充要条件和四种命题]

课时作业(三) [第3讲 充要条件和四种命题]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．已知命题p ：若x ＝y ，则x ＝y ，那么下列叙述正确的是( )
A ．命题p 正确，其逆命题也正确
B ．命题p 正确，其逆命题不正确
C ．命题p 不正确，其逆命题正确
D ．命题p 不正确，其逆命题也不正确
2．若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )
A ．1≤a ≤3
B ．－1≤a ≤1
C ．－3≤a ≤1
D ．－1≤a ≤3
3．记等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N *)”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
能力提升
5．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d ，则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件的，③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件．其中真命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．[2011·锦州模拟] “a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
8．[2011·长沙一中月考] 已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在R 上为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是( )
A ．a ≤23
B ．0<a <12
C.12<a ≤23
D.12
<a <1 9．在下列四个结论中，正确的有________(填序号)．
①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件；
②“⎩
⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；
④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件．
10．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
11．[2011·福州期末] 在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的________
条件．
12．(13分)已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.
难点突破
13．(12分)[2011·厦门检测] 已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －3a －1<0，B ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12
时，求(∁U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
课时作业(三)
【基础热身】
1．C [解析] 当x 、y 为负值时，命题p 不正确，而当x ＝y 时，有x ＝y ，故p 的逆命题正确．
2．D [解析] x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立，所以(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3.
3．D [解析] 可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8公比为2，但不是增数列；
②如数列：－1，－12，－14，－18是增数列，但是公比为12
<1. 4．A [解析] 因为两直线平行，则(a 2－a )×1－2×1＝0，解得a ＝2或－1，所以选A.
【能力提升】
5．B [解析] 显然，充分性不成立．若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b ，
即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”．
6．B [解析] 命题①在c ＝0时不正确，即“a ＝b ”只是“ac ＝bc ”的充分不必要条件；注意到无理数的概念与实数的加法运算，可知命题②是真命题；命题③在a 、b 是负数时不正确，∴命题③为假命题．由不等式的性质，若a <3，必有a <5，∴命题④是真命题．综上所述，命题②④是真命题．
7．A [解析] 函数y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π⇔a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A.
8．C [解析] 已知命题p 为真，则3a 2≤1，∴a ≤23
；已知命题q 为真，则0<2a －1<1，∴12<a <1；综合以上得12<a ≤23
. 9．①②④ [解析] 根据命题的等价性，结论①正确；根据二次函数图象与不等式的关系，结论②正确；结论③即x 2＝1是x ＝1的充分不必要条件，显然错误；x ≠0也可能x ＋|x |＝0，故条件不充分，反之x ≠0，结论④正确．
10．[－3,0] [解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；
当a ≠0时，得⎩
⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0， 故－3≤a ≤0.
11．充要 [解析] AB →·AC →＝BA →·BC →⇔AB →·AC →－BA →·BC →＝0⇔AB →·(AC →＋BC →)＝0⇔(AC →－
BC →)(BC →＋AC →)＝0⇔BC →2＝AC →2⇔|AC →|＝|BC →|，
于是“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的充要条件．
12．[解答] 证法一：证明：充分性：若a 2－b 2＝1，
则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2
＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1，
所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．
必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1，则a 4－(b 2＋1)2＝0，
即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0，
因为a ，b 是实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1，所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．
综上所述，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.
证法二：证明：a 4－b 4－2b 2＝1⇔a 4＝b 4＋2b 2＋1⇔a 4＝(b 2＋1)2⇔a 2＝b 2＋1，
∴a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2＝b 2＋1.
【难点突破】
13．[解答] (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12<x <94，所以(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
94
≤x <52. (2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知B ⊇A .
因为a 2＋2>a ，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．
当3a ＋1>2，即a >13
时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}， 由⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52. 当3a ＋1＝2，即a ＝13
时，A ＝∅符合题意； 当3a ＋1<2，即a <13
时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 由⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13. 综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12
，3－52.。