高三数学(理)高考总复习课时跟踪检测 (四十) 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 Word版含解析

课时跟踪检测(四十)空间几何体的结构特征及三视图与直观图
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1．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()
解析：选D几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．
2．下列说法正确的是()
A．棱柱的两个底面是全等的正多边形
B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形
C．{直棱柱}⊆{正棱柱}
D．{正四面体}⊆{正三棱锥}
解析：选D因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱}，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确．3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()
A．三棱锥B．四棱锥
C．四棱台D．三棱台
解析：选A因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三
角形，故该几何体为三棱锥．
4．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长
为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO的形状为________，
面积为________cm2．
解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4 cm，宽为2
cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2．
答案：矩形8
5．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩
形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个
点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；②有三个面为直
角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直
角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是________．
解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图，
ABCD-A1B1C1D1，如图，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知①正
确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知②正确；易知③不正确．
答案：①②
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1．已知底面为正方形的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()
解析：选C根据三视图的定义可知A、B、D均不可能，故选C．
2．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D 是△ABC 的BC
边中点，AB ，BC 分别与y ′轴、x ′轴平行，则三条线段AB ，AD ，AC 中( )
A ．最长的是A
B ，最短的是A
C B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是A
D D ．最长的是AC ，最短的是AD
解析：选B 由条件知，原平面图形中AB ⊥BC ，从而AB ＜AD ＜AC ．
3．(2016·沈阳市教学质量监测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )
A ．三棱台
B ．三棱柱
C ．四棱柱
D ．四棱锥
解析：选B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱．
4．(2016·淄博一模)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成
的三棱锥A -BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
A ．2
2 B ．12
C ．
24
D ．14
解析：选D 由正视图与俯视图可得三棱锥A -BCD 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为
22，所以侧视图的面积为S ＝12×22×22＝14
．
5．已知四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P -ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )
A ．3
B ．2 5
C ．6
D ．8
解析：选C 四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连
接PM ，PN ，则PM ＝3，PN ＝5，S △PAD ＝1
2
×4×5＝25，
S △PAB ＝S △PDC ＝1
2×2×3＝3，
S △PBC ＝1
2
×4×3＝6．
所以四个侧面中面积最大的是6． 6．设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．
解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．
答案：①④
7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm ．
解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C ． 在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5 (cm)．
∴AB ＝
122＋52＝13(cm)．
答案：13
8．已知正四棱锥V -ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．
解析：如图，取正方形ABCD 的中心O ，连结VO ，AO ，则VO 就是
正四棱锥V -ABCD 的高．
因为底面面积为16，所以AO ＝22． 因为一条侧棱长为211． 所以VO ＝
VA 2－AO 2＝
44－8＝6．
所以正四棱锥V -ABCD 的高为6． 答案：6
9．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________．
解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，
O ′C ′＝12OC ＝3
2，
C ′
D ′＝O ′C ′sin 45°＝
32×22＝6
4
． 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝6
4．
答案：
64
10．已知正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．
解：(1)直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝
42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝1
2×23×23＝6．
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1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
解析：选C 画出直观图，共六块．
2．(2017·湖南省东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )
A ．4 3
B ．8 3
C ．47
D ．8
解析：选C 设该三棱锥为P -ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA ＝4，则由三视图可知△ABC 是边长为4的等边三角形，故PB ＝PC ＝42，所以S △ABC ＝1
2×4×23＝43，S △PAB ＝S △PAC
＝12×4×4＝8，S △PBC ＝1
2×4×(42)2－22＝47，故四个面中面积最大的为S △PBC ＝47，
选C ．
3．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA ．
解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，
其面积为36 cm 2．
(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝
62＋62＝62．
由正视图可知AD ＝6， 且AD ⊥PD ，
所以在Rt △APD 中， PA ＝PD 2＋AD 2＝
(62)2＋62＝63cm ．。