北师大版高中数学选修1-1导数与函数的单调性同步练习

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北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件第四章 1.1 导数与函数的单调性

0,因此,在已知函数f(x)在区间(a,b)上是增加的(或减少的)求参数的
取值范围时,应用f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a,b)上恒成立,解出参数
的取值范围,然后检验参数的取值能否使f'(x)在(a,b)的任意子区间
内恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去.
-23-
1.1 导数与函数的单调性
探究一
探究二首页探究三自源自预习探究学习当堂检测
思维辨析

变式训练 3 已知函数 f(x)=x2 +(x≠0,常数 a∈R),若函数 f(x)在
[2,+∞)上是增加的,求 a 的取值范围.
解

f'(x)=2x-2
=
23 -
.
2
要使 f(x)在[2,+∞)上是增加的,
则 f'(x)≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立,
数的正负.
-8-
1.1 导数与函数的单调性
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思维辨析
变式训练1设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则
y=f(x)的图像最有可能的是 (
)
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1.1 导数与函数的单调性
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变式训练已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1),a>0,若f(x)在(0,1)上是增

高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性课时作业含解析北师大版选修1_1

1.1 导数与函数的单调性[A组基础巩固]1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0,2)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2，当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是(0,2)．答案：B2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin2x B．y＝x e xC．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)解析：令y＝x e x，当x∈(0，＋∞)时，y′＝e x＋x e x＝e x(1＋x)>0.答案：B3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)在R上() A．是增函数B．是减函数C．是常函数D．既不是增函数也不是减函数解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，方程3x2＋2ax＋b＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3b＝4(a2－3b)．因为a2－3b<0，所以Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数．答案：A4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是()解析：由y＝f′(x)的图像可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．答案：C5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，3)解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1，由题意，可知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，∴方程－3x2＋2ax－1＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a≤ 3.答案：B6．在下列命题中，正确的是________．①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若对任意x∈(a，b)都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0；⑤可导的单调函数的导函数仍为单调函数．解析：举反例．若f(x)＝x3，x∈(－1,1)，则f(x)是单调增函数，但f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，所以①⑤错误；若f(x)＝x2，②错误；若f(x)＝－x，x∈(－2，－1)，则④错误．答案：③7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为________．解析：∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)<0，得－1<x<11，∴函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)8．若函数f (x )＝mx ＋x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，则m 的取值范围为________．解析：由题意f ′(x )＝m ＋12x ≥0在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，即m ≥－12x 在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，令g (x )＝－12x ⎝⎛⎭⎫12≤x ≤1，g ′(x )＝14x －32，在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上g ′(x )>0，所以g (x )max ＝g (1)＝－12，故m ≥－12.答案：[－12，＋∞)9．求下列函数的单调区间： (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝12x ＋sin x ，x ∈(0，π)．解析：(1)∵函数的定义域为(0，＋∞)，又∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ＝x 2－1x.①令y ′>0，即x 2－1x>0，又∵x >0，∴⎩⎨⎧ x 2－1>0x >0，∴x >1.②令y ′<0，即x 2－1x<0，又∵x >0，∴⎩⎨⎧x 2－1<0x >0，∴0<x <1.∴函数y ＝f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)． (2)∵y ＝12x ＋sin x ，∴y ′＝12＋cos x ，①令y ′>0，得cos x >－12，又∵x ∈(0，π)，∴0<x <2π3.②令y ′<0，得cos x <－12，又∵x ∈(0，π)，∴2π3<x <π.∴函数y ＝12x ＋sin x 的增区间为⎝⎛⎭⎫0，2π3，减区间为⎝⎛⎭⎫2π3，π. 10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2－2x (a ∈R 且a ≠0)存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析：∵f (x )＝ln x －ax 2－2x ，∴f ′(x )＝1x －2ax －2(x >0)．∵函数f (x )存在单调递减区间，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上有无穷多个解．∴关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解． ①当a >0时，函数y ＝2ax 2＋2x －1的图像为开口向上的抛物线， ∴关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上总有无穷多个解．②当a <0时，函数y ＝2ax 2＋2x －1的图像为开口向下的抛物线，其对称轴为直线x ＝－12a>0. 要使关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解．则Δ＝4＋8a >0，解得a >－12，此时－12<a <0.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)．[B 组能力提升]1．函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x . 由x >12，得1x <2，要使a ≥1x 恒成立，只需a ≥2.答案：C2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0) B ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)>e 2f (0) C ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)>e 2f (0)D ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)<e 2f (0)解析：令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，故g (x )在R 上单调递减，而ln 2>0,2>0，故g (ln 2)<g (0)，g (2)<g (0)，即f (ln 2)2<f (0)1，f (2)e 2<f (0)1，所以f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0)，故选A.答案：A3．函数f (x )＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________．解析：∵f (x )＝(3－x 2)e x ，∴f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x . 令f ′(x )>0，则－x 2－2x ＋3>0，解得－3<x <1. ∴函数f (x )的单调递增区间是(－3,1)．答案：(－3,1)4．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5， ∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75. 答案：－755．判断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．解析：由题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．6．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0，综上，a 的取值范围为(－∞，1].。

高中数学选修1-1 同步练习专题3.3.1 函数的单调性与导数(原卷版)

第三章导数及其应用3.3.1 函数的单调性与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数sin y x x =-+在R 上 A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减D ．先减后增2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f 'x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能是AB C D3．设()sin f x x x =-，则()f x A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数4．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞- C ．[2,)+∞D ．[1,)+∞5．已知函数321()5(0)3f x ax x a =-+>在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是 A ．01a << B ．102a <<C ．112a << D ．1a >6．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且满足()()f x f x '>，(0)2f =，则不等式()2e x f x <的解集为A ．(,0)-∞B ．(,2)-∞C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞7．函数3(2)f x ax x =-在R 上为减函数，则 A ．0a ≤ B ．1a < C ．0a <D ．1a ≤8．已知()f x 是定义在区间(0,)+∞上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则 A ．4(1)(2)f f < B ．4(1)(2)f f > C ．(1)4(2)f f <D ．(1)4(2)f f '<9．已知函数()y f x =为定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，'()()xf x f x <-（其中'()f x 是()f x 的导函数），若3(3)a f =，(lg3)(lg3)b f =，2211(log )(log )44c f =，则A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．函数2()2ln f x x x =-，(0,)x ∈+∞的单调递减区间为________________．（用开区间表示） 11．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若(1)()12f m f m m -->-，则实数m 的取值范围是________________．12．若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则实数a 的取值范围为________________． 13．已知函数()y f x =(x ∈R )的图象如图所示，则不等式()0xf x '>的解集为________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．已知1x >，证明：1ln 1x x+>．15．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，试讨论()f x 的单调性．16的导函数为()f 'x ．（1）解不等式()2f 'x <；（2）求函数()()4x x g f x =-的单调区间．17 （1）当1a =时，探究函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()0f x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．。

2019高中数学第四章导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性作业1 北师大版选修1-1

4.1.1 导数与函数的单调性[基础达标]1.函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．先增后减 D ．先减后增解析：选A.f ′(x )＝2－cos x ，因为cos x ∈[－1，1]，所以2－cos x ＞0恒成立，即f ′(x )＞0恒成立，故选A.2.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1)B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1]解析：选B.f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x(x >0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0x >0得0<x ≤1.3.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )解析：选D.由y ＝f (x )图像可知，x <0时，f (x )是增函数，f ′(x )>0，x >0时，函数图像先增加后减小再增加，其对应的导数是，先有f ′(x )>0，再有f ′(x )<0，最后f ′(x )>0，因此D 符合条件．4.对于R 上的任意连续函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：选C.由题意，当x >1时，f ′(x )≥0，当x <1时，f ′(x )≤0，由于函数f (x )为连续函数，所以f ′(1)＝0必成立．所以函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)，所以f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，所以f (0)＋f (2)≥2f (1)．5.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)解析：选B.f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1x2－2x ，∴a ≥－1.即a 的取值范围是[－1，＋∞)．6.函数f (x )＝e xcos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5的大小关系为________．解析：∵f ′(x )＝e x(cos x －sin x )， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是函数f (x )的一个单调递增区间，又0<π6<π5<π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5. 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 7.若函数f(x)＝x 2－m ln x 在(0，1]上为减函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝2x －m x (x>0)，由题意知2x －m x≤0，即m ≥2x 2在(0，1]上恒成立，∴m ≥2.即实数m 的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)8.函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，所以Δ＝(－2a )2－4>0得a 2>1，解得a <－1或a >1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9.已知f (x )＝e x －ax ，求f (x )的单调递增区间．解：因为f (x )＝e x－ax ，所以f ′(x )＝e x－a .令f ′(x )≥0得e x≥a ，当a ≤0时，有f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为[ln a ，＋∞)．10.(1)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x≠0，常数a ∈R )在[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．(2)设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ，若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )≥0，即2x 3－a x2≥0在[2，＋∞)上恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，即a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立，∴a ≤(2x 3)min .∵函数y ＝2x 3在[2，＋∞)上是单调递增的，∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是{a |a ≤16}．(2)f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ，令29＋2a >0，得a >－19.即当f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间时，a 的取值范围是(－19，＋∞)．[能力提升]1.定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，且f (4)＝1，则b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，13 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(5，＋∞) C ．(－∞，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5 解析：选D.由图像可知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f (2a ＋b )<1即2a ＋b <4，原题等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0b >02a ＋b <4，求b ＋1a ＋1的取值范围．画出不等式组表示的可行区域(图略)，利用直线斜率的意义可得b ＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5.2.设函数f(x)在R 上满足f (x )＋xf ′(x )>0，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，则a 与b 的大小关系为________．解析：设函数F (x )＝xf (x )， ∴F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0， ∴F (x )＝xf (x )在R 上为增函数，又∵30.3>1，log π3<1， ∴30.3>log π3，∴F (30.3)>F (log π3)， ∴30.3f (30.3)>log π3f (log π3)， ∴a >b . 答案：a >b3.证明方程x －12sin x ＝0有唯一解．证明：设f (x )＝x －12sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，所以x ＝0是方程x －12sin x ＝0的一个解．因为f′(x )＝1－12cos x ，当x ∈R 时，f ′(x )>0恒成立，所以函数f (x )在R 上单调递增，因此曲线f (x )＝x －12sin x 与x 轴只有一个交点，即方程x －12sin x ＝0有唯一解x ＝0.4．试问是否存在实数a ，使得函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间？如果存在，求出实数a 的取值范围及这三个单调区间；如果不存在，请说明理由．解：f ′(x )＝3ax 2＋1.若a >0，则f ′(x )>0，此时f (x )只有一个单调区间，不满足要求；若a ＝0，则f ′(x )＝1>0，此时f (x )也只有一个单调区间，不满足要求；若a <0，则f ′(x )＝3a (x ＋1－3a )(x －1－3a)，此时f (x )恰有三个单调区间，满足要求．综上可知，存在实数a<0，使f(x)恰有三个单调区间，其中单调递减区间为(－∞，－1－3a )和(1－3a，＋∞)，单调递增区间为(－1－3a，1－3a)．。

2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1《函数的单调性与极值》同步练测及解析

（新课标）最新北师大版高中数学选修1-11函数的单调性与极值建议用时实际用时满分实际得分 45分钟一、选择题（每小题5分）1.关于函数的极值，下列说法正确的是（）A.导数为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D.若在内有极值，则在内不是单调函数2.函数的极值点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定3.已知是R 上的单调增函数,则b 的取值范围是( )A. {b|b-1或b2}B. {b|b-1或b2}C. {b|-2b1}D. {b|-1b2}4.函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于( )A ．9B ．－9C ．1D ．－1二、填空题（每小题5分）5.函数的极值点个数为.6.若函数f(x)＝a －3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是.7.已知f(x)＝+1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.三、解答题（共55分）8.(10分)设1x =和2x =是函数3()f x ax =+261bx x ++的两个极值点.(1)求a ，b 的值(2)求()f x 的单调区间.9.(12分)已知函数323()(32af x x x a =-++1)1x +其中a 为实数. （1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.10.(10分)设函数，其中≠0．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．11.（8分）已知函数讨论函数f(x)的单调性12.(15分)已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(2)求()f x 的单调区间；(3)设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围1.D 解析：函数在处取得极值⇔，且，故A 不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间，一般来说没有大小关系，故B 不正确；函数在定义域内可能有多个极大值和多个极小值，故C 不正确；若在内有极值，则在内不是单调函数，正确.故选D ．2.C 解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.3.D 解析：因为是R 上的单调增函数，所以对x ∈R 恒成立，即解得.4.C 解析：，由，得的两个解，则＝1.5.0解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.6.a ≤1 解析：f ′(x)＝3a －3，由题意知f ′(x)≤0在 (－1,1)上恒成立．若a ≤0，显然有f ′(x)＜0；若a ＞0，由f ′(x)≤0，得－≤x ≤，于是≥1，∴ 0＜a ≤1.综上知a ≤1.7.(] 解析：已知当时，f(x)是减函数.所以，(1)当时，由，知在R 上是减函数；(2)当时，，由函数在R 上的单调性，可知当时，在R 上是减函数；(3)当时，在R 上存在一个区间，其上有所以，当时，函数在R 上不是减函数.综上，所求a 的取值范围是.8.解：（1）2()326f x ax bx '=++，由已知可得(1)3260f a b '=++=，2(2)322260f a b '=⨯+⨯+=.解得91,.2a b ==- (2)由（1）知22'()3963(32)3(1)(2).f x x x x x x x =-+=-+=-- 当(,1)(2,)x ∈-∞+∞∪时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是(,1),(2,),-∞+∞()f x 的单调减区间是(1,2).9.解：(1) 2()3(1)f x ax x a '=-++.由于函数()f x 在1x =处取得极值，所以有(1)0f '=，即3101a a a -++=⇒=.（2）由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立.于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x x x +≤+.20x ∴-≤≤. 从而实数x 的取值范围为20x -≤≤.10.证明：因为，，所以的定义域为（0，+∞）,．当时，如果＞0，＞0，，在（0，+∞）上单调递增；如果＜0，＜0，＜0，在（0，+∞）上单调递减．所以当＞0，函数没有极值点．当＜0时，.令，得（舍去），，当＞0，＜0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为.当＜0，＞0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为.综上所述，当＞0时，函数没有极值点；当＜0时，若＞0，＜0时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若＜0，＞0时，函数有且只有一个极大值点，极大值为.11.解：当（2）当时，函数上单调递增，最大值为12.解：(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.(2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间为.②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -内，()0f x '>；在区间1(,)a -+∞内，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,-)a ，单调递减区间为1(-,)a+∞.(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) 当0a <时，函数()f x 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----，所以21ln()a >---，解得31e a <-。

北师大版数学数学 4.1.1导数与函数的单调性同步练习北师大版选修1-1

学案导学备课精选】2015年高中数学 4.1.1导数与函数的单调性同步练习（含解析）北师大版选修1-1课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin x B ．x e x C ．x 3－x D ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪ C ．题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．8．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为__________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章导数应用 §1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f ′(x)>0 减少作业设计 1．A 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．(－1,11)解析 ∵f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x)<0，得－1<x<11， ∴f(x)的单减区间为(－1,11)． 8．(－∞，－3]解析 f ′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<036＋12a ≤0， ∴a ≤－3. 9．即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间， ∴方程f ′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x)<0.故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x)＝3x 2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x)＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0. (2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

北师大版数学高二选修1-1 4-1.1导数与函数的单调性同步测试

4-1.1导数与函数的单调性(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．当x ＞0时，f (x )＝x ＋2x ，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析： f ′(x )＝1－2x 2，当f ′(x )＜0时，－2＜x ＜0，或0＜x ＜2，又∵x ＞0，∴0＜x＜2，故选D.答案： D2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln x C ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x解析：对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.答案： C3．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)解析：由y ′＝－x sin x ＞0，则sin x ＜0，则π＋2k π＜x ＜2π＋2k π，k ∈Z. 答案： B4．(2，＋∞)为函数y ＝2x －ax 的单调递增区间，则a 的值为( )A ．a ≥－8B ．－8＜a ＜0C ．a ＜－8D ．a ＞0解析： y ′＝2＋ax 2≥0对x ＞2恒成立，∴a ≥－2x 2，∴a ≥－8. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2009江苏高考)函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析： f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．答案： (－1,11)6．若函数y ＝(a －1)ln x ＋2x －1在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围为________．解析： y ′＝(a －1)·1x ＋2>0在(0，＋∞)上恒成立即：a －1>－2x ，而x >0，∴a －1≥0，∴a ≥1. 答案： a ≥1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝3x 2－2x ＋1； (2)f (x )＝x 3－2x 2＋x ； (3)f (y )＝x －ln x (x >0)；解析： (1)f ′(x )＝6x －2.令6x －2>0，解得x >13.因此，当x ∈⎝⎛⎭⎫13，＋∞时，f (x )是增函数；其单调递增区间为⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 再令6x －2<0，解得x <13.因此，当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，13时，f (x )是减函数．其单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，13. (2)f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1>0，解得x >1，或x <13.因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫－∞，13. 再令3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫13，1. (3)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x，令y ′＝1－1x >0，则x >1，因此，函数y ＝x －ln x 在(1，＋∞)上是增函数；令y ′＝1－1x<0，则0<x <1，因此，函数y ＝x －ln x 在(0,1)上是减函数，所以函数y ＝x －ln x 的单调区间是(0,1)和(1，＋∞)． 8．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1<x <1，b ≠0)的单调区间．解析： f (x )的定义域为(－1,1)，易知函数f (x )是奇函数，故只需讨论函数在(0,1)内的单调性．因为f ′(x )＝b ·x ′(x 2－1)－x (x 2－1)′(x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2，当0<x <1时，x 2＋1>0，(x 2－1)2>0，所以－x 2＋1(x 2－1)2<0.所以若b >0，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,1)内是减函数；若b <0，则f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)内是增函数．又函数f (x )是奇函数，而奇函数图象关于原点对称，所以当b >0时，f (x )在(－1,1)内是减函数；当b <0时，f (x )在(－1,1)内是增函数． 9．(10分)已知f (x )＝2ax －1x 2，x ∈(0,1]．若f (x )在区间(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．解析： f ′(x )＝2a ＋2x 3.∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x 3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x 3在(0,1]上单调递增．∴g (x )max ＝g (1)＝－1.∴a≥－1，即a的取值范围是[－1，＋∞)．。

学案导学备课精选2015年高中数学4.1.1导数与函数的单调性同步练习(含解析)北师大版选修1_1 (1)

§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪C ．题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________．9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f′(x)>0 减少作业设计1．A2．A3．B4．A5．C6．C7．(－1,11)解析 ∵f′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f′(x)<0，得－1<x<11，∴f(x)的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<036＋12a≤0， ∴a≤－3.9．即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x .①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f′(x)<0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 13．解 (1)由已知，得f′(x)＝3x 2－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x 2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a≤0.又a ＝0时，f′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《计算导数》课时同步练习及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1§3 计算导数课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．1．计算函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的步骤： (1)计算函数的增量：Δy ＝f(Δx ＋x 0)－f(x 0) (2)确定平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(3)当Δx 趋于0时，得到导数： f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx2．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x)，则f ′(x)＝______________________，则f ′(x)为f(x)的__________，简称导数． 3．导数公式表函数导函数函数导函数y ＝c(c 是常数) y ′＝0y ＝sin xy ′＝cos xy ＝x α(α为实数)y ′＝αx α－1y ＝cos xy ′＝－sin xy ＝a x (a>0，a ≠1)y ′＝a x ln a特别地(e x )＝e xy ＝tan xy ′＝1cos 2xy ＝log a x (a>0，a ≠1)y ′＝1xln a特别地(ln x)′＝1xy ＝cot xy ′＝－1sin 2x一、选择题1．已知函数f(x)＝13，则f ′(x)等于( )A ．－33B ．0 C.33D. 32．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线方程为( )A ．x －4y －4＝0B ．x －y －4＝0C ．x －4y ＝0D ．2x －4y －4＝03．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( ) A ．3 B ．7 C ．8 D ．14．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 5．函数y ＝(x －1)2的导数是( ) A ．(x －1)2B ．2(x －1) C ．2(1－x) D ．－26．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( )A.32B ．－32C ．－12D.12题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．函数y ＝5x ＋4的导数为________．8．函数f(x)＝x 2＋3x 导数为5的点是________． 9．曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线斜率为________．三、解答题10．已知函数y ＝x 2＋4x ，求x ＝1,2处的导数值．11.已知f(x)＝log 2x ，利用导数公式求f ′(2)．能力提升12．给出下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ′＝12x x . 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．313．已知f ′(x)是一次函数，x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．1．“函数f(x)在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x)在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值． 2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．§3 计算导数知识梳理2．f ′(x)=0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx 导函数作业设计 1．B2．A [∵f ′(2)＝14，∴所求切线方程为y ＋12＝14(x －2)，即x －4y －4＝0.]3．C4．D [设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝1＝2x 0.∴x 0＝12，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.]5．B [∵y ＝x 2－2x ＋1，∴y ′＝2x －2＝2(x －1)．] 6．C [由导数公式，y ′＝－sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12.]7．5 8．(1,4) 9．1解析 y ′＝1x，∴f ′(1)＝1.10．解 f ′(1)=0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx=0limx ∆→(1＋Δx )2＋4(1＋Δx )－1－4Δx=0lim x ∆→(Δx )2＋(Δx )×6Δx ＝6. f ′(2)=0limx ∆→f (2＋Δx )－f (2)Δx=0lim x ∆→(2＋Δx )2＋4(2＋Δx )－22－4×2Δx＝8.11．解 ∵f ′(x)＝(log2x)′＝1xln2＝2xln 2，∴f ′(2)＝1ln 2.12．B [因为(cos x)′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ′＝(－12x -)′＝1232x -＝12x x ，所以④正确，故选B.]13．解由f ′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.把f(x)，f ′(x)代入方程x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1中得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《函数的单调性与极值》同步练测及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-11函数的单调性与极值建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.关于函数的极值，下列说法正确的是（）A.导数为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D.若在内有极值，则在内不是单调函数2.函数的极值点个数为( )A．2 B．1C．0 D．由a确定3.已知是R上的单调增函数,则b的取值范围是( )A.{b|b-1或b2}B.{b|b-1或b2}C.{b|-2b1}D.{b|-1b2}4.函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于( )A．9B．－9C．1 D．－1二、填空题（每小题5分）5.函数的极值点个数为.6.若函数f(x)＝a －3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是.7.已知f(x)＝+1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.三、解答题（共55分）8.(10分)设1x =和2x =是函数3()f x ax =+261bx x ++的两个极值点.(1)求a ，b 的值(2)求()f x 的单调区间.9.(12分)已知函数323()(32af x x x a =-++1)1x +其中a 为实数. （1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.10.(10分)设函数，其中≠0．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．11.（8分）已知函数讨论函数f(x)的单调性12.(15分)已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(2)求()f x 的单调区间；(3)设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围1.D 解析：函数在处取得极值⇔，且，故A不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间，一般来说没有大小关系，故B不正确；函数在定义域内可能有多个极大值和多个极小值，故C不正确；若在内有极值，则在内不是单调函数，正确.故选D．2.C 解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.3.D 解析：因为是R上的单调增函数，所以对x∈R恒成立，即解得.4.C 解析：，由，得的两个解，则＝1.5.0解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.6.a≤1 解析：f′(x)＝3a－3，由题意知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0，得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1.综上知a≤1.7.(] 解析：已知当时，f(x)是减函数.所以，(1)当时，由，知在R上是减函数；(2)当时，，由函数在R上的单调性，可知当时，在R上是减函数；(3)当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数在R上不是减函数.综上，所求a的取值范围是.8.解：（1）2'=++，f x ax bx()326由已知可得(1)3260f a b '=++=，2(2)322260f a b '=⨯+⨯+=.解得91,.2a b ==- (2)由（1）知22'()3963(32)3(1)(2).f x x x x x x x =-+=-+=--当(,1)(2,)x ∈-∞+∞∪时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是(,1),(2,),-∞+∞()f x 的单调减区间是(1,2).9.解：(1)2()3(1)f x ax x a '=-++.由于函数()f x 在1x =处取得极值，所以有(1)0f '=，即3101a a a -++=⇒=.（2）由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立. 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x x x +≤+.20x ∴-≤≤. 从而实数x 的取值范围为20x -≤≤. 10.证明：因为，，所以的定义域为（0，+∞）,．当时，如果＞0，＞0，，在（0，+∞）上单调递增；如果＜0，＜0，＜0，在（0，+∞）上单调递减．所以当＞0，函数没有极值点．当＜0时，.令，得（舍去），，当＞0，＜0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为.当＜0，＞0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为.综上所述，当＞0时，函数没有极值点；当＜0时，若＞0，＜0时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若＜0，＞0时，函数有且只有一个极大值点，极大值为.11.解：当（2）当时，函数上单调递增，最大值为12.解：(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.(2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间为.②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -内，()0f x '>；在区间1(,)a -+∞内，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,-)a ，单调递减区间为1(-,)a +∞.(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)当0a <时，函数()f x 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a -=-+=----，所以21ln()a >---，解得31e a <-。

高中数学北师大版选修1-1课时作业4.1.1 导数与函数的单调性(1) Word版含解析

选修第四章§课时作业一、选择题．下列函数中，在(，＋∞)内为增函数的是( ). ＝. ＝. ＝－＋(＋). ＝－解析：＝，则′＝＋＝(＋)在(，＋∞)上恒大于.答案：．若函数＝()的导函数．．．在区间[，]上是增函数，则函数＝()在区间[，]上的图像可能是()解析：∵＝()的导函数在区间[，]上是增函数，则函数()图像上的点的切线斜率是递增的．答案：．函数＝－的单调减区间是( ). ()∪(－∞，－). (). (－∞，＋∞). (－∞，) 解析：∵＝－的定义域为(，＋∞)，∴′＝－，令′<，即－<，解得：<<或<－.又∵>，∴<<，故选.答案：．设函数()在定义域内可导，＝()的图像如图所示，则导函数＝′()可能为( )解析：由函数的图像知：当<时，函数单调递增，导数始终为正；当>时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选.答案：二、填空题．函数()＝＋－－的单调递增区间是．解析：令′＝＋－>，得<－或>.答案：(－∞，－)，(，＋∞)．函数()＝(>)的单调递增区间是．解析：由′()＝＋·＝＋>，解得>.故()的单调增区间是(，＋∞)．答案：(，＋∞)．设函数()＝(－)－，则()的单调递增区间是，单调递减区间是．解析：′()＝－＋－＝(－)(＋)．当∈(－∞，－)时，′()>；当∈(－)时，′()<；当∈(，＋∞)时，′()>.故()在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－)上单调递减．答案：(－∞，－)和(，＋∞) (－)三、解答题．证明：函数()＝＋在其定义域内为单调递增函数．证明：函数的定义域为{>}，又′()＝(＋)′＝＋，当>时，′()>>，故＝＋在其定义域内为单调递增函数．．已知函数()＝·－＋＋，且＝－和＝是′()＝的两根．()求，的值：()求()的单调区间．。

北师大版高中数学选修1-1导数与函数的单调性同步练习.docx

导数与函数的单调性同步练习一,选择题:1 .函数32()31f x x x=-+是减函数的区间为( )A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2 .在函数xxy83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03.已知函数()y xf x'=的图象如右图所示(其中'()f x是函数()f x的导函数)，下面四个图象中()y f x=的图象大致是( )4.函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )A.18B.41C.21D.15.函数2)sin1(xy-=的导数是( )A.y=2sin2x-cosxB. y=sin2x+2cosxC. y=2sin2x-2cosxD. y=sin2x-2cosx6.抛物线y=(1-2x)2在点x=32处的切线方程为（）A. y=0 B .8x－y－8=0C．x =1 D .y=0或者8x－y－8=07.若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy∆∆=（）A . 4 B. 4Δx C .4+2Δx D . 2Δx二.填空题:8、函数x x x f ln 2)(2-=的单调递增区间是。

9、函数1032)(23+-=x x x f 的单调递减区间为三,解答题10、求下列各函数的导数：（1）xy 2=；（2）xx y sin 2=；（3）x x y =；（4）x e y x =；（5）xx y 1ln +=；（6）)43)(12(22-+-=x x x y 11、确定函数762)(23+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

12、求函数xx y 33+=的单调区间。

参考答案一、选择题1.D2..D3..C4..B5.D.6.B7..C 二、填空题8. )0,21(-和),21(+∞ 9. )1,0(10.解：（1）2ln 2)2(''x x y ==；（2）xxx x x x x x x x x x y 222'2'2'2'sin cos sin 2sin )(sin sin )()sin (⋅-=-==；（3）x x x x x y 2323)()(21'23''====；（4）xe x ex e x e x ey x xxx x2)()()('21'''+=+==；（5）22''''111)1()(ln )1(ln xx x x x x x x y -=-=+=+=；（6）'234'22')43962()]43)(12[(+--+=-+-=x x x x x x x y31818823--+=x x x11、解：由762)(23+-=x x x f ，得x x x f 126)(2'-=令0126)(2'φx x x f -=，解不等式得0πx 或2φx因此，当),2()0,(+∞-∞∈和x 时，函数762)(23+-=x x x f 是增函数令0126)(2'πx x x f -=，解不等式得20ππx因此，当)2,0(∈x 时，函数762)(23+-=x x x f 是减函数 12、解：函数xx y 33+=的定义域为),0()0,(+∞-∞Y 由xx y 33+=，得2222'3')1)(1)(1(333)3(x x x x x x x x y -++=-=+= 令0'φy ，得1-πx 或1φx ；令0'πy ，得10ππx 或01ππx - 所以函数xx y 33+=的单调增区间是),1()1,(+∞--∞和；单调减区间是)1,0()0,1(和-。

北师大版数学高一导数与函数的单调性同步练习

3.1.1 导数与函数的单调性同步练习1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 32.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.3.求下列函数的单调区间(1)y =x x 2+ (2)y =92-x x(3)y =x +x 4．已知函数y =x +x 1，试讨论出此函数的单调区间.参考答案1．(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33) 令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2．解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－a b 2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－ab 2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－a b 2.∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3．(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x ≠0时，－22x＜0，∴y ′＜0. ∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =92-x x 的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).(3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx . 当x ＞0时x 21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞)4．解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x 1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)。

高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性作业1北师大版选修1-1(2021年整理)

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4。

1。

1 导数与函数的单调性［基础达标］1。

函数f（x)＝2x－sin x在（－∞，＋∞）上（）A．是增函数B．是减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A.f′(x)＝2－cos x，因为cos x∈［－1，1］,所以2－cos x＞0恒成立,即f′(x）＞0恒成立，故选A。

2.函数f（x)＝错误!x2－ln x的单调递减区间为（）A．（－1，1）B．(0，1］C．［1，＋∞）D．（－∞，－1)∪（0，1］解析：选B.f′（x）＝x－错误!＝错误!(x〉0),由题意可知错误!得0〈x≤1。

3。

设函数f（x)在定义域内可导，y＝f(x）的图像如图所示，则导函数y＝f′（x）的图像可能为( ）解析:选D。

由y＝f(x）图像可知，x<0时，f（x）是增函数，f′（x）〉0，x〉0时，函数图像先增加后减小再增加，其对应的导数是，先有f′(x)〉0，再有f′（x）<0，最后f′（x)〉0，因此D符合条件．错误!对于R上的任意连续函数f（x），若满足（x－1)f′(x)≥0，则必有( ）A．f(0)＋f(2）<2f（1）B．f（0）＋f（2）≤2f（1)C．f(0)＋f（2）≥2f(1)D．f（0)＋f（2)〉2f（1)解析：选C.由题意，当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，由于函数f(x)为连续函数，所以f′(1)＝0必成立．所以函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞），单调递减区间为(－∞,1），所以f（0)≥f（1)，f(2）≥f(1)，所以f(0）＋f（2)≥2f（1）．5.若函数f（x）＝x2＋ax＋错误!在（1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（）A．[－1，0］B．[－1，＋∞）C．［0，3] D．［3,＋∞)解析:选B。

北师大版数学高二-选修1-1测评15 导数与函数的单调性

学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝f (x )的图像如右图4-1-1所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )图4-1-1【解析】由函数的图像可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f (x )均为减函数，故在这两个区间上，f ′(x )均小于0.【答案】 D2．函数f (x )＝x 3－8x 2＋13x －6的单调减区间为( ) A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，133 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞ D ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－16x ＋13，令f ′(x )<0，得1<x <133.∴函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，133.【答案】 B3．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上分别是( )A ．增加的，增加的B ．增加的，减少的C ．减少的，增加的D ．减少的，减少的【解析】 y ′＝16x －1x ＝16x 2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′＜0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′＞0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增加的．【答案】 C4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)【解析】 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝12x＋1x >0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的， ∴f (2)<f (e)<f (3)．【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．a ≥3B ．a ＞3C ．a ≤3D ．a ＜3【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，又∵0≤3x 2＜3，∴a ≥3，经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减．【答案】 A 二、填空题6．若函数f (x )＝x 3－ax ＋1既有单调增区间，又有减区间，则a 的取值范围是________.【导学号：63470078】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由条件知，f ′(x )＝0需有两个不等实根，∴a >0. 【答案】 (0，＋∞)7．函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在R 上单调递减，则实数m 的范围为________．【解析】 g ′(x )＝－3x 2＋4x ＋m ≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m ≤0，∴m ≤－43.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43 8．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.【答案】－75 三、解答题9．求下列函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝x ＋9x .【解】 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x ，由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝x ＋9x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． ∵y ＝x ＋9x ，∴y ′＝1－9x 2.当y ′>0，即x >3或x <－3时，函数y ＝x ＋9x 单调递增；当y ′<0，即－3<x <0或0<x <3时，函数y ＝x ＋9x 单调递减．故函数y ＝x ＋9x 的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．10．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增加的，求t 的取值范围．【解】由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增加的，则在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立．即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13，x ∈(－1,1)，显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ＝5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞)．[能力提升]1．已知函数y ＝f (x )的图像如图4-1-2所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )图4-1-2【解析】对于选项A，y＝f′(x)的符号变化情况为大于0、小于0、大于0、小于0，反映在函数y＝f(x)的图像上，即得y＝f(x)的单调变化情况为增、减、增、减，满足条件．而其他三个选项均不满足条件．【答案】 A2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是() A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)【解析】由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥1x ，而0<1x<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．【答案】 D3．设命题p：f(x)＝ln x＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是增加的，命题q：m≥－5，则p是q的________条件.【导学号：63470079】【解析】对p，f′(x)＝1x＋4x＋m.∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∴1x＋4x＋m≥0在(0，＋∞)上恒成立．∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1x .∵x >0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1x ≤－4.∴m ≥－4. 又∵q ：m ≥－5，∴“m ≥－4”是“m ≥－5”的充分不必要条件．【答案】充分不必要4．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．【解】 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2， ∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2).。

2018-2019学年高中数学第四章导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性作业2 北师大版选修1-1

4.1.1 导数与函数的单调性[A.基础达标]1．函数y ＝x ln x 在(0，5)上( ) A ．是增加的 B ．是减少的C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，5)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，5)上是减函数解析：选C.y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，当x ＝1e时，y ′＝0，当x ∈(0，1e )时，y ′<0，当x ∈(1e ，＋∞)时，y ′>0，又x ∈(0，5)，即y 在(0，1e )上是递减的，在(1e，5)上是递增的，故选C.2．函数f (x )＝ln x －x 的递减区间为( )A ．(－∞，0)，(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，1)解析：选B.f ′(x )＝(ln x －x )′＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )<0得1－xx<0，所以x (1－x )<0，解得x >1或x <0.又x >0，所以x >1.3．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )解析：选D.由y ＝f (x )图像可知，当x <0时，f (x )是增函数，f ′(x )>0，排除A 、C.当x >0时，函数图像先增加后减少再增加，其对应的导数是，先有f ′(x )>0，再有f ′(x )<0，最后f ′(x )>0，因此D 符合条件．4．若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内是增加的，则m 的取值范围是( )A ．m ≥43B ．m >43C ．m ≤43D ．m <43解析：选A.f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ，由题意f ′(x )≥0在R 上恒成立，即对任意x ∈R ，3x 2＋4x ＋m ≥0，所以m ≥－(3x 2＋4x )，由于－(3x 2＋4x )的最大值是43，故m ≥43.5．对于R 上的任意连续函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：选C.由题意，当x >1时，f ′(x )≥0，当x <1时，f ′(x )≤0，由于函数f (x )为连续函数，所以f ′(1)＝0必成立．所以当f ′(x )恒为0时，函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，在(－∞，1)上是减少的，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)．所以f (0)＋f (2)>2f (1)，当f ′(x )＝0恒成立时，f (x )为常数函数，f (0)＝f (2)＝f (1)，即f (0)＋f (2)＝2f (1)．所以f (0)＋f (2)≥2f (1)．6．函数f (x )＝e xcos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5的大小关系为________．解析：因为f ′(x )＝e x (cos x －sin x )＝2e xsin(π4－x )，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是函数f (x )的一个递增区间，又0<π6<π5<π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5. 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 7．函数y ＝12x 2－ln x 的递减区间为________．解析：因为y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x 2－1x，所以由y ′<0得0<x <1.答案：(0，1)8．函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，所以Δ＝(－2a )2－4>0得a 2>1，解得a <－1或a >1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3－6x －1.(1)求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－6，所以f ′(2)＝6，因为f (2)＝－5，所以切线方程为y －(－5)＝6(x －2)，所以y ＝6x －17，即6x －y －17＝0.(2)令f ′(x )>0，则3(x 2－2)>0，所以x >2或x <－2，同理，令f ′(x )<0，则－2<x < 2.所以f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增加的， f (x )在(－2，2)上是减少的．10．已知函数f (x )满足f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ＋C (其中f ′(23)为f (x )在点x ＝23处的导数，C 为常数)．(1)求函数f (x )；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)由f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ＋C ，得f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1.取x ＝23，得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×(23)－1，解之，得f ′(23)＝－1，所以f (x )＝x 3－x 2－x ＋C .(2)由(1)得f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3(x ＋13)(x －1)，令f ′(x )>0得x <－13或x >1；令f ′(x )<0得－13<x <1.所以f (x )在(－∞，－13)和(1，＋∞)上是增加的；f (x )在(－13，1)上是减少的．[B.能力提升]1．已知函数f (x )＝13x 3＋x ，x ∈R ，如果至少存在一个实数x ，使f (a －x )＋f (ax 2－1)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1－22，＋∞)B ．(－2，54]C ．(－∞，1＋22) D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选C.f ′(x )＝x 2＋1>0，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数且在R 上递增，由f (a －x )＋f (ax 2－1)<0得f (ax 2－1)<f (x －a )，即ax 2－1<x －a ，亦即ax 2－x ＋a －1<0有实数解，当a ＝0时，显然有实数解，当a <0时，也有实数解，当a >0时，需Δ＝(－1)2－4a (a －1)>0，即4a 2－4a －1<0，解得0<a <1＋22，综上，a 的取值范围是a ∈(－∞，1＋22)．2．定义在R 上的函数f (x )，g (x )的导函数分别为f ′(x )，g ′(x )且f ′(x )<g ′(x )．则下列结论一定成立的是( )A ．f (1)＋g (0)<g (1)＋f (0)B ．f (1)＋g (0)>g (1)＋f (0)C ．f (1)－g (0)>g (1)－f (0)D ．f (1)－g (0)<g (1)－f (0)解析：选A.令h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈R )，因为f ′(x )<g ′(x )(x ∈R )，所以h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0(x ∈R )，即h (x )＝f (x )－g (x )在R 上为减函数，所以h (0)>h (1)，即f (0)－g (0)>f (1)－g (1)，所以f (1)＋g (0)<g (1)＋f (0)．3．已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且f (2)＝f (4)＝1，f ′(x )是f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，f （2x ＋y ）≤1，所表示的平面区域的面积是________．解析：由f ′(x )的图像易知，当x ∈(1，3)时，f ′(x )<0，当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，3)上是递减的，在(3，＋∞)上是递增的，又x ∈(1，＋∞)且f (2)＝f (4)＝1，故由f (2x ＋y )≤1得2≤2x ＋y ≤4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2≤2x ＋y ≤4，画出可行域如图阴影部分所示．S 阴＝12×2×4－12×1×2＝3.答案：34．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )<2x ＋1，则不等式f (2x )<4x 2＋2x ＋1的解集为________．解析：由f (2x )<4x 2＋2x ＋1得f (2x )－(4x 2＋2x )＋2<3.令u ＝2x ，则f (u )－(u 2＋u )＋2<3.①记F (u )＝f (u )－(u 2＋u )＋2，则F (1)＝f (1)＝3，则①式可化为F (u )<F (1)．因为f ′(x )<2x ＋1，所以F ′(u )＝f ′(u )－(2u ＋1)<0，所以F (u )在R 上是递减的．故由F (u )<F (1)得u >1，即2x >1，故x >12.答案：(12，＋∞)5．当0<x <π2时，求证：tan x >x ＋x 33.证明：设f (x )＝tan x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′－1－x 2＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －1－x 2 ＝1cos 2x－1－x 2＝1－cos 2x cos 2x －x 2 ＝tan 2x －x 2＝(tan x ＋x )(tan x －x )．因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >x >0.所以f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是递增的．又f (0)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，即tan x >x ＋x 33. 6．(选做题)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x ＋2ax，定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x 2＋ax)，当a ≥0时，f ′(x )≥0，此时函数的递增区间为(0，＋∞)，没有递减区间．当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±－a ，因为x >0，所以x ＝－a ，x ∈(0，－a )时，f ′(x )<0；x ∈(－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，此时函数的递增区间为(－a ，＋∞)，递减区间为(0，－a )．(2)由g (x )＝2x ＋f (x )，g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x ，g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，g (x )在[1，2]上是递减的，所以对于x ∈[1，2]，g ′(x )≤0恒成立，即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0，x ∈[1，2]恒成立，所以a ≤1x－x 2，x ∈[1，2]恒成立，令h (x )＝1x －x 2，x ∈[1，2]，h ′(x )＝－1x2－2x ，当x ∈[1，2]时，h ′(x )<0，所以h (x )在[1，2]上为减函数，则h (x )min ＝h (2)＝－72，x ∈[1，2]，所以a ≤－72.。

北师大版高中数学选修1-1单元优选卷-导数的单调性与极值

单元优选卷（12）导数的单调性与极值1、已知21()cos 2f x x x =-,[]1,1x ∈- ,则导函数'()f x 是( ) A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的奇函数 2、函数313y x x =+-有( ) A.极小值-1,极大值1 B.极小值-2,极大值3 C.极小值-2,极大值2 D.极小值-1,极大值33、函数3()3f x x ax a =--在()0,1内有最小值,则a 的取值范围是( )A. 01a ≤<B. 01a <<C. 11a -<<D. 102a <<4、函数()2sin f x x x =-在(,)-∞+∞上( )A.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值 5、设曲线1cos sin x y x +=在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线10x ay -+=平行,则实数a 等于( )A. 1-B.12C. 2-D. 26、函数()323+3f x x x x a =+-的极值个数是( )A. 2B. 1C. 0D.与a 值有关7、函数()323922y x x x x =---<<有( )A.极大值5,极小值27-B.极大值5,极小值-11C.极大值5,无极小值D.极小值27-,无极大值8、已知函数()(),f x g x 均为[],a b 上的可导函数,在[],a b 上连续且()()''f x g x <,则()()f x g x -的最大值为( )A. ()()f a g a -B. ()()f b g b -C. ()()f a g b -D. ()()f b g a -9、函数32343x y x x =+--在[]0,2上的最小值是( ) A. 173- B. 103-C. 4-D. 643-10、当函数2xy x =⋅取极小值时, x = ( )A. 1ln 2B. 1ln 2-C. ln 2-D. ln 211、若函数2()1x af x x +=+在1x =取极值,则a =__________12、函数()()[]()43401,4f x ax ax b a x =-+>∈的最大值为3,最小值为6-,则ab =__________.13、已知函数()12ax f x x +=+在()2,-+∞上单调递减,则a 的取值范围是__________. 14、函数ln y ax x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增,则a 的取值范围为__________. 15、函数()3f x x x=+在[)2,+∞上的最小值为__________. 16、已知函数()ln a x bf x x+=(其中2a ≤且0a ≠),函数() f x 在点()()1,1f 处的切线过点(3,0).1.求函数() f x 的单调区间2.若函数() f x 与函数()22g x a x x=+--的图像在(]0,2有且只有一个交点,求实数a 的取值范围17、已知函数()322f x x bx cx =+++在2x =-和23x =处取得极值. 1.确定函数()f x 的解析式; 2.求函数()f x 的单调区间.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：求导可得()sin f x x x +'=,显然'()f x 是奇函数,令()()h x f x '=,则()sin h x x x =+,求导得'()1cos h x x =+.当[]1,1x ∈-时,()0h x '>,所以()h x 在[]1,1-上单调递增,有最大值和最小值.所以'()f x 是既有最大值又有最小值的奇函数.2答案及解析：答案：D解析：2'33y x =-,令0y '=,解得1x =±,由单调性易判断当1x =时,有极大值3y =,当1x =-时,有极小值1y =-.3答案及解析：答案：B解析：设22()333()f x x a x a ==-'-,若0a =,则2'()3f x x =,当(0,1)x ∈时, '()0f x >,()f x 在(0,1)是增函数,所以无最小值,排除A 、C.当12a =时, 21()32f x x ⎛⎫=- ⎝'⎪⎭,令'()0f x =，2x =±,∴当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时, '()0f x <,()f x 是减函数;当,12x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时, '()0f x >.()f x 时增函数,∴当2x =时, ()f x 有最小值,排除D,故选C.4答案及解析：答案：A解析：∵()2sin f x x x =-,∴()2cos f x x =-';因为()2cos 0f x x =->'恒成立, 所以()2sin f x x x =-在(,)-∞+∞上是增函数.故选A.5答案及解析：答案：A 解析：21'cosx y sin x -=,所以在2x π=处的斜率为1-.由条件知11a=-,解得1a =-.6答案及解析：答案：C解析：本题考查函数的极值.. 由()32+33f x x x x a =+-得()2'363f x x x =++;因为()2'3(21)f x x x =++23(1)0x =+≥恒成立,所以()3233f x x x x a =++-为单调增函数,所以无极值点.7答案及解析：答案：C解析：3239y x x x =--,∴()()2'369313y x x x x =--=+-令0y '=得1x =-,当()2,1x ∈--时0y '>,当(1,2)x ∈-时0y '<,所以函数在1x =-处取得极大值5,无极小值考点: 函数极值点评:求函数极值的步骤:1,求函数定义域,2,求函数导数,3,令导数为零得极值点,4判定极值点分成的若干区间内的导数正负从而确定是极大值还是极小值8答案及解析：答案：A 解析：令()()()[],,h x f x g x x a b =-∈, 则()()()'''0h x f x g x =-<. ∴()h x 是[],a b 上的减函数.∴()()()()()max max h x f x g x f a g a ⎡⎤⎣=⎦=--.故选A.9答案及解析：答案：A 解析：2'23y x x =+-,令0y '=,得3x =-或1x =,∵[]0,2x ∈,∴1x =. ∵()()()171004,1,233f f f =-=-=-, ∴min 173y =-,选A.10答案及解析：答案：B 解析：由2xy x =⋅,得'22ln 2xxy x =+⋅⋅.令0y '=,得()21ln 20xx +⋅=.∵20x >,∴1ln 2x =-.11答案及解析：答案：3解析：22222(1)()2()(1)(1)x x x a x x a f x x x +-++-'==++,又'(1)0f =,∴304a-=,∴3a =.12答案及解析：答案：1 解析：13答案及解析：答案：12a <∵()()2212a f x x -+'=且函数()f x 在()2,-+∞上单调递减,∴()'0f x ≤在()2,-+∞上恒成立.∴12a ≤. 当12a =时, ()'0f x =恒成立,不合题意,应舍去.∴12a <.14答案及解析：答案：[)2,+∞ 解析： ∵1'y a x =-,∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上'0y ≥, 即10a x -≥,∴1a x ≥.由12x >,得12x <. 要使1a x≥恒成立,只需2a ≥.15答案及解析：答案：72解析：16答案及解析：答案：1. ()ln a x bf x x +=()()2ln 1,'a b a xf b f x x --∴==()'1f a b ∴=-∴函数() f x 在()()1,1f 处的切线方程为()()1y b a b x -=--, ∵切线过点(3,0),()()031b a b ∴-=--,即2b a =, ()()22ln 12ln 'a x a a a xf x x x ---∴==-令()'0f x =,解得1x e =, ①当(]0,2a ∈时, 10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增, 1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递减②当(),0a ∈-∞时, 10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减, 1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递增 2.原题等价方程ln 222a x a a x x x-=+--在(]0,2只有一个根,即()22ln 220x a x a x a -++++=在(]0,2只有一个根, 令()()22ln 22h x x a x a x a =--+++,等价函数()h x 在(]0,2与轴只有唯一的交点, ()()()21'x a x h x x--∴=①当0a <时, ()h x 在()0,1x ∈递减, (]1,2x ∈递增,当趋近于0,()h x 趋近于正无穷要是函数()h x 在(]0,2与轴只有唯一的交点需()10h =或()20h <, 所以 1a =-或2ln 2a <-②当()0,2a ∈时, ()h x 在0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递增, ,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递减, (]1,2x ∈递增, 因为()1102a h h a ⎛⎫>=+> ⎪⎝⎭,当趋近于0,()h x 趋近于负无穷,因为()45420h e e e ---=--<, 所以()h x 在0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与轴只有唯一的交点 ③当2?a =时, ()h x 在(]0,2的递增, ∵()()45420,22ln20h e e e h ---=--<=+> ,∴函数()h x 在(]0,2与轴只有唯一的交点, 综上所述, a 的取值范围是 1a =-或2ln 2a <-或02a <≤.解析：17答案及解析：答案：1. ()2'32f x x bx c =++.因为在2x =-和23x =处取得极值, 所以22,3-,为2320x bx c ++=的两个根,所以222332233b c⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以24b c =⎧⎨=-⎩所以()32242f x x x x =+-+.2. ()2'344f x x x =+-.令()'0f x >,则2x <-或23x >, 所以函数()f x 的单调递增区间为()2,2,,3⎛⎫⎪⎝∞-+∞⎭-; 令()'0f x <,则223x -<<,所以函数()f x 的单调递减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.解析：。

北师大版高中数学【选修1-1】 4.1.1导数与函数的单调性练习课时作业含答案

2015-2016学年高中数学 4.1.1导数与函数的单调性练习北师大版选修1-1一、选择题1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，6)上是增函数 D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，6)上是减函数 [答案] A[解析] ∵0<x <6，∴f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0,6)上单调递增．2．设f (x )＝x 2(2－x )，则f (x )的单调增区间是( ) A ．(0，43) B ．(43，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(43，＋∞)[答案] A[解析] f (x )＝x 2(2－x )＝2x 2－x 3，f ′(x )＝4x －3x 2，令f ′(x )>0，得0<x <43，故选A.3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0，有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0′，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 [答案] B[解析] 由已知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∵x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0， ∴f (x )，g (x )在(0，＋∞)上递增． ∴x <0时，f (x )递增，g (x )递减． ∴x <0时f ′(x )>0，g ′(x )<0.4．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能的是( )[答案] C[分析]由导函数f′(x)的图像位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图像，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图像知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.5．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()[答案] D[解析]函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则f′(x)在(－∞，0)上恒大于0，排除A、C；函数f(x)在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f′(x)在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正，故D选项符合．6．(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是() A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)[答案] D[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．二、填空题7．函数f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6的单调递减区间为________． [答案] (13，3)[解析] f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝(3x －1)(x －3)，令f ′(x )<0，得13<x <3，故函数f (x )的单调递减区间为(13，3)．8．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝____________. [答案] 92[解析] 令f ′(x )＝3x 2－2mx ＝0，解得x ＝0或x ＝23m ，所以23m ＝3，m ＝92. 三、解答题9．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x －ln x ； (2)f (x )＝x2＋cos x ； (3)f (x )＝x ＋bx (b >0)．[答案] (1)f (x )在(12，＋∞)上为增函数，在(0，12)上为减函数 (2)f (x )在(2k π＋π6，2k π＋5π6)(k ∈Z )上为减函数，在(2k π－7π6，2k π＋π6)(k ∈Z )上为增函数 (3)单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞) 单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )[解析] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )＝2－1x . 令2－1x >0，解得x >12；令2－1x <0，解得0<x <12.故函数f (x )在(12，＋∞)上为增函数，在(0，12)上为减函数． (2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝12－sin x .令12－sin x >0，解得2k π－7π6<x <2k π＋π6(k ∈Z )；令12－sin x <0，解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6(k ∈Z )．故函数f (x )在(2k π＋π6，2k π＋5π6)(k ∈Z )上为减函数，在(2k π－7π6，2k π＋π6)(k ∈Z )上为增函数. (3)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x )＝(x ＋b x )′＝1－bx 2，令f ′(x )＞0，则1x 2(x ＋b )(x －b )＞0， ∴x ＞b ，或x ＜－b .∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)．令f ′(x )＜0，则1x 2(x ＋b )(x －b )＜0， ∴－b ＜x ＜b ，且x ≠0.∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R )的图像过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[答案] (1)a ＝4，b ＝－3 (2)增区间(－∞，－3)，(13，＋∞)，减区间(－3，13) [解析] (1)∵函数f (x )的图像过点P (1,2)， ∴f (1)＝2. ∴a ＋b ＝1.①又函数图像在点P 处的切线斜率为8， ∴f ′(1)＝8，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴2a ＋b ＝5.② 解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3，令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13；令f ′(x )<0，可得－3<x <13.∴函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13).一、选择题1．下面4个区间中，函数y ＝x sin x ＋cos x 在上面为增函数的是( ) A ．(π2，3π2) B ．(π，2π) C ．(3π2，5π2) D ．(2π，3π)[答案] C[解析] y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈(3π2，52π)时，y ′>0；函数单调增． 2．函数y ＝x ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－∞，e －1)B ．(e －1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．(0，e －1)[答案] D[解析] 函数的定义域为x ∈(0，＋∞)，令y ′＝ln x ＋1<0，ln x <－1，解得x <e －1，所以单调递减区间为(0，e －1)．3．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )[答案] A[解析] ∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A. 4．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝f ′(x )的图像可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图像知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.二、填空题5．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是____________． [答案] a ＜0[解析] 由题知f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12a >0，∴a <0. 6．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，12)[解析] f ′(x )＝a x ＋2－ax －1x ＋22＝2a －1x ＋22，由题意得x >－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数， ∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)．三、解答题7．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11). (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．[答案] (1)a ＝1，b ＝－3 (2)增区间(－∞，－1)，(3，＋∞) 减区间(－1,3) [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．8．已知f(x)＝e x－ax－1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[答案](1)a≤0(2)a＝1[解析](1)∵f(x)＝e x－ax－1，∴f′(x)＝e x－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝e x－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤e x，x∈R恒成立．∵x∈R时，e x∈(0，＋∞)，∴a≤0.(2)f′(x)＝e x－a.若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立⇒a≥(e x)max.当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，∴a≥1. ①若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立⇒a≤(e x)min.当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1. ②由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．。