2019年安庆二模文科数学答案

2019年安庆市高三模拟考试（二模）文科数学试题参考答案一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的1.解析：本题主要考查集合的运算.{}21|≤≤=x x M ,{}2,1=N M . 故选C.2.解析：本题主要考查复数的计算及模长意义.,7i z -=25=z .故选B.3.解析：本题主要考查等差数列的性质，.287,4474==∴=a S a 故选B.4.解析：由分段函数的结构知,其定义域是,1），（∞+-所以.0>a (1)当10<<a 时, )1()(-=a f a f 就是,2a a =,41=a .8)4(=f (2)当1≥a 时, )1()(-=a f a f 就是)1(22-=a a ,不成立.故选D. 5.解析:正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形， 矩形的长为b 3，宽为a ，则其对角线AA 1 的 长为最短路程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为229b a +. 故选A.6.解析：取2-=e x ，则,04)(2<-=-e e f 排除B.取2e x =，则,04)(2>=e ef 排除D.显然1是)(x f 的零点，)(48)(224e f ee ef =<=,排除C.故选A.或：根据函数定义域及函数极值点判定.,ln 2)(xx xx f -='极值点是2e x =，2e x >时单减，且1>x 时，0)(>x f .故选A. 7.解析：本题主要考查几何概型与数学文化. 设大正方形边长为5,由54cos =α知α对边等于3，邻边等于4，数学试题（文）答案（共8页）第1页所以小正方形的边长为1，面积等于S=1,251=阴影P .故选D. 8.解析：本题主要考查程序框图，循环结构，根据结果找条件. 根据框图，2+=i i ，故选B.9.解析：因为m x x x f +--=)sin 21(2sin 4)(2，3)1sin 2(2sin 4sin 422-++=-++=m x m x x所以函数)(x f 在R 上的最大值是.3,33)12(2-==-++m m 故选C. 10.解析：本题主要考查导数的几何意义及直线与圆的位置关系.22:,2|2--=∴-=='-=x y l x y x ,所以圆心（2,0）到l 的距离是55656=. 所以最小值是2556-.故选C. 11. 解析：本题主要考查三视图问题，由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体.().499434133481201512222πππ-=⨯⨯-⨯⨯+++故选A.12. 解析：本题主要考查三角函数的图象与性质.因为函数()x f 的最大值是1，所以1)1611()163(==ππf f ，周期是 .2)1631611(1n n T πππ=-=所以.4,22n ==ωπωπ取.4=ω 又因为,221634ππϕπ+=+⨯k 所以,42ππϕ-=k 取.4πϕ-= 于是).44sin()(π-=x x f 函数()x f 的图象向左平移4811π个单位后得到()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=324sin πx x g .在四个选项中A 、B 、C 选项错误.故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 13. 102-14. 25 15. 11 16. 63713.解析：本题主要考查平面向量的运算..1025101,cos -=⋅->=<14.解析：本题主要考查双曲线的渐近线方程.根据双曲线方程可知其渐近线方程为数学试题（文）答案（共8页）第2页x a y 2±=.而已知02=-y x 是一条渐近线方程，则有212=a，.25,16==e a15.解析：本题主要考查简单的线性规划问题，不等式表示区域如图中阴影部分所示， 目标函数为332zx y +-=是与 直线x y l 32:-=平行的直线系， 当直线x y l 32:-=向上平移时，z 在增大，且过点A 时达到最大值，由⎩⎨⎧=-+=+-092302y x y x 得()3,1A ,从而11max =z . 16.解析：本题主要是考查解三角形及平面向量运算的几何意义.由余弦定理得，213127312cos 222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+=）（CA AB BC CA AB A ,所以 60=A .因此.321,260sin 7==OB OB由题意知，点P 的轨迹对应图形是边长为OB 的菱形,.120=∠BOC 于是这个菱形的面积是.6372337120sin 21222=⨯=⋅⨯⨯=∆ OB S BOC 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分) 解析：（Ⅰ）由题可知{1121214S a S a a ===+=，解得23a =，即{113a q ==. ……………3分所以{}n a 的通项公式13n na -=。

……………4分前n 项和1(1)3112n n n a q S q ⋅--==-. ………6分数学试题（文）答案（共8页）第3页（Ⅱ）311111(1)log (1)1nn b n a n n n n +===-+⋅++. ………9分所以数列{}n b 的前n 项和12111111111223111n n n T b b b n n n n =+++=-+-++-=-=+++. ………12分 18．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）因为1AA ABC ⊥平面，所以⊥1CC 平面ABC .而⊂1CC 平面11B BCC ,所以平面⊥ABC 平面11B BCC . ………2分 因为线段BC 的中点为D ，且.ABC AD BC ∆⊥是等腰三角形，所以 而BC C CBB ABC ABC AD =⋂⊂11,平面平面平面,11AD CBB C ⊥所以平面. 111C E CBB C ⊂又因为面，1.AD C E ⊥所以………5分（Ⅱ）1AA ABC ⊥平面，1AA AC ⊥则.90BAC ∠=，即A C A B ⊥.又AB AC A ⋂=，所以11AC ABB A ⊥平面，故1111AC ABB A ⊥平面，所以11A EC ∆是直角三角形.在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC，直线1AC C E 、所成角的余弦为12， 则在11EC A Rt ∆中，111cos 2A C E ∠=，112AC AC ==，所以1AE =.………7分 在E B A Rt 11∆中，112A B =，所以1B E =.因为1AA =所以点E 是线段1BB 的靠近点B 的三等分点. ………9分因为,324222221313111111=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-CA S V E B A E B A C 所以11B A DE V -=11D A B E V -=1112C A B E V -.322= ………12分 19．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=， 则502000.25n ==. ……………2分 数学试题（文）答案（共8页）第4页用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，则0.1250.012510b ==.用水量在[]50,60内的频率是50.025200=，则0.0250.002510a ==. ……………4分 （Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为.25.2745.55)275.062.161.125.157.0125.0(5025.05518.04523.03525.02519.015125.05=⨯=+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯……………7分（Ⅲ）设A ，B ，C ，D ，E 代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD, BCE, BDE, CDE 共10个,其中包含A 的有ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE 共6个. …………10分所以53106==P . 即年用水量最多的家庭被选中的概率是53……………12分 20. (本小题满分12分)解析：（Ⅰ）由题可知c e a ==，2210a b +=，解得32a b ==，. 故椭圆E 的标准方程为149:22=+y x E . ……………5分 （Ⅱ）解法1：设),(00y x P ，直线PA 交y 轴于点1(0)C y ，，直线PB 交y 轴于点2(0)D y ，.则14922=+o o y x ，即49922=-oox y .易知OC OD 与同向，故21y y OD OC ⋅=⋅. ……………7分因为(30)A -，，(30)B ，，所以得直线PA 的方程为ooo o x x x y y y ---=--3，令0x =，则o o x y y +=331；直线PB 的方程为oo o o x x x y y y --=--3，令0x =，则.33002x y y -=所以=⋅=⋅21y y OD OC 49922=-oox y ，为定值. ……………12分 数学试题（文）答案（共8页）第5页解法2：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，则有.22a b k k PB PA -=⋅由（Ⅰ）知，设直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则1249k k ⋅=-.…………7分 直线PA 的方程为1(3)y k x =+，令0x =得113y k =；直线PB 的方程为2(3)y k x =- 令0x =得223y k =-.所以121294OC OD y y k k ==-=. ……………12分解法3：22194x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，则.94-=⋅PB PA k k ……………7分如题图所示，33)(⨯⨯-⋅===⋅PB PA k k OD OC 4933)(=⋅-=⨯⨯-⋅=PB PA PB PA k k k k . ……………12分21. (本小题满分12分)解析：（Ⅰ）由2()42f x x x =++得， ()24f x x '=+.于是)1(2)2)(()(g +=-'=x te x f te x x x ，所以)2(2)(g +='x te x x .……… 2分因为函数()f x 的图象在点))817(,817(--f A 处的切线与函数)(g x 的图象在点))0(,0(g B 处的切线互相垂直，所以-1(0)g )817(='⋅-'f ，即-1,441=⋅-t 1.=t……… 5分（Ⅱ）2()42f x x x =++，()2(1)xg x e x =+.设函数()F x =482)1(2)(2)(g 2---+=-x x x ke x f x k x （2x ≥-）， 则()F x '=)2(2(2842)1(2)(2)(g -+=--++='-'xx x ke x x ke x ke x f x k ）. 由题设可知(0)F ≥0，即2≥k .令()F x '=0得，1x =02ln≤k，2x =－2. （1）若－2＜1x ≤0，则222e k <≤，此时1(2,)x x ∈-，()F x '＜0，1(,)x x ∈+∞，数学试题（文）答案（共8页）第6页()F x '＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，所以()F x 在x =1x 取最小值1()F x .而=)(1x F 0)2(248244482)1(211121112111≥+-=---+=---+x x x x x x x x ke x ∴当x ≥－2时，()F x ≥0)(1≥x F ，即)(2)(g x f x k ≥恒成立. ……… 8分 ②若,21-=x 则22e k =，此时0)22(2(2)(2≥-+='+x e x x F ）∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0，∴当x ≥－2时，()F x ≥0， 即)(2)(g x f x k ≥恒成立. ……… 10分③若,21-<x 则22e k >，此时(2)F -=0)2(242222<--=+---e k e ke .∴当x ≥－2时， )(2)(g x f x k ≥不能恒成立.综上所述，k 的取值范围是[].2,22e ………12分 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解析：（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即22(5x y +=.………2分 直线l 的普通方程为05=--+m y x ， l 被圆C截得的弦长为l 的距离，即,232550=--+m 解得33m m ==-或. ………5分 （Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，22(3))5+=，即2220t -+=，由于24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以121221t t l P t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，又直线过点，故由上式及t 的几何意义得，PA PB +=122(|t |+|t |)=122(t +t)=………10分法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上. 又5)55(322>-+，数学试题（文）答案（共8页）第7页所以点P 在圆外.联立⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+0535)5(22y x y x 消去y 得，2320x x -+=.不妨设(1A B ，、，所以PA PB +=23222=+. 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解析：（Ⅰ）()(1)f x f >就是21215x x ++->.（1）当12x >时，5)12()1(2>-++x x ，得1x >. (2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立. ………2分 （3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-. 综上可知，不等式()(1)f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，.………5分 （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤. ………7分 因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥.所以43m n +≥≥. ………10分数学试题（文）答案（共8页）第8页。