第三部分几何

合集下载

初等数学研究几何部分第三章初等几何变换

链接
设G 是一个非空集合，在G存在一种运算·，有
⑴ 封闭性；——广群（代数系统）半群 ⑵ 结合律； ⑶ 单位元；
单胚
⑷ 逆元（非单位元的元素都有逆元）。
则称 G关于·是一个群。
例如① 正ABC变为自身的变换集合记为G．
第一类：旋转对称．令
A
f0
A
B
f1
B
B C
C
A
⑤ 关于同一旋转中心的两次旋转的乘积是一个旋转；
⑥ 旋转变换的逆变换是旋转变换；
⑦ 同一个旋转中心的所有旋转变换构成一个群，称为
旋转群．旋转群是合同变换群的子群。
例2 设 P 为正ABC内一点，PC 3，PA 4，PB 5 ，
求 ABC的边长．解如图3-2-4所示，令 BCP R(C,60o) ACP，则BCP ≌ ACP， ∴ PC PC ，3 PA PB ，5 B
链接
⑴
⑵ 图3-2-1
第一类合同变换（真正合同）（定向相同）
（运动群）
第二类合同变换（镜像合同）（定向相反）（不构成群）
二、合同变换的特例——平移、旋转、反射
1．平移
⑴ 定义
定义6 平面到其自身的变换，如果对于每一个点P 以
及对应点
P，都有
uuur PP
a（其中a
为给定的已知向量），
那么这个变换叫做平面上的平移变换，简称平移，记
⑵ 表述：令 P R(O, ) P或令图形 F R(O, )图形 F，则
图形 F 图形F．
特别地，当时为点反射。
⑶ 性质
① 旋转变换下，两点间距离保持不变；
② 角度是旋转变化下的不变量；
③ 旋转把任意图形变换成与它真正合同的图形；

解析几何第三章

M 1 M 2 、 M 1 M 3 不共线
(1)
(2)
(3)
x − x x2 − x1 x3 − x1 y − y1 y2−y1 y3 − y1 = 0 z − z1 z2 − z1 z3 − z1
平面上任意一点设 M( x, y, z) 为平面上的任意一点
→ → r r 且 r = OM =( x, y, z), ri = OMi =( xi , yi , zi )(i = 1,2,3)
情形. 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形
( 4 ) A = B = D = 0,
有z = 0,即xoy面.
例 4 设平面过原点及点( 6,−3, 2) ，且与平面
4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.
解设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0,
代入体积式
1 1 1 1 1 ∴1 = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒t=± , 6 6t t 6t 6
∴ a = ±1,
b = ±6,
c = ±1,
所求平面方程为 6 x + y + 6 z = 6. 或
6 x + y + 6z = −6.
平面的法式方程
z
r n
M
如果一非零向量垂直于一平面，于一平面，这向量就叫做法线向量．该平面的法线向量该平面的法线向量．
→
向量式法式方程
n0 o
M y
→ r → r r − pn0 = n0⋅ r − p = 0 n ⋅
2 、设
→ x r r = ( x, y, z), n0 = (cosα,cos β,cosγ )

七年级奥数第三部分知识点

七年级奥数第三部分知识点七年级的奥数第三部分是一个比较重要的环节，对于学生的未来学习和职业规划都会有影响。

在这个阶段，学生需要学习的知识点非常多，以下是七年级奥数第三部分需要掌握的知识点。

一、方程方程是七年级奥数第三部分的重点之一。

学生需要了解基本的方程的概念和解法，掌握方程在实际问题中的应用。

1.基本方程的概念方程是指等号两边的代数式，一般写作a=b。

在方程中，“=”称为等号，左边的a和右边的b称为方程两边，a和b可以是数、变量、式子或表达式。

2.方程的解法解方程是指找到满足方程条件的未知数的值。

常见的方程的解法有四种：加减法、乘除法、平方根法和配方法。

二、比例比例是七年级奥数第三部分的另一个重点。

学生需要了解基本比例的概念和解法，掌握比例在实际问题中的应用。

1.基本比例的概念比例是两个量的比值，一般写作a:b，读作a与b的比。

其中a和b称为比的两个项。

在比例中，a称为前项，b称为后项；a和b 可以是数、变量、式子或表达式。

2.比例的解法解比例是指求出比例中未知量的值。

常见的比例的解法有三种：纵列法、图形法和通项法。

三、几何几何是奥数的核心部分。

在七年级奥数第三部分中，学生需要学习基本几何的要素、形状和空间图形的关系，掌握几何在实际问题中的应用。

1.基本的几何概念七年级学生需要掌握线段、直线、角、圆和多边形等基本的几何要素的概念和性质。

2.线段和角的测量学生需要学会用尺子和量角器测量线段和角的度数。

3.空间图形在七年级的几何中，学生还需要学习空间图形的基本要素、性质和分类，如立体图形的表面积和体积的计算等。

综上所述，七年级奥数第三部分需要掌握的知识点很多，希望学生能够认真学习，做好功课，努力提高自己的数学能力，为未来的学习和职业规划打下良好的基础。

高中数学第三章第3节几何概型理知识精讲人教新课标A版必修3

高二数学第三章第3节几何概型理知识精讲人教新课标A 版必修3一、学习目标：（1）了解几何概型的概念及基本特点（2）熟练掌握几何概型中概率的计算公式（3）会进行简单的几何概率计算（4）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想二、重点、难点：重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。

难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。

三、考点分析：本部分内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。

（1）区别古典概型与几何概型（2）理解随机模拟求几何概型的概率1、几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型。

2、几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

3、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度。

说明：（1）D 的测度不为0；（2）其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。

（3）区域为“开区域”；（4）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。

4、模拟计算几何概型的步骤：（1）构造图形（作图）；（2）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率m n；（3）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量。

最新人教版高中数学必修3第三章《几何概型》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型1.几何概型的概念如果把事件A 理解为区域Ω的某一个子区域A,A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，则称满足以上条件的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型.深化升华准确理解几何概型的定义，要注意定义中的两个关键词：“无限性”，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；“等可能性”，即每个基本事件发生的可能性是均等的.对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地取一点，该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这里的几何区域可以是线段，也可以是平面图形、立体图形.这样，我们就把随机事件与几何区域联系在一起了.2.几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.辨析比较几何概型与古典概型的主要区别在于：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是均等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.随机事件A“从正整数中任取两个数，其和为偶数”是否为几何概型？尽管这里事件A 满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的基本特征——能进行几何度量.故事件A 不是几何概型. 误区警示几何概型的两个特点(无限性和等可能性)不是判定一个事件是否为几何概型的基本特征，要判定一个随机事件是否为几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征——能进行“几何度量”，不过掌握几何概型的两个特点有利于区分几何概型与古典概型.事实上几何概型是由连续型随机变量所组成随机事件的一类特殊概型，而不是由离散型随机变量(如变量取自然数)组成的随机事件.另外，在判断一个试验是否为古典概型时，其基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的.二、几何概型的计算公式几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 设在空间上有一区域G ，又区域g 包含在区域G 内，而区域G 与g 都是可以度量的(可求面积)，现随机地向G 内投掷一点M ，假设点M 必落在G 中，且点M 落在区域G 的部分区域g 内的概率只与g 的度量(长度、面积、体积等)有关，而与g 的位置和形状无关.则关于几何概型的随机事件“向区域g 中任意投掷一个点M ，点M 落在G 内的部分区域g”的概率P 为g 的度量与G 的度量之比，即P(A)=的度量的度量G g 我们把每个基本事件理解为某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型可以用几何概型来求解.在几何概型中，如果A 为随机事件，若P(A)=0，则A 一定为不可能事件；若P(A)=1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？这种说法不正确.如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.本节教材P 130页例1 是一个与长度有关的几何概型问题.解题时，要紧紧抓住以下几个方面：(1)在某个时间段内任取一个时刻，有无穷多个结果，不能用古典概型的思想去分析；(2)事件发生(打开收音机)的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间的位置无关.要体会如果X 落到［0，60］区间内的任一点是等可能的，则X 称为［0，60］区间上的均匀随机数，X 服从［0，60］的均匀分布.均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.教科书中的均匀分布仅仅是描述性的，不是严格的数学定义.用几何概型求解概率问题和古典概型的情况相同，同属于“比例”解法,即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形长度(面积或体积)”与“试验的基本事件所占的总长度(面积或体积)”之比来表示.与古典概型一样，几何概型也有如下的性质：(1)0≤P(A)≤1；(2)如果A 是必然事件，则P(A)=1；如果A 是不可能事件，则P(A)=0.反之不成立；(3)如果A 、B 互斥，则P(A ∪B)=P(A)+P(B)；(4)如果A 、B 相互对立，则P(A)=1-P(B).三、随机数随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样. 随机数应用很广泛，利用它可以帮助我们进行随机抽样，还可以利用它在某一个范围得到每一个数机会是均等的这一特征来模拟试验，这样可代替我们自己做大量重复的试验，从而使我们顺利地求出有关事件的概率.随机数的产生可以人工产生，例如抽签、摸球、转盘等方法，但这样做费时、费力，而且有时很难确保抽到每一个数的机会是均等的，因此，我们现在主要是通过计算器和计算机来产生随机数的.利用计算器RAND 函数可以产生[0，1]上的均匀随机数，试验的结果是区间[0，1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的.因此，可以用计算器产生0到1之间的均匀随机数进行模拟.如何产生［a ，b ］上的均匀随机数？利用计算机(或计算器)产生［0，1］上的均匀随机数x 1=RAND ，然后利用伸缩和平移变换x=x 1*(b-a)+a 就可以得到［a ，b ］上的均匀随机数，试验的结果是区间［a ，b ］内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的.典题·热题知识点一与长度有关的几何概型的求法例1 公共汽车在0—5 min 内随机地到达车站,求汽车在1—3 min 之间到达的概率.思路分析：本题考查几何概型的计算方法.时间是连续的，是无限的，在题设条件下这是几何概型，求出问题的Ω和A ，则问题可以解决.解：将0—5 min 这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1—3 min 是这一线段中的2个单位长度.设“汽车在1—3 min 之间到达”为事件A ，则P(A)=52. 方法归纳求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.例2 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段绳子长度都不小于1 m 的概率有多大？解：从每个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算.记“剪得的两段绳子长度都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置在中间一段上时，事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31，所以事件A 发生的概率P(A)= 31. 方法归纳要利用几何概型来求随机事件的概率，关键是在实际问题中建立几何概型的模型.如本例中，由于事件的落脚点在于自绳子的哪一个位置(点)剪断，因而基本事件可以看作在3 m 长的绳子上任取一点，于是所求概率的事件就是从中间的1 m 长的绳子上任意取一点的问题，于是将问题转化为几何概型.本例所建立的是与长度有关的几何概型，对于与长度有关的几何概型的问题，其概率公式为P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 一般地，要想通过一个连续变量建立与长度有关的几何概型的概率模型，只需把这个变量放在坐标轴上即可建立相应的模型.知识点二与面积有关的几何概型例3 将长为l 的棒随机折成3段，求3段长度能构成三角形的概率.思路分析：本题考查与面积有关的几何概型的求法，要找清楚Ω和A.图3-3-1解：设A=“3段长度能构成三角形”，x 、y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合Ω=｛(x ，y)|0<x<l ，0<y<l ，0<x+y<l ｝.要使3段长度能构成三角形，当且仅当任意两段长度之和大于第3段长度,即x+y>l-x-y ⇒x+y>2l , x+l-x-y>y ⇒y<2l , y+l-x-y>x ⇒x<2l . 故所求结果构成的集合A={(x,y)|x+y>2l ,y<2l ,x<2l }. 由图可知，所求概率为P(A)=412)2(222=∙=Ωll l A 的面积的面积. 巧解提示一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量(如本例中的x 、y)来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.例4 如图3-3-2，在墙壁上挂着一块正方形飞镖板，其边长为16 cm ，上面的几个圆圈，分别是半径为2 cm ，4 cm ，6 cm 的同心圆.某人站在3 m 之外投掷飞镖，设飞镖投中线上或没有投中飞镖板都不算，可重投，问：图3-3-2(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？思路分析：投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中都不算)都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性是相等的，所以投中某一部分的概率只与这部分的几何度量(面积)有关，这符合几何概型的条件.解：记A={投镖投中大圆内}，B={投镖投中小圆与中圆形成的圆环}，C={投镖投中大圆之外}，S 正方形=162=256(cm 2)，S 大圆=π×62=36π(cm 2)，S 中圆=π×42=16π(cm 2),S 小圆=π×22=4π(cm 2). 所以(1)P(A)=64925636ππ==正方形大圆S S ； (2)P(B)=64325612256416S ππππ==-=-正方形小圆中圆S S ； (3)P(C)=649125636256ππ-=-=-正方形大圆正方形S S S . 所以，(1)投中大圆内的概率是649π； (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是643π； (3)投中大圆之外的概率是1-649π. 巧解提示要准确把握图形的边界与基本事件所表示的区域的关系.如本题，投中线上或投不中都不算，因而投中正方形内各部分的任何一点都是等可能的.知识点三与角度有关的几何概型例5 如图3-3-3，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率.图3-3-3解：以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的. 落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件.记事件B=｛射线OA 落在∠xOT 内｝.因为∠xOT=60°，所以P(B)=6136060=. 巧解提示本例中“成比例”的量，既不是长度，也不是面积和体积，而是角度，这与教材中几何概型的定义不相符.但因为一是教材中有关几何概型的定义不是严格的定义；二是教材中的定义只是说明了当随机事件与其基本事件具备这种“成比例”的条件时，我们便可以利用“成比例”求其概率的思想方法,所以在本例中，我们可以利用“角度”成比例来求其概率. 例6 如图3-3-4,在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC.求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.图3-3-4解：A={作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°}，作射线OD 、OE ，使∠AOD=30°，∠AOE=60°，当OC 在∠DOE 内时，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则P(A)=31. 巧解提示其实，本题可以分别求扇形AOB 、扇形DOE 的面积，然后用几何概型的公式进行计算.但是，如果从角度的变化进行分析，显然弧DE 的长度是弧AB 的长度的31，分析、计算更加简便.知识点四与体积有关的几何概型例7 有一杯2 L 的水，其中含有一个细菌.用一个小水杯从这杯水中取出0.1 L ，求小水杯中含有这个细菌的概率.解：记“小水杯中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.由几何概型的公式，P(A)=20121.0=. 巧解提示用体积计算概率时，要注意所求概率与取出的体积的关系，确定好基本事件、取出部分的体积的计算.事实上，水中含细菌的概率，只与杯中的水的体积有关.因而，只需求得小水杯与大水杯的水的体积之比，即为小水杯中含有这个细菌的概率.知识点五会面问题例8 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.图3-3-5思路分析：按照约定，两人在6时到7时之间任何时刻到达会面点是等可能的，因此是一个几何概型，设甲、乙两人到达的时间为x 和y ，则|x-y|≤15是能够会面的先决条件.解：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是|x-y|≤15. 在平面上建立直角坐标系如图3-3-5所示，则(x ，y)的所有可能会面的时间由图中阴影部分所表示.这是一个几何概型问题，由等可能性知P(A)=167604560222=-=ΩS S A . 所以，甲、乙两人能够会面的概率是167. 巧妙变式：两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.图3-3-6思路分析：甲比乙早到4小时内甲须等待.所以有一艘船必须等待一段时间的条件是-2≤x -y≤4.可以以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间，在图中所示的平面直角坐标系内，(x ，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示.由几何概率公式得P(A)=288672420212221242222=⨯-⨯-. 所以有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是28867. 知识点六随机模拟法的应用例9 利用随机模拟的方法计算曲线y=2x 与x 轴，直线x=±1所围成的图形(如图3-3-7中阴影部分)的面积.图3-3-7思路分析：在直角坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值.解：(1)利用计算器产生两组［0，1］上的均匀随机数，a 1=RAND ，b 1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a=b 1×2，得到一组［-1，1］上的均匀随机数和一组［0，2］上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1〔满足条件b<2a 的点(a ，b)数〕.(4)计算频率NN 1，即点落在阴影部分的概率的近似值.(5)设阴影部分的面积为S.由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为4S . 所以41S N N ≈，所以S≈NN 14即为阴影部分面积的近似值. 巧解提示解决本题的关键是利用随机模拟方法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分的面积.例10 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，求此海豚嘴离岸边不超过2米的概率.(1)采用设计模拟试验的方法，估计事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2米”的概率;(2)采用“几何概型”求事件的概率.图3-3-8思路分析：本题考查随机模拟法求概率及几何概型的求法.解：(1)用计算机产生随机数来模拟海豚在水中自由游弋的试验.先产生随机数x 、y ，它们表示海豚嘴尖的横坐标与纵坐标，如果(x ，y)出现在图示的阴影区域，我们说事件A 发生了，算法步骤如下：第一步：利用计算器或计算机产生-15—15之间的随机数作为海豚嘴尖的横坐标，产生-10—10之间的随机数作为海豚嘴尖的纵坐标.第二步：判断(x ，y)是否落在阴影部分，即是否满足||x|-15|≤2或||y|-10|≤2，如果是，则事件A 发生了，记录发生次数m.第三步：记录试验次数n ，若继续试验，则返回第一步，否则程序结束.程序结束后事件A 发生的频率n m 作为A 的概率的近似值，所以P(A)≈nm . 下表是部分模拟的结果，供大家参考：试验次数事件A 的次数事件A 的频率100 35 0.351 000 324 0.32410 000 2 997 0.299 7100 000 30 506 0.305 06(2)对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如图3-3-8所示，大矩形表示长30 m ，宽20 m 的水池，图中阴影部分表示事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题转化为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.于是事件P(A)=7523600184==大矩形的面积发生的区域面积事件A ≈0.31. 巧解提示比较用模拟方法得到的事件A 的概率与几何概型计算得到的事件A 的概率可知，这两个结果极其相似，说明模拟方法是一种非常有效而且广泛使用的方法，尤其是现实的试验难以实施或不可能实施时，模拟可以给我们提供解决问题的方案.问题·探究方案设计探究问题下面两表给出了一些模拟试验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理,说明理由，另外你再提出一个新的合理的模拟方法.表1需研究的问题用替代物模拟试验的方法新的模拟试验方法抽屉中2副白手套不透明袋子中 2双白袜子用什么实物1副黑手套 1双黑袜子怎样试验黑暗中摸2只闭上眼摸出2只考虑哪一事件的概率 2只手套恰为1副黑手套 2只袜子恰为1双黑袜子表2需研究的问题用替代物模拟试验的方法新的模拟试验方法不透明袋子中 2个红球一枚硬币用什么实物 2个黑球怎样试验摸出1个球抛起后落地考虑哪一事件的概率恰好摸出红球正面朝上探究思路:表1中用袜子代替手套不合适，因为手套有左右，而袜子不分左右，可以用鞋子，也可以用扑克牌：1张红桃A 、1张黑桃A 代表1副黑手套，2张红桃2和2张黑桃2分别代表2副白手套的左右，充分混合后摸出2张，考虑摸出2张黑桃A ，1张红桃A 的机会.表2用硬币代替小球是合理的，因为出现的机会一样，也可以自制转盘，还可以用计算机产生随机数模拟等.探究结论:由上面的例题可以发现：替代模拟试验必须在相同条件下进行，才能达到替代的目的，因此：①选择适当的替代物，因为替代物选取是否合理决定试验结果的可信度，因此在用替代物的模拟试验中，要求必须在相同条件下进行；②用计算机(器)模拟试验时对随机数范围的确定.例如，有20张大小相同的卡片，分别写有1—20的数字，从中随机抽取一张求结果是5的倍数的概率，在这种情况下，随机数的范围是1—20.材料信息探究问题国家安全机关的监听录音记录了两个间谍的谈话，发现在30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了.该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？探究过程:包含两个间谍谈话录音的部分在30—40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉；当按错键的时刻在0—30 s 之间时，全部被擦掉,即在0—32 min 之间的时间段内按错键时，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而在0—30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件.设事件A 表示“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在0—32 min 时间段内按错键.所以μa =32 min,μΩ=30 min,P(A)=4513032==ΩμμA . 探究结论:几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验之一，我们必须熟练掌握这一概型.在解决几何概型的有关问题时，首先要抓住几何概型的两个基本特点(每次试验中基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性)，然后还要抓住它的本质特征(能够进行几何度量)，最后代入概率的计算公式即可求出相应的概率.。

解析几何第三章知识点

第三章平面与空间直线版权所有，侵权必究§3.1 平面的方程1．平面的点位式方程在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ，b 后，通过点M 0且与a ，b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ，b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面π 的方位向量.取标架{}321,,;e e e O ，设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ，平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ，y ，z }（如图）. 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ，b 共面. 由于a ，b 不共线，这个共面的条件可以写成M M 0= u a ＋v b而M M 0= r －r 0，所以上式可写成r = r 0＋u a ＋v b(3.1－1)此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程，其中u ，v 为参数.若令a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }，则由(3.1－1)可得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=vZ u Z z z v Y u Y y y vX u X x x 210210210 (3.1－2)此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程，其中u ，v 为参数.(3.1－1)式两边与a ×b 作内积，消去参数u ，v 得(r －r 0，a ，b ) = 0(3.1－3)此即222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1－4)这是π 的点位式普通方程.已知平面π上三非共线点i M （i = 1，2，3）. 建立坐标系{O ；e 1, e 2, e 3}，设r i = i OM ={i x ，i y ，i z }，i = 1，2，3. 对动点M ，设r =OM ={x ，y ，z }，取21M M 和31M M 为方位向量，M 1为定点，则平面π的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为r = 1r ＋u(2r －1r )＋v(3r －r 1)(3.1－5) ⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+=-+-+=)()()()()()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x(3.1－6)131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0(3.1－7)(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程.特别地，若i M 是π 与三坐标轴的交点，即1M (a ，0，0)，2M (0，b ，0)，3M (0，0，c )，其中abc ≠0，则平面π 的方程就是caba z y a x 00---=0 (3.1－8)即1=++czb y a x (3.1－9)此方程叫平面π的截距式方程，其中a ，b ，c 称为π 在三坐标轴上的截距.2．平面的一般方程在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0，y 0，z 0)和两个方位向量a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示. 将(3.1－4)展开就可写成Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0(3.1－10)其中A =2211Z Y Z Y ，B =2211X Z X Z ，C =2211Y X Y X由于a = {1X ，1Y ，1Z }与b = {2X ，2Y ，2Z }不共线，所以A ，B ，C 不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a ，b ，c 的一三元一次方程来表示.反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A ≠0，则(3.1－10)可改写成02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ACz ABy A D x A即000=--+ACA B zy AD x 它显然表示由点M 0 (－D / A ，0，0)和两个不共线的向量{B ，－A ，0}和{C ，0，－A }所决定的平面. 于是有定理3.1.1 空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x ，y ，z 的三元一次方程；反过来，任一关于变数x ，y ，z 的三元一次方程都表示一个平面.方程(3.1－10) 称为平面π 的一般方程. 3．平面的法式方程若给定一点M 0和一个非零向量n ，则过M 0且与n 垂直的平面π也被惟一地确定. 称n 为π的法向量. 在空间坐标系{O ；i ，j ，k }下，设0r = 0OM ={x 0，y 0，z 0}，n = {A ，B ，C }，且平面上任一点M 的向径r =OM ={x ，y ，z }，则因总有M M 0⊥n ，有n (r －r 0) = 0(3.1－11) 也就是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0) = 0(3.1－12)方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面π 的点法式方程. (3.1－12)中的系数A ，B ，C 有简明的几何意义，它们就是平面π 的一个法向量的分量.特别地，取M 0为自O 向π 所作垂线的垂足，而n 为单位向量. 当平面不过原点时，取n 为与OP 同向的单位向量n 0，当平面过原点时取n 0的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.设|OP | = p ，则OP = p n 0，由点P 和n 0确定的平面的方程为 n 0(r －p n 0) = 0式中r 是平面的动向径. 由于1)(20=n ，上式可写成n 0r －p = 0(3.1－13)此方程叫平面的向量式法式方程.若设r = {x ，y ，z }，n 0 = {cos α，cos β，cos γ}，则由(3.1－13)得x cos α＋y cos β＋z cos γ－p = 0(3.1－14)此为平面的坐标法式方程，简称法式方程.平面的坐标法式方程有如下特征：1°一次项系数是单位向量的分量，其平方和等于1； 2°常数项－p ≤0（意味着p ≥ 0）. 3°p 是原点到平面的距离. 4．化一般方程为法式方程在直角坐标系下，若已知π的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0，则n = {A ，B ，C }是π的法向量，Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0可写为nr ＋D = 0(3.1－15)与(3.1－13)比较可知，只要以2221||1CB A ++±=±=n λ 去乘(3.1－15)就可得法式方程λAx ＋λBy ＋λCz ＋λD = 0 (3.1－16)其中正负号的选取，当D ≠0时应使(3.1－16)的常数项为负，D ＝0时可任意选.以上过程称为平面方程的法式化，而将2221CB A ++±=λ叫做法化因子.§3.2 平面与点的相关位置平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平面方程. 点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在曲面的哪一侧.1．点与平面间的距离定义3.2.1 自点M 0向平面π 引垂线，垂足为Q . 向量0QM 在平面π的单位法向量n 0上的射影叫做M 0与平面π之间的离差，记作δ = 射影n 00QM(3.2－1)显然δ = 射影n 00QM = 0QM ·n 0 =∣0QM ∣cos ∠(0QM ，n 0) =±∣0QM ∣当0QM 与n 0同向时，离差δ > 0；当0QM 与n 0反向时，离差δ < 0. 当且仅当M 0在平面上时，离差δ = 0.显然，离差的绝对值|δ |就是点M 0到平面π 的距离. 定理3.2.1 点M 0与平面（3.1－13）之间的离差为δ = n 0r 0－p (3.2－2)推论1 若平面π 的法式方程为 0cos cos cos =-++p z y x γβα，则),,(0000z y x M 与π间的离差=δp z y x -++γβαcos cos cos 000(3.2－3)推论2 点),,(0000z y x M 与平面Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0间的距离为()2220000,CB A DCz By Ax M d +++++=π (3.2－4)2．平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义设平面π的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0那么，空间任何一点M （x ，y ，z ）与平面间的离差为=δp z y x -++γβαcos cos cos = λ (Ax ＋By ＋Cz ＋D )式中λ为平面π的法化因子，由此有Ax ＋By ＋Cz ＋D =δλ1(3.2－5)对于平面π同侧的点，δ 的符号相同；对于在平面π的异侧的点，δ 有不同的符号，而λ一经取定，符号就是固定的. 因此，平面π：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0把空间划分为两部分，对于某一部分的点M (x ，y ，z ) Ax ＋By ＋Cz ＋D > 0；而对于另一部分的点，则有Ax ＋By ＋Cz ＋D < 0，在平面π上的点有Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0.§3.3 两平面的相关位置空间两平面的相关位置有3种情形，即相交、平行和重合. 设两平面π1与π2的方程分别是π1： 11110A x B y C z D +++=(1)π2： 22220A x B y C z D +++=(2)则两平面π1与π2相交、平行或是重合，就决定于由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解，或无数个解，从而我们可得下面的定理.定理3.3.1 两平面（1）与（2）相交的充要条件是111222::::A B C A B C ≠(3.3－1)平行的充要条件是11112222A B C D A B C D ==≠(3.3－2)重合的充要条件是11112222A B C D A B C D ===(3.3－3)由于两平面π1与π2的法向量分别为11112222{,,},{,,}n A B C n A B C ==，当且仅当n 1不平行于n 2时π1与π2相交，当且仅当n 1∥n 2时π1与π2平行或重合，由此我们同样能得到上面3个条件.下面定义两平面间的夹角.设两平面的法向量间的夹角为θ，称π1与π2的二面角∠(π1，π2) =θ 或π－θ为两平面间的夹角.显然有12cos (,)ππ∠=±cos θ =(3.3－4)定理3.3.2 两平面（1）与（2）垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A(3.3－5)例一平面过两点 1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面x ＋y ＋z = 0，求它的方程.解设所求平面的法向量为n = {A ，B ，C }，由于12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上，有12M M n ⊥， 120M M n ⋅=，即20A C --= .又n 垂直于平面x ＋y ＋z = 0的法线向量{1，1，1}，故有 A ＋B ＋C = 0 解方程组20,0,A C A B C --=⎧⎨++=⎩得2,,A CBC =-⎧⎨=⎩ 所求平面的方程为2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=，约去非零因子C 得2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，即2x －y －z =0§3.4 空间直线的方程1．由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程在空间给定了一点0000(,,)M x y z 与一个非零向量v = {X ，Y ，Z }，则过点M 0且平行于向量v 的直线l 就惟一地被确定. 向量v 叫直线l 的方向向量. 显然，任一与直线l 上平行的飞零向量均可作为直线l 的方向向量.下面建立直线l 的方程.如图，设M (x ，y ，z ) 是直线l 上任意一点，其对应的向径是r = { x ，y ，z }，而0000(,,)M x y z 对应的向径是r 0，则因M M 0//v ，有t ∈R ，M M 0= t v . 即有r －r 0= t v所以得直线l 的点向式向量参数方程r = r 0＋t v (3.4－1)以诸相关向量的分量代入上式，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X t z y x z y x 000根据向量加法的性质就得直线l 的点向式坐标参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xtx x 000 (3.4－2)消去参数t ，就得直线l 的点向式对称方程为Zz z Y y y X x x 000-=-=- (3.4－3)此方程也叫直线l 的标准方程.今后如无特别说明，在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对称式.例1 设直线L 通过空间两点M 1(x 1，y 1，z 1)和M 2(x 2，y 2，z 2)，则取M 1为定点，21M M 为方位向量，就得到直线的两点式方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3.4－4)根据前面的分析和直线的方程(3.4－1)，可得到||||||||||00v M M v t =-=r r 这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4－1)或(3.4－2)中参数的几何意义：参数t 的绝对值等于定点M 0到动点M 之间的距离与方向向量的模的比值，表明线段M 0M 的长度是方向向量v 的长度的 |t | 倍.特别地，若取方向向量为单位向量v 0 = {cos α，cos β，cos γ}则(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次变为r = r 0＋t v 0(3.4－5)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x (3.4－6)和γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- (3.4－7)此时因 |v | = 1，t 的绝对值恰好等于l 上两点M 0与M 之间的距离.直线l 的方向向量的方向角α，β，γ cos α，cos β，cos γ 分别叫做直线l 的方向角和方向余弦.由于任意一个与v 平行的非零向量v'都可作为直线l 的方向向量，而二者的分量是成比例的，我们一般称X ：Y ：Z 为直线l 的方向数，用来表示直线l 的方向.2．直线的一般方程空间直线l 可看成两平面π1和π2的交线. 事实上，若两个相交的平面π1和π2的方程分别为π1： 11110A x B y C z D +++= π2： 22220A x B y C z D +++=那么空间直线l 上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组111122220,0.A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (3.4－8)反过来，如果点不在直线l 上，那么它不可能同时在平面π1和π2上，所以它的坐标不满足方程组(3.4－8).因此，l 可用方程组(3.4－8)表示，方程组(3.4－8)叫做空间直线的一般方程.一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就可得到空间直线的方程.直线的标准方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式. 将标准方程化为一般式，得到的是直线的射影式方程.将直线的一般方程化为标准式，只需在直线上任取一点，然后取构成直线的两个平面的两个法向量的向量积为直线的方向向量即可.例1将直线的一般方程10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩ 化为对称式和参数方程.解令y = 0，得这直线上的一点（1，0，－2）.两平面的法向量为a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}因a ×b = {4，－1，－3}，取为直线的法向量，即得直线的对称式方程为12413x y z -+==--令t z y x =-+=-=-32141，则得所求的参数方程为 14,,23.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩§3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置有直线与平面相交，直线与平面平行和直线在平面上3种情形. 设直线l 与平面π 的方程分别为L ：000x x y y z z X Y Z ---== (1) π ：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0(2)将直线l 的方程改写为参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tZz z tY y y tX x x 000. (3)将（3）代入（2），整理可得(AX ＋BY ＋CZ )t = －(Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D )(4)当且仅当AX ＋BY ＋CZ ≠0时，（4）有惟一解CZBY AX DCz By t +++++-=000Ax这时直线l 与平面π 有惟一公共点；当且仅当AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ≠0时，方程（4）无解，直线l 与平面π 没有公共点；当且仅当AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D = 0时，（4）有无数多解，直线l 在平面π 上. 于是有定理3.5.1 关于直线（1）与平面（2）的相互位置，有下面的充要条件： 1）相交： AX ＋BY ＋CZ ≠02）平行：AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ≠03）直线在平面上： AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D = 0以上条件的几何解释：就是直线l 的方向向量v 与平面π 的法向量n 之间关系. 1）表示v 与n 不垂直；2）表示v 与n 垂直且直线l 上的点（x 0，y 0，z 0）不在平面π 上； 3）表示v 与n 垂直且直线l 上的点（x 0，y 0，z 0）在平面π 上. 当直线l 与平面π 相交时，可求它们的交角. 当直线不与平面垂直时，直线与平面的交角ϕ 是指直线和它在平面上的射影所构成的锐角；垂直时规定是直角.设v = {X ，Y ，Z }是直线l 的方向向量，n = {A ，B ，C }是平面π 的法向量，则令∠(l ，π ) =ϕ，∠(v ，n ) = θ ，就有ϕ=-2πθ 或 ϕ= θ－2π（θ 为锐角）因而sin ϕ =∣cos θ∣=vn v n ⋅⋅=222222ZY X CB A CZ BY AX ++++++ (3.5－1)§3.6 空间直线与点的相关位置任给一条直线l 的方程和一点M 0，则l 和M 0的位置关系只有两种：点在直线上和点不在直线上。

第三章几何非线性

在大应变问题中，对数应变并不能自动适应任意大的旋转。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-19
真实应力或 Cauchy 应力
与对数应变 l 共轭的一维应力是真实应力 ,真实应力的计算是当前的力 F 除以当前（或变形的）面积 A ：

F A
真实应力通常也称为 Cauchy 应力。
1 G U T U I 2
这种应变在计算时直接忽略了旋转矩阵的形式写出，如下式所示：

。 G 可以变形梯度
R
u u T u T u G X X X X
几何非线性 – 5.7版本
u
Y
X
X
x
• 如果我们观察物体上一个点的运动，它的初始位置是 X ，最终位置是 x ，它运动的量 u 为
u x X
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-24
变形梯度
变形梯度是物体变形多少的一个度量，它的定义是：
变形梯度 F 包含的信息有：

October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-22
将非线性应变定义扩展至一般的三维情况
• 在二维或三维问题中，当物体承受大应变变形时，不只长度发生改变，而且厚度、面积与体积都发生改变。
A0 A
P
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-23
运动与变形
• 当物体承受一些外载时，它将移动和变形。
l l0

立体几何第三部分

V锥体
1 Sh . 3
x S` h S S S`
图1 3 15
台体棱台、圆台的体积可以转化为锥体的体积来计算图1 3 15.如果台体的上、下底面积分别为S `, S , 高是h , 可以推得它的体积是
V台体 1 h S SS ` S ` . 3

柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下 :
第三部分空间几何体的表面积和体积
侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱 .
棱柱两底面的距离叫做棱柱的高.
正棱柱是指底面为正多边形的直棱柱.
h
图1 3 2
c
直棱柱的侧面积是S直棱柱侧 ch .
如果一个棱锥的底面是正多边形,
h`
并且顶点在底面的正投影是底面
侧面展开
正棱锥. 中心, 我们称这样的棱锥为
c`
h`
c
正棱台侧面积是图1 3 4 1 S正棱台侧 c`c h`. 2
图1 3 4
正棱柱、 S正棱柱侧 c h 正棱锥和正棱 c` c 台的侧 1 面积公 S 正棱台侧 c c` h` 2 式之间 c` 0 的关系可用图 1 S 正棱锥侧 c h` 1 3 5 2 表示 .
图1 3 5
特殊化思想
r
l
c
c`
l
r`
c
r
l
c
r
通过将圆柱、圆锥和圆台的侧面展开 , 我们可以得到它们的侧面积公式图1 3 6, 它们之间的关系与图 1 3 5类似.
S圆柱侧 cl 2 rl
c` c
1 S圆台侧 c c` l r r ` 2

解析几何第三章习题及解答

第三章常见曲面习题3.11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。

证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。

解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。

过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。

3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。

证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。

4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；（2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；（3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。

六年级上册第三单元课文讲解数学

《六年级上册第三单元课文：数学》1. 引言在六年级的数学课程中，数学概念变得更加抽象和深奥。

在第三单元的课文中，我们将深入探讨一些数学的重要概念，并学习如何运用这些概念解决问题。

本文将全面评估并解读这一重要主题，帮助读者更好地理解数学这一学科。

2. 第一部分：数学基础概念的建立在六年级的数学课程中，我们首先需要建立起数学的基础概念。

在第三单元的课文中，我们将学习如何理解和运用数字、运算符号以及各种数学运算法则。

这些基础概念对于我们后续学习更加复杂的数学内容至关重要。

3. 第二部分：整数与分数的运算在第三单元的课文中，我们将深入学习整数与分数的运算。

通过具体的案例和实例，我们将掌握如何进行整数和分数之间的四则运算，并学会用数学语言对这些运算进行概括和总结。

4. 第三部分：几何图形的认识与运用除了数学运算，第三单元的课文还将介绍几何图形的相关内容。

我们将学会如何认识和运用各种几何图形，并掌握如何计算这些图形的面积和周长。

这将为我们今后学习更高级的几何知识打下坚实的基础。

5. 第四部分：个人观点与总结通过深入阅读和全面评估第三单元的课文内容，我对数学这一学科有了更深刻的理解。

数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和逻辑推理的工具。

通过学习数学，我们能够训练自己的逻辑思维能力，培养解决问题的能力，这对我们的学习和未来的发展都具有重要的意义。

6. 结语通过本文的撰写，我对六年级上册第三单元的数学课文有了更加深入和全面的了解。

数学不仅仅是一门学科，更是一种逻辑思维和问题解决能力的训练。

希望本文能够帮助读者更好地理解数学这一学科，提高数学学习的兴趣和能力。

数学是一门重要的学科，它不仅可以帮助我们提高逻辑思维能力，还可以训练我们解决问题的能力。

在六年级数学课程中，我们将学到更深奥、更抽象的数学概念，这将为我们未来的学习和发展打下坚实的基础。

我们需要建立起数学的基础概念。

在第三单元的课文中，我们将学习如何理解和运用数字、运算符号以及各种数学运算法则。

第三部分-几何(与三角)

第三部分几何（与三角）【考试情况总结】几何与三角共 49 题一、平面几何（18道） 1．面积问题（9 道） 2．长度问题（5 道）3．角度问题（4 道）二、空间几何图形（9 道）三、三角函数（5 道）四、平面解析几何（17道） 1．平面直线问题（6 道） 2．平面几何与平面解析几何综合问题（6 道） 3．二次曲线问题（5 道） [内容综述] 一、平面几何图形 1．三角形（1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积）11sin ()()(),2 22s ah ab C p p a p b p c p a b c===---=++ （2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边） 222c a b=+2．四边形（1）矩形（正方形）；（2）平行四边形（菱形）；（3）梯形 1() 2s a b h=+ 注：对角线垂直的四边形面积． 3．圆和扇形（1）圆(周长、面积、弦、切线、圆周角、圆心角)22π π l R S R == （2）扇形 12s Rll R q== 4．平面图形的相似关系注：正多边形的内角和(2)π n - 、椭圆的面积πab 二、空间几何体 1．长方体（正方体）2．圆柱体 2 2π π s RhV R h== 3．圆锥体2221 π π 3s R h RV R h=+= 注：棱锥。

4．球234 4π π 3s RV R==三、三角函数1．定义（符号，特殊角的三角函数值）sin ,cos ,sin cos 11tan ,cot ,sec ,csc cos sin cos sin y x a a a a a a a a a a a a== ====2．常用的三角函数恒等式同角恒等式： 22 2222 sin cos 11tan sec 1cot csc a a a aa a ì += ï ï += í ï += ï î两角和公式：2222 sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin sin 22sin cos cos 2cos sin 12sin 2cos 1 a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b +=+ ìï +=- ï í= ïï =-=-=- î诱导公式：π πsin()cos ,cos()sin ,sin(π )sin 22b b b b b b+=+=-+=- 注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理）．a), ( y xsin sin sin A B C a b c==； 2222cos a b c bc A =+- 3．反三角函数π πarcsin ,[,] 22 y x =- ； arccos ,[0,π]y x = ；π πarctan ,(,) 22y x =- ； arccot ,(0,π)y x = 四、平面直线1．直线方程（倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式）( ) 000 0 , y y k y y k x x x x - ==+- - ； ;1 x y y kx b a b=++= ； 0ax by c ++= 2．两条直线的位置关系（相交，平行，垂直）:0 l ax by c ++= ； 1111 :0 l a x b y c ++= ；平行但不重合： 111 a b c a b c =¹ ；重合： 111a b c a b c == ；垂直：11 1 a a b b æö --=- ç÷ èø3．点到直线的距离0 ax by c ++= ， 00 (,)x y ， 00 22ax by cd a b++ = + 注：直线与圆的位置关系；两个圆的位置关系；关于直线的对称问题．五、圆锥曲线 1．圆（1）定义：到一定点距离为一常数的点的集合．（2）方程： 22200 ()() x x y y R -+-= 2．椭圆（1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合．（2）方程: 22222 22 1,,(,0)(,0)x y c a b c c a b+==-- （3）图像；（4）离心率； 1ce a =< （5）准线 2a x c=±3．双曲线（1）定义：到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合．（2）方程: 22 22222 1,,(,0)(,0)x y c a b c c a b -==+- （3）图像；（4）离心率； 1ce a => （5）准线 2 a x c =± （6）渐近线； by xa=± 4．抛物线（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合．（2）方程； 22 y px = ，焦点(,0)2p（3）图像；（4）离心率 1 e = ；（5）准线 2px =-注：如何判断二次方程的图像？ 22ax by cx dy e ++++= 当 0 a b =¹ 时，一般为圆；当 0, ab a b >¹ 时，一般为椭圆；当 0 ab < 时，一般为双曲线；当 22 0,0 ab ab =+¹ 时，为抛物线．[典型例题] 一、平面几何例 1．半径为R 的圆的内接正三角形面积是（）．A． 21 4RB． 2 3 4 RC． 23 4 RD． 2 334R答：D．分析：本题考查了圆的半径与其内接正三角形的中线的关系，及正三角形中线与边长的关系．由于半径为R 的圆的内接正三角形的中线（高）长为 3 2R ，所以该正三角形的边长为3R ，面积为2 1333 3 224R R R ´´= ．故正确选项为 D．例 2．若某人匀速地路过一盏路灯，则其头顶影子的移动速度（）．A．先逐渐变慢，后逐渐变快 B．先逐渐变快，后逐渐变慢 C．是一常数 D．无法确定答：C．分析：本题主要考查了相似三角形对应边成比例的性质及运动速度的概念．lhOAB如图，l 是路灯的高度、h 是行人的身高．设行人的速度为v ，行人从 O 点走到 A 点需要的时间是t ，则 OAvt = ．根据相似三角形对应边成比例得 AB OB vt h OB OB l - == ，所以lOB vt l h= - ，即行人的影子点 B的速度是常数．故正确选项为 C．例 3．如图，P 是正方形ABCD 外的一点， 10 PB = ， APB D 的面积是80， CPB D 的面积是90，则正方形 ABCD 的面积是（）．A．580B．600C．640D ．720DCAB P答：A．解 1：如图，PE 是三角形CBP 的高，PF 是三角形ABP 的高,由于22210 PE PF += ，且 1 80 2AB PF = g ，1 902 CB PE = g ，所以 9 8PE PF = ，解得 80145PF = ， 2145 AB = ．从而 2 4145580 S AB ==´= ．解 2：如设角ABP 的大小为a ，则角CBP 的大小等于π2π () 2a -+ ．由于三角形ABP 的面积为1sin 80 2AB BP a ×= ，三角形CBP 的面积为11sin[2()]cos 90 222AB BP AB BP p p a a ×-+=-×= ，两式相比得 8 tan 9 a =- ，所以 8 sin 145a = ．由于DCABPEFsin 80 2AB BP a ×= ，且 10 BP = ，所以 2145 AB = ，从而正方形ABCD 的面积是 22(2145)580 AB == ．故正确选项为 A．二、空间几何体例 1．如图，斜截圆柱体的最大高度为8，最小高度为4，下底面半径为23，则其体积与上底椭圆面的面积分别是（）． A．72π,83π B．104π,83πC．72π,16π D．104π,16π答：A．分析：根据题意及割补的思想可知该柱体的平均高度为486 2+ = ，所以它的体积为 2 π(23)672π ´= ．至此可将选项 B,D 排除．上底椭圆面的一个半轴长就是下底面的半径23，另一个半轴长利用勾股定理得到 22 1 4(43)4 2+= ，所以上底椭圆面的面积为83π．综上可知正确选项为 A．例 2．若某圆锥的底面积为P ，轴截面面积为Q ，则其体积为（）．A． π 3 Q PB． π 3 P QC． π 2Q PD ．π 2Q 答：A．分析：设该圆锥的底面半径为 R 、高为 h ．由 2πR P = 得P R p = ，由 1 2 2 R h Q ´´= 得Rh Q = ，所以该圆锥的体积为2 11 π π π 33 π 3P Q R h Q P == ．故正确选项为 A．例 3 ．平面中的四个点 1234 ,,, P P P P 在某个球面上，122334413 PP P P P P P P ==== ，球心到该平面的距离是其半径的一半，则球的体积是（）． A．242π B．722π C．86π D．646π答：C．分析：由于点 1234 ,,, P P P P 都在圆周上，且12233441 3 PP P P P P P P ==== ，所以四边形 1234PP P P 是圆的内接正方形，该圆的半径为 13 322 22´= ．设球体的半径为R ，则图中直角三角形的两条直角边分别为31 2, 22 R ，斜边为R ．根据勾股定理得 229 24R R =+ ，即 6 R = ，所以球的体积为 3 4 π 86π 3R = ．三、三角函数例 1．若函数 () f x 满足arcsin () f x x = ，则 π()3f =（）． A．3p B．1 2 C．3 2 D．2 2答：C．分析：本题考查了反函数的概念及特殊角的正弦值．因为arcsin () f x x = ，所以 () f x 与arcsin x 互为反函数，即()sin f x x = ，所以 π π 3()sin 332 f == ．故正确选项为 C．例 2 ．如果 a b + 与 π4b - 均是锐角，且2 π 1sin(),sin() 544 a b b +=-= ，那么πsin()4 a +=（）． A．21521 20 - B．2152120 + C．21521 20-+ D．21521 20-- 答：A．分析：本题主要考查了同角关系式、两角和的正弦公式及三角函数的符号问题．因为 2 π 1 sin(),sin() 544 a b b +=-= ，且a b + 与 π4b - 均是锐角，所以 21 π 15cos(),cos() 544a b b +=-=，从而 π π πsin()sin[]sin()cos()cos(444a ab b a b b a +=+--=+--+（）（） 21521121521545420- =´-´=。

几何原本第三卷内容

几何原本第三卷内容
几何原本第三卷内容主要涵盖了一些关于三角形和四边形的性质和定理。

在这
一卷中，欧几里得详细讨论了三角形和四边形的各种特点和性质。

首先，在几何原本第三卷中，我们可以了解到关于三角形的一些重要定理。

其
中最著名的定理是毕达哥拉斯定理，它说明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方和的关系。

除此之外，这卷还介绍了德摩根定理，它说明了在任意一个三角形中，两边之和大于第三边。

此外，几何原本第三卷还详细介绍了四边形的性质。

其中，最重要的是平行四
边形的性质，它们有相等的对边和对角线。

这一卷还讨论了矩形、正方形、菱形和梯形的性质及其对角线的长度关系。

在这一卷中，欧几里得通过一系列的证明和推导，展示了这些定理和性质的合
理性和逻辑关系。

他的方法非常严谨和系统，为几何学奠定了坚实的基础。

总的来说，几何原本第三卷内容主要涵盖了三角形和四边形的定理和性质。

通
过学习这些内容，我们可以更深入地理解几何学的基本概念和原理，为后续的几何学习打下良好的基础。

高等几何(第三、四章)

➢由于交比经中心射影后不变，故交比在透视对应下保持不变。
➢透视关系是对称的，但不具有传递性。 ➢定义2.3.透视对应链即为射影对应。
射影对应具有传递性。
2.2 一维基本形的射影对应
➢定义2.3.透视对应链即为射影对应。射影对应具有传递性。
➢定理2.1 两个点列间的一一对应是射影对应的充要条件是：任何四个对应点的交比相等。必要性显然；下面证明充分性；
P3
m2 m2
m3 m1
P1
m3 m2
m1 m1
P2 ,
P4
m2 m4 m2 m1
P1
m4 m2
m1 m1
P2 ,
P3
P1
m3 m2
m1 m1
m2 m2
m1 m3
P2 ,
P4
P1
m4 m2
m1 m1
m2 m2
m1 m4
P2 ,
m3 m1 m2 m1
(P1P2 , P3P4 )
设一个对应T保持任何四对对应点的交比不变,我们证明 T可由两个透视对应结合而成。
怎样才算证明了T可由两个透视对应结合而成？
要证明T的任何一对对应点均可由两个透视对应结合得到。
设 D, D’是T的任何一对对应点，我们证明D’可由D经过两次透视对应得到。
题目条件是T保持任何四对对应点的交比不变，现在只有一对对应点，无法用此条件，故我们设出三对对应点：
B
ac
b
C
ca b
§2 一维射影变换
➢点列与线束统称为一维基本形，本节研究一维基本形间的一种对应关系。
➢本节讲授的顺序与课本有所不同，我们的思路是从三个不同的角度去刻画一维射影对应，这三个角度分别为几何直观、本质性质以及代数的角度.

小学数学教资面试真题题库

小学数学教资面试真题题库
第一部分：整数
1.如何判断一个整数是否为奇数？
2.请列举出100以内的所有质数。

3.如果一个整数能被3整除又能被5整除，那这个数一定能被15整除
吗？为什么？
第二部分：代数
1.解方程：2x + 5 = 11。

2.当x取何值时，方程3x - 7 = x + 5成立？
3.小明拥有一些苹果，如果他再买10个苹果，那么他手中的苹果数量
将是原来的3倍。

请问小明原来手中有多少个苹果？
第三部分：几何
1.一个正方形的周长为36厘米，求它的边长。

2.如果一条矩形的长度是宽的3倍，周长为60米，求出它的面积。

3.一个三角形三个内角之和为180度，如果两个内角分别是45度和
60度，求第三个内角的度数。

第四部分：计算
1.A店的一台电视机原价500元，打8折后卖出，求实际的售价是多
少？
2.若一个长方形的长是8厘米，宽是3厘米，求它的周长和面积分别
是多少？
3.请计算：32 + 17 - 8 * 2 + 5 = ?
结语
以上是小学数学教资面试真题题库的一部分，希望大家能认真思考并尝试解答，加深对数学的理解。

祝各位考生取得优异成绩！。

奥数三年级-第三章几何图形

01 2 345678 9
3-6 长度、周长的计算（三）
例2、正方形的树林每边长1000米，里面有白杨和榆树。小华丛树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走到东北角上。问小华一共走了多少米？
2000米
例3、一个甲壳虫沿着铁圆环爬行，1分钟走1米，15分钟爬行了3圈，求铁环的周长。
解：∠1+ ∠2=45°， ∠1+ ∠3=60°， ∠1+ ∠2+ ∠3=90° 所以∠1=45°+60°-90°=15°。
例4、下图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成，请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度？
解：我们可以看到图中5个风筝形组成一个正10边形，则每个风筝形的钝角=180×（10-2） ÷10=144度，而5个风筝形顶角组成360度，则每个顶角为360÷5=72度，风筝形剩余两个角相等，且内角和一共为360度，所以剩余的角为（360-144-72）÷2=72度。所以，风筝形砖中，有一个钝角144度，其余都是72度。
第三章三年级-几何图形
3-1 角度计算（一）
锐角、直角、平角、周角
角的分类周角平角钝角直角锐角对顶角外角
例1、纸板上已经画出了一个60 °的角，请你用一个正方形的模板作工具，在纸板上画出一个75 °的角？
例2、两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这条直线的“夹角”，现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°， 60°或者90°，问：至多有多少条直线？
3-11 面积计算（四）
例8、依次连接正方形边长的中点得到一个新的正方形，最小正方形的面积是 16cm²，求最大正方形的面积。

初高中衔接教材第三部分——平面几何

初高中衔接教材第三部分——平面几何（一）知识要点1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.2.平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.3.相似三角形的判定与性质：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）.判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似.引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方.4.射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半.6.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.7.圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补.定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.8.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.9.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.10.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.11.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.12.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.（二）典型例题例1:如图1，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则求EF 的长.例2:如图2，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求BE 的长.例3:如图3，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则求AF 的长．图 1图2 图3例4:如图4，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则求∠PCE .（三）拓展练习例5:设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O ，,A B 为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB 的长度.例6:如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，连接DC . 求证：BA ·DC =GC ·AD .图5图4图6（四）巩固练习1．如图7，321////l l l ，3AM =,5BM =, 4.5CM =,16EF =,则DM =_____，EK =____，FK =____.2．如图8，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ，则梯子的长为 cm ．3.如图9，在平行四边形ABCD 中， DB 是对角线，E 是AB 上一点，连结CE 且延长和DA 的延长线交于F ，则图中相似三角形的对数是．4. 如图10，在R t A B C ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 中点，DE AB ⊥，垂足为E ，30B ∠=︒，7AE =,则DE 的长为．5．如图11，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是 BD 、CE 的中点，则:PQ BC = .6.如图12，AB 是O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切O 于点C ，3PC =，1PB =，则O 的半径为．7.如图13，圆O 上的一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4，BD =8，则圆O 的直径为．ABPC·图12OBA MCE KF BD l 1 l 2l 3 图7 ADB ┐┐图8 AFE BCGD图9 D A┐CBE 图10图118．如图14，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 .9．如图15,PA 切O 于点A ，4PA =，PBC 过圆心O ，且与圆相交于B 、C 两点，:1:2AB AC =，则O 的半径为．10.如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥ 于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，OE =_________.11．如图17，在ABC ∆中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：AC AF AB AE ⋅=⋅．图16B图1412．如图18，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是 ⊙O 的割线，与⊙O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（1）证明: AP O M ，，，四点共圆；（2）求OAM APM ∠+∠的大小．13:如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . （1）求FCBF的值；（2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．ABC∠的角平分线，过点C作14:如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是BAF⊥交AF的延长线于D点,CM AB⊥，垂足为点M.CD AF（1）求证：DC是⊙O的切线；⋅=⋅.（2）求证：AM MB DF DA参考答案例1.解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ， ∴BD ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2.例2解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2， ∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.例3解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形． ∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ，∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1. 又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD . ∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12.∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23， ∴AF ＝233.例4解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·P A ，即PE P A ＝PBPE，∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠P AE ，又△PEA 的内角和为2(∠CP A ＋∠P AE )＋30°＝180°，所以∠CP A ＋∠P AE ＝75°，即∠PCE ＝75°. 例5.解析：连AB 交12O O 于C ，则12OO AB ⊥，且C 为AB 的中点，设AC x =，则12O C O C ==124O O =，解得x =.故弦AB 的长为2x =例6.证明：∵ AC OB ^ ，∴ 90AGB ? ，又 AD 是⊙Ｏ的直径， ∴ 90DCA ? ，又 ∵ BAGADC ??（弦切角等于同弧对圆周角）∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA ∴BA AGAD DC= ，又∵ OG AC ^ ∴ GC AG = ∴BA GCAD DC= 即 BA •DC=G C •AD巩固练习:1.7.5,6,10;2. 440;3. 5;4.5; 5. 1:4 6. 4; 7. 10; 8. 7; 9. 3; 10. 4, 12511解析：证明： ∵AD ⊥BC ，∴ADB ∆为直角三角形，又∵DE ⊥AB ，由射影定理知，AB AE AD ⋅=2．同理可得AC AF AD ⋅=2， ∴AC AF AB AE ⋅=⋅． 12解析：证明:（1）连结OP OM ，，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP AP ⊥．因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以AP O M ，，，四点共圆．（2）连接OA ，如图．由（1）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠．11F A B C 由（1）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°．所以90OAM APM ∠+∠=°．13.解析：（1）过D 点作//DG BC ，并交AF 于G 点，∵E 是BD 的中点，∴BE DE =，又∵EBF EDG ∠=∠，BEF DEG ∠=，∴BEF DEG ∆≅∆，则BF DG =，∴::BF FC DG FC =，又∵D 是AC 的中点，则:1:2DG FC =，则:1:2BF FC =；（2）若BEF ∆以BF 为底，BDC ∆以BC 为底，则由（1）知:1:3BF BC =，又由:1:2BE BD =可知1h :2h =1:2，其中1h 、2h分别为△BEF 和△BDC 的高，则612131=⨯=∆∆BDC BEF S S ，则12:1:5S S =．14.解析：（I ）连结OC ，有∠OAC =∠OCA ，∵CA 是∠BAF 的角平分线，∴∠OAC =∠F AC ， ∴∠F AC =∠ACO ，∴OC ∥AD .∵CD ⊥AF ，∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线.（Ⅱ）连结BC ，在Rt △ACB 中，CM ⊥AB ， ∴CM 2=AM ·MB .又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF ·DA .易知△AMC ≌△ADC ，∴DC =CM ，∴AM ·MB =DF ·DA .。

第三章--几何

第三章几何§3.1自我检测1.In the figure shown below, BE//CD, AC//ED. CA bisects ∠BAD , and DAbisects ∠CAE ,what is the measure of ∠CAD ?2.the triangle below has a hypotenuse with a length of 13 feet.what is the length of BC?3. A small square table and an L-shaped table fit together with no space between them to create a large square table. the area of the large square table is 25 square feet and is 9 square feet greater than the small square. what is the value of x, one edge of the L-shaped figure?A4. How many diagonals does octagon have?5. in the circle below, O is the center and is 5 feet from the chord AB. The area of the circle is 169π square feet. What is the length of AB,in feet?6. the tent illustrate below is in the shape of a right triangular prism and is made of nylon. How many square feet of nylon is required for the front, rear, and 2 sides of the tent?⾃自测答案：1. 60° 考点： §3.2.1 点线⾯面point line & plane2. 4.4 考点：§3.2.3 三⾓角形 triangels3. 1 考点：§3.2.3 四边形 quadrilaterals4. 6 考点：§3.2.4 多边形polygons5. 24 考点：§3.2.5 圆circle6. 94 考点：§3.2.6 ⽴立体⼏几何 solid geometry§3.2.1 点线面 point line & plane1. 点 point两条线如果相交，会得到一个交点intersection;除了圆之外的几何图形都有顶点vertice;一个线段的两端叫做端点end point;中间叫做中点midpoint。

圆形等分三份-概述说明以及解释

圆形等分三份-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述圆形等分三份是一个有趣且具有几何特点的问题。

在数学中，圆形是一个无限多边的图形，其中每一个点到圆心的距离都相等。

而圆形等分三份的意思是将一个圆形分成三个相等的部分，每个部分的面积和弧长都相等。

圆形等分三份的问题在几何学和数学中一直都备受关注。

它既有理论上的意义，也有实践上的应用。

当我们面临需要将一个圆形区域均匀分割的问题时，圆形等分三份的方法就可以派上用场。

在本文中，我们将探讨圆形等分三份的方法以及其应用。

首先，我们将介绍圆形等分三份的概念和意义。

接着，我们将详细讨论可行的方法和解决途径。

最后，我们将总结讨论的结果，并展望未来在这一领域中的可能发展。

本文旨在提供对圆形等分三份问题的深入理解，以及为读者提供可行的解决方案。

通过阅读本文，读者将能够更好地理解圆形等分三份的方法和应用，并在需要时能够灵活运用相关知识。

接下来，我们将详细介绍本文的结构安排，以便读者能够更好地理解和掌握文中的内容。

1.2 文章结构文章结构部分的内容：文章结构的设计是为了使读者更好地理解和跟随整篇文章的逻辑和主题。

本文将按照以下结构来进行论述：第一部分是引言。

在引言中，我们将对圆形等分三份这个主题进行概述，说明文章的目的和意义。

同时，我们也会简要介绍本文的结构和组织方式。

第二部分是正文。

正文部分将分为两个要点进行阐述。

2.1 第一要点：在这一部分，我们会详细介绍如何将一个圆形等分成三等份。

我们将从数学的角度出发，通过几何知识和计算方法，解释如何确定等分点的位置和角度。

同时，我们还会探讨一些实际应用场景，比如如何在工程设计中运用圆形等分三份的原理。

2.2 第二要点：在这一部分，我们将进一步探讨圆形等分三份的应用领域和意义。

我们将以美术和设计为例，介绍圆形等分三份在艺术创作中的运用，以及如何利用这一原理产生美感和对称感。

此外，我们还将讨论一些其他领域（如地理、生物等）中可能存在的圆形等分三份的现象和规律。