高中数学二项式赋值求某些项系数的和与差练习题

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高二数学二项式定理与性质试题

高二数学二项式定理与性质试题1.二项式的展开式中含的项的系数是．【答案】【解析】由于，因此的系数为【考点】二项展开式的通项公式.2.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．-2835B．2835C．21D．-21【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中各项系数和为解得，，由得，因此系数为，答案选A。

【考点】二项式定理3.设（是正整数），利用赋值法解决下列问题：（1）求；（2）为偶数时，求；（3）是3的倍数时，求。

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】（1）为二项式展开式中每一项的二项式系数，令可求得，即的值，（2）为的展开式中偶数项的二项式系数，令可得的值，再与相加即可得，(3)利用复数次方的性质，构造方程，从而求得的值。

试题解析：令，（1），所以（2），所以（3）记，则。

当时，，当时，，记，，，，，则从上到下各式分别乘以，求得。

即【考点】（1）赋值法的应用；（2）复数性质的应用。

4.在展开式中,常数项等于 .【答案】【解析】由通项公式：设第r+1项为常数，则=，所以6-r=r,即r=3;那么常数项为，故答案为.【考点】二项式定理系数的性质;二项式定理的应用．5. (1)求证：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除；(2)求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．【答案】(1)见解析 (2)见解析【解析】证明：(1)原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(Cn 05n＋Cn15n－1＋Cn25n－2＋…＋Cnn)＋5n－4＝4(Cn 05n＋Cn15n－1＋…＋Cnn-2·52＋Cnn-1·51＋1)＋5n－4＝4(Cn 05n＋Cn15n－1＋…＋Cnn-2·52)＋25n，以上各项均为25的整数倍，故得证．(2)因为1＋3＋32＋…＋33n－1＝＝ (33n－1) ＝ (27n－1)＝ [(26＋1)n－1]．而(26＋1)n－1＝Cn 026n＋Cn126n－1＋…＋Cnn-126＋Cnn260－1＝Cn 026n＋Cn126n－1＋…＋Cnn-126因为n为大于1的偶数，所以原式能被26整除．6.已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：(1)含x3的项；(2)系数最大的项．【答案】(1) 210x3 (2)【解析】解：由题意知，Cn n-2＝45，即Cn2＝45，∴n＝10.(1)Tr＋1＝C10r(x－)10－r，令＝3，得r＝6.∴含x3的项为T6＋1＝C106x3＝C104x3＝210x3.(2)系数最大的项为中间项，∴T6＝C105.7.n的展开式中，常数项为15，则n＝________.【答案】6【解析】n的通项为Tr＋1＝C n r x2(n－r)·(－1)r·x－r＝(－1)r·C n r·x2n－3r. 令2n－3r＝0，则2n＝3r，即r＝n.当n＝3时，r＝2，Tr＋1≠15，当n＝6时，r＝4，Tr＋1＝15.8.已知展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和。

高二数学“二项式定理”同步训练(有详细答案)

—第1页—高二数学“二项式定理”同步训练（一）参考答案班级姓名学号一．选择填空题1．()()()()()=+++++---2012112019120205lg 5lg 2lg 5lg 2lg 2lg r r r C C （ A ）A ．1B ．()207lgC ．202D ．20102．在()5223++x x 的展开式中x 的系数为（ B ）A ．160B ．240C ．360D ．800 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ B ）A ．4 B. 5 C. 6 D. 84． 3)2||1|(|-+x x 展开式中的常数项的值是 ( A )A ．–20B ．20C ．–15D ．-28 5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（ D ）A ．0B ．pqC ．22p q +D ．22p q -6．若(1-2x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值范围是 ( B ) A ．x ＜-101B ．-101＜x ≤0 C ．-41≤x ＜101 D ．-41≤x ≤07. 已知()nx 21+的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中3x 项的系数是( C ) A ．56 B ．80 C ．160 D ．180 8. 由100)233(+x 展开所得的x 的多项式中系数为有理数共有 ( A ) A ．51项 B ．17项 C ．16项 D ．15项9．（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项（ D ） A ．第1n -项B ．第n 项C ．第1n -项与第1n +项D ．第n 项与第1n +项10. ()1021x +的展开式中系数最大的项是（ D ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项二．填空题11．)()4511x -展开式中4x 的系数为 45 ，各项系数之和为 0 ．12. 多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++- （6n >）的展开式中，6x 的系数为 1 ．13. ()()()()44321111x x x x ++++ 的展开式中x 的系数是______ 990 ．14. 5522105)2(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=++++420531a a a a a a 122121-．三．解答题15．若()nx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-11log 5的展开式中各奇数项二项式系数之和为32，中间项为2 500，求x ．解：∵各奇数项的二项式系数之和为1232n -=∴6n =∴中间项为2500)(20)()1(log3)1(log336455===--x x x x C T∴5(log 1)33]5x-=5log15555(log 1)1(log 1)log 2x x x x -=-=-=∴∴∴ 25555(log )log20log 1log 21255x xx x xx --==-===∴∴∴或或 16．已知)0,()1()(*212≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含n x 项的系数相等，求实数m 的取值范围.解： 21()n x m ++的展开式的通项为1r T +则：21121r n rr r n T C xm +-++=⋅ ∴由已知可得：21n r n +-= ∴1r n =+此展开式中n x 的系数为1121n n n C m +++ 又∵21)n m x +（的展开式中n x 的系数为2n n n C m ⋅∴由已知可得：11212n n n nn n C m C m +++=即：212n n n n C m C +⋅= ∴111(1)21221n m n n +==+++，m 为n 的减函数∵n N *∈∴12m >又当1n =时， m ax 23m =∴1223m <≤∴所求m 的取值范围为：12(,]2317．求（2x-1）5的展开式中：（1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和；（4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和．—第3页—18．已知nxx x )1(3+展开式中前三项系数之和为37．（1）求x 的整数次幂的项；（2）求展开式中二项式系数最大的二项式系数．解：由已知可得：37210=++n n n C C C ，即：(1)12n n n -++=37∴2720n n +-=8=∴n 或9-=n （舍去）．（1）7211861881(rrrrr r T C C x--+==，r ∴必为6的倍数，且08,r ≤≤06r ∴=或x ∴的整数次幂的项为x T x T 28,7121==．（2）由8=n 知展开式共9项，最大的项式系数为5658=C ．19. 若某一等差数列的首项为112225113nn nn C A ----，公差为m x x)5225(32-的常数项，其中m 是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解：由已知得： 1125{22113n n n n -≤-≤-，∴111375n ≤≤n N ∈又 12100n a ∴=∴=，首项注意到45)176(777777-==+=d m ，进而知公差，可得，从而等差数列的通项公式是：n a n 4104-=，设其前k 项之和最大，则)1(410404104{<+-≥-k k ，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，13002625==S S ．。

二项式定理应用常见题型大全含答案

二项式定理应用常见题型大全一．选择题（共21小题）1．（2012•重庆）的展开式中常数项为（）．C D2．（2012•桃城区）在的展开式中，有理项共有（）20124．（2008•江西）展开式中的常数项为（）n*56．（2006•重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）8829211200610．（2004•福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（）D．11．若则二项式的展开式中的常数项为（）12．（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）C1014．的展开式中第三项的系数是（）．C．4n+1n17．设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是[[，[18．在的展开式中系数最大的项是（）682010参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•重庆）的展开式中常数项为（）．C D的展开式通项公式中，令的展开式通项公式为=2．（2012•桃城区）在的展开式中，有理项共有（）••，2012+ 4．（2008•江西）展开式中的常数项为（）的展开式的通项为的展开式的通项为=的通项为=，时，展开式中的项为常数项n*56．（2006•重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）则展开式的常数项为88292112006分别取，时，有）（时，有）（（10．（2004•福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（）D．中，化简可得答案．，x==211．若则二项式的展开式中的常数项为（）∴二项式的通项为的展开式中的常数项为=16012．（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）C，则=y=，则1014．的展开式中第三项的系数是（）．C．的展开式中第三项是×=4n+1n×、；=2×；n+×17．设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是[[，[展开式的通项，再求出其展开式的中间项，即可得变形为x，由二次函数的性质，求出[，展开式的通项为（（）=x⇔时，x时，，则若18．在的展开式中系数最大的项是（）（﹣）从而获解，但比较麻烦，在选择填空中不提倡用，不可小题大做，682010。

专题40 赋值法求部分项系数或二项式系数(解析版)

专题40 赋值法求部分项系数或二项式系数一、多选题1．已知()22nax a⎫<⎪⎭的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（） A ．1a =B ．展开式中偶数项的二项式系数和为512C ．展开式中第6项的系数最大D ．展开式中的常数项为45【答案】BCD 【分析】由二项式定理及二项式系数的性质逐项判断即可得解. 【详解】由题意，()21452n n n C -==，所以10n =（负值舍去），又展开式中各项系数之和为1024，所以()1011024a -=，所以1a =-，故A 错误；偶数项的二项式系数和为10112102451222⨯=⨯=，故B 正确； 102x⎫⎪⎭展开式的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故C 正确；102x⎫⎪⎭的展开式的通项()5122105211010r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令5502r-=，解得2r ，所以常数项为21045C =，故D 正确.故选：BCD.2．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是160-，则（）A ．12a =-B ．所有项系数之和为1C ．二项式系数之和为64D ．常数项为320-【答案】ABC首先根据展开式中3x 的系数是160-得到12a =-，从而判断A 正确，令1x =得到所有项系数之和为1，从而判断B 正确，根据二项式系数之和为62，从而判断C 正确，根据622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项为()422622320⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭C x x，从而判断D 错误. 【详解】对选项A ，621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项为()333261⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ax C x ，所以3361=160⎛⎫⎪⎭⋅ -⎝C a ，解得12a =-，故A 正确；由A 知：662212=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x ax x ，令1x =，所有项系数之和为()6121-=，故B 正确；对选项C ，二项式系数之和为6264=，故C 正确；对选项D ，622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项为()4222246622240⎛⎫⋅-== ⎪⎝⎭C C x x ，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查二项式的定理的各项系数之和，项的系数之和，常数项，属于中档题.二、单选题3．如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，则展开式中21x 的系数是（） A ．90 B ．80C ．-90D ．-92【答案】C 【分析】根据条件求出5n =，然后写出其通项公式，然后可算出答案.令1x =，得展开式中各项系数之和为2n .由232n =，得5n =，通项公式为(()()5355215513rrrr r rr r x x T C C ---+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=，令5322r -=-，得3r =，所以21x 的系数是()32351390C -⨯⨯=-故选：C4．若34270127(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则0246a a a a +++=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【分析】令1x =可得：340127=8(11)(12)a a a a +++⋅⋅++-=⋅，令1x =-可得：340127=0(11)(12)a a a a ++⋅⋅--+-=⋅，相加即可得解.【详解】令1x =可得：340127=8(11)(12)a a a a +++⋅⋅++-=⋅，令1x =-可得：340127=0(11)(12)a a a a ++⋅⋅--+-=⋅，两式相加可得：02462()8a a a a +++=，所以02464a a a a +++=，故选：B5．已知二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为512，函数()r n f r C =，[)0,r n ∈且r N ∈，则函数()f r 取最大值时r 的取值为（） A ．4 B ．5 C ．4或5 D ．6【答案】C 【分析】令1x =，可得展开式中所有项的系数和，即可求出n 的值，从而可得出()rn f r C =再利用二项式系数最值【详解】因为二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为512，令1x =，得()3125129nn n -==⇒= 所以()9rf r C =，二项式展开式有10项，则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，所以当4r =或5时，()f r 最大，故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式所有项的系数之和，以及展开式中二项式系数最大的项，属于基础题.6．63x⎛ ⎝展开式中各项系数之和为（）A ．62B ．63C ．64D ．1【答案】A 【分析】令1x =即可求得63x⎛⎝展开式中各项系数之和.【详解】解：令1x =，得63x⎛ ⎝展开式中各项系数之和为()66312-=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理展开式各项系数之和，解题的关键在于赋值法，是基础题.7．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．160-B ．160C ．80D ．80-【答案】A在二项展开式的通项公式中，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项. 【详解】612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()66621662112r r r r r r r rr T C x x C x ----+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅，令620r -=，可得3r =，故612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为368160C -⋅=-.故选：A. 【点睛】本题考查了利用二项式定理求常数项，关键在于写出二项展开式的通项，属于基础题.8．在62x ⎫+⎪⎭的展开式中，常数项为（）A ．60B ．30C ．20D ．15【答案】A 【分析】根据二项式定理，得出62x ⎫⎪⎭展开式的通项，进而可得出结果.【详解】因为62x ⎫⎪⎭展开式的第1r +项为6632216622r r r r r r r r T C x x C x ---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令630r -=，则2r ，所以常数项为2236260T C =⋅=.故选：A. 【点睛】本题主要考查求二项展开式中的常数项，属于基础题型. 9．()621x -展开式中各项的系数和为（） A ．1- B ．1C ．62D ．12【答案】B利用赋值法求出答案即可. 【详解】由题意，不妨设()626012621x a a x a x a x -=++++.令1x =得：6012611a a a a =++++=，即展开式中各项系数和为1.故选：B 【点睛】本题考查的是二项式展开式的系数和问题，较简单. 10．若()()202122021012202112x a a x a x a x x R -=++++∈，则20211222021222a a a +++的值为（） A ．1 B ．0C ．-1D ．2【答案】C 【分析】利用赋值法可得：令0x =可得01a =；令12x =可得：2021120220210222a a aa ++++=，即可得出结果. 【详解】因为()()202122021012202112x a a x a x a x x R -=++++∈，令0x =可得01a =；令12x =可得：202120211202202111202222a a a a ⎛⎫++++=-⨯= ⎪⎝⎭；故20211202202101222a a a a +++=-=-．故选：C. 【点睛】本题主要考查利用赋值法求值，考查计算能力，属于较易题. 11．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x -+，则5a =（）A ．16B ．14C ．6-D ．10-【答案】C 【分析】将()51x +展开，观察345,x x x , 的系数，对应()22x -的展开相乘，相加得到答案.【详解】解析：由题意，()()()()255221441x x x x x -+=-++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x -⋅⋅055546C x x +⨯=-，所以56a =-，故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理,考查计算能力，属于基础题.12．设(1+x)n =a 0+a 1x+…+a n x n ,若a 1+a 2+…+a n =63,则展开式中系数最大的项是( ) A ．15x 2 B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3【答案】B 【解析】令x=1,则(1+1)n =++…+=64.∴n=6.故(1+x)6的展开式中系数最大的项为T 4=x 3=20x 3.13．若()828012812x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则01237a a a a a +++++=（）A ．8832+B ．82C ．83D ．8832-【答案】D 【分析】利用二项式定理可知1a 、3a 、5a 、7a 为负数，0a 、2a 、4a 、6a 、8a 为正数，可得出0123801238a a a a a a a a a a +++++=-+-++，然后令1x =-可求得所求代数式的值，可以求得882a =，从而求得结果.【详解】二项式()812x -的展开式通项为()81882,2rrr T C x a +=⋅-=，所以，x 的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，即1a 、3a 、5a 、7a 为负数，0a 、2a 、4a 、6a 、8a 为正数，所以()0123801283881213a a a a a a a a a a +++++=-+-+⎡⎤=-⨯-=⎣⎦+.所以88701230123732a a a a a a a a a a +++++=-+-=-+-，故选：D. 【点睛】本题考查利用赋值法求解各项系数绝对值之和，要结合二项式定理确定各项系数的正负，考查计算能力，属于中档题目.14．已知2012(21)n nn x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则下列命题正确的是（）A ．当3n =时，不存在12k ≤≤，使得11k k k a a a -++≤B ．当3n =时，对任意12k ≤≤，都有11k k k a a a -++≤C ．当4n =时，必存在13k ≤≤，使得11k k k a a a -++>D ．当4n =时，对任意13k ≤≤，都有11k k k a a a -++> 【答案】C 【分析】通过举反例的方法判断出A B D 错误，对于C ：当4n =时，写出4(21)x -的展开式即可判断.【详解】当3n =时，323(21)16128x x x x -=-+-+，123a a a +<，A 错；012a a a +>，B 错；当4n =时，4234(21)18243216x x x x x -=-+-+，123a a a +>，C 对；012a a a +>，D 错；故选：C . 【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题.15．已知5250125(2)x a a x a x a x -=++++，则012345a a a a a a -+--+的值为（）A ．1B ．32-C ．243-D ．81【答案】C 【分析】根据题意，令1x =-，即可求得012345a a a a a a -+--+的值，得到答案. 【详解】由5250125(2)x a a x a x a x -=++++，令1x =-，可得0123455(12)243a a a a a a -=---=--++.故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数的和问题，其中合理赋值求解是解答的关键，着重考查赋值思想，以及运算能力. 16．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则1232020a a a a +++⋯+=( )A ．0B ．1C ．﹣1D ．2【答案】A 【分析】令0x =求得0a ，再令1x =即可求解结论．【详解】解：因为：2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令0x =可得：01a =；令1x =可得：202001232020(121)1a a a a a ++++⋯+=-⨯=；故1232020110a a a a +++⋯+=-=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．三、填空题 17．若2202001220002020(2)(2)(2)(12)a a x a x a x x =++++++++，x ∈R ，则22020122020222a a a ⋅+⋅++⋅=_____.【答案】202013- 【分析】令()()202012f x x =+，利用赋值法可得22020122020222a a a ⋅+⋅++⋅=()()02f f =--，即可得解.【详解】令()()202012f x x =+，则()()2020202002143a f =-=-=，220200122020222a a a a +⋅+⋅++⋅=()01f =，因此，22020122020222a a a ⋅+⋅++⋅=()()20200213f f --=-.故答案为：202013-.18．二项式62x⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为______________【答案】240 【分析】根据二项式定理，写出二项展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果. 【详解】因为62x⎛- ⎝展开式的第1r +项为()()()3666221662121r r rrrrr rr T C x xC x----+=⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅，令3632r -=，则2r ，因此二项式62x⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为()224621240C ⋅⋅-=. 故答案为：240.19．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为______. 【答案】18 【分析】令1x =，由系数和求得a ，再利用二项式定理得3x 的系数．【详解】由题意4(1)264a +⨯=，解得3a =，4(1)x +展开式中2x 系数是24C ，3x 的系数是34C ， ∴所求系数为2344361218C C +=+=．故答案为：18．20．已知25270127(231)(2)x x x a a x a x a x ++-=++++，求01234567a a a a a a a a +++++++=_______【答案】6- 【分析】在展开式中令1x =可得系数和．【详解】令1x =得501234567(231)(12)6a a a a a a a a +++++++=++-=-. 故答案为：6-．【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法，设二项展开式为2012()n n f x a a x a x a x =+++，则有：012(1)n f a a a a =++++，奇数项系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=，偶数项系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．21．记7270127(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则126a a a ++⋯+=______.【答案】126 【分析】分别令0x =、1x =-，可求得各项系数和与常数项；利用()()77211x x +=++，得到展开式通项公式，求得7a ，进而求得结果. 【详解】令0x =得：701272a a a a +++⋅⋅⋅+=；令1x =-得：7011a ==；()()77211x x +=++，∴展开式通项为()71r rC x +，令7r =，则71a =，7126211126a a a ∴++⋅⋅⋅+=--=.故答案为：126. 【点睛】本题考查二项式定理中与各项系数和、指定项系数有关的问题的求解；在求解与各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法来快速求得结果.22．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=_________. 【答案】1 【分析】根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为()55152rrrr r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.()5012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.23．二项式522x⎛+ ⎝的展开式中常数项为______.【答案】10 【分析】根据二项式定理，得到二项展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果. 【详解】522x⎛ ⎝的展开式的第1r +项为()5105251025221555222rr r rr r r rr r r T C x C xx C x ------+==⋅⋅⋅=⋅⋅，令51002r -=可得4r =，所以二项式522x ⎛+⎝的展开式中常数项为405210C x ⋅⋅=. 故答案为：10.24．若()554322x x ax bx cx dx e +=+++++，则a b c d e ++++的值为__________. 【答案】242 【分析】观察所求代数式与已知条件的联系，令1x =，即可求出1a b c d e +++++的值，进而求出答案. 【详解】由题设()554322x x ax bx cx dx e +=+++++令1x =可得，5(12)4312a b c d e +++++=+=，所以242a b c d e ++++=. 故答案为：242 【点睛】本题考查二项式定理，特殊赋值法是解题的关键，属于基础题.25．8342y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，不含x 的各项系数之和为______. 【答案】256 【分析】对式子进行变形得()88334242y y x x ⎛⎫⎡⎤-+=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用二项式定理的展开式可得通项公式可得当8r =时不含有x ，再利用赋值法，即可得答案；【详解】()88334242y y x x ⎛⎫⎡⎤-+=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的展开式的通项为()818342rrr r T C y x -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可知当8r =时不含有x ，此时()()8888881834242T C y y x -+⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，令1x =可得到各项系数之和为256. 故答案为：256. 【点睛】本题考查二项式定理的展开式及赋值法，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 26．在()()51a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =______. 【答案】12- 【分析】设x 的偶数次幂项的系数之和为A ，奇数次幂项的系数之和为B ，则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，解得()161A a =+，得到答案. 【详解】设()()()51f x a x x =++展开式x 的偶数次幂项的系数之和为A ，奇数次幂项的系数之和为B ，则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()1111612A f f a =+-=+⎡⎤⎣⎦，由8A =得12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.27．51x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是________.（用数字填写答案）【答案】80 【分析】根据二项展开式的通项公式，得出展开式的通项，根据赋值法，即可求出结果. 【详解】因为51x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的第1r +项为553552215522r r r r r r r r T C x x C x -----+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令5312r-=得1r =，则51x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是145280C ⋅=.故答案为：80. 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 28．已知02a π=⎰，若2020220200122020(1)()ax b b x b x b x x R -=+++⋯+∈，则20201222020222b b b ++⋯+的值为__. 【答案】1-. 【分析】根据题意，由定积分公式求出a 的值，进而在20202020(1)(12)ax x -=-中，分别令0x =和1x =，分析可得答案.【详解】解：根据题意，20221(2)24a πππ==⨯⨯⨯=，则20202020220200122020(1)(12)()ax x b b x b x b x x R -=-=+++⋯+∈，令0x =可得：202001b =，即01b =，令12x =可得：20202020120220201(12)02222b b b b -⨯=+++⋯+=，又由01b =，则202012220201222b b b++⋯+=-；故答案为：1- 【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及特殊值的应用，关键是求出a 的值，属于基础题.29．()92x a +的展开式中，各项系数之和为1，则实数a =____________.（用数字填写答案）【答案】-1 【分析】令1x =，即可得各项系数之和为()921a +=，直接求解即可【详解】令1x =，得各项系数之和为()921a +=，解得1a =-. 故答案为：-1 【点睛】本题考查二项式的系数和，属于基础题30．若6521101211(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则1211a a a ++⋅⋅⋅+=________.【答案】65- 【分析】在所给的等式中，令0x =，可得01a =．再令1x =，可得0121164a a a a +++⋯+=-，从而求得1211a a a ++⋯+的值．【详解】解：在6521101211(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋯+中，令0x =，可得01a =．令1x =，可得0121164a a a a +++⋯+=-，121165a a a ∴++⋯+=-，故答案为：65-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 31．若()202022020012202012x a a x a x a x+=++++，则32020122320202222a a a a -+-++=______. 【答案】1- 【分析】令()()202012f x x =+，利用赋值法可得()32020122320201022222a a a a f f ⎛⎫-+-++=-- ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】令()()202012f x x =+，则()001a f ==，320201202320201022222a a a a a f ⎛⎫-+-++=-= ⎪⎝⎭，因此，()320201223202010122222a a a a f f ⎛⎫-+-++=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1-.【点睛】本题考查利用赋值法计算项的系数和，考查计算能力，属于基础题. 32．已知()()3221x ax -+的展开式的所有项系数之和为27，则展开式中含2x的项的系数是_________.【答案】23 【分析】令1x =计算可得展开式中所有项的系数和，求得a ，然后求出3(1)ax +中常数项和2x 的系数，利用多项式乘法法则得结论．【详解】已知()()3221xax -+的展开式的所有项系数之和为27，将1x =代入表达式得到()31272a a +=⇒=.展开式中含2x 的项的系数是()233132C 21C 23⨯+-⨯=⨯. 故答案为：23. 【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，及求指定项的系数．掌握二项式通项公式是解题基础．33．如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，则展开式中21x 的系数是______. 【答案】90- 【分析】根据1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，令1x =解得n ，得到其通项公式，再令x 的指数为-2求解即可. 【详解】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n . 由232n =，得5n =，通项公式为(()()5355215513rrrr r rr r x x T C C ---+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 令5322r-=-，得3r =所以21x的系数是()32351390C -⨯⨯=-. 故答案为：90- 【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.四、双空题34．设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++，若12242n a a a +++=，则n =_______，3a =_______．【答案】5 80 【分析】令0x =，得01a =，令1x =，得5n =，根据二项展开式的通项公式可得380a =.【详解】在2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++中，令0x =，得01a =，令1x =，得0123nn a a a a =++++，所以31242n =+，所以533433n ==，所以5n =.所以2335280a C =⋅=.故答案为：5∴80 【点睛】关键点点睛：通过两次赋值求得5n =是解题关键，属于容易题.35．在二项式62x⎛- ⎝的展开式中，常数项是___________，所有项的系数和为___________．【答案】60 1 【分析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为0，求出参数的值，代入展开式通项可求得展开式的常数项，再令1x =代入二项式可求得展开式所有项的系数和. 【详解】二项式62x⎛ ⎝的展开式通项为()()36662166221rrr r r r r r T C x C x ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，令3602r -=，可得4r =，所以，展开式的常数项为()442562160T C =⋅⋅-=，在二项式62x⎛ ⎝中，令1x =，可得所有项的系数和为()6211-=. 故答案为：60；1. 【点睛】求解二项式中所有项的系数和，一般在二项式中，令所有的变量均为1计算即可.36．已知()201221nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若240a =-，则n =________，12n a a a ++⋅⋅⋅+=________. 【答案】5 2 【分析】根据二项式定理可得展开式通项，由此可得方程()1240rn r rn C --=-，代入验证可求得5n =；采用赋值法即可求得各项系数和与0a ，作差得到12n a a a ++⋅⋅⋅+的值. 【详解】()()()12112n rrrrn r r n rr n n T C x C x ---+=-=-，由240a =-可知：()1240rn r rn C --=-，当1r =时，()112240rn r r n n C n n ---=-⋅=-⇒无整数解，当3r =时，()33122405r n r r n n n C C n ---=-⋅=-⇒=，()525012521x a a x a x a x ∴-=++++，当1x =时，()50125211a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，当0x =时，()500011a a -=⇒=-，()125112a a a ∴+++=--=.故答案为：5；2. 【点睛】方法点睛：二项式定理中与各项系数和有关的问题常采用赋值法来进行求解，形如()2012nn n a a x a x x kx a b +++⋅⋅++⋅=的式子：（1）令1x =，可求得各项系数和；（2）令0x =，可求得常数项；（3）分别令1x =和1x =-，作差或作和可分别求得奇次项系数和与偶此项系数和.37．二项展开式()523450123452x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a =________；135a a a ++=________．【答案】40 121 【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第1r +项为5152r r r r T C x -+=⋅⋅，即可根据题意，求出135a a a ++.【详解】因为()52x +展开式的第1r +项为5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，得3235240a C =⋅=；令1r =，得1154280a C ⋅==；令=5r ，得505521a C =⋅=因此135121a a a ++=. 故答案为：40；121. 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.38．在二项式1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，21x 项的系数为________；各项系数之和为________.(用数字作答) 【答案】56 256 【分析】利用已知条件得到268n n C C n =⇒=，利用二项式展开式求出r ，令1x =求出各项系数之和即可.【详解】由题意得：268n n C C n =⇒=，()8821881rrrr rr T Cx C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当8225r r -=-⇒=；可得21x项的系数为538856C C ==，令1x =，可得各项系数之和为：82256=. 故答案为：56；256. 39．若31021001210(1)(1)(1)x xa a x a x a x +=+++++++，则0a =_______，9a =________．【答案】0 10- 【分析】赋值法，令1x =-，得00a =．换元：设1x t +=，则31021001210(1)(1)t t a a t a t a t -+-=++++．只有10(1)t -中含有9t 项，10(1)t -展开式的通项10110C (1)r rr r T t-+=-得解【详解】令1x =-，得00a =．设1x t +=，则31021001210(1)(1)t t a a t a t a t -+-=++++．因为仅有10(1)t -中含有9t 项，10(1)t -展开式的通项10110C (1)r rr r T t -+=-，所以当109r -=，即1r =时，11910C (1)10a =-=-．【点睛】本题考查二项式定理，考查运算求解能力．属于基础题.40．已知7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，那么0a =___________，127a a a ++⋅⋅⋅+=__________．（用数字作答）【答案】1 2- 【分析】采用“赋值法”，令0x =，即可求解出0a 的值；再令1x =即可求解出017...a a a +++的值，结合0a 的值，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值可求. 【详解】令0x =，所以701a =，所以01a =；令1x =，所以()7012712...1a a a a -=++++=-，又因为01a =，所以127...2a a a +++=-，故答案为：1；2-. 【点睛】本题考查求解二项展开式中项的系数以及各项系数和，采用“赋值法”能高效解答此类问题，难度一般. 41．在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243 【分析】二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为2n ，令1x =可得所有项的系数之和，【详解】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==，令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，243 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的性质，考查了二项式系数之和、所有项的系数之和，属于基础题. 42．已知多项式()()554324321021x x a x a x a x a x a +=-+++++，则0a =_________；2a =________. 【答案】33 90 【分析】在所给的等式中，令0x =，可得0a 的值．2a 即展开式5543243210(2)(1)x x a x a x a x a x a +--=++++中，2x 的系数，为()53333512C C --，计算求得结果．【详解】解：对于多项式5543243210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=-+++++，令0x =，可得0321a =-+，则033a =．2a 即展开式5543243210(2)(1)x x a x a x a x a x a +--=++++，中2x 的系数，为()5533332901C C --=，故答案为：33；90．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．43．在二项式5x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数和为_____；含2x 项的系数为_______．【答案】1 -40 【分析】（1）利用赋值1x =，求各项系数和；（2）先写出二项展开式的通项公式，求r 的值，再代入求2x 项的系数. 【详解】（1）求二项式展开式的各项系数和，令1x =，则511⎫=⎪⎭；（2）二项展开式的通项公式是()()5355215521rr rrr r rr T C x C x---+=⋅⋅-=⨯⨯-⋅，当3522r -=，解得：3r =，代入通项公式得()332223152140T C x x +=⨯⨯-⋅=-，所以含2x 项的系数为-40. 故答案为：1；-40 【点睛】本题考查二项式定理，重点考查计算能力，属于基础题型.44．已知多项式()()()()()5272012711111x x a a x a x a x +-=+++++⋅⋅⋅++，则127a a a ++⋅⋅⋅+=___________，4a =___________. 【答案】63 -180 【分析】分别令0x =和1x =-，两式作差可得127a a a ++⋅⋅⋅+的值；配凑法化简已知等式，利用组合数计算出4a 的值．【详解】令0x =，则07121...a a a a +-=+++；令1x =-，则60264a -=-=；则()12716463a a a ++⋅⋅⋅+=---=由()()()()()()()()5257652111212112121x x x x x x x x ⎡⎤+-=-+-+-=-+-+-=⎣⎦()()()76512212212x x x +-++-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()3232147652222228012020180a C C C ∴=-+-+-=-+-=-故答案为：63;180- 【点睛】本题考查二项式展开式的应用，考查系数和的求法，属于中档题．45．设52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =______；12345a a a a a ++++=______.【答案】40 242 【分析】先根据二项展开式通项公式求第一空，再利用赋值法求第二空. 【详解】15(2),0,1,2,3,4,5r r r T C x r +=-=所以2a =225(2)40C -=令0x =，则01a =令1x =-，则50123453a a a a a a -+-+-=所以1251234503453242a a a a a a a a a a a -+-++++==-=+-故答案为：40，242 【点睛】本题考查二项展开式通项公式、赋值法求系数问题，考查基本分析求解能力，属基础题.五、解答题46．已知二项式()21nx +的展开式中共有6项. （1）求展开式中所有二项式系数的和；（2）求展开式中含2x 的项.【答案】（1）32；（2）240x . 【分析】（1）根据展开式的项数为6得5n =，进而得二项式系数的和为5232=. （2）根据二项式展开式的通项公式求解即可得答案. 【详解】（1）由于二项展开式有6项，故5n =. 所有二项式的系数和为5232=.（2）二项式()521x +展开式的通项为()5152-+=kk r T C x ，令52-=k 得3k =. 故展开式中含2x 的项为240x . 【点睛】本题考查二项式定理，熟练的应用相关公式是解题的前提，是基础题. 47．已知()522100121032x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）求01210a a a a +++⋅⋅⋅+；（2）求()20246810a a a a a a +++++()213579a a a a a -++++．【答案】（1）0；（2）0．【分析】（1）赋值法，令1x =即可求得答案；（2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案．【详解】解：（1）∴()522100121032x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，令1x =，得()52012101320a a a a +++⋅⋅⋅+=-+=；（2）由（1）及平方差公式得()()22024*********a a a a a a a a a a a +++++-++++()01210a a a a =+++⋅⋅⋅+()012345678910a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+0=．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．48．已知二项式12nx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()n *∈N 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128. （1）求1nx ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）在 (1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )2n + 的展开式中，求3x 项的系数.(结果用数字作答) 【答案】（1）3716T =；（2）330 【分析】二项展开式中所有项的系数和为2n，奇数项的二项式系数和应为所有项系数和的一半，即21282n= ，可求得8n =.（1）写出该二项式展开式的通项，令x 的指数为零，即可求解；（2）由二项式定理知3x 在3(1)x +，4(1)x +，，10(1)x +中均存在，故3x 的系数为3334341011330C C C C +++==.【详解】解：所有奇数项的二项式系数之和为128，21282n∴=，解得8n =. （1）81)2x+的第1r +项为8488318811()()2rr r r r rr T C C x x ---+==，令8403r-=，得2r ，则常数项为238617216T C =⋅=；（2）23410(1)(1)(1)(1)++(1)x x x x x ++++++++展开式中3x 的系数为：33343334104410C C C C C C +++=+++4335510C C C =+++411330C ==.【点睛】本题考查了二项式定理及其应用，组合数的性质，属于中档题. 49．已知()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈，其中012,,,,n a a a a R ∈．（1）当6n =时，求6(12)x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；（2）若n 为偶数，求246n a a a a +++⋯+的值．【答案】（1）二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）312n -．【分析】（1）由二项式系数性质求解，由二项展开式通项公式得各项系数，由第k 项系数不小于前后两项系数可得系数最大的项；（2）先求出0a ，在展开式中令1x =和1x =-后可得奇数项系数和然后可得结论．【详解】（1）()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈中6n =时，展开式中有7项，中间一项的二项式系数最大，此项为3336(2)160C x x =，又166(2)2rrrr r T C x C +==，设第1k +项系数最大，则116611662222kk k k k k k k C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，∴4k =，即第5项系数最大，第5项为4446(2)240C x x =；二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）首先01a =，记()()2*012()12,6nn n f x x a a x a x a x n N n =+=++++∈，则012(1)3nn f a a a a ==++++，01231(1)n n f a a a a a a --=-+-+-+，所以024(1)(1)3(1)31222n n n n f f a a a a +-+-+++++===，所以243131122n n n a a a +-+++=-=．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展开式中某些项系数和常用方法．50．若7767610(31)x a x a x a x a -=++++，求（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）0246a a a a +++．【答案】（1）129（2）8256（3）-8128 【分析】（1）利用赋值法令0x =得0a ，再令1x =即可得到结果. （2）令1x =和1x =-，将得到的两个式子作差可得结果. （3）令1x =和1x =-，将得到的两个式子相加可得结果. 【详解】（1）令0x =，则01a =-，令1x =，则128270167==++++a a a a ．∴129721=+++a a a ．（2）令1x =，则128270167==++++a a a a ．令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相减得：()713572128(4)16512a a a a +++=--=，则1357=8256a a a a +++.（3）令1x =，则128270167==++++a a a a ．令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相加得：()02462=a a a a +++()7128416256+-=-，则02468128a a a a +++=- 【点睛】本题考查赋值法求二项展开式的各项系数和，考查计算能力，属于基础题.。

二项式定理经典题型及详细答案

二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求：（1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求（1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ；（2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.二项式(2－)6的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)【答案】365【解析】T＋1＝·(2)6－r·(－1)r·x－r＝(－1)r·26－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，当r＝0,2,4,6时，rT＋1＝(－1)r26－r为有理项，则所有有理项的系数和为26＋24＋22＋20＝365.r2.在的展开式中，记项的系数为，则（）A．45B．60C．120D．210【答案】C【解析】由题意可得，故选C【考点】二项式系数.3.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 4.设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则.【答案】【解析】由图易知，则，即，解得.【考点】1.二项展开式的应用.5.的展开式中第5项的二项式系数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由二项展开式的通项公式得，第5项的二项式系数为.【考点】二项式定理.6.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7.的二项展开式中，常数项为______．【答案】【解析】二项式的通项，令，得，故展开式中常数项为．【考点】二项式定理．8.的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）【答案】【解析】通项，令，则，所以二项展开式中常数项为.【考点】二项式定理。

9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为b．若,则m=( )A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由题意知：,,所以,∴．∴解得m=6．10.在的展开式中，的系数是（）A．－297B．－252C．297D．207【答案】D【解析】∵原式=．∴欲求原展开式中x 5的系数，只需求出展开式中x5和x2的系数．而=1+…+x2+…+x5+…．故展开式中，x5的系数为－=207．11.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．12.展开式中含项的系数是_________．【答案】【解析】，所以的系数为．【考点】二项展开式的系数．13.的展开式中，常数项是______________.【答案】【解析】由二项式定理得，，令，得，故展开式中的常数项为．【考点】二项式定理.14.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.15.若是展开式中项的系数，则．【答案】【解析】由题意，，∴，∴．【考点】二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．16.二项式展开式中的常数项是_________．（用数字作答）【答案】.【解析】由二项展开式的通项公式得，二项式展开式中的常数项是.【考点】二项定理.17.若的二项展开式中，所有项的二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 .【答案】15【解析】∵所有项的二项式系数和为64，∴，∴，∴，∴，令，即，∴常数项为.【考点】二项式定理.18.已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x5的系数是189,则实数m=()A．3B．-3C．±3D．5【答案】C【解析】(x-m)7=(-m+x)7,则Tk+1=x k(-m)7-k,令k=5,得m2=189,解得m=±3.19. (x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a+a1+a2+…+a11的值为()A．2B．-1C．-2D．1【答案】C【解析】∵(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,∴令x=-1,得2×(-1)9=a0+a1+a2+…+a11,即a0+a1+a2+…+a11=-2.【方法技巧】求展开式中的系数和的方法一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.20.在(x4+)10的展开式中常数项是(用数字作答).【答案】45【解析】(x4+)10的通项为=()r=,令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为==45.21.二项式展开式中的常数项为 .【答案】【解析】的展开式的通项，令可得，则常数项为.【考点】二项式展开式的通项公式22.已知n(n∈N*)的展开式中，前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项是 ()．A．28B．70C．D．【答案】C【解析】展开式的前三项的系数分别为，，，则由题意可得＋＝，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．于是Tr＋1＝r＝x，若Tr＋1为常数项，则8－r＝0，即r＝6.故展开式中的常数项为T7＝＝.23.二项式的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】-126【解析】利用二项展开式通项公式可得，，令，可得，代入可得所求系数为．【考点】二项展开式通项公式．24.展开式中的系数是________．【答案】－3【解析】，所以的系数为：－3【考点】二项式定理及多项式的乘法.25.设…，则…＝．【答案】【解析】中正负相间，当然我们可以通过令求出和，此题我们还可以用另外一种方法，设，则全为正，，，所以．【考点】二项展开式的系数．26.设的展开式中的系数为,二项式系数为,则 .【答案】4【解析】的展开式的通项公式为.由得.又.注意B只是的二项式系数.【考点】二项式定理.27.的展开式中常数项为___________________．【答案】【解析】常数项为.【考点】二项式定理.28.的展开式中的系数是__________.【答案】【解析】原式=，中的通项为，则，，当，即，此时这项中的系数为；当，即，此时这项中的系数为，所以原式展开式中的系数为.【考点】1.二项式定理中项的系数的表示；2.二项式定理的运算.29.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .【答案】-2【解析】的二项展开式中第项为，若含的这一项，则，所以，为，所以项的系数为，即.【考点】二项式定理30.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）【答案】【解析】的展开式的第项为，令，故的展开式中的常数项为.【考点】二项式定理31. (1-x)3(1-)3展开式中常数项是( )A．－20B．18C．20D．0【答案】C【解析】要求原式的常数项即求中的系数，【考点】二项式定理32.的展开式中的系数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】二项式定理求系数33.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】根据题意，由于二项式的展开式的第二项的系数为，则可知为，故可知，故可知结论为或，选C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式通项公式的运用，属于基础题。

高中数学二项式定理精选题

二项式定理精选题23道一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．602．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．353．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．924．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．805．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．806．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是．（用数字填写答案）10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =，5a =．11．在5(x -的展开式中，2x 的系数为．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．14．281()x x -的展开式中7x 的系数为 .（用数字作答）15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为．16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =，123a a a ++=．18．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为．19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是．四．解答题（共4小题）20．已知在n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++；（3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值；（2）求n n C B ．二项式定理精选题23道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解：25()x x y ++的展开式的通项为2515()r rrr T C x x y-+=+，令2r =，则23()x x +的通项为23633()k k kkkC x x C x--=，令65k -=，则1k=，25()x x y ∴++的展开式中，52x y 的系数为215330C C =．故选：C ．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键． 2．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：621(1)(1)x x ++展开式中：若221(1)(1)xx-+=+提供常数项1，则6(1)x +提供含有2x 的项，可得展开式中2x 的系数：若21(1)x+提供2x -项，则6(1)x +提供含有4x 的项，可得展开式中2x 的系数：由6(1)x +通项公式可得6r r C x ．可知2r =时，可得展开式中2x 的系数为2615C =．可知4r=时，可得展开式中2x 的系数为4615C =． 621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为：151530+=．故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．92【分析】直接利用二项式定理求出n ，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．【解答】解：已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得37n nC C =，可得3710n=+=．10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为：1091222⨯=．故选：D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力． 4．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．80【分析】5(2)xy -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrr rr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r=，解得3r=．令53r -=，2r=，解得2r=．即可得出．【解答】解：5(2)x y -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrrrr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r =，解得3r =．令53r -=，2r=，解得2r=．5()(2)x y x y ∴+-的展开式中的33x y 系数23332552(1)2140C C =⨯-+⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80【分析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2rrr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r=，由此能求出252()x x +的展开式中4x 的系数．【解答】解：由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2r rr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r =，252()xx∴+的展开式中4x 的系数为225240C =．故选：C ．【点评】本题考查二项展开式中4x 的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解．【解答】解：24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112C C C C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点评】本题考查展开式中3x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 【分析】由题意得，46n nC C =，再由组合数的性质，求出10n=，再令1x=结合展开式的各项系数之和为1024求出a ，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项．【解答】解：因为2((0)na x a+>的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等，∴4610n n C C n =⇒=，展开式的各项系数之和为1024，10(1)1024a ∴+=，0a >， 1a ∴=，原二项式为：210(x+；其展开式的通项公式为：520210211010()rr rr rr T C x C x--+=⋅⋅=，展开式中奇数项的二项式系数和为：110245122⨯=；故A 错，因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对，令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对，令5201522r r -=⇒=，21045C =，D 对．故选：B C D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题目也是易错题目．三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3 ．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设4250125()()(1)f x a x x a a x a x a x=++=+++⋯+，令1x =，则0125a a a a f+++⋯+=（1）16(1)a=+，①令1x=-，则0125(1)0a a a a f -+-⋯-=-=．②①-②得，1352()16(1)a a a a ++=+，所以23216(1)a ⨯=+，所以3a=．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为3，求出r ，即可求出展开式中3x 的系数．【解答】解：5(2x +的展开式中，通项公式为：5552155(2)2r r rr rrr T x C x---+==ð，令532r -=，解得4r=3x∴的系数45210C =．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =16 ，5a =．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，5a 就是常数的乘积．【解答】解：多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，3(1)x +中，x 的系数是：3，常数是1；2(2)x+中x 的系数是4，常数是4，4341416a =⨯+⨯=；5144a =⨯=．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 11．在5(x-的展开式中，2x 的系数为52．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求．【解答】解：5(x-的二项展开式的通项为103521551(()2rr rrr rr T C xC x--+=⋅⋅-=-⋅⋅．由10322r-=，得2r=．2x∴的系数为22515()22C -⋅=．故答案为：52．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 28 ．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项．【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：888188833111(2)()2()()(1)288rrr r rrrr r r r T C x C xC xx---+=-=-=-8484rrx--．∴当840r -=，即2r=时，1r T +为常数项．此时22218(1)2T C +=-84228-⨯=．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是1系数为有理数的项的个数是．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．【解答】解：二项式9)x 的展开式的通项为9921992rrrrr rr T C xC x--+==．由0r =，得常数项是11T =当1r=，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 14．281()x x -的展开式中7x 的系数为56- .（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：281631881()()(1)r rrr r rr T x xx--+=-=-痧，令1637r -=，解得3r =．281()xx∴-的展开式中7x 的系数为338(1)56-=-ð．故答案为：56-．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【分析】由41435(2)10C x x=，可得到答案．【解答】解：41435(2)10C x x=，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题． 16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，26n nC C =8n ∴=展开式的通项8821881()rrr r rr T C x C xx--+==令822r -=-可得5r=此时系数为5856C =故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =80 ，123a a a ++=．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．【解答】解：52345012345(12)x a a x a xa x a xa x+=+++++，则4445280a C =⋅=．1223123555222a a a C C C ++=⨯+⨯+3130=．故答案为：80；130．【点评】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．18．在61()4xx-的展开式中，2x 的系数为1516．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得2x 的系数．【解答】解：61()4x x-的展开式的通项公式为66216611()()()44r rrrr rr T C x C xx--+=-=-，令622r -=，解得2r=，∴展开式中2x 的系数为261151616C ⨯=，故答案为：1516．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【解答】解：而项式2521235555521864111111(2)(1)(2)(xxC CC C Cxxxxxx+-=+⋅⋅-⋅+，故它的展开式的常数项为4523C -=，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．四．解答题（共4小题）20．已知在1n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【分析】（1）由二项式定理，可得n-的展开式的通项，又由题意，可得当5r=时，x的指数为0，即203n r -=，解可得n 的值，（2）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为2，可得10223r-=，解可得r 的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为整数，可得当2r=，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．【解答】解：（1）根据题意，可得n-的展开式的通项为112333111()()()22n rrn rrr rr n n T C x x C x---+=-=-，又由第6项为常数项，则当5r =时，203n r -=，即1003n -=，解可得10n=，（2）由（1）可得，10231101()2rr rr T C x-+=-，令10223r-=，可得2r=，所以含2x 项的系数为2210145()24C -=，（3）由（1）可得，10231101()2rrrr T C x-+=-，若1r T +为有理项，则有1023rZ-∈，且010r 剟，分析可得当2r=，5，8时，1023r-为整数，则展开式中的有理项分别为22456345,,48256x x--．【点评】本题考查二项式定理的应用，解题时要区分有理项与常数项，关键是根据二项式定理，写出其展开式的通项． 21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．【分析】（1）第1k+项的二项式系数为k n C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11k k k k r r r r +-⎧⎨⎩……【解答】解：（1）4652n n nC C C +=，221980n n ∴-+=，7n ∴=或14n=．当7n=时，展开式中二项式系数最大的项是4T 和5T ，4T ∴的系数3471()22C =3352=，5T 的系数4371()22C =470=．当14n=时，展开式中二项式系数最大的项是8T ．8T ∴的系数77141()22C =73432=．（2）由01279n n n C C C ++=，可得12n=，设1k T +项的系数最大．12121211(2)()(14)22x x +=+，∴1112121112124444k k k k k kk k C C C C --++⎧⎪⎨⎪⎩……9.410.4k ∴剟，10k ∴=，∴展开式中系数最大的项为11T ．121011121()42T C =10101016896xx=．【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念． 22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++；（3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．【分析】（1）根据所给的等式可得常数项01a =，在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-，从而求得1237a a a a +++⋯+的值．（2）在所给的等式中，分别令1x=、1x=-，可得2个等式，化简这2个等式即可求得1357a a a a +++的值．（3）用①加上②再除以2可得0246a a a a +++的值．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得0127||||||||a a a a +++⋯+的值．【解答】解：（1）已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，∴常数项01a =．在所给的等式中，令1x=可得012371a a a a a ++++⋯+=-，12372a a a a ∴+++⋯+=-．（2）在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-①，令1x=-可得712373a a a a a -+-+⋯-=②，用①减去②再除以2可得13571094a a a a +++=-．（3）用①加上②再除以2可得02461093a a a a +++=．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得7127||||||||32187a a a a +++⋯+==．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值；（2）求n n C B ．【分析】（1）将n 分别用1，2 代替求出1C ，2C ，利用多项式的乘法展开，求出1C ，2C 的小数部分1B ，2B ，求出11C B ，22C B 的值．（2）利用二项式定理表示出n C ，再利用二项式定理表示出211)n -，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出n n C B 的值．【解答】解：（1）因为211)n n C -=，所以11C =+，12A =，11B =，所以112C B =；又321)10C =+=+，其整数部分220A =，小数部分210B =-，所以228C B =．（2）因为210211222221212121211)n n n n n n n n n n C C C C C ---------=+=++⋯+①而2121122221212121211)n n n n n n n n n C C C C ---------=-+⋯+-②①-②得：2121122324212121211)1)2()n n n n n n n n C C C ---------=++⋯+而211)1n -<-<，所以21211)1)n n n A --=--，211)n nB -=所以2121211)1)2n n n n nC B ---=+-=．【点评】解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．。

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若（x+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且a﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9=39，则实数m的值为．【答案】5.【解析】令，即，得：，又因为，所以，则.【考点】二项式定理、赋值法.2.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.【答案】．【解析】解题思路：利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.规律总结：涉及求二项展开式的二项式系数或系数或特定项时，往往先写出二项式的通项公式，再进行求解.注意点：要正确区分二项式系数与系数：二项式系数仅是一个组合数，系数是未知数的系数.试题解析：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式定理.3.(12分)已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】(1)8;(2)，【解析】(1)由已知有即,解得n＝8，n＝1（舍去）;(2)由(1)知n ＝8，设第r+1的系数最大，则即,解得r＝2或r＝3, 所以系数最大的项为，.试题解析：（1）由题设，得，即，解得n＝8，n＝1（舍去）．（2）设第r+1的系数最大，则即解得r＝2或r＝3．所以系数最大的项为，．【考点】二项式定理及其性质4.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．-2835B．2835C．21D．-21【解析】由二项式定理可知展开式中各项系数和为解得，，由得，因此系数为，答案选A。

【考点】二项式定理5.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，第六项为中间项，共有11项，，当时，常数项是.【考点】二项式系数的性质.6.在的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用二项式定理：将带入即可得前面的系数为：＝．【考点】二项式定理．7.（14分）已知在（其中n<15）的展开式中：（1）求二项式展开式中各项系数之和；（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；（3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项.【答案】（1）; （2）n=14; （3）,,.【解析】（1）二项展开式中各项的系数和就是，由可得结果；（2）由二项式系数，，成等差数列，，解得n="14;" （3）可知，有理项中知应该是6的倍数. 解：（1）因为本题二项展开式中各项的系数就是各项的二项式系数所以各项系数之和为 4分（2）（其中n<15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是，，．-----------6分依题意得，写成：， 7分化简得90+（n-9）(n-8)=2·10(n-8)，即：n2-37n+322=0,解得n=14或n=23，因为n<15所以n=14。

高中数学二项式定理经典练习题专题训练（含答案）

⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练（含答案）⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。

满分100分。

考试时间90分钟。

２、考⽣请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）⼀．单选题（每题,3分，39分）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．72、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-424．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．1905．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-156．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-108．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-109、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．5610．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-212．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．713．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240第Ⅱ卷（⾮选择题）⼆．填空题（14-25题，每题3分，26-30题5分，共61分）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．16．（x2-）5展开式中的常数项为______．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．18、的展开式中x的系数是______．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．20、的展开式中的第四项是______．21．（x-）4的展开式中的常数项为______．22、的展开式中x2的系数为______．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．24．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．28．（1-）4展开式中的系数是______．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．30．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．参考答案⼀．单选题（共__⼩题）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．7答案：A解析：解：∵在的展开式中，第6项为??为常数项，则n=10，故选：A．2、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．答案：B解析：解：的展开式中第三项是故第三项的系数15×=故选B3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-42答案：A解析：解：展开式的通项为=令得r=6故常数项为2C76=14故选A4．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．190答案：A解析：解：∵，∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数，故∵=∴⼜∴a=cos2xdx=2∵==由⼆项式定理得展开式中含有x2的项为：∴展开式中x2的系数为-192故选A．5．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-15答案：A解析：解：设（x-1）6的⼆项展开式的通项为T r+1，则T r+1=?x6-r（-1）r，令6-r=3得r=3，∴x3的系数是（-1）3?=-20．故选A．6．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：⼆项式的⼆项展开式的通项公式为=T r+1=??=（-1）r??32r-6?．令x的系数=2，解得=r=1，故x2的系数为-1×6×=-，故选B．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-10答案：D解析：解：在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是=1×+（-2）?=-10，故选D．8．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-10答案：A解析：解：∵⼆项式（）n的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n，⼜各项⼆项式系数之和为N，故N=2n，⼜M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设⼆项式（）5的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?35-r?（-1）r?，令-（5-r）+r=2得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为?（-1）3?35-3=-90．故选A．9、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．56答案：B解析：解：展开式的通项为令解得r=2故展开式中含x项的系数是C82=28；故选B．10．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项答案：C解析：解：由于（x-1）10展开式的通项公式为?x10-r?（-1）r，故当r=4，或r=6时，展开式中系数最⼤为，即第五项和第七项得系数最⼤，故选C．11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-2答案：D解析：解：在（ax-1）6的⼆项展开式中，中间项是第四项，由通项公式求得中间项的系数是?a3?（-1）3=160，∴a=-2，故选D．12．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：解：∵（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，∴n=6．故选C．13．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240答案：D解析：解：∵a==（x3-x2）=4-0=4，则⼆项式=的通项公式为T r+1=?（-1）r?46-r?x12-3r，令12-3r=0，求得=r=4，可得展开式中的常数项为?42=210，故选：D．⼆．填空题（共__⼩题）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．答案：45解析：解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之⽐为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10-i（-）i=（-1）i C10i=，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（-1）8C108=45，故答案为：45．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．答案：841解析：解：设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?a9-r??x-（9-r）+r，令2r-9=3，解得r=6，∴x3的⼆项式系数为==84；⼜的展开式中x3的系数为，∴×a3×84=，∴a3=1，∴a=1．故答案为：84，1，116．（x2-）5展开式中的常数项为______．答案：40解析：解：（x2-）5展开式中的通项公式为=T r+1=?x10-2r?（-2）r?x-3r=（-2）r??x10-5r，令10-5r=0，r=2，故展开式的常数项为=4?=40，故答案为=40．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．答案：-6解析：解：∵（1+2x）3（1-x）4展开式中x2项为C3013（2x）0?C4212（-x）2+C3112（2x）1?C4113（-x）1+C3212（2x）2?C4014（-x）0∴所求系数为C30?C42+C31?2?C41（-1）+C32?22?C4014=6-24+12=-6．故答案为：-6．18、的展开式中x的系数是______．答案：-4解析：解：∵=（1-x）4，它的展开式的通项公式为=T r+1=?（-x）r，令r=1，可得展开式中x的系数是-4，故答案为-4．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．答案：240x464解析：解：（1-2x）6展开式的第五项为?（-2x）4=240x4，∴f（x）=240x4．所有⼆项式系数的和为=2n=26=64，故答案为=240x4、64．20、的展开式中的第四项是______．答案：-解析：解：T4=故答案为：-21．（x-）4的展开式中的常数项为______．答案：6解析：解：的通项为=（-1）r C4r x4-2r令4-2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为622、的展开式中x2的系数为______．答案：7解析：解：因为的展开式的通项公式为：=，当8-2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．答案：5解析：解：展开式的通项T r+1=（-1）r2n-r C n r x2n-5r其中r=0，1，2，3…n令2n-5r=0得到当r=2时n最⼩为5故答案为524．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．答案：-160解析：解：因为=20×8×（-1）=-160．所以展开式中常数项是-160．故答案为：-160．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．答案：161解析：解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）=-1-1=-2，∴（x2+）6=（x2-）6的通项公式为=T r+1=?（-2）r?x12-2r，令12-2r=6，求得r=3，故含x6项的系数为-×23=-160．由于所有项的系数和为（1-2）6=1，故不含x6项的系数和1+160=161，故答案为：161．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）答案：84解析：解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9-2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．答案：81解析：解：在（-x2+6x-9）n的展开式中，令x=1，可得所有项系数的和为（-4）n=16，n=2，展开式中的常数项为：-9×（-9）=81．故答案为：81．28．（1-）4展开式中的系数是______．答案：-8解析：解：（1-）4展开式的通项公式为T r+1=?（-2）r?x-r，令-r=-1，可得r=1，故展开式中的系数是?（-2）=-8，故答案为：-8．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．答案：-14解析：解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（-2）×C71=-14故答案为-1430．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．答案：20解析：解：⼆项式展开式的通项为T r+1=C6r?x6-r?（-）r=（-1）r?C6r?，令=3，解可得r=2，当r=2时，T3=（-1）2?C62?x3=20x3，即x3项的系数为20；故答案为20．。

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.在（1﹣2x）n的展开式中，各项系数的和是_________ ．【答案】1或-1【解析】由二项式定理可知各项系数和为,答案为1或-1.【考点】二项式定理2.若，则a0+a2+a4+a6+a8的值为．【答案】128【解析】令,得①,再令得②,由①+②得:,故应填入:128.【考点】二项式.3.展开式中含的有理项共有（）A． 1项B． 2项C．3项D． 4项【答案】C【解析】由二项式定理可得展开式:,其中的有理项必须满足,故可取0,6,12，即有3项，故C.【考点】二项式定理.4.若展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含项的系数为．【答案】80.【解析】由题意得，，；则的通项公式为，令，得的系数为.【考点】二项式定理.5.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1）8；（2），．【解析】（1）由二项展开式通项求出前三项的系数，再利用已知前三项系数成等差数列和等差中项的概念，列出关于n的方程，解出n;（2）设第项系数最大，利用二项展开式的通项求出第项系数、第项系数、第项的系数，再利用第项系数最大即其不小于前一项的系数也不小于后一项的系数，列出关于r的方程，解出r的值.试题解析：（1）由题设，得，即，解得n＝8或n＝1（舍去）． 6分（2）设第r+1的系数最大，则即 10分解得r＝2或r＝3． 12分所以系数最大的项为，． 14分【考点】等差中项；二项定理；二项式系数最大值6.若，则；【答案】2014【解析】首先令可得；然后令得，即，代入式子即可求得结果.【考点】二项式定理.7.的二项展开式中，项的系数是（）A．90B．45C．270D．135【答案】D【解析】二项展开式中，项中，则系数为.【考点】二项式定理.8.已知，则 .；【答案】-2【解析】令，则，令，则，则.考点:二项展开式.9.（14分）已知在（其中n<15）的展开式中：（1）求二项式展开式中各项系数之和；（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；（3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项.【答案】（1）; （2）n=14; （3）,,.【解析】（1）二项展开式中各项的系数和就是，由可得结果；（2）由二项式系数，，成等差数列，，解得n="14;" （3）可知，有理项中知应该是6的倍数. 解：（1）因为本题二项展开式中各项的系数就是各项的二项式系数所以各项系数之和为 4分（2）（其中n<15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是，，．-----------6分依题意得，写成：， 7分化简得90+（n-9）(n-8)=2·10(n-8)，即：n2-37n+322=0,解得n=14或n=23，因为n<15所以n=14。

二项式定理经典习题及答案

二项式定理1. 求展开式的：()x x2912-（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）的系数。

x 9分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为；C 95126=（2），故第3项的系数为9；T C x xx 39227212129=⋅⋅-=()()（3），令，故r ＝3，所T C x x C x r rrr r r r +--=⋅⋅-=-⋅192991831212()((1839-=r 求系数是(-=-12212393C 2. 求证：能被7整除。

51151-分析：，5114921494924922151515105151150515150515151-=+-=+⋅++⋅+-()C C C C 除以外各项都能被7整除。

C 51515121-又C C C C C 5151513171717017171161716171721217117771⋅-=-=+-=++++-()() 显然能被7整除，所以能被7整除。

51151-3. 求除以100的余数。

9192分析：919019090909292920929219192919292=+=++++()C C C C 由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 929192929082818210081+==⨯+故除以100的余数为81。

91924.（2009北京卷文）若4(1,a a b +=+为有理数），则a b +=A ．33B ．29C ．23D ．19【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵(4123401234444441C C C C C +=++++112417=+++=+，由已知，得17a +=+，∴171229a b +=+=.故选B .5.（2009北京卷理）若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵(512345123455555551C C C C C C +=+++++1202041=+++=+由已知，得41a +=+，∴412970a b +=+=.故选C .6. 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。

高中数学选修2-3二项式定理相关精选题目(附答案)

二项式定理相关精选题目（附答案）(1)二项式定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n an －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *)叫做二项式定理．(2)相关概念①公式右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式； ②各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数；③展开式中的C k n an －k b k 叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1，它表示展开式的第k ＋1项；④在二项式定理中，如果设a ＝1，b ＝x ，则得到公式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n .一、二项式定理1．(1)已知(1＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＝________.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式为_____________________． (3)若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.解析 (1)∵T r ＋1＝2r C r 4x r ，∴a 1＝21×C 14＝8，a 2＝22×C 24＝24，a 3＝23×C 34＝32，a 4＝24×C 44＝16，∴a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＝－8.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5＝C 05(x 2)5＋C 15(x 2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋C 25(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 35(x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 45x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝x 10－5x 7＋10x 4－10x ＋5x 2－1x 5. (3)∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.答案：(1)－8 (2)x 10－5x 7＋10x 4－10x ＋5x 2－1x 5 (3)44 注：(1)(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是： ①各项的次数都等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢。

专题04 二项式定理-高中数学专项训练测试卷(解析版) (2)

专题04二项式定理知识点1二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当大值k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12Cn n+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1考点1二项式定理的正用、逆用的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．考点2二项式系数与项的系数问题数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．考点3求二项展开式中的特定项(1)求第r 项，T r ＝C r －1n an －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）6()(2)x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（）A ．－80B ．－100C ．100D ．80考点4二项式系数和问题(赋值法)【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则1234a a a a +++=_________.【答案】34【审题】令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=，即可得到答案.【解析】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故123434a a a a +++=.【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若()47270127(1)2(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则2a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【答案】D【解析】因为()4772701274(1)(2)1]2([(2)2]2)(2)[x x x x a a x a x a x +++-=+++++=++++- ，所以2225247(2)(1)3a C C =⨯-+⨯-=，故选：D ．【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．【答案】9【解析】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则6a =______.【答案】28-【解析】令1t x =-，则8290129(1)(1)t t a a t a t a t +-=++++ ，故3322688C (1)C (1)28a =-+-=-，故答案为：28-.考点5二项式系数性质的应用【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若(nx的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A ．8n =B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大【答案】BC【解析】由题意，nx⎛⎝的二项展开式共有8项，可得7n =，所以A 错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为72128=，所以B 正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C 正确；由7(x展开式的第4项为534327(35C x x =-，第5项为4347(35C x x =，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D 错误.故选：BC.【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论：(1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展得出系数最大的项．考点6二项式定理的实际应用【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【答案】D【解析】2021201967367306731672672673673673673673242484(71)4(777)C C C C =⨯=⨯=⨯+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为67367344C =，故经过20212天后是是星期六，故选：D ．【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）20232023的个位数字为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为()20232023202332020+=0202301202212202122023020232023202320232023C 32020C 32020C 32020C 32020=⨯+⨯+⨯++⨯ ，而1220232020,2020,,2020 个位数均为0，所以20232023的个位数字与02023020232023C 320203⨯=相同，而()1011202320221011333393101=⨯=⨯=⨯-()()()()1101010110101111010101011011010111011101110113C 1013C 1013C 1013C 101=⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯- 因为22101110,10,,10 个位数均为0，所以20233的个位数字与()()101010111010110110101110113C 1013C 1013101110330327⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯-=相同，故20232023的个位数字为7.故选：B考点7几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是()A．25B．30C．35D．40【答案】C【解析】法一：(1＋x)n的通项公式T r＋1＝C r n x r中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C33＋C34＋C35＋C36＝C45＋C35＋C36＝C46＋C36＝C47＝35．法二：多项式可化为1－1＋x71－1＋x＝x＋17－1x，二项式(x＋1)7的通项公式为T r＋1＝C r7x7－r,7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为C37＝35．故选C．【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．考点8几个多项式积展开式中特定项（系数）问题【例8】1．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a 的值为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-【答案】B【审题】根据()()()()555211211x x x x x +=+---，结合二项式定理求解即可.【解析】因为()()()()555211211x x x x x +=+---，()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1rrr rrr r T x x --+=-=-，当3r =时，()332352C 120x x x ⋅-=-，当2r =时，()22335C 110x x -=，故33333201010a x x x x -+==-，即310a =-.故选：B【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在()()253x y x y -+的展开式中，34x y 的系数是（）考点9三项式展开式中特定项（系数）问题则()821x y +-的展开式中含2xy 项的系数为7181C C 56-=-.故答案为：56-【变式9-3】()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【解析】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若()()()()()()55432151101101511x a x x x x x +=+-+++-+++-，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】()()()()()5432151101101511+-+++-+++-x x x x x ()()()()()()()()()()54322345012340555555C 1C 11C 11C 11C 511C 1=+++-++-++-++-+-x x x x x ()55=11=+-⎡⎤⎣⎦x x则=+x a x ，即0a =.故选：B2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【解析】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.。

二项式系数及项的系数和的问题

解析：选 D 令 x ＝0，得 a0＝(1＋0)6＝1.令 x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.∵
a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1 或 m＝－3.
已知(x ＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6
作业
设
5x－ 1 x
n 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若 M－N＝240，
则展开式中含 x 的项为________．
若
x2－1 x
n 的展开式中含
x
的项为第
6
项，设(1－3x)n ＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋anxn，则
a1＋
a2＋…＋an 的值为________. 若 x4(x＋4)8＝a0＋a1(x＋3)＋a2(x＋3)2＋…＋a12(x＋3)12，则 log2(a1＋a3＋…＋a11)＝（）
A．4
B．8
C．12
D．11
已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝( )
A.1
B.243
C.121
D.122
在二项式
x－1 x
n
的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有
x2
项的系
数是( )
A.35 B.－35 C.－56
若
x－3 x
n
展开式的各项系数的绝对值之和为
1
024，则展开式中
x
的一次项的系数为
________．
解析：Tr ＋ 1－3)r·Crnxn－3r ，

高中数学专题强化练3-赋值法解决二项式系数问题

专题强化练3 赋值法解决二项式系数问题一、选择题 1.()若(1+2x)100=a 0+a 1(x-1)+…+a 100(x-1)100,则a 1+a 2+…+a 100=( )A.5100-3100B.5100C.3100D.3100-1 2.(2020山东泰安高三复习测试,)若(1-2x)8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 8|=( ) A.28-1B.28C.38-1D.383.(2020河北衡水高考一轮复习讲练测,)若(1+x +x 2)n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n (n∈N *),则a 0+a 2+a 4+…+a 2n 等于( ) A.2nB.3n -12C.2n+1D.3n +124.(多选)(2020山东枣庄高二下教学质量检测,)若(2x+1)10=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 10x 10,x∈R,则( ) A.a 0=1B.a 0=0C.a 0+a 1+a 2+…+a 10=310D.a 0+a 1+a 2+…+a 10=3二、填空题5.(2019河南部分省级示范性高中高三联考,)已知(x 2-1)2(x+1)96=a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1)2+…+a 100(x+1)100,则2a 1+22a 2+…+2100a 100= . 6.()已知(1-2x)2 018=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2 018x 2 018,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 2018|= .7.()若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为.8.(2020浙江金华一中高二上期末,)已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5= .三、解答题9.(2020天津宝坻高二下期中,)若(x2+1)·(x-1)8=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a10(x-2)10.(1)求a1+a2+a3+…+a10的值;(2)求a1+a3+a5+a7+a9的值.答案全解全析专题强化练3 赋值法解决二项式系数问题一、选择题1.A 令x=2,得(1+2×2)100=5100=a0+a1+…+a100,令x=1,得3100=a0, 所以a1+a2+…+a100=5100-3100.故选A.2.C 已知(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=0,得a0=1,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a8=38,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=-a1+a2-a3+…+a8=38-a0=38-1,故选C.3.D 令x=1,代入题中等式可得3n=a0+a1+a2+…+a2n,①令x=-1,代入题中等式可得1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,②由①+②得2(a0+a2+a4+…+a2n)=3n+1,所以a0+a2+a4+…+a2n=3n+12.故选D.4.AC 已知(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,令x=0,得a0=1,故A正确,B错误.令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=310,故C正确,D错误. 故选AC.二、填空题5.答案0解析令x=-1,可得a0=0;令x=1,可得a0+2a1+22a2+…+2100a100=0,所以2a1+22a2+…+2100a100=0.6.答案32 018r(-2x)r(r=0,1,2,…,2 018),解析易得(1-2x)2 018的展开式的通项为T r+1=C2018结合(1-2x)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018·x2 018,知a1,a3,…,a2 017均为负值,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 018|=a0-a1+a2-a3+…+a2 018.令x=-1,代入原式可得32 018=a0-a1+a2-a3+…+a2 018.故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 018|=32 018.7.答案1或-3解析令x=0,得(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,令x=-2,得m9=a0-a1+a2-a3+…-a9,又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a9)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9)=39,∴(2+m)9·m9=39,∴m(2+m)=3,∴m=-3或m=1.8.答案-10解析已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,两边同时对x求导得-10(1-2x)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-10×(1-2)4=-10.三、解答题9.解析(1)令x=2,得(22+1)(2-1)8=a0,即a0=5.令x=3,得(32+1)(3-1)8=a0+a1+a2+a3+…+a10=2 560,所以a1+a2+a3+…+a10=2 560-5=2 555.(2)令x=1,得(12+1)(1-1)8=a0-a1+a2-a3+…+a10=0,由(1)知a0+a1+a2+a3+…+a10=2 560,两式相减得-2a1-2a3-2a5-2a7-2a9=-2 560,所以a1+a3+a5+a7+a9=1 280.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

二项式定理难点赋值法-带答案

【详解】
因为 a0 ， a2 ， a4 ， a6 ， a8 为正， a1 ， a3 ， a5 ， a7 ， a9 为负，
令 x 1 ，得 1 39 a0 a1 a2 a3 a8 a9 49 ，
a0 a1 a9 a0 a1 a2 a3 a8 a9 49
故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．A
C51 21 2 C50 5 15，即 a5 15 .
故答案为：（1） 160；（2）15
【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查乘法分配律，属于基础题. 12．121 【解析】【分析】
在所给的等式中令 x 1 ， y 1,令 x 1， y 1可得 2 个等式，再根据所得的 2 个等式即
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，取 x 1 和 x 2 是解题的关键.
9．A 【解析】【分析】将（1+x）5 变成﹣[（﹣2）+（1﹣x）]5 后，用通项公式可求得．【详解】 ∵（1+x）5＝﹣[﹣2+（1﹣x）]5，
通项T5r1 C5r 2 5r 1 x r ,
a3＝﹣ C53 （﹣2）2＝﹣40，
故选：A．【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 10．ACD 【解析】【分析】
根据题意，可把 a0 a1 x 1 a2(x 1)2 a3(x 1)3 a9(x 1)9 视作-1+2(x 1)的
二项展开式，从而可以根据二项展开式的通项公式和赋值法，即可判断正误. 【详解】对任意实数 x，
试题分析：因为 x3 [2 (x 2)]3 a0 a1(x 2) a2 (x 2)2 a3(x 2)3 ，所以 a2 C32 21 6 ，故选择 B.

题型08 二项展开式中的系数和、差问题(解析版)

【秒杀题型】：二项展开式中二项式系数和、各项系数和与差【题型1】：求二项式系数和、各项系数和。

『秒杀策略』：二项展开式二项式系数和：n 2；奇数项与偶数项二项式系数和相等为：12-n 。

系数和：赋值法：二项展开式的系数表示式：nn n x a x a x a a b ax ++++=+...)(2210(n a a a ,...,,10是系数)，令1=x 得系数和：nn b a a a a )(...10+=+++。

1.(2011年新课标全国卷5)5)12)((xx x ax -+的展开式中各项系数和为2，则该展开式中常数项为 ( ) A.－40 B.－20 C.20 D.40【解析】：令1=x 得系数和：1,2)12)(1(5==-+a a ，再利用分配系数法得常数项为40，选D 。

2.(高考题)已知n的展开式中，各项系数和与其各项二项式系数和之比为64，则n 等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】：令1=x 得系数和：n4，二项式系数和：n2，之比为n2=64，得6=n ，选C 。

3.(高考题)设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为 ( )A.－2B.－1C.1D.2 【解析】：令1-=x 得系数和：-2，选A 。

4.(高考题)8)2(x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ( )A.－1B.0C.1D.2 【解析】：令1=x 得系数和：1，4x 的系数是1，选B 。

5.(高考题)在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于。

【解析】：二项式系数和：n 2=256，n=8，利用通项得()r r r rrr r x C x x C T 22348883181-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+，当2=r 时得常数项112。

二项式定理赋值法求各项系数的和

二项式定理赋值法求各项系数的和例2.已知(1 一2兀)，=a Q + a{x + a2x2 +••• + fl7x7.求：(1)q + 色 + ・•・ + 吗：(2 ) % + a? +1— + ①；(3) I a。

丨 +1 q I +• • • +1 吗I ・解：(1)肖x = 1时，(l-2x)7 =(1-2)7 =-1,展开式右边为4)+5 + °2 + …+ “7/. a。

+ q + a】+ …+ ①=—1,当X = 0 时t a() = 1 • a x + a2H ----- =— 1 -1 = —2,(2)令兀=1 •4)+4 +“2 +••・ + 心=一1 ①令兀=一],_ q + 6 _ 角 + °4 _ °5 + °6 _ ^7 = 3? ②1 + 3?①一② 得：2(q +角+。

5 +6)= _1_3? ■«! +«3 +«5 +«7 =-———.2(3)由展开式知：a x,a3y a5,a7均为负，a。

—ci] + d丁—(厶 + 偽—①+ “6 —°7=(a0 +。

2 + 4 +。

6)-(4 +。

3 + “5 +)= 37例6・设(l + x) + (l + x)2 +(l + X)'+・・・ + (l + X)" = 670+67|X + rt2X2+••• + ©/", 为a{}+a A +a2+••・ + a n = 254时.求n的值.解：令x = \得：勺+厲+①+…+ ①=2 + 22 + 23 + ・..+ 2" =^_^ = 254,2 — 1・•・ 2" =12&w = 7,点评:对于f（x） = a（）（x-ay1 + Q]（x一+・・・ + %,令x —“ = 1,11卩x = d +1可得各项系数的和“° + q +①+…+ ©的值；令x — " = 一1,即X = d — 1,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8.在（2x-3y）10的展开式中，求：①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:閃为二项式系数特抬组合数C爲故在①，③中只需求组合数的和，而与二项式2x-3y中的系数无关.解:设（2x-3y）" =t/o x10+a]x）y + a2x^y2+ …+ （*）»各项系数和即为"o+d] +・・+山（）,奇数项系数和为5+“2+・・・+ 4（），偶数项系数和为I" + 5 + “5 ------- 1-, X的奇次项系数和为© + “3 + “5 -------------- 旳，X的偶次项系数和d（）+ Cly+ “4 "I"10 ・由于（*）是恒等式,故可用“賦值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为C^+C：o+…+ C；；=21。

二项式定理.版块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.学生版

赋值求某些项系数的和与差
知识内容
1．二项式定理
⑴二项式定理
a b n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 ... Cnnbn n N
这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项
Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 ... Cnnbn 叫做 a b n 的二项展开式，其中的系数 Cnr r 0 , 1, 2 , ..., n 叫做二项式系数，式中的 Cnr anrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr1 表示，
【例29】证明：
n
k 0(
k
1 1) (
k
2)
Ckn
(
2n2 n 3 n 1) ( n 2)
．
【例30】求证： C1n 2C2n nCnn n 2n1
【例31】求
x
1 x
5
的二项展开式．
【例32】设 f (x) x5 5x4 10x3 10x2 5x 1 ，则 f 1(x) 等于（）
（）．
A． 1
B． 1
C． 0
D． 2
【例20】若 (1 2x)100 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a100 (x 1)100 ，则 a1 a3 a5 a99
（）
A． 1 (3100 1)
2
B． 1 (3100 1)
2
C． 1 (5100 1)
2
D． 1 (5100 1)
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
Cn0 Cn2 Cn4 ... Cn1 Cn3 Cn5 ... 2n1 ．
常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．

二项式定理(习题含答案)

二项式定理一、求展开式中特定项1、在30+的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（） A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C 【解析】()r r rrr r xC x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若2531()x x+展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x+展开式的通项为10515r rr T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82)x的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(2)(13)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r rx -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设2sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项是．【答案】332=- 332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x 的展开式中62x y 项的系数是（）A ．56B ．56-C ．28D ．28- 【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是．【答案】-55【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ． 10、已知dx xn 16e1⎰=，那么nx x ）（3-展开式中含2x 项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r r r n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r rr r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a 等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，r n C 取最大值，∴8n =，第4项为119(163)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么017a a a +++的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++，得70127(12)1a a a a -=++++=-，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=-，即1272a a a +++=-，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在*3)()n n N x-∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270. 17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++，即01281a a a a ++++=再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r？=（﹣1）r？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r ？？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255 【解析】178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若32nx x 的展开式中第四项为常数项，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B. 21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （）A 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n，解得6=n ；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x-，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=． 23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（） A ．10或1 B ．53-或1 C ．2或53- D ．10± 【答案】B ．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。