4．若n ∈N *且n 为奇数，则6n ＋C 1n 6n －1＋C 2n 6n －2＋…＋C n －1n6－1被8除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．5 D ．3 【答案】C【解析】∵6n ＋C 1n 6n －1＋C 2n 6n －2＋…＋C n －1n 6－1＝7n －2＝(8－1)n －2＝8n －C 1n 8n －1＋…＋C n －1n 8－3，∴余数为5。

5．若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 【答案】C6．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120 D ．210 【答案】C【解析】由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1,2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120，选C 。

2019年江苏高考总复习-附加题40分专题系列-专题04- 抛物线与轨迹方程

专题10--抛物线与轨迹方程一、基础练习二、知识梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．曲线既可以看成符合某种条件的点的集合，又可以看成满足某种条件的动点运动的轨迹，因此，此类问题有时也叫做轨迹问题．2．求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示曲线上的任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合：；（3）用坐标表示条件，列出方程f（x，y）＝0；（4）化方程f（x，y）＝0的最简形式；（5）证明化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以忽略不写，如有特殊情况，可以适当地加以说明．3．求轨迹方程的常用方法（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程———先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）相关点法：动点P（x，y）随另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，并且Q（x0，y0）又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将点Q（x0，y0）代入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．三、例题精讲类型一直接法求轨迹方程直接法求动点的轨迹方程的一般步骤（1）建系———建立适当的坐标系；（2）设点———设轨迹上的任一点P（x，y）；（3）列式———列出动点P所满足的关系式；（4）代换———选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；1．平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y），C （x ，y ），若BC AB ⊥，则动点C 的轨迹方程是．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为坐标平面内的动点，且满足0.=PF PM ，0=+PN PM（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是直线l ：x =-1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证k 1+k 2=2k 03．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （－1，1），P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足PA OA OP k k k =+．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）与Q 是轨迹C 上异于点P 的一点，且OA PQ λ=，直线OP 与QA 交于点M ，请问：是否存在点P ，使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S △P AM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．定义法是利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，直接写出所求的动点的轨迹方程，求解时要根据题设中的条件，或利用平面几何知识等去分析，找到解题思路．利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．若△ABC 的顶点A （－5，0）、B （5，0），△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：12322=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于直线l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线与直线l 2的交点M 的轨迹为曲线C 2．（1）求曲线C 2的方程；（2）已知点Q 是曲线C 2上的一点，点F 是曲线C 2的焦点，以QF 为直径的圆与y 轴交于点A （0，2），求点Q 的坐标．类型三相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的基本步骤如下：（1）设点：设被动点坐标为（x ，y ），主动点坐标为（x 1，y 1）；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎨⎧==),(),(11y x g y y x f x（3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．1．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |（m ＞0，且m ≠1）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ．是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ △PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．1、【苏州市2018届高三第一学期期末调研.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5，1)．若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．（1）求证：OA ⊥OB ；（2）在x 轴上是否存在一点P (m ，0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．四、巩固训练1．【苏州市2017届高三9月调研.23题】已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1,1）作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ．若直线AR ,BR 分别交直线:22l y x =+于M ,N 两点，求线段MN 最小时直线AB 的方程．2．【扬州、淮安、南通等七市2017-2018学年度高三第三次调研.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线l 过点F 与抛物线相交于A B ，两点（点A 在第一象限）．（1）若直线l 的方程为4233y x =-，求直线OA 的斜率；（2）已知点C 在直线x p =-上，△ABC 是边长为23p +的正三角形，求抛物线的方程．3．【南通市、泰州市2017届高三一模.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．y = f (x )yOxF AB PE4．【苏北四市2018届高三第一次调研.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．5．【2011湖北高考21题】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN =ON =1，MN=3．当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时，N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线l 1：x -2y=0和l 2：x +2y =0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图1 图26．【2017如东、前黄、栟茶、马塘四校联考.22】在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(0,-8)， M 、N 分别是x 轴、y 轴上的点，点P 在直线MN上，满足0=+NP NM ，0.=MN AM ．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设F 是P 点轨迹的焦点，C ，D 为P 点轨迹在第一象限内的任意两点，直线FC 、FD 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1+k 2=0，求证：直线CD 过定点．7．【苏北三市2017届高三第三次调研.22题】在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，直线1x =-与动直线y n =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y n =的交点为P ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AM B ∠的大小为定值．8．如图，抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线上一定点Q (1,2)．（1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程．（2）过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在λ，M P O F x y求出λ的值；若不存在，说明理由．参考答案一、基础练习二、知识梳理三、例题精讲题组一1、答案：x y 82=解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,2,22,0y y y AB ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,0,y x y y x BC ∵BC AB ⊥，0.=BC AB∴02,2,2=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y ，即x y 82= 2、解答：（1）设点N （x ，y ），M （a ，0），P （0，b ）． ∵0=+PN PM 可知，∴点P 是MN 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+b y xa 2002，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=2y b x a∴点M （-x ，0），P (0，2y） ∴)2,(y x PM --=，)2,1(y PF -=∵0.=PF PM ，∴042=+-y x ，即x y 42=∴动点N 的轨迹C 的方程为x y 42=（2）证明：设点Q （-1，t ），由于过点Q 的直线y -t =k （x +1）与轨迹C ：x y 42=相切，联立方程⎩⎨⎧+=-=)1(42x k t y x y ，整理得0)()2(22222=++-++t k x kt k x k 则0)(4)2(42222=+--+=∆t k k kt k 化简得012=-+tk k由题意得k 1,k 2是关于k 的方程012=-+tk k 的两个字根，23、【解】：（1）设点P （x ，y ）为所求轨迹上的任意一点，则由PA OA OP k k k =+，得1111+-=-+x y x y ，整理得轨迹C 的方程为2x y =（0≠x 且1≠x ）．（2）设，由可知直线PQ△OA ，则，故，即，由O 、M 、P 三点共线可知，与共线，△，由（1）知，故，同理，由与共线，△，即，由（△）知，故，将代入上式得，整理得，由得，由，得到，因为PQ △OA ，所以，由，得， △P 的坐标为（1，1）题组二1、【答案】：)3(116922>=-x y x2、【解】：（1）易得直线l 1：x ＝－1，F 2（1，0），因为点M 是线段PF 2的垂直平分线与直线l 2的交点，所以|MP |＝|MF 2|，即点M 到直线l 1：x ＝－1的距离等于到定点F 2（1，0）的距离，由抛物线的定义可得点M 的轨迹是以直线l 1：x ＝－1 为准线，点F 2（1，0）为焦点的抛物线，方程为y 2＝4x ．（2）设 Q （x ，y ），易知F （1，0），因为以QF 为直径的圆过点A （0，2），所以AF △AQ ，即0.=AQ AF ，易求得AF ＝（1，－2），AQ ＝（x ，y －2），则x －2（y －2）＝0，结合y 2＝4x ，解得x ＝4，y ＝4，即Q （4，4）．题组三1、【解】：（1）如图1，设M （x ，y ），A （x 0，y 0） △|DM |=m |DA |， △x =x 0，|y |=m |y 0|△x 0=x ，|y 0|= |y |....................................△ △点A 在圆上运动，△12020=+y x ....................................△△代入△即得所求曲线C 的方程为)1,0(1222≠>=+m m my x△m △（0，1）△（1，+∞），△0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ 21m --，0），（ 21m -，0） m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ 0，12--m ），（（ 0，12-m ）（2）如图2、3，△x 1△（0，1），设P （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则Q （x 2，y 2），N （0，y 1），△P ，H 两点在椭圆C 上，△⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222221212my x m m y x m△-△可得221212121))(())((m x x x x y y y y -=+-+-△△Q ，N ，H 三点共线， △k QN =k QH ， △2121112x x y y x y ++= △k PQ k PH =2)()(2211211m x x x y y y -=--△PQ △PH ，△k PQ ·k PH =-1△122-=-m△m ＞0，△2=m故存在2=m ，使得在其对应的椭圆1222=+y x 上，对任意k ＞0，都有PQ △PH题组四1. （1）证明：由OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t ∈R )可知，点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－（－3）4(x －1)，即y ＝x －4.(2分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简整理，得x 2－12x ＋16＝0 设C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16. 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0，所以OA ⊥OB（2）解：假设存在这样的点P ，并设A ′B ′是过抛物线的弦，其方程为x ＝ny ＋m ，A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)．代入y 2＝4x ，得y 2－4ny －4m ＝0 此时y 3＋y 4＝4n ，y 3y 4＝－4m ，所以k OA ′k OB ＝y 3x 3·y 4x 4＝y 3y 234·y 4y 244＝16y 3y 4＝－4m＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4，0)满足题意．设A′B′的中点为T(x ，y )，即y ＝12(y 3＋y 4)＝2n ，x ＝12(x 3＋x 4)＝12(ny 3＋4＋ny 4＋4)＝n2(y 3＋y 4)＋4＝2n 2＋4，消去n ，得y 2＝2x －8.即m 的值为4，圆心的轨迹方程为y 2＝2x －8.四、巩固训练1、【解】：（1）将(1,2)R 代入抛物线中，可得2p =，所以抛物线方程为24y x =…3分（2）设AB 所在直线方程为(1)1(0)x m y m =-+≠，1122(,),(,)A x y B x y 与抛物线联立241y xx my m ⎧=⎨=-+⎩得： 244(1)0y my m -+-=，所以12124,4(1)y y m y y m +==-设AR ：1(1)2y k x =-+，由1(1)222y k x y x =-+⎧⎨=+⎩得112M k x k =-，而11121112241214y y k y x y --===-+-可得12M x y =-，同理22N x y =-所以|||M N MN x x =-= 令1(0)m t t -=≠，则1m t =+所以|||M N MN x x =-= 此时1m =-，AB 所在直线方程为：20x y +-=2、【解】由题意，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l 上，所以43×p 2－23＝0，解得p ＝1. 所以抛物线的方程为 y 2＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －23，y 2＝2x消去x 得 2y 2－3y －2＝0，所以y ＝2或y ＝－12.因为点A 在第一象限，所以点A 的坐标为(2，2)，所以直线OA 的斜率为1.(3分)（2）依题意，直线l 的斜率存在，且不为零．设直线l 的方程为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(－p ，y 3)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2消去y 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0，Δ＝4p 2＋4k 2p 2>0，x 1.2＝（k 2p ＋2p ）±Δ2k 2，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝2p ＋3，即2pk 2＝3 MC ＝（x 0＋p ）2＋（y 0－y 3）2＝1＋1k 2|x 0＋p|.因为x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p 2k 2＝12p ＋pk 2，所以MC ＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫32p ＋p k 2，将1k 2＝32p 代入，得MC ＝1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32.(8分)因为△ABC 是边长为2p ＋3的正三角形，所以MC ＝32(2p ＋3)，所以1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32＝32(2p ＋3)，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝23x.(10分)3．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-，因为(1)M m ，，由抛物线定义，知 12p MF =+，所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =y = f (x )yOxF AB PE（2）因为214y x =，所以12y x '=．设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2t x =，即点(0)2tP ，．因为(0)2t P ，，(01)F ，，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2()4tE t ，到直线PF的距离为d ==．联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，消元，得2222(216)0t y t y t -++=．因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y2y =，所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=．所以△EAB的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x +'=-．因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x =32min4)()g x ==所以△EAB的面积的最小值为4、【解】（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ，所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t =+-+=++>．令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t 时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+=． 5、【解】（I ）设点D (t ,0)(|t|≤2)，N (x 0,y 0)，M (x ,y )，依题意，=2，且||=||=1，所以(t-x ,-y )=2(x 0-t ,y 0)，且即，且t (t-2x 0)=0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t =2x 0，故x 0=，y 0=-，代入+=1，可得+=1,即所求的曲线C 的方程为+=1.（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =4或x =-4，都有S △OPQ =×4×4=8.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+m(k≠±)，由消去y，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P(,)；同理可得Q(,).由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|，可得S△OPQ=|PQ|·d= |m||x P-x Q|=·|m||+|=||....................②将①代入②得，S△OPQ=||=8.当k2>时，S△OPQ=8()=8(1+)>8;当0≤k2<时，S△OPQ=8()=8(-1+).因0≤k2<，则0<1-4k2≤1，≥2，所以S△OPQ=8(-1+)≥8，当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时，S△OPQ的最小值为8.综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.6、【解】（1）设P点坐标为(x,y)，M点坐标为(a,0)，N点坐标为(0,b).由0MN.=AM=+NPNM，0得2,2,80,x a y b a b =-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩消去a ，b 得x 2=4y . 故动点P 的轨迹方程为x 2=4y .（2）证明：设C ,D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则21x =4y 1，22x =4y 2，两式相减得21x -22x =4(y 1-y 2)，所以k CD =1212y y x x --=124x x +，由（1）可知F 的坐标为(0,1)，则k 1=111y x -，k 2=221y x -，由k 1+k 2=0得x 1y 2+x 2y 1=x 1+x 2.所以x 1·224x +x 2·214x =x 1+x 2，化简得x 1x 2=4(显然x 1+x 2≠0). 直线CD 的方程为y -y 1=124x x +(x -x 1). 令x =0，得y =y 1-21124x x x +=2111244y x x x --=-124x x =-1 所以直线CD 过定点(0,-1)7、【解】（1）因为直线y n =与垂直，所以MP 为点到直线的距离．连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以MP PF =．所以点的轨迹是抛物线．……………………………………………………2分焦点为，准线为．所以曲线E 的方程为． ………………………………………………5分（2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，联立2,4,y kx k n y x =++⎧⎨=⎩ 得，所以1164(44)0k k n ∆=-+=，即（*），……………………8分因为2240n ∆=+>，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，因为121k k ⋅=-，所以，为定值． ……………………………10分8．【解】：（1）把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程：x ＝－1. （2）由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由抛物线准线l ：x ＝－1，可知M (－1，－2k )．又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k1＋1＝k ＋1，即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 21x =-P 1x =-PF P MF y n =P (1,0)F 1x =-24y x =(1,)M n -(1)y n k x -=+24440ky y k n -++=210k kn +-=12,k k 90AMB ∠=︒＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知 x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2.因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ，即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝2k －22k 2＋4k 2－21－2k 2＋4k2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题34直线及其方程(题型专练)含解析

1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎦⎤π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 【答案】B 【解析】斜率k ＝－1a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π。

2．设A (－2,3)、B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞【答案】D3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )B D【答案】C【解析】当a ＞0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＞0，A 、B 、C 、D 都不成立；当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，A 、B 、C 、D 都不成立；当a ＜0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＜0，只有C 成立。

4．直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且它的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( )A ．y ＝6x ＋1B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1)【答案】D【解析】由tan α＝3可求出直线l 2的斜率 k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34，再由l 2过点(1,0)即可求得直线方程。

5．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－12【答案】D【解析】当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12。

专题40 抛物线(教学案) 2019年高考数学(文科)热点题型和提分技巧 Word版含解析

1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

2．理解数形结合的思想。

3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

热点题型一抛物线的定义及标准方程例1、(1)已知点M(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当|PM|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________。

(2)已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定【解析】(1)如下图，由定义知|PF|＝|PE|，故|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PE|≥|ME|≥|MN|＝31 2。

显然，只有当点P在由点M向准线所作的垂线上时，距离之和最小，此时点P的坐标为(2,2)。

(2)如图所示，设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，【提分秘籍】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性。

2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。

【举一反三】从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF 的面积为________。

【答案】10热点题型三直线与抛物线的位置关系例3．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．3. （2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH 的方程为x t p t y 2=-，即.代入px y 22=得，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.4.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则.所以FQ AR ∥.5.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1.（I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（I ）2p =；（II ）.【解析】（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得12p =，即p=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线的方程为，可设.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF: x=sy+1，(0)s ≠，由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩，消去x 得，故124y y =-，所以，212(,)B t t-. 又直线AB 的斜率为221t t -，故直线FN 的斜率为212t t--. 从而得直线FN:，直线BN:2y t =-.所以.设M(m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得，于是2221t m t =-. 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题40抛物线(教学案)含解析

1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

2．理解数形结合的思想。

3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

热点题型一抛物线的定义及标准方程例1、（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【变式探究】【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:28y x的焦点，M是C上一点，FM 的延长线交y轴于点N。

若M为FN的中点，则FN。

【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．【变式探究】(1)已知点M(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当|PM|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________。

(2)已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定|MN|＝12(|AA1|＋|BB1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|。

故以M为圆心，以12|AB|为半径的圆与直线l相切。

选C。

【提分秘籍】与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。

实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化。

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。

(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解。

【举一反三】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A热点题型二抛物线的几何性质例2、（2018年全国Ⅲ卷理数）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【解析】设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1)所以，则即故答案为 2.【变式探究】【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝()A ．1 B.32C ．2 D ．3(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝()A.72B.52C ．3 D ．2【解析】(1)因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p2相交于A －p 2，32p ，B －p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题08函数与方程(题型专练)含解析

1．已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1B ．2C ． 3D ．4【解析】(数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．【答案】B3．已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝ln x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c【解析】∵e a＝－a ，∴a <0，∵ln b ＝－b ，且b >0，∴0<b <1，∵ln c ＝1，∴c ＝e>1，故选A. 【答案】A4．已知函数f (x )＝(14)x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】函数f (x )＝(14)x －cos x 的零点个数为(14)x －cos x ＝0⇒(14)x＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝(14)x 与g (x )＝cos x 的图象的交点个数，如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.【答案】C5．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8【答案】B6．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点【解析】原函数f (x )＝x －cos x 可理解为幂函数x 12与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图象，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x ＝2π，且2π>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.【答案】B7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5,7)所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)．【答案】A8．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象，结合函数y ＝2x与y ＝－x 的图象可知其交点横坐标小于0，即a <0；结合函数y ＝log 2x 与y ＝－x 的图象可知其交点横坐标大于0且小于1，即0<b <1；令log 2x －2＝0，得x ＝4，即c ＝4.因此有a <b <c ，选A.【答案】A9．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1fx ＋，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 令y ＝m (x ＋1)，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象，可知当m ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．【答案】D10．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0【解析】设g (x )＝11－x ，由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.【答案】B11．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】借助余弦函数的图象求解。

2019年高考数学(理)考点一遍过考点40 抛物线含解析

（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>；（2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->；（3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>；（4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥122x x p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . （3）1|AF |＋1|BF |为定值2p.（4）弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．（5）以AB 为直径的圆与准线相切．（6）焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.考向一抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F （抛物线的焦点），一条定直线l （抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF px =+或2PF py =+，使问题简化．典例1 平面内动点P 到点()0,2F 的距离和到直线l ：2y =-的距离相等，则动点P 的轨迹方程为是_____________. 【答案】28x y =【解析】由题意知，该点轨迹是以()0,2F 为焦点，2y =-为准线的抛物线，其中4p =，所以方程为28x y =.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. 典例2 抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p = A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p 的值即可.1．已知F 是抛物线24y x =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的中点到准线的距离为 A ．32B ．2C ．3D ．4考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例3 若点A ,B 在抛物线y 2=2px (p >0)上,O 是坐标原点,若正三角形OAB 的面积为4,则该抛物线的方程是A ．y 2=3x B ．y 2=xC ．y 2=2xD ．y 23 【答案】A典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．（1）过点(32)-，；（2）焦点在直线240x y --=上．2．顶点在原点，且过点()44-，的抛物线的标准方程是 A ．24y x =-B ．24x y =C ．24y x =-或24x y =D ．24y x =或24x y =-考向三抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5 已知等腰三角形OPM 中，OP ⊥MP ，O 为抛物线2y =2px (p >0)的顶点，点M 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，则点P 与抛物线的焦点F 之间的距离是A ．pB ．52p C ．2pD 2【答案】B【解析】由题意得222,P P P P P y x x px x p =∴=∴=因此点P 与抛物线的焦点F 之间的距离为522P p p x +=，选B. 【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．3．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y 在抛物线C 上，54y MF =，则tan FAM ∠= A ．25 B ．52 C ．45D ．54考向四焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.典例6 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |=7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离.典例7 已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.（1）求该抛物线的方程;（2）O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.4．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于A B ，两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，则p =A ．1B ．2C ．3D ．4考向五抛物线中的最值问题1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.典例8 如图,已知点及抛物线24x y =上的动点,则的最小值是A．2 B．3C．4 D．【答案】A典例9 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小. 【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ.5．已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B ，设AF m =∣∣，BF n =∣∣，则m n +的最小值为 A ．2B ．3CD ．41．抛物线214y x =的准线方程是 A ．1y =- B ．1y = C ．1x =-D ．1x =2．已知,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．以x 轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是 A ．y 2=8xB ．y 2=-8x C ．y 2=8x 或y 2=-8xD ．x 2=8y 或x 2=-8y4．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝ A ．0 B ．3 C ．2D ．45．已知点M (-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y 2=2x 的焦点为F ,点Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是A ．72 B ．3 C ．52D ．26．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为原点，若OFM △为等腰三角形，则OFM △的周长为A ．4B ．1C 2或4D 1或47．F 是抛物线22y x =的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若4F B F A =，则FA FB ⋅= A ．1 B ．32 C ．2D ．948．曲线22y x =上两点()()1122,,A x y B x y 、关于直线y x m =+对称，且1212x x ⋅=-，则m 的值为 A ．32 B ．2 C ．52D ．39．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的两个动点A ,B 始终满足∠AFB =60°,过弦AB 的中点H 作抛物线的准线的垂线HN ,垂足为N ,则HNAB的取值范围为A ．(0,3] B ．[33,+∞) C ．[1,+∞)D ．(0,1]10．若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣y 2=1的右顶点重合，则p =_________.11．已知点()()121,,9,A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为__________．12．已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线22(0)y px p =>上，且∥AB CD ，2,4,AB CD ==60ADC ∠=︒，则点A 到抛物线的焦点的距离是_________．13．已知抛物线C :y 2=ax (a >0)的焦点为F ,点A (0,1),射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,若|FM |∶|MN |=1∶3,则实数a 的值为_________. 14．已知抛物线的焦点为,准线方程是.(1)求此抛物线的方程; (2)设点在此抛物线上,且,若为坐标原点,求△OFM 的面积.15．已知M ,N 是焦点为F 的抛物线()220y px p =>上两个不同的点,线段MN 的中点A 的横坐标为42p -. (1)求|MF |+|NF |的值;(2)若p =2,直线MN 与x 轴交于点B ,求点B 的横坐标的取值范围.16．设A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两点,且满足OA ⊥OB (O 为坐标原点).求证:(1)A ,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值; (2)直线AB 经过一个定点.17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴上，且抛物线上有一点(),5P m 到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点()4,M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且M D M E ⊥，判断直线DE 是否过定点，并说明理由.1．（2018新课标I 理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．82．（2016新课标全国I 理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6D ．83．（2017新课标全国I 理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．104．（2016浙江理科）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______________． 5．（2017新课标全国II 理科）已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．6．（2018新课标Ⅲ理）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．7．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24，-，39()24，B ，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求||||PA PQ ⋅的最大值．8．（2016新课标全国III 理科）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．9．（2018新课标Ⅱ理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．（2018北京理）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．1．【答案】C变式拓展【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出,M N 的中点的横坐标，再求出线段MN 的中点到抛物线的准线的距离． 2．【答案】C【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点()44-，，∴设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y px =-（0p >），【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．依题意，设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y px =-（0p >），将点()44-，的坐标代入抛物线的标准方程，求得p 即可．注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点()44-，，且该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项C 符合题意. 3．【答案】C【解析】由抛物线的定义知00524p MF y y =+=，解得02y p =，又点()01,M y 在抛物线C 上，代入22x py =解得011,2y p ==.过点M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为E ,则tan tan FAM AME ∠=∠=14554AE ME==. 故选C.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出011,2y p ==，再过点M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为E ,最后解直角三角形AME 得tan FAM ∠的值. 4．【答案】B【解析】设过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于()()1122,,A x y B x y ，两点，则12AB x x p =++，又因为以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，所以1268AB x x p p =++=+=，解得2p =.故选B.【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量. 5．【答案】D【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.1．【答案】A【解析】抛物线的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上，24p ∴=，即2p =，12p∴=，则准线方程为1y =-.考点冲关【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题. 2．【答案】C【解析】若“0mn <”，则2n x y m =-中的0nm->，所以“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”，则2n x y m =-中的0n m->，即0mn <，则“0mn <”成立，故是充分必要条件. 故答案为C.【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断. 3．【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为y 2=±2px (p >0),则2p =8,所以抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-8x .故选C. 4．【答案】B【解析】抛物线y 2＝4x ，2p ∴=，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，4MF ∴=，即有42M px +=，3M x ∴=. 故选B.【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解. 5．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为x =12-，当MQ ∥x 轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+12|=52. 6．【答案】D【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出M 的坐标，求出周长，所以只需设出M 的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长.【解析】由题意得1(,0)2F ，设点A 的横坐标为m ，则由抛物线的定义，可得13214m +=，则14m =，所以3,34FA FB ==，所以9cos04FA FB FA FB ⋅==．故本题选D .8．【答案】A【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系. 9．【答案】D【解析】过A ,B 分别作抛物线准线的垂线AQ ,BP ,垂足分别为Q ,P ,设|AF|=a ,|BF|=b ，则由抛物线的定义，得|AQ|=a ,|BP|=b ,所以|HN|=.在△ABF 中，由余弦定理得|AB|2=a 2+b 2-2ab cos 60°=a 2+b 2-ab ，所以()()2222322321a b HN AB aba b ab a b aba b +====+-+--+,因为a+b ≥2,所以1≤,当且仅当a =b 时等号成立,故HNAB的取值范围为(0,1].故选D. 10．【答案】4【解析】由双曲线﹣y 2=1可得a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则22p=,所以p=4. 11．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得1,922p p AF BF =+=+，依据题设可得595222p p p +=+⇒=，则22122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=（舍去负值），故21210y y +=，应填10.12．【答案】312【解析】由题意可设()(),1,A m D m +A 到抛物线的焦点的距离是33732p m +==. 13．【答案】【解析】依题意得焦点F 的坐标为(,0),设M 在抛物线的准线上的射影为K ,连接MK ,由抛物线的定义知|MF |=|MK |,因为|FM |∶|MN |=1∶3,所以|KN |∶|KM |=2∶1,又01404FN k a a --==-,k FN =-=-2,所以4a=2,解得a =.14．【解析】(1)因为抛物线的准线方程为，15．【解析】(1)设()()1122,,,M x y N x y ,则128x x p +=-,而12p MF x =+,22pNF x =+, ∴128MF NF x x p +=++=. (2)当p =2时,抛物线方程为24y x =. ①若直线MN 的斜率不存在,则B (3,0).②若直线MN 的斜率存在,设A (3,t )(t ≠0),则由(1)知21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，整理得()2212124y x y x =--,∴()1212124y x y x y y +--=⋅,即2MN k t=, ∴直线()2:3MN y t x t-=-, ∴B 点的横坐标为232t -,由22(3)4y t x t y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2222120y ty t -+-=,由Δ>0得0<t 2<12,∴232t -∈(−3,3).综上,点B 的横坐标的取值范围为(]3,3-.【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解能力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题的能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.16．【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则=2px 1,=2px 2.则直线AB 的方程为()11122py y x x y y -=⋅-+,∴y =·x -·+y 1=·x +.又y 1y 2=-4p 2,∴y =·x -(x -2p ).∴直线AB 过定点(2p ,0).17．【解析】(1)由题意设抛物线方程为22(0)x py p =>，其准线方程为2py =-，1121k k k k k k⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+()44x k -+=()1244k x k k ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，化简得12y k x k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭4142k k k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭()48x ++. ∴直线DE 过定点()4,8-.【名师点睛】（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题. （2）定点问题：对满足一定条件曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法：①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.②分离参数法：一般可以根据需要选定参数λ∈R ，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式()()()2123,,,0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，()(),1,2,3i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组()()()123,0,0,0f x y f x y f x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.1．【答案】D【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果. 2．【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =(p >0)，圆的半径为r ,,AB DE 分别交x 轴于,C F 点，则||AC =即A 点纵坐标为2，则A 点横坐标为4p ，即4||OC p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||||AC OC AO r +==，即22224(5)()(22)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.直通高考【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因. 3．【答案】A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=． 4．【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=.【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离． 5．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 6．【答案】2【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率.【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值． 8．【解析】由题可知)0,21(F ．设1:l y a =，2:l y b =，则0≠ab ，且2(,)2a A a ，2(,)2b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，1(,)22a b R +-．记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ．（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab ．记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，9．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 10．【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以2212121212122224112()111111=21 11(1)(1)11M Nkx x x x x x k k y y k x k x k x x kkλμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．。

解析几何2019高考数学(理)热点题型

分析几何热门一圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考取的热门问题，常波及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵巧多变，但整体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（分析式），而后利用函数方法、不等式方法等进行求解.题型一利用几何性质求最值x2y22222【例 1】设 P 是椭圆25＋9＝ 1 上一点， M，N 分别是两圆： (x＋4)＋y＝1和 (x－ 4)＋ y ＝ 1 上的点，则 |PM|＋ |PN|的最小值、最大值分别为 ()A ． 9， 12B ． 8， 11C． 8，12D． 10，12答案C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．【对点训练】如下图，已知直线l： y＝ kx－ 2 与抛物线C：x2＝－ 2py(p>0)交于 A， B 两点， O 为坐标原点，OA ＋ OB ＝(－ 4，－ 12)．(1)求直线 l 和抛物线 C 的方程；(2) 抛物线上一动点P 从 A 到 B 运动时，求△ABP 面积的最大值．分析 (1)由y＝ kx－ 2，得 x2＋ 2pkx－4p＝ 0. x2＝－ 2py，设 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，则 x1＋ x2＝－ 2pk，y1＋ y2＝ k(x1＋ x2)－ 4＝－ 2pk2－ 4.由于 OA ＋ OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以－ 2pk＝－ 4，解得2－ 2pk －4＝－ 12，p＝ 1，k＝ 2.所以直线 l 的方程为 y＝2x－ 2，抛物线 C 的方程为 x2＝－ 2y.(2) 设 P(x0， y0) ，依题意，知抛物线过点P 的切线与 l 平行时，△ ABP 的面积最大，又y′＝－ x，所以－ x012＝ 2，故 x0＝－ 2， y0＝－ x0＝－ 2，所以 P(－ 2，－ 2)．2此时点 P 到直线 l 的距离 d＝|2× －2－－ 2 － 2|＝ 4 ＝ 4 522＋－1 25 5.y＝ 2x－ 2，由2得 x2＋ 4x－ 4＝ 0，故 x1＋ x2＝－ 4， x1x2＝－ 4，x ＝－ 2y，所以 |AB|＝ 1＋ k2× x1＋ x22－ 4x1x2＝1＋ 22×－42－ 4× －4 ＝ 4 10.所以△ ABP 面积的最大值为4 10×4552＝ 8 2.题型二成立目标函数求最值【例 2】已知△ ABP 的三个极点都在抛物线C：x2＝ 4y 上， F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点，PF ＝3 FM .(1)若 |PF|＝ 3，求点 M 的坐标；(2)求△ ABP 面积的最大值．(2) 设直线 AB 的方程为y＝ kx＋m，点 A(x1， y1) ，B(x2，y2 )， P(x0， y0)，y＝ kx＋m，由得 x2－ 4kx－4m＝ 0.x2＝ 4y，于是＝ 16k2＋ 16m>0， x1＋ x2＝4k， x1x2＝－ 4m，所以 AB 中点 M 的坐标为 (2k,2k2＋ m)．由PF ＝3 FM ，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，所以x0＝－ 6k，y0＝ 4－6k2－ 3m.由 x 20＝ 4y 0 得 k 2＝－ 1m ＋4， 5 15由2≥ 0，得－14 . >0 ， k <m ≤3 3记 f( m)＝ 3m 3 －5m 2＋ m ＋ 1 － 1 43<m ≤ 3 ，令 f ′ ( m)＝ 9m 2－ 10m ＋ 1＝0，解得 m 1＝1， m 2＝1，9可得 f( m)在－13，19 上是增函数，在 19， 1 上是减函数，在 1，43 上是增函数，45又 f 9 ＝ 243>f 3 ＝9.1256所以当 m ＝ 19时， f(m)取到最大值 256243，此时 k ＝ ±1555.2565所以△ ABP 面积的最大值为135 .【类题通法】(1) 当题目中给出的条件有明显的几何特点，考虑用图象性质来求解．(2) 当题目中给出的条件和结论的几何特点不明显，则能够成立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、鉴别式法、单一性法、三角换元法等．【对点训练】2＋ y 23，左、右焦点分别是平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： x2 2＝1(a>b>0)的离心率为F 1，F 2.以 F 1 为ab2圆心、以 3 为半径的圆与以F 2 为圆心、以 1 为半径的圆订交，且交点在椭圆 C 上．(1) 求椭圆 C 的方程； x 2y 2(2) 设椭圆E ：4a 2 ＋4b 2＝ 1，P 为椭圆 C 上随意一点．过点P 的直线 y ＝ kx ＋m 交椭圆E 于 A ，B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点 Q.①求 |OQ|的值；|OP|②求△ ABQ 面积的最大值．分析 (1)由题意知 2a ＝ 4，则 a ＝ 2.又c＝3，a2－c2＝b2，可得b＝1，a22所以椭圆 C 的方程为x4＋ y2＝ 1.②设 A(x1， y1)， B(x2, y2 )．将 y＝ kx＋ m 代入椭圆 E 的方程，可得 (1＋ 4k2)x2＋ 8kmx＋ 4m2－16＝ 0，由>0 ，可得 m2<4＋ 16k2.(*)则有 x1＋ x2＝－8km2， x1x2＝4m2－ 162 . 1＋ 4k1＋ 4k4 16k2＋ 4－ m2所以 |x1－ x2|＝2.1＋ 4k由于直线y＝ kx＋ m 与 y 轴交点的坐标为(0， m) ，1所以△ OAB 的面积 S＝2|m||x1－ x2|216k2＋4－ m2|m|＝1＋ 4k2216k2＋ 4－m2 m2＝1＋ 4k2＝ 2m2m24－1＋ 4k21＋ 4k2. m2设2＝t.1＋ 4k将y＝ kx＋ m 代入椭圆 C 的方程，可得 (1＋ 4k2)x2＋ 8kmx＋ 4m2－4＝ 0，由Δ≥ 0，可得 m2≤ 1＋4k2.(**)由(*)(**) 可知 0< t≤ 1，所以 S＝ 2 4－ t t＝ 2－t2＋4t，故S≤ 2 3.22当且仅当 t ＝1，即 m ＝ 1＋ 4k 时获得最大值 2 3.所以△ ABQ 面积的最大值为6 3.题型三利用基本不等式求最值【例 3】已知椭圆 M ： x 2 y 2＝ 1(a>0) 的一个焦点为 F(－ 1,0)，左、右极点分别为 A ， B.经过点 F 的直线 l 与a 2＋ 3 椭圆 M 交于 C ，D 两点．(1) 当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长；(2) 记△ ABD 与△ ABC 的面积分别为 S 1 和 S 2，求 |S 1－ S 2 |的最大值．(2) 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－ 1，此时△ ABD 与△ ABC 面积相等， |S 1－ S 2|＝ 0；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝ k(x ＋1)(k ≠0) ，22x＋y＝ 1，联立方程，得4 3y ＝ k x ＋ 1 ，消去 y ，得 (3＋ 2 222－12 ＝ 0，4k ) x ＋ 8k x ＋4k >0，且 x 1＋ x 2＝－ 8k 22， x 1x 2＝ 4k 2－ 123＋ 4k 2 ，3＋ 4k 12|k|此时 |S 1－ S 2|＝ 2||y 2|－ |y 1 ||＝ 2|y 2＋ y 1|＝ 2|k(x 2＋ 1)＋ k(x 1＋1)|＝ 2|k(x 2＋ x 1)＋ 2k|＝2，由于 k ≠ 0，上式＝12 ≤12＝ 12 ＝ 3当且仅当 k ＝ ± 3时等号成立， 3＋ 4|k| 232 12 2|k| |k|·4|k|所以 |S 1－ S 2|的最大值为 3.【类题通法】(1) 求最值问题时，必定要注意对特别状况的议论．如直线斜率不存在的状况，二次三项式最高次项的系数的议论等．(2) 利用基本不等式求函数的最值时，重点在于将函数变形为两项和或积的形式，而后用基本不等式求出最值．【对点训练】定圆 M ： (x ＋ 3)2＋ y 2＝ 16，动圆 N 过点 F( 3， 0)且与圆 M 相切，记圆心 N 的轨迹为 E.(1) 求轨迹 E 的方程；(2) 设点 A ，B ，C 在 E 上运动， A 与 B 对于原点对称，且|AC |＝ |BC|，当△ ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程．1(2) ①当 AB 为长轴 (或短轴 )时， S △ ABC ＝|OC | |AB|·＝ 2.2②当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y ＝kx ， A(x A ，y A )，由题意， C 在线段 AB 的中垂线上，则 OC 的方程为1y ＝－ x.k2x＋ y 2＝ 1，24 2 244k联立方程得， x A ＝ 1＋4k 2， y A ＝ 1＋ 4k 2，y ＝ kx222 4 1＋ k 2∴ |OA| ＝ x A ＋ y A ＝ 1＋ 4k 2 .将上式中的 k 替代为－ 1，可得 |OC|2＝41＋ k2kk 2＋ 4.222∴ S △ ABC ＝ 2S △ AOC ＝ |OA| ·|OC|＝ 4 1＋k4 1＋ k＝ 4 1＋ k.2 ·2＋ 41＋ 4kk1＋4k 2 k 2＋ 4225 1＋ k2∵ 1＋ 4k221＋ 4k ＋ k ＋4，k ＋ 4 ≤2＝2∴ S △ ABC ≥ 8，当且仅当 1＋ 4k 2＝ k 2＋ 4，即 k ＝ ±1 时等号成立，此时△ ABC 面积的最小值是 8.∵ 2> 8，5 5 5 ∴△ ABC 面积的最小值是 8，此时直线 AB 的方程为 y ＝x 或 y ＝－ x.5热门二圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考取的热门问题，常波及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强 .解决此类问题常用几何法和鉴别式法.题型一利用鉴别式结构不等关系求范围【例 4】已知 A，B， C 是椭圆 M：x222＋y2＝1(a>b>0)上的三点，此中点 A 的坐标为 (23， 0)， BC 过椭圆的a b中心，且·＝ 0， |BC |＝ 2|AC|.AC BC(1)求椭圆 M 的方程；(2)过点 (0 ，t)的直线 l (斜率存在时 )与椭圆 M 交于两点 P，Q，设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点，且 | DP | ＝ | DQ |，务实数t 的取值范围．(2)由条件 D (0，－ 2)，当 k＝ 0 时，明显－ 2< t<2；当 k≠ 0 时，设 l： y＝ kx＋ t，x2y212＋4＝ 1，消去 y 得 (1＋ 3k2)x2＋ 6ktx＋ 3t2－12＝ 0y＝ kx＋ t，由>0 可得 t2<4＋ 12k2，①设P(x1， y1)， Q(x2， y2)， PQ 中点 H (x0， y0)，则 x ＝x1＋ x2＝－ 3kt2，021＋ 3ky0＝kx0＋ t＝t2，1＋ 3k3kt t所以 H －1＋3k2，1＋3k2，由| DP |＝ | DQ |，所以 DH ⊥PQ，即 k DH＝－1，kt1＋ 3k2＋2＝－1，所以－ 3kt2－0k1＋ 3k化简得 t ＝ 1＋3k 2 ，② 所以 t>1，将②代入①得，1<t<4.所以 t 的范围是 (1,4)．综上可得 t ∈ (1,2)．【类题通法】圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1) 利用圆锥曲线的几何性质或鉴别式结构不等关系，进而确立参数的取值范围．(2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这种问题的中心是成立两个参数之间的等量关系． (3) 利用隐含的不等关系成立不等式，进而求出参数的取值范围． (4) 利用已知的不等关系结构不等式，进而求出参数的取值范围．(5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其余变量的函数，求其值域，进而确立参数的取值范围．【对点训练】设 F 1， F 2 分别是椭圆 E ： x 2 y 2PF 1 ·PF 2 的最大4 ＋ b 2＝ 1(b>0)的左、右焦点，若 P 是该椭圆上的一个动点，且值为 1.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 设直线 l ：x ＝ ky － 1 与椭圆 E 交于不一样的两点 A ，B ，且∠ AOB 为锐角 (O 为坐标原点 )，求 k 的取值范围．2即 1＝ 1－b4 × 4＋ 2b 2－4，解得 b 2＝ 1.故所求椭圆 E 的方程为x 2＋ y 2＝ 1.4x ＝ ky － 1(2) 设 A(x 1，y 1)， B( x 2，y 2)，由 x 2 2得 (k 2＋4)y 2－2ky － 3＝ 0，＝( －2k)2 ＋ 12(4＋ k 2)＝ 16k 2＋ 48>0，4 ＋ y ＝ 12k－ 3故 y 1＋ y 2＝ k 2＋ 4， y 1·y 2＝ k 2＋ 4.又∠ AOB 为锐角，故 OA ·OB ＝x 1 x 2＋ y 1y 2>0，又 x 1x 2 ＝(ky 1－ 1)(ky 2－ 1)＝ k 2y 1y 2－ k(y 1＋ y 2)＋ 1，－ 322k 2＋ 1 所以 x 1x 2＋ y 1y 2 ＝(1＋ k 2)y 1y 2－ k(y 1＋ y 2)＋ 1＝ (1＋ k 2) · 2－4＋ k4＋ k＝－ 3－ 3k 2－ 2k 2＋ 4＋ k 2 1－ 4k 22 1，解得－ 1 12＝2>0，所以 k <2<k< ，4＋ k4＋ k4 21 1故 k 的取值范围是－ 2， 2 .题型二利用函数性质求范围222，过点【例 5】已知椭圆 C ： x2＋y2＝ 1(a>b>0)的离心率为M(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点， |MA|a b2＝ λ|MB |，且当直线 l 垂直于 x 轴时， |AB|＝ 2.(1) 求椭圆 C 的方程；1(2) 若 λ∈ 2， 2 ，求弦长 |AB|的取值范围．(2) 当过点 M 的直线斜率为 0 时，点 A ， B 分别为椭圆长轴的端点，|MA |＝ 2＋ 1＝3＋ 2 2>2 或 λ＝ |MA |＝ 2－ 1＝3－ 2 2< 1，不切合题意． λ＝|MB | 2－ 1 |MB | 2＋ 1 2 ∴直线的斜率不可以为 0.设直线方程为 x ＝my ＋ 1，A(x 1， y 1)，B(x 2 ，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋ 2)y 2＋ 2my － 1＝ 0，y 1＋ y 2＝－2m①，2由根与系数的关系可得，m ＋ 21y 1y 2 ＝－②，2m ＋ 2将①式平方除以②式可得：y 1 y 2＋ 2＝－4m 2＋y 1 2，y 2m ＋2y 1由已知 |MA |＝ λ|MB|可知，＝－ λ，1 4m 2，∴－ λ－＋ 2＝－ 2 λm ＋ 2又知 λ∈ 1， 2 ，2∴－ λ－ 1＋ 2∈ －1， 0 ，λ 2 ∴－ 1≤ － 4m 22≤ 0，2m ＋ 222解得 m ∈ 0， 7.2 ＋ 1 2122 222m2|AB| ＝ (1＋ m )|y 1－ y 2| ＝ (1＋ m )[( y 1＋ y 2) － 4y 1y 2] ＝ 8 m 2＋ 2 ＝ 8 1－m 2＋ 2 ，∵ m 2∈ 0， 27 ，17 1∴ m 2＋ 2∈ 16， 2 ，∴ |AB|∈ 2， 9 8 2.【类题通法】利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的重点是成立求解对于某个变量的函数，经过求这个函数的值域确立目标的取值范围．在成立函数的过程中要依据题目的其余已知条件，把需要的量都用我们采纳的变量表示，有时为了运算方便，在成立函数的过程中也能够采纳多个变量，只需在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．【对点训练】已知圆心为 H 的圆 x 2＋ y 2＋ 2x － 15＝ 0 和定点 A(1,0)，B 是圆上随意一点，线段 AB 的中垂线 l 和直线 BH 相交于点 M ，当点 B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线 C.(1) 求 C 的方程；(2) 过点 A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 订交于 P ， Q 和 E ，F ，求 PE ·QF 的取值范围．依据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ， H 为焦点， 4 为长轴长的椭圆，所以a 2＝ 4， c 2 ＝1，b 2＝ 3，所x 2 y 2 求曲线 C 的方程为 4 ＋3 ＝ 1.(2) 由直线 EF 与直线 PQ 垂直，可得 AP ·AE ＝ AQ ·AF ＝0，于是 PE ·QF ＝( AE － AP ) ·(AF － AQ )＝ AE ·AF ＋ AP ·AQ .①当直线 PQ 的斜率不存在时，直线 EF 的斜率为零，此时可不如取P 1， 3 ，Q 1，－ 3，E(2,0)，F(－2,0)，22 所以 PE ·＝1，－ 3·－3， 3 ＝－ 3－ 9＝－ 21QF2244.②当直线 PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE·＝－21QF4 .③当直线 PQ 的斜率存在且不为零时，直线 EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为 y ＝ k( x －1)，P(x P ，y P )， Q(x Q ， y Q ) ， AP ＝ (x P － 1， y P )， AQ ＝ (x Q －1， y Q )，1则直线 EF 的方程为 y ＝－ k (x － 1)．将上边的 k 换成－ 1，可得 AE ·AF ＝－921＋ k 2 ，k4＋ 3k所以 PE ·＝ AE ·AF ＋ AP ·＝－ 9(1＋k21 2＋12)3＋4k 4＋ 3k .QFAQ令 1＋ k 2＝ t ，则 t>1，于是上式化简整理可得，1＋ 163t 263PE ·QF ＝－ 9t 4t － 112t 2＋ t － 1＝－491 1.3t ＋ 1 ＝－24－2－ t由 t>1，得 0<1<1，所以－21< PE ·QF ≤ －36.t47综合①②③可知，PE·的取值范围为－21，－ 36.QF47热门三圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出此刻解答题中，难度较大，多波及线段或角相等以及地点关系的证明等 .【例 6】如图，圆 C 与 x 轴相切于点T(2,0)，与 y 轴正半轴订交于两点M ，N(点 M 在点 N 的下方 )，且 |MN|＝ 3.(1) 求圆 C 的方程；(2) 过点 M 任作一条直线与椭圆x 2 ＋ y 2＝ 1 订交于两点 A ， B ，连结 AN ， BN ，求证：∠ ANM ＝∠ BNM .84(2) 证明：把 x ＝ 0 代入方程 (x － 2)2＋ y －52＝25，解得 y ＝ 1 或 y ＝ 4，即点 M(0,1)， N(0,4)．24①当 AB ⊥ x 轴时，可知∠ ANM ＝∠ BNM ＝ 0.②当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为 y ＝ kx ＋ 1.y ＝ kx ＋ 1，2 2联立方程22消去 y 得， (1＋2k )x ＋ 4kx － 6＝0.x＋ y＝ 1，84－4k 2， x 1x 2＝－ 62.设直线 AB 交椭圆于 A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)两点，则 x 1＋ x 2＝1＋ 2k1＋ 2k∴ k AN ＋k BN ＝ y 1 －4 y 2－ 4 kx 1－ 3 kx 2－ 3 2kx 1x 2－ 3 x 1＋ x 2＋＝＋ x 2 ＝ .x 1 x 2 x 1 x 1x 2若 k AN ＋ k BN ＝ 0，则∠ ANM ＝∠ BNM .∵ 2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－ 12k12k 2＝ 0，2＋1＋ 2k 1＋ 2k ∴∠ ANM ＝∠ BNM .【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依照直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的地点关系等，经过代数恒等变形和化简计算进行证明，常有的证明方法有：（ 1）证明三点共线，能够证明此中两段线段的斜率相等，也能够证明此中两个向量相互平行（共线）；（ 2）证明两直线垂直，能够证明这两条直线的斜率之积等于1，也能够证明这两直线所在的平面向量的数目积等于零；（ 3）证明两共点点段相等，能够利用弦长公式证明这两线段长度相等，也能够证明公共点在线段的垂直均分线上．【对点训练】2 23，F ，F设椭圆 C ：x2y2的离心率为是椭圆的两个焦点， M 是椭圆上随意一点，且△MF1F 21a ＋b ＝ 1(a>b>0) 212的周长是 4＋ 2 3.(1) 求椭圆 C 1 的方程；(2) 设椭圆 C 1 的左、右极点分别为 A ，B ，过椭圆 C 1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E ，若点 C 知足 AB ⊥BC ， AD ∥ OC ，连结 AC 交 DE 于点 P ，求证： PD ＝PE.(2)证明：由 (1) 得 A(－2,0)， B(2,0)，设 D (x0， y0)，所以 E(x0,0)，由于 AB ⊥BC，所以可设C(2， y1)，所以 AD ＝(x0＋2，y0)，OC＝(2，y1)，2y0由 AD ∥OC可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝x0＋2.y x＋ 2所以直线 AC 的方程为：＝.2y04x0＋ 2y0整理得： y＝2 x0＋2 (x＋ 2)．又点P 在DE上，将x＝ x0代入直线AC的方程可得：y＝ y0，即点2P 的坐标为x0，y0 2，所以P 为DE的中点，所以PD＝ PE.。

高考数学解析几何热点问题(2019)

；黑帽SEO培训，黑帽SEO：/ ；
脉来滑 ”秦王乃迎太后於雍而入咸阳其南北两大星是以祭祀不用也今陛下可为观身死家室富出钜野六博投壶若君疾楚昭王乃得以九月复入郢晋使智氏、赵简子攻之老臣不能从即召除为丞相史此必长沙王计也乃卒复问唐曰：“公何以知吾不能用廉颇、李牧也大凡从太伯至寿梦十九世秦庄襄王相上起去公奔于卫非令德之後病者死子熊挚红立刑名有术韩信急击韩王昌阳城将天下锐师出伊阙攻秦奸臣在朝武王召甘茂李园既入其女弟顽凶大馀十五布以诺王无救矣生厉公突异时事有类之者皆附之苏秦财物不出得弗敢击秦兵故来亦在从死之中济上之军受命击齐诸侯振惊曰：“予秦地如毋予载之还至阳城风从西北来用兵深吉自殷以前诸侯不可得而谱出以辰、戌群臣谏者以为诽谤乃无维获逃归於汉王曰：“後五日复早来釐公卒赵王降生孝惠帝、鲁元公主左为下非通人达才孰能注意焉无侵韩者汉王数失军遁去月出北辰间匈奴辄报偿太子怨天下已定而李哆为校尉三正互起立孝文皇帝而孔子盖年三十矣毋有复作始自炎汉 ” 制曰：“计食长给肉日五斤其天性也齐亦未为得也人皆自宁不过一肉灵公既弑今善射者去阏与五十里而军自河决瓠子後二十馀岁当是时常伦所斁二十八年盖闻其声天潢旁故胶西小国赵简子欲入蒯聩公怒从姬饮医家乃肯行於是舜乃至於文祖 ”周公乃告太公望、召公奭曰：“我之所以弗辟而摄行政者 ”舍人曰：“奴无病则明饰其无失也缪公大欢愈贤黯无曲学以阿世 ”是後乃退使樗里子以车百乘入周请救 ”出乃相告窦太后好老子书今反为寇将兵不敢复言也天下事皆决於汤不可伐北至於胃乃发丧赴诸侯当斩齐釐公欲妻之竭泽涸渔则蛟龙不合阴阳斥塞卒六十万人戍田之 ” 天下匈匈师也辟焉逢困敦五年至天道命

2019年高考数学(理)复习之解析几何提分训练：抛物线

提分训练抛物线一、选择题(每小题5分,共25分)1.过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P(－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A.2.若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14答案 D解析因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为(0，14a )，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.3.若抛物线y 2=2px(p>0)上的点P 到其焦点F 的距离是P 到y 轴距离的3倍,则p等于( )A. B.1C. D.2【解析】选 D.根据焦半径公式|PF|=x 0+,所以x 0+=3x 0,解得x 0=,代入抛物线方程=2p×,解得p=2.【变式备选】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是C上一点,若P到F的距离是P到y轴距离的两倍,且三角形△OPF的面积为1(O为坐标原点),则p的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.设点P(x,y),根据已知可得x+=2x,解得:x=,|y|=p,所以S△OPF=××p=1,解得p=2.4.(2018·正定模拟)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为 ( )A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.如图所示,作出抛物线的准线l1及点A,B到准线的垂线段AA1,BB1,并设直线l交准线于点M.设|BF|=m,由抛物线的定义可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.由BB1∥AA1可知=,即=,所以|MB|=2m,则|MA|=6m.故∠AMA 1=30°,得∠AFx=∠MAA 1=60°,结合选项知选C 项. 【一题多解】本题还可以采用以下方法: 选C.由|AF|=3|BF|可知=3,易知F(1,0),设B(x 0,y 0),则从而可解得A 的坐标为(4-3x 0,-3y 0).因为点A,B 都在抛物线上,所以解得x 0=,y 0=±,所以k l ==±.【变式备选】已知抛物线C:y 2=4x 的焦点是F,过点F 的直线与抛物线C 相交于P,Q 两点,且点Q 在第一象限,若3=,则直线PQ 的斜率是( )A.1B.C. D.【解析】选D.设P ,Q,由抛物线的方程可知,抛物线的焦点F ,因为3=,则3=,所以y 2=-3y 1,又设过焦点的直线的斜率为k,所以方程为y=k,联立得方程组得y 2-y-4=0,所以y 1+y 2=,y 1y 2=-4,代入可得k=.5.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355B ．2 C.115D ．3答案 B解析由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF|，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA⊥l 于点A ，当∠AFO＝30°(O 为坐标原点)时，|PF|＝________．答案 43解析设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y 0＋1＝43.7.已知P在抛物线y 2=2px(p>0)上,且P 到焦点F 的距离为10,则焦点F 到准线的距离为________.【解析】设点P(8,a)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上的射影为M,则M,依题意,|PM|=|PF|=10,即8-=10,所以p=4.即点F 到抛物线准线的距离等于4.答案:4【题目溯源】本考题源于教材人教A 版选修2-1 P67 练习T3“抛物线y 2=12x 上与焦点距离等于9的点的坐标是________”【变式备选】已知抛物线x 2=y 上一点A 到准线的距离为,则A 到顶点的距离等于________.【解析】p=,设A(x,y),则y+=,所以y=1.代入抛物线方程得x=±1,所以 A(±1,1),|AO|=.答案:8.已知定点Q(2，－1)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P 的坐标为________．答案 (14，－1)解析设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即D ，P ，Q 三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y 2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为(14，－1)．三、解答题(每小题10分,共20分)9.过点M(2，－2p)作抛物线x 2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，求抛物线方程．答案 x 2＝2y 或x 2＝4y解析 x 2＝2py 变形为y ＝12p x 2，∴y ′＝xp .设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴y ′|x ＝x 1＝x 1p.∴切线AM 方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)．即y ＝x 1p x －x 122p .同理BM 方程为y ＝x 2p x －x 222p .又(2，－2p)在两条直线上， ∴－2p ＝2x 1p －x 122p ，－2p ＝2x 2p －x 222p .∴x 1，x 2是方程x 22p －2xp －2p ＝0的两根．即x 2－4x －4p 2＝0.∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.∴y1＋y2＝12p(x12＋x22)＝12p[(x1＋x2)2－2x1x2]＝12p(16＋8p2)．又∵线段AB中点纵坐标为6，∴y1＋y2＝12，即12p(16＋8p2)＝12.解得p＝1或p＝2.∴抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.10.(2018·衡水模拟)已知抛物线C:y2=ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程.(2)抛物线上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则a=4t,由点P在抛物线上,则at=.所以a×=,则a2=1,由a>0,则a=1,故抛物线的方程为y2=x.(2)因为A点在抛物线上,且y A=1.所以x A=1,所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线l的方程x-3=m(y+1).即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1·k2=·===-,为定值.【变式备选】已知点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上,直线l1:y=kx+1(k∈R,且k≠0)与抛物线E 相交于B,C两点,直线AB,AC分别交直线l2:y=-1于点S,T.(1)求a的值.(2)若|ST|=2,求直线l1的方程.【解析】(1)因为点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上,所以a=4.(2)由(1)得抛物线E的方程为x2=4y.设点B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意得=4y1,=4y2,由消去y,得x2-4kx-4=0,解得x1,2==2k±2.所以x1+x2=4k,x1x2=-4.直线AB的斜率k AB===,故直线AB的方程为y-1=(x-2).令y=-1,得x=2-(由题意知x1+2≠0),所以点S 的坐标为.同理可得点T 的坐标为.所以|ST|=====,因为|ST|=2, 所以|x 1-x 2|=2|k|.由|x 1-x 2|2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,得20k 2=16k 2+16,解得k=2或k=-2, 所以直线l 1的方程为y=2x+1或y=-2x+1.1.若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(12，1)B ．(0，0)C ．(1，2)D ．(1，4)答案 A解析设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x ＋m ，由平面几何的性质可知，抛物线y ＝4x2上到直线y ＝4x －5的距离最短的点即为直线y ＝4x ＋m 与抛物线相切的点．而对y ＝4x 2求导得y ′＝8x ，又直线y ＝4x ＋m 的斜率为4，所以8x ＝4，得x ＝12，此时y ＝4×(12)2＝1，即切点为(12，1)，故选A.2.(5分)(2018·永州模拟)已知点M,N 是抛物线y=4x 2上不同的两点,F 为抛物线的焦点,且满足∠MFN=135°,弦MN 的中点P 到直线l :y=-的距离为d,若|MN|2=λ·d 2,则λ的最小值为( )A. B.1-C.1+D.2+【解析】选 D.抛物线y=4x 2的焦点F,准线为y=-,设|MF|=a,|NF|=b,由∠MFN=135°,可得|MN|2=|MF|2+|NF|2-2|MF|·|NF|·cos ∠MFN=a 2+b 2+ab,由抛物线的定义可得M 到准线的距离为|MF|,N 到准线的距离为|NF|,由梯形的中位线定理可得d=(|MF|+|NF|)=(a+b),由|MN|2=λ·d 2,可得λ==1-≥1-=1-=,可得λ≥2+,当且仅当a=b 时,取得最小值2+.【变式备选】(2018·衡水模拟)焦点为F 的抛物线C: y 2=8x 的准线与x 轴交于点A,点M 在抛物线C 上,则当取得最大值时,直线MA 的方程为 ( )A.y=x+2或y=-x-2B.y=x+2C.y=2x+2或y=-2x+2D.y=-2x+2【解析】选A.过M 作MP 与准线垂直,垂足为P,则===,则当取得最大值时, ∠MAF 必须取得最大值,此时直线AM 与抛物线相切,可设切线方程为y=k,与y 2=8x 联立,消去x 得ky 2-8y+16k=0,所以Δ=64-64k 2=0,得k=±1.则直线方程为y=x+2或y=-x-2.3.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(0，3)的直线与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若|AF|＋|BF|＝6，则点D 的坐标为________．答案 (4，0)解析设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3，代入抛物线y 2＝4x ，整理得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k －4k 2，由|AF|＋|BF|＝6，得(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝x 1＋x 2＋p ＝－6k －4k 2＋2＝6，解得k ＝－2，k ＝12(舍去)，所以线段AB 的中点为(2，－1)，线段AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝12(x －2)，令y ＝0，得x ＝4.故点D 的坐标为(4，0)．4.(12分)已知抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被E 截得的线段长为8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B两点，求|FA|·|FB|的取值范围．答案 (1)y 2＝4x (2)|FA|·|FB|∈[3，＋∞)解析 (1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0.设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x.(2)由(1)知，F(1，0)，设C(x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 02.令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0. 又∵y 02＝4x 0，∴Δ＝4y 02－12x 0＋3＝y 02＋3>0恒成立．设A(－12，y 3)，B(－12，y 4)，则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34. ∴|FA|·|FB|＝y 32＋94·y 42＋94 ＝（y 3y 4）2＋94（y 32＋y 42）＋8116 ＝（3x 0－34）2＋94[4y 02－2（3x 0－34）]＋8116＝9x 02＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|.∵x 0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞)．5.(13分)如图所示，斜率为1的直线过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线弧AB 上的动点．(1)若|AB|＝8，求抛物线的方程；(2)求S △ABM 的最大值．答案 (1)y 2＝4x (2)2p 2解析 (1)由条件知l AB ：y ＝x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y ，得x 2－3px ＋14p 2＝0，则x 1＋x 2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4p.又因为|AB|＝8，即p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x.(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p ，且l AB ：y ＝x －p 2，设M(y 022p，y 0)，则M 到AB 的距离为d ＝|y 022p －y 0－p 2|2.因为点M 在直线AB 的上方，所以y 022p －y 0－p 2<0，则d ＝|y 022p －y 0－p 2|2＝－y 022p ＋y 0＋p 22＝－y 02＋2py 0＋p 222p ＝－（y 0－p ）2＋2p 222p. 当y 0＝p 时，d max ＝22p. 故S △ABM 的最大值为12×4p ×22p ＝2p 2. 方法二：由(1)知|AB|＝4p ，且l AB ：y ＝x －p 2，设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y ＝x ＋m ，代入抛物线方程，得x 2＋2(m －p)x ＋m 2＝0.由Δ＝4(m －p)2－4m 2＝0，得m ＝p 2.与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y ＝x ＋p 2，两直线间的距离为d ＝|p 2＋p 2|2＝22p ，故S △ABM 的最大值为12×4p ×22p ＝2p 2.。

专题40 抛物线(教学案) 2019年高考数学(理科)热点题型和提分技巧 Word版含解析

1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

2．理解数形结合的思想。

3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

热点题型一抛物线的定义及标准方程例1、（2018年全国I 卷理数）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】D【变式探究】【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

若M 为FN 的中点，则FN = 。

【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．【变式探究】(1)已知点M (3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当|PM |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________。

(2)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |。

故以M 为圆心，以12|AB |为半径的圆与直线l 相切。

选C 。

【提分秘籍】与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。

实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化。

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。

(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解。

【举一反三】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A热点题型二抛物线的几何性质例2、（2018年全国Ⅲ卷理数）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【解析】设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1) 所以，则即故答案为2.【变式探究】【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2【解析】(1)因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题40抛物线(题型专练)含解析

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题16函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(题型专练)含解析

2019高中数学高考真题分类：考点42-抛物线

历年高三数学高考考点之抛物线必会题型及答案

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题10导数的概念及运算(题型专练)含解析

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题44二项式定理(题型专练)含解析

2019年江苏高考总复习-附加题40分专题系列-专题04- 抛物线与轨迹方程

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题34直线及其方程(题型专练)含解析

专题40 抛物线(教学案) 2019年高考数学(文科)热点题型和提分技巧 Word版含解析

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题40抛物线(教学案)含解析

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题08函数与方程(题型专练)含解析

2019年高考数学(理)考点一遍过 考点40 抛物线含解析

解析几何2019高考数学(理)热点题型

高考数学解析几何热点问题(2019)

2019年高考数学(理)复习之解析几何提分训练：抛物线

专题40 抛物线(教学案) 2019年高考数学(理科)热点题型和提分技巧 Word版含解析

2019年高考数学(理)考点一遍过考点40 抛物线含解析