线性代数教案

线性代数教案

课程名称：《线性代数》

授课主题：矩阵的基础知识

授课教师：计算机系张广云

授课对象：高起专层次计算机专业学生

授课时间：2010年2月28日一个课时

目的要求：1、了解这门课程的主要作用

2、理解矩阵计算的基本原理

3、具备基础的编程能力

4，掌握函数的及相关参数的应用

5、通过对具体实例的分析，使学生在思考问题、解决问题的全面性、逻辑

性方面得到锻炼，提高学生分析问题、解决问题的能力。

内容重点：1.线性代数的一些基本概念

2. 矩阵的认识

3. 矩阵的运算

内容难点：矩阵的运算

教学方法：1、网上直接答疑解决学生问题，方便灵活。

2、用对比、比较的方法分析不同的编程，便于学生理解和记忆；

3、在整个程序分析的过程中，不断联系、运用学过的知识，使学生在不断

复习旧知识的过程中，自然而然掌握了新知识。

第一章：矩阵

1. 矩阵的概念

2． 矩阵的运算

{

θ

θsin cos y x x '-'=θ

θcos sin y x y '+'=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-θθθθcos

sin sin cos

例1.1 平面直角坐标系中,坐标轴绕原点沿逆时针方向 旋转θ角,点M 的新坐标(x ΄,y ΄)与旧坐标(x,y)之间的关系 为

定义A B ,1.3矩阵加法

对于n m ij a ⨯=)(n

m ij b ⨯=)(规定n

m ij ij b a B A ⨯+=+)(

注意：

3．方阵的逆矩阵

如 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡888520234201654321.1111

12

不能相加与例如，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 1

101,,,,?n n n n n a a a ax b x a b A B BA I Ax b x Bb --⨯⨯≠⇒======常数有唯一解，对于方阵是否存在使若是，则方程组有唯一解

定义1.7(逆矩阵)

单位阵 I : I -1 = I 对角阵:

定理1： 若方阵A 可逆,则A 的逆阵唯一 定理2：(1)若A 可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A; (2)若k(≠0)∈R,A 可逆,则kA 也可逆,且(kA)-1=k-1A-1 (3)若A,B 为同阶可逆阵,则AB 也可逆,且(AB)-1=B-1A-1; 4)若A 可逆,则AT 也可逆,且(AT)-1=(A-1)T; 例

,n n n n A A B B A ⨯⨯可逆矩阵逆矩阵逆对于方阵若存在方阵使则称，并称为的，简称

为阵.

n AB =BA =I .）；（

0...,,,11≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=n n d d d d D )

0(,11

≠=-k I k kI ）（2

13)(,0A A I A I A I A A ++=--=-且可逆，证明：满足若方阵

证:

4.分块矩阵及其运算 ▪ 子矩阵,前主子矩阵

▪ 分块矩阵—用一些横线和纵线(穿过矩阵)将矩阵分成为若干个矩形的子块(子矩阵),以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.

5.初等变换与初等方阵

[][]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=43

21,88,

00,24382180022221

121122211211A A A A A A A A A 其中如22223()()()()I A I A A I A A I A I A A A A A I

-++=++-=++---= 12

()I A I A I A A ---=++所以可逆,且

定义(初等变换) 矩阵的3种初等行(列)变换：

定义(矩阵等价) 等价矩阵的简单性质： 1) 自反性： 2) 对称性： 3) 传递性 行阶梯形矩阵的特点

(1)若有零行,则零行全部在矩阵的下方.

(2)从第一行起,每行第一个非0元素前面的零的个数逐行增加. 定理3 任一非零矩阵A,都可以通过有限次初 等行变换把它化为阶梯型矩阵

定理4 (初等变换与初等方阵的关系)

));

(,()()1(j i j i c c r r j i ↔↔记为的位置列两行、互换(2)()(,())

i i k i kr kc 用非零数乘第行列记为(3)()()(,())

i j i j i k j kr r kc c ++把第行列的倍加到第行列上去记为B

A ≅C

A C

B B A A B B A A

A ≅≅≅≅≅≅则若则若,,,

定理5初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也为同型的初等矩阵，且有：

定理6非退化矩阵经过初等变换后仍为非退化矩阵，而退化矩阵经过初等变换后仍为退化矩阵。

定理7 对任一 非零矩阵A,必可经过有限次初等变换之后都可化为标准形 定理8

定理9任一可逆方阵A 必可通过若干次初等行变换化成同阶单位矩阵I. 定理10 例如： 解：

第二章 行列式

行列式是代数学中一个重要的工具，利用它可以用来判断一个n 阶矩阵是否可逆；

000r I ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

之积

可以写成若干初等方阵可逆方阵A A ⇔B

PAQ Q P B A n n m m n m n m =∃⇔⨯⨯⨯⨯使得及可逆方阵可逆方阵等价与,010100

110001,100

11

1X X ⎡⎤

⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

若试求1

1

1

01

00110001100

11

10

1

01

01

0011

0001011000

11111X X --⎡⎤

⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

⎣⎦

由可得