24[1].2.2__直线和圆的位置关系(3.4)

图中有哪些等量关系？PA PB ∠OPA=∠OPBO
B P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言叙述 你所发现的结论
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O
P · ·
B
A
P
切线与切线长是一回事吗？ O 它们有什么区别与联系呢？ B 切线和切线长是两个不同的概念：
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别 是圆外一点和切点，可以度量。
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3
B
所以，半径 OA 的长为 3 cm.
如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一 点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC 与点D。求证：DE∥OC
B
三、选择
（1）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
A 16cm C 12cm A B D D C E B P 14cm 8cm
A
O M
P
C
B
OA=3 （1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA 60 （2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= ° （3）若∠P=70°，则∠AOB= ° ⌒ ＝ ＢＭ ⌒ ⊥ ＡＭ （4）OP交⊙O于M，则 ，ＡＢ ＯＰ
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一 点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切 点所成的弧。
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你 又能得出什么新的结论?并给出证明.
B
CA=CB C
。
P
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,
∴PA = PB , ∠APO=∠BPO.
又∵PC=PC.
110
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
(1) 解： OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB E △ACP≌△BCP. A O C D P
复习巩固 （１）定义
判定切线的方法：
直线与圆相切
( 2 ) d=r
（３）切线的判定定理. （已知直线过圆上一点： 连半径，证垂直） （不明确直线是否过圆上一点： 作垂直，证半径）
画一画
1.已知⊙O上有一点P,你能过点p作出⊙O的切线吗?
●
O
●
●
O
●
P
P
2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的 切线吗?
∴
△PCA ≌ △PCB ,
∴AC=BC.
随堂练习
如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA， PB分别切⊙O于A，B，则PA＝_______， ∠APB＝_____ A
P
O B
一、判断
练习
）
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 二、填空 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 25 度。 A O P
C A E D
O
B
牛刀再试
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交 PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的 周长。 易证EQ=EA, FQ=FB, PA=PB
E Q P
A O B F
∴ PE+EQ=PA=12cm
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 A 两条切线的夹角。
切线长定理
O 书写格式:
∵
P
B
PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法
A
·
B
C
D
p
如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？
∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO ∴OP⊥AB，且OP平分AB
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一 点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切 点所成的弧。
o
⌒ ⌒ AD与BD 相等吗？
若从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
。
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
C 证明：连接ＢＤ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径 ∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线 ∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点 ∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２ ∴ＯＣ⊥ＢＤ ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径 ∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ ∴ＤＥ∥ＯＣ A E D O
1 2
·
B
例2.如图，已知AB是⊙O直径，AC，BD， CD都是⊙O的切线，A，B，E是切点，连 结CO，DO 求证：（1）AC+BD=CD 0 （2）∠DOC=90
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
A
∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点
C
·
o B
D
p
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？
∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
∴OP⊥AB，且OP平分AB
⌒ ⌒ AD与BD 相等吗？
试用文字语言叙述你所发现的结论
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
二、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角. B
。
O A
P
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB